Variaatiolaskenta. Petri Juutinen

Variaatiolaskenta Petri Juutinen 25. lokakuuta 25

Sisältö Johdanto 2 2 Ääriarvo-ongelmista R n :ssä 2. Puolijatkuvuus................................ 2.2 Konveksit joukot ja funktiot......................... 2 2.3 Minimin olemassaolo ja yksikäsitteisyys................... 5 3 Funktioavaruuksista 8 3. Valittuja paloja funktionaalianalyysistä.................... 8 3.. Banach-avaruudet........................... 8 3..2 Duaali................................. 9 3..3 Heikko konvergenssi......................... 2 3.2 L p -avaruudet................................. 23 3.3 Sobolev-avaruudet.............................. 32 3.3. Reuna-arvoista Sobolev-mielessä.................. 37 3.3.2 Epäyhtälöitä ja upotuslauseita.................... 39 4 Variaatiolaskennan suora menetelmä ja ratkaisun olemassaolo 45 4. Heikko alhaalta puolijatkuvuus........................ 45 4.2 Olemassaolo ja yksikäsitteisyys....................... 5 5 Euler-Lagrangen yhtälö 57 5. Ensimmäinen variaatio............................ 57 5.2 Eulerin yhtälön vahva muoto......................... 62 5.2. Sidotun minimointiongelman Eulerin yhtälö: esimerkki....... 66 5.3 Eulerin yhtälön ratkaiseminen........................ 68 6 Ratkaisujen säännöllisyydestä 73 6. Yksiulotteinen tapaus............................. 73 6.2 Yleinen tapaus n............................. 77

Luku Johdanto Mitä on variaatiolaskenta? "Lorsqu il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d action nécessaire pour ce changement est la plus petite qu il soit possible" (If there occurs some change in nature, the amount of action necessary for this change must be as small as possible.) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (698-759) Variaatiolaskentaa voidaan pitää ääretönulotteisena yleistyksenä analyysin peruskursseilta tutusta ongelmasta löytää reaaliarvoisen funktion minimi- ja maksimipisteet. Hieman laajemman tulkinnan mukaan kyseessä on tietyn tyyppisten optimointi-ongelmien matemaattinen teoria. Klassisessa variaatiolaskennassa käsiteltävät ongelmat ovat peräisin yleensä fysiikasta tai geometriasta, kun taas moderni teoria saa innoituksensa esimerkiksi taloustieteistä, tietotekniikasta, kemiasta, biologiasta jne. 7-luvun alussa alkunsa saanut ala on vaikuttanut hyvin merkittävästi monien muiden matematiikan alojen kuten funktionaalianalyysin ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teorian kehitykseen ja on yhä edelleen hyvin aktiivisen tutkimuksen kohteena. Esimerkkejä Parhaiten variaatiolaskennasta saa kuvan esimerkkien avulla. lla on käsitelty lyhyesti joitakin hyvin klassisia ongelmia, joista osaan palataan tarkemmin myöhemmin. Mukaan on otettu myös pari hieman erikoisempaa variaatio-ongelmaa, joiden tarkoituksena on antaa lukijalle jonkinlainen aavistus tämän matematiikan alan kattavuudesta.. Brachistochrone-ongelma Variaatiolaskennan katsotaan usein saaneen alkunsa Johann Bernoullin vuonna 696 cta Eruditorum lehdessä esittämästä Brachistochrone-ongelmasta, joka voidaan muotoilla seuraavasti: Olkoot P = (x, y ) ja P 2 = (x 2, y 2 ) tason R 2 kaksi pistettä siten, että x < x 2 ja y > y 2. Tehtävänä on etsiä sellainen pisteet P ja P 2 yhdistävä käyrä γ, jota pitkin kitkatta liukuva kappale liukuu pisteestä P pisteeseen P 2 mahdollisimman nopeasti. 2

Jos käyrä γ on esitettävissä jatkuvasti differentioituvan funktion u : [x, x 2 ] R kuvaajana, saadaan liukumiseen kuluvaksi ajaksi T = 2g x2 + u (x) 2 y u(x) dx, olettaen, että u(x) y kaikilla x [x, x 2 ]. Ongelmana on siis etsiä funktion x I : K R, I(u) = x 2 + u (x) 2 y u(x) dx x minimi joukossa K = { u : [x, x 2 ] ], y ] : u C([x, x 2 ]) C (]x, x 2 [), u(x ) = y, u(x 2 ) = y 2 }. Brachistochrone-ongelman ratkaisivat Johann Bernoullin ohella ainakin hänen veljensä Jakob ja herrat Isaac Newton, Gottfried Leibniz ja Guillaume de l Hôpital. Veljesten välisen kilpailun nimissä Jakob Bernoulli johti brachistochrone-ongelmasta vaikeamman version, jota ratkaistessaan hän ja hänen oppilaansa Leonhard Euler tulivat kehittäneeksi joitakin klassisen variaatiolaskennan perusmetodeista. 2. Pyörähdyskappaleen pinnan pinta-alan minimointi Tehtävänä on minimoida funktion u : [, ] [, [, u C (], [) C([, ]) kuvaajan pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän pinnan pinta-ala joukossa (u) = 2π u(x) + u (x) 2 dx α,β = {u C (], [) C([, ]) : u() = α >, u() = β > }, missä α, β R ovat funktion u ennalta määrätyt reuna-arvot. Huomaa, että vaikka säännöllisyysvaatimus u C (], [) C([, ]) takaa sen, että integrandi u(x) + u (x) 2 on pisteittäin hyvin määritelty, ei siitä kuitenkaan voida suoraan päätellä, että (u) olisi äärellinen. Lisäksi on selvää, että (u) voidaan järkevästi määritellä myös esimerkiksi paloittain affiinille funktiolle, joka ei kuulu luokkaan C (], [). 3. Newtonin virtausongelma (Principia 686) Tehtävänä on suunnitella kappale siten, että sen virtausvastus (ilmassa tai vedessä) on mahdollisimman pieni. Yksinkertaisimmassa tapauksessa tutkittavana on pyörähdyskappale, jonka muoto ilmaistaan vähenevän funktion v : [, r] [, M], v C (], r[) C([, r]) 3

avulla; reunaehdot ovat nyt v() = M ja v(r) =, missä pyörähdyskappaleen pohjan säde r > ja sen korkeus M > on annettu. Minimoitava integraali saa tällä kertaa muodon R(v) = r v(x)v (x) 3 + v (x) 2 dx. Lisää ongelmasta ja sen yleistyksistä löytyy viitteestä [4]. 4. Dirichlet n integraali Olkoon R n avoin ja yhtenäinen rajoitettu joukko ja f : R annettu jatkuva funktio. Ongelmana on löytää u : R siten, että (i) u C() C () (ii) u (x) = f (x) kaikilla x. (iii) u (x) 2 dx = inf { v(x) 2 dx : v toteuttaa ehdot (ii) ja (iii) }. Tehtävänä on siis minimoida funktionaali I(u) = u 2 dx joukossa K = {u C () C() : u = f }. Tämän ongelman ratkaisuja kutsutaan harmonisiksi funktioiksi, ja ne toteuttavat osittaisdifferentiaaliyhtälön u(x) = kaikilla x missä u(x) := n j= 2 u x j x j (x) on ns. Laplace-operaattori. Dirichlet n integraali on ylivoimaisesti tärkein useampi ulotteinen variaatiointegraali ja variaatiolaskennan yleinen teoria on kehittynyt suurelta osin sen ymmärtämisen kautta. Dirichlet n integraalista on olemassa lukuisia yleistyksiä. Esimerkiksi funktionaali I g (u) = u 2 + 2g(x)u(x) dx missä g C() on annettu funktio, johtaa ns. Poisson yhtälöön u = g(x), ja funktionaalin I p (u) = u p dx, < p < minimoivia funktioita kutsutaan p-harmonisiksi funktioiksi. 4

