Luku 13 Vaihtovirrat 13.1 Sinimuotoinen vaihtojännite Vaihtojännitegeneraattorin toimintaperiaate on esitetty kappaleessa 10.7. Sen perusteella homogeenisessa magneettikentässä pyörivään johdinsilmukkaan indusoituva sinimuotoinen vaihtojännite voidaan kirjoittaa muotoon U = U 0 cos ωt. (13.1) Koska ajan nollakohta voidaan valita vapaasti, kosinin sijasta voidaan käyttä siniä tai kosinin sisälle voidaan listätä mielivaltainen vaihekulma. Jännitteen maksimiarvosta U 0 käytetään nimitystä amplitudi ja argumentista ωt nimitystä vaihe. U 0 amplitudi t periodi Kuva 13.1: Sinimuotoinen vaihtojännite. Sinimuotoinen vaihtojännite on jaksollinen ajan funktio. Sen jakson pituus eli periodi T määräytyy siitä, että jännite saa saman arvon, kun aika muuttuu periodin verran; siis cos ωt = cos[ω(t + T )]. Koska kosinifunktion jakso on 2π, on tämän perusteella ωt = 2π, joten c Tuomo Nygrén, 2010 T = 2π ω. (13.2) 145
146 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT Jos kahdella ajanhetkellä t 1 ja t 2 on voimassa ωt 1 = ωt 2 + n 2π, missä n on kokonaisluku, sanotaan vaiheita ωt 1 ja ωt 2 samoiksi. Periodin T käänteisarvo ν = 1 T = ω 2π on jännitteen taajuus. Taajuuden yksikkö [ν] = Hz = 1/s. 13.2 Resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi vaihtovirtapiirissä Vaihtojännitelähteessä on kaksi napaa, esimerkiksi kuvassa 13.2 navat a ja b. Kun vaihtojännitteen esitystä (13.1) sovelletaan, on määriteltävä, kummin päin mitattu jännite on positiivinen. Valitsemalla ajan nollakohta sopivasti voidaan kuvan 13.2 tapauksessa määritellä esimerkiksi, että U = φ a φ b = U 0 cos ωt. (13.3) Jos samalle jännitelähteelle käytettäisiin päinvastaista määrittelyä ja samaa ajan nollakohtaa, olisi vaihtojännite U = φ b φ a = U 0 cos ωt. (13.4) Sovitaan, että kuvan 13.2 tapauksessa käytetään määrittelyä (13.3). Seuraavaksi huomataan, että vastuksen läpi kulkevan virran suunta vaihtelee. On käytännöllistä määritellä positiivinen virran suunta siten, että positiivinen jännite aiheuttaa positiivisen virran. Silloin virta kuvan 13.2 tapauksessa kulkee vastuksen läpi päästä c päähän d kun jännitelähteen jännite on positiivinen (navan a potentiaali suurempi kuin navan b potentiaali) ja voimassa on Ohmin laki samassa muodossa kuin tasavirralle. Siis vastuksen läpi kulkee joka hetki virta I = U R = U 0 R cos ωt = I 0 cos ωt. (13.5) a b c ~ U R d t U I Kuva 13.2: Vastus kytkettynä vaihtojännitelähteeseen.
13.2. RESISTANSSI, KAPASITANSSI JA INDUKTANSSI VAIHTOVIRTAPIIRISSÄ147 a b c ~ U C d t U I Kuva 13.3: Kondensaattori kytkettynä vaihtojännitelähteeseen. Syntyy siis kuvan 13.2 mukainen vaihtovirta, joka on samassa vaiheessa jännitteen kanssa. Virran amplitudi on jännitteen amplitudin ja vastuksen resistanssin suhde. Kuvassa 13.3 vaihtojännitelähteeseen on kytketty kondensaattori, jonka kapasitanssi on C. Sähköstatikassa kondensaattorin jännite määriteltiin korkeammassa ja matalammassa potentiaalissa olevien levyjen potentiaalien erotuksena, jolloin se oli aina positiivinen. Tällöin kaavan q = CU perusteella kondensaattorin varaus on myös positiivinen; ts. kondensaattorin positiivisesti varatun levyn varausta kutsutaan kondensaattorin varaukseksi. Vaihtojännitteen tapauksessa tilanne on toisenlainen, sillä sama kondensaattorilevy saa vuoroin positiivisen, vuoroin negatiivisen varauksen. Tällöin kondensaattorin varaukseksi on määriteltävä jomman kumman levyn varaus. Määrittely tehdään siten, että vaihtovirran tapauksessa on joka hetki voimassa yhtälö U = q C. (13.6) Tämä yhtälö on muuten sama kuin sähköstatiikassa, mutta varaus saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja sen mukaan, onko vaihtojännite positiivinen vai negatiivinen. Jos kuvan 13.3 tapauksessa on käytetty vaihtojännitteen määritelmää U = φ a φ b, on q yhtälössä (13.6) kondensaattorilevyn c varaus. Derivoimalla yhtälö (13.6) ajan suhteen saadaan du dt = 1 C dq dt = I C. (13.7) Tässä on virran suunta määritelty siten, että positiivinen virta kasvattaa levyn c varausta, ts. positiivisen virran suunta on a c d b. Kun jännite on muotoa (13.3), on virta siis I = C du ( dt = ωcu 0 sin ωt = ωcu 0 cos ωt + π ). (13.8) 2 Tästä nähdään, että kondensaattorin virta ja jännite eivät ole samassa vaiheessa, vaan virta on jännitettä vaihe-eron π/2 verran edellä. Tämä tarkoittaa sitä, että, jännitteen ja virran vaiheet ovat samat eri ajanhetkillä: hetkellä t jännitten vaihe on ωt ja virta saa saman vaiheen hetkellä t, jolle on voimassa ωt + π/2 = ωt. Tästä ratkaistuna t = t π/(2ω), joten t on aikaisempi ajanhetki kuin t.
