Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36)

Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 2/40 luentokalvot_03_combined.pdf (2/40)

Konseptitesti 1 Kysymys Henkilö on aluksi pisteessä P. Hetken kuluttua hän siirtyy akselia pitkin pisteeseen Q ja viipyy siellä hetken. Tämän jälkeen hän juoksee nopeasti pisteeseen R, odottaa hetken ja kävelee hitaasti takaisin pisteeseen P. Mikä alla olevista sijainti vs. aika -kuvaajista kuvaa henkilön liikettä? 0 Q R P 1 2 3 4 2015-09-14 13:50:32 3/40 luentokalvot_03_combined.pdf (3/40)

Konseptitesti 2 Kysymys x-akselia pitkin kulkevan kappaleen sijaintia kuvaa funktio x(t) =(5.0ms 1 )t (10.0ms 2 )t 2 +(4.0ms 3 )t 3 Mikä on kappaleen liiketila, kun t = 1.0s? 1. Se liikkuu kiihdyttäen 2. Se liikkuu jarruttaen 3. Se liikkuu vakionopeudella 4. Se on hetkellisesti paikallaan 5. Annettu informaatio ei riitä 2015-09-14 13:50:32 4/40 luentokalvot_03_combined.pdf (4/40)

Konseptitesti 2 Kysymys x-akselia pitkin kulkevan kappaleen sijaintia kuvaa funktio x(t) =(5.0ms 1 )t (10.0ms 2 )t 2 +(4.0ms 3 )t 3 Mikä on kappaleen liiketila, kun t = 1.0s? 1. Se liikkuu kiihdyttäen 2. Se liikkuu jarruttaen 3. Se liikkuu vakionopeudella 4. Se on hetkellisesti paikallaan 5. Annettu informaatio ei riitä 2015-09-14 13:50:33 5/40 luentokalvot_03_combined.pdf (5/40)

Paikkavektori Hiukkanen pisteessä P Sen paikkavektori r tarkastelukoordinaatiston origosta on r = xî + yĵ + z ˆk z x ~r P ~z ~y ~x y 2015-09-14 13:50:33 7/40 luentokalvot_03_combined.pdf (7/40)

Nopeus Kappaleella paikkavektorit ~r 1 ja ~r 2 ajanhetkillä t 1 ja t 2 Keskimääräinen nopeusvektori z v ave = r 2 r 1 t 2 t 1 = r t x ~r 2 ~r 1 ~r y Hetkellinen nopeusvektori raja-arvo, kun t! 0 ~v = lim t!0 ~r t = d ~r dt 2015-09-14 13:50:33 8/40 luentokalvot_03_combined.pdf (8/40)

Nopeus komponenttimuodossa Hiukkasen paikkavektorin komponenteista saadaan d~r dt = d dt v = v x î + v y ĵ + v z ˆk = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)ˆk = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk z Nopeuden itseisarvo eli vauhti edelleen q v = v = vx 2 + vy 2 + vz 2 x ~v ~v z ~v y ~v x y 2015-09-14 13:50:33 9/40 luentokalvot_03_combined.pdf (9/40)

Kiihtyvyys Kiihtyvyys vaikuttaa vauhtiin ja nopeusvektorin suuntaan Keskimääräinen ja hetkellinen kiihtyvyysvektori: a ave = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Komponenttimuodossaan =) a = lim t!0 v t = dv dt a x = dv x dt, ja kiihtyvyyden itseisarvo a = a = a y = dv y dt, a z = dv z dt q a 2 x + a 2 y + a 2 z 2015-09-14 13:50:33 10/40 luentokalvot_03_combined.pdf (10/40)

Kiihtyvyys paikkavektorista Nopeus paikkavektorin derivaatta, joten a = d ~v dt = d 2 ~r dt 2 Vastaavasti komponenttimuodossa a x = d 2 x dt 2, a y = d 2 y dt 2, a z = d 2 z dt 2 2015-09-14 13:50:33 11/40 luentokalvot_03_combined.pdf (11/40)

