805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
|
|
- Teuvo Kokkonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos
2 Logistinen regressioanalyysi Vastemuuttuja Y on luokiteltu muuttuja Pyritään mallittamaan havaintoyksikön todennäköisyyttä kuulua vastemuuttujan Y luokkaan k (luokkien lkm 2) Selittäjä(t) voivat olla joko luokiteltuja tai jatkuvia muuttujia Esimerkkejä dikotomisista eli kaksiarvoisista vasteista: Henkilöllä joko on tai ei ole luottohäiriömerkintä Laite joko vikaantuu tai ei vikaannu takuuaikana Henkilö joko sairastaa tai ei sairasta tautia A Oletetaan, että vastemuuttuja Y on dikotominen mahdollisina arvoinaan 0 ja 1 ja että P(Y = 1) = π, joten P(Y = 0) = 1 P(Y = 1) = 1 π monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
3 Ns. vedonlyöntikerroin ω, lyhyemmin veto (odds), tapahtumalle Y = 1 (tai tapahtuman puolesta) on: ω = P(Y = 1) P(Y = 1) = P(Y = 0) 1 P(Y = 1) = π 1 π Vedonlyöntikertoimen määritelmän perusteella tapahtuman Y = 1 todennäköisyys π voidaan esittää muodossa: ω = π 1 π π = ω ω + 1 Muuttujan Y mallituksen kannalta sekä P(Y = 1) että ω ovat jossain määrin ongelmallisia vaihteluväliensä takia. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
4 Mallia rakennettaessa vasteena kannattaakin käyttää vedonlyöntikertoimen logaritmia ( ) π λ = ln(ω) = ln 1 π Ko. muunnos on nimeltään logit-muunnos (tai log-odds) ja tapahtuman Y = 1 todennäköisyys voidaan lausua muodossa π = eλ 1 + e λ = 1 = expit(λ) 1 + e λ Funktio expit: R ]0, 1[ on ns. logistisen jakauman kertymäfunktio. Kaksiarvoisen vasteen Y käsittelyssä on käyty edellä läpi seuraavat vaihtoehdot vasteen muotoilemiseksi: Muunnos Vaihteluväli Todennäköisyys P(Y = 1) (0, 1) π Vedonlyöntikerroin ( 1 π ) (0, ) π Logit-muunnos ln 1 π (, ) monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
5 Seuraava kuva havainnollistaa todennäköisyyden P(Y = 1) ja logit-muunnoksen välistä suhdetta: 4 ln(p(y=1) / (1 P(Y=1)) P(Y=1) Logit-muunnos käyttäytyy siis mm. seuraavasti: kun π = 0.5 ω = 1 ln(ω) = 0 π < 0.5 ω < 1 ln(ω) < 0 π > 0.5 ω > 1 ln(ω) > 0 monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
6 Esimerkiksi, kun P(Y = 1) = 0.2, ω = π 1 π = 0.2 = 0.2 = 1 = 0.25 ja ln(ω) = ln(0.25) 1.39 P(Y = 1) = 0.8, ω = π 1 π = 0.8 = 0.8 = 4.00 ja ln(ω) = ln(4.00) 1.39 Huomaa, että yllä jälkimmäisessä tapauksessa vasteen välttämisen todennäköisyys P(Y = 0) on yhtä suuri kuin ensimmäisessä tapauksessa vasteen kohtaamisen todennäköisyys P(Y = 1). monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
7 Yhden selittäjän logistinen regressio Muodostetaan seuraavaksi logit-muunnokselle yhden selittävän muuttujan lineaarinen regressiomalli, joka on muotoa ( ) π ln = β 0 + β 1 X 1 π Tässä mallissa π = P(Y = 1 X ) eli parametrin π arvo riippuu selittäjästä X siten, että P(Y = 1 X ) = eβ 0+β 1 X 1 + e β 0+β 1 X Kertoimet β 0 ja β 1 ovat tuntemattomia ja ne täytyy estimoida havaintoaineiston perusteella. Estimointi tehdään suurimman uskottavuuden menetelmällä (engl. maximum likelihood). monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
8 Menetelmän perusideana on etsiä sellaiset tuntemattomien kertoimien (parametrien) arvot, jotka tuottavat suurimmalla tiheydellä (todennäköisyydellä) juuri ne muuttujan arvot, jotka todellisuudessa on havaittu. Tämä perusidea voidaan esittää ns. uskottavuusfunktion (engl. likelihood function) avulla: l(β 0, β 1 ) = i:y i =1 p(x i ) (1 p(xi )) i :y i =0 Kertoimien estimaatit β 0 and β 1 valitaan siten, että ne maksimoivat uskottavuusfunktion arvon. Tällä kurssilla suurimman uskottavuuden menetelmän matemaattisia ominaisuuksia ei käsitellä tarkemmin ja tuntemattomat kertoimet (parametrit) estimoidaan R-ohjelmalla. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
