Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.



Samankaltaiset tiedostot
eli optioiden hinnoittelun ja toistamisen taito tai oppi optioiden oikeasta hinnasta Tommi Sottinen

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa.

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti)

Luento 9. June 2, Luento 9

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Valuuttariskit ja johdannaiset

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

Black ja Scholes ilman Gaussia

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

Malliratkaisut Demot

Vihaaja. Itsenäinen ajattelija

Luentorunko 4: Intertemporaaliset valinnat

Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat

Joukot. Georg Cantor ( )

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.


Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Muodolliset kieliopit

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Tässä keskitymme palveluiden kehittämiseen ja niistä viestimiseen jotta osaaminen olisi nähtävissä tuotteena. Aluksi jako neljään.

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Korkolasku ja diskonttaus, L6

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

Todellinen prosentti

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Hanken Svenska handelshögskolan / Hanken School of Economics

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)

Malliratkaisut Demot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

RBS Warrantit NOKIA DAX. SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

SOPIMUSTEN MERKITYS OMISTAJANVAIHDOKSISSA

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Moraalinen uhkapeli: laajennuksia ja sovelluksia

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

Matematiikan tukikurssi

1. Kuinka monella tavalla joukon kaikki alkiot voidaan järjestää jonoksi? Tähän antaa vastauksen: tuloperiaate ja permutaatio

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Kanta ja dimensio 1 / 23

Tietoa hyödykeoptioista

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: /10000=10

TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinaatio, k-kombinaatio

Avaruuden R n aliavaruus

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =

Matematiikan peruskurssi 2

1 Kannat ja kannanvaihto

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

30A02000 Tilastotieteen perusteet

Koodausteoria, Kesä 2014

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki

V ar(m n ) = V ar(x i ).

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Transkriptio:

Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Huomisaamulla, hetkellä t = 1, kohtalon jumalatar Lady Fortuna arpoo satunnaisen alkion joukosta Ω = { alas, ylös } = {0, 1} todennäköisyyksin 90% ja 10%. Hetkellä t = 1 osakkeen S hinta on satunnaismuuttuja ω S 1 (ω). Jos ω = 1, niin osakkeen hinta on 200=C. Jos ω = 0, niin sen hinta on 90=C. Kuvallisesti tilanne on seuraava: S 0 = 100=C S 1 (ω) S 1 (1) = 200=C tn:llä 90% S 1 (0) = 90=C tn:llä 10% Tarkastelemme nyt osakkeeseen S liittyvää osto-optiota (engl. calloption).

Luku 1 Johdatteleva esimerkki 3 Herra K. tarjoaa meille sopimusta, joka oikeuttaa meidät ostamaan osakkeen S hetkellä t = 1 tämän päivän hinnalla 100=C. Jos osakkeen hinta on huomenna suurempi kuin tänään, eli S 1 = 200=C, niin voimme käyttää optiomme ja myydä osakkeen välittömästi markkinoilla. Olemme tällöin tehneet voittoa 200=C 100=C = 100=C. Jos taas osakkeen hinta on huomenna 90=C, niin optiomme on arvoton. Yleisesti optiomme arvo hetkellä t = 1 on siis (S 1 100=C) + := max (S 1 100=C, 0=C). Emme siis voi hävitä ottamalla option vastaan. Herra K. sen sijaan voi hävitä. Jos nimittäin S 1 = 200=C, niin herra K:n tappio on 100=C. Siten herra K. ei luonnollisestikaan tarjoa optiosopimusta ilmaiseksi. Kysymys onkin nyt kuinka paljon herra K. voi vaatia sopimuksesta. Tai yhtä hyvin kuinka paljon me olemme valmiita maksamaan tästä ostooptiosta. Uskottavalta tuntuva vastaus tulee niin sanotun odotusarvoperiaatteen nojalla. Koska voitamme 100=C todennäköisyydellä 90% ja 0=C todennäköisyydellä 10%, niin tuntuisi luonnolliselta maksaa sopimuksesta c op = E [ (S 1 100=C) +] = 100=C 90% + 0=C 10% = 90=C. Tarkastelemme nyt tilannetta herra K:n kannalta. Herra K. on myynyt meille osto-option (S 1 100=C) + ja me olemme maksaneet siitä herra K:lle c op = 90=C. Herra K. ottaa nyt pankista lainaa 10=C ja ostaa yhden osakkeen S. Jos hetkellä t = 1 osakkeen hinta on laskenut eli S 1 = 90=C, niin optiomme on arvoton ja herra K. voi myydä osakkeensa hintaan 90=C. Maksettuaan 10=C velkansa pankkiin herra K:lle jää voittoa 90=C 10=C = 80=C. Herra K. on iloinen. Jos taas osakkeen hinta nousee, niin lunastamme optiomme. Herra K. siis luopuu osakkeestaan hinnalla 100=C. Maksettuaan velkansa pankkiin herra K:lle jää voittoa 100=C 10=C = 90=C. Herra K. on iloinen. Tapahtui siis mitä tahansa herra K. on saanut voittoa vähintään 80=C. Herra K. on siis saanut ilman mitään pääomaa täysin riskittömästi voittoa.