5. Minimipinnat Olkoon ja f kuten edellisessä kohdassa. Tehtävänä on minimoida funktionaalia J(u) = + u 2 dx joukossa K = {u C () C() : u = f }. Geometrisesti tulkittuna J(u) tarkoittaa funktion u graafin {(x, u(x)) : x } R n+ n-ulotteista pinta-alaa. iheesta kiinnostuneen lukijan kannattaa tutustua viitteeseen []. 6. Isoperimetrinen ongelma Tehtävänä on etsiä ennalta määrätyn pituisten tason suljettujen ja itseään leikkaamattomien käyrien joukosta se, jonka rajaaman alueen pinta-ala on suurin mahdollinen. Matemaattisesti tämä voidaan muotoilla esimerkiksi seuraavasti: Tutkitaan jatkuvasti differentioituvia polkuja P = {γ : [, ] R 2 : γ C, γ (t) dt = }. Tavoitteena on löytää polku γ siten, että sen rajaaman alueen pinta-alalle pätee missä pinta-ala saadaan kaavalla (γ ) (γ) kaikilla γ P, (γ) = 2 γ (t)γ 2 (t) γ (t)γ 2(t) dt, kun merkitään γ(t) = (γ (t), γ 2 (t)) R 2. Isoperimetrinen ongelma poikkeaa edellisistä esimerkeistä siinä, että se ei sisällä varsinaisia reunaehtoja, mutta kylläkin rajoitteen γ (t) dt =. Näin ollen kyseessä on "sidottu ääriarvo-ongelma". Isoperimetrinen ongelma voidaan yleistää myös korkeampiulotteiseen tilanteeseen ja se on mahdollista muotoilla matemaattisesti monella eri tavalla. 7. Laplace-operaattorin ominaisarvot Olkoon R n avoin, yhtenäinen ja rajoitettu. Merkitään C 2 () = {u C2 () : on olemassa kompakti joukko K siten, että u(x) = kaikilla x K}. Ongelmana on etsiä u C 2 () siten, että u 2 dx = ja u 2 dx = inf { v 2 dx : v C 2 () ja v 2 dx = }. 5

Osoittautuu, että etsitty funktio u toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön u(x) = λ u(x) kaikilla x u(x) = kaikilla x, missä luvun λ = inf ϕ C 2 () ϕ ϕ 2 dx ϕ 2 dx neliöjuuri on alueen yli pingotetun elastisen kalvon värähtelyn ensimmäinen ominaistaajuus [2]. 8. Mongén-Kantorovichin massansiirto-ongelma R 2 Olkoon meille annettu tasaisella alustalla kasa hiekkaa ja tilavuudeltaan hiekkakasan kokoinen kaivanto. Ongelmana on siirtää hiekka kaivantoon mahdollisimman pienellä työmäärällä, kuitenkin niin, että kaivanto täyttyy eikä hiekkaa jää sen ulkopuolelle. Ongelman matemaattista muotoilua varten olkoot f +, f : R 2 [, [ jatkuvia ja kompaktikantajaisia funktioita siten, että R 2 f + (x) dx = f (x) dx; tässä f + kertoo hiekkakasan sijainnin ja muodon, kun taas f kuvaa kaivantoa. Määritellään kaikkien tilavuudet säilyttävien siirtokuvausten joukko S( f +, f ) = { s : R 2 R 2 : kaikille Borel mitallisille E R 2 pätee f (y) dy = f + (x) dx }. Tehtävänä on minimoida hiekan siirrossa tarvittava työmäärä W(s) = x s(x) f + (x) dx R 2 joukossa S ( f +, f ). iheesta lisää viitteessä [6]. Variaatiolaskennassa tutkittavia kysymyksiä. Ratkaisun olemassaolo E S (E) Ei ole mitenkään itsestään selvää, että annetulla variaatio-ongelmalla on olemassa ratkaisu. Itse asiassa jo koko ratkaisun käsite on monissa tilanteissa epäselvä ja vaatii pohdintaa. Yllä olevissa esimerkeissä tämä ongelma tulee vastaan vaikkapa mietittäessä pitäisikö pyörähdyspinnan pinta-alaa minimoitaessa ottaa kisaan mukaan myös paloittain säännölliset funktiot vai ei. Kurssin aikana käy lisäksi selville, että hyvin usein käytettävät todistusmetodit pakottavat laajentamaan joukkoa, jonka yli minimointi tapahtuu; samalla joutuvat tutkiskelun kohteeksi myös mm. reuna-arvojen tai sidosehtojen tulkinta. 6

Esimerkki... (i) Olkoon U = R 2 \ {}, ja ongelmana etsiä lyhin pisteet (, ) ja (, ) yhdistävä joukkoon U sisältyvä polku. On helppo nähdä, että jokaisen tällaisen polun pituus on aidosti suurempi kuin 2, ja että kaikille ε > löytyy polku, jonka pituus on pienempi kuin 2 + ε. Näin ollen lyhintä polkua ei ole olemassa. (ii) Olkoon I(u) = u (x) 2 x 4 dx, missä u := {v : [, ] R : v C (], [) C([, ]), v( ) =, v() = }. Jos ε > on annettu, niin voidaan valita u ε siten, että (i) u ε (x) = kaikilla x [, ε], (ii) u ε (x) = kaikilla x [ε, ], ja (iii) u ε(x) 2 ε kaikilla x [ ε, ε]. Tällöin I(u ε ) = u ε(x) 2 x 4 dx ε ε 4 ε 2 ε4 dx = 8ε 3 ε eli I(u ε ) kun ε. Koska selvästi I(u) kaikilla u, on infi(u) =. u On kuitenkin helppo nähdä, että I(u) > kaikilla u. Nimittäin, koska u (x) dx = u() u( ) = 2, niin on olemassa x ], [ siten, että u (x) 2 δ jossakin pienessä x :n ympäristössä [a, b] [, ]. Tästä saamme u (x) 2 x 4 dx b b u (x) 2 x 4 dx δ x 4 dx >. a a Näin ollen tutkimallamme variaatio-ongelmalla ei ole ratkaisua. 2. Ratkaisun yksikäsitteisyys (tai ratkaisujen lukumäärä) Mikäli onnistumme osoittamaan, että tutkimallamme ongelmalla on olemassa ratkaisuja, tulee seuraavaksi vastaan kysymys niiden lukumäärästä. Ratkaisun yksikäsitteisyys olisi toivottava tilanne, sillä silloin tiedetään, että kaikki ratkaisun tuottavat menetelmät vievät samaan lopputulokseen. Jos ratkaisuja kuitenkin on useita, voidaan niitä yrittää jotenkin luokitella tai mahdollisesti etsiä lisäehtoja, jotka toteuttavia ratkaisuja on vain yksi kappale. 7

Esimerkki..2. Edellä mainittu Laplace-operaattorin ominaisarvo-ongelma muotoillaan usein osamäärän ϕ 2 dx ϕ 2 dx minimoinnin kautta. Jos funktio u minimoi tämä Rayleighin osamääränä tunnetun funktionaalin, niin samoin tekee myös funktio Cu mille tahansa vakiolle C R. Näin ollen minimoija, jos sellaista ylipäänsä on olemassa, ei voi olla yksikäsitteinen. 3. Riittävät ja välttämättömät ehdot Usein tulee vastaan tilanne, jossa halutaan tutkia onko jokin konkreettinen funktio annetun variaatio-ongelman ratkaisu vai ei. Suoraan määritelmän avulla tämän selvittäminen ei yleensä ainakaan helposti onnistu, ja siksi tarvitaankin ehtoja, jotka funktion on toteutettava voidakseen olla minimoija (välttämättömät ehdot) ja toisaalta ehtoja, joiden voimassaolo takaa sen, että kyseinen funktio on minimoija (riittävät ehdot). Välttämättömistä ehdoista ehdottomasti tärkein on ns. Eulerin yhtälö, joka vastaa differentiaalilaskennasta tuttua ehtoa gradientin häviämisestä funktion minimikohdassa. Eulerin yhtälön toteutuminen ei yleisesti ottaen ole riittävä ehto minimointiominaisuudelle, mutta monissa tärkeissä tapauksissa näin kuitenkin on. Muita riittäviä ehtoja ovat tietyt toisen variaation kautta tulevat ehdot, mutta niihin emme tällä kurssilla puutu. 4. Stabiilisuus Monissa käytännön tilanteissa jotkin variaatio-ongelman parametreista saadaan esimerkiksi mittausten avulla ja ne ovat näin ollen alttiita mittausvirheille. Olisi siis suotavaa, että mittausvirheistä johtuva pieni muutos ongelman parametreissa muuttaisi ongelman ratkaisua vain vähän. Esimerkiksi pyörähdyskappaleen pinnan pinta-alaa minimoitaessa tämä tarkoittaa sitä, että minimoiva funktio muuttuisi jatkuvasti annettujen reunaehtojen α ja β muuttuessa. Reuna- ja sidosehtojen lisäksi ongelman stabiilisuutta voidaan tarkastella vaikkapa alueen (esimerkiksi Laplace operaattorin ominaisarvojen yhteydessä) tai funktionaalin määrittävän integrandin suhteen. Toinen käytännön syy stabiilisuus tarkasteluihin on niiden merkitys numeeristen ratkaisumenetelmien yhteydessä. Numeeriset menetelmät perustuvat yleensä ongelman sopivaan approksimointiin yksinkertaisimmilla ongelmilla ja ne antavat parhaimmassakin tapauksessa vain approksimatiivisen ratkaisun, joka voi poiketa todellisesta ratkaisusta huomattavasti, jos variaatio-ongelma on epästabiili. Tällä kurssilla emme juurikaan ehdi syventyä ratkaisujen stabiilisuuskysymyksiin. 5. Ratkaisun säännöllisyys Variaatiolaskennassa käytettävät menetelmät pakottavat meidät hyvin usein laajentamaan tarkasteltavien funktioiden joukkoa, jotta ratkaisun olemassaolo saataisiin todistettua. Tämän jälkeen pyritään kuitenkin osoittamaan, että löydetty ratkaisu kuuluu ongelman lähtökohdan kannalta luonnolliseen luokkaan, eli siihen funktiojoukkoon, jolle ongelma on alunperin muotoiltu. Toisaalta on perusteltua olettaa, että variaatio-ongelman ratkaisulla on 8