148 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT a ~ U L b c d I t U Kuva 13.4: Kela kytkettynä vaihtojännitelähteeseen. Virran amplitudin arvo saadaan jakamalla jännitteen amplitudi suureella 1/(ωC). Tämä siis vastaa resistanssia yhtälössä (13.5). Sillä on resistanssin yksikkö ja sitä kutsutaan kondensaattorin (reaaliseksi) impedanssiksi. Toisin kuin resistanssi, impedanssi riippuu taajuudesta ja se pienenee taajuuden kasvaessa. Kuvassa 13.4 on vaihtojännitelähde kytketty kelaan, jonka induktanssi on L. Myös tässä tapauksessa määritellään virta siten, että navasta a lähtevä virta on positiivinen (jännite on valittu positiiviseksi silloin, kun a:n potentiaali on suurempi kuin b:n potentiaali). Tällöin kelaan indusoitunut jännite on LdI/dt. Piirin ympäri laskettu potentiaalin muutos on joten Integroimalla tämä saadaan U L di dt = 0, (13.9) U = U 0 cos ωt = L di dt. (13.10) I = U 0 ωl sin ωt = U 0 cos(ωt π/2). (13.11) ωl Virta on siis π/2:n verran jäljessä jännitteestä ja resistanssia R vastaava suure on (reaalinen) impedanssi ωl. Kelan impedanssikin on siis taajuudesta riippuva, mutta päinvastoin kuin kondensaattorin impedanssi, se kasvaa taajuuden funktiona. 13.3 Vaihtovirtojen kompleksilukuesitys Osoittautuu, että vaihtovirtojen teoria helpottuu homattavasti, jos käytetään reaalisten jännitteiden ja virtojen sijasta kompleksisia suureita. Tämä johtuu siitä, että eksponenttifunktion käsittely on usein paljon helpompaa kuin sini- ja kosinifunktioiden käsittely. Kompleksilukujen käyttö perustuu Eulerin kaavaan exp(iωt) = cos(ωt) + i sin(ωt).
13.3. VAIHTOVIRTOJEN KOMPLEKSILUKUESITYS 149 Lisäksi mikä tahansa kompleksiluku voidaan esittää luvun normin ja kompleksisen eksponenttifunktion tulona. Tämä johtaa siihen, että virtojen ja jännitteiden välisten vaihe-erojen tutkiminen yksinkertaistuu huomattavasti. Kompleksisia jännitteitä ja virtoja merkitään tässä esityksessä vektoreilla. Tämä siksi, että kompleksiluku voidaan tulkita vektoriksi kompleksitasossa. Kuitenkaan näillä vektoreilla ei lasketa piste- ja ristituloja, vaan kertominen tapahtuu normaalilla tavalla. Jos siis kaksi kompleksilukua ovat c 1 = c r1 + ic i1 = c 1 exp(iθ 1 ) ja c 2 = c r2 + ic i2 = c 2 exp(iθ 2 ), on niiden tulo c 1 c 2 = (c r1 c r2 c i1 c i2 ) + i(c r1 c i2 + c i1 c r2 ) = c 1 c 2 exp[i(θ 1 + θ 2 )]. (13.12) Määritellään kompleksinen vaihtojännite U yhtälöllä U = U 0 exp(iωt) = U 0 [cos(ωt) + i sin(ωt)]. (13.13) Tästä nähdään, että kompleksisen jännitteen reaali- ja imaginaariosat ovat sinimuotoisia vaihtojännitteitä, joiden välillä on π/2:n suuruinen vaihe-ero. Tuloksena on, että jännitevektori pyörii kompleksitasossa positiiviseen kiertosuuntaan kulmanopeudella ω kuten kuvassa 13.5 on esitetty. Yhtälöstä (13.13) havaitaan, että jännitteen kompleksiesitys pitää sisällään kaksi reaalista vaihtojännitettä, joista toinen on reaaliosana ja toinen imaginaariosana. Kaikissa yhteenlaskuissa imaginaariyksikkö huolehtii siitä, että reaali- ja imaginaariosat pysyvät erillään. Näinollen voimme sopia käytännön, jonka mukaan todellinen vaihtojännite (tai virta) on kompleksisen jännitteen (tai virran) reaaliosa. Kompleksiluvuilla suoritetuissa laskuissa imaginaariosat kulkevat automaattisesti mukana, mutta niihin ei tarvitse kiinnittää erityistä huomiota; vain lopputuloksen reaaliosalla on merkitystä. Tämän sopimuksen puitteissa reaalinen vaihtojännite on kompleksisen jännitteen (13.13) reaaliosa, eli U(t) = Re(U) = Re[U 0 (cos ωt + i sin ωt)] = U 0 cos ωt. (13.14) Historiallisista syistä kompleksista jännitevektoria nimitetään vieläkin joskus osoittimeksi ja kuvaa, jossa se on piirretty kompleksitasoon, sanotaan osoitindiagrammiksi. imaginaariakseli U 0!!t U 0 cos!t U 0 sin!t reaaliakseli Kuva 13.5: Vaihtojännitteen kompleksiesitys.
