SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26)

Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä kompleksinen spektri jaetaan kahdeksi osakuvaajaksi, amplitudi- ja vaihespektriksi sen esittämiseksi osissa 2D-kuvaajina. Tehotiheysspektri kuvaa tehon jakautumista taajuuden yli, eli sen taajuusintegraali on kokonaislähetysteho. Spektrin Fourier-laskenta riippuu signaalin tyypistä: energia- tai tehosignaali. Energiasignaaleilla on äärellinen energia, eli ne ovat eräänlaisia kertailmioitä tyypillisesti äärellisen kestoisia signaaleja. Energiasignaalille s(t) sen spektri S(f) lasketaan Fouriermuunnoksen + avulla: S( j πft = F{ s( t)} = s( t) e 2 dt Kyseessä on jatkuva-arvoinen kompleksinen taajuuden funktio. Se voidaan esittää amplitudi- ja vaihespektrin avulla (kts. Z&T s. 36 37): S( f ) f jθ ( f ) = S( f ) e, θ ( f ) ) = S( f ) 2 (26)

Fourier-muunnos ja käänteismuunnos 3 (26)

Fourier-sarjat ja viivaspektri Tehosignaaleilla on äärellinen keskimääräinen teho ja ääretön energia. Tyypillisiä ovat periodisesti toistuvat signaalit (esim. sini). Koska tehosignaalilla on periodinen komponentti, spektrisisältö lasketaan Fourier-sarjakehitelmän avulla. Olkoon esim. y(t) T -periodinen tehosignaali (perustaajuus f = 1/T ), joka voidaan esittää Fourier-sarjan kertoimien avulla: 2 T y( t) T + 2 = a 2 [ a cos(2πnf t) + b sin(2πnf t ] + ) n n n= 1 T + 2 an = y( t)cos(2πnf t) dt bn = T 2 Eulerin kaavaa käyttäen voidaan kirjoittaa spektri muotoon: 1 2 cos(2πnf t) 2 2 T T 2 y( t)sin(2πnf t) dt [ e j nf t e j nf t ] + 2π π = + nf t [ e j nf t e j nf t ] + 2π π sin(2π ) = 1 2 j 2 4 (26)

Fourier-sarjat ja viivaspektri a y( t) = + n 2 n n n + n= 1 n= 1 [ ] + j2πnf t [ ] j2πnf t a jb e + a jb e positiiviset taajuudet negatiiviset taajuudet Kompleksiset kertoimet z n = a n ± jb n kuvaavat tehon jakautumisen. Huomataan, että periodisesti toistuvan signaalin kompleksinen tehospektri on diskreettiarvoinen viivaspektri esiintyen vain perustaajuuden f välein (ns. harmoonisilla taajuuksilla). Z n Vain nämä komp. esiintyvät puhtaalla sinimuotoisella signaalilla. -5f -4f -3f -2f -f f 2f 3f 4f 5f f Jos em. tavalla lasketaan esim. kosini- ja sinisignaalien spektrit, jää yo. sarjaan vain kaksi termiä taajuuksille ±f. 5 (26)

Fourier-sarjat ja viivaspektri Kompleksisen kertoimen itseisarvo Z n = a n ± jb n on sama kuin kutakin taajuuskomponenttia vastaavan sinimuotoisen aallon amplitudi. 6 (26)

Mitä ihmettä ovat negatiiviset taajuudet? Trigonometrian kaavoja (mm. Eulerin kaava) käyttäen voidaan ilmasta negatiivisen taajuuden ω omaava sinimuotoinen signaali: e ± jω t cos( ω t) Eräs tapa ymmärtää ± -taaj. on huomio, että Fourier -sarjan kompleksiset komponentit e j n ω ω t ja e +j n ω ω t matemaattisesti yhdessä muodostavat reaalimaailmassa esiintyvän sinimuotoisen signaalin taajuudella n ω. Matemaattisen sarja-analyysin kannalta välttämättömät negatiiviset taajuudet n ω merkitsevät, että komponentti e j n ω ω t on mukana sarjassa. Vrt. hiukkanen & antihiukkanen ja niiden ominaisuudet (esim. varaus, spin). Kannattaa muistaa myös eräs matematiikan kauneimmista kaavoista, jossa on kaikki matematiikalla pelaamiseen tarvittavat tärkeimmät peruspalikat nätissä paketissa, ts. 1, +1,, e, π, j: e ±j π = cosω t = cos( ω t) π + 1 =, e ±j π = 1 ± j sinω t 7 (26)

Exp( 2πt) 1 Function exp(-2*pii*t).9.8.7.6.5.4.3.2.1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time axis [seconds] 8 (26)

Exp(+2πt) 4.5 x 113 Function exp(+2*pii*t) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time axis [seconds] 9 (26)

Exp( j2πt) Function exp(-j*2*pii*t) (angular frequency = 1 rad/s) 1.8.6.4 Imaginary axis.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 1.5 5 3 4 Real axis -.5-1 1 2 Time axis [seconds] 1 (26)

Exp(+j2πt) Function exp(+j*2*pii*t) (angular frequency = 1 rad/s) 1.8.6.4 Imaginary axis.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 1.5 5 3 4 Real axis -.5-1 1 2 Time axis [seconds] 11 (26)

Periodiset signaalit Fourier-sarjan avulla esitettynä 12 (26)

Periodiset signaalit Fourier-sarjan avulla esitettynä 13 (26)

Sakarapulssijonon amplitudispektri 14 (26)

Sakarapulssijonon amplitudispektri Sakarapulssijonon spektriviivat esiintyvät vain parittomilla perustaajuuden harmoonisilla. 17 (26)

Sakarapulssijono Fourier-sarjan avulla esitettynä Fourier-sarjan komponenteilla voidaan approksimoida mitä tahansa periodista signaalia. Esim. alla kantataajuinen sakarapulssijono saadaan sarjan termien summana, kun n. 18 (26)

Sakarapulssijono Fourier-sarjan avulla esitettynä Kukin harmoninen komponentti edustaa pyörivää kompleksista osoitinta taajuudella n ω (erilaiset pyörimisnopeudet). Mitä pitempi osoitinvektori, sitä suurempi on spektrikomponentin itseisarvo amplitudispektrissä. 19 (26)

Sakarapulssijono Fourier-sarjan avulla esitettynä Toisin kuin edellä, tässä kuvassa sakarapulssijonolla on nollasta poikkeava keskiarvo (summautuva DC-komponentti). 2 (26)

Sakarapulssijono Fourier-sarjan avulla esitettynä Trigonometrisen Fouriersarjan katkaisusta aiheutuu ns. Gibbsin oskillaatioilmiö 21 (26)

Pulssijonon pulssin keston ja toistotaajuuden vaikutus 22 (26)

Pulssijonon pulssin keston ja toistotaajuuden vaikutus 23 (26)

Pulssijonon pulssin keston ja toistotaajuuden vaikutus Pulssijonoja esiintyy mm. pulssitettujen tutkasignaalien yhteydessä (RF-modulaation jälkeen näkyy tietenkin kosinipulssien sarja jollakin duty-cycle:llä, mahdollisesti vielä vaihekoodattuna). Alla olevan viivaspektrin verhokäyrä on tärkeä sinc-funktio: sinc(x) = sin(πx)/(πx) 24 (26)

Pulssijonon pulssin keston τ vaikutus 25 (26)

Pulssijonon pulssin toistotaajuuden 1/T vaikutus Huomaa viivaspektrin mielenkiintoinen rajatapaus: Kun T, niin diskreetti amplitudispektri muuttuu jatkuvaksi funktioksi. 26 (26)