DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Lyhyt kertaus edellisen luennon asioista. Jäykkä kappale, kappalekoordinaatisto ja kulma-asema. Eulerin kulmat kulma-aseman ja nopeuden kuvauksessa.

KERTAUS: PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖT RESEPTI PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖILLE: 1. Vapaakappalekuva (VKK): irroita tarkasteltava partikkeli ympäristöstään ja esitä siihen vaikuttavat voimat. 2. Koordinaatisto: valitse ratkaistavan ongelman mukaan helpoin kanta ja esitä vapaakappalekuvassa voimat ja kappaleen liikettä kuvaavat suureet ko. kannassa. 3. Voimaresultantti: Summaa tarkasteltavaan kappaleeseen vaikuttavat voimat voimavektoriksi valitsemassasi koordinaatistossa f. 4. Kiihtyvyyden esitys: valitse kiihtyvyyden esitys valitsemasi koordinaatiston mukaan (ja huomioi ongelman rajoitteet) a. 5. Sijoita liikelakiin: Sijoita Newtonin II liikelakiin f = ma valitsemassasi koordinaatistossa skalaariyhtälö jokaisen kantavektorin suuntaan.

KERTAUS: PALLOKOORDINAATISTO r θ φ θ φ = r r = r r =ṙ r + r θ θ + r φ θ φ =( r r θ 2 r φ 2 2 θ) r+ (2ṙ θ + r θ r φ 2 θ θ) θ + (2ṙ φ θ +2r θ φ θ + r φ θ) φ

KERTAUS: VAKIOVEKTORIN MUUTOSNOPEUS Liikkuvan kannan suhteen vakiovektorin muutosnopeus: Rotaatiossa olevan e α e γ e γ -kannan suhteen vakiovektorin (ḃα = ḃβ = ḃ γ = 0) b = b α e α + b β e β + b γ e γ muutosnopeus saadaan yhteydestä ḃ = ω b, ω α a dθ d jossa ω on kannan kulmanopeus. Kantavektorit ovat luonnollisesti vakiovektoreita omassa kannassaan ja siis ė α = ω e α, ė β = ω e β ja ė γ = ω e γ, jossa ω on kannan kulmanopeus.

DYNAMIIKKA II: L3: JÄYKÄN KAPPALEEN KINEMATIIKKA Arttu Polojärvi

Wolfgang Pauli ja Nils Boehr ihmettelemässä hyrrän liikettä.

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Tietää jäykän kappaleen liikkeeseen liittyvät keskeiset käsitteet: inertiaali- ja kappalekoordinaatisto, kulma-asema, -nopeus ja -kiihtyvyys, sekä asiaan liittyvät nimitykset. Tuntee Eulerin kulmiin liittyvät peruskäsitteet ja -periaatteet, sekä Eulerin kulmien yhteydessä esille tulevien koordinaatistojen väliset yhteydet. Osaa käyttää Eulerin kulmia kappaleen kulma-aseman ja kulmanopeuden kuvaamisessa erilaisissa koordinaatistoissa.

JÄYKKÄ KAPPALE JA SEN KULMA-ASEMA

JÄYKKÄ KAPPALE: SOVELLUSKOHTEITA Hyvä malli kappaleen liikkeen kuvaamiseen, jos kappaleen jännityksillä ja muodonmuutoksilla ei ole ongelman kannalta merkitystä. Esim. laivojen karkea design. Koneiden suunnittelu. Kappalejoukon käyttäytyminen.

JÄYKKÄ KAPPALE: SOVELLUSKOHTEITA 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x [m] Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2012). Simuloinnissa jäykkien kappaleiden liikkeen mallinnuksessa käytetään toistuvasti tällä luennolla esiteltävää kappalekoordinaatistoa ja ensi viikon massaominaisuuksia. Arttu Polojärvi, Jukka Tuhkuri, Otto Korkalo (2012). Comparison and analysis of experimental and virtual laboratory scale punch through tests, Cold Regions Science and Technology, 81, 11-25

JÄYKKÄ KAPPALE: SOVELLUSKOHTEITA Animointi-algoritmin kulku: 1. Kirjaa kappaleelle sen pisteiden ja pintojen paikat (kappalek.). 2. Laske pisteiden paikat avaruudessa (kappalek. inertaalik.) 3. Projisoi ja piirrä pisteet kuvatasoon (inertaalik. ).

MEKANIIKAN AINEMALLIT JA JÄYKKÄ KAPPALE Partikkeli: Yksittäinen ainepiste (ei rotaatio), helpoin ainemalli, hyvä prototyyppi mutta myös käyttökelpoinen joissain tapauksissa (esim. taivaanmekaniikka). Partikkelijoukko: Joukko partikkeleita. Kontinuumi: Jakautunut massa (ylinumeroituva joukko partikkeleita), voi muuttaa muotoaan (deformoitua) jolloin voidaan käyttää lujuuslaskelmissa (venymä/jännitys). Jäykkä kappale: Jatkuvasti samoista partikkeleista koostuva muotoaan muuttamaton systeemi. Kappaleen mv. partikkeleiden välinen etäisyys on vakiona. 3D-tapauksessa 6 vapausastetta (3 rotaatio + 3 translaatio).