150 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT imaginaariakseli I 0!!t I 0 cos!t I 0 sin!t R reaaliakseli Kuva 13.6: Vastuksen läpi kulkeva kompleksinen virta ja resistanssi. Tämä nimitys on peräisin ajalta, jolloin insinöörit eivät hallinneet kompleksilukuja, eikä sen käytölle nykyisin ole mitään perusteita. Kun kompleksinen jännite on määritelty yhtälöllä (13.13), voidaan vaihtovirta helposti esittää kompleksisen virran avulla. Vastuksen läpi kulkeva virta saadaan korvaamalla yhtälössä (13.5) esiintyvä jännite kompleksisella jännitteellä. Siis I = U R = U 0 R exp(iωt) = I 0 exp(iωt). (13.15) Kuvassa 13.6 esitetty kompleksinen virta on saatu kuvan 13.5 kompleksisesta jännitteestä jakamalla se resistanssilla R. Kannattaa huomata, että resistanssia voidaan pitää kompleksitason vektorina, jonka kärki on reaaliakselilla. Reaaliluvun vaihekulma kompleksiesityksessä on nolla, ja sen vuoksi jännitteen jakaminen resistanssilla yhtälön (13.15) mukaisesti ei muuta vaihekulmaa. Tuloksena on, että virta ja jännite ovat samassa vaiheessa. Reaaliseksi virraksi saadaan missä I = Re(I) = U 0 R cos ωt = I 0 cos ωt, (13.16) I 0 = U 0 (13.17) R on virran amplitudi. Koska derivaatta on lineaarinen operaattori, on kompleksiluvun derivaatan reaaliosa sama kuin reaaliosan derivaatta ja imaginaariosa sama kuin imaginaariosan derivaatta. Tästä seuraa, että yhtälö (13.7) voidaan kirjoittaa kompleksiselle jännitteelle ja virralle; nimittäin kompleksisen yhtälön reaaliosa tuottaa yhtälön (13.7). Näinollen kompleksinen virta on mistä I = C du dt = CU de iωt 0 dt U = = iωc U 0 e iωt = iωcu, (13.18) I iωc = i I. (13.19) ωc
13.3. VAIHTOVIRTOJEN KOMPLEKSILUKUESITYS 151 imaginaariakseli I U!t Z c reaaliakseli Kuva 13.7: Kompleksinen virta, jännite ja impedanssi kondensaattorissa. Tässä yhtälössä esiintyvä suure Z C = i ωc = 1 ωc e iπ/2. (13.20) on kondensaattorin kompleksinen impedanssi, jonka avulla yhtälö (13.19) voidaan kirjoittaa muotoon U = Z C I. (13.21) Tämä on samaa muotoa kuin tavanomainen Ohmin laki; ainoastaan resistanssi on korvattu impedanssilla. Yhtälön (13.12) mukaisesti kompleksiluvun kertominen toisella kompleksiluvulla aiheuttaa jälkimmäisen luvun vaihekulman suuruisen kierron kompleksitasossa. Imaginaariyksiköllä i kertominen kiertää kompleksilukua kompleksitasossa π/2:n verran positiiviseen kiertosuuntaan, i:llä kertominen negatiiviseen kiertosuuntaan. Koska kondensaattorin impedanssin vaihekulma on π/2, tarkoittaa yhtälö (13.21) sitä, että jännite on kiertynyt virran suhteen π/2:n verran, eli virta on π/2:n verran jännitettä edellä. Tämä on esitetty kompleksitasossa kuvassa 13.7. Ajan kuluessa sekä jännite- että virtavektorit pyörivät kulmanopeudella ω, jolloin niiden välinen vaihe-ero pysyy samana. Tästä nähdään, että jännitteen ja virran välinen vaihe-ero voidaan helposti johtaa kompleksisen impedanssin avulla. Kun otetaan huomioon, että e iπ/2 = cos π/2 + i sin π/2 = 0 + i = i, voidaan yhtälö (13.18) kirjoittaa myös muotoon jonka reaaliosa on I = ωce iπ/2 U 0 e iωt = ωcu 0 exp [i(ωt + π/2)], (13.22) Tämä on sama tulos kuin yhtälössä (13.8). I = Re(I) = ωcu 0 cos(ωt + π/2). (13.23)
152 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT imaginaariakseli I U!t Z L reaaliakseli Kuva 13.8: Kompleksinen virta, jännite ja impedanssi kelassa. Samasta syystä kuin kondensaattoria kuvaava yhtälö (13.7) voidaan myös kelaa kuvaava yhtälö (13.10) esittää kompleksimuodossa U = L di dt di dt = U L. (13.24) Jos U on tunnettu kompleksinen jännite, on kelan läpi kulkeva kompleksinen virta mistä I = U 0 L Määrittelemällä kelan impedanssi saadaan yhtälö (13.26) muotoon e iωt dt = U 0 iωl eiωt = U iωl, (13.25) U = iωli. (13.26) Z L = iωl, (13.27) U = Z L I. (13.28) Koska kelan impedanssin vaihekulma on π/2, on kelan jännite on π/2:n verran edellä virtaa. Tilanne on esitetty kuvassa 13.8, johon on piirretty sekä kompleksinen jännite, virta että impedanssi. Ratkaisemalla yhtälöstä (13.26) virta ja ottamalla siitä reaaliosa saadaan kelan läpi kulkevaksi vaihtovirraksi I = Re(I) = Re ( ) U = 1 iωl ωl Re[e iπ/2 U 0 exp(iωt)] = U 0 ωl Re{exp[i(ωt π/2)]} = U 0 cos(ωt π/2). (13.29) ωl Tulos on siis ama kuin yhtälössä (13.11).
