Fysikaalinen geodesia 53516 g N N Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi
Esipuhe Tämän kirjan tavoitteena on esittää Maan painovoimakentän 1 tutkimuksen nykytilan yleiskuvan, mukaanlukien ne geofysiikan osat jotka tähän läheisesti liittyvät, etenkin geodynamiikkaa, muuttuvan Maan tutkimusta. Kirjan taustalla on kahden vuosikymmenen opetus Helsingin kahdella yliopistolla: Teknillisella korkeakoululla nykyisin osana Aalto-yliopistoa ja Helsingin yliopistolla. Kirja esittää jokseenkin pohjoismaista perspektiiviä varsin globaaliin aiheeseen. Myös tekijän oma tutkimus gravimetrisen geoidimäärityksen alalla on vaikuttanut esitystapaan. Vaikka löytyy erinoimaisia oppikirjoja jotka käsittelevät tämän kirjan kaikkia osa-alueita, hän toivoo kuitenkin, että kirja löytäisi omaa lukijakuntaansa. Helsinki, 8. maaliskuuta 2017, Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi Kiitokset Monelle opiskelijalle ja kollegoille kiitoksia vuosien saatossa saaduista hyödyllisistä kommentteista ja korjausehdotuksista. Tekstin viimevuo- 1 Kurssin alkuperäinen nimi Helsingin yliopistossa oli Maan painovoimakenttä. iii
iv Esipuhe tinen englanninnos aiheutti laajoja parannuksia, joista kiitokset sekä ulkomaisille opiskelijoille että Aalto-yliopiston pedagogiselle koulutusohjelmalle.
Sisältö Esipuhe iii Sisältö v Taulukot xiii Kuvat xv Lyhenteet xxi 1. Gravitaatioteorian perusteita 1 1.1 Yleistä............................. 1 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio........... 3 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali............ 4 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali........... 5 1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista.......... 7 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali.............. 9 1.7 Esimerkki: Massaviivan potentiaali........... 11 1.8 Laplacen ja Poissonin yhtälöt............... 13 1.9 Mittainvarianssi....................... 14 1.10 Yksinkertainen massatiheyskerros............ 15 1.11 Kaksinkertainen massatiheyskerros........... 16 1.12 Gaussin lause......................... 18 1.13 Greenin lauseet........................ 23 1.14 Chaslesin lause........................ 27 v
vi Sisältö 1.15 Reuna-arvotehtäviä..................... 29 1.16 Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea.......... 30 Olenko ymmärtänyt tämän?.................... 30 Harjoitus 1 1: Maan ydin..................... 31 Harjoitus 1 2: Ilmakehä...................... 31 Harjoitus 1 3: Gaussin lause................... 31 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja 35 2.1 Yleistä............................. 35 2.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa.. 37 2.3 Esimerkki: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa.... 40 2.4 Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit,....... 41 2.5 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa.......... 44 2.6 Riippuvuus korkeudesta.................. 45 2.7 Legendren funktiot...................... 46 2.8 Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet... 50 2.9 Legendre-funktioiden ortogonaalisuus, ortonormaalisuus............................... 53 2.10 Funktion hajoittaminen asteosuuksiin.......... 54 2.11 Eri suureiden spektraaliesitykset............. 55 2.12 Matalan asteluvun pallofunktiot............. 57 2.13 Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät.......... 59 2.14 Ellipsoidiset harmoniset.................. 61 Harjoitus 2 1: Pallofunktiokehitelmän vaimennus korkeuden mukaan.......................... 63 Harjoitus 2 2: Pallofunktioiden symmetriat.......... 64 3. Normaalipainovoimakenttä 67 3.1 Normaalikentän perusajatus................ 67 3.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali........... 68 3.3 Tasopinnat ja luotiviivat.................. 71 3.4 Luonnolliset koordinaatit.................. 73
Sisältö vii 3.5 Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea]............................... 74 3.6 Normaalipainovoima..................... 76 3.7 Numeeriset arvot ja kaavat................. 78 3.8 Esimerkki........................... 79 3.9 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä..... 80 3.10 Häiriöpotentiaali....................... 82 Harjoitus 3 1: Somigliana-Pizettin kaava............ 83 Harjoitus 3 2: Keskipakoisvoima................. 84 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet 85 4.1 Häiriöpotentiaali, geoidin korkeus.............. 85 4.2 Painovoimahäiriöt...................... 88 4.3 Painovoima-anomaliat.................... 89 4.4 Painovoima-anomalioihin käytetyt yksiköt....... 92 4.5 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä....... 92 4.6 Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi............. 95 4.7 Ilma-anomaliat........................ 96 Harjoitus 4 1: Painovoima-anomalioiden spektri....... 98 Harjoitus 4 2: Luotiviivapoikkeamat ja geoidin kaltevuus.. 98 Harjoitus 4 3: Painovoima-anomalia, geoidin korkeus.... 98 5. Geofysikaaliset reduktiot 99 5.1 Yleistä............................. 99 5.2 Bouguer-anomaliat...................... 100 5.3 Maastoefektit ja maastokorjaus.............. 103 5.4 Bouguer-palloanomaliat................... 108 5.5 Helmert-kondensaatio.................... 109 5.6 Isostasia............................ 111 5.7 Isostaattiset reduktiot.................... 117 5.8 Isostaattinen geoidi.................... 119 Harjoitus 5 1: Painovoima-anomalia............... 123
viii Sisältö Harjoitus 5 2: Bouguer-reduktio................. 123 Harjoitus 5 3: Maastokorjaus, Bouguer............. 123 6. Korkeusjärjestelmät 125 6.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi........ 125 6.2 Ortometriset korkeudet................... 127 6.3 Normaalikorkeudet..................... 129 6.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä 134 6.5 Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä........................... 136 6.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta...... 137 6.7 Normaalikorkeuksien tarkka laskenta.......... 139 6.8 Korkeuksien laskentaesimerkki.............. 139 6.9 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus........ 141 6.10 Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaaitus............................... 143 Harjoitus 6 1: Ortometristen korkeuksien laskenta...... 144 Harjoitus 6 2: Isostasia....................... 145 Harjoitus 6 3: Normaalikorkeuksien laskenta......... 145 Harjoitus 6 4: Ero ortometrisen korkeuden ja normaalikorkeuden välillä......................... 145 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt 147 7.1 Stokesin yhtälö ja Stokesin integraaliydin........ 147 7.2 Luotiviivan poikkeamat ja Vening Meineszin kaavat. 150 7.3 Poissonin integraaliyhtälö................. 150 7.4 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa........ 153 7.5 Painovoima-anomalian pystygradientti......... 155 7.6 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä........ 157 7.7 Remove-Restore -menetelmä................ 161 7.8 Ydinfunktion modifikaatio Remove-Restore -menetelmässä.............................. 162
Sisältö ix 7.9 Edistyneitä ydinfunktion modifikaatioita........ 165 7.10 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus............. 167 Harjoitus 7 1: Stokesin yhtälö.................. 169 8. Spektraalimenetelmät, FFT 171 8.1 Stokesin lause konvoluutiona............... 171 8.2 Integrointi FFT:llä...................... 173 8.3 Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa....... 176 8.4 Mutkat matkalla; bordering, tapering.......... 181 8.5 Geoidimallin laskenta FFT:llä............... 183 8.6 FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä........ 185 8.7 Maastokorjausten laskenta FFT:llä............ 185 9. Tilastolliset menetelmät 189 9.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa............ 189 9.2 Lineaariset funktionaalit.................. 190 9.3 Tilastotiede Maan pinnalla................. 191 9.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio.......... 193 9.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio.......... 195 9.6 Painovoima-anomalioiden prediktio............ 205 9.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit........... 206 9.8 Kovarianssien kasautumislaki............... 209 9.9 Globaaliset kovarianssifunktiot.............. 212 9.10 Kollokaatio ja spektraalinäkökohta............ 213 Harjoitus 9 1: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio.... 216 Harjoitus 9 2: Painovoima-anomalioiden prediktio...... 216 Harjoitus 9 3: Painovoima-anomalioiden prediktio 2).... 217 Harjoitus 9 4: Kovarianssien kasautuminen.......... 217 Harjoitus 9 5: Kaulan sääntö painovoima-anomalioille.... 218 Harjoitus 9 6: Maanalaiset massapisteet............ 219 10. Gravimetriset mittauslaitteet 221
x Sisältö 10.1 Historia............................ 221 10.2 Relatiivinen eli jousigravimetri.............. 223 10.3 Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri......... 228 10.4 Verkkohierarkia gravimetriassa.............. 232 10.5 Suprajohtava gravimetri.................. 234 10.6 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen...... 235 10.7 Ilmagravimetria ja GNSS.................. 237 10.8 Painovoimagradientin mittaus............... 239 Harjoitus 10 1: Absolute gravimeter............... 241 Harjoitus 10 2: Spring gravimeter................ 242 Harjoitus 10 3: Air pressure and gravity............ 242 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia 245 11.1 Peruskäsitteet......................... 245 11.2 Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit.......... 247 11.3 Geoidi ja postglasiaalinen maannousu.......... 248 11.4 Menetelmiä meritopografian määrittämiseksi..... 251 11.5 Globaalinen meritopografia ja lämmönkuljetus..... 252 11.6 Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen....... 255 11.7 Merenpintayhtälö...................... 256 Harjoitus 11 1: Coriolis force, ocean current.......... 259 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot 261 12.1 Satelliitti-altimetria..................... 261 12.2 Crossover-tasoitus...................... 265 12.3 Satelliittiradan valinta................... 271 12.4 Esimerkki........................... 274 12.5 Retracking........................... 276 12.6 Merentutkimus satelliitti-altimetrian avulla...... 278 12.7 Satelliittipainovoimamissiot................ 279 Harjoitus 12 1: Altimetry, cross-over adjustment....... 283 Harjoitus 12 2: Satelliittirata................... 284
Sisältö xi Harjoitus 12 3: Keplerin kolmas laki.............. 285 13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet 287 13.1 Teoreettinen vuorovesi................... 287 13.2 Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio........ 291 13.3 Vuoroveden pysyvä osa................... 293 13.4 Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen..... 294 Harjoitus 13 1: Tide......................... 294 14. Maan painovoimakentän tutkimus 297 14.1 Kansainvälisesti....................... 297 14.2 Eurooppa............................ 298 14.3 Pohjoismaat.......................... 298 14.4 Suomi.............................. 299 14.5 Oppikirjat........................... 300 Kirjallisuutta 301 A. Kenttäteoria ja vektorianalyysi lyhyesti 311 A.1 Vektorilaskenta........................ 311 A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä................. 314 A.3 Integraalit........................... 320 A.4 Aineen jatkuvuus....................... 323 B. Funktioavaruudet 325 B.1 Abstraktinen vektoriavaruus................ 325 B.2 Fourier-funktioavaruus................... 326 B.3 Sturm-Liouville -differentiaaliyhtälöt.......... 327 B.4 Legendren polynomit.................... 331 B.5 Pallofunktiot......................... 332 C. Miksi FFT toimii? 335 D. Helmert-kondensaatio 337
xii Sisältö D.1 Topografian sisäinen potentiaali.............. 337 D.2 Topografian ulkoinen potentiaali............. 338 D.3 Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali...... 339 D.4 Helmert-kondensaation kokonaispotentiaali...... 339 D.5 Dipolimenetelmä....................... 342 Hakemisto 345
Taulukot 2.1 Potentiaalikentän V pystysuuntainen siirto, avaruus- ja taajuusdomeeneissa........................ 40 2.2 Legendre-polynomeja. t = sinφ.................. 46 2.3 Legendren liitännäisfunktioita.................. 47 2.4 Puoliaallonpituudet pallofunktioiden eri aste- ja järjestysluvuille................................ 50 2.5 Koodi pintapallofunktion kartan piirtämiseksi........ 52 2.6 EGM96-pallofunktiokehitelmän kertoimia........... 61 2.7 Toisen lajin Legendren funktioita................ 62 3.1 GRS80-normaalipotentiaalin pallofunktiokertoimia..... 81 4.1 Painovoimavaihtelujen suuruusluokat............. 92 12.1 Altimetriasatelliitteja kautta aikojen.............. 261 13.1 Teoreettisen vuoroveden eri periodeja.............. 290 xiii
Kuvat 1.1 Gravitaatio on universaalinen.................. 2 1.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista............... 6 1.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydestä...... 8 1.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros............... 17 1.5 Gaussin integraalilauseen graafinen selostus......... 19 1.6 Pieni suorakulmainen laatikko.................. 21 1.7 Kahdeksan yksikön kuutio.................... 22 1.8 Greenin lause ulkoiselle pisteelle................. 25 1.9 Greenin lause sisäiselle pisteelle................. 26 1.10 Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle........... 27 1.11 Rautamalmikappale........................ 32 2.1 Painovoimakentän vaimennus korkeuden mukaan...... 39 2.2 Pallokoordinaattien määritelmä................. 42 2.3 Geodeettisten koordinaattien määritelmä........... 43 2.4 Muutama Legendren polynomi................. 47 2.5 Legendren liitännäisfunktioita.................. 48 2.6 Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla........ 49 2.7 Pintapallofunktiot karttoina................... 49 2.8 Monopoli, dipoli ja kvadrupoli Maan keskuksessa ja niiden vaikutukset geoidiin........................ 59 3.1 Maan normaalipainovoimakenttä................ 67 xv
xvi Kuvat 3.2 Gravitaatio ja keskipakoisvoima................. 69 3.3 Tasopintojen kaarevuus...................... 72 3.4 Luonnolliset koordinaatit...................... 74 3.5 Meridiaaniellipsin geometria ja eri leveysastetyypit..... 77 3.6 Normaalikentän potentiaalikäyrä päiväntasaajan yläpuolella.................................. 80 4.1 Geoidi-undulaatiot ja luotiviivan poikkeamat......... 86 4.2 Suomen geoidimalli........................ 87 4.3 Painovoima- ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat............................... 88 4.4 Eri vertauspinnat.......................... 90 4.5 Ilma-anomalioita Etelä-Suomessa................. 97 5.1 Bouguer-laatan vetovoima..................... 101 5.2 Bouguer-laatta topografian approksimaationa......... 102 5.3 Eri anomaliatyyppien käyttäytyminen vuoristoisessa maastossa.................................. 103 5.4 Maastokorjattuja Bouguer-anomalioita Etelä-Suomessa... 104 5.5 Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä................................. 105 5.6 Bouguer-anomalian laskennan vaiheet............. 106 5.7 Erikoinen maaston muoto..................... 106 5.8 Helmert-kondensaatio ja sen.................... 110 5.9 Friedrich Robert Helmert..................... 111 5.10 Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin...... 112 5.11 Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi.............. 113 5.12 Airy-Heiskanen isostaattinen hypoteesi............. 113 5.13 Isostaattisen kompensaation suureita.............. 114 5.14 Isostasian nykykäsitys...................... 116 5.15 Isostaattisia painovoima-anomalioita Etelä-Suomessa.... 119 5.16 Isostaattinen reduktio kahtena pintatiheyskerroksena... 121
Kuvat xvii 6.1 Vaaituksen periaate......................... 125 6.2 Korkeusvertauspatsas Helsingin................. 127 6.3 Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut............ 128 6.4 Päijänne: vesi virtaa ylöspäin................. 129 6.5 Mihail Sergejevitš Molodensky, mystisestä venäläisestä asiakirjasta.............................. 130 6.6 Molodenskyn todistuksen graafinen aasinsilta........ 133 6.7 Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja topografia........... 133 6.8 Optinen valohilakello....................... 144 7.1 Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate....... 148 7.2 Stokesin yhtälön integrointi geometrisesti........... 148 7.3 Stokesin ydinfunktio S ψ )..................... 149 7.4 Generoivan funktion geometria.................. 151 7.5 Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille......... 155 7.6 Residual terrain Modelling RTM)............... 159 7.7 Modifioituja Stokes-ydinfunktioita............... 164 7.8 Simpson-integroinnin solmupistepainot kahdessa ulottuvuudessa............................... 168 8.1 Karttaprojektiokoordinaatit x, y paikallisessa tangenttitasossa.................................. 172 8.2 Tapering 25%........................... 182 8.3 Esimerkkikuvia FFT-muunnoksesta............... 182 8.4 Suomen FIN2000-geoidi..................... 184 8.5 Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä........ 186 9.1 Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä................................. 194 9.2 Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa... 200 9.3 Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta..... 200 9.4 Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina...... 213 9.5 Sirkulaarinen geometria...................... 215
xviii Kuvat 10.1 Jean Richer n raportti....................... 222 10.2 Autograv CG5 jousigravimetri.................. 223 10.3 Jousigravimetrin toimintaperiaate............... 225 10.4 Astatisoinnin idea.......................... 227 10.5 Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate...... 229 10.6 FG5 absoluuttinen gravimetri.................. 230 10.7 Atomigravimetrian toimintaperiaate.............. 233 10.8 Kansainvälinen absoluuttigravimetrien vertailu....... 233 10.9 Suprajohtavan gravimetrin toimintaperiaate......... 234 11.1 Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia................................. 250 11.2 Fennoskandian 63 N leveyspiirin painovoimalinja...... 251 11.3 Meritopografian ja merivirtausten välinen yhteys...... 254 11.4 GOCEn tuottama meritopografiakartta............. 254 11.5 Merenpintayhtälö......................... 256 11.6 Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen...... 258 12.1 TOPEX/Poseidon ja Jason-satelliittien.............. 263 12.2 Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet..... 264 12.3 Eräs crossoverien yksinkertainen geometria.......... 266 12.4 Satelliitti-altimetrian ratageometria.............. 270 12.5 Keplerin rata-alkiot......................... 272 12.6 Aurinkosynkroonisen radan mekanismi............ 273 12.7 No-shadow -radan geometria.................. 274 12.8 Satelliittiradan esimerkki..................... 275 12.9 Altimetriapulssin analyysi..................... 277 12.10 Jäävolyymi Arktisella merellä................... 278 12.11 Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti...... 280 12.12 GRACE-satelliittien perusidea................... 281 12.13 Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliitin...................................... 283
Kuvat xix 13.1 Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun tai Auringon) paikallinen zeniittikulma.......................... 288 13.2 Teoreettisen vuoroveden pääkomponentit.......... 290 A.1 Ulkoinen tulo eli vektoritulo................... 313 A.2 Keplerin toinen laki........................ 314 A.3 Gradientti.............................. 317 A.4 Divergenssi............................. 318 A.5 Rotaatio............................... 319 A.6 Stokesin rotaatiolause...................... 321 A.7 Gaussin integraalilause...................... 323
Lyhenteet AGU American Geophysical Union BGI Bureau Gravimétrique International, International Gravity Bureau BVP boundary-value problem, reuna-arvotehtävä CHAMP Challenging Minisatellite Payload for Geophysical Research and Applications DMA Defense Mapping Agency U.S.A.) DTM digital terrain model, digitaalinen maastomalli EGM96 Earth Gravity Model 1996 EGM2008 Earth Gravity Model 2008 EGU European Geosciences Union ENSO El Niño Southern Oscillation ESA European Space Agency FIN2000 geoidimalli Suomi) FIN2005N00 geoidimalli Suomi) FFT fast Fourier transform, nopea Fourier-muunnos FGI Finnish Geospatial Research Institute, aiemmin Finnish Geodetic Institute, Geodeettinen laitos GDR Geophysical Data Record GFZ Geoforschungszentrum Potsdam, Saksa) GIA Glacial Isostatic Adjustment GNSS Global Navigation Satellite Systems GOCE Geopotential and Steady-state Ocean Circulation Explorer GPS Global Positioning System GRACE Gravity Recovery And Climate Experiment GRAVSOFT Geopotentiaalilaskentaohjelmisto, pääosin Tanskassa ke- xxi
xxii Lyhenteet hitetty GRS67 Geodetic Reference System 1967 GRS80 Geodetic Reference System 1980 HUT Helsinki University of Technology, Teknillinen Korkeakoulu TKK) IAG International Association of Geodesy, Kansainvälinen Geodeettinen Assosiaatio ICET International Center for Earth Tides ICGEM International Center for Global Earth Models IDEMS International Digital Elevation Model Service IGeC International Geoid Commission vanhentunut) IGFS International Gravity Field Service ISG International Service for the Geoid IUGG International Union of Geodesy and Geophysics, Kansainvälinen geodeettis-geofysikaalinen unioni JILA Joint Institute for Laboratory Astrophysics Boulder, Colorado, Yhdysvallat) KKJ Kartastokoordinaattijärjestelmä Suomi) Lego Leg Godt, suomeksi Leiki Hyvin, tanskalainen leikkikalujen tavaramerkki LLR Lunar laser ranging LSC least-squares collocation, pienimmän neliösumman kollokaatio M f Moon, fortnightly tide, Kuu, puolikuukausittainen vuorovesi moho Mohorovičićin epäjatkuvuuspinta N60 korkeusjärjestelmä Suomi) N2000 korkeusjärjestelmä Suomi) NAP Normaal Amsterdams Peil, korkeusjärjestelmä länsi-eurooppa) NASA National Aeronautics and Space Administration Yhdysvallat) NAVD88 North American Vertical Datum 1988 NC normal correction, normaalikorjaus NGA National Geospatial-Intelligence Agency Yhdysvallat, ai-
Lyhenteet xxiii emmin NIMA) NIMA National Imagery and Mapping Agency Yhdysvallat, aiemmin DMA) NKG Nordiska Kommissionen för Geodesi, Pohjoismainen Geodeettinen Komissio NKG2004 geoidimalli Pohjoismaat) NKG2015 geoidimalli Pohjoismaat) NOAA National Oceanic and Atmospheric Administration Yhdysvallat) OSU Ohio State University, Columbus, Ohio, Yhdysvallat OC orthometric correction, ortometrinen korjaus ppm parts per million, miljoonasosa ppb parts per billion, miljardisosa RTM residual terrain modelling SI Système International d Unités SLR satellite laser ranging Ssa Sun, semi-annual tide, Aurinko, puolivuotinen vuorovesi SWH Significant Wave Height TC terrain correction, maastokorjaus WGS84 World Geodetic System 1984
1. Gravitaatioteorian perusteita 1.1 Yleistä Tässä luvussa käsitellään Newtonin gravitaatioteorian perusteita. Intuitiivisesti gravitaatioteoriaa on helpointa ymmärtää kaukovaikutuksen En. action at a distance) ilmiönä, jossa kahden massan välinen voima on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen massojen välisen etäisyyden neliöön. Tämä on Newtonin gravitaatiolain kaikille tuttu ilmaisumuoto. On olemassa vaihtoehtoinen mutta samanarvoinen esitystapa, kenttäteoria, joka kuvaa gravitaatiota avaruuden kautta etenevänä ilmiönä, kenttänä. Etenemistä kuvaa kenttäyhtälöt. Kenttäteorian lähestymistapa ei ole yhtä intuitiivinen, mutta on tehokas teoreettinen apuväline 1. Tässä luvussa tutustutaan kenttäteorian keskeiseen gravitaatiopotentiaalin käsitteeseen. Tutkitaan myös yksinkertaisen ja kaksinkertaisen massatiheyskerroksen aiheuttamat, teoreettisesti mielenkiintoiset potentiaalikentät. Niiden sovelluksista, sekä teoriassa että käytännössä, mainittakoon Bouguer-kerros ja ns. Helmert-kondensaatio. Seuraavassa käsitellään seikkaperäisesti niiden ominaisuudet. Massatiheyskerroksia käytetään myös Greenin lauseiden johtamisessa. Tutustumme keskeisiin integraalilauseisiin, kuten Gaussin ja Greenin lauseet, joi- 1 Asialla on myös filosofinen puoli. Monelle, esimerkiksi Leibnizille, idea voimasta joka hyppää kappaleesta toiseen tyhjän avaruuden kautta oli mahdoton ajatus. Monet yrittivät selittää gravitaatiota ja myös sähkömagnetismia ym. maailmaneetterin avulla. Vasta suhteellisuusteorian myötä levisi käsitys, että fysikaalinen selitys ei tarvitsekaan tyydyttää ennakkoluulomme siitä, mikä on ns. hyvä selitys jos se vaan kuvaa fysikaaliset ilmiöt korrektisti. 1
2 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Kuva 1.1. Gravitaatio on universaalinen. Hubble-teleskoopin kuvaama gravitaatiolinssi, galaksijoukko etäisyydellä 2,2 miljardia valovuotta. Lähde NASA & ESA. den avulla voidaan päätellä koko potentiaalikenttää avaruudessa vain tietyllä pinnalla annetujen kenttäarvojen perusteella. Muut vastaavat esimerkit ovat Chaslesin lause, Stokesin lause ja Dirichletin ongelman ratkaisu. Luvussa 2 nämä potentiaaliteorian perusteet sovelletaan Maan gravitaatiokentän spektraaliesityksen, ns. pallofunktiokehitelmän, johtamiseksi. Tässä tekstin alussa johdetaan suurehko määrä matemaattisia kaavoja, mm. integraaliyhtälöitä. Tämä on valitettavasti välttämätön pohjatyö. Kuitenkaan kaavat eivät ole itsetarkoitus eikä niitä kannata oppia ulkoa. Yritä mieluummin ymmärtää niiden logiikka ja miten historiallisesti eri tuloksiin on päädytty, sekä hankkia itsellesi jonkinlaista sormituntumaa teorian luonteesta.
1.2. Kahden massan välinen gravitaatio 3 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio Maan painovoimakentän tutkimus alkaa sopivasti Isaac Newtonin 2 yleisestä gravitaation laista: F = G m 1m 2 l 2. 1.1) F on kappaleiden 1 ja 2 välinen vetovoima, m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat ja l on niiden välinen etäisyys. Massat oletetaan pistemäisiksi. Vakio G on arvoltaan G = 6,6726 10 11 m 3 kg 1 s 2. G:n arvoa määritti ensimmäistä kertaa Henry Cavendish 3 käyttämällä herkkää torsiovaakaa Cavendish, 1798). Olkoon m pieni kappale, koemassa, esim. satelliitti, ja M suuri massa, planeetta tai Aurinko. Silloin m 1 = M voidaan kutsua vetoavaksi massaksi ja m 2 = m vedetyksi massaksi, ja saadaan Newtonin liikelain mukaan F = G mm l 2. F = ma, missä a on kappaleen m kiihtyvyys. Tästä seuraa a = G M l 2. Tästä kaavasta suure m = m 2 on kadonnut. Tämä on kuuluisa Galilei n havainto, että kaikki kappaleet putoavat yhtä nopeasti 4, niiden massasta riippumatta. Tätä tunnetaan myös Einsteinin ekvivalenssiperiaatteena. 2 Sir Isaac Newton PRS 1642 1727) oli englantilainen yleisnero joka matematisoi tähtitiedettä ja suurta osaa geofysiikkaa pääteoksessaan Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica eli Fysiikan matemaattiset perusteet. 3 Henry Cavendish FRS 1731 1810) oli brittiläinen luonnontieteilijä rikkaasta aatelissuvusta. Hän teki uraa uurtavaa työtä myös kemiassa. Hän oli erittäin ujo, ja kuuluisa neurologi Oliver Sacks retrodiagnostisoi hänet Aspergeroireyhtymän kärsijäksi. 4 Ainakin tyhjiössä. Apollo-astronautit esittivät vaikuttavasti, miten Kuulla höyhen ja vasara putoavat yhtä nopeasti! https://www.youtube.com/watch? feature=player_embedded&v=kdp1tiuszw8#!.
4 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Sekä voima F että kiihtyvyys a ovat samansuuntaisia kappaleiden yhdistävän viivan kanssa. Siksi kirjoitetaan yhtälö 1.1 usein vektorikaavana, jolla on suurempi ilmaisukyky: a = GM r R l 3, 1.2) jossa vedetyn ja vetäävän massan kolmiulotteiset paikkavektorit määritellään seuraavasti suorakulmaisissa koordinaatteissa 5 : r = xi + yj + zk, R = Xi + Y j + Zk, jossa yksikkövektorien kolmikko {i,j,k} on eukliidisen avaruuden R 3 ortonormaalinen kanta ja l = r R = x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2 1.3) on massojen välinen etäisyys Pythagoraan lauseen mukaisesti laskettuna. Huomaa, että vektorikaavassa 1.2 on miinusmerkki! Tämä kertoo vain, että voiman suunta on päinvastainen kuin vektorin r R suunta. Tämä vektori on vedetyn massan m paikka vetäävän massan M paikasta laskettuna. Toisin sanoen, tämä kertoo että kyseessä on vetovoima eikä työntövoima. 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali Gravitaatiokenttä on erikoinen kenttä: mikäli se on stationaarinen eikä siis ajasta riippuvainen, se on konservatiivinen. Tämä merkitsee, että kappale, joka liikkuu kentän sisällä suljettua reittiä pitkin, ei ole matkan suoritettua menettänyt eikä voittanut energiaa. Tästä syystä voi kiinnittää jokaisen kentän pisteelle yksiselitteisesti tarran, johon voi merkitä yksikkö- eli koemassan energiamäärä, joka se on voittanut tai menettänyt matkustaessaan sovitusta lähtöpisteestä kyseessä olevaan 5 Vektorin notaatioksi voidaan käyttää joko v nuoli yläpuolella) tai v lihava). Tässä käytetään lihavointia, paitsi kreikkalaisin kirjaimin merkityille vektoreille, joille lihavointi ei onnistu.
1.4. Pallon muotoisen kuoren potentiaali 5 pisteeseen. Tarralle kirjoitettua arvoa kutsutaan potentiaaliksi. Huomaa, että lähtöpisteen valinta on mielivaltainen! Tähän asiaan palataan vielä.) Pistemäisen kappaleen M näin määritelty potentiaalifunktio on: V = G M l = GM l, 1.4) jossa l on taas, kuten yllä, vektorin r R pituus l = r R. Vakiolla GM on Maapallon tapauksessa GRS80-järjestelmän mukainen, konventionaalinen) arvo: GM = 3,986005 10 14 m 3 /s 2. Tämän hetken paras käytettävissä oleva fysikaalinen arvo taas on: GM = 3,98600440 10 14 m 3 /s 2. 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali Voimme kirjoittaa kaavan 1.4 perusteella laajan kappaleen potentiaalin seuraavaan muotoon: V = G ˆ m dm l. 1.5) Tämä on integraali massa-alkoiden dm yli, missä jokainen massa-alkio dm sijaitsee paikalla R. Potentiaali V lasketaan paikalla r, ja etäisyys l = r R. Johdamme nyt ohuen pallon muotoisen kuoren potentiaalin kaavan, ks. kuva 1.2, jossa olemme laittaneet pallon keskipiste origoksi O. Koska kapean renkulan, leveys b dθ, ympärysmitta on 2πb sinθ, on sen pinta-ala 2πb sinθ)b dθ). Olkoon kuoren paksuus p pieni) ja sen ainetiheys ρ. Saamme renkulan kokonaismassaksi: 2πpρb 2 sinθdθ. Koska renkulan jokainen piste on samalla etäisyydellä l pisteestä P, voimme kirjoittaa potentiaaliksi pisteessä P: V P = 2πG pρb2 sinθdθ. l
6 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita bdθ p b O θ b r l P Kuva 1.2. Pallon ohut kuori koostuu renkaista. Kosinisäännön avulla: l 2 = r 2 + b 2 2rb cosθ 1.6) saadaan kaavan 1.5 avulla koko kuoren potentiaaliksi: ˆ V P = 2πGρ pb 2 sin θdθ r 2 + b 2 2rb. cosθ Tämän integraalin laskemiseksi muutetaan integrointimuuttuja θ:stä l:ksi. Differentioimalla kaava 1.6 saadaan ldl = br sinθdθ, ja muistamalla, että l = r 2 + b 2 2rb cosθ saadaan: V P = 2πGρ pb 2 ˆ l2 l 1 dl br. Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren ulkopuolella, ovat l:n integrointirajat l 1 = r b ja l 2 = r + b ja pisteen P potentiaaliksi saadaan V P = 2πGρ pb 2 [ l br ] l=r+b l=r b 4πGρ pb2 =. r Koska koko kuoren massa on M b = 4πb 2 ρ p, seuraa, että kuoren potentiaali on sama kuin sen keskipisteessä O olevan, samansuuruisen massan potentiaali: V P = GM b, r
1.5. Vetovoiman laskeminen potentiaalista 7 jossa r on nyt laskentapisteen P etäisyys pallon keskipisteestä O. Nähdään, että tämä on sama kaava kuin 1.4. Samalla tavalla pallokuoren vetovoima kiihtyvyys) on 6 a P = V ) P = 4πGρ pb 2 r P r O r 3 = GM b r P r O r 3, taas identtinen samanmassaisen, pisteessä O sijaitsevan pistemassan aiheuttaman kiihtyvyyden kanssa, ks. kaava 1.2. Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren sisäpuolella, l 1 = b r ja l 2 = b + r ja yllä oleva integraali muuttu seuraavaksi: V P = 2πGρ pb 2 [ l br ] l=b+r l=b r = 4πGρ pb. Kuten nähdään, tämä on vakio eikä riipu pisteen P paikasta. Siksi V P = 0 ja vetovoima potentiaalin gradienttina häviää. Lopputulos on, että pallon muotoisen kuoren vetovoiman suuruus on, kuoren ulkopuolella, a = a = GM r 2, missä M on kuoren kokonaismassa ja r = r P r O havaintopisteen etäisyys kuoren keskipisteestä, ja on 0 kuoren sisällä. Kuvassa 1.3 on piirretty potentiaalin ja vetovoiman eli kiihtyvyyden, vetovoiman-per-massayksikkö) käyrät. Jos kappale koostuu monesta sisäkkäisestä pallon kuoresta kuten melko tarkasti maapallo ja useimmat taivaankappaleet) osallistuvat kappaleen sisäisen vetovoiman muodostukseen vain ne massakerrokset jotka ovat havaintopisteen sisäpuolella, ja vetovoima on sama kuin mitä se olisi jos koko näiden kerrosten massa olisi keskitetty kappaleen keskipisteeseen. Tätä tapausta, jossa massatiheysjakauma kappaleen sisällä riippuu ainoastaan etäisyydestä sen keskipisteestä eikä leveys- tai pituusasteesta, kutsutaan isotrooppiseksi tiheysjakaumaksi. 1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista Kuten yllä argumentoitiin on potentiaali ns. matka-integraali. Kääntäen voidaan potentiaalista laskea gravitaation kiihtyvyysvektorin kom- 6 Tässä käytetään -operaattori, josta lisää osiossa 1.5.
8 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita 4πGρb Kiihtyvyys 4πGρb b2 r 2 4πGρb b r Potentiaali 0 0 b r Kuva 1.3. Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä. ponentit differentioimalla paikan suhteen, ts. soveltamalla gradienttioperaattori: a = V = gradv = i V x + j V y + k V z. 1.7) Tässä symboli nabla) on usein käytetty ns. differentiaalioperaattori = i x + j y + k z. Tässä {i,j,k} on taas eukliidisen avaruuden R 3 keskenään kohtisuorien yksikkövektorien kanta. Vektorit ovat samansuuntaisia x, y, z) akseleiden kanssa. Kokeillaan tätä differentiaatiota pistemassan M potentiaalikentän tapauksessa. Sijoita ylläolevat V :n 1.4 ja l:n 1.3 kaavat 7 : V x = V l l x = GM 1 x X l 2 l = GM x X l 3. 7 Kaavasta l = x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2 = [ x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2] 1 2 seuraa ketjusäännön avulla l x = [ x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2] 1 2 [ x X)2 x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2] = x = 1 [ x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2] 12 2x X) = x X 2 l.
1.6. Kiinteän kappaleen potentiaali 9 Vastaavasti lasketaan y- ja z-komponentit: V y = GM y Y l 3 ; V z = GM z Z l 3. Nämä ovat gravitaation kiihtyvyyden komponentit kun kentän lähde on yksi pistemassa M. Siis tässä konkreettisessa tapauksessa yllä annettu vektoriyhtälö pitää paikkansa: a = gradv = V. Huomautus: fysikaalisessa geodesiassa toisin kuin esim. fysiikassa potentiaali lasketaan aina positiiviseksi jos vetäävä massa M on positiivinen kuten tiettävästi aina on). Kuitenkin kappaleen m potentiaalienergia massan M kentässä on negatiivinen! Tarkemmin, kappaleen m potentiaalinen energia on E pot = V m. Käytännössäkutsutaan gravitaation kiihtyvyysvektoria lyhyemmin gravitaatiovektoriksi. 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali Seuraavaksi tutkitaan kiinteää kappaletta, jonka massa on jakautunut avaruudessa eikä siis keskitetty yhteen pisteeseen. Maapallo on tästä esimerkki kun sen massajakauma avaruudessa voidaan kuvata tiheysfunktiolla ρ: ρ x, y, z) = dmx, y, z) dv x, y, z), jossa dm on massa-alkio ja dv on vastaava avaruuden tilavuusalkio. ρ:n dimensio on tiheys, sen yksikkö SI-järjestelmässä kg/m³. Koska gravitaation kiihtyvyys 1.7 on lineaarinen ilmaisu potentiaalissa V, ja voima- tai kiihtyvyysvektorit voidaan summata lineaarisesti, seuraa, että myös kappaleen kokonaispotentiaali saadaan summaamalla kaikki sen osien potentiaalit yhteen. Esimerkiksi n massapisteen kokoelman potentiaali on V = G n m i i=1 l i
10 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita josta saadaan gravitaation kiihtyvyys yksinkertaisesti soveltamalla gradienttilausetta 1.7. Kiinteän kappaleen potentiaali saadaan vastaavasti korvaamalla summa integraalilla, seuraavalla tavalla. Huomaa että valitettavasti lähes samat symbolit V ja V käytetään potentiaalille ja tilavuudelle): dm V = G kappale l = G kappale ρ dv. 1.8) l Symboli ρ integraalin sisällä merkitsee ainetiheys massa-alkion dm paikalla. l = r R = x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2 on mittauspisteen ja vetävän massa-alkion välinen etäisyys. Selvemmin: ρ X,Y, Z) V x, y, z) = G dx dy dz. kappale x X) 2 + y Y ) 2 + z Z) 2 Kuten yllä jo näytetty massapisteelle, myös kiinteän kappaleen potentiaalin V ensimmäinen derivaatta eli gradientti paikan suhteen, gradv = V = a, 1.9) on kappaleen vetovoiman aiheuttama kiihtyvyysvektori. Tämä pätee yleisesti. 1.6.1 Käyttäytyminen äärettömyydellä Mikäli kappale on äärellisen kokoinen ts. se on kokonaan ɛ-säteisen, origoa ympäröivän pallon sisällä) ja sen tiheyskin on kaikkialla rajallinen, seuraa että r = V r) 0, koska kolmio-epäyhtälön mukaan l = r R r R r ɛ ja siis 1 0 kun r. l Gravitaation kiihtyvyydelle pätee kaikille kolmelle komponenteille, siis myös vektorisuureen pituusarvolle, samaa: r = V 0.
1.7. Esimerkki: Massaviivan potentiaali 11 Tätä tulosta voidaan vielä tarkentaa: jos r, silloin taas kolmioepäyhtälön mukaan, l = r R r + R r + ɛ, ja siis 1 r + ɛ 1 l 1 r ɛ = 1 r Näemme, että taas notaatiolla r = r ): 1 1 + 1 ɛ/ r l 1 1 r 1. ɛ/ r r = 1 l 1 r. Kun sijoitetaan tämä yllä olevaan integraaliin 1.8, seuraa, että suureille etäisyyksille r : V = G kappale ρ l dv G r kappale ρdv = GM r, missä M, tiheyden integraali kappaleen tilavuuden yli, on juuri sen kokonaismassa. Tästä nähdään että suurella etäisyydellä äärellisen kokoisen kappaleen M kenttä on lähes identtinen sen kentän kanssa, joka aiheutuu pistemassasta, jonka kokonaismassa on sama kun kappaleen kokonaismassa. Tämä tärkeän huomautuksen teki jo Newton. Tämän ilmiön ansiosta voimme Aurinkokunnan taivaanmekaniikassa käsitellmobile number access internetä Aurinko ja planeetat 8 massapisteinä, vaikka tiedetään että ne eivät sitä ole. 1.7 Esimerkki: Massaviivan potentiaali Pystyasennossa olevan yksikkömassaisen) massaviivan potentiaali on V x, y, z) = ˆ H 0 1 X x) 2 + Y y) 2 + Z z) 2 dz, 1.10) jossa X,Y ) on massaviivan paikka, x, y, z) on potentiaalin laskentapisteen paikka, ja massaviiva ulottuu merenpinnalta Z = 0 korkeuteen Z = H. 8 Ainoa merkittävä poikkeus on planeettojen ja niiden kuiden väliset voimat sekä planeetan litistyneisyyden että vuorovesi-ilmiön johdosta.
12 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Ensin kirjoitetaan x = X x, y = Y y, z = Z z, ja potentiaalista tulee V x, y, z) = Määrämätön integraali on ˆ H z z 1 x 2 + y 2 + z 2 d z. ) ln z + x 2 + y 2 + z 2 ja integrointirajojen sijoitus antaa V = ln H z + x 2 + y 2 + H z) 2 z +. x 2 + y 2 + z 2 Nyt voimme kehittää tämä Taylor-sarjaan H:n suhteen pisteen H = 0 ympäri: yhtälön 1.10 ensimmäinen derivaatta on V H = 1 = l 1 X x) 2 + Y y) 2 + H z) 2 jossa l = X x) 2 + Y y) 2 + H z) 2. Toinen derivaatta on ketjusääntö) 2 V H 2 = H l 1 = 1 2 l 3 2H z) = H z l 3. Kolmas derivaatta, samalla tavalla: 3 V H 3 = H ja niin edelleen. Taylor-kehitelmä on H z ) 3H z)2 l 3 = l 5 l2 l 5 = 3H z)2 l 2 l 5, V = 0 + 1 H + 1 z ˆ {}}{ l 0 2 l 3 H 2 + 1 3z 2 l 2 0 6 H=0 0 l 5 H 3 +... 1.11) 0 1 l dz 0 jossa l 0 = X x) 2 + Y y) 2 + z 2. Kysymys: miten voisimme käyttää tätä tulosta kokonaisen, realistisen maaston potentiaalin laskemiseen? Vastaus: tässä kehitelmässä kertoimet 1, 1 z l 0 2 l 3,... kuten l 0, riippuvat 0 vain koordinaattien erotuksista x = X x ja y = Y y, massaviivan paikan X,Y ) ja laskentapaikan x, y) välillä ja laskentapaikan korkeudesta z. Jos maasto on annettuna hilan muodossa, voidaan arvioida yo. kehitelmä 1.11 annetulle z-arvolle ja kaikille
1.8. Laplacen ja Poissonin yhtälöt 13 mahdollisille x, y)-arvopareille. Silloin, jos hilan koko on vaikkapa N N, tarvitaan vain N 2 laskutoimitusta jokaisen kertoimen laskemiseksi. Itse Taylor-kehitelmän evaluointi raa alla laskentavoimalla koko maastolle, eli kaikille sekä maaston että laskentatason hilapisteille, vaatii sen jälkeen N 4 laskutoimitusta, mutta ne ovat nyt yksinkertaisempia: kertoimet itse ovat jo esilaskettuja. Ja raaka voima ei ole edes paras ratkaisu: kuten tulemme näkemään, voidaan yllä oleva ns. konvoluutio laskea paljon nopeammin nopean Fourier-muunnoksen avulla. Palaamme tähän aiheeseen laajemmin maastokorjauksen yhteydessä, osioissa 5.3 ja 8.7. 1.8 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Geopotentiaalin toinen derivaatta paikan suhteen, gravitaation kiihtyvyysvektorin ensimmäinen paikan derivaatta eli sen divergenssi, on myös geofysikaalisesti mielenkiintoinen. Voidaan kirjoittaa: ) diva = a = V = V = = V = 2 x 2 V + 2 y 2 V + 2 z 2 V, 1.12) jossa =. = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 on tunnettu symboli nimeltä Laplacen 9 operaattori. Massapistepotentiaalin kaavasta 1.4 voidaan osoittaa suorittamalla kaikki osittaisdifferentiaatiot 1.12, että V = 0, 1.13) tunnettu Laplacen yhtälö. Tämä yhtälö pätee pistemassan ulkopuolella, ja yleisemmin kaikkialla tyhjässä avaruudessa: kaikki massathan 9 Pierre-Simon, markiisi de Laplace 1749 1827) oli ranskalainen matematiikan ja luonnontieteiden yleisnero. Hän oli yksi näistä 72 ranskalaistiedemiehistä, insinööreistä ja matemaatikkoja joiden nimet kaiverrettiin Eiffeltorniin, https://en.wikipedia.org/wiki/list_of_the_72_ names_on_the_eiffel_tower.
14 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita voidaan limiitissä katsoa koostuvan pistemäisistä massa-alkioista. Tai kaavassa 1.8 voidaan suoraan differentioida kolminkertaisen integraalimerkin sisällä, kayttäen hyväksi se, että integraalin ja osittaisderivaatan vaihtaminen keskenään on sallittu, jos molemmat on määriteltyjä. Potentiaalikenttä jolle Laplacen yhtälö 1.13 pätee, kutsutaan harmoniseksi kentäksi. Siinä tapauksessa, että massatiheys ei ole kaikkialla nolla, saadaan toisenlainen yhtälö, jossa ρ on massatiheys: V = 4πGρ. 1.14) Tätä yhtälöä kutsutaan Poissonin 10 yhtälöksi. Yhtälöpari gradv = a diva = 4πGρ tunnetaan gravitaatiokentän kenttäyhtälöiksi. Niillä on samanlainen rooli kuin sähkömagnetismissä Maxwellin 11 kenttäyhtälöt. Toisin kuin Maxwellin yhtälöissä, ylläolevissa ei ole aikakoordinaatti mukana. Tästä syystä niiden avulla ei voida johtaa kaavaa sähkömagneetisten aaltojen vastaavien gravitaatio-aaltojen kulusta avaruudessa. Nykyisin tiedetään että yo. Newtonin kenttäyhtälöt ovat vain likimääräisiä, ja että tarkempi teoria on Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria. Kuitenkin fysikaalisessa geodesiassa Newtonin teoria on yleensä riittävän tarkka ja tulemme rajoittumaan siihen. 1.9 Mittainvarianssi Potentiaalin tärkeä ominaisuus on, että, jos siihen lisätään vakio C, mitään painovoimaan liittyvä, mitattavissa oleva suure ei muutu. Tä- 10 Siméon Denis Poisson 1781 1840) oli ranskalainen matemaattiko, fyysikko ja geodeetti, yksi Eiffeltornin 72 nimestä. 11 James Clerk Maxwell FRS FRSE 1831 1879) oli skotlantilainen fyysikko, sähkömagnetismin kenttäyhtälöiden keksijä. Hän löysi yhtälöiden aaltomaista ratkaisua, ja kulkunopeuden perusteella tunnisti valoa sellaiseksi.