joitakin tavallisista funktioista poikkeavia ominaisuuksia, jotka ovat seurausta sen minimointiominaisuudesta. Tällaisia ovat erilaiset jatkuvuus-, differentioituvuus- ja integroituvuus ominaisuudet, sekä tietyt kvalitatiiviset omainaisuudet kuten maksimi- ja minimiperiaatteet ja ns. Harnackin epäyhtälö. Tämä ns. säännööllisyysteoria muodostaa variaatiolaskennan kenties vaikeimman ja laajimman osalueen. Tällä kurssilla tutustumme siihen lyhyesti yksiulotteisten ongelmien yhteydessä. 6. Eksplisiittiset ratkaisut Vaikka ratkaisun (eli minimoijan) olemassaolo ja yksikäsitteisyys pystyttäisiinkin todistamaan, ei ratkaisua yleensä osata kirjoittaa eksplisiittisesti ja on tyydyttävä sen kvalitatiivisten ominaisuuksien tutkimiseen. Tietyissä erikoistapauksissa ongelma voidaan kuitenkin ratkaista lähinnä Euler-Lagrangen yhtälöä hyödyntäen. Tällä kurssilla aihetta tarkastellaan muutaman esimerkin kautta. Huomautus..3. Yleisessä teoriassa riittää tutkia minimointiongelmia, sillä jos tehtävänä on maksimoida funktionaali I(u) = F(x, u, u) dx joukossa, on tämä yhtäpitävää funktionaalin Ĩ(u) = F(x, u, u) dx minimoimisen kanssa. Harjoitustehtäviä. Tarkastellaan tason kaikkia kolmioita, joiden piiri on. Osoita, että tällaisten kolmioiden joukossa on olemassa pinta-alan maksimoiva kolmio. 2. Tarkastellaan kolmioita BC, missä = (, ), B = (, ), C = (x, y), y >, ja kolmion piiri on 3. Osoita, että tällaisten kolmioiden joukossa suurin pinta-ala on tasakylkisellä kolmiolla ( siis C = (/2, 3/2)). 3. Olkoon ja K = {v : [, ] [, [, v C([, ]) ja v() = v() = }, I(v) = π v(x) 2 dx (ts. I(v) on käyrän v pyörähtäessä syntyvän kappaleen tilavuus). Osoita, että jokaiselle v K pätee I(v ) > inf v K I(v). 9

Luku 2 Ääriarvo-ongelmista R n :ssä Olkoon f : R n R annettu funktio. Tehtävänä on tutkia, millä ehdoilla (i) on olemassa piste x R n, jossa f saavuttaa pienimmän arvonsa, ts. (ii) minimipiste x on yksikäsitteinen, ts. f (x ) f (x) kaikilla x R n. f (x ) < f (x) kaikilla x R n, x x. Lisäksi halutaan löytää riittäviä ja/tai välttämättömiä ehtoja minimipisteelle x. Tämä differentiaalilaskennan kurssilta tuttu ongelma toimii ikäänkuin harjoitusvastustajana ennen varsinaisten variaatio-ongelmien kimppuun käymistä, ja sen yhteydessä on helpompi tutustua myöhemmin runsaasti tarvittaviin käsitteisiin puolijatkuvuus ja konveksisuus. 2. Puolijatkuvuus Määritelmä 2... Olkoon R n mikä tahansa epätyhjä joukko. Funktio g : R on alhaalta puolijatkua, jos missä lim inf y x y lim inf y x y g(y) g(x) kaikilla x, g(y) := lim r ( inf{g(y) : y, < x y < r} ). Vastaavasti, funktio g : R on ylhäältä puolijatkuva, jos g on alhaalta puolijatkuva, toisin sanoen, lim sup g(y) g(x) kaikilla x, y x y missä lim sup y x y g(y) := lim r ( sup{g(y) : y, < x y < r} ).

Huomautus 2..2. (i) Puolijatkuvuus määritellään kirjallisuudessa usein funktioille, jotka voivat reaaliarvojen lisäksi saada myös arvot ±. (ii) Funktio g : R on jatkuva jos ja vain jos g on sekä alhaalta että ylhäältä puolijatkuva. (iii) ivan kuten jatkuvuus, myös puolijatkuvuus voidaan karakterisoida jonoja käyttäen. Funktio g : R on alhaalta puolijatkuva jos ja vain jos kaikilla x pätee: jos x j x, x j, niin g(x ) lim inf j g(x j) := lim j (inf k j {g(x k)}). Lemma 2..3. Funktio g : R on alhaalta puolijatkuva jos ja vain jos on suljettu (relatiivitopologiassa). g (], c]) = {x : g(x) c} Todistus. Oletetaan ensin, että g : R on alhaalta puolijatkuva, ja olkoon jono (x j ) {x : g(x) c} siten, että x j x. Tavoitteena on osoittaa, että g(x ) c. Ilman yleisyyden menetystä voimme olettaa, että x j x kaikilla j N. Koska oletuksen mukaan g(x ) lim inf y x g(y) = lim r (inf{g(y) : y, < x y < r}), ja < x x j < r kun j N on riittävän suuri, on g(x ) c. Käänteisen puolen todistamiseksi tehdään antiteesi ja oletetaan, että löytyy x siten, että lim inf y x g(y) < g(x ) ε, jolloin inf{g(y) : y, < x y < r} < g(x ) ε/2 kaikilla riittävän pienillä r >. Siten löytyy jono (y j ), < x y j < / j siten, että g(y j ) g(x ) ε/2 kaikille riittävän suurille j N. Koska joukko on oletuksen mukaan suljettu, on oltava {x : g(x) g(x ) ε/2} g(x ) g(x ) ε/2, mikä on absurdia. Siispä lim inf y x g(y) g(x ). Esimerkki 2..4. Olkoon E R n ja g : R n, x E R, g(x) =, x E (ts. g = χ E on joukon E karakteristinen funktio). Tällöin edellisen lemman nojalla g on alhaalta puolijatkuva jos ja vain jos E on avoin.

Seuraavaa tulosta emme tällä kurssilla tarvitse, mutta se on silti hyvä tietää. Todistus jää lukijalle harjoitustehtäväksi. Lemma 2..5. Olkoon R n avoin. Tällöin g : R on alhaalta puolijatkuva jos ja vain jos on olemassa kasvava jono g j : R jatkuvia funktioita siten, että lim g j (x) = g(x) kaikilla x. j Huomautus 2..6. Itse asiassa yllä olevan lemman tilanteessa löytyy kasvava jono funktioita g j C, joka suppenee pisteittäin kohti alhaalta puolijatkuvaa funktiota g. Ylhäältä puolijatkuvalle funktiolle pätee luonnollisesti vastaava tulos eli löytyy vähenevä jono siistejä fuktioita, joka konvergoi pisteittäin. 2.2 Konveksit joukot ja funktiot Määritelmä 2.2.. Joukko E R n on konveksi, jos x, y E = λx + ( λ)y E kaikille λ [, ]. Määritelmä 2.2.2. Olkoon E R n konveksi joukko. Funktio g : E R on konveksi, jos g(λx + ( λ)y) λg(x) + ( λ)g(y) kaikille x, y E ja kaikille λ [, ]. Konveksit funktiot ja konveksit joukot liittyvät läheisesti toisiinsa. On nimittäin helppo nähdä, että funktio g : E R on konveksi jos ja vain jos sen epigrafi Epi(g) := {(x, t) R n+ : x E, t g(x)} on konveksi joukko. nnetun funktion konveksisuuden tutkiminen tapahtuu hyvin usein sen derivaattaa hyväksi käyttäen. Lemma 2.2.3. Olkoon R n avoin ja konveksi, ja g : R jatkuvasti differentioituva. Tällöin g on konveksi jos ja vain jos ( g(x) g(y)) (x y) kaikilla x, y. Tapauksessa n = Lemma 2.2.3 sanoo yksinkertaisesti, että jatkuvasti derivoituva funktio g :]a, b[ R on konveksi jos ja vain jos sen derivaattafunktio g on kasvava. Sama idea tulee vastaan myös korkeammissa ulottuvuuksissa. Koska (x y) ( g(x) g(y)) (x y) = ( g(x) g(y) x y = x y (D e g(x) D e g(y)), (x y) ) x y x y missä e = x y x y ja D e g(x) on g:n suuntaisderivaatta vektorin e suuntaan pisteessä x, nähdään Lemman 2.2.3 avulla, että g on konveksi jos ja vain jos funktio t D e g(y + t(x y)) on kasvava välillä [, ] kaikille x, y E. 2