13.4. REAALINEN KELA 153 13.4 Reaalinen kela Todellisella kelalla on myös sisäinen resistanssi, jota voidaan kuvata ideaalisen kelan kanssa sarjaan kytketyllä vastuksella. Riittävän korkeilla taajuuksilla myös kelan kierrosten välinen kapasitanssi täytyy ottaa huomioon. Tutkitaan kuvan 13.9 piirin läpi kulkevaa vaihtovirtaa. Virran muutos indusoi kelaan jännitteen LdI/dt ja jännitehäviö vastuksessa on IR. Ilmeisesti piirin jännitteiden summa on yhtä suuri kuin jännitehäviöiden summa, eli Siis Tämä yhtälö on kompleksisen yhtälön U L di dt U = L di dt = IR. (13.30) + IR. (13.31) U = L di + IR. (13.32) dt reaaliosa, joten voidaan käyttää kompleksisia virtoja ja jännitteitä. Yhtälö (13.32) on täydellinen lineaarinen vakiokertoiminen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, ja siitä voitaisiin muodollisesti ratkaista I, kun U on tunnettu. On kuitenkin ilmeistä, että sinimuotoinen jännite tuottaa sinimuotoisen virran, ja siksi voidaan valita ajan nollakohta siten, että kompleksinen virta on muotoa I = I 0 exp iωt. (13.33) Tällöin ja yhtälön (13.32) perusteella di dt = iωi 0e iωt = iωi (13.34) U = iωli + IR = (iωl + R)I = ZI. (13.35) ~ U R L ii 0!L " I 0 Z I 0 R Kuva 13.9: Kelan ja vastuksen sarjaankytkentä.
154 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT Siis myös tässä tapauksessa kompleksisen virran ja jännitteen välillä on voimassa Ohmin laki, jossa impedanssi on Koska kompleksiluku Z voidaan esittää muodossa on Z = R + iωl. (13.36) Z = Z e iθ, (13.37) U = Z I 0 e i(ωt+θ) (13.38) ja jännite on θ:n verran edellä virtaa. Impedanssin normi ja vaihekulma saadaan kaavoista Z = R 2 + (ωl) 2 Jännitteen amplitudi on θ = arctan ωl R. (13.39) U 0 = I 0 Z = I 0 R 2 + (ωl) 2. (13.40) Yhtälön (13.35) perusteella kompleksinen jännite syntyy kahdesta osasta: RI ja iωli. Näistä edellinen on vastuksen ja jälkimmäinen kelan päiden välinen jännite. Tämä on esitetty myös kuvassa 13.9. Kuva vastaa ajanhetkeä, jolloin kompleksinen virta on reaalinen (I = I 0 ). Tällöin vastuksen päiden välinen jännite on I 0 R ja kelan päiden välinen jännite ii 0 ωl. Kokonaisjännite on näiden summa kompleksitasossa. Ajan kuluessa vektorikuvio tietenkin pyörii kompleksitasossa kulmanopeudella ω. 13.5 Impedanssi yleisessä vaihtovirtapiirissä Edellä esitettyjä periaatteita voidaan soveltaa monimutkaisemmissa vaihtovirtapiireissä. Vastukset, kondensaattorit ja kelat ovat lineaarisia piirielementtejä, joiden läpi menevän virran amplitudi on suoraan verrannollinen jännitteen amplitudiin. Sama ominaisuus säilyy myös kaikissa niistä koostuneissa virtapiireissä. Yleisessä vaihtovirtapiirissä virran ja jännitteen välillä on jokin vaihe-ero θ. Jos voidaan jännite aina esittää muodossa U = U 0 e i(ωt+θ) ja I = I 0 e iωt, (13.41) U = U 0 I 0 e iθ I 0 e iωt = Z I 0 e iωt = ZI (13.42) Verrannollisuuskerroin Z = U 0 I 0 e iθ = Z e iθ (13.43)