1.10. Yksinkertainen massatiheyskerros 15 tä kutsutaan mittainvarianssiksi En. gauge invariance). Painovoima itse saadaan differentioimalla, operaatio joka hävittää vakiotermin. Siksi potentiaalin määrittely on jonkin verran mielivaltainen: kaikki eri C:n valinnalla saadut potentiaalikentät V ovat samanarvoisia. Havainnoistakin saadaan vain potentiaalieroja, kuten vaaitsijat hyvin tietävät. Usein valittu potentiaalimääritelmä lähtee siitä, että jos r, silloin myös V 0, mikä on fysikaalisesti järkevä ja antaa yksinkertaisia yhtälöitä. Kuitenkin maanpäällisessä työssä järkevämpi vaihtoehto voi olla V = 0 keskimerenpinnan kohdalla vaikka sekään ei ole ilman ongelmia. Esimerkiksi Maapallon massalle M fysikaalisesti järkevä potentiaaliesitys on palloapproksimaatio) V = GM r, joka häviää äärettömyyteen r, kun taas käytännöllisesti järkevä esitys olisi V = GM r GM R, missä R = R on maapallon säde. Jälkimmäinen potentiaali on nolla missä r = R, Maan pinnalla. Limiitissä r sen arvo on GM R eikä nolla. 1.10 Yksinkertainen massatiheyskerros Jos kappaleen pinnan S päälle laitetaan massan pintatiheyden pinnoitus massatiheydellä κ = dm ds, saadaan potentiaaliksi integraaliyhtälö, joka on samannäköinen kuin yhtälö 1.8, mutta pintaintegraali: dm V = G pinta l = G κ ds. 1.15) pinta l Tässä taas l on etäisyys tarkastuspisteen eli koemassan P ja integroinnissa liikkuvan massa-alkion dm tai pinta-alkion ds) välillä. Huomaa että massapintatiheyden κ dimensio on kg/m², siis erilainen kuin tavallisen tilavuuden) massatiheyden dimensio.
16 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Tämä tapaus on teoreettisesti mielenkiintoinen, vaikkakin fysikaalisesti epärealistinen. Funktio V on näet kaikkialla jatkuva, myös pinnan S kohdalla; kuitenkin jo sen ensimmäiset derivaatat paikan suhteen ovat epäjatkuvia. Tämä epäjatkuvuus ilmenee pinnan suhteen kohtisuorassa olevassa suunnassa, ns. normaaliderivaatassa. Tutkitaan yksinkertainen tapaus jossa pallo, säde R, on pinnoitettu kerroksella jonka pintatiheys on vakio κ. Laskemalla ylläoleva integraali 1.15 voidaan todistaa monimutkaisesti), että ulkoinen potentiaali on sama kuin jos kappaleen koko massa olisi pallon keskipisteessä. Aiemmin, osiossa 1.4, tuli todistetuksi, että pallon sisäinen potentiaali on vakio. Siten ulkoinen vetovoima l > R) on a e l) = G M l 2 = G κ 4πR2 l 2 Sisäinen vetovoima l < R) on ) R 2 = 4πGκ. l a i l) = 0. Tämä merkitsee että pallon pinnalla vetovoima on epäjatkuva: a e R) a i R) = 4πGκ. Tässä symmetrisessä tapauksessa nähdään, että a = a = V n 1.16) missä differentiointimuuttuja n edustaa normaalisuuntaa, ts. pintaan S kohtisuorassa oleva suunta. Mikäli pinta S on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, kaava 1.16 pätee yleisesti; silloin vetovoimavektori tarkemmin, kiihtyvyysvektori on kohtisuorassa pintaa S kohtaan, ja sen suuruus on sama kuin potentiaalin normaaliderivaatta. 1.11 Kaksinkertainen massatiheyskerros Kaksinkertainen massatiheyskerros voidaan tulkita dipolitiheyskerrokseksi. Kerroksen dipolit ovat orientoituneet pinnan normaalin suuntaan.
1.11. Kaksinkertainen massatiheyskerros 17 P l n δ κ κ Kuva 1.4. Kaksinkertainen massatiheyskerros. Jos dipoli koostuu kahdesta varauksesta m ja m paikoilla r 1 ja r 2, siten että niiden välinen vektorietäisyys on r = r 1 r 2, on dipolin momentti d = m r, vektorisuure. Ks. kuva 1.4. Olkoon dipolikerroksen tiheys µ = dm ds, missä dm on dipolikerrosalkio ; tätä kerrosta voidaan katsoa kahden yksinkertaisen kerroksen yhdistelmäksi. Jos on positiivinen kerros tiheydellä κ ja negatiivinen kerros tiheydellä κ, ja niiden välinen etäisyys on δ, syntyy pienillä δ-arvoilla likimääräinen vastaavuus: µ δκ. Edellisen kappaleen mukaan kahden yksinkertaisen massakerroksen yhteenlaskettu potentaali on V = G κ pinta 1 l 1 1 l 2 ) ds. l 1 :n, l 2 :n ja δ:n välillä pätee seuraava yhteys funktion 1/l Taylorkehitelmä): 1 l 1 = 1 l 2 + δ n 1 l ) +, missä n on taas suureen derivaatta pinnan normaalisuuntaan. Sijoittamalla yhtälöön saadaan V = G κδ ) 1 ds = G µ pinta n l pinta n 1 l ) ds.
18 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Jos δ on riittävän pieni ja κ vastaavasti suuri), tämä on eksakti. On helppo näyttää, että yo. potentiaali ei edes ole jatkuva; epäjatkuvuus sattuu pinnalla S. Tutkitaan taas yksinkertaisuuden vuoksi pallo, säde R, jossa on kaksoiskerros vakiomassatiheydellä µ. Ulkopuolinen potentiaali on V e = Gµ pinta n 1 l ) ds = 0, 1.17) koska integraali on 0. Tämän todistamiseksi tarvitaan Gaussin integraalilause, josta enemmän myöhemmin. Sisäpuolinen potentiaali on V i = Gµ pinta n 1 l ) ds = 4πR 2 Gµ ) 1 2 l l=r = 4πGµ, valitsemalla pintaintegraalin evaluointipisteeksi pallon keskipiste, ja käyttämällä aiemmin todettua seikkää, että yksinkertaisen massakerroksen peittämän pallon sisällä potentiaali on vakio. Nyt limiitissä l R tulos on erilainen ulkopuoliselle ja sisäpuoliselle potentiaalille. Ero on V e R) V i R) = 4πGµ. 1.12 Gaussin lause 1.12.1 Esitys Fysiikan kuuluisa Gaussin 12 integraalilause on vektorimuodossaan: V diva dv = a n ds, 1.18) V missä n on pinnan S ulkoapäin suuntautunut normaali, nyt vektorina: vektorin pituus oletetaan n = 1. V on kappaleen V pinta. Tämä lause pätee kaikille differentioitaville vektorikentille a ja kaikille kunnollisille kappaleille V joiden pinnalla S on kaikkialla normaalisuunta n olemassa. Toisin sanoen, tämä ei ole gravitaation kiihtyvyysvektorin erikoisominaisuus, vaikka se pätee sillekin. 12 Johann Carl Friedrich Gauss 1777 1855) oli saksalainen matemaatikko ja yleisnero. Princeps mathematicorum.
1.12. Gaussin lause 19 Kenttäviiva Vuo Lähteet Kappaleen pinta Kuva 1.5. Gaussin integraalilauseen graafinen selostus. Kenttäviivan käsite oli Michael Faradayn oivallus. 1.12.2 Intuitiivinen kuvaus Huomauttakoon, että diva = V = 4πGρ on lähdefunktio. Se kuvaa paljonko pinnan S sisäpuolella olevassa osaavaruudessa on painovoimakentän positiivisten ja negatiivisten lähteiden ja kaivojen tiheyksiä En. sources and sinks). Tilanne on täysin analoginen nesteen virtauskuvion kanssa: positiiviset varaukset vastaavat pisteisiin joista lisätään nestettä virtaukseen, negatiiviset varaukset 13 vastaavat kaivoihin joiden kautta nestettä häviää. Vektori a on tässä vertauskuvassa virtauksen nopeusvektori; lähteiden ja kaivojen puuttuessa se täyttää ehdon diva = 0, mikä kuvaa ainemäärän säilyvyyttä ja kokoonpuristumattomuutta. Toisaalta funktiota a n = V n kutsutaan usein vuofunktioksi En. flux); ts. paljonko kenttää vuotaa ulos aivan nestevirtauksen tavoin pinnan S sisäiseltä avaruuden osalta ulospäin S:n kautta. 13 Mutta gravitaation varaukset, siis massat, ovat aina positiivisia.
20 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Gaussin integraalilause toteaa molemmat määrät yhtä suureiksi: se on tavallaan kirjanpitolause joka vaatii, että kaikki mitä tuotetaan pinnan sisällä diva on tultava myös ulos pinnan kautta a n. Kuvassa 1.5 on graafisesti selostettu, että lähteiden summa kautta kappaleen sisäistä avaruusosaa, eli + + +...), on oltava sama kuin vuon summa...) koko avaruusosaa rajoittavan reunapinnan yli. 1.12.3 Gaussin lauseen potentiaaliversio Kirjoitetaan Gaussin yhtälö hiemän eri tavalla, käyttämällä potentiaali gravitaatiovektorin sijasta: V V dv = V V ds, 1.19) n jossa on tehty yllä annetut sijoitukset. Tässä näkyy myös suosittua kappaleen V pintaa tarkoittavaa notaatiota, V. Esitystapoja 1.19 ja 1.18 yhdistää kaavat 1.12 ja 1.9, V :n ja a:n välillä. 1.12.4 Esimerkki 1: pieni laatikko Tarkastetaan pieni suorakulmainen laatikko, jonka sivut ovat x, y, z, niin pieni, että kenttä ax, y, z) on sen sisällä lähes lineaarinen paikan funktio. Kirjoitetaan a potentiaalin V gradienttina: jossa a = V = i V x + j V y + k V z = ia x + ja y + ka z Nyt tilavuusintegraali diva dv V a x = V x, a y = V y, a z = V z. ax x + a y y + a ) z x y z 1.20) z kun taas pinta-integraali a n ds a + x ) a x y z + a + y a y) x z + a + z a ) z x y. V Tässä on a + x komponentin a x:n arvo toisessa pinnassa x-suunnassa ja a x sen arvo toisessa pinnassa, jne. Esim. a + z on a z:n arvo laatikon ylä- ja a z sen alapinnassa. Laatikolla on tiettävästi kuusi pintaa, jokaisen kolmen koordinaattisuunnan ala- ja yläsuunnassa.
1.12. Gaussin lause 21 a a + z z a + y a + x a x a y y a z x Kuva 1.6. Pieni suorakulmainen laatikko. Silloin a + x a x a x x x, a + y a y a y y y, a + z a z a z z z, ja sijoittamalla nähdään, että a n ds a x V x x y z + a y y y x z + a z z x y = z ax = x + a y y + a ) z x y z, z sama kaava kuin 1.20. Eli tässä yksinkertaisessa tapauksessa Gaussin kaava pätee. Ilmeisimmin yhtälö pätee myös, jos näistä Lego -palikoista rakennettaisiin suurempi kappale, koska eri palikoiden toisiinsa koskevat, vastaavat pinnat ovat vastakkaisesti orientoituneet ja kumoavat toisiaan koko kappaleen pintaintegraalista. Hieman vaikeampaa on todistaa, että yhtälö pätee myös kappaleille, joilla on vinopintoja. 1.12.5 Esimerkki 2: Poissonin yhtälö pallolle Poissonin yhtälön 1.14 mukaan meillä on V = 4πGρ.
22 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita z z +1 0 GM,@0,0,0) x 1 y 0 y +1 x 0 1 Kuva 1.7. Kahdeksan yksikön kuutio. Oletetaan, että meillä on pallo, säde R, jonka sisällä massitiheys ρ on vakio. Tilavuusintegraali pallon tilavuuden kautta antaa V dv = 4πGρ dv = 4πGρV = 4πGM, 1.21) V missä M = ρv on pallon kokonaismassa. Pallon pinnalla normaaliderivaatta on V n = GM r r = GM r=r R 2, V V vakio, ja sen integraali pallon pinnan yli on V ds = GM n R 2 S = GM R 2 4πR2 = 4πGM. 1.22) Tulokset 1.22 ja 1.21 ovat identtisiä, kuten Gaussin lause 1.19 edellyttää. 1.12.6 Esimerkki 3: pistemassa kahdeksan yksikön kokoisessa kuutiossa Ks. kuva 1.7. Oletetaan, että meillä on pistemassa, jonka suuruus on GM kuution keskipisteessä, jonka sivutasot ovat koordinaattitasot x, y, z { 1, +1}. Silloin tilavuusintegraali on V dv = 4πGM δr) dv = 4πGM, V V
1.13. Greenin lauseet 23 jossa δr) on Diracin 14 delta-funktio avaruudessa, jolla on ääretön piikki origossa, on nolla muualla, ja joka tuottaa arvoa 1 tilavuusintegraaleissa. Pinta-integraali on kuusi kerta kuution yläpinnan integraali GM ˆ +1 [ˆ +1 1 1 1 x 2 + y 2 + 1 ) 3/2 dx ] d y. Integrointi x:n suhteen suorissa suluissa oleva ilmaisu) antaa ˆ +1 1 1 x 2 + y 2 + 1 ) dx = x 3/2 y 2 + 1 ) x 2 + y 2 + 1 Integrointi y:n suhteen antaa ˆ +1 1 +1 1 2 y 2 + 1 ) y 2 + 2 d y = 2arctan y y 2 + 2 = 2 y 2 + 1 ) y 2 + 2. +1 1 = = 4arctan 1 3 = 4 π 6 = 2 3 π. Summaamalla kaikki kuutta tahkoa yhteen antaa 6 GM ˆ +1 [ˆ +1 1 1 sama tulos kuin yo. tilavuusintegraali. 1 x 2 + y 2 + 1 ) 3/2 dx ] d y = 4πGM, 1.13 Greenin lauseet Sovella Gaussin integraalilause vektorikentälle F = U V. Tässä U ja V ovat kaksi eri skalaarikenttää. Saadaan: divf dv = V V = U V dv + V V U = U V dv + x V V U V ) dv = U V dv = V x + U V y y + U V z z ) dv 14 Paul Adrien Maurice Dirac 1902 1984) oli englantilainen kvanttifyysikko, elektronin relativistisen aaltoyhtälön löytäjä ja antiaineen teoreettinen keksijä. Fysiikan nobelisti 1933 yhdessä Erwin Schrödingerin kanssa).
24 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita ja = U V V F n ds = V n ds = V V U V n ds = U V n ds. Lopputulos on ensimmäinen Greenin 15 lause: V U V U V dv + V x x + U V y y + U ) V dv = U V z z V n ds. Yhtälö voidaan siivota, koska vasemman puolen toinen termi on symmetrinen U:n ja V :n keskinäisen vaihdon suhteen. Vaihdetaan siis U ja V keskenään, ja vähennä saadut yhtälöt toisistaan. Tulos on toinen Greenin lause: V U V V U) dv = U V V n V U ) ds. n Oletamme kaikissa operaatioissa, että funktiot U ja V ovat hyvin käyttäytäviä, ts. kaikki tarvittavat derivaatat jne. ovat kaikkialla kappaleessa V olemassa. Hyödyllinen erikoistapaus on se, missä funktioksi U on valittu U = 1 l, jossa l on etäisyys annetusta laskentapisteestä P. Tämä funktio U on hyväkäytöksinen kaikkialla paitsi juuri itse pisteessä P, jossa se ei ole määritelty. Siinä tapauksessa, että piste P on pinnan V ulkopuolella, tulos, Greenin kolmas lause, saadaan nyt sijoittamalla: V 1 l V dv = V 1 Tämä tapaus on piirretty kuvassa 1.8. l V n V n 1 l )) ds. 15 George Green 1793 1841) oli itseoppinut, Nottinghamin lähellä myllarinä leipänsä ansaitseva brittilainen matemaattinen fyysikko. Hän keksi myös sanan potentiaali. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/biographies/green.html, http://www.greensmill.org.uk/, http://en.wikipedia.org/wiki/an_essay_on_the_application_ of_mathematical_analysis_to_the_theories_of_electricity_and_ Magnetism.
1.13. Greenin lauseet 25 P Etäisyys l Pinta-alkio dv Pintan normaali Kappale V Pinta S = V Kuva 1.8. Geometria Greenin lauseen johtamiseksi jos piste P on pinnan V ulkopuolella. Siinä tapauksessa, että piste P on pinnan V sisäpuolella, laskenta mutkistuu jonkin verran. Kannattaa tutustua siihen ovelaan tekniikkaan, joka tässä tapauksessa, ja muissakin auttaa. Siksi kuvaamme sen lyhyesti. Muodostetaan pieni, ɛ-säteinen, pallero V 2 pisteen P ympäri; nyt muodollisesti voimme määrittää kappaleeksi V =. V 1 V 2, reikäjuusto, ja samalla sen pinnasta V tulee kaksiosainen pinta, V = V 1 V 2. Nyt voidaan kirjoittaa tilavuusintegraali kahteen osaan: V 1 l V dv = V 1 1 l V dv V 2 1 l V dv, jossa toinen termi voidaan integroida pallokoordinaateissa: V 2 1 l V dv V P ˆ ɛ mikä menee nollaan limiitissä ɛ 0. 0 4πl 2 1 l dl = 2π V pɛ 2, Ensimmäiseksi pintaintegraaliksi saamme Gaussin integraalilauseen 1.19 avulla: V 2 1 l V n ds = 1 ɛ V 2 V n ds = 1 ɛ mikä myös menee nollaan kun ɛ 0. V 2 V dv 1 ɛ V P 4 3 πɛ3, Toinen pintaintegraali normaali osoittaa poispäin P:stä): V V 2 n 1 l ) ds = V 2 V 1 ɛ 2 ds 4πɛ2 1 ɛ 2 V P = 4πV P.
26 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita Piste P Pinta V, osa 1 Tila V Pinta V, osa 2 Kuva 1.9. Geometria Greenin lauseen johtamiseksi jos piste P on pinnan V sisäpuolella. Yhdistämällä kaikki tulokset oikeilla etumerkeillään saadaan siis tapauksessa missä P on pinnan V 1 V sisäpuolella : 1 1 l V dv = 4πV V P + V l n V )) 1 ds. 1.23) n l V Tämän jälkeen lienee intuitiivisesti selvä, ja esitämme ilman sen kummempaa todistusta, että 1 1 V l V dv = 2πV V P + V l n V n 1 l )) ds, jos piste P on kappaleen V reunapinnalla V. Tämä kuitenkin edellyttää normaaliderivaatan, ja erityisesti normaalisuunnan, olemassaoloa juuri pisteessä P! Geodesiassa tyypillinen on tilanne missä kappale V jonka tilavuuden yli halutaan laskea tilavuusintegraali, on koko maapallon ulkopuolinen avaruuden osa. Tässä tapauksessa kätevästi V = 0 ja koko yllä esiintyvä tilavuusintegraali häviää. Tulos 1.23 voidaan yleistää tähän tapaukseen, missä V on koko avaruus pinnan S ulkopuolella. Tämä yleistys tehdään valitsemalla pinnaksi S nyt kolmiosainen pinta S = S 1 +S 2 +S 3, missä S 3 on suurisäteinen pallo P:n ympäri. Sen säde annetaan jälkeenpäin limiitissä kasvaa äärettömyyteen, jolloin kaikki integraalit sekä pinnan S 3 yli että sen ulkopuolella olevan avaruusosan yli häviävät. Myös pinnan S 3, kuten yllä käytetyn pikkupalleron, normaalisuunta on käänteinen eli normaali on nyt sisäänpäin, maapalloon päin, suuntautunut. Lopputulos on: 1 1 V l V dv = 4πV V P V l n V n 1 l )) ds, 1.24)
1.14. Chaslesin lause 27 Piste P Integrointitila V Reuna V, osa 2 Aine Reuna V, osa 1 Reuna V, osa 3 Limiitti) Kuva 1.10. Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle. Koska tässä tapauksessa, missä V on maapallon ulkopuolinen avaruuden osa, vasemmanpuolinen volyymi-integraali häviää, voidaan ilmaista pisteen P potentiaaliarvo kätevästi kaksitermisena pinta-integraalina pinnan V :n yli. Ks. alla. 1.14 Chaslesin lause Tutkitaan yllämainittua tapausta missä kappale on pinnan V ulkopuolinen avaruuden osa siis käytännössä: maapallon ulkopuolinen avaruus. Yllä johdetusta Greenin lauseesta 1.24 voidaan johtaa harmoniselle funktiolle V toisin sanoen, V = 0) ulkoavaruudessa: V P = 1 1 V 4π l n ds + 1 V ) 1 ds. 1.25) 4π n l V Selostus: Tulkinta: mielivaltaisen pinnan ulkopuolinen, harmoninen potentiaali voidaan esittää pinnassa sijaitsevien, yksinkertaisen ja kaksinkertaisen pintatiheyden summana. Yksinkertaisen massakerroksen tiheys saadaan kaavan 1.15 avul- V
28 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita la: κ = 1 V 4πG n, kaksinkertaisen massatiheyden kerroksen tiheys saadaan kaavan 1.17 avulla: V µ = V 4πG. Jos näitä sijoitetaan kaavaan 1.25, saadaan [ κ V P = G l + µ )] 1 ds. n l Siinä tapauksessa että pinta V on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, siis V = V 0, seuraa, että yksinkertainen massatiheyskerros riittää, koska silloin V V n ) 1 ds = V 0 l V n 1 l ) ds = 0, oikeanpuoleinen integraali on nolla Gaussin integraalilauseen perusteella. Siksi, koska funktio 1/l l etäisyys pisteestä P) on harmoninen maapallon sisällä, jonka pinta on V. Tämä on Chaslesin lause 16, myös kutsuttu Greenin vastaavan kerroksen lauseeksi en. equivalent-layer theorem). Lausetta käytetään hyväksi Molodenskyn 17 teoriassa. Myös Maan painovoimakentän esittäminen maanalaisen massapistekerroksen avulla, esimerkiksi Vermeer 1984), voitaisiin perustella tämän lauseen avulla. Tapaus jossa V on ekvipotentiaalipinta toteutuu jos kappale on nestemäinen ja etsii itsestään ekvipotentiaalipinnan muotoinen ulkomuotonsa. Maaplaneetamme tapauksessa tämä pätee merenpinnalle. Myös sähköstaattisessa teoriassa johtimella jonka sisällä elektronit liikkuvat vapaasti, on fyysinen pinta yhtenä ekvipotentiaalipintanaan. Siksi sanotaankin, että johtimen sähkövaraukset ovat johtimen pinnalla. Ne eivät välttämättä ole, mutta käytännön kannalta lopputulos on sama. Kaava 1.25 yksinkertaistuu silloin seuraavasti: V P = 1 1 V 4π l n ds = G V V κ ds. 1.26) l 16 Michel Chasles 1793 1880) oli ranskalainen matemaatikko ja geometrikko, yksi 72:sta joiden nimi kaiverrettiin Eiffeltorniin. 17 Mikhail Sergeevich Molodenskii 1909 1991) oli etevä venäläinen fysikaalinen geodeetti.
1.15. Reuna-arvotehtäviä 29 Kaava kertoo jo, että koko maapallon ulkopuolista potentiaalia voidaan laskea, jos vain Maan pinnalla jonka muoto myös oletetaan annettuna, ilmaisun 1/l laskemista varten!) on annettu potentiaalin normaalisuuntainen gradientti V n = V/ n. Tämä gradientti on juuri gravitaation kiihtyvyys, suure joka saadaan havainnoista. Koko gravimetrinen geopotentiaalimääritys geoidimääritys ) G. G. Stokesista lähtien perustuu tähän. 1.15 Reuna-arvotehtäviä Reuna-arvotehtävä En. boundary-value problem, BVP) on tehtävä laskea potentiaali V koko avaruudessa tai koko kappaleen ulko- tai sisäpuolisessa avaruuden osassa) annetuista V :hen liittyvistä arvoista reunapinnalla, esimerkiksi Maan pinnalla. Yksinkertaisin reuna-arvotehtävä on Dirichletin 18 tehtävä: reunapinnalla annettuna on itse potentiaaliarvo V. Monimutkaisemmat reuna-arvotehtävät lähtevät potentiaalin lineaarisista funktionaaleista: reunalla on annettu joku lineaarinen ilmaisu V :ssä, esim. derivaatta tai derivaattojen lineaariyhdistelmä, yleisesti L {V }, missä L { } on lineaarinen operaattori. Dirichletin reuna-arvotehtävä geodesiassa suositussa muodossa on: määrittää potentiaalikenttä V jos sen arvot on annettuna suljetulla pinnalla S, ja on lisäksi annettu että V on harmoninen V = 0) pinnan S ulkopuolella. Avaruuden tyhjiössä geopotentiaali on aina harmoninen, kuten jo aikaisemmin todettiin: pistemassan m P potentiaali Gm p l on harmoninen funktio kaikkialla paitsi itse pisteessä P ja laaja kappale koostuu, limiitissä, monesta pistemassasta tai massa-alkiosta. Yleisessä tapauksessa tämä on teoreettisesti haastava ongelma. Ratkaisun olemassaolo ja yksiselitteisyys on pystytty todistamaan hyvin yleisesti, ks. Heiskanen ja Moritz 1967) sivu 18. 18 Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 1859) oli saksalainen matematikko jota tunnetaan myös lukuteoreetikkona.
30 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita 1.16 Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea Pinnalla S annetuista potentiaalifunktion V arvoista voidaan siis laskea funktio V x, y, z) koko avaruudessa pinnan ulkopuolella. Reunaarvotehtävä on tehokas, myös fysikaalisessa geodesiassa hyväksytty yleismenetelmä. On kuitenkaan myös syytä huomauttaa, ettei pinnalla annetuista potentiaaliarvoista voida yksiselitteisesti ratkeaa maapallon sisäistä massajakaumaa, joka tämän potentiaalin tuottaa. Tämä on ilmeinen jo siinä yksinkertaisessa tapauksessa että potentiaalin arvo on vakio pallon pinnalla. Jos lisäksi on annettu että massajakauma on pallosymmetrinen, on edelleen tiheysprofiili säteen mukaan kokonaan auki. Kaikki massaa voi olla pallon keskipisteessä keskittynä, tai se voi olla ohuena kuorena juuri pallon pinnan alla, tai jossain niiden äärivaihtoehtojen välillä. Ilman lisäinformaatiotia esim. seismisiltä tutkimuksilta tai geofysikaalisilta tiheysmalleilta emme voi ratkaistaa asiaa. Myös yllä mainittu Chaslesin lause, kaava 1.25, ja sen erikoistapaus, kaava 1.26, ovat esimerkkejä tästä: lause kertoo, miten ulkopuolista potentiaalikenttää voidaan kuvata kappaleen pinnalla olevan massajakauman tuottamana, vaikka tiedämme, että kenttä on generoinut koko kappaleen lävitse ulottuva massajakauma! Tämä on perustavaa laatua oleva rajoitus kaikille menetelmille jotka yrittävät saada tietoa Maan sisäisestä tilanteesta ainoastaan Maan pinnalla tai sen ulkopuolella tehdyistä gravimetrisista mittauksista. Olenko ymmärtänyt tämän? 1) Which instrument was used to determine the constant G? Why is it difficult to obtain a precise value for this constant? 2) Why do all objects, irrespective of their mass, undergo the same acceleration of free fall, although the gravitational attraction on a more massive body is obviously stronger?
Harjoitus 1 1: Maan ydin 31 Harjoitus 1 1: Maan ydin 1) Johda kaava, joka antaa vetovoiman kiihtyvyyttä g tiheydeltään homogeenisen pallon pinnalla, annettuna keskitiheys ρ ja säde R ydin. 2) Maan rauta-nikkeli-ytimen keskitiheys on 11gcm 3 ja sen säde on 3500 km. Laske sen pinnalla vallitseva vetovoiman kiihtyvyys g ydin. 3) Mikä on vetovoima g ytimen keskipisteessä? Mitä yleistä voit sanoa geopotentiaalista tässä pisteessä älä yritä laskea)? Harjoitus 1 2: Ilmakehä 1) Ilmakehän keskipaine on 10 3 hpa Pascal-yksikkö Pa = Nm 2.) Maan pinnalla painovoima on 10ms 2. Laske ilmakehän keskimääräinen pintatiheys ohuena kerroksena κ yksiköissä kgm 2. 2) Laske ilmakehän kokonaismassa käyttäen osan 1. pallokuoriapproksimaatiota. Sen säteeksi saa ottaa 6378 km. 3) Laske ilmakehästä lähtevä vetovoima ilmakehän ulkopuolella, sekä kiihtyvyysarvona että koko maan painovoiman osamääränä. 4) Mikä on ilmakehästä lähtevä vetovoima ilmakehän sisällä? Harjoitus 1 3: Gaussin lause Maan alla on rautamalmi-esiintymä, joka aiheuttaa litteän Maan approksimaatiossa!) maan pinnalla vetovoimavaikutus, joka on piirretty g-käyränä. Todellisen vetovoiman käyrä approksimoidaan yksinkertaisella funktiolla g = g 0 jos r d 0 jos r > d punainen katkoviiva), jossa r on etäisyys maan pinnalla malmiesiintymän suoraan yläpuolella olevasta pisteesta. Siis alue, jossa g 0 muodostaa d-säteisen kiekon maan pinnalla.
32 Luku 1. Gravitaatioteorian perusteita g g 0 d d Σ 1 Σ 2 Kuva 1.11. Rautamalmikappale. 1) Laske pinta-integraali jossa Σ 1 on maan pinta. Σ 1 gdσ, 2) Gaussin kaavan mukaan g) dσ + +g ) dσ = Σ 1 Σ 2 = tilavuus tilavuus V dv = = 4πGM kappale, 4πGρ rauta dv = jossa Σ 1 + Σ 2 on kaksilehtinen) suljettu pinta kappaleen ympäri. Lehdet kohtaavat äärettömyydessä.) g ja g ovat painovoiman kiihtyvyysfunktiot Maan pinnalla ja pinnalla Σ 2 positiivisia ylöspäin 19. Olettaen, että gdσ g dσ = 2 gdσ, Σ 1 Σ 2 Σ 1 laske GM kappale. 3) Olettaen, että malmi-esiintymä on pallo syvyydellä d, laske GM Newtonin vetovoimalain avulla arvosta g 0 suoraan esiintymän yläpuolella maan pinnalla. 19 Ole huolellinen etumerkkien kanssa!
Harjoitus 1 3: Gaussin lause 33 4) Vertaa tulokset 2. ja 3. ja tee johtopäätöksiä. Onko yllä annettu funktio g hyvä approksimaatio?
2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja 2.1 Yleistä Maan gravitaatiokentän tutkimuksen keskeinen kaava on Laplacen yhtälö, 2 ) V = x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 V = 0. Tässä symboli kutsutaan Laplacen operaattoriksi. Jos tutkitaan gravitaatiota kenttänä on Laplacen yhtälö luonnollisempi kuin Newtonin formalismi. Newtonin kaavat käytetään jos massajakauma on tiedossa: se antaa suoraan massojen aiheuttaman gravitaatiovoiman. Laplacen yhtälö sen sijaan on osittaisdifferentiaaliyhtälö. Sen ratkaiseminen antaa painovoimakentän potentiaalin koko avaruudessa tai sen osassa. Tästä potentiaalista voidaan laskea kentän vaikutus avaruudessa liikkuvaan kappaleeseen, paikalla missä kappale on. Tämä on kaksivaiheinen prosessi. Käsitteellinen ero on, että tyhjälle avaruudelle kiinnitetään tietty ominaisuus, kenttä. Ei puhuta enää kaukovaikutuksesta suoraan kahden kappaleen välein. Laplacen yhtälön ratkaiseminen yleisessä tapauksessa voi olla vaikea. Lähestymistapa on yleensä se, että valitaan joku koordinaattijärjestelmä suorakulmainen järjestelmä kuten yllä), pallokoordinaatit, sylinterikoordinaatit, toroidaaliset koordinaatit tai mitä vain joka sopii parhaiten ongelman geometriaan. Sen jälkeen muunnetaan Laplacen yhtälö näihin koordinaatteihin, etsitään tiettyä muotoa olevat erikoisratkaisut, ja lopuksi kootaan yleinen tai ei-niin-yleinen ratkaisu näiden erikoisratkaisujen lineaariyhdistelmänä eli sarjakehitelmänä. 35
36 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Onneksi lineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoria on hyvin kehittynyt. Vastaavanlaiset teoreettiset ongelmat löytyvät sähkömagneettisen kentän teoriasta Maxwell-teoriasta) ja kvanttimekaniikasta Schrödingerin 1 yhtälö), nesteen- ja lämmönkuljetuksesta puhumattakaan. Tärkeä havainto on, että Laplacen yhtälö on lineaarinen. Tämä merkitsee, että, jos on annettuna kaksi ratkaisua V 1 = 0 ja V 2 = 0, silloin myös niiden lineaariyhdistelmät V = αv 1 + βv 2, α,β R ovat kelvollisia ratkaisuja, eli V = 0. Tämä lineaarisuuden ominaisuus tekee mahdolliseksi yleisratkaisujen etsiminen perusratkaisujen lineaariyhdistelminä tai sarjakehitelminä. Erikoisuus joka erottaa Laplacen yhtälö myös Newtonin yhtälöstä, on että se on paikallinen yhtälö. Se kuvaa potentiaalikentän käyttäytyminen yhdessä pisteessä ja sen pienessä ympäristössä. Kuitenkin ratkaisua etsitään kokonaiselta alueelta. Käytetty ratkaisutekniikka on yleensä ns. reuna-arvotehtävä. Tämä merkitsee, että kentän arvot reuna-arvot ) on oltava annettuna vain tietyn avaruuden osan reunalla, esimerkiksi Maan pinnalla. Tästä lasketaan kentän arvot ulkoavaruudessa kentän käytäyttyminen Maan sisällä jää kinnostuksen ulkopuolelle. Ulkopuolisen gravitaatiokentän kannalta tarkka massajakauma Maan sisällä ei tarvita edes tietää ja sitä ei myöskään saa selväksi ainoastaan ulkoisten, ts. Maan pinnalla ja sen ulkopuolella tehtyjen, kentän mittausarvojen perusteella! 1 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger 1887 1961) oli saksalaisfyysikko ja -kvanttiteoreetikko, hänen nimensä kantaman aineaaltojen aaltoyhtälön keksijä, josta han sai fysiikan Nobel-palkinnon vuonna 1933 yhdessä Paul Diracin kanssa), sekä myös hänen mukaansa nimetyn, ei-havaitun kissan keksijä, kissa joka on kahden mahdollisen kvanttitilan, elävänä ja kuolleena, superpositiotilassa.
2.2. Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa 37 2.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa On opettavaista kirjoittaa ja ratkaista Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa. Tapaus on täysin analoginen pallokoordinaattien tapauksen kanssa mutta matematiikka on paljon yksinkertaisempaa. Oletetaan että maan pinta on z-koordinaatin tasa-arvopinta z = 0. Silloin 2 ) V = x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 V = X x) Y y) Z z)), missä olemme kokeeksi kirjoittanut V x, y, z) = X x) Y y) Z z). Toisin sanoen, kirjoitetaan kokeilumielessä V kolmen tekijäfunktion tulona, missä jokainen tekijäfunktio riippuu vain yhdestä koordinaatista muuttujien erottaminen. Realistinen potentiaalifunktio V ei tietenkään yleensä ole tätä muotoa. Saamme kuitenkin elää toivossa etta se voitaisiin esittää ylläolevan muotoisten termien summana eli lineaariyhdistelmänä, Laplacen yhtälön lineaarisuuden ansiosta. Ottamalla kaikki derivaatat saadaan Jakamalla ilmaisulla X Y Z antaa Y Z 2 x 2 X + X Z 2 2 Y + XY y2 z 2 Z = 0. 2 Xx) 2 Y y) 2 Zz) x 2 X x) + y 2 Y y) + z 2 Z z) = 0. Koska tämä on oltava totta kaikille arvoille x, y, z, seuraa, että jokainen termi on oltava vakio. Jos ensimmäiseksi ja toiseksi vakioksi otetaan k 2 1 ja k2 2, seuraa kolmanneksi vakioksi k2 1 + k2 2. Nyt kirjoittamalla tämä määritelmä ja tulos auki ja siirtämällä nimittäjä toiselle puolelle, saadaan 2 x 2 X = k2 1 X, miksi miinusmerkki? Se nähdään kohta... ) 2 y 2 Y = k2 2 Y, sekä 2 z 2 Z = k 2 1 + ) k2 2 Z.
38 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Nyt ratkaisu löytyy helposti ainakin ensimmäiselle kahdelle yhtälölle: nehän kuvaavat harmoniset värähtelijät, ja niiden perusratkaisut 2 ovat X x) = exp±ik 1 x), Y y) = exp±ik 2 y). Z-yhtälön ratkaisu puolestaan on eksponentiaalinen: ) Z z) = exp ±z k 2 1 + k2 2. Periaatteessa voidaan nyt muodostaa ratkaisu avaruudessa: ) V k1 k 2 x, y, z) = exp ±i k 1 x + k 2 y) ± z k 2 1 + k2 2. Yleistä ratkaisua saadaan summaamalla termit V k1 k 2 eri arvoilla k 1, k 2. eri kertoimella, Oletetaan että sekä x- että y-suunnassa maailmaan koko on direction L kenkälaatikkomaailma 3 ). Yksinkertaistetaan hieman olettamalla, että kenkälaatikkomaailmamme reunoilla on voimassa reunaehdot V 0, y) = V L, y) = V x,0) = V x, L) = 0. Silloin seuraa, että ainoat parit k 1, k 2 ) jotka antavat laatikkoon sopivan ratkaisun ovat k 1 = π j L, k 2 = πk L j, k kokonaislukuja), ja ainoat sopivat funktiot ovat sinifunktioita. Ratkaisuksi saadaan siis: V jk x, y, z) = sin π j x ) sin πk y ) ) exp ±π j 2 + k 2) z. L L L Tätä yksittäisratkaisua voidaan nyt yleistää kertomalla sopivilla kertoimilla, ja summaamalla eri arvojen j = 0,±1,±2,...; k = 0,±1,±2,... yli. Voidaan kuitenkin huomauttaa että termit, joilla j = 0 tai k = 0 aina häviävät ja että termit jotka sisältävät j = +n ja j = n, tai k = +n ja k = n, n N, ovat etumerkkiä vailla) identtisiä. Siksi käytännössä summataan arvojen j = 1,2,...; k = 1,2,... yli. 2 Vaihtoehtoiset perusratkaisut ovat: X x) = sin k 1 x, X x) = cos k 1 x jne. Ne ovat samanarvoisia esitettyjen kanssa koska expik 1 x) = cos k 1 x + i sin k 1 x, exp ik 1 x) = cos k 1 x i sin k 1 x. 3... vaikka tosimaailman kenkälaatikot ovat harvoin neliön muotoisia.
2.2. Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa 39 L Merenpinta sin 13πx L sin 5πx L Kuva 2.1. Painovoimakentän Fourier-aaltoilun eksponentiaalinen vaimennus korkeuden mukaan. Suorakulmainen geometria, yksiulotteinen. Pitkät aallot pienet aaltoluvut, punainen) vaimentuvat hitaammin korkeuden mukaan kuin lyhyet aallot vihreä), siis: korkeus toimii alipäästösuodattimena. Erilaiset reunaehdot antavat hieman erilaiset yleisratkaisut. Kuitenkin niiden yleinen muoto on aina sama. Yleisestä ratkaisusta saatava nollatason z = 0 kehitelmä on tuttu Fourier 4 -sinikehitelmä: V x, y,0) = v jk V jk x, y,0) = j=1 k=1 j=1 k=1 v jk sin π [ jx L ]) sin π [ ky L ]), 2.1) jossa v jk ovat Fourier-kertoimet. Täydellinen kolmiulotteinen kehitelmä on taas V x, y, z) = = j=1 k=1 j=1 k=1 v jk V jk x, y, z) = 2.2) v jk sin π [ jx L ]) sin π [ ky L ]) exp ±π j 2 + k 2 z ). L Huomaa, että z-ilmaisussa voi olla sekä positiivinen että negatiivinen etumerkki! Tietysti se ratkaisu, jolla on positiivinen etumerkki menee kun z, mikä ei ole ulkoavaruudessa fysikaalisesti realistista. 4 Joseph Fourier 1768 1830) oli ranskalainen matemaattikko ja fyysikko joidenkin mukaan myös ilmastotutkija, yksi Eiffeltornin 72:sta nimestä.
40 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Taulukko 2.1. Potentiaalikentän V pystysuuntainen siirto, avaruus- ja taajuusdomeeneissa. Avaruusdomeeni Fourier Taajuusdomeeni V jk x, y,0) vaikea) V jk x, y, z) F = F 1 = v jk helppo) v jk exp π ) j 2 + k 2 z L Huomaa myös, että V x, y,0) ja v jk kuvaavat samaa painovoimakenttää kahdella olennaisesti eri tavalla: avaruusdomeenissa, ja spatiaalisessa, eli aaltoluku- domeenissa. Molempien informaatiosisältö on sama, ja ne voidaan muuunta toisiinsa käyttämällä suora ja käänteinen Fourier-muunnos F ja F 1. Itse asiassa funktion V x, y,0) informaatiosisältö on periaatteessa sama kuin funktion V x, y, z) mille tahansa tasolle z: pinnan potentiaalin tunteminen merkitsee Laplacen yhtälön kautta potentiaalin tuntemista kautta avaruuden. Vedetään yhtälöt 2.1, 2.2 vielä yhteen kommutoivaksi kaavioksi, taulukko 2.1. Tämän lopputulema on, että potentiaalikentän V siirtö-operaatio pystysuuntaan nollatasosta tasoon z, joka avaruusdomeenissa ei ole helppoa, on yksinkertainen niin yksinkertainen kuin kertolasku taajuusdomeenissa. Sama pätee myös pallokoordinaateissa, jolloin taajuusdomeeni on pallofunktiokehitelmän kertointen muodostama, kuten tulemme näkemään. 2.3 Esimerkki: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa Napakoordinaatteissa siis kaksiulotteisesti, Laplacen yhtälö on V = 2 V r 2 + 1 V r r + 1 2 V r 2 α 2 = 0. Suorita tähän samanlainen laskenta kuin kappaleessa 2.2, eli kirjoita ensin V r,α) = R r) A α)
2.4. Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit,... 41 ja jaa sitten ylläoleva kaava kahteen eri kaavaan, funktiolle Rr) ja funktiolle Aα). Minkä muotoinen on yleisen ratkaisun A α)-funktio? Vastaus: Sijoitus antaa Kerro ilmaisulla A α) 2 R r) r 2 r 2 R r) r 2 A α) R r) : + A α) R r) r r 2 R r) r 2 + r R r) R r) r + R r) 2 A α) r 2 α 2 = 0. ) 2 Aα) α + 2 A α) = 0. Molemmat termit on oltava vakioita: ) r r 2 R r) R r) r 2 + k 2 R r) = 0, r 2 A α) α 2 + k 2 A α) = 0. Tässä k 2 :n etumerkki on valittu näin, että A α) saa periodinen ratkaisu. Sellainen yleinen ratkaisu olisi A α) = acoskα) + b sinkα), jossa, koska kulman α periodi on 2π, k on oltava ei-negatiivinen kokonaisluku: k = 0,1,2,3,... Negatiiviset k-arvot eivät anna erilaisia ratkaisuja, koska a coskα) = a cos k) α) ja b sinkα) = b)sin k)α). Toinen, funktion R r) yhtälö, on vaikempi ratkaista; ratkaisu sisältää Bessel 5 -funktioita. 2.4 Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit Fysikaalisessa geodesiassa käytämme rinnakkain geometrisia ja fysikaalisia käsitteitä. Esim. paikan koordinaatit voidaan antaa x, y, z) 5 Friedrich Wilhelm Bessel 1784 1846) oli saksalainen tähtitieteilijä ja matemaatikko.
42 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Napa Z r cosφ P Päiväntasaaja r r sinφ φ Y λ X Greenwichin meridiaani Kuva 2.2. Pallokoordinaattien määritelmä. muodossa, jotka ovat periaatteessa geometrisia paitsi fysikaalinen olettamus, että koordinaatiston origo on Maan massakeskipiste. Koska maapallo ei ole tarkasti ottaen pallo vaan litistynyt pyörähdysellipsoidi, ei voida käyttää maantieteellisiä koordinaatteja kuten ne olisivat pallokoordinaatteja. Koska maapallo on huomattavasti litistynyt noin 0,3%), on tämä ero huomattava. Pallokoordinaattien r,φ,λ ) yhteys suorakulmaisiin koordinaatteihin X, Y, Z) on seuraava: X = r cosφcosλ, Y = r cosφsinλ, 2.3) Z = r sinφ. Tässä φ ja λ ovat geosentrinen latitudi ja tavallinen, geosentrinen eli geodeettinen eli maantieteellinen) longitudi. r on etäisyys Maan keskipisteestä. Yleensä X-akseli osoittaa Greenwichin meridiaanin suuntaan. Ks. kuva 2.2. Maan pinnalla nämä pallokoordinaatit eivät ole kovin käyttökelpoisia Maan litistyneisyyden vuoksi, mutta avaruudessa pallokoordinaatit käytetään paljon. Maan päällä sen sijaan käytetään useimmiten geo-
2.4. Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit,... 43 Z P Ellipsoidinen normaali [1 e 2 )N + h]sinϕ O N + h)cosϕ ϕ X,Y h Vertausellipsoidi Kuva 2.3. Geodeettisten koordinaattien määritelmä. deettiset eli maantieteelliset koordinaatit ϕ, λ, h: X = N + h)cosϕcosλ, Y = N + h)cosϕsinλ, 2.4) Z = N + h e 2 N ) sinϕ, jossa N ϕ ) = a = 1 e 2 sin 2 ϕ a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ. 2.5) Kaavan 2.5 määrittämä suure N on vertausellipsoidin itä-länsisuunnan eli poikittainen kaarevuussäde; kaavassa a on Maan ekvatoriaalisäde, e 2 = a2 b 2 on ns. ensimmäisen eksentrisyyden neliö 6, ja kaavassa 2.4 h a 2 pisteen korkeus vertausellipsoidista, ks. kuva 2.3. Suorakulmaisten koordinaattien muuntaminen geodeettisiksi on helppointa tehdä iteratiivisesti, vaikka suljetutkin kaavat löytyvät kirjallisuudesta. Pallokoordinaatit ja geodeettiset eli maantieteelliset koordinaatit eroavat huomattavasti toisistaan. Leveysasteessa ero on suurimmillaan 11 kaariminuuttia eli lähes 20 km. Maksimi saavutetaan leveysasteilla ±45. Teoreettisessa työssä käytetään myös ellipsoidisia koordinaatteja u ja 6 Parametri liittyy litistyneisyyteen f kaavan e 2 = 2f f 2 kautta.
