75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva eli kovergoiva, jos raja-arvo lims o olemassa. Ns. geometrisessa sarjassa sarja seuraava termi saadaa aia kertomalla edellie termi vakiolla. Sarja k1 k1 aq a aq aq o geometrie sarja, joka esimmäie termi o a ja peräkkäiste termie suhdeluku o q. Geometrise sarja osasumma, ku q 1, o
k1 S aq a k1 1q 1q Esimerkki: Tarkastele geometrise sarja k0 osasummaa ja sarja suppeevuutta. Ratkaisu: Kirjoitetaa osasumma k S 1 k0 k ( a = 1 ja q = ) 1 1 1 1 1 1 1 1 Koska 0, ku, silloi ku 1, ii sarja suppeee: 1 lim S, ku 1. 1 Toisaalta sarja selvästi hajaatuu, ku 1. 76 Olemme siis saaeet tulokse k 1, ku 1. 1 k0
77 Sarja suppeemie Milloi sarja suppeee, ts. äärettömä moe termi summa o äärellie? Se, että termit lähestyvät ollaa, ku kasvaa, ei takaa sarja suppeemista. Esimerkiksi s. harmoie sarja ei suppee. 1 1 1 1 1 3 1 Suhdetesti - eräs testi sarja suppeemiselle Olkoo a sellaie positiiviste termie sarja, että raja-arvo a 1 lim q a o olemassa. Silloi - jos q 1, ii sarja suppeee - jos q 1, ii sarja hajaatuu - jos q 1, ii sarja voi supeta tai hajaatua Sarja suppee s. itseisesti, jos a suppeee. Jos suhdetestillä voidaa todeta, että sarja suppeee itseisesti, ii sarja suppeee sellaiseaaki.
Esimerkki: Osoita, että sarja ( 1) 1 1 3 1 1 8 4 suppeee. Ratkaisu: Sarja o s. vuorotteleva sarja, jote esi kaattaa suhdetestillä tarkastella itseistä suppeevuutta: ( 1) 1 1 Tässä sarjassa (ku ) a a 1 1 ( 1)/ 1 1 1 1 1 1 / Suhdetesti mukaa sarja suppeee itseisesti ja ii olle suppeee sellaiseaaki.. 78
79 4. POTENSSISARJAT Edellä todettii, että geometrie sarja fuktiota 1/(1 ), ku 1. esittää Moet fuktiot voidaa esittää s. potessisarjoia a ( 0). 0 Riittää tarkastella tapauksia 0 0, sillä vaihtamalla muuttujaa ' 0 mikä tahasa potessisarja saadaa muotoo 0 a ' Potessisarja suppeemie: Voidaa osoittaa, että o olemassa sellaie luku R 0 (mahdollisesti ), että potessisarja R R ja hajaatuu, ku R. Luku R o s. suppeemissäde. a suppeee itseisesti, ku
Suppeemissätee määräämismeetelmä (suhdetesti): Olkoo sarja a sellaie, että raja-arvo a 1 lim q a o olemassa. Suppeemissäde o silloi 1 R. q Osoitus: Suhdetesti mukaa sarja a suppeee itseisesti jos peräkkäiste termie suhteelle pätee 1 a 1 a 1 lim lim 1. a a Sarja siis suppeee, jos muuttuja toteuttaa ehdo 1 1 1, ts. R a 1 lim a q q Esimerkki: Määritä sarja /! suppeemissäde. Ratkaisu: Tässä a 1! 1 0, a ( 1)! 1 ku Suhdetesti 0 q, jote R, ts. sarja suppeee kaikilla muuttuja arvoilla. 80
Esimerkki: Määritä sarja 1(10 / ) suppeemissäde. Ratkaisu: Tässä a 10 10, a 10 / 1 1/ 1 1 10 /( 1) 1 ku Suhdetesti q 10, jote suppeemissäde o R 1/10. 81 Potessisarjoja voidaa pitää argumettisa fuktioia. Potessisarjafuktioide omiaisuuksia: Suppeemissätee sisällä sarja a esittämä fuktio - o jatkuva - voidaa itegroida itegroimalla sarja termeittäi - voidaa derivoida (mielivaltaise moesti) derivoimalla sarja termeittäi.
Esimerkki: Laske fuktio 1/(1 ) arvo argumeti arvolla 0. a) tarkasti ja b) potessisarjasta ottamalla mukaa kolme esimmäistä termiä. Ratkaisu: 1 1 a) 1.5 10. 0.8 b) 10. (0.) 1.4 0 Esimerkki: a) Derivoi edellise esimerki fuktio ja sitä vastaava potessisarja ja laske tulokse arvo argumeti arvolla 0. a) tarkasti ja b) sarjasta ottamalla mukaa kolme esimmäistä termiä. Ratkaisu: a) Fuktio derivaatta o 1/(1 ) ja sitä vastaava 1 sarja o 1. Huomaa, että sarja alkaa termillä = 1. 1 1 b) 1.565 (1 0.) 0.64 c) 1 1 (0.) (0.) 3 (0.) 1 0 1 10.4 0.1 1.5 8
83 4.3 TAYLORIN SARJAT Olkoo f( ) 0 a potessisarjaa esitetty fuktio. Esimmäie derivaatta suppeemissätee sisällä o Toie derivaatta o d f '( ) a a 0 d 1 1 d f ''( ) a a ( 1) 1 1 d ja yleisesti k:s derivaatta o d f a a k k ( k) k ( ) ( 1) ( 1) k 0 d k k a! ( k)! k Vaihdetaa summausideksiksi m k, jolloi ( mk)! ( k)! f a a ( k) m ( ) mk k m0 m! 0! missä vielä mukavuussyistä m o imetty :ksi.