13.6. TEHO VAIHTOVIRTAPIIREISSÄ 155 on piirin impedanssi, jonka normi kertoo jännitteen ja virran amplitudien suhteen ja vaihekulma niiden vaihe-eron. Jos θ > 0, on jännite edellä virtaa, jos taas θ < 0, on virta edellä jännitettä. Impedanssi voidaan myös esittää muodossa Z = Z e iθ = Z cos θ + i Z sin θ. (13.44) Impedanssin reaaliosaa Z cos θ kutsutaan piirin resistanssiksi ja imaginaariosaa Z sin θ reaktanssiksi. Reaktanssia sanotaan induktiiviseksi, jos se on positiivinen ja kapasitiiviseksi, jos se on negatiivinen. 13.6 Teho vaihtovirtapiireissä Koska vaihtovirtapiirien jännitteet ja virrat ovat ajan funktioita, on myös piirin kuluttama teho ajan funktio. Sähkölaitteen hetkellinen teho ei kuitenkaan yleensä ole kiinnostava suure, vaan energian kulutuksen kannalta riittää, kun keskimääräinen teho tunnetaan. Todellisuudessa ainoastaan piirin vastukset kuluttavat tehoa; kelat ja kondensaattorit toimivat vain energian varastoijina ja luovuttajina. Periaatteessa laitteen kuluttama keskimääräinen teho saataisin siis selville laskemalla erikseen piirin jokaisen vastuksen kuluttama teho. Tämä ei kuitenkaan ole tarpeellista, sillä teho voidaan laskea laitteen kokonaisimpedanssin avulla. Vaihtovirtapiirien tehoja laskettaessa on otettava huomioon, että teho on yleisesti jännitteen ja virran tulo. Tästä seuraa, että tehoa ei voi laskea kertomalla keskenään kompleksinen jännite ja virta. Silloinhan nimittäin saataisiin kompleksinen suure, jonka reaali- ja imaginaariosa sisältäisivät kumpikin kompleksisen virran ja jännitteen reaali- ja imaginaariosia. Koska vaihtovirtapiirien kompleksiesityksen idea oli, että todellinen virta ja jännite ovat vastaavien kompleksisten suureiden reaaliosia, ei teho tietenkään saa sisältää näiden imaginaariosia. Näinollen teho on aina laskettava reaalisilla jännitteillä ja virroilla; ts. on ensin otettava kompleksisten jänniteiden ja virtojen reaaliosat ja vasta nämä voidaan kertoa keskenään tehon laskemiseksi. Tarkastellaan aluksi resistanssin R kuluttamaa tehoa, kun vastuksen päiden välille on kytketty jännite U = U 0 cos ωt. Vastuksen läpi kulkeva virta on I = U/R ja hetkellinen teho on P = UI = U 2 R = U 0 2 R cos2 ωt. (13.45) Vastuksen kuluttama keskimääräinen teho saadaan keskiarvona yhden periodin T = 2π/ω aikana, eli P = 1 T Se on siis puolet huipputehosta T 0 U 2 0 R cos2 ωt dt = U 2 0 2R. (13.46) P 0 = I 0 U 0 = U 2 0 R. (13.47)
156 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT On käytännöllistä määritellä tehollinen (efektiivinen) jännite eli jännitteen neliöllinen keskiarvo U e yhtälöllä josta U 2 e = 1 T T 0 U 2 (t) dt = 1 2 U 2 0, (13.48) U e = U 0. (13.49) 2 Samalla tavalla määritellään tehollinen virta I e = I 0 = U 0 2 R 2 = U e R. (13.50) Näiden määritelmien idea on, että niiden avulla keskimääräinen teho saadaan noudattamaan samanlaisia kaavoja kuin tasavirtapiirin teho. Yhtälöstä (13.47) nimittäin saadaan P = U 0 R 2 U0 = I e U e. (13.51) 2 Samalla tavalla voidaan tutkia, kuluttaako vaihtovirtapiirissä oleva kondensaattori tehoa. Jos kondensaattorin napojen välinen jännite on U 0 exp iωt, on virta Jännitteen ja virran reaaliosat ovat U 0 e iωt Z C = iωcu 0 e iωt = ωcu 0 (i cos ωt sin ωt). (13.52) Näiden avulla saadaan hetkelliseksi tehoksi U = U 0 cos ωt ja I = ωcu 0 sin ωt. (13.53) P = UI = ωcu 2 0 sin ωt cos ωt = 1 2 ωcu 2 0 sin 2ωt. (13.54) Teho siis vaihtelee sinimuotoisesti kulmataajuudella 2ω. Keskimääräinen teho on P = ωcu 2 0 2T T 0 sin 2ωt dt = 0. (13.55) Tästä nähdään, että kondensaattori ei kuluta energiaa; se vain varastoi sitä jaksollisesti ja lähettää sen takaisin jännitelähteeseen. Matemaattisesti tämä aiheutuu siitä, että virran ja jännitteen välillä on π/2:n suuruinen vaihe-ero. Tällöin hetkellisen tehon lausekkeeseen ilmestyy sinin ja kosinin tulo. Se taas on sinimuotoinen funktio, jonka keskiarvo on nolla. Kun jännitelähteeseen kytketään ideaalinen kela, jonka resistanssi on nolla, on virran ja jännitteen välinen vaihe-ero π/2. Tästä nähdään edellisen perusteella suoraan, että myöskään kela ei kuluta tehoa, vaan se pelkästään toimii energian väliaikaisena varastona.