44 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja β. Koordinaatti β kutsutaan redukoiduksi leveysasteeksi. Yhteys suorakulmaisiin koordinaatteihin on X = u 2 + E 2 cosβcosλ, Y = u 2 + E 2 cosβsinλ, 2.6) Z = u sinβ. Jos maa-ellipsoidin iso akselipuolikas on a ja sen pikku akselipuolikas b, seuraa tästä harjoitus!, että E 2 = a 2 b 2. 2.5 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa Laplacen yhtälö muunnettuna pallokoordinaateihin on: V = 2 V r 2 + 2 V r r + 1 2 V r 2 φ 2 tanφ V r 2 φ + 1 2 V r 2 sin 2 φ λ 2 = 0, missä φ on geosentrinen) leveysaste eli latitudi, λ on pituusaste eli longitudi, ja r etäisyys origosta eli Maan keskipisteestä. Emme tässä johda kaavan ratkaisua, koska se on suhteellisen monimutkaista ja löytyy valmiina kirjallisuudesta. Merkittävä on, että ratkaisu on hieman saman näköinen kuin ylläoleva ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa. Laplace-yhtälön perusratkaisut ovat V n,1 φ,λ, r ) = r n Y n φ,λ ),Vn,2 φ,λ, r ) = Y n φ,λ ) r n+1, 2.7) joista ensimmäinen taas on epäfysikaalinen ulkoavaruudessa, koska, toisin kuin todellinen geopotentiaali, nämä termit kasvavat äärettömiksi kun r. Ylläolevissä kaavoissa funktiot Y n ovat ns. pintapallofunktiot, kun taas funktiot V n ovat avaruuspallofunktiot. Viimemainitut ovat harmonisia kaikkialla avaruudessa paitsi origossa eq. 2.7, toinen kaava) tai äärettömyydessä ensimmäinen, fysikaalisesti epärealistinen kaava). Funktiot Y n ovat Y n φ,λ ) = n m=0 P nm sinφ ) anm cos mλ + b nm sin mλ). 2.8) Funktiot P nm ovat ns. Legrendre-funktioita, joista lisää myöhemmin. Ilmaisun 2.8 avulla saadaan, käyttämällä toista, fysikaalisesti realistista
2.6. Riippuvuus korkeudesta 45 vaihtoehtoa kaavasta 2.7, seuraava ratkaisu eli sarjakehitelmä avaruuspotentiaalille V : V φ,λ, r ) = 1 n ) P nm sinφ anm cos mλ + b nm sin mλ). 2.9) n=0 r n+1 m=0 Indeksejä n ja m kutsutaan asteluvuksi ja järjestysluvuksi En. degree and order). Kertoimia a nm ja b nm kutsutaan pallofunktiokehitelmän kertoimiksi eli lyhyesti spektraalikertoimiksi. Yhdessä ne kuvaavat funktioita V, hieman samalla tavalla kuin Fourier-kertoimet v jk tekevat suoralkulmaisissa koordinaateissa kaavassa 2.2. Tulemme usein käyttämään hieman vapaampi notaatio funktioille Y n. Esimerkiksi jos kehitetään häiriöpotentiaali T pallofunktioihin, käytetään notaatio T n sen pintapallofunktioille; samalla tavalla g n ovat painovoima-anomalian g pintapallofunktiot asteluvulle n, ja niin edelleen. 2.6 Riippuvuus korkeudesta Ylläolevasta kaavasta 2.7 nähdään, että eri asteluvuilla n funktiolla V n on eri riippuvuus etäisyydestä r Maan keskipisteestä, eli vastaavasti, korkeudesta H = r R, jos R on maapallon säde. Riippuvuus on V n φ,λ, r ) = Y n φ,λ ) r n+1. Maan pinnalla meillä on Voimme siis kirjoittaa V n φ,λ, R ) = Y n φ,λ ) R n+1. ) ) R n+1 ) ) R + H n+1) ) V n φ,λ, r = V n φ,λ, R = V n φ,λ, R = r R = 1 + H ) n+1) ) V n φ,λ, R exp HR ) R n + 1) ) V n φ,λ, R. Näemme, että potentiaalin riippuvuus korkeudesta on taas eksponentiaalinen, ja asteluku n on eksponentissa, kuten oli myös aaltoluku suorakulmaisessa geometriassa, ks. kaava 2.2 ja kuva 2.1. Analogia toimii hyvin.
46 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Taulukko 2.2. Legendre-polynomeja. t = sin φ. t:n funktiona sin nφ ) :n ja cos nφ ) :n funktiona P 0 t) = 1 P 0 sinφ ) = 1 ) P 1 t) = t P 1 sinφ = sinφ P 2 t) = 3 2 t2 1 ) 2 P 2 sinφ = 3 4 cos2φ + 1 4 P 3 t) = 5 2 t3 3 2 t P ) 3 sinφ = 5 8 sin3φ + 3 8 sinφ P 4 t) = 1 8 35t 4 30t 2 + 3 ) P 5 t) = 1 8 63t 5 70t 3 + 15t ) P 6 t) = 1 16 231t 6 315t 4 + 105t 2 5 ) 2.7 Legendren funktiot Ylläolevissä kaavoissa P-funktiot ovat ns. Legendren 7 funktioita, jotka pulpahtavat esiin aina kun Laplacen kaltainen yhtälö ratkaistaan pallokoordinaateissa. Niiden laskemiseen on käytettävissä erilaisia tehokkaita ns. rekursiivisiä algoritmeja, esimerkiksi seuraava vain tavallisille Legendre-polynomeille P n = P n0 ): np n t) = n 1) P n 2 t) + 2n 1) tp n 1 t). 2.10) Vastaavanlaiset kaavat löytyvät myös funktioille P nm, m > 0. On jopa valinnan varaa, vaikka kaavat ovatkin yleensä mutkikkaita. Niiden ohjelmoinnissa on varottava, etteivät fakulteetit mene yli laidan. Jo 30! 30-fakulteetti) on suurempi luku kuin mitä useammat tietokoneet osaavat käsitellä... 360!:stä puhumattakaan. Heiskanen ja Moritz 1967) kaava 1-62, toisin kuin sanotaan, ei kelpaa tietokonekäyttöön! Ensimmäiset Legendre-polynomit luetteloidaan taulukossa 2.2. Tätä korkeampia polynomeja tarvitaan käsilaskennassa harvoin. Huomaa että parilliset polynomit ovat peilisymmetrisiä origon molemmin puolin, P n t) = P n t), ja parittomat ovat antisymmetrisiä, P n t) = P n t). Vertailun vuoksi: myös Fourier-perusfunktiot kuten, hieman mutkikkaammalla tavalla, myös sinukset ja kosinukset!) F j x) = exp 2πi j x ), L 7 Adrien-Marie Legendre 1752 1833) oli ranskalainen matemaatikko, tunnettu työstään lukuteoriassa, tilastotieteessä hän keksi Gaussista riippumatta pienimmän neliösumman menetelmän ja elliptisten funktioiden sarassa. Hänen nimensä löytyy Eiffeltornista.
2.7. Legendren funktiot 47 1 0,5 0 0,5 1 1 0,5 0 0,5 1 P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 10 P 25 Kuva 2.4. Muutama Legendren polynomi P 0 t)... P 25 t)) argumentin t = sinφ funktiona. jossa i 2 = 1, voidaan laskea rekursivisesti: F j+1 x) = F j x) F 1 x). Legendren liitännäisfunktioista P nm mainittakoon vain taulukossa 2.3 olevat. Eräs niitä määrittelevä kaava on: P nm t) = 1 t 2)m /2 d m P n t) dt m. 2.11) Lähtemällä kaavalta 2.8 voidaan kirjoittaa ) n ) ) ) Y n φ,λ = anm P nm sinφ cos mλ + an, m P n,m sinφ sin mλ = = m=0 n m= n a nm Y nm φ,λ ), Taulukko 2.3. Legendren liitännäisfunktioita. t:n funktiona trigonometrisena funktiona P 11 t) = 1 t 2 P 11 sinφ ) = cosφ P 21 t) = 3t 1 t 2 ) P 21 sinφ = 3sinφcosφ P 22 t) = 3 1 t 2) ) P 22 sinφ = 3cos 2 φ P 31 t) = 3 2 5t 2 1 ) 1 t 2 ) P 31 sinφ = 3 2 5sin 2 φ 1 ) cosφ P 32 t) = 15t 1 t 2) ) P 32 sinφ = 15sinφcos 2 φ P 33 t) = 15 1 t 2)3 /2 P 33 sinφ ) = 15cos 3 φ
48 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja 5 0 5 P 11 P 21 10 P 22 P 31 P 32 P 33 15 1 0,5 0 0,5 1 Kuva 2.5. Legendren liitännäisfunktioita. jossa nyt m kulkee n:sta +n:ään. Tässä ) ) P nm φ,λ cos mλ jos m 0, Y nm φ,λ = ) P n m φ,λ sin m λ jos m < 0. Nämä ovat asteluvun n ja järjestysluvun m pintapallofunktiot. Sellaisia pintapallofunktioita löytyy kolmenlaisia: Zonaalisia eli vyöhykefunktiot: m = 0. Nämä funktiot riippuvat vain leveysasteesta. Sektoriaalisia eli sektorifunktiot: m = n. Näiden funktioiden etumerkki vaihtelee vain pituus- eikä leveysasteen mukaan. Funktiot itse kuitenkin riippuvat sekä leveys- että pituusasteesta!. Tesseraalisia eli ruutufunktiot: 0 < m < n. Nämä funktiot, joiden etumerkki vaihtelee sekä leveys- että pituusasteen mukaan, muodostavat pallon pinnalle sakkilautamaisen kuvion, jos positiiviset arvot maalataan valkoisiksi ja negatiiviset mustiksi Lat. tessera = tiili mosaiikin tekoon). Jokainen funktio menee välillä sinφ [ 1,+1] tarkasti n m kertaa nollan läpi. Jokainen funktio on joko symmetrinen tai antisymmetrinen origon ymparillä φ:n tai t = sinφ:n funktiona. Pallofunktioit edustavat siis eräänlaista aalto-ilmiötä. Ne eivät kuitenkaan ole aaltofunktioita sinuksia ja kosinuksia), yhteys näihin on vä-
2.7. Legendren funktiot 49 a) Zonaalisia: P 5,0 sinφ) b) Sektoriaalisia: P 6,6 sinφ)cos6λ c) Tesseraalisia: P 11,6 sinφ)cos6λ Kuva 2.6. Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla. Harmaa positiivinen, valkoinen negatiivinen. Funktiot aaltoilevat sini- tai kosinifunktioiden tavoin. hintään mutkikas. Kuitenkin on mielekästä puhua niiden aallonpituudesta. Kuvassa 2.6 on kuvattu miten eri pallofunktioiden etumerkit käyttäytyvät Maan pinnalla ja sen yläpuolella. Kun tutkitaan kaavassa 2.8 esiintyvät ilmaisut cos mλ ja sin mλ, havaitaan, että ne menevat koko ympyrällä eli päivääntasaajalla 0 λ < 2π tarkasti 2m kertaa nollan läpi. Puoliaallonpituus on siis missä R on taas maapallon säde. 2πR 2m = π R m, Kuva 2.7. Pintapallofunktiot karttoina. Vaaka-akseli λ [0,360 ), pystyakseli φ [ 90,90 ]. Kuvatut funktiot ovat ) ) ) P 50 sinφ P 66 sinφ cos6λ P11,6 sinφ cos6λ ) ) ). P 40 sinφ P 65 sinφ cos5λ P10,6 φ cos6λ
50 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Taulukko 2.4. Puoliaallonpituudet pallofunktioiden eri aste- ja järjestysluvuille. m / n m Puoliaallon- Asteina pituus km) 10 2000 18 40 500 4,5 180 111 1 360 55 0,5 = 30 1800 11 0,1 = 6 10800 1,85 1 Samanlainen kaava pätee myös funktioihin P nm sinφ ) : kun funktio menee nollan läpi n m kertaa välillä navasta napaan π 2 φ < π 2, seuraa, että puoliaallonpituus tässäkin on πr n m. Jos sijoitetaan tähän eri m:n ja ilmaisun n m arvot, saadaan tuloksena taulukko 2.4. Tämä taulukko kuvaa samalla pallofunktiokehitelmällä saavutettava resoluutio, eli kuinka yksityiskohtaisesti kehitelmä voi kuvata Maan painovoimakenttää. Nykyisin käytettävissä olevat kehitelmät, kuten EGM2008-malli, menevat astelukuun n = 2159 asti; niiden luoman geopotentiaalikuvan terävyys on siis 9 km. Satelliittiratahäiriöistä johdetut mallit usein menevät vain astelukuun 40 saakka; silloin näkyvät vain mantereen kokoiset suuruusluokkaa 500 km yksityiskohdat. Toisaalta kokeilliset topografian pallofunktiokehitelmät menevät jopa astelukuun 10 800 saakka Balmino ym., 2012). 2.8 Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet Toistetaan tässä jo luvun alussa annettu pallofunktiokehitelmäyhtälö 2.9: V φ,λ, r ) = 1 n ) P nm sinφ anm cos mλ + b nm sin mλ). 2.9) n=0 r n+1 m=0
2.8. Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet 51 2.8.1 Riippuvuus leveysasteesta φ Nähdään, että riippuvuus leveysasteesta φ toimii pelkästään Legendren liitännäisfunktion P nm sinφ ) kautta. Tämä funktio voi olla joko symmetrinen argumentissa φ, tai antisymmetrinen argumentissa φ, eli symmetrinen tapaus) P nm sinφ ) = Pnm sin φ )), tai antisymmetrinen tapaus) P nm sinφ ) = Pnm sin φ )). Samalla tavalla se merkitsee, että, kun t = sinφ, pätee joko symmetrinen) P nm t) = P nm t), tai antisymmetrinen) P nm t) = P nm t). Kumpi tapaus pätee, riippuu molempien, n ja m, arvoista. Asian ratkaisemiseksi tutki vaikkapa yhtälö 2.11: P nm t) = 1 t 2)m /2 d m P n t) dt m. Tarvitaan vastausta seuraavaan parin kysymykseen: 1) Millä n-arvoilla polynomi P n on symmetrinen, millä arvoilla antisymmetrinen argumentissa t? Tämän ratkaisemiseksi pitää tutkia polynomien rekursiivisen laskennan kaava 2.10. Tiedämme jo, että P 0 t) = 1 on symmetrinen, ja että P 1 t) = t on antisymmetrinen. Muiden n-arvojen sääntö saadaan rekursiivisesti tai voi luntata taulukosta 2.2). 2) Millä tavalla differentiaatio d dt vaikuttaa funktion symmetrisyyteen tai antisymmetrisyyteen? 3) Kertominen ilmaisulla 1 t 2 = cosφ ei muuta mitään, koska tämä kerroin on itse symmetrinen argumentissa t tai φ.) Siis, jos haluamme kehitelmän 2.9 olevan peilisymmetrinen pohjoisen ja eteläisen pallonpuoliskojen välillä, meidän on asetettava ne kertoimet a nm, b nm joiden vastaava P nm on antisymmetrinen, nollaksi. Jäljelle jäävät kertoimet joiden vastaava P nm on symmetrinen. Kuvassa 2.5 annetaan koodipätkä octave-skriptauskielellä mielivaltaisen pintapallofunktion piirtämiseksi, esim. sen symmetrisuusominaisuuksien arvioimiseksi silmämääräisesti. Älä luule; kokeile. 2.8.2 Riippuvuus pituusasteesta λ Tämä riippuvuus toimii Fourier-funktioiden cos mλ ja sin mλ kautta. Mielenkiintoisin ominaisuus tässä on rotaatiosymmetria: muuttuuko
52 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Taulukko 2.5. Koodi pintapallofunktion kartan piirtämiseksi. % Plotting surface spherical harmonics phi=linspace-90,90,72); lab=linspace0,360,144); [f,l]=meshgridphi,lab); n=5; m=-3; leg=legendren,sinphi.*pi./180)); if m >= 0 cs=cosm.*lab.*pi./180); else cs=sinabsm).*lab.*pi./180); end v=legabsm)+1,:) *cs; contourfl,f,v ); xlabel Longitude, FontSize, 16); ylabel Latitude, FontSize, 16); str=sprintf Surface spherical harmonic n=%d, m=%d, n, m); titlestr, FontSize, 20); axis [0 360-90 90]) colorbar); print legendre2d.jpg, -djpg ) pallofunktiokehitelmä 2.9 kun λ muuttuu? Näemme heti että, jos m 0, on olemassa riippuvuutta pituusasteesta λ jos kertoimista a nm, b nm yksikin eroaa nollasta. Siis kaikki kertoimet a nm, b nm arvoille m > 0 pitää nollata: a 11 = b 11 = a 21 = b 21 = a 22 = b 22 = = 0. Jäljelle jäävistä kertoimista voimme sanoa, että jos m = 0, sin mλ = 0 identtisesti, siis kertoimet b 00, b 10, b 20,... ovat yksinkertaisesti ilman merkitystä. Niiden arvot saavat olla mitä vaan, mukaanlukien nolla. Kertoimet a 00, a 10, a 20 taas ovat merkityksellisiä, koska jos m = 0, silloin cos mλ = 1 identtisesti. Näin saamme siis pyörähdyssymmetrisena kehitelmänä jossa P n = P n0. V φ,λ, r ) = V φ, r ) = n=0 1 r n+1 a n0p n sinφ ),
2.9. Legendre-funktioiden ortogonaalisuus, ortonormaalisuus 53 2.9 Legendre-funktioiden ortogonaalisuus, ortonormaalisuus Legendren polynomit ovat ortogonaalisia: integraali ˆ +1 2 2n+1 jos n = m P n t) P m t) dt = 1 0 jos n m. 2.12) Tämä ortogonaalisuus on vain yksi esimerkki yleisemmästä tavasta katsoa funktioita ja funktioiden integraaleja. On olemassa hyödyllinen analogia vektoriavaruuden kanssa: ks. liite B. Voimme kirjoittaa vaihtoehtoisesti, yksikköpallon σ pinnalla, jossa on käytetty parametrisointi ψ,α ) : σ = 2π P n cosψ ) Pm cosψ ) dσ = ˆ 2π ˆ 1 +1 P n t) P m t) dt = 2π ˆ π 0 0 ˆ +1 1 P n cosψ ) Pm cosψ ) sinψ dψdα = P n t) P m t) dt, jossa t = cosψ ja dσ = sinψ dψdα. Siis pätee σ ) ) P n cosψ Pm cosψ dσ = 4π 2n+1 jos n = m 0 jos n m, 2.13) jossa ψ on kulmaetäisyys jostakin pallon pinnalla olevasta pisteestä. Kaava 2.13 kertoo, että Legendre-polynomit ovat keskenään ortogonaalisia jos funktioiden vektoritulo on määritetty yksikköpallon σ pintaintegraalina. Vaihtoehtoisesti voimme määrittää myös täydellisesti normalisoituja Legendre-polynomeja P n cosψ ) = 2n + 1Pn cosψ ), 2.14) jolloin nyt modifioitu vektoritulo keskiarvo yksikköpinnan yli on 1 ) ) 1 jos n = m, P n cosψ P m cosψ dσ = 4π σ 0 jos n m. Samanlaisia täydellisesti normalisoituja Legendren liitännäisfunktioitakin on olemassa ilman todistusta, ks. Heiskanen ja Moritz 1967, s 31): ) n m)! P nm cosψ = 22n + 1) n + m)! P ) nm cosψ.
54 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Tässä tapauksessa ovat ortogonaalisia funktiot ) ) P nm cosψ cos mα jos m 0 Y nm ψ,α = ). P n m cosψ sin m α jos m < 0 Vastaava vektoritulo on 1 ) ) P nm cosψ P n 4π m cosψ dσ = σ 1 jos n = n ja m = m 0 muulloin. 2.10 Funktion hajoittaminen asteosuuksiin On olemassa hyödyllinen integraaliyhtälö pintapallofunktioille, jos vastaava funktio f pallon pinnalla on annettuna. Kaava on Heiskanen ja Moritz, 1967, kaava 1 71, mutta käyttämällä notaatiomme Y n f n ): ) 2n + 1 f n φ,λ = f φ,λ ) ) P n cosψ dσ, 2.15) 4π σ jossa ψ on kulmaetäisyys laskentapisteen φ,λ ) ja liikkuvan eli integrointipisteen φ,λ ) välillä. Tässä asteosuusyhtälössä 2.15 on tietty samanlaisuus projektio- eli kerroinlaskentakaavan B.7 kanssa. Kuitenkaan tässä ei lasketa spektraalikertoimia vain spektraaliosuusfunktioita f n. Muistutamme funktioiden f n keskeistä ominaisuutta f φ,λ ) ) = f n φ,λ n=0 pallon pinnalla. Tämän todistamiseksi valitaan koordinaattijärjestelmän pohjoisnavaksi piste φ,λ ) ; silloin φ = 90 ψ. Kirjoittamalla ks. kaava 2.9): f φ,λ ) n = P nm sinφ ) a nm cos mλ + b nm sin mλ ) n=0 m=0
2.11. Eri suureiden spektraaliesitykset 55 ja sijoittamalla tätä asteosuusyhtälöön 2.15, saadaan käyttämällä hyväksi Legendre-polynomien ortogonaalisuutta kaavan oikealle puolelle: I R = 2n + 1 f φ,λ ) ) P n cosψ dσ = 4π σ = 2n + 1 4π a n0 Pn 2 cosψ)dσ = = 2n + 1 4π a n σ ˆ +1 1 P 2 n t) [sinψ = 2n + 1 4π 2πa 2 n 2n + 1 = a n, missä käytettiin kirjoitustapa a n ˆ 2π 0 ] [ ] 1 dλ sinψ dt =. = an0. Kaavan vasemmalle puolelle saadaan vastaavasti, koska määritelmän 2.8 mukaan φ = 90 ja sinφ = 1: I L = f n φ,λ ). = Yn 90,λ ) = käyttämällä n m=0 P nm 1)a nm cos mλ + b nm sin mλ) = P n 1) a n = a n, P n 1). = P n0 1) = 1 P nm 1) = 0 jos m 0. Kun tämä pätee jokaiselle pisteelle φ,λ ) ja huomaa että a n :n arvot riippuvat sen valinnasta! seuraa että asteosuusyhtälö 2.15 on yleisesti tosi. 2.11 Eri suureiden spektraaliesitykset 2.11.1 Potentiaali Lähtemällä kaavasta 2.9 kirjoittamme seuraava geopotentiaalin spektraaliesitys avaruudessa: V φ,λ, r ) ) R n+1 ) = V n φ,λ, 2.16) r n=0 missä spektraalikomponentit V n ovat vanhat tutut Y n kaavasta 2.8, hieman eri tavalla skaalattuna: ) n ) ) V n φ,λ = P nm sinφ a V nm cos mλ + bv nm sin mλ = = m=0 n m= n v nm Y nm φ,λ ),
56 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja jossa käytämme kirjotustapaa ) ) P nm sinφ cos mλ jos m 0 Y nm φ,λ = ) 2.17) P n m sinφ sin m λ jos m < 0 ja vastaavasti a V nm jos m 0 v nm = b V jos m < 0 n m Tämä on joskus käytetty, kompakti notaatio. 2.18) Maan pinnalla r = R) saadaan V φ,λ, R ) = ) V n φ,λ = n=0 n n=0 m= n v nm Y nm φ,λ ). Voimme vetää yhteen löydetyt yhteyden kommutoivaksi kaavioksi. Taas, aivan kuten osiossa 2.2 suorakulmaiselle geometrialle, nähdään, että potentiaalifunktion V siirtäminen pallotasosta R tasoon r = R + H on olennaisesti helpompaa taajuusdomeenissa asteosuudet V n kuin avaruusdomeenissa. Avaruusdomeeni V φ,λ, R ) Taajuusdomeeni = ) V n φ,λ n=0 vaikea) helppo) V φ,λ, r ) = R ) n+1 ) r Vn φ,λ n=0 ) 2n + 1 : Vn φ,λ = σ 4π φ,λ, R ) ) P n cosψ dσ 2.11.2 Gravitaatio Neumannin 8 reuna-arvotehtävässä ratkaistaan funktio V jonka normaaliderivaatta, V/ n, on annettu kappaleen pinnalla. Differentioimalla kaava 2.16 saadaan V n = V r = Maan pinnalla tämä on V r ) r=r n=0 = ) n + 1 R n+1 ) V n φ,λ. 2.19) r r n=0 n + 1 R V ) n φ,λ. 2.20) 8 Carl Gottfried Neumann 1832 1925) oli saksalainen matemaatikko.
2.12. Matalan asteluvun pallofunktiot 57 Jos kirjoitetaan myös Maan pinnalla gravitaatio): g φ,λ, R ) ). V. ) = = g n φ,λ, r seuraa analogiasta että ja kääntäen, että r=r n=0 ) n + 1 g n φ,λ = R V ) n φ,λ, V n φ,λ ) = R g n φ,λ ) n + 1. 2.21) Tämän tuloksena saamme erään Neumannin tehtävän ratkaisun spektraaliesitys: Kirjoitetaan analogisesti g φ,λ, R ) ) V = n V φ,λ, r ) = R r=r = ) R n+1 ) g n φ,λ r n + 1. 2.22) n=0 ). g n φ,λ = n=0 n n=0 m= n jossa käytetty määritelmä on johdonmukaisesti g nm Y nm φ,λ ), g nm = n + 1 R v nm, 2.23) ks. kaava 2.18. Tämä on mielenkiintoinen, ja miettimisen arvoinen, tulos: 1) Ensiksi, huomaa kuinka yksinkertaiseksi muodostuu yhteys 2.23 potentiaalin v nm ja gravitaation g nm muodostuu taajuusdomeenissa! 2) Toiseksi, jos meillä on käytettävissä, koko maapallon pinnalta, painovoiman kiihtyvyyden mittausarvoja g, voisimme niistä johtaa kertoimia g nm ja pallopintafunktioita g n φ,λ ) aiemmin selitetyn menetelmän avulla. Niiden avulla voimme sitten saada ratkaisun kaavan 2.22 avulla koko Maapallon ulkopuoliselle geopotentiaalikentälle! Tämä on geopotentiaalimäärityksen tai geoidimäärityksen perusajatus, spektraalinäkökannalta. 2.12 Matalan asteluvun pallofunktiot Pistemassan potentiaalikenttä on kaava 1.4): V = GM r.
58 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Potentiaalikehitelmän 2.9 asteluvun n = 0 vastaava termi on josta V 0 = 1 r a 00P 0 sinφ ) = a 00 r, a 00 = GM. eli a 00 kuvaa massakeskipisteen voimakenttää, pistemassan tai pallosymmetrisen massajakauman kenttää. Korkeimmat pallofunktiokertoimet ovat häiriöitä tähän. Ensimmäisen asteen kertointen kehitelmä on seuraavan näköinen: V 1 φ,λ, r ) = 1 r 2 a11 cosφcosλ + b 11 cosφsinλ + a 10 sinφ ). Kirjoita tämä vektorimuotoon käyttämällä sijaintivektorin kaava r = r cosφcosλ ) i + r cosφsinλ ) j + r sinφ ) k missä {i,j,k} on avaruuden R 3 ortonormaali kanta, tuloksena V 1 r) = 1 r 3 a 11i + b 11 j + a 10 k) r. Muista, että dipolin potentiaalikenttä on V = G d r, r3 missä d on dipolimomentti. Vertailemalla saa a 11 i + b 11 j + a 10 k = Gd, eli ensimmäisen asteluvun n = 1 pallofunktiokertoimet edustavat Maan gravitaatiokentän dipolimomentti. Jokaisen mapallomme massa-alkiolla dm voidaan katsoa koostuvan monopolista koordinaattijärjestelmän origossa, suuruus dm, ja dipolista, suuruus r dm, missä r on massa-alkion paikkavektori. Silloin voimme laskea koko maapallon dipolimomentti integroimalla: d = rdm = ρrdv = M r massakeskipiste, Maa Maa määritelmän mukainen maapallon massakeskipisteen paikka! Tästä seuraa että, mikäli valitsemme koordinaattijärjestelmämme niin, että
2.13. Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät 59 m d Kuva 2.8. Monopoli, dipoli ja kvadrupoli Maan keskuksessa ja niiden vaikutukset geoidiin. origo on Maan massakeskipisteessä, pallofunktiokertoimet a 11, b 11, a 10 häviävät. Jos satelliittien liikeyhtälöt on formuloitu tietyssä koordinaattijärjestelmässä, kuten GPS-satelliittien tapauksessa WGS84-järjestelmässä, on järjestelmän origo automaattisesti Maan massakeskipisteessä, ja ensimmäisen asteluvun pallofunktiokertoimet ovat oikeasti nolla. Sama logiikka pätee korkeammalle pallofunktio-asteille. Asteluvun 2 kertoimet kuvaavat maapallon ns. kvadrupolimomentti mikä vastaa sen hitausmomenttitensoriin, jne. 2.13 Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät Tarjolla olevista globaalisista pallofunktiokehitelmistä mainittakoon nyt jo hieman vanha malli EGM96. Sen kehittivät Ohion valtionyliopiston tutkijat käyttämällä hyvin laajaa, Amerikkalaisen NIMAn National Imagery and Mapping Agency, entinen Defense Mapping Agency, nykyinen NGA, National Geospatial-Intelligence Agency) keräämää maailmanlaajuista, pääasiallisesti gravimetrista, aineistoa. Tämä kehitelmä menee astelukuun 360 saakka; sen standardiesitystapa on 9 V = GM r 360 a ) n n 1 + n=2 r m=0 ) P nm sinφ C nm cos mλ+. + S nm sin mλ 2.24) 9 Huomaa, että nyt käytetään a, Maan vertausellipsoidin ekvatoriaalisäde eikä R, ja φ, geosentrinen leveysaste. Koordinaatit r,φ,λ ) muodostuvat pallokoordinaattijärjestelmän.
60 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Tällainen esitystapa etumerkki kehitelmän eteen, joka alkaa n-arvosta 2, ykkönen suluissa joka edustaa origossa olevaa, Maan kokonaismassan suuruista pistemassaa, ja kertoimet C ja S täydellisesti normalisoituina on ollut jo jonkin ajan teollisuusstandardi globaalisessa tutkimusyhteisössä joka harjoittaa Maan gravitaatiokentän pallofunktiokehitelmien laskemista. Uranuurtaja on ollut Professori Richard H. Rapp Ohion valtionyliopistosta, siksi malleja kutsutaan usein OSU-malleiksi. Yleensä näissä malleissa alemmat termit 2 n 20 johdetaan pääasiallisesti satelliitiratojen häiriöiden analysoinnista. Tästä johtuen mallit ovat koordinaattijärjestelmässä jonka origo on Maan massakeskipisteessä. Tämä selittää ensimmäisen asteen kertointen puuttuminen, kuten jo aiemmin argumentoitiin. Korkeammat kertoimet taas 20 < n 360 olivat ennen vuotta 2000 pääosin sekä painovoima-aineistojen maa) että satelliitti-altimetriadatan meri) analyysin tulosta. Painovoimasatelliittien CHAMP, GRACE ja GOCE laukaisujen jälkeen ja niiden mittausten seurauksena on nykyisin ainakin astelukuväli 20 < n 200 avaruusgeodesian tuotos. Vain vieläkin korkeammat asteluvut uusi malli EGM2008 Pavlis ym., 2008, 2012) menee jo astelukuun 2159 saakka tulevat vielä maanpäällisistä datasta. Taulukossa 2.6 annetaan ensimmäiset ja viimeiset kertoimet EGM96- mallista, viimeinen ja paras pallofunktiomalli painovoimasatelliittimissioiden edeltävästä ajasta. Taulukoidut arvot ovat n, m, C nm, S nm ja molempien kerrointen keskivirhe niiden laskennasta. Huomaa että kaikki S n0 ovat nollia! Joskus myös ei-normalisoituja kertoimia käytetään, ja kirjoitetaan V = GM ) a ) n n ) 1 P nm sinφ Jnm cos mλ + K nm sin mλ). 2.25) r n=2 r m=0 Silloin kirjoitetaan J n. = Jn0, ja J 2 on tärkein, maapallon litistyneisyyttä kuvaava Maan painovoimakentän parametri. Yhteys parametreihin C, S on J n0 K n0 = 2n + 1 C n0 S n0,
2.14. Ellipsoidiset harmoniset 61 Taulukko 2.6. EGM96-pallofunktiokehitelmän kertoimia. n m C nm S nm C nm :n keskivirhe S nm :n keskivirhe 2 0-0.484165371736E-03 0.000000000000E+00 0.35610635E-10 0.00000000E+00 2 1-0.186987635955E-09 0.119528012031E-08 0.10000000E-29 0.10000000E-29 2 2 0.243914352398E-05-0.140016683654E-05 0.53739154E-10 0.54353269E-10 3 0 0.957254173792E-06 0.000000000000E+00 0.18094237E-10 0.00000000E+00 3 1 0.904627768605E-06 0.248513158716E-06 0.13965165E-09 0.13645882E-09 3 2 0.904627768605E-06-0.619025944205E-06 0.10962329E-09 0.11182866E-09 3 3 0.721072657057E-06 0.141435626958E-05 0.95156281E-10 0.93285090E-10 4 0 0.539873863789E-06 0.000000000000E+00 0.10423678E-09 0.00000000E+00 4 1-0.536321616971E-06-0.473440265853E-06 0.85674404E-10 0.82408489E-10 4 2 0.350694105785E-06 0.662671572540E-06 0.16000186E-09 0.16390576E-09 4 3 0.990771803829E-06-0.200928369177E-06 0.84657802E-10 0.82662506E-10 4 4-0.188560802735E-06 0.308853169333E-06 0.87315359E-10 0.87852819E-10 5 0 0.685323475630E-07 0.000000000000E+00 0.54383090E-10 0.00000000E+00 5 1-0.621012128528E-07-0.944226127525E-07 0.27996887E-09 0.28082882E-09 5 2 0.652438297612E-06-0.323349612668E-06 0.23747375E-09 0.24356998E-09 5 3-0.451955406071E-06-0.214847190624E-06 0.17111636E-09 0.16810647E-09 5 4-0.295301647654E-06 0.496658876769E-07 0.11981266E-09 0.11849793E-09 5 5 0.174971983203E-06-0.669384278219E-06 0.11642563E-09 0.11590031E-09 6 0-0.149957994714E-06 0.000000000000E+00 0.14497863E-09 0.00000000E+00 6 1-0.760879384947E-07 0.262890545501E-07 0.22415138E-09 0.21957296E-09 6 2 0.481732442832E-07-0.373728201347E-06 0.27697363E-09 0.28105811E-09 6 3 0.571730990516E-07 0.902694517163E-08 0.19432407E-09 0.18682712E-09 6 4-0.862142660109E-07-0.471408154267E-06 0.15229150E-09 0.15328004E-09 6 5-0.267133325490E-06-0.536488432483E-06 0.89838470E-10 0.87820905E-10 6 6 0.967616121092E-08-0.237192006935E-06 0.11332010E-09 0.11518036E-09... 360 358 0.709604781531E-10 0.691761006753E-10 0.50033977E-10 0.50033977E-10 360 359 0.183971631467E-10-0.310123632209E-10 0.50033977E-10 0.50033977E-10 360 360-0.447516389678E-24-0.830224945525E-10 0.50033977E-10 0.50033977E-10 J nm K nm = n m)! 22n + 1) n + m)! C nm S nm, m 0. 2.14 Ellipsoidiset harmoniset Laplacen yhtälö 1.12 voidaan kirjoittaa, ja ratkaista, pallokoordinaattien sijasta ellipsoidisiin koordinaatteihin. Tulos tunnetaan ellipsoidisena funktiokehitelmänä En. ellipsoidal harmonics.) Niitä käytetään vähän, koska tarvittava matematiikka on monimutkaisempi. Myös el-
62 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja Taulukko 2.7. Toisen lajin Legendren funktioita. Q 0 z) = 1 2 ln z + 1 z 1 Q 1 z) = z 2 ln z + 1 z 1 1 n + 1)Q n+1 z) 2n + 1)zQ n z)+ +nq n 1 z) = 0 Q 2 z) = 3z2 1 ln z + 1 4 z 1 3z 2 Q mn z) = 1 z 2)m /2 d m dz m Q n z) Q 3 z) = 5z3 3x ln z + 1 4 z 1 5z2 2 + 2 3 lipsoidiset koordinaatit ovat lähinnä teoreettisesti kiinnostavia eivätkä laajassa käytössä geodesiassa. Esitystapa on: V u,β,λ ) = n n=0 m=0 ) Q nm i u E ) P Q nm i b nm sinβ)a nm cos mλ + b nm sin mλ), E 2.26) missä Q nm z) ovat ns. toisen lajin Legendren funktiot, joista pieni näyte taulukossa 2.7. Vaikka yleinen argumentti z on kompleksinen, antaa kaava 2.26 reaaliarvoinen tulos reaaliarvoisille kertoimille a nm, b nm. Ylläolevan kaavan johtamisesta kiinnistaneet löytävät sen kirjasta Heiskanen ja Moritz 1967) tai muista potentiaaliteorian oppikirjoista. Heiskanen ja Moritz antaa kaavalle hieman erilaisen muodon, tässä käytetyn normalisaation apukaavat löytyvät sen sivuilta 66-67. 2.14.1 Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssi Voimme osoittaa kaavojen 2.25, 2.26 samanarvoisuutta, jos Maan litistyneisyys 0, ja siis myös a, b a, β φ, ja u r. Oletamme, että Heiskanen ja Moritz 1967) kaava 1 112), ) Q nm i u E a ) n+1 lim ) = E 0 Q nm i b r E pätee. Sijoitus yhtälöön 2.26 antaa V u,β,λ ) = V r,φ,λ ) = n a ) n+1 ) = Pnm sinφ anm cos mλ + b nm sin mλ), n=0 m=0 r mikä, vaikkakin kertoimille käytetään eri nimityksiä, identifioimalla. a 00 = GM a, a... 10 = a 11 = b10 = 0 vastaa pallofunktioiden kaavaan 2.25.
Harjoitus 2 1: Pallofunktiokehitelmän vaimennus korkeuden mukaan63 2.14.2 Ellipsoidisten harmonisten käytön etuja: 1) Normaaligravitaatiokentän kaava on tässä esitystavassa yksinkertainen, ks. Heiskanen ja Moritz 1967) kaava 2 56. Saman kentän pallofunktiokehitelmä sen sijaan vaatii teoreettisesti äärettömän monta kerrointa käytännössä 6 8 riittää). 2) Konvergenssi on nopeampi, koska tarvitaan vähemmän termejä. Tämä siksi, että Maan litistyneisyydestä johtuen päiväntasaaja on noin 23 km kauempana Maan keskipisteestä kuin navat. Tästä syystä erityisesti korkean asteluvun pallofunktioilla on vaikeuksia konvergoida tehokkaasti yht aikaa sekä napa- että päiväntasaajaalueille. Tämä ongelma on pahin erittäin korkea-asteisille pallofunktiokehitelmille esim. Wenzel, 1998). Jo asteluvun 360 pallofunktion puoliaallonpituus on vain 55 km! 2.14.3 Ellipsoidisten harmonisten käytön haittapuoli: Ellipsoidisten harmonisten laskeminen on pallofunktioita selvästi työläämpää eli kalliimpaa tietokoneresursseissa mitattuna. Harjoitus 2 1: Pallofunktiokehitelmän vaimennus korkeuden mukaan Jos V r,φ,λ ) ) R n+1 n ) = P nm sinφ anm sin mλ + b nm cos mλ) = n=0 r m=0 ) R n+1 ) = V n R,φ,λ, 2.27) r voidaan kutsua n=0 ) V n r,φ,λ R ) = V n R,φ,λ r ) n+1 potentiaalin vaimennuskertoimeksi korkeuden mukaan. Differentioimalla r:n suhteen saadaan ) V n r,φ,λ = n + 1 ) R n+2 ) V n R,φ,λ, 2.28) r R r eli, koska maan pinnalla vastaavasti ) V n r,φ,λ r = n + 1 r=r R V ) n R,φ,λ, 2.29)
64 Luku 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja seuraa, että vetovoiman vaimennuskerroin on kaavojen 2.28 ja 2.29 suhde: ) R n+2. r 1) Piirra log-lineaarinen grafiikka sekä potentiaalin että vetovoiman vaimennuskertoimista arvoille n = 0,...,100, joko käsin tai koneellisesti. Valitse R = 6378km, r = 7378km eli korkeus 1000 km maan pinnan yläpuolella. 2) Tämän perusteella, jos satelliitti on 1000 km maan pinnan yläpuolella, millä asteluvulla n ovat vetovoiman kiihtyvyydet V n r satelliitin korkeudella pienemmät kuin 1% siitä, mitä ne ovat Maan pinnalla? 3) Millä n-luvulla ne ovat pienemmät kuin 10 4 siitä, mitä ne ovat Maan pinnalla? Harjoitus 2 2: Pallofunktioiden symmetriat Katso yhtälö 2.27 yllä. Siinä P nm sinφ ) = Pnm t) on vain leveysasteen φ funktio. Tässä t = sin φ. Kun φ kulkee etelänavalta ekvaattorin kautta pohjoisnapaan, arvot 90...0 + 90, saavuttaa t arvot 1...0 + 1 väliltä [ 1, 1]. Näille Legendre-funktioille on olemassa seuraava suljettu ilmaisu: P nm t) = 1 t 2)m /2 d m dt m P n t), jossa P n t) ovat tavalliset Legendre-polynomit: 1) Huomaa ensin, että P n t) = 1 d n [ t 2 2 n n! dt n 1 ) n ]. a) Symmetrisen t-funktion differentiointi tuottaa antisymmetrisen funktion, ja toisinpäin b) funktio t 2 1 ) ja sen potenssit ovat symmetrisiä c) Siis: parillisille n-arvoille P n t) = +P n t) eli P n on symmetrinen pohjoisen ja eteläisen pallonpuoliskon välillä ja parittomille n-arvoille P n t) = P n t), eli P n
Harjoitus 2 2: Pallofunktioiden symmetriat 65 ) )) d) Eli vastaavasti, parillisille n, P n sinφ = +Pn sin φ ja parittomille n, P n sinφ = Pn sin φ. ) )) Kysymys: mikä on vastaava sääntö P nm -funktioille, eli millä n, m-arvoille se on symmetrinen ja millä arvoille antisymmetrinen? a) Täytä diagramma n = 0...5, m = 0... n) merkeillä joko S tai A jokaiselle lokerolle jossa ei ole : n = 0 1 2 3 4 5 m = 0 1 2 3 4 5 b) Mikä on symmetrisyyden logiikka? 2) Jos vetovoimakenttä on symmetrinen pohjoisen ja eteläisen pallonpuoliskojen välillä, ts. V r,φ,λ ) = V r, φ,λ ), mitkä kertoimista a nm, b nm putoavat siis pois sarjakehitelmästä? Miksi? Vihje: ) ks. luentomonisteen P nm sinφ esimerkkikaavoja ja -grafiikkeja ja yritä arvata yleinen sääntö. Sitten verifioit) 3) Sama kysymys, jos potentiaali on pyörähdyssymmetrinen Maan rotaatio-akselin ympärille eli V r,φ,λ ) = V r,φ ).