Tangentti- ja normaalikomponentit Kiihtyvyysvektori ~a voidaan jakaa nopeusvektorin ~v suuntaiseen (~a T ) ja kohtisuoraan komponenttiin (~a N ) Tangentiaalikomponentti ~a T vaikuttaa ainoastaan hiukkasen vauhtiin (nopeuden itseisarvoon) Normaalikomponentti ~a N vaikuttaa ainoastaan hiukkasen nopeusvektorin suuntaan Normaalikomponentin suunta on aina ratakäyrän koveralle ("sisä-") puolelle 2015-09-14 13:50:33 12/40 luentokalvot_03_combined.pdf (12/40)

Esimerkki Olkoon tasossa liikkuvan hiukkasen koordinaatit ajan funktiona x = A Bt 2 ja y = Ct + Dt 3. Laske hiukkasen a) nopeus, b) kiihtyvyys ja c) kiihtyvyyden tangentiaali- ja normaalikomponentit hetkellä t = 0 Ratkaisu ~r = xî + yĵ a) ~v = d ~r dt = 2Btî + C + 3Dt 2 ĵ b) ~a = d ~v dt = 2Bî + 6Dtĵ c) ~v(t = 0) =Cĵ ~a(t = 0) = 2Bî =) ( ~ a T = 0 ~a N = 2Bî 2015-09-14 13:50:34 13/40 luentokalvot_03_combined.pdf (13/40)

Konseptitesti 3 Kysymys Sotalaivasta ammutaan yhtäaikaisesti kaksi ammusta vihollislaivoja kohti. Jos ammukset kulkevat paraabeliradalla, kumpaan laivaan osutaan ensiksi? 1. Laivaan A 2. Yhtäaikaa molempiin 3. Laivaan B 4. Tarvitaan lisää tietoa A B 2015-09-14 13:50:34 15/40 luentokalvot_03_combined.pdf (15/40)

Konseptitesti 3 Kysymys Sotalaivasta ammutaan yhtäaikaisesti kaksi ammusta vihollislaivoja kohti. Jos ammukset kulkevat paraabeliradalla, kumpaan laivaan osutaan ensiksi? 1. Laivaan A 2. Yhtäaikaa molempiin 3. Laivaan B 4. Tarvitaan lisää tietoa A B 2015-09-14 13:50:34 16/40 luentokalvot_03_combined.pdf (16/40)

Heittoliike Kertausta lukiosta Tärkeä erikoistapaus tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä on heittoliike (projectile motion) lähellä maan pintaa Kun vastusvoimat jätetään huomiotta, hiukkaseen vaikuttaa ainoastaan maan vetovoiman kiihtyvyys ~g Sekä pysty- (y) että vaakasuuntaiseen (x) liikkeeseen voidaan erikseen soveltaa tasaisen kiihtyvyyden yhtälöitä a x = 0 a y = g Mikäli alkunopeusvektori ~v tunnetaan, liike on täysin määrätty 2015-09-14 13:50:34 17/40 luentokalvot_03_combined.pdf (17/40)

Heittoliikkeen yhtälöt Heitetään hiukkanen maan pinnalta Alkunopeus ~v 0 Lähtökulma 0 maan pintaan nähden Vakiokiihtyvyyden yhtälöistä saadaan nopeuden ja paikan komponentit ajan hetkellä t ( ( v x = v 0x x = x 0 + v 0x t =) 1 v y = v 0y gt y = y 0 + v 0y t 2 gt2 missä alkunopeuden komponentit ovat v 0x = v 0 cos 0 ja v 0y = v 0 sin 0 2015-09-14 13:50:34 18/40 luentokalvot_03_combined.pdf (18/40)

Ratakäyrä heittoliikkeessä Valitaan koordinaatisto siten, että x 0 = y 0 = 0. Eliminoimalla aika t saadaan ratkaistua hiukkasen ratakäyrä x = v 0x t =) t = y = v 0y h x v 0x i y = x tan 0 x v 0x 1 h x i 2 2 g =) v 0x g 2v0 2 x 2 cos2 0 2015-09-14 13:50:34 19/40 luentokalvot_03_combined.pdf (19/40)

Esimerkki Laske lentoradan a) maksimikorkeus ja b) kappaleen lentämä matka heittoliikkeessä a) Lakipisteessä v y = 0 = v 0y gt =) t = v 0y /g. y = y 0 + v 0y t h = 1 2 h v 2 0y g i 1 2 gt2 =) h = y y 0 = v0y 2 g 1 h v 2 i 2 g 0y g 2 b) y = y 0 =) y y 0 = v 0y t 1 2 gt2 = 0 =) t = 2v 0y g R = x = v 0 sin 2 0 g x 0 = v 0x t = 2v 0xv 0y g. = 2v 0 cos 0 sin 0 g 2015-09-14 13:50:34 20/40 luentokalvot_03_combined.pdf (20/40)