13.7. SARJARESONANSSI 157 Tarkastellaan yleisessä vaihtovirtapiirissä kulkevaa kompleksista virtaa joka kulkee impedanssin I = I 0 e iωt, (13.56) Z = Z e iθ (13.57) lävitse. Tällöin impedanssin päiden välinen kompleksinen jännite on Reaalinen virta on ja vastaavasti reaalinen jännite U = ZI = Z e iθ I 0 e iωt = Z I 0 e i(ωt+θ) (13.58) I = Re(I) = I 0 cos ωt (13.59) U = Re(U) = Z I 0 cos(ωt + θ) = Z I 0 (cos ωt cos θ sin ωt sin θ). (13.60) Näiden avulla saadaan hetkelliseksi tehoksi P = IU = Z I 2 0(cos θ cos 2 ωt sin θ cos ωt sin ωt) = Z cos θ I 2 0 cos 2 ωt 1 2 Z sin θ I2 0 sin 2ωt. (13.61) Hetkellinen teho voidaan siis esittää kahden termin summana, joista ensimmäinen on aina positiivinen. Se on pätöteho joka kuluu resistanssissa Z cos θ. Jälkimmäinen termi P P = Z cos θ I 2 0 cos 2 ωt, (13.62) P L = 1 2 Z sin θ I2 0 sin 2ωt (13.63) on loisteho, joka vaihtelee taajuudella 2ω. Loisteho on siis vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Se kuvaa energiaa, jonka reaktanssi Z sin θ vuorotellen varastoi ja luovuttaa. Keskimääräinen teho on hetkellisen tehon aikakeskiarvo. Koska sinifunktion keskiarvo on nolla, on myös loistehon kekiarvo nolla, eikä se vaikuta keskimääräiseen tehoon. Keskimääräinen teho on siis pätötehon keskiarvo P = Z cos θ I 2 0 cos 2 ωt = 1 2 I2 0 Z cos θ = 1 2 U 0I 0 cos θ. (13.64) Tehollisten arvojen avulla tämä voidaan esittää muodossa P = I 2 e Z cos θ = U e I e cos θ. (13.65) Nähdään siis, että yleisessä vaihtovirtapiirissä keskimääräinen teho ei ole tehollisen virran ja jännitteen tulo, vaan se on vielä kerrottava tehokertoimella cos θ. Joskus suureesta I e cos θ käytetään nimitystä pätövirta ja suureesta I e sin θ nimitystä loisvirta. Virta- ja jännitemittarit antavat vaihtovirran ja -jännitteen teholliset arvot.
158 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT 13.7 Sarjaresonanssi Tarkastellaan kuvan 13.10 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa resistanssi, induktanssi ja kapasitanssi on kytketty sarjaan. Tällaista piiriä kutsutaan usein RCL-sarjapiiriksi. Sen impedanssi kulmataajuudella ω on ( Z = R + Z L + Z C = R + i ωl 1 ) = Z exp(iθ) (13.66) ωc ja impedanssin itseisarvo ja vaihekulma ovat [ ( Z = R 2 + ωl 1 ) 2 ] 1/2 [ ] ωl 1/(ωC) ja θ = arctan. (13.67) ωc R Impedanssin muodostuminen kompleksitasoon on esitetty kuvassa 13.10. Havaitaan, että Z saa pienimmän arvonsa R, kun induktiivinen ja kapasitiivinen reaktanssi kumoavat toisensa. Tämä tapahtuu taajuudella ω 0, jolla on voimassa ehto ω 0 L 1 ω 0 C = 0, joten ω2 0 = 1 LC. (13.68) Tällä taajuudella piirin impedanssi on reaalinen, eli θ = 0 ja impedanssin arvo on R. Piirin sanotaan olevan resonanssissa ja taajuudesta ω 0 käytetään nimitystä resonanssitaajuus. Kun piiri on kytketty vaihtojännitteeseen U, siinä kulkee virta I = I 0 exp iωt ja mistä U = ZI = Z I 0 exp[i(ωt + θ)] = U 0 exp[i(ωt + θ)], (13.69) Yhtälön (13.73) perusteella keskimääräinen teho on I 0 = U 0 Z. (13.70) P = U e I e cos θ = Ie 2 Z cos θ = U e 2 cos θ. (13.71) Z C i!l ~ U R L -i/(!c) " R Z i!l-i/(!c) Kuva 13.10: RCL-sarjapiri.