Todistus. Yllä olevan päättelyn perusteella riittää todistaa väite tapauksessa n =. Oletetaan ensin, että funktion g :]a, b[ R derivaatta on kasvava, ja olkoon x, y ]a, b[, y < x ja t ], [. Merkitään z = tx + ( t)y = y + t(x y), jolloin todistettava epäyhtälö saa muodon g(z) tg(x) + ( t)g(y). Väliarvolauseen mukaan on olemassa η ]y, z[ ja ξ ]z, x[ siten, että g(z) g(y) z y = g (η) ja g (ξ) = g(x) g(z). x z Koska g on kasvava, on g (η) g (ξ), ja siten g(z) g(y) t(x y) g(x) g(z) ( t)(x y). Kertomalla yhtälö puolittain termillä x y ja järjestelemällä sopivasti saadaan g(z) tg(x) + ( t)g(y). Käänteistä implikaatiota varten kiinnitetään x, y ]a, b[ siten, että y < x. Koska nyt oletuksen mukaan g on konveksi, pätee g(z) tg(x) + ( t)g(y) kaikilla z = tx + ( t)y, t ], [, joka termien uudelleen järjestelyn jälkeen voidaan kirjoittaa muotoon Kun yllä z x eli t, saadaan g(z) g(y) z y g(x) g(z). x z g(x) g(y) x y g (x). Vastaavasti, kun z y eli t, saadaan epäyhtälö g (y) g(x) g(y) x y Näin ollen siis g (y) g (x). Siinä tapauksessa, että funktio g : ]a, b[ R sattuu olemaan kahdesti jatkuvasti derivoituva, kertoo Lemma 2.2.3, että g on konveksi jos ja vain jos g (x) kaikilla x. Yleisemmin on voimassa Seuraus 2.2.4. Olkoon R n avoin ja konveksi, sekä g C 2 (). Tällöin funktio g on konveksi jos ja vain jos toisen kertaluvun osittaisderivaattojen muodostama symmetrinen n n -matriisi D 2 g(x) on positiivisesti semidefiniitti kaikille x. 3

Yllä siis toisin sanoen [ D 2 g(x) ] i j = 2 g x i x j (x), i, j =, 2,..., n, 2 g x x (x) D 2 g(x) =. 2 g x n x (x) 2 g x x 2 (x) 2 g x n x 2 (x) 2 g x x n (x) 2 g x n x n (x) Lisäksi muistetaan, että matriisi D 2 g(x) on positiivisesti semidefiniitti jos ja vain jos ( D 2 g(x)ξ ) ξ kaikilla ξ R n, mikä puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että matriisin D 2 g(x) kaikki ominaisarvot ovat ei-negatiivisia. Yllä olevan ehdon ja funktion h(t) = D e g(x + te) = g(x + te) e = n i= g x i (x + te)e i kasvavuuden välinen yhteys tulee esille, kun huomataan, että h (t) = n i= n j= 2 g x i x j (x + te)e j e i = ( D 2 g(x + te)e ) e kaikille suuntavektoreille e = (e,..., e n ). Jos ξ R n \{}, niin voidaan valita e = ξ ξ, jolloin saadaan ( D 2 g(x)ξ ) ξ = ξ 2 ( D 2 g(x)e ) e = ξ 2 h (). Lemma 2.2.5. Olkoon g : R konveksi ja g C (). Tällöin g(x) g(x ) + g(x ) (x x ) kaikilla x, x. Todistus. Kiinnitetään x, x ja olkoon t [, ]. Koska g(tx + ( t)x ) tg(x) + ( t)g(x ) eli g(x + t(x x )) g(x ) t (g(x) g(x )), on voimassa g(x + t(x x )) g(x ) t g(x) g(x ). Kun t, saamme tästä halutun epäyhtälön g(x ) (x x ) g(x) g(x ). Edellä todistettiin tuloksia jatkuvasti differentioituville konvekseille funktioille, mutta kaikki konveksit funktiot eivät suinkaan ole differentioituvia; helppo esimerkki on funktio g(x) = x. Derivaattoja toiseen kertalukuun saakka löytyy aina kuitenkin melkein kaikissa pisteissä. Lause 2.2.6. Olkoon g : R konveksi funktio, R n avoin ja konveksi. Tällöin (i) g on jatkuva 4

(ii) g on differentioituva m.k. :ssa (iii) g on kahdesti differentioituva m.k. :ssa: m.k. x n n-matriisi siten, että on olemassa symmetrinen toisin sanoen g(x) = g(x ) + g(x ) (x x ) + 2 (x x ) (x x ) + ( x x 2 ), g(x) lim x x ( g(x ) + g(x ) (x x ) + 2 (x x ) (x x ) ) x x 2 =. Tämän tuloksen todistus ei ole aivan helppo ja se sivuutetaan, katso esim. [7]. Määritelmä 2.2.7. Olkoon E R n konveksi joukko. Funktio g : E R on aidosti konveksi, jos g(tx + ( t)y) < tg(x) + ( t)g(y) kaikilla x, y E, x y, ja kaikilla t ], [. 2.3 Minimin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Lause 2.3.. Jos funktio f : R n R on alhaalta puolijatkuva ja lim x g(x) = +, niin g saavuttaa pienimmän arvonsa. Todistus. Olkoon M = g() R. Koska lim x g(x) = +, löytyy R > siten, että g(x) g() kaikilla x R n \ B(, R). Seuraavaksi tarvitaan pientä aputulosta: Jos K R n on kompakti ja g : K R alhaalta puolijatkuva, niin g saavuttaa joukossa K pienimmän arvonsa eli on olemassa ˆx K siten, että g( ˆx) = inf x K g(x). Tämän toteen näyttämiseksi määritellään inf x K g(x) +, jos inf j x K g(x) >, c j = j, jos inf x K g(x) =. Tällöin (c j ) R on vähenevä jono ja lim j c j = inf x K g(x). Infimumin määritelmän perusteella kaikille j N on olemassa x j K siten, että g(x j ) < c j. Koska K on kompakti (ja siten jonokompakti), on olemassa osajono (x jk ) (x j ), joka suppenee kohti jotain pistettä x K. Funktion g alhaalta puolijatkuvuuden nojalla g(x ) lim inf y x g(y) lim inf k g(x j k ) lim inf y x c jk = inf x K g(x). Tämä todistaa aputuloksen. Huomaa kuitenkin, että alhaalta puolijatkuva funktio ei välttämättä saavuta suurinta arvoaan kompaktissa joukossa. Jatketaan alkuperäisen lauseen todistusta soveltamalla aputulosta kompaktiin joukkoon B(, R). Näemme, että on olemassa x B(, R) siten, että g(x ) g(y) kaikilla y B(, R). Koska erityisesti g(x ) g(), seuraa tästä, että g saavuttaa pienimmän arvonsa R n :ssä pisteessä x. 5

