4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla f(t) = f(t) (t) = k= f(kt)δ(t kt). 63
Jatkuva signaali Diskreetti piikkijono 5 5 4.5 4 3.5 f(t)=5 t, t 5 4.5 4 3.5 f(t)=5 t, t 5 Näytteenottoväli T=0.25 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 6 4 2 0 2 4 6 0 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 64
Näytteenottosignaalin Fourier-muunnos Näytteenottosignaali on T-periodinen: (t + T) = (t) Koska kompleksisen eksponenttifunktion Fourier-muunnos on F(e ikω 0t )(ω) = 2πδ(ω kω0 ), niin näytteenottosignaalin Fourier-muunnos on D(ω) = 2π T k= δ(ω 2πk T ) = ω 0 k= δ(ω kω 0 ). 65
Aikarajoitettu signaali: On olemassa T > 0 siten, että f(t) = 0, kun t > T. Taajuusrajoitettu signaali: F(ω) = 0, kun ω > ω c. Lause 11. Tulofunktion f(t)g(t) Fourier-muunnos on funktioiden Fouriermuunnosten konvoluutio: F(fg)(ω) = 1 1 (F G)(ω) = 2π 2π F(ν)G(ω ν)dν. 66
Oletus: Signaali taajuusrajoitettu. Näytejonon f(t) = f(t) (t) Fourier-muunnos (kts. lause 11): F( f)(ω) = 1 T k= δ(ω k T ) F(ω) = k= 1 T F(ω k1 T ). Näytejonon Fourier-muunnos 1 T -jaksollinen, l. ω 0-jaksollinen Taajuusalueessa funktio T 1 F(ω) monistetaan jaksolliseksi, jonka monistuskeskuksina ovat taajuudet T k. Laskostuminen: Jos T on liian suuri, ts. T liian pieni, kopiot menevät päällekkäin. = Signaalin käänteismuunnos vääristyy. 2π 67
Ei laskostumista, jos näytteenottoväli T riittävän pieni Jos signaalin kaistanleveys 2W, ts F(ω) = 0, kun ω > W, niin jatkuvan signaalin f(t) Fourier-muunnos saadaan näytteistetyn signaalin Fourier-muunnoksesta kertomalla kopio 2π T F(ω) luvulla 1 ω 0 = T 2π. Jatkuva signaali saadaan käänteismuunnoksella F(ω):sta. 68
Esim. 2. Muodosta signaalien x(t) = sin(2πω 0 (t + T 6 )) ja y(t) = sin(4πω 0 (t + T 6 )), missä ω 0 = T 1 näyttejonot kun näytteenottotaajuus ω T = 3ω 0. Onko signaalit erotettavissa toisistaan näytteiden perusteella? Ratkaisu: Näytteenottotaajuus on 3ω 0 ja näytteenottoväli T 3 = 1 3ω 0 = Näytteenottopisteet: kt 3, k Z. x( kt 3 ) = sin(2πω 0( kt 3 + T 6 )) = sin(π 3 + 2πk 3 ), y( kt 3 ) = sin(4πω 0( kt 3 + T 6 )) = sin(2π 3 + 4πk 3 ) = sin(π 3 4πk 3 ), 69
Koska sin(α) = sin(β), kun α β = 2πm, m Z, niin x( kt 6 ) = sin(π 3 + 2πk 3 ) = sin(π 3 4πk 3 ) = y(kt ), k Z. 3 Näin ollen signaalien näytejonot eivät eroa toisistaan. 70
Funktio on taajuusrajoitettu (kaistarajoitettu): F(ω) = 0, ω > ω c. Kun näyttöönottotaajuus ω T = T 1 on riittävän suuri, niin funktio voidaan rekonstruoida näytteistä täydellisesti. kriittinen näytteenottotaajuus l. Nyquistin taajuus: ω T = 2ω c, missä ω c on suurin signaalissa esiintyvä taajuus. (kaksi näytettä jokaiselta jaksolta). 71