3. Normaalipainovoimakenttä 3.1 Normaalikentän perusajatus Samoin kuin Maan muoto on hyvässä approximaatiossa pyörahdysellipsoidi, on myös Maan painovoimakenttä yhtä hyvässä approximaatiossa kenttä, jonka eräs ekvipotentiaalipinta on juuri tämä pyörähdysellipsoidi. Tämä tuo mieleen loogisen ajatuksen: miksei määritellä keskenään yhteensopivia vertausellipsoidia, geopotentiaalikenttää eli normaalipotentiaalia jonka eräs ekvipotentiaalipinta vertausellipsoidi on ja painovoimakaavaa, joka lasketaan normaalipotentiaalista ottamalla sen gra- Normaali- painovoima Ellipsoidiset luotiviivat eli normaalit γ γ γ Normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat Vertausellipsoidi litistyneisyys liioiteltu) Kuva 3.1. Maan normaalipainovoimakenttä. 67
68 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä dientti? Tämän jälkeen voimme määritellä anomaalisia suureita, kuten häiriöpotentiaali ja painovoima-anomalia, jotka ovat silloin myös keskenään yhteensopivia ja numeerisesti paljon pienempiä. Olkoon normaalipotentiaali Ux, y, z) ja vertausellipsoidin normaalipotentiaalin arvo U 0.Silloin normaalipainovoima on missä n γx, y, z) = U n, merkitsee differentiointia ellipsoidin ulkonormaalin n suuntaan. Tämä suunta poikkeaa tasopintojen normaalin eli luotoviivan suunnasta juuri luotiviivan poikkeaman verran, tavallisesti hyvin pieni kulma. Tulemme näkemään, että Maan pyörähdysliikkeen aiheuttama näennäisvoima voidaan, Maan mukana pyörivässä järjestelmässä, kuvata pyörähdyspotentiaalin Φ myös: keskipakoispotentiaalin avulla. Myös normaalipotentiaali U määritellään niin, että pyörahdyspotentiaali Φ on sen osana: normaalipotentiaali on painovoimakentän eikä gravitaatiokentän vertauspotentiaali. Jos kirjoitetaan normaaligravitaatiopotentiaali Ψ harvoin käytetty suure geodesiassa), silloin normaalipainovoimapotentiaali normaalipotentiaali ) U on U = Ψ + Φ, missä Φ on keskipakoispotentiaali. Eli: Ψ, kuten V, on määritelty eipyörivässä inertiaalisessa) systeemissä, kun taas U, kuten W, on määritelty maapallon mukana pyörivässä ei-inertiaalisessa) järjestelmässä. Aivan kuten myös sana painovoima viittaa maapallon mukana pyörivässä järjestelmässä toimivaan voimaan, kun inertiaalisessa järjestelmässä käytetään sana gravitaatio. 3.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali Maapallon pyörähdysliike on tärkeä painovoimakentän kannalta. Inertiaalijärjestelmässä puhutaan gravitaatiosta ja gravitaatiopotentiaalista V ; kuitenkin Maan pinnalla, ei-inertiaalisessa mukana pyöriväs-
3.2. Keskipakoisvoima ja sen potentiaali 69 Z k p Keskipakoisvoima Gravitaatio Painovoima X i j Y Kuva 3.2. Gravitaatio ja keskipakoisvoima. sä ) järjestelmässä, puhutaan painovoimasta ja painovoimapotentiaalista W. Ne ovat eri asioita; eron aiheuttaa pyörahdysliike ja sen keskipakoisvoima. Ks. kuva. Keskipakoisvoiman kaavan johtamiseksi kirjoita ensin p = Xi + Y j, missä vektorit {i,j,k} muodostavat X,Y, Z) -akseleiden kanssa samansuuntaisen, ortonormaalisen kannan. Silloin p = p = p p = X 2 + Y 2. Nyt keskipakoisvoima tarkemmin, keskipakoiskiihtyvyys on, yksikössä metri per sekunti neliöön, f = ω 2 p = ω 2 Xi + Y j), jossa ω on pyörähdysnopeus radiaaneina sekunnissa. Täällä Maassa, painovoimamittaukset tehdään yleensä laitteella, joka on lepotilassa Maan pintaan nähden: se seuraa maapallon pyörähdysliikettä. Jos laite liikkuu, on keskipakoisvoiman lisäksi vielä otettava huomioon toinen näennäisvoima: Coriolis 1 -voima. Myös nesteet vesi, 1 Gaspard-Gustave Coriolis 1792 1843) oli ranskalainen matemaatikko, fyysikko ja koneinsinööri. Hanen nimensä on kaiverrettu Eiffeltorniin.
70 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä ilma Maan pinnalla tuntevat vain keskipakoisvoiman, mikäli ne ovat lepotilassa. Virtaukset tuntevat myös Coriolis-voiman, joka kääntää ne sivuun ja aiheuttaa tunnettuja pyörreilmiöitä valtamerillä ja ilmakehässä. Jos nyt Coriolis-voima jätetään sikseen, voidaan kuvata keskipakoisvoima eräänlaisen potentiaalin gradientiksi. Jos kirjoitetaan keskipakoispotentiaaliksi voidaan suoraan laskea, että Φ = 1 2 ω2 X 2 + Y 2 ), f = Φ = i Φ X + j Φ Y + k Φ Z = 1 2 iω2 2X + 1 2 jω2 2Y + 0 = ω 2 ix + jy ), mikä vastaa yllä annettua keskipakoisvoimakaavaa. Jos lähdemme gravitaatiopotentiaalista V ja lisämme siihen keskipakoispotentiaalin Φ, saamme tulokseksi painovoimapotentiaali W: W = V + Φ. Voimme laskea keskipakoispotentiaalista Φ myös seuraavan kaavan differentioimalla sen kahdesti: Φ = 2 Φ = f = X ω2 X + Y ω2 Y + 0 = 2ω 2, 3.1) josta seuraa, Poissonin yhtälön 1.14 kanssa, W = 4πGρ + 2ω 2, 3.2) painovoimapotentiaalin Poissonin yhtälö. Ero gravitaation ja painovoiman välissä on olennainen. Gravitaatiovoima eli -kiihtyvyys) a = V on pelkkä vetovoima, kun painovoima kiihtyvyys) g = W on gravitaation ja keskipakoisvoiman yhteisvaikutus. Vetovoima ja keskipakoisvoima toimivat samalla tavalla: voima on verrannollinen koekappaleen massaan, ts. kiihtyvyys on aina sama koekappaleen massasta riippumatta. Tämä on kuuluisa ekvivalenssiperiaate Galilei, Einstein), jota on todettu hyvin tarkasti paikkansa pitäväksi. Erityisesti voidaan mainita unkarilaisen paroni Loránd Eötvösin 2 neuvokkaat kokeet. 2 Loránd, paroni Eötvös de Vásárosnamény 1848 1919) oli unkarilainen fyysikko ja gravitaation tutkija.
3.3. Tasopinnat ja luotiviivat 71 Maan päällä olevat vesimassat, samoin kuin ilmakehä sekä suunnattomasti suuremmalla aikaviiveella kiinteä kallio, joka muodostaa vuoristoja ja valtameren syvänteitä tottelevat painovoimaa tekemättä eroa vetovoiman ja keskipakoisvoiman välillä. Siksi merenpinta on noin metrin tarkkuudella W-funktion ekvipotentiaalipinta. Myös Maan päällä korkeudet mitataan tästä pinnasta eli geoidista Gauss: Maan matemaattinen muoto ). 3.3 Tasopinnat ja luotiviivat Saman painovoimapotentiaalin pinnat, ekvipotentiaalipinnat eli tasopinnat, ovat seuraavia pintoja: W x, y, z) = W 0 = vakio. Olkoon {i, j, k} taas akseleiden x, y, z) suuntainen ortonormaalinen kanta. Silloin yksikkövektorin e = e 1 i + e 2 j + e 3 k suuntaan potentiaali muuttuu seuraavasti: joka on nolla jos ja vain jos W e = e W 1 x + e W 2 y + e W 3 z, e W = 0, ts. potentiaali on stationaarinen vaan suuntiin, jotka ovat kohtisuoria Maan painovoimavektoria W = g kohtaan. Tasopinnat ja painovoimavektorit eli luotiviivat ovat aina kohtisuoria toisiinsa nähden. Tasopintojen kaarevuus: Annettuna pisteessa P taso, joka on P:ssä samansuuntainen tasopinnan kanssa, eli tangenttitaso. Jos tasopinnan
72 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä tangenttitaso P W = W P δw ɛ x 0 x W = W P x ρ 1 Kuva 3.3. Tasopintojen kaarevuus. paikallinen kaarevuus x-suunnassa on ρ 1, ja pisteen P x-koordinaatti x 0, voidaan kehittää pintojen välinen etäisyys Taylor-sarjaksi: ɛ 1 2ρ 1 x x 0 ) 2. Tästä saa W-erotukseksi pintojen välillä g. = g ): δw = ɛg x x 0 ) 2 g 2ρ 1. Differentioimalla huomaa, että W tässä nyt on geopotentiaali tangenttitasolla) saadaan 2 2 δw = x2 x 2 W = W xx = g ρ 1 josta kun W xx = 2 x 2 W) ρ 1 = g W xx, jossa kenttä W jota differentioidaan x-koordinaatoin suhteen, on sen rajoittuma tangentti- eli vaakatasoon. Määrittämällä kaarevuus x-suunnassa K 1 = 1 ρ 1 = W xx g, 3.3)
3.4. Luonnolliset koordinaatit 73 ja vastaavasti y-suunnassa K 2 = 1 ρ 2 = W yy g, 3.4) saadaan keski- eli Germainin 3 kaarevuus, positiivinen luku: ja käyttämällä Poisson, kaava 3.2, J = 1 2 K 1 + K 2 ) = W xx +W yy, 2g W = W xx +W yy +W zz = 4πGρ + 2ω 2, saamme Käyttämällä 2gJ +W zz = 4πGρ + 2ω 2. W zz = g z = g H jossa H on korkeuskoordinaatti saadaan Heiskanen ja Moritz, 1967, kaava 2 20): g H = 2gJ + 4πGρ 2ω2, Ernst Heinrich Brunsin löytämä kaava. 3.4 Luonnolliset koordinaatit Ennen satelliittiaikakautta oli mahdotonta suoraan mitata geosentriset X, Y ja Z. Nykyisin tämä on mahdollista, ja samalla saadaan korkeus vertausellipsoidista h, puhtaasti geometrinen suure. Aiemmin voitiin mitata vain kuvassa 3.4 kuvattua luotiviivan suuntaa, sekä havaintopisteen potentiaalieroa keskimerenpinnalta. Luotiviivan suunta n mitattiin tähtitieteellisesti: tähtitieteellinen leveysaste Φ älä sekoita keskipakoisvoiman potentiaalin kanssa) ja tähtitieteellinen pituusaste Λ. Kolmas koordinaatti, potentiaaliero Wx, y, z) W 0 meren pinnasta, määritettiin vaaitsemalla. Näitä koordinaatteja, Φ, Λ ja W, kutsutaan luonnollisiksi koordinaateiksi. 3 Marie-Sophie Germain 1776 1831) oli nerokas ranskalainen matemaatikko, lukuteoreetikko ja elastisuuden tutkija. Hän kävi kirjeenvaihtoa mm. Gaussin kanssa lukuteoriasta ja teki arvokasta pohjatyötä Fermat n suuren lauseen todistusta varten. Hänen nimensä puuttuu Eiffeltornista.
74 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä Tähtitieteelliset koordinaatit Φ,Λ n Luotiviiva Greenwich O Λ n Φ Kuva 3.4. Luonnolliset koordinaatit Φ, Λ. Näiden lisäksi, luonnollinen korkeuskoordinaatti, esim. geopotentiaali W, tarvitaan. Usein käytetään potentiaalin sijasta ortometrista korkeutta. Sen määritelmän ymmärtää helposti jos kirjoittaa W n = W H = g = dh = 1 g dw = H P = ˆ WP missä integraali otetaan pisteen P luotiviivaa pitkin. W 0 1 gw ) dw, H = n on paikallinen tasopintojen normaalin eli luotiviivan suuntainen derivaatta. g on painovoimakiihtyvyys luotiviivalla, paikan tai geopotentiaalitason funktiona. Tämä on tässä ortometristen korkeuksien tapauksessa todellinen painovoima kallion sisällä, joka on paikan epälineaarinen funktio ja riippuu myös kallion tiheydestä. Tämä on ortometrisille korkeuksille ominainen ongelma. Tähän palataan myöhemmin Heiskanen ja Moritz, 1967 luku 4). Myös koordinaatit Φ, Λ, H muodostavat luonnollisen koordinaattijärjestelmän. 3.5 Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea] Olemme jo esittäneet kaavaa 2.26 geopotentiaalin kehitelmästä ellipsoidisiin harmonisiin. Normaalipotentiaalilta U vaaditaan, että se on vakio
3.5. Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [ vaikea] 75 vertausellipsoidilla u = b. Kehitetään keskipakoisvoima Φ ellipsoidisiin harmonisiin. Meillä on Φu,β) = 1 2 ω2 x 2 + y 2) = 1 2 ω2 u 2 + E 2) cos 2 β = = 1 2 ω2 u 2 + E 2) 1 sin 2 β ) = = 1 2 ω2 u 2 + E 2) 2 3 P ) 2 2 sinβ + 3 P ) ) 0 sinβ = = 1 3 ω2 u 2 + E 2) P 2 sinβ ) P0 sinβ )). Tämän lisäksi meillä on kaavan 2.26 perusteella pyörähdyssymmetriselle gravitaatiopotentiaalille Ψ: ) Q n i u E ) Ψu,β) = ) A n=0 Q n i b n P n sinβ, E sekä U u,β ) = Φ u,β ) + Ψ u,β ). Vertausellipsoidilla u = b vaatimuksena on U b,β ) = U 0, mikä on mahdollista vain, jos A 0 + 1 3 ω2 b 2 + E 2) = U 0, A 2 1 3 ω2 b 2 + E 2) = 0, ja kaikki muut A n = 0. Suure U 0 on yksiselitteisesti laskettavissa, jos maapallon massa GM ja vertausellipsoidin mitat a, b ovat tiedossa. Tulos, joka on annettu kirjassa Heiskanen ja Moritz 1967) kaava 2 61, on: U 0 = GM E arctan E b + 1 3 ω2 a 2. Tästä seuraa, käyttäen a 2 = b 2 + E 2 : A 0 = U 0 1 3 ω2 a 2 = GM E arctan E b. Oletetaan A 0 = a 0 normaalikentän ja todellisen kentän nollannen asteen kertoimet ovat samoja, eli normaalikentän kokonaismassa on realistinen), ja a 10 = a 11 = b 11 = 0 dipolimomentin häviäminen!).
76 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä Tämän jälkeen voidaan skaalata kaava 2.26 seuraavasti Kayttämällä kaava Q 0 i ) u E = i arctan E u Heiskanen ja Moritz, 1967, s. 66) ja siirtämällä sopivat vakiot uusin kertoimiin C e nm, Se nm : V u,β,λ ) = GM E arctane u n arctan E b 1 n=2 m=0 arctan E u ) Q nm i u E ) ) P Q nm i b nm sinβ E Ce nm +S e nm cos mλ+, sin mλ 3.5) mikä vastaa pallofunktiokehitelmää 2.24. Tätä kaavaa ei kuitenkaan ole tiettävästi käytetty missään käytännön geopotentiaalilaskentaan. Painovoimakentän normaalipotentiaali U saadaan seuraavaksi muista että a 2 = b 2 + E 2 ): Uu,β) = GM E arctan E u + 1 ) 3 ω2 a 2 Q 2 i u E 3 ) }{{} Q 2 i b 2 sin2 β 1 ) + 2 E }{{} A 2 P 2sinβ) + 1 2 ω2 u 2 + E 2) cos 2 β = }{{} Φu,β) = C 1 u) + C 2 u)sin 2 β + C 3 u)cos 2 β, missä C 1,C 2,C 3 ovat sopivia u-funktioita. Vertausellipsoidin pinnalla u = b): GM Ub,β) = E arctan E b 1 ) 6 ω2 a 2 + 1 2 ω2 a 2 sin 2 β + 1 2 ω2 a 2 cos 2 β = = GM E arctan E b + 1 3 ω2 a 2, vakio, kuten sopii ollakin! 3.6 Normaalipainovoima Ilman todistusta mainittakoon, että normaalipainovoimalle, siis suureelle γ = U/ h, pätee vertausellipsoidin pinnalla seuraava kaava: γ = aγ b sin 2 β + bγ a cos 2 β. a 2 sin 2 β + b 2 cos 2 β Sijoittamalla saadaan heti selville, että γ a on normaalipainovoima päiväntasaajalla β = 0) ja γ b normaalipainovoima navoilla β = ±90 ).
3.6. Normaalipainovoima 77 Z Q. P b φ β ϕ. X/Y a O Kuva 3.5. Meridiaaniellipsin geometria ja eri leveysastetyypit. Käyttämällä kaavoja 2.4 ja 2.6 saadaan ja tanβ = sinβ cosβ = Z/b = a X 2 +Y 2 /a b tanφ tanϕ = sinϕ cosϕ = Z /1 e2 )N Z 1 = X 2 +Y 2 /N X 2 + Y 2 1 e 2 = a2 b 2 tanφ, missä φ on geosentrinen leveysaste, ks. yhtälö 2.3. Tästä seuraa suoraan: tanβ = b a tanϕ, missä leveyskulma ϕ on geodeettinen eli maantieteellinen) leveysaste. β on edelleen ns. redukoitu leveysaste). Nyt on helppo osoittaa harjoitus!) että γ = aγ a cos 2 ϕ + bγ b sin 2 ϕ. 3.6) a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ Tämä on kuuluisa Somiglianan Pizzettin 4 yhtälö. Nämä geodeetit osoittivat ensimmäisinä että ellipsoidinen normaalipainovoimakenttä, joka tuottaa vertausellipsoidin yhtenä tasapotentiaalipintanaan, on tarkasti olemassa ja että myös maantieteellisissä koordinaateissa painovoimakaava on suljettu ilmaisu leveysasteessa. 4 Carlo Somigliana 1860 1955) oli italialainen matemaatikko ja fyysikko; Paolo Pizzetti 1860 1918) oli italialainen geodeetti.
78 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä 3.7 Numeeriset arvot ja kaavat Kun vertausellipsoidi on valittu, voidaan laskea siihen vastaava normaalipotentiaali ja normaalipainovoima. Perussuureet ovat a pyörähdysellipsoidin ekvatoriaalisäde eli iso akselipuolikas; f litistyneisyyssuhde, f = a b a, missä b on polaarisäde eli pikku akselipuolikas; ω pyörähdysnopeus; GM kokonaismassa sisältää ilmakehän). Vaihtoehtoisesti valitaan myös γ a eli ekvatoriaalipainovoima. Nykyisin käytetyin vertausellipsoidi normaalipotentiaaleineen on GRS80 Geodetic Reference System 1980): a = 6378137m, 1/f = 298,257222101, ω = 7292115 10 11 s 1, GM = 3986005 10 8 m 3 s 2. Oikeastaan f ei ole GRS80:n määrittelevä vakio, vaan käytetään J 2, joka on painovoimakenttää kuvaava suure, ks. kaava 2.25. GPS-järjestelmän käyttämä WGS84 World Geodetic System 1984) on melkein identtinen GRS80:n kanssa. Normaalipotentiaali on Heikkinen, 1981), yksiköt [m] ja [s]: U = 62636860,8500 + + 9,78032677 0,05163075sin2 ϕ 0,00022761sin 4 ϕ 0,00000123sin 6 ϕ h +
3.8. Esimerkki 79 + 0,01543899 10 4 0,00002195 10 4 sin 2 ϕ h 2 0,00000010 10 4 sin 4 ϕ [ 0,00002422 10 8 + 0,00000007 10 8 sin 2 ϕ ] h 3, ja normaalipainovoima huomaa miinusmerkki; U on positiivinen ja vähenee ylöspain): γ = U h = = + 9,78032677 + 0,05163075sin 2 ϕ + + 0,00022761sin 4 ϕ + 0,00000123sin 6 ϕ 0,03087798 10 4 0,00004390 10 4 sin 2 ϕ 0,000000200 10 4 sin 4 ϕ h [ 0,00007265 10 8 + 0,00000021 10 8 sin 2 ϕ ] h 2. 3.7) Tarkemmat kaavat saa raportista Heikkinen 1981). Näissä kaavoissa kerroin 9,78032... on ekvatoriaalinen painovoima ja 0,03087... on painovoiman ekvatoriaalinen) pystygradientti. Kaikki yksiköt ovat SIsysteemissä. ϕ on geodeettinen) latitudi, h on korkeus vertausellipsoidista. Muut vielä käytössä olevat vaikkakin hitaasti väistyvät) painovoimakaavat ja vertausellipsoidit) ovat Helmertin kaava Krasowskyellipsoidi) Itä-Euroopan maissa, Kansainvälinen eli Hayford-ellipsoidi 1924) ja sen painovoimakaava, sekä Geodetic Reference System 1967. 3.8 Esimerkki Yllä olevan kaavan mukaan päiväntasaajan yläpuolella on normaalipotentiaali U = 62636860,8500 9,78032677h + 0,01543899 10 4 h 2 + + 0,00002422 10 8 h 3. Piirrä tämä funktio h-arvoille välillä 0 7000 km. Piirrä vertailun vuoksi kvadraattinen versio, josta viimeinen termi on jätetty pois.
80 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä. 140000000 120000000 100000000 3. potenssi 2. potenssi Lineaarinen Realistinen 80000000 60000000 40000000 20000000 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Kuva 3.6. Normaalikentän potentiaalikäyrä päiväntasaajan yläpuolella. Kysymyksiä 1) Mitkä ovat näiden funktioiden minimit? 2) Kuinka fysikaalisesti realistista tämä on? Vastaukset 1) Ks. kuva 3.6. Minimit ovat korkeuksilla 3000 km ja 2000 km, suunnilleen. 2) Ei kovin fysikaalista: stationaarinen piste potentiaalille U mukana pyörivän järjestelmän normaalipotentiaali) pitäisi sijaita noin 36 000 km korkeudella, geostationaarisella radalla. Tämä kertoo, että polynomi-approksimaatiota ei voi ekstrapoloida kovin pitkälle. Tässä tapauksessa ekstrapolointiväli on samaa luokkaa kuin Maan säde, ja se ei enää toimi. 3.9 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä Ellipsoidisen gravitaatiokentän pallofunktiokehitelmä sisältää toisen asteen lisäksi myös korkeamman asteen pallofunktiot. Jos kirjoitetaan, kuten on tapana, potentiaali maapallon ulkopuolella seuraavaan muo-
3.9. Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä 81 Taulukko 3.1. GRS80-normaalipotentiaalin pallofunktiokertoimia Heikkinen, 1981; Heiskanen ja Moritz, 1967). Ei-normalisoidut J 2 = J 2,0 = 1082,63 10 6 J 4 = J 4,0 = 2,37091222 10 6 J 6 = J 6,0 = +0,00608347 10 6 J 8 = J 8,0 = 0,00001427 10 6 Täysin normalisoidut J 2 = 484,16685490 10 6 J 4 = 0,790304073 10 6 J 6 = +0,00168725100 10 6 J 8 = 0,00000346 10 6 toon Heiskanen ja Moritz, 1967 osio 2 39, myös kaava 2.25): V = GM { } a ) n n 1 P nm sinφ)[j nm cos mλ + K nm sin mλ], r n=2 r m=0 voidaan myös normaaligravitaatiopotentiaali, Ψ, kirjoittaa muotoon Ψ = GM [ a ) 2n ) ] 1 J 2n P2n sinφ, r n=1 r joka sisältää vain parillisia kertoimia J 2n = J 2n,0 kun normaalikenttä on symmetrinen ekvaattoritasoon nähden. GRS80:n normaaligravitaatiopotentiaalin kertoimet löytyvät 5 taulukosta 3.1. Korkeampia termejä ei yleensä tarvita. Täysin normalisoitujen ja ei-normalisoitujen kerrointen välillä on yhteys J n = J n 2n + 1. Huomaa että saman kentän kehistelmästä ellipsoidisiin harmonisiin vain kertoimet asteluvuille nolla ja kaksi eroavat nollasta! Tämä on pääsyy miksi näitä funktioita käytetään ylipäänsä.) Ellipsoidimallin sijasta voidaan käyttää normaalipainovoimapotentiaalikaavana myös pallofunktiokehitelmän ensimmäistä pari, kolme termiä. Silloin saadaan keskipakoispotentiaali otetaan mukaan): U = Y 0 r + Y 2φ,λ) r 3 + 1 2 ω2 X 2 + Y 2 ), vastaava ekvipotentiaalipinta on "Brunsin sferoidi"; tai U = Y 0 r + Y 2φ,λ) r 3 + Y 4φ,λ) r 5 + 1 2 ω2 X 2 + Y 2 ), 5 Ne voidaan myös laskea kirjan Heiskanen ja Moritz 1967) antamalla yhtälöllä 2 97): J 2n = 1) n+1 3 e 2) n 2n + 1)2n + 3) 1 n + 5n J ) 2 e 2, lähtien arvoista J 2 ja e 2. Tulokset ovat samat kuin taulukon vasemmassa sarakkeessa.
82 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä "Helmertin sferoidi". Nämä kaavat ovat helppoa laskea, mutta niiden ekvipotentiaalipinnat tasopinnat) eivät ole aivan tarkasti pyörähdysellipsoideja. Ne ovat oikeastaan hyvinkin monimutkaisia pintoja Heiskanen ja Moritz, 1967, 2 12)! Ottamalla mukaan pari seuraavaa termiä Y 6,Y 8 ) saadaan jo käytännössä hyvinkin tarkka ellipsoidisen painovoimakentän approksimaatio. Kuitenkin geometrisessa geodesiassa käytetään aina vertausellipsoidi, joten kannattaa tehdä se myös fysikaalisessa geodesiassa. 3.10 Häiriöpotentiaali Kirjoita painovoimapotentiaali W = V + Φ, missä Φ on keskipakoisvoiman potentiaali ks. yllä), ja normaalipotentiaali U = Ψ + Φ. Niiden välinen erotus on T = W U = V Ψ, häiriöpotentiaali. Sekä V että Ψ voidaan kehittää pallofunktiokehitelmäksi; jos kirjoitetaan painovoimapotentiaali W = V + Φ = = Φ + GM r { } a ) n n ) 1 P nm sinφ [Jnm cos mλ + K nm sin mλ], n=2 r m=0 ja normaalipotentiaali U = Φ + GM r { } a ) n 1 J n=2,parillinen r n P n sinφ), saadaan vähentämällä häiriöpotentiaaliksi T = W U =
Harjoitus 3 1: Somigliana-Pizettin kaava 83 missä = GM r { n=2 a r ) n n m=0 δj n0 = J n0 Jn δj nm = J nm P nm sinφ ) [δjnm cos mλ + δk nm sin mλ] δk nm = K nm. jos n parillinen, jos n pariton, ja Ylläoleva kaava häiriöpotentiaalille T lyhennetään seuraavasti Heiskanen ja Moritz, 1967, kaava 2 152): T φ,λ, r ) a ) n+1 ) = Tn φ,λ, 3.8) n=0 r jossa jokaisessa termissa T n :lla on sama dimensio kuin T, ja ) GM n ) T n φ,λ = P nm sinφ [δjnm cos mλ + δk nm sin mλ]. a m=0 a-säteisen referenssipallon pinnalla 6 : T = T n, n=0 josta nähdään, että termit T n φ,λ ) ovat todella tietyn asteluvun n osittaispotentiaalit funktioina vertaustasolla. Näistä osittaispotentiaaleista, T 0 φ,λ ) on vakio, ja T1 φ,λ ) on dipolikentän muotoinen ja sen arvo verrannollinen kulmaetäisyyden kosiniin pisteestä Maan pinnalla, johon dipolivektori osoittaa. Korkeammat T n ovat yhä lyhempien aallonpituuksien aaltoilevia funktioita. Katso osio 2.12. }, Harjoitus 3 1: Somigliana-Pizettin kaava 1) Annettuna painovoima päiväntasaajalla γ a ja navoilla γ b. Mikä on painovoima geodeettisella leveysasteella ϕ = 45? 2) Ja mikä on painovoima redukoidulla leveysasteella β = 45? 3) Annettuna isoakselin puolikas a ja pikkuakselin puolikas b, mitä on saman paikan eri leveysasteiden geodeettinen ϕ, geosentrinen φ, ja redukoitu β) erotukset maksimissään? Saat lähteä siitä, että maksimi tapahtuu latituudeilla ±45. 4) Laske yllä mainituille suureille numeeriset arvot GRS80-ellipsoidin tapauksessa. 6 Aiemmin tälle vertaussäteelle on käytetty pallo-approksimaatiossa) myös kirjoitustapa R.
84 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä Harjoitus 3 2: Keskipakoisvoima Annettuna Maan pyörähdysnopeus yksikössä radiaanit sekunnissa: ω = 7292115 10 11 s 1. 1) Laske karkeasti) maan pyörähdysliikkeen keskipakoisvoima etelä- Suomen kohdalla ϕ = 60, R = 6378km, maa pallona). Mihin suuntaan voima osoittaa piirros!)? 2) Paljonko keskipakoisvoima on osana paikallista painovoimaa? Sekä kiihtyvyysarvona että prosentteina. 3) Laske yllä annetusta ω-arvosta maapallon pyörähdysaika tunteina. Miksei se ole tarkasti 24 h [vaikea]?
4. Painovoimakentän anomaaliset suureet 4.1 Häiriöpotentiaali, geoidin korkeus, luotiviivan poikkeamat Ensimmäinen anomaalinen suure, joka tuli jo puheeksi, on ero todellisen painovoimapotentiaalin W ja normaalipainovoimapotentiaalin U välillä: T = W U. Kaikki muut anomaaliset suureet ovat tämän häiriöpotentiaalin erilaisia funktioita, kuten geoidin korkeus N ja luotiviivan poikkeamat ξ, η. Ne saadaan yleisesti vähentämällä toisistaan 1) luonnolliset, Maan oikeaan painovoimakenttään liittyvät suureet ja 2) vastaavat, Maan vertausellipsoidin normaalipainovoimakenttään liittyvät suureet. Esimerkiksi luotiviivan poikkeamat: ξ = Φ ϕ, η = Λ λ)cosϕ, jossa Φ, Λ) ovat tähtitieteellinen leveys- ja pituusasteet, eli paikallisen luotiviivan suunta, ja ϕ,λ ) on vastaavasti vertausellipsoidin normaalin suunta. Ks. kuva 4.1. Geoidin korkeus eli geoidi-undulaatio on N = H h, 85
86 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Luotiviivapoikkeama ξ,η Topografia Vertausellipsoidi Geoidi Geoidikorkeus N Kuva 4.1. Geoidi-undulaatiot ja luotiviivan poikkeamat. jossa H on ortometrinen korkeus keskimerenpinnasta) ja h on korkeus vertausellipsoidista. Luotiviivan poikkeamat ovat Suomessa luokkaa muutama kaarisekunti ), geoidi-undulaatiot ovat välillä 15 32m vertailun vuoksi, globaalisti 107... + 85 m) jos käytetään nykykäytännön mukaan GRS80-ellipsoidi vertauspintana. Merenpinnan tasolla luotiviivan poikkeamat ovat geoidin korkeuksien vaakagradientteja. Ks. kuva 4.1, 4.2. Vertausellipsoidille, esimerkiksi GRS80-ellipsoidille, on olemassa oma, matemaattisesti eksakti standardi- eli normaalipainovoimakenttä, jonka eräs tasopinta kyseinen vertausellipsoidi on. Tämän kentän avulla voimme jokaiselle painovoimakentän suurille laskea vastaava normaalisuure, ja vähentämällä ne toisistaan saadaan taas vastaava anomaalinen suure. Korkeuksille vertausellipsoidista löytyy analoginen kaava kuin ortometrisille korkeuksille, jossa U on normaalipotentiaali ja γ normaalipainovoima: h P = Pisteen P geoidin korkeus on nyt N P = h P H P = = = = ˆ WP 1 W 0 ˆ WP W 0 ˆ HP 0 g dw ˆ WP 1 W 0 ˆ UP U 0 1 γu) du. g dw ˆ WP W 0 1 γ g gγ dw γ g γ dh γ du ˆ UP 1 W P ˆ UP 1 U 0 γ du = ˆ UP W P 1 γ du + ˆ UP 1 W P γ du + γ du + ˆ U0 1 W 0 ˆ U0 γ du ˆ U0 W 0 1 γ du 1 du, 4.1) W 0 γ
4.1. Häiriöpotentiaali, geoidin korkeus... 87 Kuva 4.2. Suomen geoidimalli vuodesta 1984. Punaisena luotiviivan poikkeamat havainnoista Vermeer, 1984). uudelleen nimittämällä integrointimuuttujat W,U W 0 ja vaihtamalla se metriseksi: dw 0 = gdh. Kaavassa 4.1 viimeinen termi häviää jos oletetaan1 U0 = W0. Nyt geoidikorkeuden määritelmässä piste P on keskimerenpinnan korkeussysteemin nollan) tasolla. Silloin myös ensimmäinen termi haviää se olisi kuitenkin aina pieni, paitsi vuoristossa). Siis ˆ UP NP = WP 1 1 1 TP du WP UP ) = γ γp γp eli N= T. γ 4.2) Tämä ei ole itsestään selvä! Paikallisessa korkeusdatumissa nollapisteen potentiaali voi hyvinkin poiketa jopa metrin verran globaalisen vertausellipsoidin normaalipotentiaalista.
88 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet g = gradw γ = gradu P W P Geoidi U Q = W P ) N Ellipsoidi Q U P Kuva 4.3. Painovoimakentän W) ja normaalipainovoimakentän U) ekvipotentiaalipinnat. mihin olemme sijoittaneet T = W U, häiriöpotentiaali. Kaikki suureet on oletettu olevan merenpinnan tasolla. Tämä on kuuluisa Brunsin 2 kaava Heiskanen ja Moritz, 1967, kaava 2 144). Tilanteen vielä paremmin kuvittamiseksi ks. kuva 4.3. Tässä kuvassa gradienttivektorit g = gradw ja γ = gradu ovat pituuksiltaan W/ H ja U/ H, mistä seuraa, kaavan T = W U kanssa, että vastaavien pintojen W = W P ja U = U Q, välinen etäisyys kun W P = U Q, on N = U Q U P γ = W P U P γ = T γ. 4.2 Painovoimahäiriöt Todellisen painovoiman ja normaalipainovoiman kiihtyvyysarvojen erotus on nimeltään painovoimahäiriö, δg. Tarkka kaava olisi W δg = H U ) ; h missä differentioidaan luotiviivaa pitkin W:lle, ja ellipsoidista normaalia pitkin U:lle. Luotiviivan ja ellipsoidisen normaalin suunnat ovat itse 2 Ernst Heinrich Bruns 1848 1919) oli lahjakas saksalainen matemaatikko ja matemaattinen geodeetti.
4.3. Painovoima-anomaliat 89 asiassa hyvin lähellä toisiaan. Pallo-approksimaatiossa saadaan δg = W r U r ) = T r. Kehitettiin jo häiriöpotentiaali eri pallofunktioiden asteluvun osiin yhtälö 3.8, ja nyt saadaan differentioimalla r:n suhteen 3 : δg φ,λ ) = T φ,λ ) [ = ) R n+1 ) ] T n φ,λ = r r n=0 r = 1 ) R n+1 ) n + 1) T n φ,λ, 4.3) r r n=0 eli Maan pinnalla r = R): δg φ,λ ) = 1 R ) n + 1) T n φ,λ. n=0 Tämä on painovoimahäiriön spektraaliesitys Maan pinnalla tarkemmin, pallon pinnalla jonka säde on R. Vertaussäteen R arvoksi voi ottaa Maan vertausellipsoidin ekvatoriaalisäde a). Painovoimahäiriöitä voidaan havaita vain, jos on keino millä mitata, ) pisteen P painovoimakiihtyvyyden g P = W P lisäksi, myös P:n sijainti avaruudessa, suhteessa Maan keskipisteeseen, jotta voisi laskea normaalipainovoima γ P = U P. Nykysin tämä on jopa helppoa GPS:n h avulla; perinteisesti se ei kuitenkaan ollut mahdollista. Siksi painovoimahäiriöitä käytetään vähän. Käytetään mieluummin painovoimaanomalioita, joista lisää jatkossa. H 4.3 Painovoima-anomaliat Normaalipainovoima lasketaan geodeettisten koordinaattien X, Y, Z), vaihtoehtoisesti ϕ,λ, h ), funktiona. Kuitenkin perinteisessä gravimetriakenttätyössä, ennen satelliittipaikannuksen aikakautta, oli käytettävissä geodeettisista koordinaateista vain ϕ ja λ kartalta eikä korkeus 3 Huomaa, että, jos häiriöpotentiaalia T määrittelevän normaalikenttän vertausellipsoidin keskipiste on Maan massakeskipiste, ja normaalikentän oletettu kokonaismassa GM on sama kuin oikean maapallon kokonaismassa, silloin ensimmäiset kahdet asteosuudet T 0 φ,λ ) = T1 φ,λ ) = 0, ja summaksi saa ottaa n=2. Ks. osio 2.12.
90 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Telluroidi Topografia P = mittauspiste Keskimerenpinta geoidi) Ellipsoidi Q h Q ζ H P N Kuva 4.4. Vertausellipsoidi, keskimerenpinta geoidi) ja painovoimamittaus h vertausellipsoidilta. Käytettävissä oli vain korkeus H merenpinnan geoidin) yläpuolella, saatuna vaikkapa valtakunnallisen vaaitusverkon kautta tai pahimmassa tapauksessa barometrisesti. Tämä merkitsee että, vaikka todellinen painovoima g mitataan pisteessä P jonka korkeus meren pinnasta on H P, normaalipainovoima γ lasketaan toisessa pisteessä Q, jonka korkeus vertausellipsoidista on h Q = H P. Ks. kuva 4.4. Toisin sanoen, pisteen P mitattu korkeus merenpinnasta sijoitetaan raa asti vaan normaalipainovoimakaavaan, joka kuitenkin odottaa korkeutta vertausellipsoidista! Tämä erikoinen seikka painovoima-anomalioiden määritelmässä voidaan kutsua vapaan reunaan reuna-arvotehtäväksi free boundary-value problem ). Tämän mukaan lasketaan painovoima-anomaliat seuraavasti: g P = g P γ Q = ) ) g P γ P + γp γ Q = WP = H U ) P UP h h U ) Q h W P U P ) H + ) γ h P h Q H = = T P H + h P H P ) γ H = käyttämällä melkein kaikki ylläolevat kaavat. [ T H + T γ ] γ Viimeinen kaava on tutun näköinen: se on kolmannen reuna-arvotehtävän reuna-ehto Heiskanen ja Moritz, 1967, alaluku 1 17). Se antaa H, P
4.3. Painovoima-anomaliat 91 mahdollisuuden ratkaistaa T ulkoavaruudessa jos g on annettu kaikialla Maan pinnalla. Jos oletetaan, että Maan normaalipainovoimakenttä on pallosymmetrinen, voidaan approksimoida harjoitus: näytä!): g = T r 2 T, 4.4) r missä r = R + H on etäisyyys maapallon keskipisteestä. Sijoittamalla tähän δg:n kaava, ja r = R, saadaan maapallon pinnalla: g = δg 2 T. 4.5) R Tästä saadaan suoraan yllä annettujen T:n ja δg:n spektraalisesityksien avulla: g = 1 + 1) 2) T n = R n=0n 1 R n 1) T n. Tässä on oletettu että T 0, häiriöpotentiaalin keskiarvo koko maapallon pinnan yli, on nolla. Ilmeiseimmin myös T 1 voidaan jättää huomioimatta.) Joskus valitaan seuraava esitystapa, edelleen Maan pinnalla: jossa g = g n, n=2 n=2 g n = n 1 R T n. 4.6) Tästä näkyy, että painovoima-anomaliat eivät voi sisältää n = 1 komponentteja. Kannattaa aina valita koordinaatiston origo Maan massakeskipisteessä, muuta jos se ei ole, ainakaan painovoima-anomaliat eivät muutu. Kaava 4.6 pätee vain maapallon pinnalla, jonka säde on R. Avaruudessa maapallon ulkopuolella saadaan, käyttämällä kaavat 4.3 ja 4.4, vastaava kaava: g = 1 ) R n+1 [n + 1) 2] T n = r n=2 r = 1 ) R n+1 n 1) T n = r n=2 r ) R n+2 = g n. 4.7) r n=2
92 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Taulukko 4.1. Painovoimavaihtelujen suuruusluokat. Ilmiö Koko painovoimasta SI-yksiköissä mgal Koko painovoima 1 9,8 980 000 Paikallinen vaihtelu ±10 4 ±10 3 ±100 Ero päiväntasaajan ja 0,5% 0,05 5000 napojen välillä Ero merenpinnan ja 10 km korkeuden välillä 0,3% 0,03 3000 Gravimetrin mittaustarkkuus ±10 8 10 7 ±10 7 10 6 ±0,01 0,1 4.4 Painovoima-anomalioihin käytetyt yksiköt Painovoiman vaihtelujen suosituin mittayksikkö on milligal, 1 mgal = 10 5 m/s². Myös µgal eli 10 8 m/s² käytetään. Modernissa kirjoissa käytetään myös suoraan µm /s² ja nm/s², jotka kuuluvat muodollisesti SIjärjestelmään. Kuitenkin milligallit ja mikrogallit ovat tutumpia ja vastaavat n. 1 ppm miljoonasosaa) ja 1 ppb miljardisosaa) koko painovoimasta. Painovoiman gradientin mittauksen suosittu yksikkö on Eötvös, symboli E. SI-yksikössä se on 10 9 s 2, mikä vastaa 10 4 mgal/m. Taulukossa 4.1 on annettu muutama arvo ilmiöiden suuruusluokan hahmottamiseksi. Maan pinnalla painovoiman pystygradientin g/ h arvo on keskimäärin noin 0,3 mgal/m = 3000 E. 4.5 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä Kuten edellisessä alaluvussa selitettiin, on painovoimamittaus hieman monimutkaisempi kuin se, että mitataan vain suure W/ r. Tämä on siksi, että vaikka mitataan potentiaalin säteisderivaatta, se tehdään paikalla jota ei tarkasti tunneta. Vaikka tiedettäisiinkin mittauspaikan korkeus merenpinnan ylläpuolella, se ei vielä anna mittauspisteen sijaintia avaruudessa, joka riippuu tämän korkeuden lisäksi mm. myös merenpinnan eli geoidin geopotentiaalikentän tasopinnan paikasta avaruudessa, nimenomaan sen korkeudesta vertausellipsoidin ylä- tai ala-
4.5. Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä 93 puolella. Näin päädytään kolmanteen reuna-arvotehtävään 4. Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä on määrittää kappaleen ulkopuolinen potentiaali V, jos sen pinnalla on annettu lineaariyhdistelma av + b V n, missä a, b sopivat vakiot. Muuttaja n edustaa tässä maapallon pinnan normaalin suuntaa, käytännössä sama kuin r tai h. Fysikaalisessa geodesiassa on annettu, palloapproksimaatiossa, seuraava lineaariyhdistelmä painovoima-anomalia, kaava 4.5): g = T n 2 T. 4.8) R Kaavaa eli reunaehtoa 4.8 kutsutaan nimellä fundamental equation of physical geodesy. Yllä saatiin jo kaavat 2.16 ja 2.19, jotka pätevät yhtä hyvin häiriöpotentiaaliin T kuin yleiseen potentiaaliin V : ) T n = n + 1 R n+1 ) T n φ,λ, n=0 r r ) R n+1 ) T = T n φ,λ. r n=0 Näitä yhdistämällä saadaan [ n + 1 g = 2 ] ) R n+1 ) T n φ,λ, r R r n=0 eli Maan pinnalla R = r): g = n=0 n 1 R T ) def n φ,λ = ) g n φ,λ, jossa suureet g n = n 1 T ) R n φ,λ on määritelty loogisella tavalla. Muista, ) että funktiot g n φ,λ saadaan lasketuksi asteosuusyhtälön 2.15 avulla n=0 kun g φ,λ ) on tiedossa kaikkialla maapallolla. 4 Kolmannen eli sekäreuna-arvotehtävän yhteydessä mainitaan Victor Gustave Robinin 1855 1897), ranskalaisen matemaatikon, nimeä. Silloin Dirichletin ongelma olisi ensimmäinen, Neumannin ongelma toinen reuna-arvotehtävä.
94 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Havaitse myös että termi n = 1 häviää: g 1 = 0. Oletamme myös g 0 = T 0 R = 0, eli todellinen ulkoinen geopotentiaali, ja näin maapallon kokonaismassa GM ja sen volyymi 5 ), on maailmanlaajuisesti keskimäärin sama kuin normaalipotentiaali ja sen olettama kokonaismassa ja ellipsoidin volyymi). Oletus on enemmän tai vähemmän oikeutettu koska GM on satelliitien avulla hyvin tarkasti määritettävissä ja määritettykin, ja modernit normaalipotentiaalimallit kuten GRS80 perustuvat näihin määrityksiin 6. Näin saadaan tämänkin reuna-arvotehtävän ratkaisu spektraaliesityksessä joka siis pätee koko ulkoavaruudessa) käyttämällä asteosuusyhtälöä 2.15: T φ,λ, r ) ) R n+1 ) g n φ,λ = R n=2 r n 1 = R ) 2n + 1 R n+1 g φ,λ ) ) P n cosψ dσ. 4.9) 4π n 1 r σ n=2 Tämä on juuri se reuna-arvotehtävä, joka syntyy jos kaikkialla Maan pinnalla ja merenpinnalla) on annettu painovoima-anomalioita. Integraaliyhtälö, joka vastaa yllä olevaa spektraaliyhtälöä 4.9 tunnetaan Stokesin 7 yhtälönä: Tφ,λ, r) = R 4π σ S ψ, r ) g φ,λ ) dσ, jossa S ψ, r ) ) 2n + 1 R n+1 ) = P n cosψ. 4.10) n 1 r n=2 Alaluvussa 7.1 annetaan tämän funktion suljettu kaava tapaukselle r = R) sekä grafiikka. 5 Itse asiassa ilmakehä mutkistaa tätä asiaa. 6 Huomaa kuitenkin, että GRS80:n ekvaattorisäde on 6378137,0m, kun uudemmat mallit kuten EGM2008 antavat pienemmän arvon 6 378 136,3 m globaalisen keskimerenpinnan sijainniksi. Epävarmuus on edelleen desimetrien luokkaa. 7 Sir George Gabriel Stokes 1819 1903) oli irlantilaissyntyinen, Cambridgessa toimiva, lahjakas matemaatikko ja fyysikko.
