Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja kuten Ohmin lakia, virran kuluttamaa tehoa ja resistanssin laskemista. 9.1 Ohmin laki Kiinteissä johteissa sähköä johtavat johde-elektronit. Ytimet ovat kiinni kidehilassa eivätkä pääse liikkumaan vapaasti, joten ne eivät osallistu virran kuljetukseen. Sen sijaan nesteissä ja kaasuissa pääsevät ionitkin liikkumaan ja siksi ne toimivat virrankuljettajina. Vaikka johtavat aineet kuljettavatkin sähkövirtaa, ne ovat yleensä ulospäin sähköisesti neutraaleja, ts. ne sisältävät yhtä paljon positiivisia ja negatiivisia varauksia. Kiinteissä johteissa osa elektroneista (johde-elektronit) voi liikkua vapaasti. Johde-elektronien liike on stokastista ja ne törmäilevät kidehilan atomeihin muuttaen jatkuvasti liikkeensä suuntaa. Staattisessa tilanteessa tämän elektronikaasun keskimääräinen nopeusvektori on nolla. Jos johteessa ylläpidetään nollasta poikkeavaa sähkökenttää E, kohdistuu elektroneihin voima ee, jonka vaikutuksesta johdeelektronit pyrkivät muuttamaan nopeuttaan kyseisen voiman suuntaan törmäysten välillä. Väliaineen aiheuttama jarruttava voima saa aikaan sen, että elektronikaasu saa keskimääräisen nopeuden v, joka on kentän suunnalle vastakkainen. Jos kiinteän aineen johde-elektronien tiheys on N, on varauksenkuljettajien varaustiheys ρ = N e, joten määritelmän (7.3) perusteella virtatiheys on j = ρv = Nev. (9.1) Elektronien keskimääräisen nopeuden suuruutta voidaan arvioida seuraavasti. Oletetaan tasapaksu johdin, jonka poikkipinta-ala on S. Virta kulkee johtimen suunnassa, joten I = NevS. (9.2) c Tuomo Nygrén, 2010 113
114 LUKU 9. SÄHKÖVIRRAT Hyvällä johteella johde-elektroneja on noin 1 kpl/atomi. Esimerkiksi kuparissa N 8 10 28 m 3. Jos S = 1 mm 2 ja I = 1 A, on v = I NeS = 1 m 8 10 28 1, 6 10 19 10 6 s 10 4 m/s, mikä on hyvin pieni nopeus. Esimerkiksi elektronien terminen nopeus on paljon suurempi. Useissa aineissa virtatiheys on verrannollinen sähkökenttään, eli on voimassa Ohmin lain differentiaalimuoto j = σe. (9.3) Verrannollisuuskerroin σ on johtavuus ja se on kullekin aineelle ominainen, mutta esimerkiksi lämpötilasta riippuva suure. Tarkastellaan homogeenista johtavaa kappaletta, jonka poikkipinta S on vakio. Kun tällainen kappale on kytketty virtapiirin ja sen johtavuus on heikompi kuin piirin johtimien, siitä käytetään nimitystä vastus. Kun vastuksen päiden välillä pidetään yllä jännitettä U, syntyy vastukseen sähkökenttä E. Tällöin johtimessa kulkee virta I = j ds = σ E ds. (9.4) S Ilmeisesti E ja S ovat samansuuntaisia. Jos vastuksen pituus on L, on on E = U/L. Tämän vuoksi I = σse = σsu/l. (9.5) Jännitteen ja virran suhde R = U I = L σs on vastuksen resistanssi. Resistanssin yksikkö on [R] = [U] [I] = V A = Ω (ohmi) S (9.6) ja johtavuuden yksiköksi saadaan (Ωm) 1. Johtavuuden käänteisarvosta 1/σ käytetään nimitystä ominaisvastus eli resistiivisyys. Resistiivisyyden yksikkö on Ωm. Yhtälö (9.6) johtaa Ohmin lakiin (Ohmin lain integraalimuoto) U = IR. (9.7) Yleisessä tapauksessa johdekappale voi olla mielivaltaisen muotoinen ja sähkökenttä voi olla paikan funktio. Kuitenkin, aina kun yhtälö (9.3) on voimassa, virta on verrannollinen jännitteeseen, joten resistanssi on määritelty. Ohmin laki ei kuitenkaan aina ole voimassa. Esimerkiksi kaasut noudattavat likimääräisesti Ohmin lakia vain, kun sähkökenttä on riittävän pieni; voimakkaassa sähkökentässä tapahtuu sähköpurkaus. Toisaalta jotkut aineet muuttuvat matalissa lämpötiloissa suprajohtaviksi, jolloin johtavuus kasvaa käytännössä lähes äärettömän suuruiseksi.