Lause 12 (Shannon-Mclane-Kotelnikov). Olkoon f(t) jatkuva taajuusrajoitettu signaali, missä ω c on korkein esiintyvä taajuus. Tällöin signaalin voidaan yksikäsitteisesti rekonstruoida näytteistä f(kt), missä T = π ω c, ja f(t) = k= f( kπ ω c ) sin(ω ct kπ) (ω c t kπ). 72
Tod.: Oletus: F(ω) = 0, kun ω > ω c. Tällöin f(t) = 1 2π Funktion arvo t = nt: F(ω)eiωt dω = 1 2π ωc ωc ω c F(ω)e iωt dω. f( nt) = ω c π 1 F(ω)e 2πiω 2ωcdω n = ω c 2ω c ω c π d n d n on 2ω c -periodisen funktion F(ω) Fourier-kerroin. F(ω) = T n= f( nt)e 2πin ω 2ωc = T f( nt)e intω. 73
Sijoitus käänteismuunnoksen lausekkeeseen: f(t) = T 2π = T 2π = T 2π = T = T n= n= n= n= k= f( nt) ωc ω c e i(t+nt)ω dω / ωc e i(t+nt)ω f( nt) ω c i(t + nt) [ e iω c (t+nt) e iω c(t+nt) f( nt) i(t + nt) f( nt) sin(ω c(t + nt) π(t + nt) f(kt) sin(ω c(t kt). π(t kt) (merkitään n = k)
1 sinc funktio 0.8 0.6 0.4 f(x) = sin(πx) πx 0.2 0 0.2 0.4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 74
Käänteistulos taajuusalueessa: Aikarajoitetun signaalin taajuusspektri voidaan täydellisesti määrätä sen taajuusnäytteistä taajuuksilla kπ T, k Z: Lause 13. Olkoon f(t) aikarajoitettu signaali, ts. f(t) = 0, kun t > T. Tällöin F(ω) = k= F( kπ kπ) )sin(ωt T (ωt kπ). 75
4.2 Energia ja epätarkkuusperiaate T-jaksollisten funktioiden Fourier-kertoimille oli voimassa Parseval n kaava: T 2 T 2 f(t) 2 = T k= d k 2, Fourier-munnokselle on voimassa analoginen Plancherel n kaava: Lause 14 (Plancherel). Oletetaan, että signaalin energia on äärellinen. Tällöin f(t) 2 dt = F(ω) 2 dω. 76
Tod.: Osoitetaan, että kaikille funktioille f ja g, joiden energiat ovat äärellisiä on voimassa: f(t)g(t)dt = F(ω)G(ω)dω. Sijoitetaan sisätulon integraaliin funktioiden f(t) ja g(t) käänteismuunnokset: f(t)g(t)dt = 1 2π [ F(ω)eiωt dω ] 1 2π [ G(v)e ivt dv ] dt. 77
Integraalit oletetaan itseisesti suppeneviksi, siten voidaan vaihtaa integroimisjärjestyksiä, jolloin saadaan f(t)g(t)dt = 1 [ ] [ ] 4π 2 F(ω)G(v) ω= v= ei(ω v)t dt dωdv = 1 2π = 1 2π F(ω) [ F(ω)G(ω)dω. G(v)δ(v ω)dv } {{ } 2πδ(ω v) ] dω Valitsemalla lauseessa funktion g(t) paikalle f(t) saadaan Plancherel n kaava. 78
Epätarkkuusperiaate Fysikaalisen ilmiön "aikaesitys" f(t) ja "taajuusesitys" F(ω) Jos toinen esityksistä on keskittynyt kapealle kaistalle, niin toinen esityksistä täyttää koko avaruuden. Esimerkiksi impulssin f = δ kaistanleveys on nolla, kun taas sen Fourier-muunnoksen F(ω) = 1 kaistanleveys on ääretön. 79