JÄYKKÄ KAPPALE: KAPPALEKOORDINAATISTO

JÄYKKÄ KAPPALE: KAPPALEKOORDINAATISTO Kappalekoordinaatisto (kuvassa akselit x, y ja z) on sidottu liikkuvaan kappaleeseen, joten sen kanta ei ole vakio (origo nk. mielivaltaisessa siirtopisteessä). Kappaleen yleinen siirtymä voidaan esittää suorittamalla sen (1) siirtopisteen translaatio ja (2) rotaatio siirtopisteen kautta kulkevan suoran ympäri. z Z ω C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X

JÄYKKÄ KAPPALE: KAPPALEKOORDINAATISTO Kappalekoordinaatisto helpottaa kappaleeseen vaikuttavien voimien, kuten esimerkiksi ilmanvastuksen tai lentokoneen nosteen kuvaamista. Jatkossa myös huomataan: jäykän kappaleen liikeyhtälöiden käsittely helpottuu erittäin paljon oikein valitun kappalekoordinaatiston avulla. z Z ω C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X

JÄYKKÄ KAPPALE: KAPPALEKOORDINAATISTO Myös kappaleen mv. pisteen asema on helppo kuvata kappalekoordinaatiston asemaa käyttäen esimerkiksi edellä esitetyssä animointi esimerkissä. Jäykän kappaleen partikkelin P (joku piste kappaleessa) paikka (nopeus ja kiihtyvyys ensi luennolla) saadaan kuvan mukaan seuraavasti r = r C + ρ CP, jossa ρ CP useimmiten kappalekoordinaatistossa. z Z ω C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA Kappaleella (ja kappalekoordinaatistolla) on siirtopisteen suhteen jokin kulma-asema (orientaatio): kun siirtopisteen paikka ja kulma-asema tunnetaan, voidaan kappaleen kaikkien pisteiden paikat esittää.

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA Kappaleella (ja kappalekoordinaatistolla) on siirtopisteen suhteen jokin kulma-asema (orientaatio): kun siirtopisteen paikka ja kulma-asema tunnetaan, voidaan kappaleen kaikkien pisteiden paikat esittää. Voidaan näyttää, että kappaleen orientaatio voidaan kuvata 3:lla parametrilla (loput 3 vapausastetta kuvaavat siirtopisteen paikkaa).

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA Kappaleella (ja kappalekoordinaatistolla) on siirtopisteen suhteen jokin kulma-asema (orientaatio): kun siirtopisteen paikka ja kulma-asema tunnetaan, voidaan kappaleen kaikkien pisteiden paikat esittää. Voidaan näyttää, että kappaleen orientaatio voidaan kuvata 3:lla parametrilla (loput 3 vapausastetta kuvaavat siirtopisteen paikkaa). Kappaleen kulma-asema ei ole vektori mutta kulmanopeus on.

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA Kappaleen kulma-asema riippuu rotaatioiden suoritusjärjestyksestä: eli kulma-asema ei ole vektori (summa ei ole kommutatiivinen)! θ 1 θ 2 θ 1 + θ 2 θ 2 + θ 1 Toisaalta kulmanopeus taas puolestaan on vektori!

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA, -NOPEUS Rotaatiota voidaan tosin kuvata vektorilla Rotaatiota voidaan kuvata vektorilla, jonka suuruus on rotaatiokulman suuruus θ ja suunta rotaatioakselin suuntaisen yksikkövektorin e suunta. Tällainen rotaatio kuvan tilanteessa aiheuttaisi siirtymän r =(1 cos θ)(e ρ OP )e (1 cos θ)ρ OP + sin θ(e ρ OP ) Huom! Tämän johdossa tulisi vastaan samantyyppinen geometrinen tarkastelu, kuin vektorin muutosnopeuksia ratkaistaessa viime viikolla (silloin kysymyksessä olivat ainoastaan pienet kulmat). ja siihen voidaan liittää kulmanopeusvektori ω.

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA, -NOPEUS Differentiaalisessa (infinitesimaalisessa) rotaatiossa rotaatiokulman suuruus θ on hyvin pieni cos θ 1 ja sin θ θ ja edeltä r = (e ρ OP ) θ r θ = e ρ OP joka on siis sama, kuin viime viikolla vakiovektorin muunnosnopeuden yhteydessä johdettu yhtälö. Tämän voi näyttää olevan vektori.

