ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6; s.579] Suodatus ja näytteistys, kertaus 2 (18)
Optimaaliset Tx & Rx suotimet Tx aaltomuodot φ m (t), Rx aaltomuodot ψ k (t) Olemme oppineet: 1. Maksimaalinen SNR, jos ψ k = φ k 2. Nyqvist; ei ISI:ä: φ m (t)ψ k (t)dt =0, jos m k Symbolijonoille tämä tarkoittaa, että f t f r häviää nollasta poikkeavilla T :n kokoisilla kokonaislukusiirroksilla AWGN-kanaville kumpikin ehto toteutuu yhtä aikaa jos ja vain jos {φ k } N k=1 ovat orogonaalisia Tx aaltomuotoja kantafunktioita Vastaanotin on sovitettu suodin: ψ k = φ k Optimaalinen Tx & Rx AWGN:lle Seuraus: optimivastaanottimelle kohinanäytteet ovat valkoiset, sillä {ψ k } N k=1 ovat ortogonaalisia funktioita. 3 (18) Ja vielä: Ortogonaalisten lähetteiden edut 1. Sovitettu suodain kerää kaiken läheteyn signaalienergian, ja maksimoi SNR:n. Seuraa Cauchy-Scwarz -epäyhtälöstä 2. Jos lähetys on ortogonaalinen, sovitettu suodatus AWGN:ssä poistaa kaiken Inter-Symboli-Interferenssin (ISI) Tämä helpottaa bittien tulkintaa symboleista. Jos on ISI:ä, tarvitaan monimutkaisempia vastaanottima, että päästään lähelle optimaalisuutta. Seuraus Ortogonaalinen sovitettu suodattaminen antaa korreloitumattomia kohinanäytteitä. Diskreettiaikainen vastaanotin on helppo muotoilla 4 (18)
Tx & Rx signaaliavaruudessa Signaalimalli diskreetissä ajassa Tx ulosmeno x i : diskreetin ajan digitaalinen symboli Rx sisäänmeno y i : diskreetin ajan analoginen näyte Välissä efektiivinen kanava: Tx & Rx suodatus, modulaatio, RF-komponentit ja fysikaalinen siirtotie. 5 (18) Signaaliavaruuden AWGN-kanava Yksinkertaisin kanavamalli diskreettiaikaiselle kantataajuussignaalille: y i = x i + n i, x i on i:s lähetetty symboli, n i kohinanäyte, normaalijakautunut. Signaalikohinasuhde on γ = E s N 0 missä E s on symbolin ja N 0 kohinanäytteen energia. Vastaanotettu signaali y i on analoginen ja diskreettiaikainen. 6 (18)
Optimipäätökset signaaliavaruudessa Olemme muuntaneet vastaanotetun signaalin suodatetuiksi näytteiksi. y k = x k + n k, analoginen diskreettiaikainen signaali yksi näyte lähetettyä symbolia kohti Nyt on tulkittava lähetetty symboli/bitit näytteistä. 7 (18) Optimipäätökset signaaliavaruudessa II Eri lähetetty symboli antaa eri todennäköisyysjakauman (uskottavuusfunktion) vastaanotetulle signaalille. Vastaanottajan on pääteltävä lähetetty symboli vastaanotetusta signaalista. 8 (18)
Optimipäätökset signaaliavaruudessa III Optimipäätös (jos lähetetyt symbolit yhtä todennäköisiä) suurimman uskottavuuden (maximum likelihood) lähetetty signaali Päätöspinta sijaitsee uskottavuusfunktioiden risteyksessä. virhetodennäköisyys on todennäköisyystiheyden väärällä puolella olevan osan integraali. 9 (18) MAP-vastaanotin Meillä on M mahdollista lähetettyä symbolia: { } M m=1 Optimivastaanotin: Maximum A Posteriori (MAP) A posteriori = jälkeenpäin Todennäköisyys, että lähetettiin jos vastaanotettiin y: P ( y) MAP löytää todennäköisimmän lähetetyn symbolin annetulle vastaanotetulle signaalille: ˆx = arg max P ( y) 10 (18)