4.6. Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi 95 4.6 Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi Kun mitataan tähtitieteellinen leveys- ja pituusaste Φ,Λ ja tulkitaan ne geodeettisiksi ellipsoidisiksi, maantieteellisiksi) koordinaateiksi ϕ, λ, sekä tulkitaan myös potentiaaliero W W 0 pisteen korkeuden h mittana vertausellipsoidista, suoritetaan tavallaan kuvaus, joka lisää jokaiselle pisteelle P vastinpistettä Q, jonka geodeettiset koordinaatit ovat samat kuin pisteen P luonnolliset koordinaatit. Tätä menettelytapaa kutsutaan telluroidikuvaukseksi. Telluroidi on pinta joka seuraa Maan topografisen pinnan muodot, mutta on kaikkialla topografian alapuolella määrällä ζ jos positiivinen, tai sen yläpuolella määrällä ζ muulloin. Tätä suuretta kutsutaan korkeusanomaliaksi. Telluroidikuvaus on tärkeä apuväline Molodenskyn painovoimakenttäteoriassa. Se on kuitenkin aika abstrakti käsite. Voidaan sanoa, että telluroidi on Maan pinnan malli, joka saadaan, jos lähdetään olettamukselta että Maan todellinen potentiaalikenttä on normaalipotentiaali; ja matemaattinen keskimerenpinta eli geoidi, korkeudenmittausten lähtötaso, yhtyy vertausellipsoidiin. Toisin sanoen, telluroidi on Maan topografisen pinnan malli joka saadaan mikäli tulkitaan vaaitut korkeudet tarkemmin, vaaituksesta saadut geopotentiaaliluvut potentiaalieroiksi vertausellipsoidista. Käytännössä kutsutaan usein ζ-arvojen karttaa kvasi-geoidin malliksi. Kvasi-geoidi on yleensä lähellä geoidia, paitsi vuoristossa, missä poikkeamat voivat nousta yli metriin. On kuitenkin muistettava, että korkeusanomalia ζ on määritelty topografian pinnalla, pinta joka voi olla hyvin rosoinen. Tämä merkitsee myös, että kaikki vaihtelut topografian korkeudessa heijastuvat myös kvasi-geoidin vaihteluiksi, sillä tavalla, että kvasi-geoidi korreloituu vahvasti topografian pienten yksityiskohtien kanssa. Ei siis voida sanoa että kvasi-geoidin muoto kuvaa vain Maan potentiaalikentän muotoa. Siinä sotketaan potentiaalivaihtelut ja korkeusvaihtelut yhdeksi sopaksi. Siksi kvasi-geoidin käsite on onnettomasti valittu kompromissi, myönnytys vertauspinta-ajattelulle, joka on oikeasti toimiva vain
96 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet klassisen geoidi-käsitteen puitteissa. Paras pitäytyä Molodenskyn teorian puitteissa kasitteeseen korkeusanomalia, joka on kolmiulotteinen funktio eli kenttä ζx,y, Z) = ζ ϕ,λ, h ). 4.7 Ilma-anomaliat Jos mitataan painovoima g pisteessä P, sen korkeus merenpinnan yläpuolella on H, ja sen leveysaste Φ, voidaan laskea painovoimaanomalia seuraavasti: g P. = gp γh,φ), jossa γh, Φ) on normaalipainovoima, laskettuna korkeudella H ja leveysasteella Φ. Näin määritetään ilma-anomalioita En. free-air anomalies). Linearisoidaan tämä seuraavasti: g P = g P γh,φ) g P γ h,ϕ ) H h) γ dh Φ ϕ ) γ ϕ g P γ 0,ϕ ) h γ γ H h) h dh = g P γ 0,ϕ ) H γ dh, jossa teemme approksimaation, että normaalipainovoiman pystygradientti γ h on vakio8. Näin ollen ilma-anomaliat voidaan laskea yksinkertaisemmin. Normaalikentän painovoimakaava 3.7 antaa leveysasteelle 60 : γ = 974147,516 0,3084494 H +... mgal. Siis lineaarisessa approximaatiossa Maan pinnan lähellä) painovoima heikkenee n. 0,3 mgal jokaista korkeuden metriä kohti. Tätä arvoa on hyvä muistaa. 8 Tarkasti ottaen pitää huomioida että myös leveysaste Φ ei välttämättä ole leveysaste geosentriseen vertausellipsoidiin nähden. Se voi olla tähtitieteellinen leveysaste tai leveysaste jossakin vanhassa kansallisessa koordinaattijärjestelmässä joka käytti epägeosentristä vertausellipsoidia, kuten Suomessa KKJ ja Hayford-ellipsoidi. Tämän aiheuttama virhe on kuitenkin luokkaa 10 3 pienempi kuin erotuksen H h aiheuttama efekti.
4.7. Ilma-anomaliat 97 Kuva 4.5. Ilma-anomalioita Etelä-Suomessa, laskettuina pallofunktiokehitelmästä EGM2008. Data Bureau Gravimétrique International BGI) / International Association of Geodesy. Saantiosoite: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/toolbox/ EGM2008-anomaly-maps-visualization. Likimääräinen kaava ilma-anomalioiden laskemiseksi on silloin g P = g P γ 0 ϕ ) + 0,3084[ mgal/m] H, 4.11) ). ) jossa γ 0 ϕ = γ 0,ϕ, normaalipainovoima merenpinnalla, on vain leveysasteen funktio. Suomen tapaisessa maassa kaava 4.11 on usein riittävän tarkkaa, vaikka nykyisin myös alkuperäisen kaavan 3.7 laskeminen on helppoa. Ilma-anomalioita käytetään laajasti. Yleensä kun puhutaan painovoimaanomalioista, tarkoitetaan juuri ilma-anomalioita. Ne kuvaavat maapallon ulkopuolista painovoimakenttää, vuorineen laaksoineen kaikkineen. Kysymyksiä: 1) Jos painovoima Maan päällä on 9,8 m/s 2, millä korkeudella painovoima häviää yllä mainitun painovoiman pystygradientin 0,3 mgal/m mukaan? 2) Kuinka fysikaalisesti realistista tämä on?
98 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet Vastaukset: 1) Jos gradientti on 0,3 mgal/m, tarvitaan 105 9,8 m = 3267km saavuttaakseen arvoa 0,3 nolla. 2) Ei kovin realistista. Itse painovoimagradientti putoaa nopeasti alkuarvosta 0,3 mgal/m kun siirrytään ylöspain, siksi tämä lineaarinen ekstrapolaatio on yksinkertaisesti väärä. Harjoitus 4 1: Painovoima-anomalioiden spektri Käytä kaava 4.6. Jos oletetaan että painovoima-anomalioiden spektraalikomponenttien g n keskimääräinen koko g n =. 1 ) g n φ,λ dσ 4π ei riipu valitusta asteluvusta n, miten sitten T n riippuu n:stä? σ Eli: mitkä painovoimakentän asteluvut ovat suhteessa vahvimmin edustettuna häiriöpotentiaalissa, ja mitkä asteluvut painovoima-anomalioissa? Harjoitus 4 2: Luotiviivapoikkeamat ja geoidin kaltevuus Jos pohjois-eteläsuuntaisissa luotiviivoissa Suomen alueella on yhden kaarisekunnin systemaattinen virhe, minkälainen virhe se aiheuttaa geoidikorkeuksien erossa N H N K Helsingin ja Kilpisjärven välillä etäisyys noin 1000 km)? Harjoitus 4 3: Painovoima-anomalia, geoidin korkeus Suomessa eräässä paikassa painovoima-anomalia ilma-anomalia) on g = 100mGal = 10 3 ms 2. Samassa paikassa häiriöpotentiaali T on 200m 2 s 2. 1) Käyttämällä kaava g = T n 2 R T, laske T n, ja vertaa se suureen 2 T R T kanssa. Kumpi termi n vai 2 R T) dominoi? 2) Käyttämällä Brunsin kaava N = T γ, jossa γ on keskimääräinen painovoima 9.8ms 2, laske pisteen geoidikorkeus N.
5. Geofysikaaliset reduktiot 5.1 Yleistä Näimme, että integraaliyhtälöt, kuten Greenin kolmas lause 1.24, tarjoavat mahdollisuuden laskea Maan koko ulkopuolinen potentiaalikenttä sekä kaikki potentiaalista laskettavat suureet kuten painovoimakiihtyvyys jne.) havainto-arvoista tässä tapauksessa suureista V ja V/ n vain reunapinnalla. Green III on vain yksi esimerkki monesta: jokainen integraalilause on erään reuna-arvotehtävän ratkaisu. Reunapinnan valinnan suhteen on olemassa kolme vaihtoehtoa: 1) Valitaan Maan topografinen pinta. 2) Valitaan keskimerenpinta, tarkemmin, keskimerenpinnan lähellä oleva ekvipotentiaalipinta, geoidi. 3) Valitaan vertausellipsoidi. Vaihtoehto 1 on kehittänyt etenkin Molodenskyn Molodensky ym., 1962) koulukunta Neuvostoliitossa. Menetelmän etuna on, että painovoimareduktiota ei tarvita, koska kaikki merkittävät massat ovat jo reunapinnan sisällä. Sen haittana on, että topografian usein monimutkainen muoto on otettava huomioon, kun reunaarvotehtävä formuloidaan ja ratkaistaan. Vaihtoehto 2 on klassinen geoidi- tai geopotentiaalimääritys. Tässä tapauksessa geofysikaaliset reduktiot painovoimadatalle ovat tarpeen, koska Maan massoista osa on laskentapinnan ulkopuolella. Menetelmän mutkana on silloin myös, että saatu geopotentiaali- 99
100 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot tai geoidiratkaisu ei ole alkuperäisen massajakauman potentiaali/geoidi, vain redukoidun massajakauman. Kutsutaan tätä pintaa ko-geoidiksi. Tarvitaan palautusaskel, jossa määritetään ja peruutetaan tämän reduktiovaiheen vaikutus geopotentiaaliin ja geoidiin 1. Kirjallisuudessa tätä menetelmää kutsutaan myös Remove-Restore menetelmäksi. Vaihtoehto 3 on käytetty harvoin, koska painovoimamittaukset ei ole ollut perinteisesti mahdollista tehdä absoluuttisesti geosentrisesti tai vertausellipsoidin suhteen) tunnetussa paikassa. Nykyisin tämä onnistuisi GNSS:n avulla; esimerkiksi Etelämantereella ja Grönlannin sisämaassa näin voisi tehdä kun ei ole olemassa merenpintaan sidottua korkeusjärjestelmää. 5.2 Bouguer-anomaliat Ilma-anomaliat riippuvat topografiasta. Tämä on selvä, koska itse painovoima sisältää topograafisten massojen vetovoimavaikutuksen. Ilmaanomaliakartassa näkyy samat pienet yksityiskohdat kun topografiassa. Yksi tapa poistaa topografian vaikutus on ns. Bouguer 2 -reduktio. 5.2.1 Laskenta Lasketaan homogeenisen laatan vaikutus painovoimaan. Oletetaan että laatta on äärettömän kokoinen; paksuus d, ainetiheys ρ ja pisteen P korkeus laatan alapinnasta H. Ks. kuva 5.1. Vetovoima pisteessä P joka 1 Tämä vaikutus kutsutaan epäsuoraksi vaikutukseksi. 2 Pierre Bouguer 1698 1758) oli ranskalainen hydrografiaprofessori, joka osallistui Maan muotoa koskevaan yhteiskunnalliseen keskusteluun ja 1735 1743 johti Ranskan Tiedeakatemian Perussa Etelä-Amerikaassa astemittausta suorittavaa retkikuntaa samaan aikaan kuin De Maupertuis suoritti vastaava Tornionlaakson astemittaus Lapissa. Geodesian lisäksi hän harrasti myös tähtitiedettä.
5.2. Bouguer-anomaliat 101 z P β H l d s dm x y Kuva 5.1. Bouguer-laatan vetovoima. symmetriasyystä osoittaa suoraan alaspäin) saadaan integroimalla 3 : a =. ˆ cosβ d ˆ 2π ˆ π/2 cosβ l a = G l 2 ρdv = Gρ l 2 dβ sdα dz = cosβ = 2πGρ ˆ d ˆ π/2 0 Tässä integraali ja lopputulos on 0 s dβdz = 2πGρ l ˆ π/2 0 0 0 0 ˆ d ˆ π/2 0 0 sinβ dβdz. sinβ dβ = [ cosβ ] π/2 0 = 1, a = 2πGρ d. 5.1) Tämä on Bouguer-laatan vetovoiman kaava. Sivutuloksena saadaan ympyrän muotoisen levyn vetovoima, säde r: ˆ β0 z) 0 ja koko integraali Integraalifunktio on ˆ sinβ dβ = [ cosβ ] β 0 z) 0 = 1 cos β 0 z) ), 2πGρ ˆ d 0 [ ] H z 1 dz. H z) 2 + r 2 H z H z) 2 + r 2 dz = H z) 2 + r 2. Integraalirajojen sijoitus antaa ˆ [ ] d H z 1 dz = d + H d) 2 + r 2 H 2 + r 2. 0 H z) 2 + r 2 3 Tässä on käytetty cosβds = ldβ ds = l dβ, kuten on oikea kun muunnetaan z, s,α) koordinaateista z,β,α ) cosβ koordinaateiksi.
102 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Laskentapiste P II Bouguer-laatta I d = H I Topografia Kuva 5.2. Bouguer-laatta topografian approksimaationa. Määrittämällä lz) =. H z) 2 + r 2 saadaan koko integraaliksi 2πGρ [d + ld) l0)]. Limiitissä r ja siis ld) l0)) tämä on identtinen kaavan 5.1 kanssa. Bouguer-anomaliat lasketaan merenpinnan eli geoidin yläpuolella olevien maankuoren massojen vetovoiman poistamiseksi. Todellinen topografia approksimoidaan Bouguer-laatalla, ks. kuva 5.2. Meren peittämien alueiden käsittelyyn ei ole olemassa standarditapaa; joskus piirretään kartta, jossa maa-alueilla on Bouguer-anomalioita ja merialueilla ilma-anomalioita. Laskenta tapahtuu seuraavalla tavalla: g B = g FA 2πGρH = g FA 0,1119 H, 5.2) missä oletetaan laatan tiheydeksi ρ usein käytetty maankuoren keskitiheyden arvo, ρ = 2670 kg/m³. Sijoittamalla tähän kaava 4.11 saadaan g B = g P γ 0 ϕ ) + [0,3084 0,1119] H = gp γ 0 ϕ ) + 0,1965 H. 5.3) Suureita g B kutsutaan yksinkertaisiksi) Bouguer-anomalioiksi. Eroa Bouguer-laatan vetovoiman ja todellisen topografian vetovoiman välillä kutsutaan maastokorjaukseksi kuvassa alueet I ja II). Sen laskemiseen palataan myöhemmin.
5.3. Maastoefektit ja maastokorjaus 103 Topografia Ilma-anomalia Geoidi Bouguer-anomalia Kuva 5.3. Eri anomaliatyyppien käyttäytyminen vuoristoisessa maastossa. 5.2.2 Ominaisuudet Bouguer-anomaliat ovat, toisin kuin ilma-anomaliat jotka liikkuvat nollan molemmin puolin, etenkin vuoristossa vahvasti negatiivisia. Esim. jos vuoriston keskikorkeus on H = 1000 m, sisältävät alueen Bougueranomaliat tasta johtuen 1000 0,1119 mgal) = 112 mgal systematiikkaa; noin 100 mgal jokaista korkeuskilometriä kohti. Bouguer-anomalioiden etuna on niiden väihäisempi vaihtelu paikan kanssa. Siksi ne soveltuvat etenkin painovoima-arvojen interpolaatioon ja prediktioon, tilanteissa missä käytettävissä oleva gravimetrinen aineisto on harva. Kuitenkin topografian korkeudet on silloin oltava tiedossa. 5.3 Maastoefektit ja maastokorjaus Yksinkertaisella Bouguer-korjauksella ei painovoima-anomalioista saa poistetuksi tarkasti koko topografian vetovoimavaikutus. Jos katsotaan kuvaa 5.2, näkyy, että tapahtuu kahdenlaiset virheet: alueiden I vetovoima lasketaan mukaan, vaikka siellä ei ole ainetta alueiden II vetovoima, missä on ainetta, jatetään huomioimatta.
104 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Kuva 5.4. Maastokorjattuja Bouguer-anomalioita Etelä-Suomessa, laskettuna pallofunktiokehitelmästä EGM2008. Data Bureau Gravimétrique International BGI) / International Association of Geodesy. Saantiosoite: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/toolbox/ EGM2008-anomaly-maps-visualization. Huomaa miten verrattuna kuvaan 4.5 sivulla 97, Bouguer-anomaliat ovat vahvasti systemaattisesti negatiivisiä vaikka tämä on osittain postglasiaalisen isostaattisen epätasapainon aiheuttama, ja näkyy myös ilmaanomaliakartassa. Ne ovat myös sileämpiä, vaikka se ei tässä helposti näy, kun Etelä-Suomi on jo aika tasaista. Molemmat virheet toimivat samaan suuntaan! Koska alueet I ovat laskentapisteen P alapuolella, niiden vetovoima joka yksinkertainen Bouguer-reduktio korjaa pois toimisi alaspäin. Ja koska alueet II ovat laskentapisteen yläpuolella, niiden vetovoima joka yksinkertaisessa Bouguer-reduktiossa ei korjata pois toimii ylöspäin. Tehty virhe on samansuuntainen kuin edellisessä tapauksessa. Maastokorjaus on aina positiivinen! Kirjoitetaan g B = g B + TC, missä TC terrain correction, on positiivinen. Suuretta g B kutsutaan maastokorjatuksi Bouguer-anomaliaksi.
5.3. Maastoefektit ja maastokorjaus 105 H x, y) P Topografia H x, y ) II I H x, y ) x, y Geoidi x, y Kuva 5.5. Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä. Maastokorjaus lasketaan numeerisen integroinnin avulla. Kuva 5.5 näyttää prisma-menetelmää, ja miten molemmat prismat, I ja II, johtavat positiiviseen korjaukseen, koska prisma I lisätään ja prisma II poistetaan laskennallisesti maastokorjausta soveltaessa. Tarvitaan digitaalinen maastomalli, DTM, joka on oltava erityisesti laskentapisteen ympäri erittäin tiheä: kokemuksen mukaan 500 m on suurin sallittu pisteväli Suomen kaltaisessa maastossa, vuoristoissa tarvitaan jopa 50 m. Maastokorjauksen systemaattisen luonteen seurauksena liian harvan digitaalisen maastomallin käyttö aiheuttaa vakavaakin systemaattista virhettä vajavaisesti korjatuissa painovoima-anomalioissa. Maastokorjauksen laskentaan prismamenetelmällä käytetään seuraava kaava oletuksina maankuoren vakiotiheys ρ ja litteä Maa) suorakulmaisissa karttakoordinaateissa x, y: TC x, y) = 1 2 Gρ ˆ +D D ˆ +D D H x, y ) H x, y) ) 2 l 3 dx d y, jossa { } 1 2 l = x x) 2 + y y) 2 + 2 H x, y ) H x, y)) [ ] T on etäisyys laskentapisteen x y H x, y) ja prisman keskipisteen, [ sen keskiakselin keskipisteen x y H x, y) + H x, y )) ] T välillä. Tietenkin tämä on vain approksimaatio, mutta se toimii riittävän tarkasti maastossa, jossa kaltevuudet eivät yleensä ylity 45. Ylläolevassa integraalissa raja-arvo D on tavallisesti kymmeniä tai satoja kilometrejä. Viime tapauksessa Maan kaarevuus alkaisi jo vaikuttaa, mitä kaava ei ota huomioon. 1 2
106 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Annettuna: painovoima g maastossa Maastokorjaus Ilmareduktio merenpintaan Bouguerlaatta- korjaus Vähennä merenpinnan normaalipainovoima: γ 0 ϕ) Kuva 5.6. Bouguer-anomalian laskennan vaiheet. Huomaa, että reduktio merenpintaan käyttää painovoiman ilmagradientin standardiarvoa 0,3084 mgal/m, siis normaalipainovoiman pystygradientti. Maastokorjauksen TC arvot vaihtelevat milligalin murto-osasta Etelä- Suomessa) satoihin milligalleihin korkeassa vuoristossa). Suomen käsivarrella maastokorjaukset voivat olla kymmeniä milligalleja. Kuvassa 5.6 esitetään Bouguer-anomalian laskennan vaiheet painovoimahavainnosta maastokorjauksen, Bouguer-laattakorjauksen ja ilmareduktion kautta. 5.3.1 Esimerkki: Maastokorjauksen soveltaminen erikoistapauksessa Annettuna erikoinen maastomuoto, kuvassa 5.7 kolmiulotteisvaikutteisesti esitettynä. Tässä korkeuserot ovat PQ = 300m ja QQ = 200m. Kallion tiheys on maankuoren standarditiheys, 2670 kg/m³. P Q Q Merenpinta Kuva 5.7. Erikoinen maaston muoto. Pystysuora kallioseinämä PQ:n kohdalla on myös kartalla suora jaulottuu äärettömyyteen molempiin suuntiin.
5.3. Maastoefektit ja maastokorjaus 107 Kysymykset: 1) Laske pisteessä P maastokorjaus vihje: käytä Bouguer-laatan vetovoimakaava). Etumerkki? 2) Laske pisteessä Q maastokorjaus. Etumerkki? 3) Jos pisteessä P on annettu, että ilma-anomalia on 50 mgal, paljonko on sitten pisteen Bouguer-anomalia? 4) Jos pisteessä Q on annettu että Bouguer-anomalia on 22 mgal, paljonko on sitten pisteen ilma-anomalia? Vastaukset: 1) Pisteen P maastokorjaus on painovoiman muutos, kun täytetään maasto pisteen vasemmalla puolella 300 metriin saakka. Tämä merkitsee puolinaisen Bouguer-laatan, paksuus 100 m, lisäämistä P:n tason alapuolelle. Vaikutus projisoituna vertikaalisuuntaan) on TC = 1 2 2πGρ H = 1 2 0,1119 mgal/m 100m = 5,595mGal. 2) Pisteen Q maastokorjaus on painovoiman muutos, jos otetaan pois pisteen oikealla puolella oleva, 100 m paksua puolinainen Bouguer-laatta. Sen pystysuuntainen painovoimavaikutus on, kuten yllä laskettu, TC = 5,595mGal, ja, koska pisteen Q tason yläpuolella oleva puolilaata otetaan pois, on TC:n etumerkki taas positiivinen. 3) Ilma-anomaliasta Bouguer-anomaliaksi: g FA P) 50,000mGal TC +5,595 mgal Bouguer-laatan 33,570 mgal poisto, 300 m g B P) 22,025mGal g FA +TC -Laatta g B
108 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot 4) Bouguer-anomalista ilma-anomaliaksi: g B Q) Bouguer-laatan 22,000mGal +23,800 mgal lisäys, 200 m TC:n poisto g FA Q) 5,595 mgal 40,205mGal g B +Laatta TC g FA 5.4 Bouguer-palloanomaliat Viime aikana on myös laskettu Bouguer-palloanomalioita, esim. Balmino ym. 2012), Kuhn ym. 2009), Hirt ja Kuhn 2014). Tässä laskennassa koko maapallon topografia ja syvyystieto otetaan huomioon pallogeometriassa Maaellipsoidin litistys aiheuttaa tässä laskennassa olemattomman pienen virheen). Tämä aiheuttaa neljä erilaisuutta Bouguer n laatta-anomalioihin verrattuna: 1) Bouguer-pallokuoren, paksuus H, vetovoima on 4πGρH, kaksi kertaa vastaavan Bouguer-laatan vetovoima. 2) Valtamerten syvyydet otetaan huomioon 4 korvaamalla merivettä maankuoren standardikalliolla; tama vaikuttaa anomalioihin positiivisesti. 3) Myös maapallon kaukaisten alueiden topografia- ja syvyystiedot otetaan huomioon realistisesti. Koska valtaosa Maan pinnasta on syvien valtamerten peitossa, aiheuttaa tämä vahvaa positiivista yleissystematiikkaa, joka alavilla alueilla kuten Etelä-Suomivoi olla jopa paikallisen topografian aiheuttamaa negatiivista systematiikkaa vahvempi! 4) Koska nyt myös maastokorjaus lasketaan koko maapallon yli pallogeometriassa, se ei ole enää pieni luku, ja saatta olla vahvasti negatiivinenkin. 4 Näin voi tehdä myös Bouguer n laattakorjauksen yhteydessä, ja usein tehdäänkin.
5.5. Helmert-kondensaatio 109 Laatta- ja pallo-bouguer-anomalioiden välillä on olemassa suuri systemaattinen ero, joka on kuitenkin hyvin pitkäaaltoinen, ja jopa Australian kokoisella alueella lähes vakio, 18,6 mgal muutaman milligalin sisällä. Yksityiskohdat Bouguer-anomalioiden kartoissa ovat samannäköisiä Kuhn ym., 2009). Huvin vuoksi lasketaan globaalisen täydellisen Bouguer-reduktion netto massa-efektin. Mantereiden topografian keskikorkeus on 800 m, kun mantereiden kokonaispinta-ala on 29%. Valtameren keskisyvyys on 3700 m, mikä vastaa täytettävään kallioksi muunneltuun syvyyteen 2,67 1,03 3700 m = 2272m, jos maankuoren kallion oletettu tiheys on 2,67 2670 kg/m 3 ja meriveden tiheys 1030 kg/m 3, ja valtameren kokonaispintaala on 71%. Aluepainotettu summa on siis 0,29 800 0,71 2272) m = 1381 m. Tulkinta: Topografiaa ei ole riittävästi täyttämään valtamerta, ei silloinkaan jos saamme puristaa merivettä standardikallioksi. Jos yritämme tätä puskutraktorikoetta, meiltä jää uupumaan 1381m. Jos sen sijaan lisätään standardikalliota nykyiseen merenpintaan saakka näinhän on Bouguer-pallokorjaus määritetty lisätään avaruudesta käsin havaittavaan Maan vetovoimaan määrä 4πGρ 1381m = 309mGal. Globaalinen keskimääräinen Bouguer n laatttareduktio, kuten myös erotus Bouguer n laatta- ja palloreduktioiden välillä maailmanlaajuisesti keskimäärin, on nyt puolet tästä, +155 mgal. Jopa rannikolla, nollakorkeudella merenpinnasta, Bouguer n palloanomaliat ovat tämän suuntaisia! 5.5 Helmert-kondensaatio Usein käytetty, Friedrich Robert Helmertin 5 ehdottama keino poistaa geoidin ulkopuolisten massojen vaikutus on kondensaatio. Tässä menetelmässä siirretään matemaattisesti kaikki mannermassat suoraan alaspäin keskimerenpintaan yksinkertaiseksi massatiheyskerrokseksi 5 Friedrich Robert Helmert 1843 1917) oli etevä saksalaisgeodeetti, matemaattisen ja tilastollisen geodesian tutkija.
110 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Ekvipotentiaalipinta g g Topografia Kondensaatiokerros Kuva 5.8. Helmert-kondensaatio ja sen aiheuttamat muutokset painovoimakentässä. Oikealla F.R. Helmert, kuva Humboldt-yliopiston kokoelma, Berliini. κ = Hρ tarkemmin: κ = Hρ 1 + H ) R 5.4) pallon muotoisella maapallolla, säde R missä H on topografian korkeus merenpinnasta ja ρ sen keskimääräinen tiheys. Helmert-kondensaation etu Bouguer-reduktion verrattuna on, että massaa ei poisteta. Bouguerreduktiohan on topografisten massojen laskennallinen poisto suurella mittakaavalla. Siksi, toisin kuin Bouguer-reduktiossa, Helmert-kondensaatiossa painovoima-anomaliat eivät muutu systemaatisesti. Liitteessä D johdetaan sarjakehitelmät pallogeometriassa, jotka kuvaavat topografian sekä ulkoista että sisäistä potentiaalia itse topografian H φ,λ ) ja sen eri potenssien asteosuuksien funktioina. Tässä laajahkosti esitetty johtamistapa käytetään Maan painovoimakentän teoriassa paljon topografian painovoimavaikutuksen mallintamiseksi. Teoriassa suppenemiskysymykset ovat vaikeita, vaikka emme tässä kiinnitä näihin erityistä huomiota. Koska koko aihe on melko matematiikka-intensiivinen ja hieman erikoinen, olemme tehneet sitä oma liite.
5.6. Isostasia 111 Kuva 5.9. Friedrich Robert Helmert, Humboldt-yliopiston kokoelma, Berliini. 5.6 Isostasia 5.6.1 Klassisia hypoteeseja Jo 1700- ja 1800-luvun aikana, mm. Bouguer n työn ansiosta Etelä- Ameriikassa, sekä myös brittigeodeettien ansiosta Intian Himalaijoissa, oltiin tietoisia siitä, että vuoristot eivät ilmeisesti olleet vain kivikasoja maankuoren päällä; vuorien ympäröivä painovoimakenttä, tarkemmin luotiviivan poikkeamat, voitiin selittää vain olettamalla, että jokaisen vuoriston alla olisi kevyemmästä maankuoren kiviaineesta koostuva juuri. Tämän juuren aiheuttajaksi arveltiin maan kuoren lähes hydrostaatinen käyttäytyminen geologisella aikaskaalalla. Tämän hydrostaatisen tasapainon oletus kutsuttiin isostasia-hypoteesiksi; myös isostaatiseksi kompensaatioksi. Silloin, toisin kuin nykyisin, ei vielä ollut mahdollista saada fysikaalisin menetelmin seismologia) tarkkaa tai edes oikeaa kuvaa siitä, minkä muotoiset nämä vuoristojen juuret oikein olivat. Siksi kehiteltiin yksikertäistettyjä työhypoteesejä. Vanhempia isostaatistia hypoteesejä on Pratt-Hayford hypoteesi. Sen
112 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Luotiviiva- poikkeamat Vuori Geoidi maankuori Juuri Maan vaippa Kuva 5.10. Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin. ehdotti J.H. Pratt 6 1800-luvun keskivaiheilla Pratt, 1855, 1858, 1864), ja J.F. Hayford 7 kehitti laskentaan tarvittavat matemaatiset apuvälineet. Tämän hypoteesin mukaan vuoren alla olevan juuren tiheys vaihtelisi vuoren korkeuden mukaan, niin että korkeimpien vuorten alla olisi kevyin materiaali, ja raja tämän kevyen juuriaineen ja tiheämmän Maan vaipan materiaalin välillä olisi vakiosyvyydellä. Tämä malli, jota nykyisin ei enää paljon käytetä, näkyy kuvassa 5.11. Toinen klassinen isostaatinen hypoteesi on G.B. Airyn 8 käsialaa. Koska W.A. Heiskanen 9 käytti sitä laajasti ja kehitti sen matemaattista muotoa, sitä kutsutaan Airy-Heiskanen malliksi. Tässä mallissa oletetaan että juuren ainetiheys on vakio, ja että isostaatista kompensaatiota saadaan aikaan vaihtelemalla juuren uppoamissyvyyttä Maan 6 John Henry Pratt 1809 1871) oli brittiläinen pappismies ja matemaatikko joka toimi Kolkatassa Intiassa arkkidiakonina. http://tigger.uic.edu/ ~rdemar/geol107/pratt.htm. 7 John Fillmore Hayford 1868 1925) oli yhdysvaltalainen geodeetti joka tutki isostasiaa ja Maan muotoa. 8 George Biddell Airy 1801 1892) oli englantilainen matemaatikko ja tähtitieteilijä, Astronomer Royal 1835 1881. 9 Veikko Aleksanteri Heiskanen 1895 1971), the great Heiskanen http: //en.wikipedia.org/wiki/beyond_sleep) oli etevä suomalainen geodeetti, joka toimi myös Ohiossa Yhdysvalloissa. Hän on tunnettu isostasian ja maailman geoidin tutkimuksistaan. Ks. Kakkuri 2008).
5.6. Isostasia 113 Vuoristo Meri Kuori Vaippa Kompensaatiosyvyys Kompensaatiotaso Kuva 5.11. Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi. vaippaan. Nykytietojen mukaan tämä vastaa paremmin sitä, mitä Maan sisällä todella tapahtuu. Tämä hypoteesi näkyy kuvassa 5.12. 5.6.2 Laskentakaavoja Airyn isostasia-hypoteesi olettaa, että jokaisessa paikassa aineen pystypylvään kokonaismassa on sama. Eli, olkoon maankuoren tiheys ρ c, vaipan tiheys ρ m, ja meriveden tiheys ρ w ; meren syvyys d, kuoren paksuus Vuoristo Meri σ w Kuori t 0 σ c Vuoriston juuri Vastajuuri σ m Vaippa Kuva 5.12. Airy-Heiskanen isostaattinen hypoteesi.
114 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot d H t r t 0 t Vastajuuri r Juuri Kuva 5.13. Isostaattisen kompensaation suureita. t ja topografian korkeus H; meillä on tρ c + dρ w t + d)ρ m = c t = d ρ m ρ w ) + c ρ m ρ c merellä, ja tρ c t H)ρ m = c t = Hρ m c ρ m ρ c mantereella; missä c on sopiva vakio 10. Tässä on jätetty huomioimatta Maan kaarevuus, eli tässä käytetään litteän Maan malli. Mantereen alla vuoriston juuren syvyys on Samoin meren alla: r = t H = Hρ m c Hρ m hρ c = Hρ c c. ρ m ρ c ρ m ρ c ρ m ρ c r = t + d = d ρ m ρ w ) + c ρ m ρ c + dρ m dρ c ρ m ρ c = d ) ρc ρ w + c. ρ m ρ c Huomaa, että vakio c on mielivaltainen ja ilmaistaa se tosiasia, että taso mistä lasketaan juuren syvyys eli, hieman epätarkasti, kuoren keskimääräinen paksuus voidaan valita mielivaltaisesti. Eri lähestymistapa: c:n sijasta käytetään nollatopografian kompensaatiotaso t 0, jota lasketaan yo. kaavoista asettamalla H = d = 0: t 0 ρc ρ m ) = c. 10 Dimensioltaan paine : Arkimedeen lain mukainen kuoren plus meriveden) patsaan paine vähennettynä syrjätyn vaippa-aineen patsaan paineella.
5.6. Isostasia 115 Tästä saadaan mantereen alla: ja meren alla: r = Hρ c t 0 ρc ρ m ) ρ m ρ c = t 0 + H ρ c ρ m ρ c, 5.5) r = d ρ c ρ w ) + t0 ρc ρ m ) ρ m ρ c = t 0 d ρ c ρ w ρ m ρ c, 5.6) jonkin verran yksainkertaisempia kaavoja, jotka on myös intuitiivisempia: Hρ c + r) ρ m ρ c ) d) ρ c ρ w ) + r) ρm ρ c ) = t 0 ; = t 0. Eli poikkeama tiheyskontrasti) = vakio. rajapinnat Kuitenkin eri isostaatisten hypoteesien vaikutus painovoimaan on aika lailla samanlaista; painovoimamittauksista ei voida erottaa hypoteesit toisistaan. Hypoteesin vaikutus geoidiin on vahvempaa. 5.6.3 Esimerkki: Norja Etelä-Norjan Hardangervidden ylänkö on keskimäärin 1100 m merenpinnan yläpuolella. Se on Euroopan laajin puolitasanko, kansallispuisto ja suosittu turistikohde. Sen läpi kulkee Bergensbanen, Pohjois- Euroopan korkein linjarautatie. Norjanmeri on Atlantin valtameren osa Norjan rannikon edessä. Se ei kuulu mannerjalustaan ja on keskimäärin 2 km syvä. Kysymyksiä: 1) Kuinka syvällä Hardangerin ylängön juuri on kompensaatiotason t 0 alapuolella? 2) Mikä on Norjanmeren vastajuuren negatiivinen syvyys saman kompensaatiotason suhteen? 3) Mikä on Hardangerin ylängön juuren suhteellinen syvyys verrattuna lähellä olevaan Norjanmereen? Vastauksia:
116 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Keski-Atlantin selänne Laattaliike Syvänmeren hauta Meri Kuori Litosfääri Conradin rajapinta Mohorovičićin rajapinta Konvektio Subduktio Astenosfääri Litosfäärin alapinta Vaippa Subduktio 660 km:n rajapinta Kuva 5.14. Isostasian nykykäsitys. 1) Käytä yhtälö 5.5, joka antaa r t 0 = H ρ c 2670 kg/m 3 = 1100m ρ m ρ c 3370 2670 = 4196m. kg/m 3 Tässä käytettiin standardiarvot maankuoren ja Maan vaipan kallion tiheydeksi. 2) Käytä yhtälö 5.6, joka antaa r t 0 = d ρ c ρ w 2670 1027 kg/m3 = 2000m ρ m ρ c 3370 2670 = 4694m, kg/m 3 jossa on lisäksi käytetty meriveden tiheyden standardiarvoa. 3) Syvyyskontrasti juuren ja vastajuuren välillä on 4196 4694) m = 8890 m vertailun vuoksi on Everestin korkeus 8848 m merenpinnan yläpuolella). 5.6.4 Isostasian nykykäsitys Nykyisin meillä on paljon parempi käsitys Maan sisäisestä tilasta. Kuitenkin isostasian käsite on edelleenkin voimassa. Realistisemman kuvan Maan sisäisestä rakenteesta antaa kuva 5.14. Nykytutkimuksen tärkeä kiinnostuksen kohde on Maan jäämassojen, kuten mannerjäätikköiden, kasvamisen ja sulaamisen vaikutus maan-
5.7. Isostaattiset reduktiot 117 kuoren pystyliikkeisiin. Tähän sisältyy sekä jaamassojen vaihtelun suora vaikutus että aiheuttuneen valtameren vesimassojen vaihtelun vaikutus. Ns. paleotutkimus kohdistuu jääkausisyklin vaihteluihin, kun taas myös modernit jäätikköiden vetäytymiset, esim. Alaskassa ja Huippuvuorilla, aiheuttavat omaa, havaitettavissa olevaa alueellista maankuoren nousua. Lisää luvussa 11. 5.6.5 Esimerkki: Fennoskandian maannousu Viime jääkauden huipulla, noin 20 000 vuotta taaksepäin, Fennoskandian päällä oli mannerjäätikkö jonka paksuus oli maksimissaan 3 km. Kysymyksiä: 1) Kuinka syvä oli jääkuorman jättämä lommo Maan pinnalla, olettaen, että se oli isostaattisesti kompensoituna? 2) Tällä hetkellä maa nousee Fennoskandian keskellä, missä jään paksuus oli maksimissaan, nopeudella 10 mm/a. Kauanko kestäisi tällä tahdilla lommon häviäminen? Vastauksia: 1) Oletetaan jään tiheydeksi 920 kg/m 3. Silloin, jos ylävaipan tiheys on 3370 kg/m 3 huomaa, että jää syrjää Maan vaipan materiaalia, maankuori vain välittää kuormitusta! Ks. kuva 11.1a saamme lommon syvyydeksi: H = 3000m 920 kg/m 3 3370 kg/m 3 = 819m. 2) Tahdilla 10 mm/a se kestää 819m/0,01m/a = 81 900 vuotta yhteensä. Osa tästä noususta on jo toteutunut viime jääkauden lopun jälkeen. Todellisuudessa tietenkin nousutahti on hidastunut huomattavasti ajan myötä, ja tulee hidastumaan vastaisuudessakin. 5.7 Isostaattiset reduktiot Topografian sekä sen isostaattisen kompensaation laskennallista poistoa painovoimakentän mitatuista suureista kutsutaan isostaattiseksi reduktioksi. Sillä on kahdenlainen tarkoitus.
118 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot 1) Poistamalla mahdollisimman paljon pinnallisia efektejä painovoimakentältä jää sellainen kenttä missä vain Maan syvien kerrosten vaikutus on jäljellä. Tämä kelpaa geofysikaaliseen tutkimukseen. 2) Nämä pinnalliset efektit ovat myös yleensä hyvin paikallisia: spektraalikielellä hyvin lyhytaaltoisia. Poistamalla niitä saadaan jäännöskenttä joka on paljon sileämpi, ja jota voidaan interpoloida eli predikoida paremmin. Tämä on tärkeä etenkin alueilla missä oikeasta mittausaineistosta on pulaa, kuten valtameret, aavikot, napa-alueet jne. Esimerkiksi isostaattiset painovoima-anomaliat, ilma-anomaliat joihin on sovellettu isostaattinen reduktio, ovat hyvin sileitä kuten myös Bouguer-anomaliat); niiden prediktio-ominaisuudet ovat hyviä. Kuitenkin, toisin kuin Bouguer-anomaliat ovat isostaatiset anomaliat keskimäärin nolla. Niistä puuttuu se suuri systematiikka joka tekee Bougueranomaliat vahvasti negatiivisiksi etenkin vuoristo-alueilla ks. alaluku 5.2). Tämä johtuu tietysti siitä, että isostaattinen reduktio on vain massojen siirtäminen paikasta toiseen vuoristosta saman vuoriston alla oleviin juuriin, joiden massavajaus on melko tarkasti sama kuin korkeasti merenpinnan yläpuolella nousevan vuoriston oma massa eikä massojen poistaminen, kuten Bouguer-reduktion tapauksessa. Isostaattisessa reduktiolaskennassa käytetyt reduktiomenetelmät ovat samanlaisia kuin muissa reduktioissa ja niitä käsitellään myöhemmin: numeerinen integrointi avaruusdomeenissa hila-integrointi, spherical cap, pienimmän neliösumman kollokaatio, finiitit elementit jne. tai spektraalidomeenissa FFT, fast collocation, jne.). Käytetty hypoteesi on mielenkiintoisempi kysymys. Perinteisesti on käytetty Pratt tai Airy hypoteesejä, Hayfordin tai Heiskasen tai Vening Meineszin menetelmäksi kehittäminä. Uudempi kehityssuunta on käyttää oikeaa mittausdataa seismisestä tomografiasta Maan sisäisen rakenteen mallintamiseksi. Oikean mittausdatan avulla, mikäli luotettava, pitäisi päästä parempiin tuloksiin.
5.8. Isostaattinen geoidi 119 Kuva 5.15. Isostaattisia painovoima-anomalioita Etelä-Suomessa. Airi- Heiskanen, kompensaatiosyvyys 30 km. Data Bureau Gravimétrique International BGI) / International Association of Geodesy, World Gravity Map -hanke. Saantiosoite: http: //bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/toolbox/wgm2012- maps-vizualisation-extraction. Huomaa, että tässä paksun ja jäykän Fennoskandian kilven päällä topografian paikalliset yksityiskohdat eivät ole isostaattisesti kompensoituja, ja kartta näyttää aika samanlaiselta kuin ilma-anomaliakartta 4.5 sivulla 97. 5.8 Isostaattinen geoidi Tutkitaan miten isostaattinen geoidi, tarkemmin isostaattisen reduktion ko-geoidi, lasketaan. Isostaattinen reduktio on yksi menetelmävaihtoehto geoidin ulkopuolisten massojen laskennalliseksi poistamiseksi, reuna-arvotehtävän muodostamiseksi geoidin pinnalla. Voidaan näyttää Heiskanen ja Moritz, 1967 s. 142), että isostaattinen ko-geoidi on mannerten alla jopa metrien verran geoidin alapuolella, ts. epäsuora vaikutus Restore-vaihe ) on tätä luokkaa. Valtamerella vastaavasti isostaatinen ko-geoidi on metrien verran geoidin yläpuolella. Kun geoidimäärityksessä menetelmän vaatimuksena on pieni epäsuora vaikutus, seuraa että isostaatiset menetelmät eivät ole toisin kuin Heiskanen ja Moritz huomauttavat sivulla 152) parhaita mahdollisia jos tarkoitus on laskea ulkopuolista geopotentiaalia edustava geoidi
120 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot tai kvasi-geoidi 11. Kuitenkin isostaattiset menetelmät soveltuvat hyvin Maan sisäisen rakenteen selvittämiseksi, koska sekä topografia että sen aiheuttuma painuma Maan vaippaan, isostaattinen kompensaatio, poistetaan laskennallisesti. Tutkimuksesta selviää, että maapallon suuret topografiset piirteet ovat noin 85 90% isostaattisesti kompensoitu. Tämä on arvokas hypoteesi jos muu tieto ei ole saatavissa. Tämä on toinen syy miksi isostaattinen geoidi on kiinnostava: Maan painovoimakenttä mistä vuoriston vaikutus on poistettu kokonaan juurineen kaikkineen voi paljastaa syvempien kerroksien fysikaalisia epätasapainoja ja prosesseja jotka aiheuttavat tätä. Sellaiset prosessit ovat etenkin konvektioliikkeet Maan vaipassa sekä Maan sulan ytimen mahdollinen vaikutus näihin virtauksiin. On jo löytynyt mielenkiintoisia korrelaatioita vaipan konvektiokuvioiden, geoidin globaalisen kuvion ja Maan magneettikenttää generoivien ytimen sähkövirtakuvioiden välillä Wen ja Anderson, 1997; Prutkin, 2008; Kogan ym., 1985). Isostaattinen reduktio koostuu kahdesta osasta: 1) topografian laskennallinen poisto 2) topografian isostaattisen kompensaation laskennallinen poisto. On mahdollista laskea nämä molemmat osat eksaktisti prisma-integrointimenetelmän avulla, ks. alaluku 5.3. Tässä kuitenkin pyritään ymmärtämään asia laadullisesti. Approksimoidaan molemmat osat yksinkertaisilla massatiheyskerroksilla, tiheys esimerkiksi κ = ρh topografian tapauksessa. Laitamme ensimmäinen kerros tasolle H = 0, ja toinen, tiheys κ, kompensaatiosyvyydellä H = D. Tilanne on kuvattu kuvassa 5.16. Jatkossa käytetään generoivan funktion yhtälöä 7.4, 1 l = 1 ) R n+1 ) P n cosψ, R r n=0 yhdessä yksinkertaisen massatiheyskerroksen kaavan 1.15 kanssa: κ κ V = G ds = GR2 l l dσ. pinta Potentiaalikentäksi saadaan kun tiheyskerros on merenpinnalla H = 0 r = R): ) T top = GR κ P n cosψ dσ σ n=0 pinta 11 Tietenkin Bouguer-reduktio on vieläkin pahempi! Epäsuora vaikutus voi olla jopa satoja metrejä.
5.8. Isostaattinen geoidi 121 Merenpinta Kompensaatiosyvyys Kuva 5.16. Isostaattinen reduktio kahtena pintatiheyskerroksena. ja kun tiheyskerros on kompensaatiosyvyydellä lähteiden taso R D, evaluaatiotaso R): ) T comp = GR2 R D n+1 ) κ) P n cosψ dσ = R D σ n=0 R ) R D n ) = GR κ P n cosψ dσ, R σ n=0 josta yhteisvaikutus n = 0 putoaa pois) δt iso = ) T top + T comp = GR κ σ n=1 [ 1 R D Tässä massan pintatiheys κ on ρ c H jos H 0, κ = ) ρc ρ w H jos H < 0, R ) n ] P n cosψ ) dσ. 5.7) eli korvattiin merten syvyydet vastaavilla kuivilla syvyyksillä 12. Nyt käytämme taas asteosuusyhtälöä Heiskanen ja Moritz 1967) yhtälö 1-71, eli yhtälömme 2.15 seuraavassa muodossa: ) 2n + 1 κ n φ,λ = κ φ,λ ) ) P n cosψ dσ, 4π σ eli 4πGR [ ) R D n ] ) 1 κ n φ,λ = 2n + 1 R = GR κ φ,λ )[ 1 R σ R D ) n ] P n cosψ ) dσ. 12 Tämä toimii kuivalla maalla ja valtamerellä. Järvet, jäätiköt ja Kuolleenmeren tyyppiset alueet ovat mutkikkaampia.