Kuva 2015-09-14 13:50:35 21/40 luentokalvot_03_combined.pdf (21/40)

Ympyräliike Tärkeä erikoistapaus heittoliikkeestä on ympyräliike Tarkastellaan ensin tasaista ympyräliikettä (uniform circular motion) Hiukkasella vakiovauhti v Liikerata ympyränmuotoinen Nopeusvektori ympyrän tangentin suuntainen Kiihtyvyys kohti ympyrän keskipistettä Kiihtyvyydellä ei tangentiaalista komponenttia 2015-09-14 13:50:35 23/40 luentokalvot_03_combined.pdf (23/40)

Kiihtyvyys tasaisessa ympyräliikkeessä Yhdenmuotoisista kolmioista ~v v 1 = s R =) ~v = v 1 R s. Keskimääräinen kiihtyvyys a av = v t = v 1 R s t R ~v 1 P 1 s P 2 ' R ~v 1 ~v 2 Hetkellinen kiihtyvyys a = lim t!0 v 1 R s t = v 2 1 R ' ~v 2 ~v 2015-09-14 13:50:35 24/40 luentokalvot_03_combined.pdf (24/40)

Keskihakukiihtyvyys ja jaksonaika P 1 voi olla mikä piste tahansa =) a = a N = a rad = v 2 R, jota kutsutaan keskihakukiihtyvyydeksi (centripetal acceleration) Jaksonaika (period) T (tai P) tarkoittaa yhteen kierrokseen tarvittavaa aikaa. Keskihakukiihtyvyys jaksonajan avulla esitettynä on a rad = v 2 2 R R = T 2 1 R = 4 2 R T 2015-09-14 13:50:35 25/40 luentokalvot_03_combined.pdf (25/40)

Yleinen ympyräliike Yleisessä ympyräliikkeessä (non-uniform circular motion) hiukkasen vauhti v = ~v ei vakio Jaetaan kiihtyvyysvektori tangentiaaliseen ja normaalikomponenttiin (radan suhteen... ) Tangentiaalikomponentti muuttaa hiukkasen vauhtia ja normaalikomponentti nopeuden suuntaa a rad = v 2 R ja a T = a tan = dv dt 2015-09-14 13:50:35 26/40 luentokalvot_03_combined.pdf (26/40)

Yleinen käyräviivainen liike Hiukkasen vauhti ~v ja radan kaarevuussäde R eivät vakioita Jaetaan kiihtyvyysvektori voidaan jakaa silti tangentiaali- ja normaalikomponentteihin Tangentiaalikomponentti muuttaa hiukkasen vauhtia ja normaalikomponentti suuntaa Normaalikiihtyvyyden yhtälössä radan kaarevuussäde R korvataan :lla, joka riippuu sijainnista ratakäyrällä, eikä siis ole vakio a rad = v 2 ja a T = a tan = dv dt Seuraus: jos hiukkasen radan paikallinen kaarevuussäde ja paikallinen vauhti tunnetaan, päästään sen kokemaan kiihtyvyyteen ja päinvastoin: kiihtyvyyden perusteella voidaan määrittää hiukkasen radan paikallinen kaarevuussäde =) ratatehtävät 2015-09-14 13:50:35 27/40 luentokalvot_03_combined.pdf (27/40)

Kulmamuuttujat,! ja Jäykkä kappale (rigid body) = kappale, jolla tietty muuttumaton koko ja muoto Jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri Akseli on levossa (jossakin) inertiaalikoordinaatistossa O y r P x s Kulma (janan OP ja x-akselin välinen kulma) mitataan radiaaneissa = Ympyräradan kaaren pituus jaettuna ympyrän säteellä Kulman yksikkö 1 rad = 360 /2 2015-09-14 13:50:35 29/40 luentokalvot_03_combined.pdf (29/40)

Kulmanopeus ja -kiihtyvyys Keskimääräinen ja hetkellinen kulmanopeus! ave = 2 1 t 2 t 1 = t ;! = lim t!0 t = d dt Keskimääräinen ja hetkellinen kulmakiihtyvyys ave =! 2! 1 t 2 t 1 =! t ; = lim t!0! t = d! dt 2015-09-14 13:50:36 30/40 luentokalvot_03_combined.pdf (30/40)