13.7. SARJARESONANSSI 159 Koska cos θ = R/ Z, tämä voidaan kehittää edelleen muotoon P = U 2 e R Z 2 = U 2 e R R 2 + [ωl 1/(ωC)] 2. (13.72) Impedanssin vaihekulman avulla voidaan myös laskea pätövirta ja loisvirta. Pätövirta on I P = I e cos θ = I er Z = U er Z = U e R 2 R 2 + [ωl 1/(ωC)] 2 (13.73) ja loisvirta on I L = I e sin θ = I e [ωl 1/(ωC)] Z = = U e [ωl 1/(ωC)] Z 2 U e [ωl 1/(ωC)] R 2 + [ωl 1/(ωC)] 2. (13.74) Nähdään, että keskimääräisellä teholla ja pätövirralla on sama taajuusriippuvuus. Pätövirran, loisvirran ja impedanssin vaihekulman taajuusriippuvuus on esitetty kuvassa 13.11. Tehon lausekkeesta (13.74) nähdään, että teho on maksimissaan silloin, kun nimittäjässä oleva sulkulauseke on nolla, ts. silloin kun resonanssiehto (13.69) on voimassa. Maksimiteho on P max = U 2 e R. (13.75) Koska tehon taajuusriippuvuus on monimutkainen, approksimoidaan tehon lauseketta maksimin läheisyydessä. Lähellä maksimikohtaa funktiota f(ω) = ωl 1 (13.76) ωc voidaan approksimoida Taylorin sarjalla ( ) ( df f(ω) f(ω 0 ) + (ω ω 0 ) = O + (ω ω 0 ) L + 1 ) dω ω 0 ω0c 2 [ ] 1 = (ω ω 0 ) L + = 2L (ω ω 0 ). (13.77) C/(LC pätövirta loisvirta "/2 vaihekulma! 0!! 0!! 0! #"/2 Kuva 13.11: Pätövirran, loisvirran ja vaihekulman taajuusriippuvuus RCLsarjapiirissä.
160 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT Sijoittamalla tämä yhtälöön (13.74) saadaan P = U e 2 R 1 1 + 4L 2 (ω ω 0 ) 2 /R. (13.78) 2 Jos tehon maksimipiikki on niin terävä, että approksimaatio (13.79) on voimassa vielä taajuudella, jolla teho on puolet maksimiarvosta, on tällä taajuudella voimassa 4L 2 (ω ω 0 ) 2 R 2 = 1 eli ω = ω 0 ± R 2L. (13.79) Teho on siis suurempi kuin P max /2 taajuusalueella, jonka leveys on δω = R/L. Tämän taajuusalueen suhde resonanssitaajuuteen on δω ω 0 = R C ω 0 L = R L = 1 Q. (13.80) Suureesta Q käytetään nimitystä Q-arvo (quality factor), ja se kuvaa resonanssin terävyyttä; mitä suurempi Q sitä pienempi δω on ω 0 :aan verrattuna ja sitä terävämpi resonanssi. RCL-sarjapiiri siis kuluttaa merkittävästi tehoa vain tietyllä taajuusalueella resonanssitaajuuden ympäristössä. Tämä johtuu siitä, että hyvin pienillä taajuuksilla kondensaattorin impedanssi on suuri, joten se ei päästä vaihtovirtaa lävitseen ja toisalta suurilla taajuuksilla kelan impedanssi on suuri, jolloin kela estää virran kulun. Keloista, vastuksista ja kondensaattoreista voidaan rakentaa suotimia, joiden avulla voidaan valita laajakaistaisesta signaalista haluttu taajuuskaista. Tällaisia suotimia käytetään esimerkiksi radion virittämiseen tietyn aseman taajuudelle ja muiden taajuuksien (asemien) poistamiseen. 13.8 Kolmivaihejärjestelmä Käytössä oleva sähkönsyöttöjärjestelmä perustuu kolmeen jänniteeseen joiden välillä on 2π/3:n suuruinen vaihe-ero. Näitä jännitteitä nimitetään tavallisesti vaiheiksi. Taloon tai huoneistoon johtava sähkölinja koostuu neljästä johtimesta, joista kolme on vaiheita varten ja neljäs on ns. nollajohto (lisäksi kaapelissa sattaa olla ns. suojamaa). Tästä järjestelmästä saa kahdenlaista vaihtojännitettä. Toinen on tavanomainen 230 V:n vaihejännite ( valovirta ), ja toinen 400 V:n pääjännite ( voimavirta ). Näistä 230 V:n jännite saadaan yhden vaiheen ja nollajohdon väliltä ja 400 V:n jännite kahden vaiheen väliltä. Kussakin vaiheessa on pääsulake, joka rajoittaa vaiheesta otettavaa virtaa. Talon sähköpisteet pyritään jakamaan tasaisesti eri vaiheiden välille siten, että käytön ollessa suurimmillaan kaikkia vaiheita kuormitetaan suunnilleen yhtä paljon. Eri puolilla maata sijaitsevat generaattorit syöttävät sähkötehoa synkronisesti valtakunnan verkkoon. Tehon siirto pitkien matkojen ylitse tapahtuu korkeajännitteisten sähkönsiirtoverkkojen välityksellä. Näissä käytetään jännnitteitä 220 400kV