9.2. VIRRAN KULUTTAMA TEHO 115 Ohmin laki kuvaa virran kulkua johtavassa aineessa ainoastaan likimääräisesti, mutta se on riittävän tarkka monia käytännön tarpeita varten. On syytä huomata, että Ohmin laki ei liity sähkömagnetismin perusrakenteeseen samalla tavalla kuin esimerkiksi Gaussin laki tai Poissonin yhtälö. Periaatteessa tarvittaisiin erityinen teoria, jonka avulla saataisiin selville kunkin aineen johtavuus, kun aineen rakenne tunnetaan. Käytännössä kuitenkin johtavuus määritetään kokeellisesti. Jotta virta voisi kulkea johtimessa, on sen päiden välillä pidettävä yllä potentiaalieroa jännitelähteen avulla. Kuormittamattoman jännitelähteen napajännitteestä käytetään nimitystä lähdejännite; vanha termi on sähkömotorinen voima (smv). Jännitelähteitä ovat mm. sähköparistot ja akut, joissa kemiallinen energia muuttuu sähköenergiaksi, sekä aurinkokennot, joissa valon sisältämä energia muuttuu sähköenergiaksi. 9.2 Virran kuluttama teho Kun vastuksen läpi kulkee virta I, kulkee ajassa δt sen jokaisen poikkipinnan läpi ja siis koko vastuksen läpi jokin varaus δq. Ilmeisesti I = δq δt. (9.8) Kulkiessaan vastuksen läpi varaus menettää potentiaalienergian U δq, missä U on vastuksen päiden välinen jännite. Vastuksen kuluttama teho on siis P = U δq δt = UI. (9.9) Tämä tulos on nimeltään Joulen laki (Joulen lain integraalimuoto). Ohmin lain avulla Joulen laki voidaan kirjoittaa myös muotoon Yhtälö (9.9) antaa tehon yksiköksi P = I 2 R = U 2 [P ] = [U][I] = VA = VAs s R. (9.10) = J s = W, (9.11) kuten tulee ollakin. Virta voi myös kulkea väliaineessa siten, että virtatiheys riippuu paikasta. Tällöin on kiinnostavaa tietää, mitä on virran kuluttama taho tilavuusyksikköä kohti avaruuden eri paikoissa. Tämä saadaan selville yllä esitetyllä periaatteella. Tarkastellaan pientä johtavassa aineessa olevaa tilavuuselementtiä, jonka pohjat ovat kohtisuorassa virtatiheyttä vastaan. Kummankin pohjan pinta-ala on δs ja sylinterin pituus δl, joten elementin tilavuus on δτ = δsδl. Sähkökenttä elementin kohdalla on E ja koska se on virtatiheyden suuntainen, se on kohtisuorassa elementin pohjia vastaan. Pohjien välinen potentiaaliero on δu = EδL. Ajassa δt
116 LUKU 9. SÄHKÖVIRRAT kummankin pohjan lävitse kulkee varaus δq; tämän suuruinen varaus menee sylinterin toisesta päästä sisään ja toisesta ulos. Kokonaisefekti on, että tämän suuruinen sähkömäärä menettää potentiaalienergian δw = δqδu. Tämä muuttuu törmäysten kautta lämmöksi. Näinollen tilavuudessa δτ syntyy lämpöä teholla δp = δw δt = δqδu δt = δq δle = δiδle, (9.12) δt missä δi = δq/δt on sylinterin päiden kautta kulkeva virta. Koska toisaalta δi = jδs, saadaan teho muotoon joten Joulen teho tilavuusyksikköä kohti on Tämä on Joulen lain differentiaalimuoto. δp = jδsδle = jδτe, (9.13) δp δτ = je = j E = σe2. (9.14) 9.3 Vastusten sarjaan- ja rinnankytkennät Tarkastellaan kuvan 9.1 a mukaista tilannetta, jossa kaksi vastusta on kyteketty sarjaan (peärkkäin) ja yhdistetty tasajännitelähteeseen, jonka jännite on U. On huomattava, että pisteen A potentiaali on suurempi kuin pisteen B potentiaali, joka taas on suurempi kuin pisteen C potentiaali. Jos vastusten ja jännitelähteen jännitteet määritellään positiivisiksi, voidaan ne kirjoittaa potentiaalien avulla muotoon U = φ A φ C, (9.15) U 1 = φ A φ B ja (9.16) U 2 = φ B φ C. (9.17) Sähkökentän konservatiivisuudesta johtuu, että potentiaalien muutosten summa piirin ympäri on nolla. Kun lähdetään pisteestä A ja kuljetaan virran suuntaan, voidaan kirjoittaa (φ A φ B ) (φ B φ C ) + (φ A φ C ) = 0, (9.18) a) b) I A R 1 I I 1 I 2 U B U R 1 R 2 C R 2 Kuva 9.1: Vastusten sarjaan- ja rinnankytkennät.