Huomautus 2.3.2. Jos oletetaan lisäksi, että g on aidosti konveksi, niin edellä löydetty minimipiste on yksikäsitteinen. Nimittäin jos olisi pisteet x x 2 siten, että g(x ) = g(x 2 ) = inf x R n g(x), niin funktion g aidon konveksisuuden nojalla mikä on mahdotonta. Harjoitustehtäviä g ( x +x 2 2 ) < 2 g(x ) + 2 g(x 2) = inf x R n g(x),. Olkoot f : R ja g : R alhaalta puolijatkuvia funktioita joukossa R n. Osoita, että tällöin myös funktiot f + g ja h(x) = min{ f (x), g(x)} ovat alhaalta puolijatkuvia. 2. nna esimerkki alhaalta puolijatkuvasta funktiosta f : [, ] R, joka ei saavuta suurinta arvoaan välillä [, ]. 3. Olkoon f j : R kasvava jono jatkuvia funktioita, jotka suppenevat pisteittäin kohti funktiota f : R, ts. Osoita, että f on alhaalta puolijatkuva. lim f j (x) = f (x) kaikilla x. j 4. Olkoon E R n epätyhjä konveksi joukko. Osoita (vaikkapa induktiolla), että jos m N, x i E, λ i, i =, 2,..., m ovat siten, että m i= λ i =, niin m λ i x i E. i= 5. Olkoon E R n mikä tahansa epätyhjä joukko. Määritellään E:n konveksi verho (convex hull) coe asettamalla m m coe = λ i x i : m N, x i E, λ i ja λ i =. i= i= (a) Osoita, että missä coe = F, F F F = {F R n : E F ja F konveksi}. (b) Päteekö co(e E 2 ) = co(e ) co(e 2 ) kaikille joukoille E, E 2 R n? 6. Olkoon E R n konveksi joukko ja g j : E R jono konvekseja funktioita. Osoita, että 6

(i) g i + g j on konveksi. (ii) λg i on konveksi kaikille λ. (iii) jos g(x) := sup j N g j (x) < jokaiselle x E, niin g : E R on myös konveksi. 7. Olkoon g : R n R konveksi ja jatkuvasti differentioituva. Osoita, että (i) jos g(x ) =, niin g saavuttaa pienimmän arvonsa pisteessä x. (ii) jos g on ylhäältä rajoitettu (ts. on olemassa M > siten, että g(x) M kaikille x R n ), niin g on vakiofunktio. 8. Olkoon g : ], [ R konveksi. Osoita, että g on jatkuva funktio. 7

Luku 3 Funktioavaruuksista 3. Valittuja paloja funktionaalianalyysistä 3.. Banach-avaruudet Olkoon X mielivaltainen reaalikertoiminen vektoriavaruus, toisin sanoen (i) X on belin ryhmä "yhteenlaskun" + : X X X suhteen. (ii) λ(µ f ) = (λµ) f kaikille λ, µ R, f X. (iii) (λ + µ) f = λ f + µ f ; λ( f + g) = λ f + λg. (iv) f = f kaikilla f X. Näistä ehdoista seuraa erityisesti, että jos f, g X, niin f + g X. jos f X ja λ R, niin λ f X. on olemassa nolla-alkio X siten, että f + = f kaikilla f X. kaikilla f X on olemassa vasta-alkio f X siten, että f + ( f ) =. Huomautus 3... Tällä kurssilla X on poikkeuksetta jokin funktioavaruus, X { f : R m }, R n. Tällöin määritellään ( f + g)(x) := f (x) + g(x), (λ f )(x) := λ f (x) jne. Määritelmä 3..2. Kuvaus : X [, [ on normi avaruudessa X, jos () f + g f + g kaikilla f, g X. 8

(2) λ f = λ f kaikilla f X, λ R. (3) f = jos ja vain jos f =. (X, ) on tällöin normiavaruus. Huomautus 3..3. Samaan avaruuteen (funktiojoukkoon) voidaan liittää useita normeja. Esimerkiksi jos X = { f : [, ] R f on jatkuva} =: C([, ]), niin ovat normeja avaruudessa X. f = sup f (x) ja f = x [,] f (x) dx Määritelmä 3..4. (i) Jono ( f k ) k= X suppenee (vahvasti/normin mielessä) kohti alkiota f X, merkitään f k f, jos lim k f k f =. (ii) Jono ( f n ) on Cauchy-jono, jos jokaiselle ε > on olemassa N = N(ε) > siten, että f k f j < ε kaikille k, j N. Määritelmä 3..5. Normiavaruus (X, ) on täydellinen, jos sen jokainen Cauchy-jono suppenee; ts. jos ( f k ) on Cauchy jono, on olemassa f X siten, että f k f. Täydellisiä normiavaruuksia kutsutaan Banach-avaruuksiksi. Esimerkki 3..6. (C(), ) on Banach, mutta (C(), ) ei ole. 3..2 Duaali Määritelmä 3..7. Banach-avaruuden (X, ) duaali X koostuu kaikista rajoitetuista lineaarikuvauksista x : X R. Toisin sanoen x X jos ja vain jos. x (λ f + µg) = λx ( f ) + µx (g) kaikille f, g X, λ, µ R. 2. x X := sup{x ( f ) : f X, f X } <. Esimerkki 3..8. Olkoon (X, ) = (C(), ), ja asetetaan x ( f ) := f (x) dx, mikä selvästi määrittelee lineaarikuvauksen x : X R. Jos f X on siten, että f = sup{ f (x) : x }, niin x ( f ) dx = missä tarkoittaa avoimen joukon n-ulotteista Lebesgue mittaa. Näin ollen x X jos <. 9

Huomautus 3..9. (i) Duaaliavaruus (X, X ) on aina Banach-avaruus (vaikka X olisi itse pelkästään normiavaruus), kun määritellään (x + y )(x) := x (x) + y (x) jne. (ii) Usein käytetään merkintää x, f := x ( f ). Yksi syy tähän on se, että Cauchy- Schwartzin epäyhtälö yleistyy muotoon x, f = x ( f f f ) = f x ( ) f f x X. f (iii) Lineaarikuvaus x : X R on rajoitettu jos ja vain jos x on jatkuva: Cauchy-Schwartzin nojalla nähdään ensin, että jos x X <, niin x ( f ) x (g) = x ( f g) x X f g kun f g. Jos taas x on jatkuva, mutta ei ole rajoitettu, niin on olemassa jono f j X, f j X siten, että x ( f j ) j. Olkoon g j = j f j X. Tällöin g j = j f j j kun j, mutta x (g j ) = j x ( f j ) > = x (), mikä on ristiriidassa x :n jatkuvuuden kanssa. Määritelmä 3... Banach-avaruus (X, ) on refleksiivinen, jos (X ) = X. Tässä yhtäsuuruudella tarkoitetaan, että avaruudet ovat isometrisesti isomorfiset: on olemassa bijektiivinen lineaarikuvaus T : X X siten, että T f X = f X kaikilla x X. Huomautus 3... varuus (X ) on siis duaaliavaruuden X (joka on itsekin normiavaruus) duaaliavaruus. Siten ˆx X = (X ) jos ja vain jos ˆx(λx + µy ) = λ ˆx(x ) + µ ˆx(y ) kaikilla x, y X ja λ, µ R, ja ˆx X := sup{ ˆx(x ) : x X } <. 3..3 Heikko konvergenssi Määritelmä 3..2. Olkoon (X, ) Banach ja (X, ) sen duaali. Jono ( f j ) X suppenee heikosti kohti alkiota f X, merkitään f j f, jos x ( f k ) x ( f ) kaikilla x X. Huomautus 3..3. Koska yllä olevassa määritelmässä x ( f k ) ja x ( f )R ovar reaalilukuja, konvergenssi x ( f k ) x ( f ) tarkoittaa normaalia reaalilukujen konvergenssiä. 2

Lause 3..4. Olkoon ( f j ) X siten, että f j f X. Tällöin (i) jono ( f j ) on rajoitettu, ts. on olemassa M > siten, että f j M kaikilla j. (ii) f lim inf j f j, (ts. normi on heikosti alhaalta puolijatkuva). Määritelmä 3..5. (a) Joukko K X on heikosti jonokompakti, jos jokaisella jonolla ( f j ) K on osajono ( f jk ), joka suppenee heikosti kohti jotakin f K. (b) Joukko K X on heikosti suljettu, jos K on suljettu heikon suppenemisen suhteen: ehdoista ( f j ) K, f j f seuraa aina f K. Huomautus 3..6. (i) Jos f j f vahvasti/normin mielessä, toisin sanoen f j f kun j, niin f j f : Olkoon x X. Tällöin x ( f j ) x ( f ) = x ( f j f ) x X f j f, sillä x X <. Käänteinen tulos ei yleisesti ottaen pidä paikkaansa. Esimerkkejä heikosti suppenevista jonoista, jotka eivät suppene vahvasti tulee vastaan hieman myöhemmin. (ii) Jos K X on heikosti suljettu, niin K on suljettu (normitopologian suhteen). Käänteinen tulos ei jälleenkään päde yleisesti. (iii) Heikko raja-arvo on yksikäsitteinen: jos f j f ja f j g, niin f = g. Lause 3..7. Olkoon X refleksiivinen Banach-avaruus. Tälloin K X on heikosti jonokompakti jos ja vain jos K on rajoitettu ja heikosti suljettu. Muista, että joukko K X on rajoitettu jos on olemassa M > siten, että x M kaikilla x K. Se, että jokainen heikosti jonokompakti joukko on rajoitettu ja heikosti suljettu on totta myös ilman oletusta X refleksiivisyydestä ja suhteellisen helppo todistaa. Käänteinen suunta sen sijaan on hieman vaikeampi. Lauseen todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [8]. Huomautus 3..8. Voidaan osoittaa, että avaruuden (X, ) normin mielessä suljetut ja rajoitetut joukot ovat kaikki kompakteja jos ja vain jos avaruus X on äärellisulotteinen. Ääretönulotteisen avaruuden tapauksessa on siis pakko siirtyä käyttämään heikon suppenemisen käsitettä. Äärellisulotteisessa avaruudessa heikko ja vahva suppeneminen ovat sama asia. Lause 3..9. (Mazurin lemma) Jos f j f, niin on olemassa (g j ) X siten, että g j = j λ k, j f k, λ k, j, k= j λ k, j = k= ja g j f eli g j f. Seuraus 3..2. Jos K X on konveksi ja suljettu, niin K on heikosti suljettu. 2