Kaistanleveys vastaa satunnaisotoksen keskihajontaa. Määritellään kaistanleveyden puolikkaat aika- ja taajuusavaruudessa asettamalla B 2 t = t 2 f(t) 2 dt f(t) 2 dt, B2 ω = (ω) 2 F(ω) 2 dω F(ω) 2 dω. Epätarkkuusperiaate: Jokaiselle funktiolle: B t B ω 1 4. 80
4.4 Lineaariset systeemit Systeemi on fysikaalisen (tai kemiallisen, tai taloudellisen) prosessin matemaattinen malli, joka liittää herätteen f 1 (x) (l. ärsyke tai input) vasteeseen f o (x) (l. reaktio tai output): f o (x) = L(f i (x)). heräte Systeemi vaste 81
Systeemi on lineaarinen, jos kaikilla a, b R. L(af i1 (x) + bf i2 (x)) = al(f i1 (x)) + bl(f i2 (x), Systeemi on aikainvariantti, jos herätettä f i viivästetään τ aikayksikköä, niin vastekin viivästyy τ aikayksikköä, ts. f 0 (x τ) = L(f i (x τ)) Sanallisesti: systeemi on aikainvariantti täsmälleen silloin, kun sen "sisäinen olotila", tapa, jolla se vaikuttaa signaaleihin, ei muutu ajassa. Jos heräte alkaa nyt tai vuoden päästä, niin herätteen vaikutus on täsmälleen sama. 82
Systeemi on kausaalinen, jos vaste on havaittavissa vasta, kun herätekin on olemassa: Jos f i (x) = 0, kun x x 0, niin myös f 0 (x) = 0, kun x x 0. Lopulta lineaarinen systeemi on jatkuva, jos jonkin sopivan funktionormin suhteen on voimassa f o = L(f i ) A f i. Yo. epäyhtälössä herätteen ja vasteen suuruutta mittaavat normit eivät tarvitse olla samoja. 83
Lineaarisen aikainvariantin systeemin vaste jaksolliseen herätteeseen on jaksollinen: L(e iωx ) = k(ω)e iωx. Kompleksinen eksponenttifunktio e iωx on systeemin ominaisfunktio, ja silloin luku k(ω) on värähtelytaajuutta ω vastaava ominaisarvo. 84
Impulssi- ja taajuusvaste Heräte δ(x) = impulssivaste: L(δ(x) = h(t, τ) Systeemi on kausaalinen, jos ja vain jos sen impulssivaste on kausaalinen. Lineaariselle, kausaaliselle ja aikainvariantille systeemille L(δ(x τ)) = h(x τ), ja h(x τ) = 0, kun x τ. 85
Systeemin heräte: f i (x) = δ(x τ)f i (τ)dτ. Silloin lineaarisen aikainvariantin systeemin vaste: f o (x) = L(f i (x)) = L( = δ(x τ)f i(τ)dτ) f i(τ)l(δ(x τ))dτ = f i(τ)h(x τ)dτ vaste = impulssivasteen ja herätteen konvoluutio Systeemin taajuusesitys: F o (ω) = H(ω)F i (ω), Systeemin taajuusvastefunktio, joka on impulssivasteen Fourier-muunnos: H(ω) = F 0(ω) F i (ω). 86
Esim. 3. Määrää RC-piirin impulssi- ja taajuusvaste. 87
Kirchhoffin laki = herätejännite v i (t) = Ri(t) + C 1 t i(τ)dτ ja ulostulojännite: v o (t) = 1 C t i(τ)dτ. Jännitesignaalien Fourier-muunnos: V o (ω) = (R + iωc 1 )I(ω), V i (ω) = iωc 1 I(ω). RC-piirin taajuusvastefunktio: H(ω) = V o(ω) Systeemin impulssivaste: h(t) = 1 RC e t 0, t < 0. RC, t > 0 iωc R+ iωc 1 V i (ω) = 1 = 1 RC 1 1 RC +iω, 88