ML-vastaanotin Maximum Likelihood (ML) vastaanotin löytää suurimman uskottavuuden lähetetyn symbolin uskottavuusfunktio = vastaanotetun signaalin todennäköisyystiheys annettuna lähetetty signaali: p(y ) lähetetty symboli, jonka uskottavuusfunktion arvo on suurin, kun tiedetään y: ˆx = arg max p(y ) ML:n ja MAP:in suhde b Bayesin kaava: P ( y) = p(y )P ( ) p(y) Jos kaikki symbolit yhtä todennäköisiä: P ( )=1/M arg max P ( y) = arg max p(y ) ML ja MAP antavat saman tuloksen b [s. 579] 11 (18) AWGN uskottavuusfunktio Signaalimalli: y = x + n Gaussinen kohina (kompleksiarvoinen): p(n) = 1 πn 0 e n 2 /N 0 Vastaanotettu signaali kun lähetetty signaali ja kohina annettu: p(y x, n) =δ (y x n) jos tietäisimme x:n ja n:n, y olisi täysin määrätty Uskottavuusfunktio: poistetaan ehdollistus n:lle p(y x) = p(y x, n) p(n)dn = 1 e y x 2 /N 0 πn 0 C 12 (18)
ML-detektiometriikka jos A>B, myös log A>log B jos 0 >A>B, pätee A< B ML-detektiometriikka: riittää tarkastella uskottavuusfunktion logaritmin neliöjuurta: ln p(y x) y x ML-päätös: ˆx = arg min y etsitään, joka on lähinnä vastaanotettua signaalia y 13 (18) BPSK virhetodennäköisyys c On lähetetty ±1, Gaussinen kohina n C Signaalin energia 1, signaalikohnasuhde γ = 1 N (kompleksiarvoisen 0 kohinan teho!) Vain I-haaran kohina häiritsee vastaanottoa: P (n I )= 1 πn0 e n2 I /N 0 Suorityskykyanalyysissä voidaan joko kiinnittää signaalin energia tai kohinateho, suorityuskyvyn kannalta vain näiden suhde merkitsee. Voidaan tehdä bittivirheitä, tai symbolivirheitä BPSK:lle ne ovat sama asia Bittivirhetodennäköisyys P e = 1 2 P (y >0 x = 1) + 1 P (y <0 x =1) 2 = P (y >0 x= 1) = p(y x= 1)dy 0 lähetetty signaali +1 yhtä todennäköinen kuin 1, siitä 1/2 virhe +1 1on yhtä todennäköinen kuin virhe 1 +1. päätöspinta on näiden pisteiden puolessa välissä c [Esimerkki 10.2, s. 549 550] 14 (18)
BPSK virhetodennäköisyys II P e = = 1 πn0 0 1 πn0 1 e (y+1)2 /N 0 dy e u2 /N 0 du Q( 2γ) missä Q-funktio on skaalattu Gaussisen funktion integraali, Q(d) = 1 e u2 /2 du = 1 ( ) d 2 2π 2 erfc d 15 (18) Päätöspinnat 2D signaaliavaruudessa ML:stä tulee geometrinen ongelma. Päätöspinnat ovat janoja, jotka ovat samalla etäisyydellä kahdesta naapuripisteestä. 16 (18)
QPSK virhetodennäköisyys On lähetetty ±1±j 2, Gaussinen kohina n C Signaalin energia 1, signaalikohnasuhde γ = 1 N 0 Yksi symbolivirhe voi antaa joko yhden tai kaksi bittivirhettä QPSK:ssa on kaksi riippumatonta bittiä, joita häiritsee kaksi riippumatonta reaalista kohinaa etäisyys päätöspintaan ratkaisee. QPSK:lla se on 1/ 2. kummallakin bitillä sama biittivirhetodennäköisyys; BPSK pienemmällä etäisyydellä P e = Q( γ). 17 (18) Kurssi tähän saakka 18 (18)