Todistus. Olkoon ( f j ) K siten, että f j f X. Halutaan osoittaa, että f K. Mazurin lemman nojalla löytyy luvut λ k, j siten, että j λ k, j = ja g j f, missä g j = k= j λ k, j f j. k= Koska K on konveksi ja ( f j ) K, niin g j K kaikilla j. Edelleen, koska K on suljettu ja g j f, niin f K. Edelliset lauseet yhdistämällä saadaan seuraavan abstrakti minimin olemassaolotulos: Lause 3..2. Olkoon (X, ) refleksiivinen Banach-avaruus ja olkoon K X suljettu ja konveksi joukko. Oletetaan, että kuvaus I : K R on (i) koersiivinen: I(u) kun u, u K. (ii) heikosti alhaalta puolijatkuva joukossa K: jokaiselle jonolle (u j ) K siten, että u j u K kun j pätee I(u) lim inf I(u j). j Tällöin inf u K I(u) > ja on olemassa u K siten, että I(u ) = inf u K I(u). Todistus. Merkitään inf u K I(u) + c j =, j j, jos inf u K I(u) >, jos inf u K I(u) =. Infimumin määritelmän nojalla on olemassa u j K siten, että I(u j ) c j, jolloin erityisesti lim I(u j ) = inf I(u). j u K Funktion I koersiivisuuden nojalla jono (u j ) on rajoitettu, eli on olemassa M > siten, että u j M kaikilla j N. Nyt jono (u j ) sisältyy joukkoon K B(, M), joka on rajoitettu, konveksi ja suljettu, ja siten rajoitettu ja heikosti suljettu. Koska X on refleksiivinen, Lause 3..7 takaa, että joukko K B(, M) on heikosti jonokompakti. Tällöin on olemassa osajono (u jk ) (u j ) ja u K B(, M) siten, että u jk u. Koska I on heikosti alhaalta puolijatkuva, on I(u ) lim inf k Etsitty minimipiste on siten löydetty. I(u j k ) = inf u K I(u). Esimerkki 3..22. Olkoon (X, ) refleksiivinen Banach-avaruus, K X konveksi ja suljettu, sekä u X. Tällöin on olemassa u K siten, että u u u u kaikilla u K. 22

Todistus. Määritellään funktio I : K R, I(u) = u u. Koska I(u) u u kun u, on I koersiivinen. Lisäksi I on heikosti alhaalta puolijatkuva: Olkoon (v j ) K siten, että v j v K. Merkitään w j := v j u ja w = v u. Tällöin kaikilla x X x (w j ) = x (v j u) = x (v j ) x (u) j x (v) x (u) = x (v u), joten w j w. Normin heikosta alhaalta puolijatkuvuudesta seuraa, että I(v) = v u = w lim inf j w j = lim inf j v j u = lim inf j I(v j), eli I on heikosti alhaalta puolijatkuva. Nyt Lauseen 3..2 nojalla on olemassa u K siten, että I(u ) = inf u K I(u). Huomautus 3..23. (i) R n :ssä alhaalta puolijatkuvuus määriteltiin epäyhtälöllä g(x) lim inf y x y g(y) = lim r (inf{g(y) : < x y < r, y }). Heikko alhaalta puolijatkuvuus täytyy määritellä jonojen avulla, sillä "heikkoja palloja"ei ole olemassa. (ii) Variaatiolaskennassa esiintyvät funktionaalit I : K R ovat erittäin harvoin jatkuvia heikon konvergenssin suhteen, ja tämän vuoksi alhaalta puolijatkuvuus on oleellisen tärkeä käsite. (iii) Variaatiolaskentaa voidaan harrastaa myös ei-refleksiivisissä avaruuksissa. 3.2 L p -avaruudet Määritelmä 3.2.. Olkoon R n (Lebesgue-) mitallinen ja p. Määritellään missä ja L p () := { f : R {± } : f on mitallinen ja f p < }, ( p f p = f L p () := f (x) dx) p, p < f = f L () := ess sup f (x) = inf{t > : f (x) t m.k. x }. x Yllä olevassa määritelmässä samaistetaan funktiot, jotka yhtyvät melkein kaikkialla joukossa, ts. f = g jos ja vain jos joukon {x : f (x) g(x)} n-ulotteinen Lebesgue mitta on nolla. varuus L p () on siis tarkkaan ottaen tällaisten ekvivalenssiluokkien kokoelma. Käytännössä ajatellaan, että L p -funktiot on määritelty vain m.k. pisteissä. Mittaja integraaliteorian kurssilta muistetaan, että 23

() (L p (), p ) on Banach-avaruus. Erityisesti f + g p f p + g p kaikilla f, g L p (). (2) Hölderin epäyhtälö: Olkoon f, g : R {± } mitallisia ja luvut p, q siten, että + =. Jos f p q Lp () ja g L q (), niin f g L () ja f g f p g q, ts. ( ) p ( ja f (x)g(x) dx f (x)g(x) dx f (x) p dx q g(x) dx) q, < p, q < ( ) ess sup f (x) g(x) dx jos p =, q =. x (3) Olkoon f j, f L p (). Jos f j f (siis f j f p = ( f j(x) f (x) p dx ) p ), niin on olemassa osajono ( f jk ) ( f j ) siten, että f jk (x) f (x) m.k. x. Huomautus 3.2.2. Hölderin epäyhtälöstä seuraa, että jos < ja p q, niin ja Tässä ( f (x) p dx ( ) p ( L q () L p () q f (x) dx) q kaikille f L p (). ) p ( f p dx = f p dx) p. Jos = ja p q, niin L p () L q () ja L q () L p (). Seuraavaksi osoitetaan, että avaruuden (L p (), p ) duaali on isometrisesti isomorfinen avaruuden (L q (), q ) kanssa, missä + = (eli q = p ) ja < p, q <. Ensin helppo p q p osuus: p Lause 3.2.3. Olkoon < p < ja q = (siis + = ), ja g p p q Lq (). Määritellään T g : L p () R, T g ( f ) = f g dx. Tällöin T g ( ) L p (), p ja sen duaalinormi Tg = g q. Erityisesti siis L q () (L p ()). 24

Todistus. Koska T g (λ f + µ f 2 ) = (λ f + µ f 2 )g dx = λ f g dx + µ f 2 g dx = λt g ( f ) + µt g ( f 2 ) kaikilla f, f 2 L p () ja λ, µ R, kuvaus T g on lineaarinen. Hölderin epäyhtälön nojalla on ( ) T g ( f ) = f g dx f g dx Hölder p ( ) q f p dx g q dx = f p g q, joten T g = sup{t g ( f ) : f L p (), f p } g q <. Osoitetaan vielä, että T g g q. Tätä varten valitaan f = g q 2 g, jolloin f (x) p = ( g(x) q ) p = g(x) q. Siten ja ( f L p = f (x) p dx T g ( f ) = ) p = ( g q 2 gg dx = g(x) q dx = g q q g q = f p g q. ) q q = g q q g(x) q dx = g q q < Näin ollen T g ( f f p ) = g q ja siten T g g q duaalinormin määritelmän perusteella. Käänteinen inkluusio (L p ()) L q () on hankalampi todistaa. Siinä tarvitaan mm. Radon-Nikodymin lausetta, joka muotoillaan seuraavaksi. Olkoon M Lebesgue-mitallisten joukkojen σ-algebra R n :ssä. Kuvaus µ : M R {± } on merkkimitta (signed measure), jos (i) µ( ) = (ii) µ(e j ) = µ( E j ) kaikilla pareittain pistevierailla E j M. j= j= Huomautus 3.2.4. Pätee: µ on merkkimitta jos ja vain jos on olemassa ei-negatiiviset mitat µ +, µ siten, että µ = µ + µ. Määritelmä 3.2.5. Merkkimitta µ on absoluuttisesti jatkuva Lebesguen mitan suhteen, merkitään µ <<, jos ehdosta E = aina seuraa µ(e) =. Lause 3.2.6 (Radon-Nikodym). Olkoon R n mitallinen ja µ äärellinen merkkimitta, joka on absoluuttisesti jatkuva Lebesguen mitan suhteen. Tällöin on olemassa tasan yksi g L () siten, että µ(e) = g(x) dx kaikille mitallisille E. E 25