9 Esimerkki yhden selittäjän mallista Eräässä lääkekokeessa tutkittiin uuden lääkeaineen vaikutusta kivun lievityksessä. Kokeeseen osallistui kaikkiaan 70 potilasta, joista 35 sai kivunlievitykseen uutta lääkettä loppujen 35 potilaan saadessa lumelääkettä. Kokeen lopputulokset olivat seuraavat: Lääkeryhmä Kivunlievitys Uusi lääke Lume Yhteensä Kyllä Ei Yhteensä Toimiiko uusi lääke lumelääkettä paremmin kivunlievityksessä? monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
10 Määritellään aluksi vaste Y ja selittäjä X { 1, kun potilaan kipu lievittyi Y = 0, kun potilaan kipu ei lievittynyt ja X = { 1, kun potilaalla uusi lääkitys 0, kun potilaalla lumelääkitys Lasketaan analyysin aluksi lääke- ja lumeryhmissä laskettujen vedonlyöntikertoimien suhteen (odds ratio) OR arvo annetun ristiintaulukon perusteella. OR = ω 1 P(Y = 1 X = 1) / P(Y = 0 X = 1) = ω 0 P(Y = 1 X = 0) / P(Y = 0 X = 0) monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
11 Lääkeryhmä Kivunlievitys Uusi lääke Lume Yhteensä Kyllä Ei Yhteensä OR = ω 1 ω 0 ω 1 = ω 0 = P(Y =1 X =1) P(Y =0 X =1) = 22/35 = ja 13/35 13 P(Y =1 X =0) P(Y =0 X =0) = 15/35 20/35 = = OR 1.692/ Lääkeryhmässä kivunlievityksen saamiselle on noin 2.26-kertainen vedonlyöntikerroin lumeryhmän vedonlyöntikertoimeen verrattuna monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
12 Jos kivunlievityksen saamisen todennäköisyys (π 1 ja π 0 ) olisi kummassakin ryhmässä pieni, pätisi likimain OR P(Y = 1 X = 1) P(Y = 1 X = 0) = π 1 π 0 = RR Tällöin OR voitaisiin tulkita samaan tapaan kuin ns. riskisuhde RR (= π 1 /π 0, risk ratio) Nyt riskisuhteen arvo RR = π 1 P(Y = 1 X = 1) = π 0 P(Y = 1 X = 0) = 22/35 15/ poikkeaa melko paljon OR:stä, koska kummassakin ryhmässä vaste on yleinen. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
13 Sovitetaan aineistoon seuraavaksi logistinen regressiomalli, joka on muotoa ( ) P(Y = 1 X ) ln = β 0 + β 1 X P(Y = 0 X ) Nyt ( ) Lääkeryhmässä X = 1: ln P(Y =1 X =1) P(Y =0 X=1) = β 0 + β 1 ( ) Lumeryhmässä X = 0: ln P(Y =1 X =0) P(Y =0 X=0) = β 0 ( ) ( ) P(Y = 1 X = 1) P(Y = 1 X = 0) ln ln = β 1 P(Y = 0 X = 1) P(Y = 0 X = 0) } {{ } =ω 1 ln( ω1 ω 0 ) = β 1 ω1 ω 0 = e β1 } {{ } =ω 0 Parametrin β 1 eksponentti e β 1 kuvaa siis vedonlyöntikertoimien suhdetta (odds ratio, OR) lääke- ja lumeryhmän välillä. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
14 R:llä logistinen regressiomalli sovitetaan aineistoon glm()-funktion (=generalized linear models) avulla ja tarvittava komento on muotoa: ma1 <- glm(lievitys laake, family=binomial(link=logit)) Mallituksen tulokset on talletettu edellä malliobjektiin ma1, josta mallituksen keskeisimpiä tuloksia voidaan tulostaa esimerkiksi Epi-paketin funktiolla ci.lin ci.lin(ma1, Exp=TRUE) Kertoimien estimaatit ovat: β 0 = ja β 1 = ja edellä laskettu OR:n estimaatti on siis e β 1 = 2.26 monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
15 Edellisellä kalvolla esitetystä taulukosta löytyy myös tilastolliseen päättelyyn liittyvien suureiden arvoja. Logistisessa regressiossa (eräin yleisin ehdoin) testisuuretta Z = β j β 0 j SE( β j ) likim. N(0, 1) voidaan käyttää nollahypoteesin H 0 : β j = β 0 j testaamiseen. Edellä esitettyyn jakaumautulokseen nojaten kertoimien 100(1 γ) %:n likimääräiset luottamusvälit voidaan laskea kaavalla: β j ± z 1 γ/2 SE( β j ) monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