122 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Summaus antaa yllä olevan ilmaisun 5.7: [ ) 4πGR R D n ] ) 1 κ n φ,λ = n=1 2n + 1 R = GR κ φ,λ ) [ ) R D n ] ) 1 P n cosψ dσ, R σ n=1 joten 2 δt iso = n=1 2n + 1 R 2 = 2n + 1 R n=1 [ 1 [ 1 ) R D n ] 2πGκ n = R ) R D n ] [A B ] n. R Tässä on käytetty kirjoitustapa A B = 2πGκ, massakerroksen κ Bouguerlaatan vetovoima. Tutkitaan ensin osuutta 13 0 < n N = R/D. Silloin seuraava approksimaatio pätee, koska ) R D n R 1 nd R : ja N 2nD N δt iso 2n + 1 [A B] n D [A B ] n D A B, n=1 δn iso = δt iso γ n=1 Tämä on isostaatisen reduktion epäsuora vaikutus. D A B γ. 5.8) Sijoitetaan tähän realistiset arvot. Olkoon Mohorovičićin 14 rajapinnan syvyys keskimäärin 20km 15. Maalla: H 0,8 km Maan keskimääräinen topografian korkeus): δn iso 1,8m. Merellä: H 3,7km keskimäärin kerrotaan 2,67 1,03 2,67 veden vuoksi): δn iso +5,0m. 13 Astelukujen n > R/D osuus on δt iso n=n+1 2R 2n + 1 [A B] n, missä termit ovat pieniä ja putoavat nopeasti nollaan. Tällä alueella myös topografian pintakerrosapproksimaatio ei enää ole realistinen. 14 Andrija Mohorovičić 1857 1936) oli kroatialainen säätieteilijä ja modernin seismologian pioneereja. 15 Mantereiden alla 35km, valtamerien alla 7km merenpohjasta Encyclopædia Brittannican mukaan. Näiden arvojen mukaan saadaan δn iso = 3,2m maalla, +2,8 m merellä.
Harjoitus 5 1: Painovoima-anomalia 123 Toisin sanoen, tämä efekti voi olla iso!! Huomaa että yhtälö 5.8 on lineaarinen korkeudessa H. Tämä merkitsee että mannerten alla isostaattinen ko-geoidi kulkee noin pari metriä klassisen geoidin alapuolella, kun taas valtamerellä se on oltava muutama metri geoidin keskimerenpinnan) yläpuolella. Voimme myös päätellä, että isostaattisen reduktion vaikutuksessa geoidiin ainakin pitemmillä aallonpituuksilla 2πR/n, pitempiä kuin kompensaatiosyvyys D kaikki aallonpituudet ovat edustettuina spektrissä noin samassa suhteessa kuin itse topografiassa, ja efekti on itse asiassa verrannollinen itse topografiaan. Harjoitus 5 1: Painovoima-anomalia Annettuna piste P, jonka korkeus merenpinnasta on H = 500 m. Paikallinen painovoima on g P = 9.82ms 2, paikan leveysasteen ϕ merenpinnalla laskettu normaalipainovoima on γ 0 ϕ = 9.820192ms 2. ) 1) Laske pisteen P ilma-anomalia g. 2) Laske pisteen P Bouguer-anomalia ilman maastokorjausta) g B. Harjoitus 5 2: Bouguer-reduktio 1) Piste P on 500 m merenpinnan yläpuolella. Sen ilma-anomalia on g P,F A = 25mGal. Laske pisteen Bouguer-anomalia g B. Unohda maastokorjaus. 2) Ks. osio 5.2: Bouguer-anomaliat. Johda kaavat 5.2 ja 5.3 uudelleen, olettamalla, että maankuoren keskitiheys olisi ρ = 3370kgm 3. Harjoitus 5 3: Maastokorjaus, Bouguer Annettuna maaston muoto: P Q Q Merenpinta
124 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot Pystysuora kallioseinämä PQ on myös kartalla suora ja kulkee äärettömyyteen molempaan suuntaan paperiin ja paperista ). Korkeuserot: PQ = 600m,QQ = 300m. 1) Laske pisteessä P maastokorjaus vihje: käytä Bouguer-laatan vetovoiman kaava. Meillä on tässä puoli Bouguer-laata, jonka vetovoima on vain puolet täyden laatan vetovoimasta.) 2) Laske pisteessä Q maastokorjaus. Etumerkki? 3) Jos pisteessä P on annettuna, että ilma-anomalia on 60 mgal, paljonko silloin on pisteen Bouguer-anomalia? Käytä täydellinen Bouguer-reduktio.) 4) Jos on annettuna, että pisteessä Q Bouguer-anomalia on 10 mgal, paljonko on pisteen ilma-anomalia?
6. Korkeusjärjestelmät 6.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi Korkeudet on perinteisesti määritetty vaaitsemalla. Vaaitus on menetelmä missä mitataan korkeuseroja käyttämällä vaaituskojeen ja kahden latan avulla. Vaaituskoje sisältää kiikarin ja vesivaa an ja sen tähtäyssäde osoittaa paikallisen horisontin suuntaan. Kahdella mittauspisteella asetetaan vaaituslatta ja kaukoputken kautta luetaan niistä mittausarvot. Kahden arvon erotus antaa pisteiden välinen korkeusero metreinä. Etäisyys vaaituskojeen ja lattojen välillä on 40 70m; suuremmilla etäisyyksillä ilmakehän refraktion vaikutus aiheuttaisi liian suuria virheita. Pitemmät etäisyydet saadaan mitatuksi toistamalla mittaus useammalla koneasemalla ja välipisteellä. Näin saadut korkeuserotukset H eivät kuitenkaan ole suoraan käyt- Vaaituslatat Vaakasuora tähtäys 00 t Vaaituskoje 01 00 11 00 11 00 11 e 10 20 H = t e näkymä Kuva 6.1. Vaaituksen periaate. 125
126 Luku 6. Korkeusjärjestelmät tökelpoisia. Kahden pisteen P ja Q välinen, suoraan H-arvoja summaamalla laskettu, korkeusero riippuu näet valitusta matkasta. Myös suljetun silmukan korkeuserojen summa H ei yleisesti) häviää. Geometrinen korkeus ei ole konservatiivinen kenttä. Siksi käytännön tarkkavaaituksessa konvertoidaan korkeuserot aina potentiaalieroiksi: W = H g, missä g on paikallinen painovoima, joka joko mitataan tai esim. Suomessa) interpoloidaan olemassa olevasta painovoimakartoitusmittausten tietokannasta. Potentiaalierojen summa suljetun silmukan ympäri on aina nolla: W = 0. Mielivaltaisen maastopisteen P potentiaaliksi saadaan W P = W 0 H g), jossa summaus suoritetaan merenpinnalta potentiaali W 0 ) pisteeseen P. Suuretta P C P = W P W 0 ) = H g) merenpinta positiivinen merenpinnan yläpuolella) kutsutaan pisteen P geopotentiaaliluvuksi. W 0 on valtakunnallisen korkeusvertaustason geopotentiaali. Suomessa vanhan N60-järjestelmän vertaustaso on periaatteessa Helsingin sataman keskimerenpinta vuoden 1960 alussa, miksi järjestelmää kutsutaankin nimellä N60. Kuitenkin vertaustason tarkka realisaatio on erikoispatsas Helsingin observatorion puutarhassa Kaivopuistossa 1. Suomen uusi korkeusjärjestelmä on nimeltään N2000, ja sen vertaustason realisaatio on patsas Metsähovin tutkimusasemalla käytännössä N2000-korkeudet ovat noin desimetrin tarkkuustasolla Amsterdamin NAP-datumin korkeuksia). Muilla mailla on omat, samanlaiset korkeusvertaus- eli datumipisteet: Venäjällä Kronstadt, Länsi-Euroopalla laajasti käytetty Amsterdam NAP, Etelä-Euroopalla vanha Itävallan satamakaupunki Trieste, Pohjois-Ameriikalla NAVD88 North American Vertical Datum 1988), datumipisteenä Pointe-au-Père Rimouskissa Quebecissä Kanadassa, jne. 1 Kuitenkin patsaan kaiverrettu korkeusarvo on vieläkin vanhemman järjestelmän NN eikä N60:n vertauskorkeus... N60:n oikea vertausarvo tähän patsaaseen, 30,513 76 m, löytyy julkaisusta Kääriäinen 1966).
6.2. Ortometriset korkeudet 127 Kuva 6.2. Korkeusvertauspatsas Helsingin observatorion puutarhassa Kaivopuistossa, Kääriäinen 1966). Teksti: Suomen tarkka vaakituksen pääkiintopiste 30,4652 m yli nollan Utgångspunkt för precisionsnivellementet i Finland 30,4652 m öfver noll Main bench mark of precise levelling of Finland, 30.4652 m above zero). 6.2 Ortometriset korkeudet Kun halutaan luoda korkeusjärjestelmä, olisi kaiken yksinkertaisinta käyttää alkuperäiset geopotentiaalierot merenpinnalta eli yllä määritetyt geopotentiaaliluvut C = W W 0 ), suoraan korkeuslukuina. Kuitenkin psykologisesti ja käytännöllisesti tämä on hankala: ihmiset haluavat korkeuksinsa metreissä. Geopotentaaliluvuilla on selvät etujensa: ne edustavat energiamäärän joka tarvitaan yhden massayksikön koemassan) siirtämiseksi pisteestä toiseen. Neste merivettä, mutta myös ilma tai, geologisella aikaskaalalla, jopa peruskallio!) virtaa aina alaspäin ja etsiytyy minimienergiatilaan. Suomessa, kuten monessa muussa maassa, on ollut pitkään käytössä ortometrisia korkeuksia. Ne ovat fysikaalisesti määritettyjä korkeuksina keskimerenpinnan eli geoidin yläpuolella. Ks. kuva 6.3. Klassinen geoidi on määritelmänsä mukaan Se Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, joka yhtyy keskimäärin parhaiten keskimerenpintaan.
128 Luku 6. Korkeusjärjestelmät g W P H 3 P g H 2 H H 2 H 1 W 0 Geoidi H 1 Kuva 6.3. Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut. Korkeus, joka saadaan summaamalla vaaitut korkeuserot, 3 i=1 H i, ei ole oikea korkeus geoidista eli 3 i=1 H laskettuna luotiviivaa pitkin. i Huomaa, miten geopotentiaalin tasopinnat eli ekvipotentiaalipinnat eivät ole samansuuntaisia: siksi matka Maan pintaa pitkin voi hyvinkin viedä ylöspäin, siis kasvaviin korkeuksiin geoidista, vaikka geopotentiaaliluku vähenee. Vesi voi siis virrata ylöspäin. Painovoimavektori g on kaikkialla kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan, ja sen pituus on kääntäen verrannollinen pintojen väliseen etäisyyteen. Pisteen P ortometrinen korkeus on määritetty korkeudeksi, joka saadaan mittaamalla luotiviivaa pitkin pisteen P etäisyys geoidista. Tämä on hyvin fysikaalinen määritelmä, kuitenkaan ei kovin operationaalinen, koska emme yleensä) voi mitata luotiviivaa pitkin maankuoren sisällä, ja geoidi ei edes näy siellä. Siksi ortometrisia korkeuksia lasketaan geopotentiaaliluvuista: jos pisteen P geopotentiaaliluku on C P, lasketaan ortometrinen korkeus kaavalla H = C P g, jossa g, keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin, on g = 1 H ˆ H 0 g z) dz, ja z on luotiviivaa pitkin mitattu etäisyys. Koska g:n kaava itse sisältää jo H:n, saadaan ratkaisu iteratiivisesti, käyttämällä ensin karkea H:n arvo. Iteraatio konvergoi nopeasti. Tulemme näkemään että hyvin tarkkojen ortometristen korkeuksien määrittäminen on hankalaa, etenkin vuoristoissa.
6.3. Normaalikorkeudet 129 Pohjoinen Päijänne: W = W 0 + 76,9 GPU g E Etelä H P g P Päijänne Geoidi: W = W 0 H E Kuva 6.4. Ortometrisissa korkeuksissa katsottuna vesi voi joskus virrata ylöspäin. Vaikka Päijänteen pohjois- ja eteläpäät ovat samalla geopotentiaalitasolla 76,9 geopotentiaaliyksikköä keskimerenpinnan potentiaalia korkeammin on eteläpään ortometrinen korkeus H E suurempi kuin pohjoispään H P, koska paikallinen painovoima g on pohjoisessa vahvempi kuin etelässä. Korkeusero on Päijänteen tapauksessa 8 mm Jaakko Mäkinen, henkilökohtainen viesti). Normaalipainovoimakentän avulla laskettuna saadaan 6 mm. Loput 2mm tulee painovoima-anomalioiden erosta järven pohjois- ja eteläpäiden välillä. 6.3 Normaalikorkeudet Suomessa käytetään tällä hetkellä korkeusjärjestelmän N2000 mukaan normaalikorkeuksia. Ne ovat, samoin kuin ortometrisia korkeuksia, korkeudet keskimerenpinnalta. Keskimerenpinnan matemaattinen esitys tässä tapauksessa on kvasi-geoidi. Merialueilla kvasi-geoidi on identtinen geoidin kanssa; manneralueilla se eroaa hieman geoidista, ja vuoristoissa ero voi jopa olla huomattavaa. 6.3.1 Molodenskyn teoria M.S. Molodensky 2 kehitti teorian, jossa pisteen korkeus keskimerenpinnalta määritettäisiin seuraavan kaavan mukaan: H = C γ 0H, jossa γ 0H on keskimääräinen normaalipainovoima laskettuna nollatason vertausellipsoidin) ja H :n välillä ellipsoidista normaalia pitkin. Eli sama laskentatapa kuin ortometristen korkeuksien tapauksessa, mutta käyttämällä normaalipainovoimakenttä todellisen painovoimakentän sijaan. 2 Mihail Sergejevitš Molodensky 1909 1991) oli maineikas neuvostoliittolainen fysikaalinen geodeetti.
130 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Kuva 6.5. Mihail Sergejevitš Molodensky, mystisestä venäläisestä asiakirjasta. Korkeuksista merenpinnalta vaaditaan käytännön syistä, että ne voidaan antaa metreinä. Suurissa, mantereen kokoisissa kolmioverkoissa halutaan antaa korkeudet laskennallisesta vertausellipsoidista metreissä, ja näin myös korkeudet merenpinnalta on oltava metreissä. Molodensky ehdotti myös, että geoidin sijaan käytettäisiin korkeusanomalioita, joiden määritelmä on ζ = T γ Hh, jossa nyt γ Hh on keskimääräinen normaalipainovoima topografian korkeudella, tarkemmin: korkeuksien H mutta laskettuna ellipsoidista) ja h välillä. T on häiriöpotentiaali. Näiden oletuksien perusteella hän näytti, että H + ζ = h, jossa h on pisteen korkeus vertausellipsoidista. Tämä kaava on hyvin samanlainen kuin ortometristen korkeuksien ja geoidin korkeuksien vastaava kaava H + N = h. Muutenkin ζ, korkeusanomalia eli myös kvasi-geoidin korkeus, on hyvin lähellä N, ja vastaavasti H lähellä H. 6.3.2 Molodenskyn todistus Molodenskyn koulukunnan oivallus oli, että koska normaalipainovoima luotiviivaa pitkin on hyvin lähellä lineaarinen paikan funktio, voitaisiin
6.3. Normaalikorkeudet 131 määritellä korkeustyppi, joka olisi suoraan laskettavissa geopotentiaaliluvuista, ja joka samalla olisi yhteensopiva samalla tavalla määriteltyjen ns. korkeusanomalioiden, sekä vertausellipsoidista laskettujen geometristen korkeuksien h, kanssa. Geometrinen korkeus h vertausellipsoidista voidaan kytkeä normaalipainovoimakentän potentiaaliin U epäsuorasti, seuraavan integraaliyhtälön kautta: U = U 0 ˆ h 0 γz)dz. Tässä U on normaalipotentiaali ja γ normaalipainovoima. U:n eräs tasopinta U = U 0 on samalla vertausellipsoidi. Muuttuja z on matka ellipsoidin paikallista normaalia pitkin. Määrittelemällä saadaan γ 0h. = 1 h ˆ h 0 γz)dz h = U U 0 γ 0h. Käyttämällä W = U + T ja jakamalla γ 0h :lla, saadaan: W W 0 γ 0h = T γ 0h h olettaen että W 0 = U 0, vertausellipsoidin normaalipotentiaali. Seuraavaksi voitaisiin määritellä uudeksi korkeustyypiksi ja H +? = W W 0 γ 0h N +? = h H + = T γ 0h vastaavaksi uudeksi geoidikorkeustyypiksi. Kuitenkin kauneusvirheenä on, että tässä jaetaan normaalipainovoiman keskiarvolla, joka on laskettu tasojen 0 ja h välillä. Tämä suure ei ole operationaalinen ilman keinoa määrittää ellipsoidista korkeutta h. Siksi seuraava parannus olisi looginen. Määritellään operationaalisempi suure γ 0H = 1 H + ˆ H+ 0 γz) dz γ 0h 1 ) dγ N+ 2 dr γ 0h 1 N+ R 6.1)
132 Luku 6. Korkeusjärjestelmät R on maan säde ja dγ/dr 2γ/R), ja γ Hh γ H + + 12 ) N+ γ 0h + 1 dγ H+ 2 dr γ 0h 1 + H+ R ), 6.2) koko aikaa käyttäen se seikka, että γz) on lähes lineaarinen funktio), josta seuraa ) H. W W 0 = H 1 + + N+ = H + + N+ H + γ 0H R R, ζ =. T ) N 1 + H+ = N + N+ H + γ Hh R R, ja, koska korjaustermit N+ H + R summautuvat nollaksi: H + ζ = H + + N + = h. 6.3) Suure γ 0H, ja siis myös normaalikorkeus H, voidaan, toisin kuin γ 0h, laskea käyttämällä ainoastaan vesi- tai trigonometrisesta) vaaituksesta saatuja tietoja, ilman korkeuden ellipsoidista h tuntemista, joka edellyttäisi taas paikallisen geoidin tuntemista. Tämä oli Molodenskyn oivallus Molodensky ym., 1962) jo v. 1945, kauan ennen GPS:n, tai maailmanlaajuisen geosentrisen vertausellipsoidin olemassaoloa. Silloin laskettiin mannerlaajuiset kolmioverkot omilla alueellisilla vertausellipsoideillaan. Korjaustermin N+ H + suuruus on, jos globaaliset geoidin korkeudet R ovat 110m luokkaa, 17mm jokaista maastokorkeuskilometriä kohti. Tämän termin käytön jälkeen jäävät virheet ovat mikroskooppisen pieniä, koska normaalipainovoima on todellisesta painovoimasta poiketen) erittäin lineaarista luotiviivaa pitkin kuten kaavoissa 6.1 ja 6.2 jo edellytettiin. Kuva 6.6 yrittää visualisoida kaavojen johtamista. 6.3.3 Normaalikorkeus ja korkeusanomalia Normaalikorkeus: H = C γ = W W 0, 6.4) γ
6.3. Normaalikorkeudet 133 ζ N + H + R N + z N + H + R H + H γz) h Kuva 6.6. Molodenskyn todistuksen graafinen aasinsilta. Siniset ja punaiset alueet, jotka ovat yhtäsuuria, edustavat korjaustermit jotka konvertoivat N + ζ:ksi ja H + H :ksi, vastaavasti. Siniset ja punaiset nuolet kuvaavat konversioprosessia. Pallerot kuvaavat funktion γz) keskiarvostamisvälien keskipisteet. jossa rekursiivinen määritelmä!) Korkeusanomalia: jossa γ = γ 0H = 1 ˆ H H γz) dz. γ Hh = 1 ζ 0 ζ = W U γ Hh ˆ h H γz) dz. Korkeusanomalia ζ, muuten samanlainen suure kuin geoidin korkeus N, kuitenkin sijoittuu topografian eikä merenpinnan tasolle. Pintaa joka muodostuu pisteistä, jotka ovat matkan H verran vertausellipsoidin yläpuolella ja siis matkan ζ verran topografian alapuolella), kutsutaan telluroidiksi. Se on topografisen pinnan eräs kuvaus: pisteiden Q joukko, joiden normaalipotentiaali Topografia Telluroidi H ζ H H h Geoidi N ζ Kvasi-geoidi Kuva 6.7. Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja topografia. Huomaa korrelaatio kvasi-geoidin ja topografian välillä.
134 Luku 6. Korkeusjärjestelmät U Q on sama kuin oikean topografian vastaavan pisteen P oikea geopotentiaali W P. Ks. kuva 4.4. Usein, myönnytyksenä vanhoihin tapoihin, konstruoidaan pinta, joka on matkan ζ verran vertausellipsoidin yläpuolella. Tätä pintaa kutsutaan kvasi-geoidiksi. Siltä puuttuu kokonaan fysikaalinen merkitys; se ei ole ekvipotentiaalipinta, vaikka merellä se yhtyy geoidiin. Sen lyhytaaltoiset muodot, toisin kuin geoidin, korreloivat topografian lyhytaaltoisten muotojen kanssa. Korkeus ellipsoidista oletus U 0 = W 0 ): jossa γ 0h = 1 h Yhteys kolmen suureen välillä on h = U U 0 γ 0h, ˆ h 0 h = H + ζ. γz) dz. Kaikissa kolmessa tapauksessa suure määritetään jakamalla potentiaaliero jonkinlaisella keskimääräisellä normaalipainovoimalla, laskettuna sopivaa paikallisen luotiviivan segmenttiä pitkin. Korkeusanomalian ζ tapauksessa on käytetty luotiviivan pätkä korkealla topografian pinnan lähellä, tason H telluroidin) ja tason h topografian) välillä. 6.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä Normaalikorkeudet ovat hyvin operationaalisia. Niitä käytetään aina ns. kvasi-geoidin korkeuksien oikeammin: korkeusanomalioiden) ζ kanssa. Ortometriset korkeudet tarkemmin: Helmert-korkeudet) H sen sijaan käytetään aina geoidin korkeuksien N kanssa. Molempien, H ja N, laskemiseksi tarvitaan topografinen massatiheys ρ, joka yleensä oletetaan vakioksi 2670 kg/m³), sekä paikallinen painovoimagradientti, joksi yleensä oletetaan standardi ilmagradientti 0,3086 mgal/m). Ero geoidikorkeuden ja korkeusanomalian välissä lasketaan seuraavasti.
6.4. Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä 135 1) Ensin lasketaan ero kvasi-geoidin ja "vapaa-ilma-geoidin" välillä. Vapaa-ilma-geoidi on harmonisesti alaspäin jatketun ulkoisen potentiaalikentän ekvipotentiaalipinta. Jos T on ulkoisen, harmonisesti alaspäin jatketun kentän häiriöpotentiaali, on sen ero topografian ja merenpinnan tasojen välillä: T H T 0 = ˆ H ja käyttämällä Brunsin kaava kahdesti ζ = T H γ vapaa-ilma geoidin kor- eli kvasi-geoidin korkeus) ja N FA = T 0 γ keus, FA = Free Air) saadaan 3 0 T h dh g FAH, 6.5) korkeusanomalia ζ N FA g FAH. 6.6) γ 2) Näin on saatu ero korkeusanomalioiden ja vapaa-ilma-geoidin korkeuksien välillä; jää määritettäväksi ero "vapaa-ilma-geoidin" ja geoidin välissä. Approksimoidaan topografia Bouguer-laatalla. Silloin vapaa-ilma-geoidin N FA tapauksessa tämän laatan paksuus on pisteen P korkeus H. Tämä siksi, että vapaa-ilmageoidi perustuu alaspäin jatkettuun ulkoiseen kenttään, mitä merkitsee, että myös Bouguer-laatan vetovoimaa pisteessä P on jatkettava alaspäin eli otettava huomioon kokonaan. Koska laatan pintamassatiheys on Hρ, on sen oletettu vetovoima kaikkialla pisteen P:n luotiviivalla: 2πGHρ. Taas geoidin tapauksessa meidän on oltava fysikaalisesti realistisia: mielivaltaisessa pisteen P luotiviivan pisteessä P Bouguer-laatasta osa on pisteen alapuolella, ja osa taas pisteen yläpuolella. Vetovoima silloin vain on 2πGH ρ 2πG H H ) ρ = 2πG 2H H ) ρ, missä H on nyt pisteen P korkeus. 3 Tässä tehtiin approksimaatio, että γ on sama topografian ja merenpinnan tasolla.
136 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Integroimalla erotus, kaavan 6.5 tapaan, saadaan T T FA = 2πGρ ˆ H 0 [ 2H H ) H ] dh = = 2πGρ [ H ) 2 2HH ] H H =0 = 2πGρH2 A B H, missä A B on H:n paksuisen Bouguer-laatan vetovoima. Saadaan taas jakamalla normaalipainovoiman keskiarvolla: N N FA = A BH γ. Vähentämällä tämä viimeinen tulos kaavasta 6.6 saadaan: ζ N = g FA + A B ) H γ = g BH. 6.7) γ Ks. myös Heiskanen ja Moritz 1967, ss. 8 13). Kun vuoristoissa Bougueranomalia on vahvasti negatiivinen, seuraa että kvasi-geoidi on siellä aina geoidin yläpuolella: likimäärin, kaavaa 5.2 käyttäen: ζ N 0,1119 [mgal /m] H 2 10 7 [ m 1] H 2. 9,8 [ m /s²] Eli jos H on yksikössä [km] ja ζ N yksikössä [m]: ζ N [m] 0,1H 2 [km]. 6.5 Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä Geoidi on ortometristen korkeuksien lähtötaso. Siksi voimme kirjoittaa h = H + N, missä h on korkeus vertausellipsoidista ja H ortometrinen korkeus. Toisaalta voimme palauttaa muistiin kaava 6.3: h = H + ζ, missä ζ on korkeusanomalia ja H normaalikorkeus. Saadaan yksinkertaisesti: käyttäen kaavaa 6.7. H H = ζ N = g BH, 6.8) γ
6.6. Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta 137 6.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta Ortometriset korkeudet muodostavat perinteisimmän tavan ilmaista korkeutta merenpinnan yläpuolella. Ortometriset korkeudet ovat korkeuksia todellisen geoidin, eli Maan sisällä olevan, keskimerenpinnan kanssa keskimäärin samalla tasolla olevan, ekvipotentiaalipinnan, yläpuolella. Voidaan kirjoittaa W = W 0 ˆ H 0 g z) dz missä g on todellinen painovoima topografisten massojen sisällä. Tästä saadaan H = C g = W W 0), g jossa keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin on g = 1 H ˆ H 0 g z) dz. Määritelmä on rekursiivinen: H esiintyy sekä vasemmalla että oikealla puolella. Tämä ei ole kriittinen: sekä H että g saadaan iteroimalla. Konvergenssi on nopea. Käytännössä ortometrinen korkeus lasketaan likimääräisellä kaavalla. Suomessa on pitkään käytetty Helmertin kaavaa, jossa mitattu painovoima maan pinnalla, g H), ekstrapoloidaan alaspäin käyttämällä arvioitu kalliomassojen sisäinen painovoimagradientti. Oletetaan, että sen kallion ulkopuolinen standardiarvo, 0,3086 mgal/m ilma-gradientti), kasvaa määrällä +0,2238 mgal/m kaksinkertainen Bouguer-laatan efekti): lopputulos on kallion sisäinen kokonaispainovoimagradientti, 0,0848 mgal/m. Tätä kutsutaan Prey 4 -reduktioksi. Lopputulos on seuraavat kaavat kerroin on puolet gradientista, eli keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin on sama kuin luotiviivan keskipisteen painovoima): g = g H) 0,0848[ mgal /m] 12 ) H = g H) + 0,0424[ mgal /m] H, siis H = C g H) + 0,0424[ mgal /m] H, 6.9) 4 Adalbert Prey 1873 1949) oli itävaltalainen tähtitieteilijä ja geodeetti sekä oppikirjojen laatija.
138 Luku 6. Korkeusjärjestelmät jossa C on geopotentiaaliluku potentiaali keskimerenpinnan suhteen) ja g H) painovoima Maan pinnalla. Ks. myös Heiskanen ja Moritz 1967) ss. 163 167. Huomaa, että termi 0,0424 mgal/m H on tavallisesti paljon pienempi kuin g H), joka on noin 9,8 m/s² = 980000mGal! Siis iterointi, missä yo. nimittäjä lasketaan ensin karkean H-arvon avulla, konvergoi varsin nopeasti. Helmert-korkeuksien käyttö ortometristen korkeuksien approksimaatioina on epätarkka seuraavista syistä: Oletus, että painovoima muuttuu lineaarisesti luotiviivaa pitkin. Tämä ei pidä paikkaansa, erityisesti maastokorjauksen johdosta. Tarkassa ortometristen korkeuksien laskennassa maastokorjaus olisi laskettava erikseen jokaisella luotiviivan pisteellä. Oletus, että ilma-gradientti on vakio, 0,3086 mgal/m. Tämä ei pidä paikkaansa, gradientti voi hyvinkin vaihdella ±10%. Oletus, että kallion tiheys on ρ = 2,67 g/cm³. Tiheyden todellinen arvo voi vaihdella hyvinkin ±10% tai enemmän tämän oletusarvon ympäri. Ensimmäinen approksimaatio, maastoefektin huomiotta jättäminen, voidaan korjata käyttämällä Niethammerin 5 menetelmä ks. Heiskanen ja Moritz 1967) sivu 167). Se vaatii, että että myös geoidilaskussa maasto otetaan vastaavasti huomioon. Kolmas approksimaatio, tiheys, voidaan ongelmana poistaa sopimalla, että myös vastaavassa geoidin laskussa käytetään vakiotiheys ρ = 2,67 g/cm³. Saatu pinta ei siten enää ole oikea geoidi, vaan muka-geoidi, johon on vaikea keksiä sopiva nimi. Toinen approksimaatio voitaisiin poistaa käyttämällä todellinen painovoiman ilmagradientti standardiarvon sijasta. Kuitenkin se riippuu paikallisista tiheysvaihteluista. Painovoimagradientin arvo topografian pinnalla ei ole myöskään aina edustava koko luotiviivaa pitkin. Gradientin laskemiseen tarjoutuu mm. Poissonin yhtälö, josta lisää myöhemmin. Ortometristen korkeuksien eksaktin laskeminen on siis työlästä. Yhtä 5 Theodor Niethammer 1876 1947) oli sveitsiläinen tähtitieteilijä ja geodeetti joka kartoitti ensimmäisenä Sveitsin Alppien painovoimakentän.
6.7. Normaalikorkeuksien tarkka laskenta 139 työlästä kuin geoidin eksaktin laskeminen, ja samoista syistä. Onneksi ei-vuoristoisissa maissa Helmert-korkeudet ovat riittävän hyviä. Suomessa niitä laskettiin jopa käyttämällä ρ-arvoina todellisen maankuoren tiheyksiä geologisen kartan mukaan... 6.7 Normaalikorkeuksien tarkka laskenta Tähän käytetään kaava 6.4: H = C γ = W W 0, 6.10) γ jossa normaalipainovoiman keskiarvo luotiviivaa pitkin on γ = γ 0H = 1 ˆ H H γz) dz. Koska normaalipainovoima on varsin tarkasti lineaarinen z:n funktio, voimme kirjoittaa γ = γ H ) 1 γ H 2 z, jossa γ z = 0,3086 mgal/m. Saadaan γ = γ H ) + 0,1543 [ mgal /m] H. Ratkaisu saadaan taas iteratiivisesti: H = 0 C γh ) + 0,1543 [ mgal /m] H 6.11) jossa γh ) on laskettavissa eksaktisti kun korkeus H ja paikallinen leveysaste) on tiedossa. H on kaavan molemmilla puolilla; se konvergoi nopeasti koska taas nimittäjän ensimmäinen termi γh ), noin 9,8 m/s² = 980000mGal, on huomattavasti toista termiä 0,1543 [ mgal /m] H suurempaa. Normaalikorkeuksien laskenta ei ole altis samoihin maankuoren tiheysym. hypoteeseihin kuin ortometristen korkeuksien laskenta. Se on kuitenkin riippuvainen valitusta normaalikentästä eli vertausellipsoidista. 6.8 Korkeuksien laskentaesimerkki Pisteellä P on potentiaaliero keskimerenpinnan kanssa C = 5000 m 2 /s 2. Paikallinen painovoima on g = 9,820000 m/s 2.
140 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Kysymyksiä: 1) Laske pisteen P ilma-anomalia g FA. 2) Laske pisteen ortometrinen korkeus. 3) Laske pisteen Bouguer-anomalia ilman maastokorjausta) g B. Normaalipainovoima laskettuna pisteen P korkeudelle ts. laskettu pisteelle Q joka on yhtä korkea ellipsoidin ylläpuolella kuin P on keskimerenpinnan yläpuolella) on γ = 9,820492 m/s 2. 4. Laske pisteen P normaalikorkeus. 5. Jos geoidin korkeus pisteen P kohdalla on N = 25,000m, paljonko sitten on korkeusanomalia kvasi-geoidin korkeus ) ζ? Vastaukset: 1) Ilma-anomalia on g FA = 9,820000 9,820492) m /s 2 = 49,2mGal. 2) Ensimmäinen yritys: H 0) = C/g = 5000/9,82m = 519,165m. Toinen yritys yhtälö 6.9): H 1) = 5000 m 2 /s 2 9,820000 m/s 2 + 0,0424 10 5 [ m 2] 519,165m = 509,154m; sen jälkeen millimetrit eivät enää muutu. 3) Bouguer-anomalia on yhtälö 5.2): g B = g FA 0,1119[ mgal /m] H = 106,2mGal. 4) Ensimmäinen yritys on taas H 0) = C/γ = 509,139m. Toinen, yhtälö 6.11: H 1) = 5000 m 2 /s 2 9,820492 m/s 2 + 0,1543 10 5 [ m 2] 509,139m = 509,099m, myös lopullinen millimetritasolla. 5) Erotuskaava 6.8 on ζ N = g BH γ = 0,055m. Myös tarkistus) H H = 0,055m. Eli ζ = N 0,055m) = 25,055 m.
6.9. Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus 141 6.9 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus Käytännön laskennassa usein lasketaan ensin vaaituksella mitatut korkeuserot lattalukemien erot ) H pisteiden A ja B välillä yhteen alustavaksi eli raa aksi korkeuseroksi B H, A jonka jälkeen menetelmän epä-eksaktisuus otetaan huomioon soveltamalla ortometrinen korjaus : H B = H A + B H + OC AB. A Se tosiasia, että kahden pisteen A ja B välinen ortometristen korkeuksien ero ei ole sama kuin vaaittujen korkeuserojen summa, on seurausta siitä, että painovoima ei ole kaikkialla sama. Jos C A,C B, C ovat geopotentiaaliluvut pisteissä A ja B, ja geopotentiaalierot vaaituslinjaa pitkin, meillä on C B C A B A C = 0 koska geopotentiaali on konservatiivinen kenttä. Jakaminen vakiolla γ 0 antaa Toisaalta meillä on C B γ 0 C A γ 0 B A C γ 0 = 0. OC AB = H B H A B A H = C B g B C A g A B A C g, missä g A, g B ovat painovoiman keskiarvoja pisteiden A ja B luotiviivoja pitkin, g painovoima vaaituslinjaa pitkin. Tässä ilmaisussa B A H, naivisti laskettu vaaittujen korkeuserojen summa, verrataan ortometristen korkeuksien erotuksen kanssa linjan päätepisteiden A ja B välillä, laskettuna määritelmän mukaan. Vähennys antaa CB OC AB 0 = C ) B CA C ) A g B γ 0 g A γ 0 B A C g C ), γ 0 missä C B g B C B γ 0 = γ0 g B γ 0 ) CB g B = γ0 g B γ 0 ) H B,
142 Luku 6. Korkeusjärjestelmät tuloksena OC AB = C A C A γ0 g A = g A γ 0 γ 0 C g C γ0 g = γ 0 A γ 0 γ 0 ) B g γ0 H + ) H A, ) H, g A γ 0 γ 0 ) H A gb γ 0 γ 0 ) H B, 6.12) identtinen kirjan Heiskanen ja Moritz 1967) kaavan 4 33 kanssa. Suureen γ 0 valinta on mielivaltainen; on viisasta valita arvo lähellä keskimääräistä painovoimaa alueella A,B, silloin laskennassa liikkuvat luvut jäävät pieniksi. Vastaavasti voidaan laskea myös normaalikorjaus normaalikorkeuksien laskennassa. Lähdetään kaavasta NC AB = H B H A B A H = C B γ B C A γ A josta samalla tavalla kuin yllä vähentämällä saa NC AB = ) B g γ0 H + A γ 0 γa γ 0 γ 0 B A C g, ) ) H A γb γ 0 H B γ. 6.13) 0 Huomaa, että identtinen ensimmäinen termi kaavoissa 6.12 ja 6.13 polveutuu termistä B C B g = H, A korkeuserojen H naivi summaus sekä ortometrisen korjauksen että normaalikorjauksen tapauksessa, mihin tämä yleinen korjauskäsite perustuu. Mikä on erilaista ortometristen korjauksen ja normaalikorjauksen välillä on korkeuksien määritelmä: H H:n sijasta, eli jaetaan normaalipainovoiman keskiarvolla luotiviivaa pitkin γ eikä todellisen painovoiman vastaavalla g. Tästä yhteenveto B H B = H A + H + NC AB. A Huomaa, että sekä ortometrinen korjaus 6.12 että normaalikorjaus 6.13 voidaan laskea yksi vaaitusväli kerrallaan: tiedettävä on, vaaitun korkeuseron H lisäksi, paikallinen painovoima päätepisteissä g vaaituslinjaa pitkin sekä päätepisteissä g H) tai γh ) keskipainovoiman g tai A
6.10. Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaaitus 143 γ laskemiseksi päätepisteiden luotiviivoja pitkin. Tämä onnistuu hyvin yllämainittujen kaavojen avulla. Muista, että g vaaituslinjaa pitkin tarvitaan joka tapauksessa kun halutaan redukoida vaaitut korkeuserot H geopotentiaalilukueroiksi C. 6.10 Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaaitus Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kello kulkee sitä hitaammin, miten syvemmälle se on massojen potentiaalikuopan sisällä. Tämä näkyy helpoiten tarkastamalla Schwartzschild-metriikka pallosymmetriselle kentälle: c 2 dτ 2 = = 1 2GM c 2 r 1 2Wc 2 ) c 2 dt 2 ) c 2 dt 2 1 2GM c 2 r ) 1 dr 2 r 2 dφ 2 + cos 2 φ dλ 2) = 1 2W c 2 ) 1 dr 2 r 2 dφ 2 + cos 2 φ dλ 2), pallokoordinaateissa plus aika r,φ,λ, t ). Tässä näkyy, miten ominaisajan τ kulku hidastuu stationaarisen koordinaattiajan t verrattuna, kun geopotentiaali W kasvaa lähempäna massaa. Hidastussuhde on τ t 1 W c 2. Nyt c 2 on valtavan iso luku: 10 17 m 2 /s 2. Tämä merkitsee, että potentiaalieron 1 m 2 /s 2 mikä vastaa korkeuseroon 10cm mittaamiseksi tämän menetelmän avulla, mittaustarkkuus olisi oltava 1 : 10 17. Perinteisemmät, mikroaaltoalueella toimivat atomikellot pystyvät tarkkuuksiin 10 12 10 14 Vermeer, 1983). Uusille optisille kelloille tavoite pitäisi olla saavutettavissa ja relativistinen vaaitus voisi toteutua. Kello toimii sillä tavalla, että atomien äärimmäisen kylmä ns. Bosen Einsteinin kondensaatti on vangittuna kuuden lasersäteen muodostamassa kiteessä, seisovien aaltojen sähkömagneettisella kuviolla. Kellovärähtelyn lukusäde käyttää toista taajuutta. Bosen Einsteinin kondensaatille ominaista on, että kaikki atomit ovat tarkasti samassa kvanttitilassa kuten fotonit toimivassa laserissa, eli niiden aineaallot ovat koherentteja. Tavallaan kaikki atomit yhdessä toimivat yhtenä virtuaalisena atomina.
144 Luku 6. Korkeusjärjestelmät Braunschweig Garching Kuva 6.8. Optinen valohilakello: tulevaisuuden ultra-tarkka atomikello toimii optisella alueella. Oikealla, Predehl ym. -kokeen reitti. Kondensaatti voi koostua miljooneista atomeista, ja on itse asiassa näkyvissä tyhjiökammion lasin läpi pienenä plasmapallerona. Valitettavasti ei riitä, että vaan yhdessä laboratoriossa osataan mitata aikaa äärimmäisen tarkasti; on osattava myös verrata eri atomikellojen tikitysnopeuksia maantieteellisten etäisyyksien ylitse. Tähänkin on löytynyt ratkaisu: olemassa olevat valokuitukaapelit, joita Internet ja puhelinliikenne käyttävät jo maailmanlaajuisesti, soveltuvat tähän pienin muutoksin. Muutokset koskevat kaapeleissa olevat välivahvistimet noin 100 km:n välein, joita pitä korvata viritetyillä laitteilla Predehl ym., 2012). Näin voidaan korvata sekä perinteisiä tarkkavaaitusverkkoja että GNSS-teknologiaan ja geoidimääritykseen perustuvia korkeusjärjestelmiä tällä huipputeknologian ja huipputieteen!) ratkaisulla. Harjoitus 6 1: Ortometristen korkeuksien laskenta Suomessa, N60-järjestelmän yhteydessä, käytettiin ns. Helmert-korkeudet, jotka ovat hyvässä approksimaatiossa ortometrisia. Pisteen P potentiaaliero merenpinnan kanssa, W W 0 ), on 5000m 2 s 2. Painovoima pisteessä on g P = 9.820000ms 2. Laske pisteen Helmertkorkeus.
Harjoitus 6 2: Isostasia 145 Harjoitus 6 2: Isostasia eoleta Airy-Heiskanen isostaattinen kompensaatio kuva 5.12). Maankuoren tiheys ρ c = 2670kgm 3, vaipan tiheys ρ m = 3370kgm 3, siis kuoren ja vaipan välinen tiheyskontrasti on 700kgm 3. olkoon nollatopografiaan vastaavan rajapinnan vertaustaso 25km, i.e. t 0 = 25km. 1) Laske 8 km korkean vuoren juuren syvyys vertaustason 25 km alapuolella, olettaen, että se on isostaattisesti kompensoitu. 2) Mauna Kea on 4 km merenpinnan yläpuolella, kuitenkin ympäröivä meri on 5km syvä. Kuinka syvällä on Mauna Kean juuri vertaustason alapuolella? 3) Kuinka paljon on ympäröivän meren vastajuuri vertaustason yläpuolella? siis kuinka syvällä on Mauna Kean juuri ympäristönsä nähden?) Olkoon meriveden tiheys 1027kgm 3. Harjoitus 6 3: Normaalikorkeuksien laskenta Pisteessä P potentiaaliero merenpinnan kanssa W W 0 ) on 5000m 2 s 2. Pisteessä normaalipainovoima on γ P = 9,820000ms 2. Laske pisteen normaalikorkeus. Käytä normaalipainovoiman pystygradientiksi arvo 0.3086mGalm 1. Harjoitus 6 4: Ero ortometrisen korkeuden ja normaalikorkeuden välillä Pisteessä P Bouguer-anomalia on g B = 120mGal. Pisteen ortometrinen korkeus on 1150m. 1) Laske pisteen P normaalikorkeus. 2) Jos geoidikorkeus pisteessä P on N = 21,75 m, laske pisteen korkeusanomalia ζ.
7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt 7.1 Stokesin yhtälö ja Stokesin integraaliydin Sopivasti yhdistämällä alaluvussa 4.3 olevat yhtälöt saadaan helposti g n T = R n 1, n=2 missä asteluvuille n = 0,1, g n oletetaan taas häviävän, koska n = 0 edustaa normaalikentän kokonaismassan erotusta Maan kokonaismassasta, ja n = 1 koordinaatiston origon poikkeamaa Maan massakeskipisteestä). Tämä on nyt Stokesin yhtälön spektraalimuoto. Asteosuusyhtälön 2.15 avulla saadaan integraaliyhtälö: T = R 2n + 1 ) gp n cosψ dσ = 4π n=2 n 1 σ = R [ 2n + 1 4π σ n=2 n 1 P ) ] n cosψ gdσ = = R S ψ ) gdσ, 4π missä σ S ψ ) = n=2 2n + 1 n 1 P ) n cosψ, Stokesin ydinfunktio. Kulma ψ on laskentapisteen ja liikkuvan datapisteen välinen kulmaetäisyys. Tämän kaavan avulla voi laskea, maailmanlaajuisesta painovoima-aineistosta, jokaiselle Maan pinnan pisteelle häiriöpotentiaali T, ja siitä geoidin korkeus N Brunsin kaavan 4.2, N = T/γ kautta, tuloksena N φ,λ ) = R 4πγ σ S ψ ) g φ,λ ) dσ, 7.1) 147
148 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt g N Massa-ylijäämä Massaalijäämä N Kuva 7.1. Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate. N φ,λ ) Laskentapiste g φ,λ ) dσ missä φ,λ ) ja φ,λ ) ovat laskentapiste ja liikkuva piste datapiste ) ja niiden välinen etäisyys on ψ. Kaava 7.1 on klassinen, gravimetrisen geoidilaskennan Stokesin yhtälö. Ylläoleva on esimerkki integraalikaavojen ja spektraalikaavojen vastaavuudesta. Tästä löytyy muitakin esimerkkejä. Aiemmin annettiin funktion 1/l spektraaliesitys Heiskanen ja Moritz 1967) kaava 1-81). Tietys- Sψ) ψ Maan keskipiste Liikkuva integrointipiste Kuva 7.2. Stokesin yhtälön integrointi geometrisesti.