Luku 1 Johdatteleva esimerkki 4 1.1 Huomautus. Tilannetta jossa voi ilman pääomaa saada riskitöntä voittoa kutsutaan arbitraasiksimahdollisuudeksi. Edellisen perusteella on selvää, että odotusarvoperiaatteen antama hinta c op on liian korkea. Erityisesti se ei voi olla osto-option todellinen hinta markkinoilla ainakaan kovin pitkään, sillä lopulta kaikki haluaisivat arbitraasin toivossa myydä osto-optioita eikä kukaan haluasi ostaa niitä. Niinpä kysynnän ja tarjonnan laki laskee osto-option hintaa lopulta. Tarkastelemme nyt tilannetta tasapainoiselta kannalta. Johdamme osto-option (S 1 100=C) + hinnan niin sanotun suojausperiaatteen nojalla. Oletamme, että osto-optiolla on jokin hinta c. Herra K. sijoittaa saamansa pääoman c osakkeeseen S ja jonkin verran hän laittaa pankkiin, tai mahdollisesti ottaa lainaa. Olkoon β pankkitalletuksen lukumäärä ja γ osakkeinen lukumäärä. Koska herra K:n alkupääoma on osto-option myynnistä saatu c, niin c = β=c + γs 0 Hetkellä t = 1 herra K. haluaa suojata (engl. hedge) osto-option. Toisin sanoen hän haluaa, että hänen varallisuutensa hetkellä t = 1 on juuri saman arvoinen kuin osto-optio. Siis (1.2) β=c + γs 1 (ω) = (S 1 (ω) 100=C) +. Koska mahdollisia maailmantiloja on kaksi, 1 ja 0, niin ehto (1.2) redusoituu yhtälöpariksi β=c + γ 200=C = 100=C, β=c + γ 90=C = 0=C. Tämä kahden muuttujan yhtälöpari on helppo ratkaista (ja ratkaisu on tunnetusti yksikäsitteinen). Saamme β = 90 11, γ = 10 11.

Luku 1 Johdatteleva esimerkki 5 Siten siis herra K. pystyy suojaamaan osto-option jos ja vain jos hänen saamansa alkupääoma riittää ostamaan parin (β, γ) eli c c sp := 90 11 = C + 10 11 100 =C = 81, 91=C. Edellisen perusteella herra K. suostuu siis myymään osto-option millä tahansa hinnalla c c sp, koska tällöin hänelle ei tule tappiota tulevaisuudessa kävi osakkeen hinnalle mitä tahansa. Toisaalta meidän ei kannata maksaa osto-optiosta enemäpää kuin c sp, koska hinnalla c sp voimme toistaa (engl. replicate) osto-option samalla tavalla kuin herra K. Olemme siis päätyneet siihen, että osto-option (S 1 100=C) + oikea tai tasapuolinen hinta on c sp = 81, 91=C. 1.3 Huomautus. Suojaushinta c sp on täysin riippumaton maailmantilojen 1 = ylös ja 0 = alas, eli tapahtumien {S 1 = 200=C} ja {S 1 = 90=C}, todennäköisyyksistä. 1.4 Huomautus. Tästä eteenpäin emme jaksa kirjoitella =C-merkkejä. Yhden osakkeen ja kahden tilan koroton malli Yleisesti edellä kuvattu kahden tilan ja yhden osakkeen (koroton) malli on seuraava: S 0 > 0 on osakkeen hinta tänään, joka on deterministinen. Huominen hinta S 1 on satunnaismuuttuja todennäköisyysavaruudelta (Ω, F, P), missä Ω = { alas, ylös } = {0, 1}, σ-algebra F sisältää kaikki Ω:n osajoukot ja todennäköisyysmitta P määräytyy luvusta p (0, 1) siten, että P({1}) = p, P({0}) = 1 p.

Luku 1 Johdatteleva esimerkki 6 Kuvallisesti osakkeen S kehitys on seuraava S 0 S 1 (ω) S 1 (1) = S 0 (1 + u) tn:llä p S 1 (0) = S 0 (1 + d) tn:llä 1 p, missä d = alas < 0 < u = ylös. Toisin sanoen osakkeen S suhteellinen muutos eli tuotto (engl. return) R 1 := S 1 S 0 := S 1 S 0 S 0 saa arvot d ja u maailmantiloissa alas ja ylös. Seuraava väite antaa yleisen osto-option (S 1 K) +, joka siis antaa oikeuden ostaa osakkeen S huomenna hinnalla K, suojaushinnan tässä mallissa. 1.5 Väite. Olkoon S 0 (1 + d) < K < S 0 (1 + u). Osto-option (S 1 K) + tasapuolinen hinta yhden askeleen ja kahden tilan mallissa on (1.6) c sp = Todistus. Harjoitustehtävä. d ( ) (1 + u)s 0 K. u d 1.7 Huomautus. Mikäli d = u = 0, niin malli on tylsä. Jos taas d > 0 niin malli on hinnoittelun kannalta hassu. Nimittäin tällöin kaavan (1.6) antama hinta on negatiivinen. Syy tähän on se, että nyt mallissa on arbitraasia.