13.8. KOLMIVAIHEJÄRJESTELMÄ 161 ja 110 kv. Vasta paikallisesti jännitetaso muunnetaan jakeluverkkoihin käyttäjien tarvitsemaksi jännitteeksi. Tämä tekniikka johtuu siitä, että johtimissa lämmöksi kuluva teho on korkeaa jännitettä käytettäessä pienempi kuin matalaa jännitettä käytettäessä. Jos nimittäin verkkoon kytketty laite ottaa tehon P, se aiheuttaa siirtolinjassa virran I e = P U e cos θ. (13.81) Siirtolinjalla on jokin resistanssi R, ja sen vuoksi linjassa kuluu hukkaan teho P R = I 2 e R = P 2 R U 2 e cos 2 θ. (13.82) Näinollen hukkaan kulunut teho on kääntäen verrannollinen jännitteen neliöön. Siksi pitkissä linjoissa, joissa R:n suuruus on merkittävä, kannattaa käyttää suurta jännitettä. Jos jakeluverkkoa yksinkertaistaan jättämällä muuntajat huomiotta, on tilanne kuvassa 13.12 esitetyn kaltainen. Generaattorissa on kolme induktiokäämiä sijoitettuina eri asentoihin magneettikentän suhteen siten, että niihin indusoituneiden jännitteiden välinen vaihe-ero on 2π/3. Käämien toiset päät on yhdistetty nollajohtoon ja toiset päät jakeluverkon muihin kolmeen johtimeen. Näin siis saadaan kolme vaihetta, jotka antavat vaihtojännitteet U 1 = U 0 exp[i(ωt + 2π/3)] U 2 = U 0 exp(iωt) (13.83) U 3 = U 0 exp[i(ωt 2π/3)]. Jos jokaista vaiheen ja nollajohdon välille kytketään sama impedanssi Z, kulkee vaiheissa virrat I 1 = U 0 Z I 2 = U 0 Z I 3 = U 0 Z exp[i(ωt + 2π/3)] exp(iωt) (13.84) exp[i(ωt 2π/3)]. generaattori 1. vaihe nollajohto 2. vaihe 3. vaihe kuorma kuorma kuorma Kuva 13.12: Vaihejännitten käyttö jakeluverkossa (tähtikytkentä).
162 LUKU 13. VAIHTOVIRRAT 1. vaihe kuorma kuorma generaattori 2. vaihe 3. vaihe kuorma Kuva 13.13: Pääjännitten käyttö jakeluverkossa (kolmiokytkentä). Nollajohdossa kulkeva kokonaisvirta on I = I 1 + I 2 + I 3 = U 0 Z = U 0 Z exp(iωt)[exp(2πi/3) + 1 + exp( 2πi/3)] exp(iωt)[cos(2π/3) + i sin(2π/3) + 1 + cos( 2π/3) i sin(2π/3)] ] = 0. (13.85) = U 0 Z exp(iωt) [ 1 2 + 1 1 2 Jos kaikkia vaiheita kuormitetaan samalla tavalla, ei nollajohdossa siis kulje virtaa. Tästä nollajohto on sanut nimensä. Jos kolmivaihemoottorin kolme käämiä on kytketty tällä tavalla, käytetään usein nimitystä tähtikytkentä. Suuren tehon vaativat laitteet voidaan kytkeä pääjännitteeseen eli kahden vaiheen välille kuvassa 13.13 esitetyllä tavalla. Tällöin vaiheiden 1 ja 3 välille kytketyn laitteen käytössä on vaihtojännite U = U 1 U 3 = U 0 exp(iωt)[exp(2πi/3) exp( 2πi/3)] 3 = U 0 exp(iωt) 2i sin(2π/3) = 2 2 U 0 exp[i(ωt + π/2)] = U 0 3 exp[i(ωt + π/2)]. (13.86) Pääjännitteen amplitudi on siis 3-kertainen vaihejännitteen amplitudiin verrattuna. Sama suhde on voimassa tehollisille jännitteille. Kun tehollinen vaihejännite on 230 V, on tehollinen pääjännite siis 3 230 V 400 V. Kun sähkömoottori on kytketty siten, että kukin kolmesta käämistä on kahden vaiheen välillä, käytetään usein nimitystä kolmiokytkentä. On olemassa sähkömoottoreita, jotka käynnistetään tähtikytkennässä, ja moottorin pyöriessä täydellä kierrosnopeudella kytkentä vaihdetaan kolmioksi.