7.1. Stokesin yhtälö ja Stokesin integraaliydin 149 25 20 15 S ψ ) 1 sin ψ /2) 6sin ψ 2 + 1 5cosψ 3cosψln sin ψ 2 + sin2 ψ 2 ) 10 5 0 5 Sψ) ψ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Kuva 7.3. Stokesin ydinfunktio S ψ ). Argumentti ψ radiaaneina [0,π). Kuva näyttää myös analyyttisen ilmaisun 7.2 kolme eri osaa eri asymptoottisine käyttäytymisineen. ti 1/l on myös ydinfunktio integraaliyhtälössä josta saa potentiaalin V jos annettuna on pintakerroksen massatiheys κ. Myös Stokesin yhtälön versio ulkoavaruudelle on olemassa; se annettiin jo aikaisemmin, kaava 4.9. Sen ydinfunktion spektraalimuoto, ks. kaava 4.10, on S r,ψ, R ) = ) R n+1 2n + 1 r n 1 P ) n cosψ. n=2 Stokesin ydinfunktio Maan pinnalla on kuvattu kuvassa 7.3, missä kulma ψ on annettu radiaaneissa 1rad 57,3). Tämä käyrä laskettiin seuraavan suljetun ilmaisun avulla ks. Heiskanen ja Moritz, 1967, alaluku 2-16, yhtälö 2 164): 1 Sψ) = sin ψ /2) 6sin ψ sin 2 + 1 5cosψ 3cosψln ψ 2 + ψ sin2 2 ). 7.2) Tämä suljettu ilmaisu auttaa ymmärtämään paremmin miten funktio käyttäytyy origon ψ = 0 lähellä: ensimmäinen termi, sin ψ /2)) 1, menee äärettömyyteen kun ψ 0. Seuraavat kolmet termit, 6sin ψ 2 + 1 5cosψ, ovat kaikki rajalliset koko välillä [0,π] ja limiitti kun ψ 0 on 4. Viimeinen, monimutkainen termi 3cosψln sin ψ 2 + sin2 ψ 2 ) menee
150 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt myös äärettömyyteen positiiviseen äärettömyyteen! mutta paljon hitaammin, logaritmin ansiosta. 7.2 Luotiviivan poikkeamat ja Vening Meineszin kaavat Derivoimalla Stokesin yhtälö paikan suhteen saadaan luotiviivan poikkeamien komponenttien integraaliyhtälöt Heiskanen ja Moritz, 1967 Kaava 2 210 ): ξ η = 1 g ds ψ ) 4πγ σ dψ = 1 4πγ σ cosα sinα dσ = g ds ψ ) cosα sinψdαdψ, 7.3) dψ sinα jossa ξ, η ovat etelä-pohjois- ja lansi-itä-suuntaiset luotiviivan poikkeamat, ja yksikköpallon pinta-alkio dσ = sinψdαdψ, missä sinψ on α,ψ ) -koordinaatien jakobiaani. Nämä kaavat johti ensimmäisenä hollantilainen geofyysikko F. A. Vening Meinesz. Kulma α on atsimuti eli suuntakulma laskenta- eli evaluointipisteen φ,λ ) ja liikkuvan integrointi- eli datapisteen φ,λ ) välillä. Kaavat on paljon vaikeampaa kirjoittaa spektraalimuotoon, koska ydinfunktiot ovat nyt myös atsimutisuunnan α funktioita, eli anisotrooppisia. Häiriöpotentiaali, painovoimahäiriö ja painovoima-anomalia ovat kaikki ns. isotrooppisia suureita: ne eivät riipu suunnasta, ja siksi spektraaliesityksessä niiden väliset muunnokset ovat vain asteluvun n funktioina. 7.3 Poissonin integraaliyhtälö Katso kuva 7.4. Kappaleen piste Q on paikassa R, ja havaintopiste P paikassa r. Kahden paikkavektorien välinen kulmaetäisyys, origosta katsottuna, on ψ. Pisteiden P ja Q välinen etäisyys on l. Ensiksi voidaan kirjoittaa kosinisääntö) l = r 2 + R 2 2rR cosψ.
7.3. Poissonin integraaliyhtälö 151 z P l r Q R ψ y O x Kuva 7.4. Generoivan funktion geometria. Voidaan myös kirjoittaa funktio 1/l seuraavana kehitelmänä todistus ks. Heiskanen ja Moritz 1967) s. 33): 1 l = 1 r 2 + R 2 2Rr cosψ = 1 R ) R n+1 ) P n cosψ n=0 r 7.4) missä r = r ja R = R ovat pisteiden P ja Q etäisyydet origosta eli maan keskipisteestä. Funktiota 1/l kutsutaan Legendre-polynomien generoivaksi funktioksi. Differentioimalla kaava 7.4 r:n suhteen saadaan r R cosψ l 3 = 1 R Tämä kerrotaan 2r:n kanssa: 2r2 2rR cosψ l 3 = 1 R n=0 ) n + 1 R n+1 P n cosψ). r r ) R n+1 2n + 2) P n cosψ). r n=0 Lasketaan yhteen tämä kaava ja kaava 7.4: 2r 2 + 2rR cosψ + l 2 = 1 R l 3 ) R n+1 ) 2n + 1) P n cosψ. r Vasen puoli yksinkertaistuu käyttämällä r 2 + 2rR cosψ + l 2 = R 2 : n=0 2r 2 + 2rR cosψ + l 2 l 3 = R2 r 2 l 3,
152 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt ja lopputulos on kertomalla R:llä): R r 2 R 2) ) R n+1 ) l 3 = 2n + 1) P n cosψ. 7.5) r n=0 Jos nyt lainataan asteosuusyhtälö 2.15 potentiaalifunktiolle V maapallon pinnalla, säde R: sekä yhtälö 2.16: saadaan V φ,λ, r ) = 1 4π V n φ,λ ) = 2n + 1 4π V φ,λ, r ) = σ V φ,λ, R ) P n cosψ ) dσ, ) R n+1 ) V n φ,λ, n=0 ) R n+1 2n + 1) n=0 r r V φ,λ, R ) ) P n cosψ dσ = σ = 1 V φ,λ, R )[ ) R n+1 ) ] 2n + 1) P n cosψ dσ = 4π σ n=0 r = R r 2 R 2) V φ,λ, R ) 4π l 3 dσ suoraan yhtälöön 7.5 sijoittamalla. σ Näin on saatu Poissonin yhtälö harmonisen funktion V laskemiseksi maapallon pinnalla annetuista arvoista: V P = R r 2 R 2) 4π l 3 V Q dσ Q, 7.6) σ jossa l on taas suora etäisyys evaluointipisteen P missä V P lasketaan) ja liikkuvan integrointipisteen Q pallon pinnalla, V Q integraalimerkin alla) välillä. Tässä kaavassa on annettu pisteille nimet: laskentapisteen P:n koordinaatit ovat φ,λ, r ), integrointipisteen Q:n koordinaatit φ,λ, R ). Saman kaavan vielä kolmas kirjoitusmuoto, joka soveltuu silloin kun funktio eli kenttä V ei ole varsinaisesti määritetty Maan topografian pinnan ja merenpinnan välillä, on V = R r 2 R 2) V dσ, 4π σ jossa V tarkoittaa harmonisesti alaspäin koko matkaa topografian sisään merenpintaan saakka eli palloapproksimaatiossa pallon pintaan l 3
7.4. Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa 153 r = R)jatkanutta funktion V arvoa, eli funktio, joka on topografian yläpuolella sama kuin V, on harmoninen, ja on myös olemassa topografian ja merenpinnan välillä. Sellaisen funktion olemassaolo on ollut klassinen teoreettinen pähkinä... Kaava 7.6 ratkaisee ns. Dirichletin reuna-arvotehtävä. 7.4 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa Edellisessä alaluvussa 7.3 johdettu kaava 7.6 pätee mielivaltaiselle harmoniselle kentälle V, siis kentälle, jolle V = 0. Kaava voidaan kätevästi soveltaa ilmaisulle r g, siis painovoima-anomalia kerrottuna säteen kanssa, sekin harmoninen kenttä. Näin voimme ilmaistaa ulkoavaruuden painovoima-anomalia g φ,λ, r ) R-säteisen vertauspallon painovoima-anomalioiden g φ,λ, R ) funktiona. Funktio r g on harmoninen, koska kaavan 4.7 mukaan g = 1 ) R n+1 n 1) T n, 7.7) r r siis n=2 r g = ) R n+1 ) R n+1 n 1) T n = S n, r r n=2 n=2 ) ) jossa S n φ,λ = n 1) Tn φ,λ on laillinen pintapallofunktio aivan kuten T n φ,λ itse. Myös riippuvuus säteestä r, kerroin R/r) n+1, on sama ) kuin harmonisen) potentiaalin tapauksessa. Siis Poissonin integraaliyhtälö 7.6 pätee funktiolle r g: [ r g φ,λ, r )] = R 4π σ r 2 R 2)[ R g φ,λ, R )] l 3 dσ, eli g φ,λ, r ) = R2 r 2 R 2) g φ,λ, R ) 4πr σ l 3 dσ. 7.8) Vaihtoehtoinen kirjoitustapa: g = R2 4πr σ r 2 R 2 g dσ, jossa g merkitsee painovoima-anomalia merenpinnan tasolla, taas laskettuna jatkamalla harmonisesti alaspäin ulkoista kenttää, tässä tapauksessa ilmaisua r g. l 3
154 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt Ks. myös Heiskanen ja Moritz 1967) kaava 2-160. Approksimoimalla r + R 2r saadaan vielä g φ,λ, r ) R2 r R) g φ,λ, R ) 2π σ l 3 dσ. Vaihtoehtoisesti johdetaan spektraalimuoto: g = 1 r ) R n+1 ) R n+2 n 1) T n = g n. r r n=2 Asteosuusyhtälö 2.15 antaa funktiot g n : joiden avulla jossa n=2 g n = 2n + 1 ) gp n cosψ dσ, 4π σ g = 1 ) R n+2 2n + 1) gp n cosψ)dσ = 4π n=2 r σ = 1 [ ) R n+2 2n + 1) P n cosψ)] gdσ = 4π σ n=2 r = 1 K gdσ, 7.9) 4π σ K r,ψ, R ) ). R n+2 ) = 2n + 1) P n cosψ r n=2 on modifioitu) Poissonin ydin painovoima-anomalioille. Sen suljettu muoto voidaan poimia kaavasta 7.8: K r,ψ, R ) = R2 r r 2 R 2 l 3. Stokesin ytimen verrattuna Poissonin ydin putoaa nopeasti nollaan kasvaville l-arvoille. Ts. integraalikaavan evaluointia voidaan rajoittaa hyvin paikalliseen alueeseen, esim. kalottiin jonka säde on 1. Ks. kuva 7.5. Poissonin ytimen pääasiallinen käyttö on painovoima-anomalioiden harmoninen jatkaminen ylös- tai alaspäin, eli eri korkeuksilla mitattujen ja laskettujen painovoima-anomalioiden saattaminen samaan vertaustasoon. Limiitissä r R laskentatasoksi merenpinta) tämä ydinfunktio menee asymptootisesti Diracin δ-funktioon. Yhtälöiden 7.9 ja 7.8 välinen ero on vain numeerisisessa käyttäytymisessään.
7.5. Painovoima-anomalian pystygradientti 155 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 Poissonin ydinfunktio, dimensioton 1 km 2 km Painovoimagradientin ydinfunktio, yksikkö km 1 1 km 1.25 km 1.5 km 2 km Etäisyys km) 0 1 2 3 4 5 6 7 Kuva 7.5. Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille sekä anomaalisen painovoimagradientin ytimet eri korkeuksille. Nämä ydinfunktioiden arvot sopivat pinta-integrointiin karttakoordinaateissa kilometreina. 7.5 Painovoima-anomalian pystygradientti Differentioidaan kaavoista 4.6, 4.7 saatu kaava: ) R n+2 g = g n = g r r = 1 ) R n+3 n + 2) g n. R r n=2 Tämä kaava on tarkka palloapproksimaatiossa. Sen ydinfunktio on hyvin lokalisoitu, ts. hyvin nopeasti nollaan putoava, siis pieni kalotti myös tässä riittää laskennassa. g n on asteosuusyhtälön 2.15 mukaisesti laskettuna merenpinnan anomaliakentältä: siis g n = 2n + 1 4π σ n=2 g φ,λ, R ) P n cosψ ) dσ, g φ,λ, r ) = 1 ) R n+3 2n + 1)n + 2) r 4πR n=2 r g φ,λ, R ) ) P n cosψ dσ = σ = 1 K r,ψ, R ) g φ,λ, R ) dσ, 7.10) 4πR jossa ydinfunktio on K r,ψ, R ) = σ ) R n+3 ) 2n + 1)n + 2) P n cosψ. n=2 r
156 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt Vaihtoehtoisesti johdetaan suljettu kaava. Lähdetään Poissonin kaavasta 7.8 painovoima-anomalioille, ja differentioidaan r:n suhteen 1 : g φ,λ, r ) [ = R 2 r 2 R 2) r r 4πr σ r 2 + R 2 2rR cosψ ) 3/2 g φ,λ, R ) ] dσ = = R2 1 2 r2 R 2 r 4π σ l 3 2 3 2r 2R cosψ ) r 2 R 2) g φ,λ, R ) dσ = 2rl 2 = R2 1 [2 4π σ l 3 3 l 2 + r 2 R 2) r 2 R 2) ] 2r 2 l 2 g φ,λ, R ) dσ 1 R 2 r 2 R 2) g φ,λ, R ) r 4πr σ l 3 dσ = = R2 1 2 3 r 2 R 2) 2r 4π σ l 3 2 3 r 2 R 2) r 2 R 2) g φ,λ, R ) dσ 2r 2 l 2 1 r g φ,λ, r ) = = R2 1 [2 4π σ l 3 3 r 2 R 2) 2 ] 2r 2 l 2 g φ,λ, R ) dσ [ 1 r + 3 ] g φ,λ, r ) = 2r = R2 1 [2 4π l 3 3 r 2 R 2) 2 ] 2r 2 l 2 g φ,λ, R ) dσ σ 5 2r g φ,λ, r ). 7.11) Kaavan lopullisessa oikeassa puolessa oikeanpuoleinen termi on hyvin pieni tyypillisesti alle tuhannesosa) verratuna vasemmanpuoliseen termiin. Molemmat hakasuluissa olevat termit ovat samaa suuruusluokkaa. Huomaa lopuksi, että, jos integrointi suoritetaan maapallon pinnan säde R) eikä yksikköpallon σ säde 1) yli, kerroin R 2 putoaa pois molemmasta kaavasta 7.8 ja 7.11. Molodenskyn menetelmässä tämä tai vastaavat kaavat voidaan evaluoida nopeasti hyvin paikallisesta painovoimadatasta. Kirjassa Heiskanen ja Moritz 1967) annettu suljettu kaava 2-217 2, on 1 Vihje: käytä symbolisen algebran ohjelmisto. 2 Kaavan derivoinnissa on muuten oletettu, että g on harmoninen. Se ei ole: r g on harmoninen.
7.6. Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä 157 pystygradientti evaluoituna merenpinnalla vertauspallolla). Siksi se on erilainen kuin yllä annettu kaava 7.11. Myös tässä annetussa kaavassa, kuten kaavassa 7.10, tarvitaan painovoima-anomaliat merenpinnalla. Käytettävissä ovat kuitenkin anomaliat topografian pinnalla. Käytännössä voidaan menetellä iteratiivisesti, ensin olettamalla, että topografian tasolla mitatut anomalia-arvot ovatkin merenpinnan tasolla: g 0) φ,λ, R ) g φ,λ, r ) = g φ,λ, R + H ), jossa H = H φ,λ ) on pisteen φ,λ ) topografian korkeus. Kun ensimmäinen, karkea anomaliagradientti on laskettu esim. yhtälöllä??, voidaan suorittaa oikea reduktio merenpintaan, aluksi lineaarisesti: ja niin edelleen. g 1) φ,λ, R ) g φ,λ, R + H ) g r 0) H, 7.6 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä Stokesin yhtälön käyttö gravimetriseen geoidilaskentaan edellyttää että kaikki massat ovat geoidin sisällä ja ulkoinen kenttä on siis harmoninen). Siksi siirretään topografiset massat laskennallisesti geoidin sisään. Monesta menetelmästä tämän saavuttamiseksi tulevat oikeastaan vain neljä kysymykseen jos halutaan laskea kvasi-)geoidi Maan pinnalla ja sen ulkopuolella. Jokaisessa menetelmässä tapahtuu massansiirtoja joita tulee spesifioimaan. Helmertin toinen) kondensaatiomenetelmä: Massat siirretään suoraan alaspäin geoidille pintatiheyskerrokseksi. Tämän jälkeen painovoiman siirtäminen alaspäin topografipinnalta meren pintaan on helppoa. Epäsuora vaikutus massasiirron vaikutus geoidiin, "Restore -vaihe) on pieni. Bouguer-reduktio: tämän epäsuora efekti on ylen suuri ja ulottuu suurelle alueelle, ja siksi sitä käytetään harvemmin. Tässä topografisten massojen vaikutus raa asti poistetaan havaitusta painovoimadatasta, ja geoidilaskun jälkeen, se palautetaan yhtä raa asti laskettuun tulokseen.
158 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt Molodensky-menetelmä: topografiset massat siirretään geoidin sisään, merenpinnan alapuolelle, tavalla joka ei muuta ulkopuolista kenttää. Tämä on itse asiassa sama kuin määrittäisimme harmonisesti alaspäin jatketun kentän geoidin. Ongelmana tässä on, että tälläinen massajakauma, joka tuottaisi harmonisesti alaspäin jatkettua ulkoista potentiaalia topografian pinnan ja geoidin välillä, ehkä ei tarkasti ottaen ole olemassakaan. Tai että sopiva massajakauma sisältäisi lähekkäin erittäin suuria positiivisia ja negatiivisia massoja, jotka ovat fysikaalisesti epärealistisia. Sanotaan, että ongelma on huonosti asetettu ill posed ). Ratkaisuna käytetään regularisointi: muutetaan hieman mahdollisimman vähän ulkopuolista kenttää, niin että se vastaa tarkasti johonkin järkevään topografian sisäiseen kenttään ja vastaavaan geoidin sisäiseen massajakaumaan. Aluksi voidaan esimerkiksi jo suodata pois Maan pinnan painovoimakentästä lyhytaaltoiset, topografian aiheuttamat osat korkean resoluution digitaalisen maastomallin avulla. RTM residual terrain modelling) -menetelmä. Tämä koostuu kahdesta vaiheesta: 1) Ensin poistetaan laskennallisesti topografiasta lyhyet aallonpituudet alle 30 km) siirtämällä huippujen massat laaksoihin; tämän poiston vaikutus mitattuihin painovoima-anomalioihin evaluoidaan Remove -vaihe). 2) Sen jälkeen sovelletaan Molodenskyn resepti, joka toimii nyt kuten pitää, koska ensimmäinen vaihe toimii suodattimena: ulkopuolisessa kentässä on jäljellä lähinnä vain pitkät aallonpituudet, joiden harmoninen alaspäin jatkaminen onnistuu. 3) Koska tarvittavat massojen siirrot ovat niin pieniä, siirtoetäisyydet niin lyhyitä ja siirtokuviot niin lyhytaaltoisia, on epäsuora vaikutus eli Restore -vaihe massasiirtojen aiheuttama geopotentiaalin muutos joiden vaikutus on sovellettava käänteisenä lopullisen geopotentiaali- tai geoidiratkaisun
7.6. Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä 159 Kuva 7.6. Residual terrain modelling RTM). Maastosta poistetaan laskennallisesti lyhyet aallonpituudet, eli erotukset punaisesta katkoviivasta: sen yläpuolella nousevat maaston massat poistetaan, sen alapuolelle jäävät laaksot täytetään. Reduktion jälkeen punainen viiva sileampi kuin alkuperäinen maasto) on uusi maaston pinta. Uuden massajakauman ulkoinen potentiaali eroaa vain vähän alkuperäisestä, mutta se on sileämpi ja siksi sitä voidaan harmonisesti jatkaa alaspäin merenpintaan. saavuttamiseksi on niin pinei, että sitä tyypillisesti voi jättää huomioimatta. Vain ensimmäinen vaihe muuttaa ulkopuolista kenttää. Siksi esim. tuntemattoman topografian tiheyden vaikutus jää minimaaliseksi. 7.6.1 Molodensky-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa Yllä kuvattu Molodensky-menetelmä voidaan linearisoida: T φ,λ, H ) = R [ g φ,λ, H ) g ] 4π H H S ψ ) dσ + T H. 7.12) H σ Siis, ensin redukoidaan maaston pinnalla mitattu ja laskettu g merenpintaan käyttämällä anomalioiden gradienttia ja mittauspisteen korkeutta H, tuloksena g = g g H H. Sen jälkeen sovelletaan merenpinnalla Stokesin yhtälö, ja saadaan merenpinnan häiriöpotentiaali T. Tämän jälkeen häiriöpotentiaali antiredukoidaan takaisin maastotasoon, evaluointipisteeseen, kaavalla T = T + T H H. Näissä kaavoissa koko ajan T, sen pystyderivaatta, ja g ja sen pystyderivaatta kuuluvat ulkoiseen, harmoniseen painovoimakenttään, ja niiden välinen yhteys on fysikaalisen geodesian perusyhtälö 4.4, pallogeometriassa: g = T H 2 r T,
160 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt jossa r = R + H. Tässä tarvitaan ensin häiriöpotentiaalin pystyderivaatta. Se on helppoa: meillä on T H = g 2 r T, jossa ensimmäinen termi on suoraan mitattu, ja toisen termin T saadaan iteratiivisesti ratkaisuprosessin päätuotteena. Painovoima-anomalioiden gradientin laskeminen on vaikeampaa. Tähän tarjoutuu integraaliyhtälö 7.10: g φ,λ, r ) = 1 ) R n+3 2n + 1)n + 2) r 4πR n=2 r g φ,λ, H ) ) P n cosψ dσ. σ Käytännön laskennan onneksi tämä integraali on hyvin lokalisoitu eikä tarvita painovoimadataa g kovin laajalta alueelta. 7.6.2 Laskentapiste vertaustasoksi Yllä olevassa kaavassa 7.12 vertaustasona on käytetty merenpinta. Tämä on mielivaltainen: voimme käyttää mitä tahansa vertaustaso, esim. H 0, jolloin T φ,λ, H ) = R + H 0 4π σ + T H H H 0). g φ,λ, H ) g H ) ) H 0 S ψ ) dσ + H Mikäli nyt valitaan H 0 = H, putoaa viimeinen termi pois ja saadaan T φ,λ, H ) = R + H g φ,λ, H ) g H H )) S ψ ) dσ. 4π h σ Tässä tapauksessa redukointi tapahtuu g-mittauspisteen korkeudesta T-laskentapisteen korkeuteen, todennäköisesti lyhyempi matka kuin merenpinnalta laskentakorkeuteen, varsinkin laskentapisteen välittömässä läheisyydessä. Tämä merkitsee, että linearisointivirhe jää pienemmäksi. Huonoa toisaalta on, että suluissa oleva ilmaisu on nyt jokaiselle evaluointipisteelle erilainen. Tämä mutkistaa FFT-pohjaisen laskentatekniikan käyttöä, ks. myöhemmin. Tässä puhuttiin koko aikaa häiriöpotentiaalin T φ,λ, H ) määrittämisestä; tama on käytännössä sama asia kuin korkeusanomalian ζ φ,λ, H ) = T φ,λ, H ) γ φ, H ).
7.7. Remove-Restore -menetelmä 161 määrittämistä. Tässä γ on pisteen leveysasteelle φ ϕ) ja korkeudelle H laskettu normaalipainovoima. 7.7 Remove-Restore -menetelmä Kaikki nykyisin käytössä olevat geoidimääritysmenetelmät ovat tavalla tai toisella "Remove-Restore" menetelmiä, jopa usealla eri tavalla. 1) Havaituista painovoima-arvoista poistetaan ensin globaalisen painovoimakentän vaikutus. Globaalinen malli on yleensä annettuna pallofunktiokehitelmänä. Näin saadaan residuaalinen painovoimakenttä jonka numeeriset arvot ovat pienempiä helpompi käsitellä) ja joka on paikallisempi: pitkät aallonpituudet, suurten alueiden systemaatiikat, ovat residuaalikentästä poistettu, vain paikalliset yksityiskohdat ovat jäljellä. 2) Havaituista painovoimasta poistetaan kaikkien massojen vaikutukset jotka ovat geoidin ulkopuolella. Tämän tarkoitus on saada residuaalinen painovoimakenttä johon Stokesin yhtälö voidaan käyttää, koska reunapinnan ulkopuolella ei ole massoja jäljellä; ja josta erityisesti maaston aiheuttamat painovoimakentän hyvin lyhyet aallonpituudet yksityiskohdat joiden suuruusluokkaa on muutama km) ovat poissa. Tämän jälkeen painovoimaarvojen prediktio harvoista mittausarvoista sujuu paremmin. Painovoimareduktiomenetelmät, siis menetelmät jotka laskennallisesti poistavat ulkopuolisten massojen painovoimavaikutuksen, joilla on hyvät prediktio-ominaisuudet, ovat Bouguer-reduktio vaikka Bougueranomaliat sisältävät suurta negatiivista systematiikka vuoristossa ja isostaatinen reduktio. Voimme kuvata Remove-Restore menetelmä seuraavan kommutoivalla kaaviolla avulla:
162 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt Remove Restore g Raaka voima ) N Globaalinen pv-kentän malli g loc N loc Ulkopuoliset massat g red Stokes = N red Tässä diagrammassa paksut nuolet osoittavat laskutoimituksia jotka ovat suositeltavia, koska ne ovat helppoja ja tarkkoja. Suluissa oleva nuoli, suora laskenta, on hankalaa ja laskenta-intensiivistä. 7.8 Ydinfunktion modifikaatio Remove-Restore -menetelmässä Yllä kuvatussa Remove-Restore -menetelmässä redukoitujen painovoimaanomalioiden g red ja geoidikorkeuksien N red käsittely tapahtuu tyypillisesti suhteellisen pienen alueen sisällä. Esim. FFT-menetelmää käyttäessä on laskenta-alue usein suorakulmainen alue karttaprojektiotasossa, piirrettynä reilusti sen maan tai alueen ympärille, jonka geoidi yritetään laskea. Myös jos lasketaan geoidi suoraan integroimalla Stokesin yhtälö, evaluoidaan tämä integraali, globaalisen mallin poistamisen jälkeen, vain rajatun alueen eli kalotin yli. Eli evaluoidaan kaava N red = R S ψ ) g red dσ, 7.13) 4πγ σ 0 jossa σ 0 on yksikköpallon kalotti, jonka säde on vaikkapa ψ 0. Oletus tämän takana on, että g red kalotin ulkopuolella on sekä pieni että nopeasti vaihteleva, koska pidemmät aallonpituudet ovat siitä poistuneet globaalisen mallin reduktion mukaan. Tämä voi kuitenkin olla vaarallinen olettamus. Kirjoitetaan yo. kaavassa 7.13, S ψ ) = ja n=2 g red φ,λ ) = 2n + 1 n 1 P ) n cosψ n=l+1 g n φ,λ ),
7.8. Ydinfunktion modifikaatio Remove-Restore -menetelmässä 163 olettaen, että L on aineistosta pois redukoidun globaalisen pallofunktiomallin suurin mukana oleva asteluku 3. Nyt, koska g n on pintapallofunktioiden ) ) P n m cosψ sin m α m = n,..., 1, Y nm ψ,α = ) P nm cosψ cos mα m = 0,..., n, eräs lineaariyhdistelmä, eli, g n ψ,α ) = n m= n g nm Y nm ψ,α ), ja myös Y n0 ψ,α ) = Pn cosψ ), seuraa Y -funktioiden ortogonaalisuuden perusteella, että σ ) P n cosψ Yn mdσ = Y n0 Y n mdσ = 0 jos n n tai m 0. σ Nyt voidaan kirjoittaa huomaa, että termit n L putoavat pois: S ψ ) ) ) ) g red φ,λ = S ψ gred ψ,α = [ 2n + 1 = n=2 n 1 P ) ] n cosψ [ n ) ] g nm Y nm ψ,α = n=l+1 m= n 3... ja että malli on tarkka
164 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt 25 20 15 Sψ) S 3 ψ) S 4 ψ) S 5 ψ) S 6 ψ) 10 5 0 5 0 0.5 Kulmaetäisyys ψ rad) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Kuva 7.7. Modifioituja Stokes-ydinfunktioita. Huomaa, miten ytimen arvo paikallisen alueen ulkopuolella menee nollaan korkeammilla L- arvoilla. jossa = S L ψ ) = [ n=l+1 [ n=l+1 m= n 2n + 1 n 1 P ) ] n cosψ n = S L ψ ) g red φ,λ ), n=l+1 g nm Y nm ψ,α ) ] = 2n + 1 n 1 P ) n cosψ on ns. modifioitu Stokes-ydinfunktio. Astelukua L kutsutaan modifiointiasteeksi. Laskenta-alueen σ 0 kanssa. koko valitaan yhteensopivaksi tämän Tässä kuvattu modifiointimenetelmä, S-funktion Legendre-polynomikehitelmän rajoittaminen korkeampiin astelukuihin, on nimeltään Wong-Gore 4 modifikaatio Wong ja Gore, 1969). Uuden ydinfunktion S L toivottava ominaisuus on, että se olisi ainakin alkuperäisfunktion S verrattuna pieni kalottialueen σ 0 ulkopuolella. Siinä tapauksessa integraalin rajoittaminen kalottiin koko yksikköpallon sijasta kaava 7.13) ei tee suurta vahinkoa. Selvä on, että S L on paljon kapeampaa 4 L. Wong ja R.C. Gore työskentelivät Aerospace Corporationilla, Kaliforniassa sijaitsevalla avaruusteknologian tutkimuslaitoksella. http://en.wikipedia. org/wiki/the_aerospace_corporation.
7.9. Edistyneitä ydinfunktion modifikaatioita 165 kuin S, onhan siinä vain korkeammat harmoniset asteluvut edustettuna. Tätä voidaan verifioida piirtämällä molempien käyrien grafiikka. Se ei mene kuitenkaan täydellisesti nollaan kalotin ulkopuolella, vain aaltoilee jonkin verran. Syy tähän aaltoiluun on, että taajuus- eli astelukudomeenissa modifioidun ydinfunktion leikkaus on hyvin äkkinäinen. Tällaisen terävän reunan muuntaminen avaruus- ja taajuusdomeenien välillä tuottaa aina värähtelyä, joka liittyy niin sanottuun Gibbs 5 inin ilmiöön. 7.9 Edistyneitä ydinfunktion modifikaatioita Kirjallisuudesta löytyy muitakin ydinfunktion modifiointikeinoja. Niiden yleinen muoto on S L ψ ) 2n + 1 = n=l+1 n 1 P ) L n cosψ + 1 s n ) 2n + 1 n=2 n 1 P ) n cosψ = = S ψ ) L 2n + 1 s n n 1 P ) n cosψ, 7.14) n=2 jossa modifikaatiokertoimet s n, n = 2,..., L voidaan valita 6. Ne valitaan S L :n arvojen minimoimiseksi kalotin ulkopuolisella alueella σ σ 0. Tällä tavoin voi eliminoida kaavan 7.13 katkaisuvirhe, ja Wong-Gore - modifikaation aaltoilut, lähes kokonaan. Molodensky ym. 1962) kehitti jo varhain sellaisen menetelmän. Ylläolevassa yhtälössä 7.14 haluamme minimoida funktiota S L paikallisen kalotin ulkopuolisen alueen σ σ 0 yli, siis minimoida S L ψ ) = S ψ ) L n=2 2n + 1 s n n 1 P ) n cosψ. Kerrotaan tämä ilmaisu jokaisen Legendre-polynomin P n cosψ ), n = 2,..., L kanssa vuorollaan, ja integroidaan paikallisen kalotin ulkopuolisen alueen σ σ 0 yli: ˆ σ σ 0 S ψ ) P n cosψ ) dσ L s n n =2 2n ˆ + 1 n 1 σ σ 0 P n cosψ ) Pn cosψ ) dσ = 0, 5 Josiah Willard Gibbs 1839 1903) oli amerikkalainen fyysikko, kemisti, matemaatikko ja insinööri. 6 Valinta s n = 1 antaa taas yksinkertaisesti modifioitu Stokesin ydin, josta matalat asteosuudet on kokonaan poistettu.
166 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt L 1 yhtälön ryhmä L 1 tuntemattomassa s n : jossa ˆ L n =2 A nn s n = b n, n = 2,..., L, b n = S ψ ) ) P n cosψ dσ σ σ 0 ja ˆ A nn = 2n + 1 ) ) n P n cosψ Pn cosψ dσ. 1 σ σ 0 Tästä voimme ratkaista s n jokaiselle asteluvulle n 2:n ja L:n välillä. Tämä ratkaisu nollaa ilmaisut ˆ myös kaikille n-arvoille 2:n ja L:n välillä. σ σ 0 S L ψ ) P n cosψ ) dσ, 7.15) Ilmaisut 7.15 voidaan tulkita skalaarituloina funktioiden S L ja P n välillä. Samalla tavalla A nn :n alkiot sisältävät funktioiden P n ja P n väliset skalaaritulot. Huomaa, että nämä skalaaritulot eivät häviää: kun integroidaan σ σ 0 :n eikä σ:n yli, Legendren polynomit eivät ole keskenään ortogonaaleja. Siksi matriisi A on täysi, symmetrinen, positiivisdefiniitti matriisi eikä päälävistäjämatriisi, kuten silloin kun integroidaan koko yksikköpallon σ yli. Legendren polynomit ovat kuitenkin keskenään riippumattomia myös tällä integrointialueella, ja virittävät yhdessä L 1 -ulotteista lineaarista vektoriavaruutta. Nyt ψ 0 -säteisen kalotin σ 0 ulkopuolella, Stokesin ydinfunktio, S ψ ), on, visuaalisen tarkastelun perusteella, sileä. Riippuen tietysti ψ 0 :n ja L:n arvoista, se voi olla niin sileä, että se ei sisällä mitään merkittävää osuutta asteluvuista jotka ovat L:ää suurempia. Jos tämä pätee funktiolle S, se pätee myös funktiolle S L. Tämä merkitsee, että S L on polynomien P n, n = 2,..., L lineaariyhdistelmä eli niiden virittämän vektoriavaruuden alkio. Mutta jos näin on, ja skalaaritulot 7.15 jokaisen kantavektorin kanssa häviävät, on S L oltava nollafunktio alueella σ σ 0. Ks. myös Featherstone 2003). Liite A.1 selittää lisää lineaarisista vektoriavaruuksista ja vektoreiden välisestä skalaaritulosta.
7.10. Paikallisen vyöhykkeen vaikutus 167 7.10 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus Gravimetrisen geoidin numeerisessa laskennassa käytetään anomalioiden keskiarvoja laskettuina standardikokoisille soluille eli blokeille, yleensä 5 5, 10 10, 30 30 jne. Euroopan leveysasteilla käytetään usein kokoja 3 5, 5 10, 6 10 jne., jotka ovat likimäärin neliön muotoisia. Seuraava kaava pätee integraalin laskennassa blokkien keskiarvoja käyttäen: N = i c i g i, missä g i on blokin i keskiarvo, ja paino ) R c i λ,φ = S ψ ) dσ, 4πG σ i missä σ i on blokin i pinta-ala. Sellaisen integraalin arvon numeerinen laskenta, ns. kvadratuuri, tapahtuu kätevästi Simpsonin säännön 7 avulla: ) R c i λ,φ = 4πγ ˆ λ2 ˆ ϕ2 λ 1 λ φr 4πγ ϕ 1 3 S λ,φ,λ,φ ) cosφ dλ dφ w j j=1 k=1 3 ) w k S jk λ,φ, missä λ ja ϕ ovat blokkikoko, w 1 = w 3 = 1/6 ja w 2 = 4/6. S 11,..., S 33 ovat ilmaisun [ S λ,φ,λ,φ ) cosφ ] arvot laskennassa käytettyjen solmupisteiden kohdilla, 3 3 kappaletta. Ks. kuva 7.8. Myös monimutkaisempia kaavoja toistettu Simpson tai Romberg) voi käyttää. Voidaan näyttää, että paikallisen sisäisen) vyöhykkeen vaikutus geoidiin laskentapisteessä φ,λ ) on verrannollinen itse pisteen painovoimaanomaliaan g. Jos lähdetään Stokesin yhtälöstä 7.1 ja S ψ ) sin ψ/2) 1 2/ψ saadaan, jos ympyrän muotoisen sisäisen vyöhykkeen säde on ψ 0 : N int = R 4πγ ˆ 2π ˆ ψ0 0 0 2 g sinψdψdα R ψ 4πγ 2π g 0 2ψ 0 = d γ g 0. Tässä ρ = Rψ 0 on paikallisen blokin kalotin ) säde metreissä. g 0 on painovoima-anomalian blokkikeskiarvo. 7 Thomas Simpson FRS 1710 1761) oli englantilaismatemaatikko ja oppikirjojen laatija. Simpsonin sääntö käytti itse asiassa jo Johannes Kepler sataa vuotta aiemmin.
168 Luku 7. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt 1 36 4 36 1 36 j = 3 4 36 16 36 4 36 j = 2 1 36 4 36 i = 1 2 3 1 36 j = 1 Kuva 7.8. Simpson-integroinnin solmupistepainot kahdessa ulottuvuudessa. Luotiviivan poikkeamien paikkalliset osuudet taas ovat verrannollisia painovoima-anomalioiden vaakagradientteihin. Lähdetään Vening- Meineszin yhtälöistä 7.3, joihin sijoitetaan yllä olevat approksimaatiot paikalliselle kalotille: ξ int 1 4πγ η int ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 2ψ ) cosα 2 g sinα sinψdαdψ. Kehitetään g paikallisille suorakulmaisille, metrisille koordinaateille x, y: g g 0 + x g x + y g y = g 0 + R sinψ cosα g ) x + sinα g, y ja sijoitetaan: ξ int 1 4πγ η int 1 4πγ ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 cosαsinψdαdψ, ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 sinαsinψdαdψ. 2ψ )[ 2 g 0 + R sinψ cosα g )] x + sinα g y 2ψ 2 )[ g 0 + R sinψ cosα g )] x + sinα g y Tässä termit joissa g 0 putoavat pois α-integroinnissa koska 2π 0 sinα = 0), kuten myös sekätermit joissa sinαcosα. Jää ξ int 1 4πγ R 2πγ ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 2 ψ 2 R sinψcosα g cosα sinψdαdψ x g x cos2 α dαdψ = R 2γ ˆ ψ0 0 g x dψ,
Harjoitus 7 1: Stokesin yhtälö 169 η int 1 4πγ R 2πγ ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 ˆ ψ0 ˆ 2π 0 0 2 ψ 2 R sinψsinα g sinα sinψdαdψ y g y sin2 α dαdψ = R 2γ ˆ ψ0 0 g y dψ. Viimeisen ψ-integraation suorittaminen antaa nyt, käyttäen Rψ 0 = d: ξ int = d 2γ g x, η int = d 2γ g y. Joskus nämä kaavat ovat käyttökelpoisia, esimerkiksi hilamenetelmien virhe-arvioinnissa. Olkoon hilan silmäkoko x; yo. kaavoihin voi sijoittaa d x/2, ja g:n paikkaan sijoitetaan g obs g grid, missä g grid on hilatiedostosta interpoloitu painovoima-anomalia-arvo laskentapisteen kohdalla. Tällä tavoin saadaan karkea arvio siitä, paljonko virhettä hilan silmäkoko aiheuttaa. Harjoitus 7 1: Stokesin yhtälö 1) Johda Stokesin yhtälön S ψ ) yksinkertaisempi muoto, joka pätee vain kun kulmaetäisyys ψ on pieni. Oikeasti vain yksi termi! 2) Käyttäen tätä termiä, kirjoita integraaliyhtälö N = R 4πγ σ S ψ ) gdσ napakoorrdinaatteihin, siis integraaliksi muotoa ˆ 2π ˆ 0 0 dsdα, jossa s = ψr on metrinen etäisyys laskentapisteestä, ja α on atsimutikulma suuntakulma) N:n laskentapisteestä liikkuvaan suureen g:n integrointipisteeseen. [Vihje: täytyy ottaa mukaan Jakobin determinantti napakoordinaateille s, α)] 3) Laske N kaavana) jos g = g 0 vain ympyräalueen sisällä s s 0, ja sen ulkopuolella g = 0. Oleta, että s 0 on pieni.)
8. Spektraalimenetelmät, FFT 8.1 Stokesin lause konvoluutiona Lähdetään liikkeellä Stokesin yhtälölta T φ,λ ) = R S ψ ) g φ,λ ) dσ, 4π σ jossa φ,λ ) on liikkuvan pisteen integrointi- eli datapisteen) sijainti Maan pinnalla ja φ,λ ) evaluointipisteen sijainti, sekin Maan pinnalla. Yleensä molempien pisteiden sijainnit ilmaistaan pallokoordinaatteina φ,λ ), ja vastaavasti integrointi suoritetaan yksikköpallon σ pinnan yli: pintaelementti on dσ = cosφ dφdλ, missä tekijä cosφ edustaa niiden pallokoordinaattien φ,λ ) Jacobin determinantti eli jacobiaani. Kuitenkin paikallisesti, riittävän pienellä alueella, voidaan kirjoittaa pisteiden koordinaatit myös suorakulmaisesti, ja myös integraali suorakulmaisissa koordinaateissa. Sopivat suorakulmaiset koordinaatit ovat esim. karttaprojektiokoordinaatit, ks. kuva 8.1. Yksinkertainen esimerkki tangenttitason suorakulmaisista koordinaateista olisi x = ψr sinα, y = ψr cosα, 8.1) jossa α on atsimuti evaluointi- ja liikkuvan pisteen välillä. Tämän projektion keskus on tangenttitason kosketuspiste. Muiden pisteiden sijainti mitataan Maan keskipisteen kulmalla ψ, siis palloetäisyys, ja tangenttitason suuntakulmalla eli atsimuutilla α. Realistisempi esimerkki käyttää suosittua konformista karttaprojektio- 171
172 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT y α x R ψ Kuva 8.1. Karttaprojektiokoordinaatit x, y paikallisessa tangenttitasossa. ta, stereografista projektiota: x = 2sin ψ /2) R sinα, y = 2sin ψ /2) R cosα. Pienten ψ-arvojen limiitissä tämä on sama kuin kaavat 8.1. Ottamalla kaavoista 8.1 neliöt, summaamalla ne, ja jakamalla R 2 :lla saadaan ψ 2 x2 + y 2 R 2. Yleisemmin ψ on kahden pisteen x, y) laskenta- eli evaluointipiste) ja x, y ) integrointi- eli liikkuva piste) välinen kulmaetäisyys maapallon keskustasta nähtynä, likimäärin x x ψ 2 ) 2 y y ) 2 +. R R Lisäksi on otettava huomioon projektion Jacobin determinantti: ja Stokesin yhtälösta tulee nyt T x, y) 1 4πR dσ = R 2 dxd y kaksi-ulotteinen konvoluutiointegraali 1. S x x, y y ) g x, y ) dx d y, 8.2) 1 Integraatio kulkee miinus äärettömyydetä plus äärettömyyteen sekä x- että y- koordinaatissa. Tämä voi olla fysikaalisesti realistinen jos ydinfunktio S eroaa nollasta vain rajatulla alueella. Tämä pitää paikkansa osassa 7.8 esitetyille, modifioiduille ydinfunktioille.
8.2. Integrointi FFT:llä 173 Konvoluutioilla on hyviä ominaisuuksia Fourier-teoriassa. Jos kutsutaan Fourier-muunnos symbolilla F, ja konvoluutio symbolilla, voidaan yo. kaava lyhentää seuraavaksi: T = 1 4πR S g, ja konvoluutiolauseen mukaan Fourier muuntaa konvoluutio kertolaskuksi ): F {T} = 1 F {S}F { g}. 4πR Tämän x, y) -tasoapproksimaatio toimii vain, jos tarvittava integrointi voidaan rajoittaa paikalliseen alueeseen jossa Maan pinnan kaarevuutta voidaan jättää huomioimatta. Tämä onnistuu kiitos globaalisten pallofunktiokehitelmien käyttöä, koska ne kuvaavat Maan painovoimakentän spatiaalisen vaihtelun globaalista osuutta. Sen jälkeen kun havaituista painovoima-anomalioista g on poistettu globaalisen pallofunktiomallin vaikutus Remove -vaihe), voidaan laskentapisteesta kaukana olevien alueiden vaikutus turvallisesti unohtaa: poiston jälkeen anomaliakenttä sisältää vain jäävät lyhytaaltoiset osat, joiden vaikutus kumoutuu pitemmän matkan päässä. Tietenkin kun integraali on laskettu ja paikallinen häiriöpotentiaali T loc saatu, on muistettava, että tähän olisi taas lisättävä globaalisen pallofunktiomallin erikseen laskettava T glob -vaikutus Restore -vaihe). 8.2 Integrointi FFT:llä Konvoluutiolauseen tarvittama Fourier-muunnos lasketaan diskreettina Fourier-muunnoksena. Tähän löytyy laskennallisesti erittäin tehokas Fast Fourier Transform eli FFT esim. Kakkuri, 1981 ss. 183 200). Kirjallisuudesta löytyy muutama hieman erilainen Fourier-muunnoksen kaava; mikä niistä valitaan on ilman merkitystä, jos vaan Fouriermuunnos F ja sen käänteismuunnos F 1 ovat yhteensopivia. Esivalmisteluna lasketaan ensin funktiosta g x, y) diskreetti hilaesitys, suorakulmainen g-arvojen taulukko tasaisen pistevälin x, y)
174 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT -hilalla. Arvot voivat vaikkapa olla funktioarvot itse hilapisteissa 2 : g i j = g x i, y j ), jossa hilapisteiden koordinaatit ovat: x i = iδx, i = N 2,..., N 2 1, y j = jδy, j = N 2,..., N 2 1, sopiviksi valituilla hilan väleillä δx, δ y). Indeksien i ja j arvosekvenssit on valittu siten, että alueen keskipiste x = y = 0) on myös rakennetun arvotaulukon g i j keskellä i = j = 0). Kokonaisluku N, parillinen luku, on tassa hilan koko, oletettu samaksi x:n ja y:n suuntaan mikä ei ole välttämätön). Seuraavaksi tehdään samoin ydinfunktiolle S ψ ) = S x x, y y ) = S x, y), eli kirjoitetaan jossa taas N on hilan koko): S i j = S x i, y j ), x i = iδx, i = N 2,..., N 2 1, y j = jδy, j = N 2,..., N 2 1. Myös tässä i- ja j- indeksien arvosekvenssien valinta johtuu halusta saada symmetrisen S-funktion origon huippu S ψ ) kun x, y) 0,0) sijoitetuksi keskellä arvomatriisin S i j hilaa 3. Seuraavaksi: 1) näin saadut funktioiden S ja g hilaesitykset g i j ja S i j muunnetaan taajuusdomeenin niistä tulee siten kahden taajuuden, x- ja y- suuntaisten aaltolukujen u ja v, funktiot S uv ja G uv. Spatiaalitaajuudet ovat ω u = u/l,ω v = v/l, missä L on neliön muotoiseksi oletetun) alueen koko. 2 Vaihtoehtoja tähän löytyy. Esimerkiksi voidaan laskea jokaiselle hilapisteelle pistettä ympäröivän neliön muotoisen solun keskiarvo. 3 Ilman tätä toimenpidettä laskennan tulos olisi oikein, mutta väärässä paikassa...