16 Jos esimerkissämme vertailtavien ryhmien (lääke- vs. lumeryhmä) välillä ei ole eroa, parametri β 1 = 0 ja siten OR = 1. Hypoteesin H 0 : β 1 = 0 testaus löytyy R:n tulostuksesta: Z = β j βj 0 SE( β j ) = Vastaava P-arvo = P( Z 1.66 H 0 ) Parametrin β 1 95 % likimääräinen luottamusväli on puolestaan ± ( 0.144, 1.772) monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
17 Saatujen tulosten perusteella (P-arvo=0.096 ja luottamusväli sisältää nollan) näyttäisi siis siltä, että kokeen perustella ei ole saatu tilastollisesti merkitsevää näyttöä lääkkeen toimivuudesta kivunlievityksessä. β 1 :n tulkinnassa usein käytettävä OR-näkökulma (OR = e β 1 ) saatiin R:n tulostukseen mukaan ci.lin()-funktioon lisämäärellä Exp=TRUE. ci.lin(ma1, Exp=TRUE) monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
18 OR:n estimaatiksi saadaan 2.26 ja 95 %:n likimääräiseksi luottamusväliksi (0.865, 5.88). Luottamusvälin rajat saataisiin laskettua parametrin β 1 vastaavasta luottamusvälistä ottamalla luottamusvälin rajoista e:n potenssit (e 0.144, e ) (0.87, 5.88) Kivunlievityksen saamisen todennäköisyydet kummassakin ryhmässä voidaan nyt estimoida korvaamalla kaavassa π = P(Y = 1 X ) = eβ 0+β 1 X 1 + e β 0+β 1 X esiintyvät parametrit β 0 ja β 1 estimaateillaan. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
19 Tällöin kivunlievityksen saamisen todennäköisyyden estimaatti lääkeryhmässä on e β 0 + β 1 x P(Y = 1 X = 1) = 1 + e β 0 + β 1 x e = e lumeryhmässä on e β 0 + β 1 x P(Y = 1 X = 0) = 1 + e β 0 + β 1 x = e e = e e Edellä lasketut estimaatit vastaavat kivunlievitystä saaneiden suhteellisia osuuksia lääke- ja lumeryhmissä, jotka ovat 22/35 ja 15/35. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
20 Kertoimien tulkinnasta Huom: Edellä tarkasteltiin tilannetta, jossa kaksiarvoista vastetta selitettiin kaksiarvoisella selittäjällä. Analyysin taustalla on siis 2x2 -taulu ja tällöin OR (ja RR) on luonteva riippuvuuden mittari: e β 1 tulkittiin selittäjän ryhmien X = 1 ja X = 0 vedonlyöntikertoimien suhteena eli OR:nä. Jos selittävä muuttuja X on jatkuva, e β 1 :n tulkinta muuttuu jonkin verran: vasteen kohtaamisen todennäköisyys suhteessa vasteen välttämisen todennäköisyyteen (eli vedonlyöntikerroin) on e β 1 -kertainen selittäjän arvolla x+1 verrattuna tilanteeseen, jossa selittäjän arvo on x. (luentoesimerkki) Kertoimen β 0 tulkinta ei ole yleensä kiinnostava, sillä ko. parametri toimii mallissa eräänlaisena skaalaparametrina. Kerroin määrittelee mallin sellaiseksi, että mallin antama keskimääräinen estimaatti tapahtuman Y = 1 todennäköisyydelle vastaa havaintoaineistosta laskettua ykkösten suhteellista osuutta muuttujalla Y. monimuuttujamenetelmiin, 5 op 31. lokakuuta / 20
(b) Vedonlyöntikertoimet syytetyn ihonvärin eri luokissa
Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkimusyksikkö/tilastotiede 805306A JOHDATUS MONIMUUTTUJAMENETELMIIN, sl 2017 (Jari Päkkilä) Harjoitus 3, viikko 47 (19.20.11.): kotitehtävät Ratkaisuja 1. Floridan
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos K:n lähimmän naapurin menetelmä (K-Nearest neighbours) Tarkastellaan aluksi pientä (n = 9) kurjenmiekka-aineistoa, joka on seuraava:
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotMallipohjainen klusterointi
Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotLumipallo regressioanalyysista. Logistinen regressioanalyysi. Soveltuvan menetelmän valinta. Regressioanalyysi. Logistinen regressioanalyysi I