Pyörimisliikkeen vektorisuureet Kulmanopeusvektori ~! Kohtisuorassa pyörimisliikkeen tasoa vastaan Suunta määrätään oikean käden säännöllä!, > 0 Kulmakiihtyvyysvektori ~! Samansuuntainen kuin ~! jos > 0 Vastakkaissuuntainen jos < 0 2015-09-14 13:50:36 31/40 luentokalvot_03_combined.pdf (31/40)

Esimerkki Renkaan säde olkoon r = 0.36 m ja erään pisteen kulmakoordinaatti ajan funktiona = t 3, missä = 2.0 rad s 3. Laske pisteen a) kulmanopeus, b) kulmakiihtyvyys ja c) kuljettu matka, kun t = 2 s. 2015-09-14 13:50:36 32/40 luentokalvot_03_combined.pdf (32/40)

Ratkaisu a)! = d dt = 3 t 2 = 24 rad s 1 b) = d dt = 6 t = 24 rad s 2 c) = s r =) s = r = r t 3 = 5.8m 2015-09-14 13:50:36 33/40 luentokalvot_03_combined.pdf (33/40)

Tasainen kulmakiihtyvyys Vakio- Kulmakiihtyvyyden määritelmästä = d! dt = vakio =) Z!! 0 d! = Z t 0 dt =)! =! 0 + t Toisaalta! = d dt =) Z 0 d = Z t 0!dt = Z t 0 (! 0 + t)dt =) = 0 +! 0 t + 1 2 t2 2015-09-14 13:50:36 34/40 luentokalvot_03_combined.pdf (34/40)

Tasainen kulmakiihtyvyys - jatkoa Eliminoidaan aika: t =(!! 0 )/, jolloin!! 0 = 0 +! 0 + 1 h! 2!0!! 0 2 = 0 +! 0 + 1! 2 2 = 0 + 1! 2 1! 0 2 2 2 i 2! 0! + 1 2 Samanlainen ajasta eksplisiittisesti riippumaton yhtälö kuin mikä saatiin translaatioliikkeellekin! 2 0 2015-09-14 13:50:36 35/40 luentokalvot_03_combined.pdf (35/40)

Translaatio- ja rotaatioliikkeen yhteys Pisteen paikka ympyrän kaarella s = r Pisteen nopeus v = ds = r d = r! dt dt Pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys a T = dv = r d! = r dt dt Kiihtyvyyden normaalikomponentti ja itseisarvo a N = v 2 r = r! 2, a = q a 2 T + a2 N y r O v, a T a N P x s 2015-09-14 13:50:36 36/40 luentokalvot_03_combined.pdf (36/40)

Analogiat Pyörimisliikkeen yhtälöt tasaisella kulmakiihtyvyydellä samanmuotoiset kuin tasaisella kiihtyvyydellä translaatioliikkeessä Esimerkki fysiikassa esiintyvistä analogioista: sama matemaattinen malli pätee erilaisiin fysikaalisiin ongelmiin 2015-09-14 13:50:36 37/40 luentokalvot_03_combined.pdf (37/40)

Yhdistetty translaatio- ja pyörimisliike = Massakeskipisteen etenemisliikkeenä + massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri tapahtuva pyörimisliike Liikeyhtälöt vastaavat kuin erikseen etenemis- ja pyörimisliikkeessä Edellyttää Pyörimisakseli on symmetria-akseli Akseli ei muuta suuntaansa liikkeen aikana 2015-09-14 13:50:36 39/40 luentokalvot_03_combined.pdf (39/40)

Vieriminen liukumatta Esimerkki yhdistetystä etenemis- ja pyörimisliikkeestä Kappaleen tukipintaa koskettava piste ei liiku suhteessa pintaan Toisaalta hetkellisesti kappale pyörii aina kosketuspisteensä ympäri Kappaleen kulmanopeuden ja etenemisnopeuden välillä yhteys v CM = R! Palataan yhdistetyn liikkeen analyysiin hitausmomentin yhteydessä + = 2015-09-14 13:50:37 40/40 luentokalvot_03_combined.pdf (40/40)