Toisaalta: Jos tuemme fuktio f ja kaikki se origossa lasketut derivaatat f ) (0), voimme määrittää sitä vastaa- ( k va potessisarja (jos R 0). ( k Derivaatasta f ) ( ) jää origossa jäljelle vai esimmäie termi (0 0 0, ku 0 ja 0 1, kokeile laskimella lim 0.001, esim. (0.001) 0.9931... ) 0 ( k f ) (0) ak! josta potessisarja kerroi saadaa laskemalla ( k f ) (0) ak. k! Jos fuktio kaikki derivaatat ovat olemassa, se voidaa esittää suppeemissätee sisällä s. Taylori sarjaa: ( ) f (0) f( )! 0 Esimerkki: Määritä fuktio f( ) cos Taylori sarja Ratkaisu: f (0) ( ) cos, f (0) (0) 1 f (1) ( ) si, f (1) (0) 0 f () ( ) cos, f () (0) 1 f (3) ( ) si, f (3) (0) 0 k 84
f (4) ( ) cos, f (4) (0) 1 je... Havaitaa, että parittomat derivaatat häviävät ja jäljelle jäävät vai parilliset. Yleie muoto ( ) ( f ( ) ( 1) cos ) f (0) ( 1) Saadaa (0) (1) () f (0) 0 f (0) 1 f (0) cos 0! 1!! (3) (4) f (0) 3 f (0) 4 + 3! 4! 1 1 4 1 ( 1) 4! 0 ( )! Suhdetesti kertoo, että suppeemissäde o ääretö (laske). Täsmeys suhdetestii: Jos fuktio f( ) Taylori sarja o f( ) 0 a suppeemissäteellä R, ii fuktio f( ) Taylori sarja o f( ) 0 a ja se suppeemissäde o R 1/. 85
Osoitus: Sarja f( ) a saadaa edellä esitettyy suhdetesti vaatimaa muotoo sijoituksella y : f( y) ay josta 1 a 1y a 1 1 y y, ku. a y a R Vaatimus o yt, että (1/ R) y 1, josta R eli lopulta 1/ R Tarkastellaa mite Taylori sarja kirjoitetaa joki origista poikkeava pistee a ympäristössä. Määritellää fuktio g site, että g( z) f( z a) ja kehitetää se Taylori sarjaksi origo ympäristössä g( z) g (0) ( ) z. 0! Tässä derivaatat ovat ( ) (0) ( ) ( ) ( ) g f za f ( a ), jote 0 z0 ( ) f ( a) f( z a) g( z) z!. 86
87 Ku tähä sijoitetaa z a, tulee ( ) f ( a) f( ) ( a)! 0 Esimerkki: kehitä fuktio f( ) l Taylori sarjaksi pistee 1 ympäristössä. Ratkaisu: f (0) ( ) l (1) 0 1 f ( ) ( 1) () 1 f ( ) ( 1) (1) (3) 3 f ( ) ( 1) (1 )... ( ) 1 f ( ) ( 1) ( 1)! jote pistee 1 ympäristössä ( 1) l l1 ( 1)! 1 ( 1) ( 1) 1 f (0) (1) 0 (1) 0 f (1) ( 1) 0! () 1 f (1) ( 1) 1! (3) f (1) ( 1)! f (1) ( 1) ( 1)! ( ) 1
Fuktio approksimaatio Kirjoitetaa fuktio f Taylori sarja muotoo ( ) (1) f (0) f( ) f(0) f (0) R ( ),! missä R o s. jääöstermi. O ilmeistä, että jääöstermi o sitä pieempi mitä pieempi o argumetti ja mitä suurempi o. Näi voimme approksimoida fuktioita katkaistuilla Taylori sarjoilla: ( ) (1) f (0) f( ) f(0) f (0),! Approksimaatio o sitä tarkempi mitä suurempi o. Yleisemmässä tapauksessa k ( ) f ( a) f( ) ( a). 0! Katkaistu sarja o sitä tarkempi mitä lähempää argumetti o kehityspistettä a. Esimerkki: Virhefuktio (error fuctio) määritellää t erf ( ) e dt. 0 Se arvo voidaa laskea vai umeerisilla meetelmillä approksimatiivisesti (tosi mielivaltaisella tarkkuudella). Kehitä erf( ) sarjaksi ja laske erf (1) kahde desimaali tarkkuudella. 88
89 Ratkaisu: Ekspoettifuktio sarjakehitelmä o y y e, joka sijoituksella y t saa muodo 0! t ( t ) ( 1) t e. 0! 0! Ku tämä sijoitetaa virhefuktio itegraalii, tulee ( 1) t erf ( ) dt 0 0!, joka voidaa itegroida termeittäi ( 1) erf ( ) t dt 0! 0 1 1 ( 1) t ( 1)! 0 1! 1 0 0 ( 1) Ku 1, erf (1). Numeerisesti: 0 (1)! 0 erf (1) 1.18 1 erf (1) 1 1 3 0.75 1 1 erf (1) 1 3 10 0.865 1 1 1 3 erf (1) 1 3 10 4 0.838 1 1 1 1 4 erf (1) 1 3 10 4 16 0.843 1 1 1 1 1 5 erf (1) 1 3 10 4 16 130 0.843
90