Radon-Nikodymin lauseen todistus löytyy mm. lähteestä [8]. Lause 3.2.7. (F. Riesz) Olkoon R n mitallinen, < p < ja T ( ) L p (), p = (L p ()). Tällöin on olemassa yksikäsitteinen g L q (), q = p, siten, että p T( f ) = f g dx kaikilla f L p () ja T = g q. Huomautus 3.2.8. Lauseiden 3.2.3 ja 3.2.7 nojalla siis (L p ()) = L q (). Erityisesti avaruus L p () on refleksiivinen kaikilla < p <. Todistus. Oletetaaan ensin, että < +. Olkoon E M ja merkitään, x E χ E (x) =, muutoin. Tällöin ( ) p χ E p = dx = E p <. E Määritellään µ(e) := T(χ E ), jolloin ja µ( ) = T(χ ) = T() = µ( E j ) =T(χ j= E j ) = T ( ) χ j= (E j ) j= =T( χ E j ) = T(χ E j ) = j= j= µ(e j ) j= kaikilla pareittain pistevierailla E j C. Lisäksi µ(e) = T(χ E ) T χ E p T E p T p < +, joten µ on äärellinen merkkimitta. Ja jos E =, niin µ(e) = T(χ E ) = T() =. Näin ollen µ on myös absoluuttisesti jatkuva Lebesguen mitan suhteen, ja Radon-Nikodymin lauseen nojalla on olemassa g L () siten, että µ(e) = g dx kaikilla E M, E. Seuraavaksi on tarkoitus osoittaa, että g on etsitty funktio, toisin sanoen, g L q () ja T( f ) = f g dx kaikilla f Lp (). E 26

() Olkoon f L p () yksinkertainen funktio, ts. f = Tällöin k T( f ) = T c i χ i = = i= k c i g dx = i i= = f g dx. k c i T(χ i ) = i= k c i i= k c i χ i joillakin c i R ja i C. i= k c i µ( i ) i= χ i (x) g(x) dx = k c i χ i g dx (2) Olkoon f, rajoitettu ja mitallinen; tällöin f L p (), sillä <. Valitaan yksinkertaiset funktiot f i siten, että f i f i+ f ja lim i f i (x) = f (x) m.k. x. Koska f i f p f p ja f p L (), niin f f i p p kun i dominoidun konvergenssin lauseen nojalla. Edelleen, koska T on jatkuva lineaarikuvaus, niin kohdan () nojalla T( f ) = lim T( f i ) = lim f i g dx = f g dx, i i missä viimeisin yhtäsuuruus seuraa jälleen dominoidun konvergenssin lauseesta ja siitä, että f i (x)g(x) f (x)g(x) f g(x) L (). (3) Olkoon f rajoitettu ja mitallinen funktio, ja f + ja f sen positiivi- ja negatiiviosat. Edellisen kohdan nojalla T( f ) = T( f + f ) = T( f + ) T( f ) = f + g dx f g dx = ( f + f )g dx = f g dx. (4) Osoitetaan seuraavaksi, että g L q (). Tätä varten merkitään h = g q 2 g ja h(x), jos h(x) j h j (x) =, muutoin. Koska h j L () kaikilla j, seuraa kohdasta (3), että h j g dx = T(h j ) T h j p < (3.2.) ja siten Toisaalta ( h j p = h j p dx h j g dx = ) p = ( { h j} i= g q dx =: I j R kaikilla j. ) q ( g q ) q q q dx { h j} 27 ( = g q dx { h j} ) q q q q = I j,

joten epäyhtälö (3.2.) voidaan kirjoittaa muotoon I /q j T. Näin ollen ( q g dx) q T kaikilla t >. { g t} Kun vielä huomataan, että koska g L (), niin g(x) < + m.k. x, seuraa edellisestä, että g L q () ja g q T. (5) Määritellään funktionaali T : L p () R, T( f ) := f g dx. Lauseen 3.2.3 nojalla T ( L p (), p ) ja T = g q. Lisäksi tiedetään, että T( f ) = T( f ) kaikilla f L (). Olkoon f L p () ja valitaan jono rajoitettuja funktioita f j L () siten, että f j f L p ():ssa. Tällaiseksi jonoksi kelpaa esimerkiksi funktiot f (x), jos f (x) j, f j (x) = j, jos f (x) > j, j, jos f (x) < j. Kuvausten T ja T jatkuvuuden perusteella saamme Näin ollen siis T = T, ja erityisesti T( f ) = T( f ) = lim j T( f j ) = lim j T( f j ) = T( f ). f g dx kaikilla f L p () ja T = g q. Funktion g yksikäsitteisyyden toteaminen on helppoa, ja se jätetään lukijalle harjoitustehtäväksi. (6) Tapaus = : Olkoon i = B(, i), i =, 2,.... Tällöin i < +, 2... ja i= i =. Määritellään missä T i : L p ( i ) R, T i ( f ) = T( f ), f (x) = f (x), jos x i, muutoin. Koska f L p ( i ), niin f L p (). Lisäksi selvästi T i ( ) L p ( i ), p ja Ti T. Todistuksen alkuosan perusteella on olemassa yksikäsitteinen g i L q ( i ) siten, että T i ( f ) = f g i dx kaikilla f L p ( i ) i 28

ja T i = g i q. Jos i > j, niin g i (x) = g j (x) kaikilla x j i, sillä muutoin g j ei olisi yksikäsitteinen. Täten on olemassa g(x) := lim i g i (x) m.k. x. Edelleen g q dx = lim g i i q dx = lim T i q T q i monotonisen konvergenssin lauseen nojalla, joten g L q () ja g q T. Lisäksi g i g L q :ssa dominoidun konvergenssin lauseen perusteella. Olkoon nyt f L p () ja merkitään f i = f χ i. Jälleen f i f L p :ssä kun i dominoidun konvergenssin lauseen nojalla, joten T( f ) = lim T( f i ) = lim T i ( f i ) = lim f i g i dx = f g dx. i i i Yllä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että f i f L p :ssä, g i g L q :ssa ja Hölderin epäyhtälöstä. Huomautus 3.2.9. (i) Samaan tapaan voidaan osoittaa, että ( L () ) = L (). Sen sijaan (L ()) L (): esimerkiksi T( f ) = f dδ (L ()) \ L (). Erityisesti siis L () ei ole refleksiivinen. (ii) Nyt tiedetään, että f k f avaruudessa L p (), ( f k, f L p (), < p < ) jos ja vain jos lim f k g dx = f g dx kaikilla g L q (), + =. k p q Esimerkki 3.2.. Olkoon < p <, = ], [ ja k p, x ], f k (x) = [, k, x [, [. k Tällöin f k kun k, mutta jono ( f k ) ei suppene vahvasti minnekään: Olkoon g L q () ja ε >. Valitaan ϕ C () siten, että ϕ g q < ε (tällaisen funktion olemassaolo osoitetaan Lauseessa 3.2.4). Tällöin ϕ f k dx = kun k on riittävän suuri, ja siten Hölderin epäyhtälön avulla saamme f k g dx g dx (g ϕ) f k dx + ϕ f k dx g ϕ f k dx sillä f k p = kaikilla k. Siis: g ϕ q f k p < ε,. f k kun k, mutta koska f k p = f k = kaikilla k, jono ( f k ) ei suppene vahvasti nollaan (eikä tietysti mihinkään muuallekaan). 2. L p -normi p ei ole jatkuva heikon konvergenssin suhteen: f k, mutta lim k f k p p. Siten heikko alhaalta puolijatkuvuus on "parasta"mitä voidaan sanoa. f p lim inf k f k p kun f k f 29