9.3. VASTUSTEN SARJAAN- JA RINNANKYTKENNÄT 117 eli U 1 U 2 + U = 0, josta U = U 1 + U 2. (9.19) Virtapiirejä ratkaistaessa käytetään vastuksen yli mitatusta jännitteestä usein nimitystä vastuksen jännitehäviö. Tämä sisältää edellä esitetyn ajatuksen, jonka mukaan jännite pienenee virran kuljettaessa virran suuntaan. Yhtälön (9.19) tulos voidaan lukea seuraavasti: Jännitelähteen jännite on yhtä suuri kuin vastusten jännitehäviöiden summa. Virtapiirien teoriassa tämä yleistetään ns. Kirchhoffin II laiksi, joka on fysikaalisesti sama asia kuin sähkökentän konservatiivisuus, ts. sähkökentän integraali pitkin suljettua tietä on nolla. Kummankin vastuksen läpi kulkee virta I. Ohmin lain mukaan vastusten päiden väliset jännnitteet ovat Sijoittamalla nämä yhtälöön (9.19) saadaan U 1 = IR 1 ja (9.20) U 2 = IR 2. (9.21) U = IR 1 + IR 2 = I(R 1 + R 2 ). (9.22) Näinollen sarjaankytkennän päiden välisen jännitteen ja läpi kulkevan virran välillä on lineaarinen riippuvuus. Ohmin lain (9.7) perusteella verrannollisuuskerroin on kytkennän resistanssi, joten sarjaan kytkettyjen vastusten resistanssi on R = R 1 + R 2. (9.23) Kuvan 9.1 b tapauksessa kummankin vastuksen jännite on jännitelähteen jännitteen suuruinen. Siis U 1 = U 2 = U. (9.24) Jännitelähteestä tuleva virta I jakautuu vastusten kesken kahdeksi virraksi I 1 ja I 2. Koska jokainen varauksenkuljettaja kulkee jomman kumman vastuksen läpi, on voimassa ehto I = I 1 + I 2. (9.25) Virtapiirien teoriassa tämä yleistetään ns. Kirchhoffin I laiksi, joka on eräs tapa ilmaista sähkövarauksen säilyminen. Ohmin lain perusteella U 1 = I 1 R 1, josta I 1 = U 1 R 1 ja (9.26) U 2 = I 2 R 2, josta I 2 = U 2 R 2. (9.27) Sijoittamalla nämä tulokset yhtälöön (9.25) ja ottamalla huomioon yhtälö (9.24) saadaan ( 1 I = U + 1 ). (9.28) R1 R2
118 LUKU 9. SÄHKÖVIRRAT Virran ja jänniteen välillä on siis lineaarinen riippuvuus ja verrannollisuuskerroin on Ohmin lain perusteella rinnakytkennän resistanssin käänteisluku. Siis 1 R = 1 R 1 + 1 R 2, josta R = R 1R 2 R 1 + R 2. (9.29) Monimutkaisempien vastuskytkentöjen resistansseja voidaan laskea soveltamalla sarjaan- ja rinnankytkennän kaavoja. Aina tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, vaan joudutaan turvautumaan hankalampin menetelmiin. Koska resistanssin käänteisarvo esintyy rinnankytkennän kaavoissa, on tälle suureelle anettu oma nimi, konduktanssi, jonka määritelmä siis on G = 1 R. (9.30) Konduktanssin yksikkö on eli siemens. [G] = 1 [R] = 1 Ω = S (9.31)