JÄYKKÄ KAPPALE: KULMA-ASEMA, -NOPEUS JA -KIIHTYVYYS Kulmanopeus on vektori (pieni kulma-aseman muutos θ = ω t): ω = θ t kun t 0 Kulmakiihtyvyys on kulma-aseman muutosnopeus α = ω. Tilannekuva: hetkellistä kulma-aseman muutosta voidaan tarkastella jäädyttämällä tilanne ja esittämällä ω halutussa kannassa (kuten esim. usein kappalekoordinaatistossa).

JÄYKKÄ KAPPALE: ESIMERKKI Kuvan hyrrä pyörii vakiokulmanopeudella ω s pituusakselinsa ympäri. Hyrrän pituusakseli pyörii samanaikaisesti Z- akselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p kulman θ ollessa vakio. Mikä on hyrrän kulmanopeus ω ja -kiihtyvyys α inertiaalikoordinaatistossa tilanteessa ϕ = π/2?

KULMA-ASEMAN KUVAUS: EULERIN KULMAT

KAPPALEEN KULMA-ASEMA: KOLME PARAMETRIA Kulma-asema (ei ole vekori): 3 parametria: esim. kuvan ϕ, θ, Ψ Kulmanopeus (vektori): ω = ω(ϕ, θ, Ψ, ϕ, θ, Ψ) Kulmakiihtyvyys (vektori): α = α(ϕ, θ, Ψ, ϕ, θ, Ψ) (= ω) ϕ = phi θ = theta Ψ = psi ξ = xi η = eta ζ = zeta

EULERIN KULMAT: PERUSROTAATIOT Kuvien tapauksissa kantojen x y z ja xyz välisen yhteyden antaa rotaatiomatriisit: i j k i 1 0 0 i = L(α)x j = 0 cα sα j k 0 sα cα k i j k i cβ 0 sβ i = L(β)y j = 0 1 0 j k sβ 0 cβ k i j k i cγ sγ 0 i = L(γ)z j = sγ cγ 0 j k 0 0 1 k Näitä yhdistelemällä saadaan kuvattua kappaleen mielivaltainen kulma-asema.

EULERIN KULMAT: YLEISTÄ Eräs klassinen ja edelleen käytetty tapa esittää kappaleen kulma-asema (muitakin siis on). Kolme sovittujen akseleiden suhteen mukaan tehtävää perusrotaatiota: 1. inertiaalikoordinaatisto apukoordinaatisto. 2. apukoordinaatisto välikoordinaatisto. 3. välikoordinaatisto kappalekoordinaatisto Akseleiden lisäksi täytyy myös sopia rotaatioiden suoritusjärjestys! Näillä luennoilla käytetään ns. klassillisen mekaniikan Eulerin kulmia.

EULERIN KULMAT: 1. ROTAATIO (PRESESSIO) Z, z Perusrotaatio Z-akselin ympäri: y cos ϕ sin ϕ 0 L(ϕ) Z = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ϕ Apukoordinaatisto x y z (i j k -kanta): Y Käytetään apuna rotaatioiden konstruoimisessa. x ja y säilyvät xy-tasossa. X x i j k I = L(ϕ)Z J K

EULERIN KULMAT: 2. ROTAATIO (NUTAATIO) ζ θ η Perusrotaatio x -akselin ympäri: 1 0 0 L(θ) x = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ e ξ e η e ζ x, ξ = L(θ) x i j k Välikoordinaatisto ξηζ (e ξ e ηe ζ -kanta): Ajatellaan yleensä kiinnitetyksi tarkasteltavaan kappaleeseen. ζ-akseli yhtyy usein kappaleen symmetria-akseliin. Helpottaa usein liikkeen kuvaamista. I = L(θ) x L(ϕ) Z J K (huomaa, että L(θ) x tekee perusrotaation L(ϕ) Z :n kääntämässä koordinaatistossa.)

EULERIN KULMAT: 3. ROTAATIO (SPINNI) ζ, z y η Perusrotaatio ζ-akselin ympäri: cos Ψ sin Ψ 0 L(Ψ) ζ = sin Ψ cos Ψ 0 0 0 1 Ψ i j = L(Ψ) ζ k e ξ e η e ζ ξ x Kappalekoordinaatisto xyz (ijk-kanta): = L(Ψ) ζl(θ) x ajatellaan yleensä kiinnitetyksi tarkasteltavaan kappaleeseen. z-akseli yhtyy usein kappaleen symmetria-akseliin. välikoordinaatisto ei spinnaa, kappale spinnaa. i j k x- ja y-akselit pysyvät ξη-tasossa. I = L(Ψ) ζl(θ) x L(ϕ) Z J K