Heikon ja vahvan suppenemisen välistä suhdetta selventää ns. Radon-Rieszin lause: Lause 3.2.. Olkoon < p < ja f k, f L p (). Tällöin f k f vahvasti L p :ssä jos ja vain jos f k ja lim k f k p = f p. Vastaava tulos on itse asiassa totta kaikissa lokaalisti tasaisesti konvekseissa normiavaruuksissa, katso [3]. L p -avaruuksien tasainen konveksisuus puolestaan perustuu ns. Clarksonin epäyhtälöihin. Tapaus p = 2 on helpohko harjoitustehtävä. Seuraavaksi osoitetaan, että L p -funktioita voidaa approksimoida C - funktioilla. Tätä varten olkoon η C (Rn ) siten, että (i) η(x) kaikilla x R n. (ii) η( x) = η(x) kaikilla x R n. (iii) supp η B(, r), ts. η(x) = kaikilla x, joille x. (iv) η(x) dx = η(x) dx =. R n B(,) Esimerkiksi voitaisiin valita C e x η(x) = 2, x <,, x, missä C > on valittu siten, että (iv) on voimassa. Määritellään lisäksi η ε (x) := ε n η( x ε ), ε >. Tällöin η ε C (Rn ), supp η ε B(, ε) ja R n η ε dx =. Määritelmä 3.2.2. Olkoon f L (R n ) ja η ε kuten edellä. Määritellään funktion f silotus f ε (x) := η ε f (x) = f (y)η ε (x y) dy. Huomautus 3.2.3. (i) Kannattaa huomata, että silotuksen f ε lauseke voidaan kirjoittaa muuttujanvaihtoja hyödyntäen monella eri tavalla: f ε (x) = f (y)η ε (x y) dy z=x y = f (x z)η ε (z) dx R n R n = f (x z)ε n η( z z ξ= ε ) dz = f (x ε ξ)η(ξ) dξ. R ε n R n (ii) Oletus f L (R n ) takaa sen, että silotus f ε on aina pisteittäin hyvin määritelty ja reaaliarvoinen: f ε (x) f (y) η ε (x y) dy M B ε } {{ } ε f (y) dy < +. (x) B ε (x) M ε Itse asiassa tähän riittäisi jo se, että f on integroituva jokaisessa pallossa. R n 3

Lause 3.2.4. Olkoon f L (R n ) ja η ε kuten edellä. Tällöin (i) f ε C (R n ) ja f ε = ( ) ηε (η ε f ) = f ; vastaavalla tavalla saadaan myös x i x i x i silotuksen korkeammat osittaisderivaatat. (ii) Jos f C(), R n avoin, niin f ε (x) f (x) tasaisesti :n kompakteissa osajoukoissa. (iii) Jos f L p (R n ), p <, niin f ε L p (R n ), f ε p f p ja f ε f p kun ε. Todistus. (i) Olkoon e i R n :n i:s kantavektori, siis e i = (,...,,,,..., ). Nyt f ε (x + te i ) f ε (x) = ( ) f (y)η(x + te i y) dy f (y)η(x y) dy t t R n R ( n ) η(x y + tei ) η(x y) t = f (y) f (y) η (x y) dy R t n dom. konv. R x } {{ } n i t η (x y) x i = η x i f (x), joten osittaisderivaatta f ε x i on olemassa ja f ε x i x i f (x). Soveltamalla samaa päättelyä funktion f ε sijaan sen ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaattoihin saamme osoitettua toisen kertaluvun osittaisderivaattojen olemassaolon. Jatkamalla induktiivisesti näemme, että f ε C (R n ). = η (ii) Olkoon B = B(x, r) siten, että 3B = B(x, 3r). Koska f on tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa 2B, kaikilla δ > on olemassa ε > siten, että f (x) f (y) < δ, kun x, y 2B, x y < ε. Siten jos x B ja < ε < r, niin saadaan f ε (x) f (x) = f (y)η(x y) dy f (x)η(x y) dy R n R n f (y) f (x) η(x y) dy δ η(x y) dy = δ. B(x,ε) B(x,ε) } {{ } = Näin ollen f ε f tasaisesti suljetussa pallossa B, ja koska mikä tahansa kompakti joukko K voidaan peittää äärellisellä määrällä tällaisia palloja, väite seuraa. (iii) Hölderin epäyhtälön avulla saamme f ε (x) = f (y)η(x y) /p η(x y) (p )/p dy R n ( ) /p ( ) (p )/p ( ) /p f (y) p η(x y) dy η(x y) dy = f (y) p η(x y) dy, R n R n R n 3

joten Fubinin lauseen nojalla ( ) f ε p dx f (y) p η(x y) dy dx R n R n R n ( ) = f (y) p R n η(x y) dx R n dy = f p dy. R n Näin ollen siis f ε L p (R n ) ja f ε p f p. Olkoon nyt ϕ : R n R jatkuva kompaktikantajainen funktio siten, että ϕ f p < δ. (Tällainen funktio on aina olemassa: riittää todeta asia mitallisen joukon karakteristiselle funktiolle.) Nyt f ε f p = f ε ϕ ε + ϕ ε ϕ + ϕ f p f ε ϕ ε p + ϕ ε ϕ p + ϕ f p. Koska f ε ϕ ε = ( f ϕ) ε, niin f ε ϕ ε p f ϕ p < δ. Lisäksi koska ϕ on kompakti kantajainen, on olemassa suljettu pallo B = B(, R) siten, että ϕ(x) = ϕ ε (x) = kaikilla x R n \ B ja kaikilla < ε <. Siten ( ϕ ε ϕ p = B(,R) p ϕ ε (x) ϕ(x) dx) p sup ϕ ε (x) ϕ(x) B p, x B mikä menee nollaan kun ε kohdan (ii) nojalla. Näin ollen lim sup ε f ε f p < 2δ kaikilla δ >. Seuraus 3.2.5. C () on tiheä Lp ():ssa kaikille p <, ts. jokaiselle f L p () on olemassa jono f j C () siten, että f j f p j. Todistus. Olkoon f L p () ja valitaan kompaktikantajainen funktion ϕ C() siten, että f ϕ p δ. Olkoon K kompakti joukko siten, että ϕ(x) = kaikilla x \ K. Jos < ε < dist(k, ), niin ϕ ε (x) = kompaktin joukon K ε := {x : dist(x, K) ε} ulkopuolella. Siten ϕ ε C () ja f ϕ ε p f ϕ p + ϕ ϕ ε p δ + ϕ ϕ ε p, joten väite seuraa Lauseen 3.2.4 kohdasta (iii). 3.3 Sobolev-avaruudet Tarkastellaan funktionaalia I(u) = u(x) 2 dx, missä R n on avoin ja rajoitettu, f C( ) ja u K, missä K = {v C () C() : v(x) = f (x) kaikilla x }. Jotta voisimme soveltaa Lausetta 3..2, meidän tulisi löytää refleksiivinen Banach-avaruus (X, ) siten, että. K X on suljettu ja konveksi. 32

2. I on koersiivinen: I(u) + kun u +. 3. I on heikosti alhaalta puolijatkuva joukossa K. Koersiivisuus edellyttää sitä, että termin u 2 dx tulisi esiintyä normissa. Edellisen kappaleen perusteella tiedetään, että ( L p (), p ) ) on refleksiivinen Banach-avaruus, kun < p <. Näin ollen ensimmäinen yritys vaadituksi avaruudeksi voisi olla (C (), L,2), missä ( 2 u L,2 := u L 2 () = u dx) 2. Tämä ei kuitenkaan ole normiavaruus, sillä u L,2 = kaikilla vakiofunktioilla u c. Normiin on siis otettava mukaan myös funktio u itse eikä pelkästään sen derivaattoja. Tämä johtaa luonnollisella tavalla yritteeseen (C (),,2 ), missä ( u,2 := u 2 + u 2 = u 2 dx ) 2 + ( Näin saadaan normiavaruus, joka ei kuitenkaan ole täydellinen. 2 u dx) 2. Määritelmä 3.3.. Olkoon R n avoin ja p <. Määritellään Sobolev-avaruus W,p () joukon { ϕ C () : ϕ,p < + } täydentymänä normin ( ϕ,p := ϕ p + ϕ p = ϕ(x) p dx ) p + ( u(x) p dx suhteen, ts. u W,p () jos ja vain jos u L p () ja on olemassa vektoriarvoinen funktio v L p (; R n ) siten, että jollekin funktiojonolle ϕ j C () pätee ϕ j u L p () ja ϕ j v L p (). Tällöin sanotaan, että v on u:n Sobolev gradientti (heikko gradientti) ja merkitään v = Du, (eli (v, v 2,..., v n ) = (D u,..., D n u) ). Huomautus 3.3.2. (i) W,p () on normiavaruus (HT), joten se on Banach. (ii) W,p :ssa käytetään usein ekvivalenttia normia u,p := ( ) p u(x) p + u(x) p dx jolloin u 2 /p,p u,p 2 u,p, tai ekvivalenttia normia u,p := u p + n i= u x i p. ) p 33