Lumipallo regressioanalyysista jokainen kirjoittaa lapulle yhden lauseen regressioanalyysista ja antaa sen seuraavalle Logistinen regressioanalyysi Y250. Kvantitatiiviset menetelmät (6 op) Hanna Wass tutkijatohtori
Lisätiedot(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.
2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotHarjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus 7.2.2017) Tämän harjoituskerran tehtävät
LisätiedotTilastollinen päättely, 10 op, 4 ov
Tilastollinen päättely, 0 op, 4 ov Arto Luoma Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede 3304 TAMPEREEN YLIOPISTO Syksy 2006 Kirjallisuutta Garthwaite, Jolliffe, Jones Statistical Inference,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13
LisätiedotGeenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto
Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
Lisätiedot1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS
1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMervi Virtanen Taustatekijöiden vaikutus mielipaikkaan liittyvien elpymistuntemusten kokemiseen, kumulatiivinen logistinen regressio
PRO GRADU -TUTKIELMA Mervi Virtanen Taustatekijöiden vaikutus mielipaikkaan liittyvien elpymistuntemusten kokemiseen, kumulatiivinen logistinen regressio TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotT Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotLoad
Tampereen yliopisto Tilastollinen mallintaminen Mikko Alivuotila ja Anne Puustelli Lentokoneiden rakennuksessa käytettävien metallinkiinnittimien puristuskestävyys Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
LisätiedotHarjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotUskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä
Uskottavuusperusteisten luottamusvlien korjaaminen bootstrap-menetelmllpro gradu -esitelm p. 1/35 Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä 29.4.2009
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
LisätiedotLogistinen regressio, separoivat hypertasot
Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotJarkko Isotalo. Johdatus yleistettyihin lineaarisiin malleihin
Jarkko Isotalo Johdatus yleistettyihin lineaarisiin malleihin INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 8/2012 TAMPERE 2012 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus monimuuttujamenetelmiin Luennot 30.10.13.12.-18 Tiistaina klo 12-14 (30.10., BF119-1) Keskiviikkoisin klo 10-12 (MA101,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-114.2510 Laskennallinen systeemibiologia 3. Harjoitus 1. Koska tilanne on Hardy-Weinbergin tasapainossa luonnonvalintaa lukuunottamatta, saadaan alleeleista muodostuvien eri tsygoottien genotyyppifrekvenssit
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi
Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien
LisätiedotMallin arviointi ja valinta. Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL
Mallin arviointi ja valinta Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL Sisältö Otoksen ennustevirheen estimointi AIC - Akaiken informaatiokriteeri mallin valintaan Parametrimäärän
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
Lisätiedot7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
LisätiedotMikko Hietala Vakioitavien tekijöiden valinta lonkkamurtumapotilaiden hoitokäytäntöjen vertailussa
PRO GRADU -TUTKIELMA Mikko Hietala Vakioitavien tekijöiden valinta lonkkamurtumapotilaiden hoitokäytäntöjen vertailussa TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede Huhtikuu 2009
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto
Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
Lisätiedot