EULERIN KULMAT: KAIKKI ROTAATIOT ζ, z θ ϕ y Ψ x η Saatiin kokonaisuudessaan kappaleja inertiaalikoordinaatiston välinen yhteys: i I j = L(Ψ) ζl(θ) x L(ϕ) Z J k K Kertomalla matriisit auki, saadaan alla esitetty yhteys koordinaatistojen välille. ξ i cϕcψ cθsϕsψ cψsϕ cθcϕsψ sψsθ I j = cθcψsϕ cϕsψ cθcψcϕ sϕsψ cψsθ J k sϕsθ cϕsθ cθ K

EULERIN KULMAT: ESIMERKKI Oheisen sylinterin yläreunan keskipisteen asema kappalekoordinaatistossa esitettynä r = hk. Esitä pisteen asema väli- ja inertiaalikoordinaatistoissa, kun kappalekoordinaatiston asema teknillisen mekaniikan Eulerin kulmin avulla esitettynä on ϕ = 45, θ = 90 ja Ψ = 45.

EULERIN KULMAT: VAROITUS Yllä esiteltiin klassillisen mekaniikan eulerin kulmat. Usein vastaan tulevat esim. teknillisen mekaniikan eulerin kulmat. Eri määrittelyissä rotaatiot suoritetaan eri tavalla (eri akselit, eri järjestys): erilaiset tavat määrittää kulmat johtavat erilaisiin rotaatiomatriiseihin. On aina varmistuttava mitä kulmien määrittelyjä on käytetty!

EULERIN KULMAT: KULMANOPEUDET ζ θ z Ω = θ ξ + φ = θ ξ + φ θ η + φ θ ζ ξηζ (φ) Z (θ) 1 x 1 φ η y Välikoordinaatiston (ξηζ) kulmanopeus Ω = Ω( θ, ϕ, θ, ϕ) saadaan kuvasta Ω = θe ξ + ϕk = θe ξ + ϕ sin θe η + ϕ cos θe ζ ja sitä tullaan käyttämään seuraavilla luennoilla. Edellisessä K muunnettu ξηζ-kantaan yhteydestä (ks. nutaatio-kalvo) φ θ I e ξ x, ξ J = L(ϕ) 1 Z L(θ) 1 x e η K e ζ

EULERIN KULMAT: KULMANOPEUDET ζ,z Ψ θ φ y η φ Ψ θ ξ x Kappaleen kulmanopeus ω = ω( Ψ, θ, ϕ, Ψ, θ, ϕ) on puolestaan eri kannoissa: ω =( θ Φ + Ψ θ φ) +( θ φ Ψ θ φ) +( φ + Ψ θ) Inertiaali-k: ω =( θcφ + Ψsθsϕ)I ω = + θ ξ ( + φ θ η +( Ψ + φ θ) + ( ϕ ζ + Ψcθ)K Väli-k: ω = θe ω =( θ Ψ + φ θ Ψ) +( φ θ Ψ θ Ψ) +( φ θ + Ψ), ξ + ϕsθe η + ( Ψ + ϕcθ)e ζ Kappale-k: ω =( θcψ + ϕsθsψ)i + ( ϕsθcψ θsψ)j + ( ϕcθ + Ψ)k. Nämä esitykset saadaan kantavektoreiden välisiä yhteyksiä (edellä olleet L:t).

EULERIN KULMAT: ESIMERKKI ζ,z Ψ θ φ y Ψ φ θ ξ x η Muodosta jatkossa usien käytettävä jäykän kappaleen kulmanopeuden ω esitys välikoordinaatistossa ξηζ, kun kappaleen kulma-asema kuvataan edellä esiteltyjen klassillisen mekaniikan Eulerin kulmien avulla, eli ω = ω( Ψ, θ, ϕ, Ψ, θ, ϕ). Samaisen jäykän kappaleen presessio-, nutaatio- ja spinninopeudet ovat vastaavasti ϕ = 2 s 1, θ = 4 s 1 ja Ψ = 50 s 1. Mikä on kappaleen kulmanopeus ja - vauhti? ω =( θ Φ + Ψ θ φ) +( θ φ Ψ θ φ) +( φ + Ψ θ) ω = θ ξ + φ θ η +( Ψ + φ θ) ζ ω =( θ Ψ + φ θ Ψ) +( φ θ Ψ θ Ψ) +( φ θ + Ψ),

EULERIN KULMAT: ESIMERKKI Oheisen kuvan mukaisen pyöreästä kiekosta ja sauvasta koostuva systeemi on kiinnitetty nivelisesti pisteeseen O ja sen liike on rajoitettu siten, että symmetria-akseli liikkuu vaakatasossa. Mitkä ovat kappaleen asemaa kuvaavat Eulerin kulmat ja kappaleen presessio-, nutaatio- ja spinninopeudet, kun kappaleen symmetria-akselin tulee yhtyä kappalekoordinaatiston z-akseliin?