8.2. Integrointi FFT:llä 175 2) Ne kerrotaan keskenään taajuuspari kerrallaan, eli lasketaan T uv = S uv G uv, u, v = 0... N 1, 3) ja muunnetaan tulos, T = F {T}, takaisin avaruusdomeeniin: T = F 1 {T }, eli häiriöpotentiaalia T kuvaavaksi hilaksi T i j = T ) x i, y j. Mielivaltaisen pisteen häiriöpotentiaali saadaan tästä hilasta interpoloimalla. Koordinaatit x i, y j kulkevat indeksien i, j funktioina samalla tavalla kuin kuvattu yllä g:n tapauksessa 4. Tämä menetelmä kelpaa häiriöpotentiaalin T ja vastaavasti geoidikorkeuden N = T/γ laskemiseksi painovoima-anomalioista Stokesin yhtälön avulla. Yhtä hyvin se kelpaa myös muiden suureiden, kuten esimerkiksi painovoima-anomalian pystygradientin, evaluoimiseen Poissonkaavan avulla. Ainoana vaatimuksena on, että kaava olisi kirjoitettavissa konvoluutiona. Myös käänteinen lasku on helppoa: Fourier- eli spektraalidomeenissa se on vain yksinkertainen jakolasku. Diskreetin Fourier-muunnoksen käyttö edellyttää, että syöttödata eli integroitavana oleva kenttä esimerkissä painovoima-anomaliat on annettuna laskenta-alueen peittävänä, säännöllisenä hilana, tai muunnettava sellaiseksi. Tulos esimerkissä häiriöpotentiaali saadaan samanmuotoisena säännöllisellä hilalla. Arvoja voi hilasta interpoloida haluttuihin pisteisiin. FFT-menetelmää voidaan taas kuvata kommutoivana kaaviona: Vapaa havainto- Interpolointi Pistepistevalinta hilapisteisiin hila Suora ratkaisu) FFT Ratkaisupisteet Interpolointi Pisteomissa paikoissaan ratk. pisteisiin hila 4 Itse asiassa, sekä g:n että T :n tapauksessa olisi mahdollista valita yksinkertaisempi hilageometria jossa indeksien arvosekvenssit olisivat i, j = 0,, N 1; kuitenkin S:lle on pakko valita origo keskelle hilaa.
176 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT Liitteestä C löytyy lyhyt selostus, miksi FFT toimii ja miksi se on niin tehokas kuin se on. 8.3 Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa Ylläolevassa kaavassa 8.2 koordinaatit x ja y ovat suorakulmaisia. Käytännössä usein otetaan leveys- ja pituusaste φ,λ ), mikä johtaa lisävirheisiin meridiaanikonvergenssin seurauksena eihän leveys- ja pituusastejärjestelmä ole suorakulmaisia. Hieman sopivampi olisi pari φ,λcosφ ). Ongelma on ratkaistu myös käsitteellisemmällä tasolla. 8.3.1 Strang van Heesin menetelmä Stokesin ydinfunktio S ψ ) riippuu vain laskentapisteen φ,λ ) ja datapisteen φ,λ ) välisestä kulmaetäisyydestä ψ. Kulmaetäisyyttä voidaan kirjoittaa seuraavasti pallo-approksimaatio): cosψ = sinφ sinφ + cosφ cosφcos λ λ ). Sijoitetaan cos λ λ ) = 1 2sin 2 λ λ ) cosψ = 1 2sin 2 ψ 2, 2 cos φ φ ) = 1 2sin 2 φ φ, 2 ja saadaan cosψ = cos φ φ ) 2cosφ cosφsin 2 λ λ 2 sin 2 ψ 2 = sin2 φ φ 2 + cosφ cosφsin 2 λ λ 2. Tässä seuraava approksimaatio lienee sallittu: cosφ cosφ. = cosφ 0, missä φ 0 on vertausarvo laskenta-alueen keskellä. Nyt ylläolevasta kaavasta tulee: sin 2 ψ 2 sin2 φ φ 2 + cos 2 φ 0 sin 2 λ λ 2, 8.3)
8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 177 mikä riippuu vain eroista φ. = φ φ ja λ. = λ λ; konvoluution edellytys. Tämän jälkeen FFT-menetelmä voidaan soveltaa käyttämällä koordinaatit φ,λ 5 ja modifioitu Stokesin funktio S φ, λ). = S 2 arcsin sin 2 φ 2 + cos2 φ 0 sin 2 λ ) ). 2 Tämä ovela tapa käyttää FFT:tä maantieteellisissä koordinaateissa keksi hollantilainen G. Strang van Hees 6 v. 1990. 8.3.2 Spherical FFT, monivyöhykemalli Jaetaan alue useaan kapeaan vyöhykkeeseen leveysasteen mukaan. Jokaisen vyöhykkeen sisällä sovelletaan Strang van Hees -menetelmä omalla optimaalisella keskusleveyspiirillä. Kirjoitetaan Stokesin yhtälö seuraavasti: N φ,λ ) = R S φ φ,λ λ ;φ )[ g φ,λ ) cosφ ] dφ dλ, 8.4) 4πγ jossa olemme ilmaisseet S ) leveysaste-eron, pituusaste-eron ja evaluointileveyden funktiona. Nyt valitaan kaksi tukilatitudia: φ i ja φ i+1. Oletetaan lisäksi että S on niiden välillä lineaarinen φ:n funktio. Siinä tapauksessa voimme kirjoittaa: S φ, λ,φ ) ) ) φ φi Si+1 φ, λ + φi+1 φ ) ) S i φ, λ =, φ i+1 φ i jossa φ = φ φ, λ = λ λ ja S i φ, λ ) S i+1 φ, λ ) = S φ φ,λ λ ; φ i ), = S φ φ,λ λ ; φ i+1 ). Integraaliyhtälöön 8.4 sijoittamalla saadaan: N φ,λ ) = R {[ ] φ φi )[ S i+1 φ, λ g φ,λ ) cosφ ] dφ dλ + 4πγ φ i+1 φ i 5 Käytännössä käytetään geodeettinen eli maantieteellinen leveysaste ϕ geosentrisen φ sijasta ilman merkittävää virhettä. 6 Govert L. Strang van Hees 1932 2012) oli hollantilainen gravimetrisen geodesian tutkija.
178 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT + [ ] φi+1 φ )[ S i φ, λ g φ,λ ) cosφ ] dφ dλ }. 8.5) φ i+1 φ i Tämä kaava on kahden konvoluution summa. Molemmat evaluoidaan FFT:n avulla ja saaduista ratkaisuista muodostetaan painotettu keskiarvo kaavan 8.5 mukaisesti. Tässä menetelmässä voimme käyttää likikaavan 8.3 sijasta eksakti kaava, jossa φ on ilmaistu φ:hin ja φ:hin: sin 2 ψ 2 = sin2 φ φ 2 + cosφ cosφsin 2 λ λ 2 = sin 2 φ 2 + cos φ φ ) cosφsin 2 λ 2. Tässä lasketaan taas S i ja S i+1 arvoille φ = φ i ja φ = φ i+1, evaluoidaan integraalit konvoluutiolauseen avulla, ja interpoloidaan N φ,λ ) kaavan 8.5 mukaan kun φ i φ < φ i+1. Tämänkään jälkeen ratkaisu ei ole täysin eksakti, koska jokaisen vyöhykkeen sisällä käytetään edelleen lineaarista interpolaatiota. Kuitenkin kapenemalla vyöhykkeet saadaan virhe pysymään mielivaltaisen pieneksi. = 8.3.3 Spherical FFT, Taylor-kehitelmämalli Tämä hieman monimutkaisempi, mutta myös monipuolisempi, lähestymistapa kehittää Stokesin ydin Taylor-sarjakehitelmäksi leveysasteen suhteen keskellä laskenta-aluetta sijaitsevan vertauslatitudin molemmin puolin 7. Kehitelmän jokainen termi riippuu vain leveysasteen erosta. Laskettava integraali hajoaa vastaavasti termeihin, joista jokainen sisältää puhdas konvoluutio. Kirjoitetaan yleinen ongelma seuraavasti: l ϕ,λ ) = ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 C ϕ,ϕ, λ )[ m ϕ,λ ) cosϕ ] dϕ dλ, jossa l sisältää laskettavat, m sisältää annetut suureet ja C on kerroineli ydinfunktio. Tässä on oletettu vain geometrian rotaatiosymmetria Maan pyörähdysakselin ympäri, eli ydinfunktio riippuu vain pituusasteiden erotuksesta λ eikä absoluuttisista pituuksista λ,λ. 7 Kirjallisuudessa menetelmä on yleistetty kehittämällä ydin myös korkeuden suhteen.
8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 179 Konkreettisessa tapauksessa m sisältää esimerkiksi g-arvoja eri pisteissä ϕ,λ ), l sisältää geoidikorkeuksia N eri pisteissä ϕ,λ ), ja C sisältää Stokesin ydinfunktion avulla laskettuja kertoimien arvoja. Muunnetaan ensin ϕ,ϕ -riippuvuus ϕ, ϕ-riippuvuudeksi: C = C ϕ,ϕ, λ ) = C ϕ, λ,ϕ ). Linearisoidaan: C = C 0 ϕ, λ ) + ϕ ϕ0 ) Cϕ ϕ, λ ) +... jossa määritellään sopivalle vertauslatitudille ϕ 0 : Sijoittamalla saadaan l = = = ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 ). ) C 0 ϕ, λ = C ϕ, λ,ϕ0, ). C ϕ ϕ, λ = ϕ C ϕ, λ,ϕ ). ϕ=ϕ0 Cm cosϕ dϕ dλ = [ C0 + ϕ ϕ ) C ϕ ] m cosϕ dϕ dλ = C 0 m cosϕ dϕ dλ + ϕ ϕ 0 )ˆ 2π 0 ˆ +π/2 π/2 C ϕ m cosϕ dϕ dλ. 8.6) Tärkeä tässä nyt on se, että ensimmäisen ja toisen termin integraalit, eli ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 C 0 m cosϕ dϕ dλ = ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 C 0 ϕ, λ )[ m cosϕ ] dϕ dλ. =. = C 0 [ mcosϕ ] ja ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 C ϕ [ m cosϕ ] dϕ dλ = ˆ 2π ˆ +π/2 0 π/2 C ϕ ϕ, λ )[ m cosϕ ] dϕ dλ. =. = C ϕ [ mcosϕ ] ovat molemmat konvoluutioita: molemmat C-funktiot riippuvat vain ϕ:stä ja λ:sta. Molemmat integraalit ovat laskettavissa jos vain vastaavat ϕ = ϕ ϕ ja λ = λ λ, ja vastaavat kerroinhilat C 0,C ϕ, ensin
180 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT lasketaan. Tämän periaatteessa kalliin, mutta FFT:n ja konvoluutiolauseen ansiosta paljon edullisemman) integroinnin jälkeen on yhdistelmän 8.6 laskeminen halpaa: yksi kertolasku ja yksi yhteenlasku jokaista evaluointipistettä ϕ,λ ) kohtaan. Esimerkki: olkoon laskenta-alue leveysasteella 60 kooltaan 10 20. Jos hilan silmäkoko on 5 10, on solujen määrä 120 120. Valitaan vaikkapa 256 256 hila siis: N = 256) ja täytetään puuttuvat arvot extrapoloiduilla arvoilla. Myös ydinfunktioiden C 0 ja C ϕ arvot lasketaan 256 256 -kokoisella ϕ, λ ) -hilalla. Niitä on siis myös 65536. Konvoluutioiden C0 [ mcosϕ ] ja Cϕ [ mcosϕ ] laskeminen FFT:n avulla siis: C 0 m cosϕ dϕ dλ = C 0 [ mcosϕ ] = F 1 { F {C 0 }F { mcosϕ }}, C ϕ m cosϕ dϕ dλ = C φ [ mcosϕ ] = F 1 { F { C ϕ } F { mcosϕ }}, vaatii N 2) 2 log N 2) = 65536 16 = reilu miljoonaa laskuatoimitusta, kertominen kertoimen ϕ ϕ 0 ) kanssa ja yhteenlasku taas kumpikin 65 536 laskuatoimitusta. Funktioiden C 0 ja C ϕ vastaavat hilamatriisit saadaan seuraavasti: kolmelle vertauslatitudille ϕ 1,ϕ 0,ϕ +1 lasketaan numeerisesti hilat jossa C 0 on suoraan tarjolla, ja C 1 = C ϕ, λ,ϕ 1 ), C 0 = C ϕ, λ,ϕ 0 ), C +1 = C ϕ, λ,ϕ +1 ), C ϕ C +1 C 1 ϕ +1 ϕ 1. Myös inversiolasku on näin suoraan mahdollinen. Olkoon annettuna l sopivassa pistehilassa. Lasketaan m:n ensimmäinen approksimaatio seuraavasti: F {C 0 }F { mcosϕ } = F {l} [ mcosϕ ] { } 0) = F 1 F {l}. F {C 0 } Toinen approksimaatio saadaan ensin laskemalla l 0) = C 0 [ mcosϕ ] 0) + ϕ ϕ0 ) Cϕ [ mcosϕ ] 0),
8.4. Mutkat matkalla; bordering, tapering 181 jonka jälkeen tehdään parannus: { { [ ] 1) [ ] 0) mcosϕ = mcosϕ + F 1 F l l 0) } }, F {C 0 } ja niin edelleen, iteratiivisesti. Pari, kolme askelta yleensä riittää. Tätä menetelmää on käytetty maanalaisten massapisteiden laskemiseksi painovoima-anomalioista esittämään Maan ulkopuolista painovoimakenttää. Enempää on selostettu julkaisussa Forsberg ja Vermeer 1992). 8.3.4 1D-FFT Tämä on edellisten rajatapaus, missä käytetään FFT vain pituusasteen suuntaan. Toisin sanoen, vyöhykemenetelmä missä vyöhykkeet ovat vain yhden pisteen kapeita. Tämä menetelmä on eksakti, mikäli otetaan kaikki pituusasteet 0 360 ) mukaan laskennassa. Se vaatii edellisten menetelmien verrattuna hieman enemmän laskenta-aikaa. Itse asiassa se on identtinen Fourier-muunnoksen kanssa muuttujassa λ, pituusaste. Yksityiskohdat löytyvät julkaisusta Haagmans ym. 1993). 8.4 Mutkat matkalla; bordering, tapering Diskreetti Fourier-muunnos olettaa, että data on periodisesti jatkuva. Käytännössä se ei sitä ole. Siksi aina jos käytetään FFT konvoluutiolauseen 8.2 kanssa, jatketaan data lisäämällä reunus data-alueeseen, ns. bordering. Usein reunus on 25% data-alueen koosta; silloin laskentaalueen koko on neljä kertaa itse data-alueen kokoa. Reunus täytetään usein nollilla, vaikka predikoidut arvot tai jopa mitatut arvot, jos niitä on olemassa on parempi valinta. Myös ydinfunktion laskenta-alue tehdään vastaavasti neljä kertaa suuremmaksi; tässä tapauksessa, kun funktio on symmetrinen, reunus täytetään kuitenkin oikeilla laskettavissa olevilla) arvoilla, jolloin se automaattisesti on periodisesti jatkuva. Koska diskreetti Fourier-muunnos olettaa periodisuutta, on huolehdittava siitä, että data todella on periodinen. Jos reunojen arvot eivät ole nolla, voidaan pakottaa ne nollaan kertomalla koko data-alue ns. tapering -funktiolla, joka menee sileästi nollaan reunoihin mennessä. Sellai-
182 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT 25% 1 50% 25% Data-alue 0 Kuva 8.2. Tapering 25%. nen funktio voidaan helposti rakentaa, esim. kolmannen asteen splinepolynomi tai kosini. Ks. kuva 8.2, jossa 25%:n tapering-funktio, sekä esimerkkikuvat 8.3, joista näkyy, miten ei-periodisuus jyrkät erotukset vasen ja oikean reunan sekä ala- ja yläreunan välillä) aiheuttaa vaaka- ja pystysuuntaiset artefaktit Fourier-muunnoksessa. Nämä artefaktit liittyvät Gibbsin ilmiöön, jo mainittu osiossa 7.8: terävä leikkkaus eli reuna aiheuttaa signaalia kaikissa taajuuksissa korkeimpiin saakka. Kuva 8.3. Esimerkkikuvia FFT-muunnoksesta ilman tapering ylhäällä) ja taperingin kanssa alhaalla). Käytetty on online FFT palvelu http://www.ejectamenta.com/imagingexperiments/fourierimagefiltering.html.
8.5. Geoidimallin laskenta FFT:llä 183 Ammattikirjallisuudessa on julkaistu paljon näistä teknisista asioista. Tutkimusryhmät jotka ovat osallistuneet FFT-geoidimääritystekniikan kehitykseen 1980-luvulla) ovat Forsberg:n ryhmä Kööpenhaminassa, Klaus-Peter Schwarzin ja Michael Sideriksen ryhmä Calgaryssa Kanadassa, Delftin ryhmä Strang van Hees, Haagmans, De Min, Van Gelderen), Milanon ryhmä Sansò, Barzaghi, Brovelli), Heiner Denker Hannoverin yliopiston laitoksessa Institut für Erdmessung, ja monet muut. 8.5 Geoidimallin laskenta FFT:llä Nykysin geoidi- tai kvasi-geoidimallin laskeminen on lisääntyneen tietokonetehon ansiosta helppoa, erityisesti FFT:n avulla. Toisaalta tarkan geodeettisen satelliittipaikannuksen käytön leviäminen on tehnyt tarkkojen geoidimallejen saatavuudesta tärkeää asiaa, jotta voitaisiin käyttää GNSS Global Navigation Satellite Systems) teknologia nopeaan ja edulliseen korkeudenmääritykseen. 8.5.1 GRAVSOFT-ohjelmisto GRAVSOFT -geoidilaskentaohjelmisto on pääosin tehty Tanskassa. Tekijöitä on ollut mm. Carl Christian Tscherning, René Forsberg, Per Knudsen, ja kreikkalainen Dimitris Arabelos. Käsikirja löytyy tästä: An_overview_manual_for_the_GRAVSOFT_Geodetic_Gravity_Field_ Modelling_Programs. Tämä paketti on laajassa käytössä ja tarjoaa FFT-geoidilaskun eri varianttien lisäksi mm. pienimmän neliösumman kollokaatiota, eri maastoefektien laskentaan soveltuvia rutiineja, ynnä muuta. Sen levinneisyyttä selittää osittain, että se on ilmainen tieteelliseen käyttöön ja tulee lähdekoodin muodossa. Se on myös hyvin dokumentoitu. Siksi on löytyneet myös kaupallisia käyttäjiä mm. öljyteollisuudelta. GRAVSOFT on käytetty paljon myös opetuksessa esim. monessa IAG:n Kansainvälisen Geodeettisen Assosiaation) järjestämässä tutkijakoulussa eri maissa. http://www.isgeoid.polimi.it/schools/schools. html.
23 27 26 184 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT 20 24 28 32 70 20 19 70 68 68 25 31 29 28 24 23 22 21 30 20 66 19 66 18 17 18 64 64 25 24 22 21 18 20 19 62 18 62 17 16 19 60 15 60 16 20 24 28 32 2010 Oct 20 13:27:28 Kuva 8.4. Suomen FIN2000 geoidi. Aineiston lähde: Geodeettinen laitos. 8.5.2 Suomen FIN2000 geoidi Tällä hetkellä on Suomessa käytössä kaksi geoidimallia: FIN2000 kuva 8.4) ja FIN2005N00 Bilker-Koivula ja Ollikainen, 2009). Ensimmäinen malli on vertauspinta N60-korkeusjärjestelmälle: käyttämällä tätä GNSS-paikannuksen kanssa saadaan pisteiden N60-korkeus määritetyksi. Mallin antamat geoidin korkeudet ovat GRS80-vertausellipsoidin yläpuolella. Toinen malli on vastaavasti vertauspinta uudelle N2000- korkeusjärjestelmälle. Sekin antaa korkeuksia GRS80-ellipsoidista. FIN2000:n ja FIN2005N00:n tarkkuudet keskivirheet) liikkuvat ±2 3 cm:n tasolla.
8.6. FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä 185 8.6 FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä 8.6.1 Satelliitti-altimetria Per Knudsen ja Ole Balthasar Andersen ovat laskeneet maailman valtameren altimetrinen painovoimakarttaa lähtemällä satelliittialtimetriasta saaduista geoidikorkeuksista ja invertoimalla ne painovoimaanomalioiksi Andersen ym., 2010). Menetelmän pioneeri on ollut David Sandwell. 8.6.2 Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria Myös painovoimasatelliittien kuten CHAMP, GRACE ja GOCE) antamat aineistot voidaan alueellisesti käsitellä FFT-menetelmän avulla: GOCEn tapauksessa gradiometristen mittausten inversiolasku, siis geoidikorkeuksien laskeminen Maan pinnalla satelliittitason mittauksista. Myös ilmagravimetriamittaukset käsitellään tällä tavoin. Tätä ongelmaa kutsutaan harmonisesti alaspäin jatkaminen harmonic downward continuation ) ja se on periaatteessa epästabiili. Ilmagravimetria on käypä menetelmä laajojen alueiden gravimetriseksi kartoittamiseksi; pioneeriaikana mitattiin Grönlannin painovoimakenttää ja monta aluetta Arktiksen ja Antarktiksen ympärillä. Myöhemmin mitattiin Brasilian Amazonaksen, Mongolian ja Etiopian Bedada, 2010) kaltaisia alueita, missä ei ollut olemassa kattavaa terrestristä painovoima-aineistoa. Menetelmän etuna on se, että saadaan nopeasti mitatuksi laajoja alueita homogeenisesti. Myös ilmagravimetrian laskennassa FFT-menetelmä on käyttökelpoinen. 8.7 Maastokorjausten laskenta FFT:llä Maastokorjaus on hyvin paikallinen ilmiö, jonka laskentaan tarvitaan korkean resoluution maastotietoa suhteellisen pieneltä alueelta laskentapisteen ympäri. Näin ollen maastokorjauksen laskeminen on kuin luotu FFT-menetelmän käyttöön. Näytetään, miten FFT:n avulla maastokorjaus voidaan yksinkertaisesti ja tehokkaasti laskea. Tehdään seuraavat yksinkertaistavat oletukset:
186 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT Luotiviiva P θ Topografia H H Geoidi Kuva 8.5. Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä. 1) maaston kaltevuudet ovat suhteellisen pieniä; 2) maankuoren tiheys ρ on vakio; 3) Maa on litteä. Nämä oletukset eivät ole välttämättömiä. Kuitenkin yleinen tapaus johtaa kaavaviidakkoon auttamatta käsitteellistä ymmärrystä. Maastokorjaus, laskentapisteen korkeustason h ylä- ja alapuolella olevien tai puuttuvien topograafisten massojen yhteisvaikutus, saadaan näillä olettamuksilla lasketuksi seuraavalla suorakulmaisella kaavalla, joka kuvaa kalliopatsaiden vetovoimaa pystysuuntaan projisoituina kuva 8.5): ˆ + ˆ + Gρ H H ) TC x, y) = l 2 cosθ dx d y ˆ + ˆ + Gρ H H ) = l 2 1 H H dx d y 2 l = 1 ˆ + ˆ + H 2 Gρ H ) 2 l 3 dx d y. 8.7) Tässä Gρ H H ) l 2 on patsaan vetovoima ja 1 2 H H ) l 1 on voimavektorin jota oletetaan tulevan kalliopatsaan keskipisteestä) ja vertikaalisuunnan välisen kulman θ kosini. Tehdään lineaarinen approksimaatio, jossa l, vinoetäisyys laskentapisteen x, y) ja liikkuvan datapisteen x, y ) välillä, on samalla vaakaetäisyys: l 2 x x ) 2 + y y ) 2. Kaava 8.7 on helppoa tarkistaa suoraan Newtonin vetovoimalaista. Kun on oletettuna, että maasto on suhteellisen loiva, on l suuri ilmaisun
8.7. Maastokorjausten laskenta FFT:llä 187 H H verrattuna. Ylläolevasta kaavasta saadaan kehittämällä termeihin: TC x, y) = 1 2 GρhH2 ˆ + GρH ˆ + ˆ + ˆ + H + 1 2 Gρ ˆ + ˆ + 1 l 3 dx d y l 3 dx d y + H ) 2 l 3 dx d y, 8.8) jossa jokainen integraali on konvoluutio ytimenä l 3, ja integroitavina funktioina 1, H ja H ) 2. Valitettavasti yllä määritetyllä funktiolla l 3 ei ole Fourier-muunnos, siksi yllä oleva määritelmä muutetaan hieman lisäämällä pieni termi: l 2 = x x) 2 + y y) 2 + δ 2. 8.9) Silloin ylläolevassa summassa termit ovat suuria lukuja jotka melkein kumoutuvat, antaen lähes oikean tuloksen. Kuitenkin numeerisesti tämä tilanne ei ole mielyttävä. Jos l määritellään kaavan 8.9 mukaisesti, ytimen l 3 Fourier-muunnos on Harrison ja Dickinson, 1989): F {l 3 } = 2π δ exp 2πδq) = 2π δ [1 2πδq + 4π2 q 2 δ 2 1 2 ]..., missä q. = u 2 + v 2, ja u, v ovat aaltolukuja taajuuksia ) x- ja y- suunnissa x, y) -tasossa. Jos tätä sijoitetaan kaavaan 8.8, huomataan että termit joissa on δ 1 summautuvat nollaksi, ja tietenkin myös termit missä on δ:n positiiviset potenssit häviävät kun δ 0. Seuraavasti Harrison ja Dickinson, 1989): F {TC} 1 [ 2π 2 GρH2 F {1} δ ] 1 2πδq) ] GρHF { H }[ 2π 1 2πδq) δ + ] + 1 { H 2 GρF ) }[ 2 2π 1 2πδq) δ jättämällä kaikki korkeamman δ:n potenssin termit pois. Laita termit toiseen järjestykseen: F {TC} = π δ Gρ [H 2 F {1} 2HF { H } + F { H ) 2 }] +
188 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT [ + 4π 2 q 1 2 GρH2 F {1} +GρHF { H } 1 { H 2 GρF ) }] 2. Koska F {1} = 0 jos q 0, toisen termin sisäinen ensimmäinen termi häviää aina. Saadaan muista, että H on vakio, laskentapisteen korkeus): F {TC} = π { [F δ Gρ H 2 2HH + H ) }] 2 + + 4π 2 q [GρHF { H } 12 { H GρF ) }] 2 ja käänteinen Fourier-muunnos antaa: TC = 2πGρ [ 1 δ 2 H2 H H+ 1 H ) ] 2 + 2 +GρHF 1 { F { H } 4π 2 q } 1 { { H 2 GρF 1 F ) } 4π } 2 2 q. Ensimmäisessä termissa 1 2 H2 H H + 1 H ) 2 1 = H H ) 2 = 0 2 2 pisteessä x, y) jossa H = H, ja saadaan: [ TC = 4π 2 GρF {q 1 HF { H } 1 { H 2 F ) }]} 2, josta nyt murheenkryyni δ 1 on hävinnyt. Tämän regularisoinnin tai renormalisoinnin edellytyksenä on, että pisteen x, y) kohdalla H = H, eli evaluointi tapahtuu Maan pinnalla. Yllä olevat konvoluutiot evaluoidaan FFT-tekniikalla; seikkaperäisempi selitys löytyy esim. artikkelissa Vermeer 1992). Maasto-efektin TC laskemiseksi ulkoavaruudessa lentokonegravimetria, mutta myös merenpohjan vaikutus merenpinnalla, tai vaikkapa Mohorovičićin rajapinnan vaikutus Maan pinnalla löytyy tekniikat, jotka hiemän toisella tavalla ilmaistavat TC konvoluutioiden summana, Taylor-sarjakehitelmänä. Varhainen artikkeli tästä aiheesta on Parker 1972).
9. Tilastolliset menetelmät 9.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa Geofysiikassa usein toimitaan, tai lasketaan tuloksia, epävarman tai puutteellisen havaintoaineiston perusteella. Maan painovoimakentän tutkimuksessakin tämä pitää paikkansa: esimerkiksi painovoimahavaintojen tiheys Maan pinnalla vaihtelee suuresti ja suuret alueet valtamerillä ja napa-alueilla ovat vain hyvin harvaan mittausverkon peittämiä. Avaruudesta käsin toimivat mittausteknologiat toisaalta peittävät koko maapalloa valtamerineen kaikkineen. Kuitenkaan ne taas eivät mittaa kovin suurella resoluutiolla. Joko instrumentin erotuskyky on rajallinen esim. satelliittiratahäiriöistä lasketut painovoimakenttäparametrit), tai instrumentit mittaavat vain suoraan satelliittiradan alla esim. satelliitti-altimetria). Toinen usein relevantti epävarmuustekijä on, että Maan pinnalla voidaan tehdä tarkkoja havaintoja, mutta Maan sisällä epävarmuus on paljon suurempaa ja tiedot paljon epäsuoraammin saatuja. Edellisissa luvuissa kuvailtiin tekniikat joiden avulla voitaisiin laskea Maan painovoimakentän halutut arvot tai parametrit, olettaen että esimerkiksi painovoima-anomaliat olisivat saatavissa kaikkialta Maan pinnalta ja rajattoman tarkalla resoluutiolla. Tässä luvussa katsotaan minkälaisia matemaattisia apuvälineitä voidaan käyttää reaalimaailman tilanteissa, joissa näin ei ole. 189
190 Luku 9. Tilastolliset menetelmät 9.2 Lineaariset funktionaalit Operaattoria, joka liittää jokaiseen, tiettyyn funktioavaruuteen kuuluvaan funktioon tiettyä numeerista arvoa, kutsutaan matematiikassa funktionaaliksi. Sellainen on esimerkiksi osittais-)derivaatta tietyssä pisteessa: f x f x). x=x0 Toiset funktionaalit ovat esim. integraali tietyn alueen yli: ˆ f f x) dx, ja niin edelleen. Voimme kirjoittaa symbolisesti: L = x eli L f ) = f x=x0 x. x=x0 Funktionaali tai operaattori on lineaarinen jos σ L αf + βg ) = αl f ) + βl g), α,β R. Huomaa että kaikki osittaisderivaatat kuten myös Laplacen operaattori ovat lineaarisia. Fysikaalisessa geodesiassa mielenkiintoiset funktionaalit ovat kaikki T φ,λ, R ) = T φ,λ, r ) r=r, siis Maan pinnan häiriöpotentiaalifunktion, funktionaaleja. Teoriassa käytetään siis pallo-approksimaatio 1, ja pallon pinta, säde R, vastaa keskimerenpintaan. Esim. pisteen P häiriöpotentiaali T P φ,λ, R merenpinnan tasolla paikalla φ,λ on sellainen ) ) funktionaali: T,, R) T φ,λ, R ). Jopa jos piste P ei olisi merenpinnan tasolla: T,, R) T φ,λ, r ). Jopa jos suure ei olisi häiriöpotentiaali vain vaikkapa painovoimaanomalia, tai luotiviivan poikkeama: T,, R) g φ,λ, r ), 1 Tämä ei ole välttämätöntä, mutta approksimaation aiheuttama virhe on pieni.
9.3. Tilastotiede Maan pinnalla 191 T,, R) ξ φ,λ, r ), T,, R) η φ,λ, r ). Käikki nämä ovat myös lineaarisia funktionaaleja. Itse asiassa, jos kirjoitetaan T = ) R n+1 n ) P n sinφ anm cos mλ + b nm sinλ), r m=0 n=2 silloin jopa pallofunktiokehitelmän kertoimet a nm, b nm ovat kaikki häiriöpotentiaalin T lineaarisia funktionaaleja: T,, R) a nm, T,, R) b nm. Tässä T,, R) on lyhenne koko funktiolle T φ,λ, R ), φ [ π/2,+π/2], λ [0,2π), mihin käytämme myös notaatiota T R. 9.3 Tilastotiede Maan pinnalla Tilastotieteessä määritellään stokastinen prosessi stokastiseksi suureeksi satunnaissuureeksi) jonka arvoavaruus eli domeeni on funktioavaruus, eli jonka realisaatioarvot ovat funktioita. Stokastinen prosessi voi olla ajassa kehittyvä suure jonka tarkka käyttäytyminen on epävarma, esim. satelliitin rata. Samalla tavalla kun reaaliarvoiselle) stokastiselle suurelle x voidaan laskea odotusarvo E { x } ja varianssi C xx = Var { x } { [x { }] } 2 = E E x, voidaan näin tehdä stokastiselle prosessillekin. Ainoana erona on, että näin saadaan funktio. Olkoon esimerkiksi stokastinen prosessi xt) ajan funktio. Silloin voidaan laskea sen varianssifunktio seuraavasti: C xx t) = Var { xt) }. Stokastiselle prosessille voi kuitenkin laskea paljon enempää: esim. saman prosessin arvojen kovarianssi eri ajanhetkien välillä, ns. autokovarianssi: A xx t 1, t 2 ) = Cov { xt 1 ), xt 2 ) } =
192 Luku 9. Tilastolliset menetelmät = E {[ xt 1 ) E { xt 1 ) }][ xt 2 ) E { xt 2 ) }]}. Samoin, jos on käytettävissä kaksi eri prosessia, voidaan näiden välille laskea ns. ristikovarianssi, jne. Stokastisen prosessin argumentti on tavallisesti aika, t. Kuitenkin geofysiikassa tutkitaan stokastiset prosessit, joiden argumentit ovat paikka maan pinnalla, eli puhutaan prosesseista muotoa x φ,λ ). Auto- ja ristikovarianssien määrittäminen tapahtuu muuten samalla tavalla, mutta maapallon tapauksessa meillä on erikoinen ongelma. Stokastinen suure määritetään yleisesti suureena x, josta saadaan realisaatioita x 1, x 2, x 3,... joilla on tietyt tilastolliset ominaisuudet. Klassinen esimerkki on nopan heitto. Noppaa voi heittää yhä uudelleen ja uudelleen, ja heittojen tuloksilla voi harrastaa tilastotiedettä. Toinen klassinen esimerkki on mittaus. Saman suureen mittaus voidaan toistaa, ja toistetaankin, tarkkuuden parantamiseksi. Maan pinnalla määritellylle stokastiselle prosessille tilanne on toinen. Meillä on vain yksi maapallo. Siksi tilastotiedettä pitää harrastaa hieman eri tavalla. Annettuna stokastinen prosessi Maan pinnalla, x φ,λ ), määritellään tilastollisen odustusarvon E { } vastineeksi maantieteellinen keskiarvo M {x} = 1 x φ,λ ) dσ = 1 ˆ 2π ˆ +π/2 x φ,λ ) cosφdφdλ. 9.1) 4π 4π σ Tässä x φ,λ ) on prosessin x yksi ja ainoa realisaatio, joka meillä on olemassa tällä maapallolla. Ilmeisesti tämä määritelmä on järkevä vain siinä tapauksessa, että prosessin x φ,λ ) tilastollinen käyttäytyminen on samanlainen kaikkialla Maan pinnalla, siis riippumaton φ,λ ) :n arvosta. Tätä kutsutaan homogeenisuus-olettamukseksi. Se on itse asiassa olettamus, että maapallon pallosymmetria ulottuu painovoimakenttänsä tilastotieteelliseen käyttäytymiseen. Samoin kuin odotusarvoon perustuva tilastollinen varianssi, voimme määritellä maantieteellinen) varianssi: 0 π/2 C xx φ,λ ) = Var { x φ,λ )} = M { [x M {x}] 2 }. 9.2)
9.4. Painovoimakentän kovarianssifunktio 193 Painovoima-anomalioiden g φ,λ ) globaalinen keskiarvo häviää niiden määritelmänsä perusteella, eli M { g} = 0. Silloin kaava 9.2 yksinkertaistuu seuraavaksi: C g g φ,λ ) = Var { g φ,λ )} = M { g 2} = 1 4π σ [ g φ,λ )] 2 dσ. Tässä annettu maantieteellisen keskiarvon M { } määritelmä perustuu systeemin mahdollisten tilojen yli integrointiin. Kuten nähtiin, määritellään tilastotieteessä keskiarvo hieman toisella tavalla, stokastisen { } prosessin odotusarvona. Painovoima-anomaloiden tapauksessa E g, missä g on anomalia stokastisena prosessina, eli se g:n arvojen sarja joka syntyy jos tarkastellaan satunnaisesti syntynyt, äärettömän pitkä maapallojen sarja. Ei kovin käytännöllistä! Siinä tapauksessa että stokastisen prosessin odotusarvo on sama kuin integrointimenetelmällä laskettu yhden realisaation keskiarvo, puhutaan ergodisesta prosessista. Ergodisuuden todistaminen empiirisesti on geofysiikassa tavallisesti hankalaa tai mahdotonta. 9.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio Kovarianssifunktion määrittäminen pisteiden P ja Q välillä on monimutkaisempaa. Jotain kaavojen 9.1, 9.2 tapaista ei voida suoraan käyttää, koska sekä g P että g Q voivat liikkua koko Maan pinnan yli. Meillä on siis g P = g ) φ P,λ P, g Q = g ) φ Q,λ Q. Seuraavassa oletetaan, että laskettava kovarianssi riippuu vain pisteiden P ja Q relatiivisesta sijainnista. Homogeenisessa painovoimakentässä kovarianssifunktio ei riipu pisteiden absoluuttisesta sijainnista, mutta vain pisteiden P ja Q välisestä sijaintierosta. Kirjoitetaan φ Q = φ Q φp,λ P,ψ PQ,α PQ ),
194 Luku 9. Tilastolliset menetelmät P α Q ψ O Kuva 9.1. Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä. λ Q = λ Q φp,λ P,ψ PQ,α PQ ). φq,λ Q ) ovat laskettavissa 2, jos tunnetaan φ P,λ P ) sekä kulmaetäisyys ψ PQ ja atsimutikulma α PQ. Ks. kuva 9.1. Nyt voidaan kirjoittaa g Q = g Q φq φp,λ P,ψ PQ,α PQ ),λq φp,λ P,ψ PQ,α PQ )) = = g Q φp,λ P,ψ PQ,α PQ ), ja voidaan määritellä kovarianssifunktioksi: ) { ) )} C g g ψpq,α PQ = M gp φp,λ P gq φp,λ P,ψ PQ,α PQ = = 1 ) ) g P φp,λ P gq φp,λ P,ψ PQ,α PQ dσp. 4π σ Myös tässä, M on maantieteellinen keskiarvo-operaattori. Ensin kiinnitetään piste Q suhteessa pisteeseen P: sekä atsimuti α PQ että etäisyys ψ PQ pidetään kiinni. Pistettä P ja piste Q sen mukaan liikutetaan nyt koko Maan pinnan yli. Laskemme vastaava integraali koko yksikköpallon yli ja jaetaan 4π:llä: ) C g g ψpq,α PQ = M { } 1 g P g QP) = 4π = 1 4π ˆ +π/2 ˆ 2π π/2 0 σ g P g QP) dσ P = g P g QP) dλ P cosφ P dφ P. Homogeenisuusolettamuksen lisäksi teemme vielä isotrooppisuusolettamuksen: kovarianssifunktio tai yleisemmin, painovoimakentän tilastollinen käyttäytyminen ei riipu pisteparin P,Q) relatiivisestä 2 Puhutaan geodeettisesta päätehtävästä pallolla.
9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 195 suunnasta α PQ, vain niiden välisestä kulmaetäisyydestä ψ PQ. Tämäkin on, kuten homogeenisuus, maapallon pallosymmetrian eräs ilmenemismuoto.) Tässä tapauksessa voimme laskea maantieteellinen keskiarvo hieman eri tavalla, myös keskiarvostamalla kaikkien atsimutikulmien α PQ [0,2π) yli: C g g ψpq ) = M { g P g QP) } = 1 = 1 8π 2 ˆ 2π ˆ 2π ˆ +π/2 0 0 π/2 2π ˆ 2π 0 M { g P g QP) } dαpq = g P g QP) cosφ P dφ P dλ P dα PQ. 9.3) Huomautus. Maan todellinen painovoimakenttä ei ole kovin homogeeninen eikä kovin isotrooppinenkaan, mutta siitä huolimatta molemmat hypoteesit käytetään laajasti. 9.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio 9.5.1 Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa Kollokaatio on tilastollinen estimaatiotekniikka, jota käytetään stokastisen prosessin arvojen estimoimiseksi ja estimaattien epävarmuuden vaikkapa keskivirheiden) laskemiseksi. Olkoon st) stokastinen prosessi ja C ) t i, t j sen autokovarianssifunktio. Olkoon lisäksi prosessi stationaarinen, ts. mille tahansa kahdelle aikahetkille t i, t j meillä on C ) ) t i, t j = C t j t i = C t). Argumentti t on yleensä aika, mutta se voi olla mitä tahansa parametri, esim. matkan etäisyys. Tästa prosessista on tehty havaintoja ajan hetkissä t 1, t 2,..., t N ; prosessin vastaavat arvot näillä ajan hetkillä ovat st 1 ), st 2 ),..., st N ). Oletetaan aluksi, että nämä arvot ovat virheettömiä havaintoarvoja. Silloin havainnot ovat prosessin s funktioarvot, stokastiset suureet, joiden varianssi-kovarianssimatriisi voidaan kirjoittaa seuraavasti signaalivarianssimatriisi): C t 1, t 1 ) C t 2, t 1 ) C t 1, t N ) Var { } C t s i = 1, t 2 ) C t 2, t 2 )........ C t 1, t N ) C t 2, t N ) C t N, t N )
196 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Käytetään tähän symboli C i j, sekä matriisin yhdelle elementille C i j = C t i, t j ), että koko matriisille, Ci j = [ C t i, t j ), i, j = 1,..., N ]. Symboli si taas merkitsee prosessin arvoista st i ), i = 1,..., N koostuva vektori tai sen yksi alkio st i ). Huomaa, että, jos funktio C t i, t j ) tai C t) on tiedossa, koko matriisi ja kaikki sen elementit voidaan laskea kun vain kaikki parametriarvot t i ovat tiedossa. Olkoon nyt ongelman asettelu se, että pitää estimoida eli predikoida prosessin s arvo ajan hetkellä T, eli st), käyttäen yllä kuvatut havainnot st i ), i = 1,..., N. Samalla tavalla kun yllä laskettiin st i ):n ja s t j ) :n väliset kovarianssit varianssimatriisin C i j alkiot), lasketaan myös st):n ja kaikkien st i ), i = 1,..., N väliset kovarianssit. Saadaan Cov { st), st i ) } [ = C T, t 1 ) C T, t 2 ) C T, t N ) Tähän voidaan taas käyttää merkintä C T j. Tässä on oletettu, että on vain yksi aikahetki T johon estimointi kohdistuu. Yleistys tilanteeseen, jossa on useita T p, p = 1,..., M, on suoranainen. Silloin kovarianssimatriisista tulee M N -kokoinen: C T 1, t 1 ) C T 1, t 2 ) C T 1, t N ) Cov { s ) T p, sti ) } C T = 2, t 1 ) C T 2, t 2 ) C T 2, t N )..... C T M, t 1 ) C T M, t 2 ) C T M, t N ) Tähän voidaan käyttää yleisempi merkintä C p j. 9.5.2 Signaali ja kohina Prosessia st) kutsutaan signaaliksi. Se on fysikaalinen ilmiö johon olemme kiinnostuneet. On myös olemassa fysikaalisia ilmiöitä jotka ovat muuten samanlaisia, mutta mihin me emme ole kiinnostuneita: päinvastoin haluamme poistaa niiden vaikutus. Sellaisia stokastisia prosesseja kutsumme kohinaksi. Kun suoritetaan havainto, jonka tarkoitus on saada arvo suureelle st i ), saamme todellisuudessa arvo, joka ei ole absoluuttisen tarkka. Todellinen havainto siis on ]. l i = st i ) + n i. 9.4)
9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 197 Tässä n i on stokastinen suure: havaintovirhe eli kohina. Olkoon sen varianssi tarkemmin, useiden havaintojen yhteinen kohinavarianssimatriisi D i j. Tämä on aivan samanlainen matriisi kuin yllä C i j, ja myös symmetrinen ja positiivis-definiitti. Ainoa ero on, että D kuvaa kohinaa, ilmiötä, josta emme ole kiinnostuneita. Usein saa olettaa, että kahden eri havainnon l i,l j virheet n i, n j eivät korreloidu, jolloin D i j on diagonaalimatriisi. 9.5.3 Estimaattori ja sen virhevarianssi Nyt konstruoidaan estimaattori ŝ T p ) def = i Λ pi l i, käytettävissä olevien havaintojen l i lineaariyhdistelmä. Tämän estimaattorin elämän tarkoituksena on päästä mahdollisimman lähelle s T p ). Siis minimoitava suure on erotus ŝ T p ) s Tp ) = Λpi l i s T p ) = Λpi [ sti ) + n i ] s Tp ). Tässä jätettiin kirjoitusmukavuuden vuoksi summausmerkki pois Einsteinin summauskonventio): Summaamme aina vierekkäisten, i- denttisten indeksien, tässä tapauksessa i, yli. Tutkitaan tämän erotuksen varianssi eli Σ pp def = Var { ŝ T p ) s Tp )}. Käytämme hyväksi varianssien kasautumislakea, yllä annettuja notaatioita sekä tietoamme, että tuskinpa havaintoprosessin kohinan n ja signaalin s välillä ole olemassa mitään fysikaalista yhteyttä eli korrelaatiota. Näin: Σ pq = Λ pi Ci j + D i j ) Λ T jq + C pq Λ pi C T iq C p jλ T jq. 9.5) Varianssit Σ pp saadaan nyt asettamalla q = p. 9.5.4 Optimaalisuuden osoitus Tässä osoitetaan, että optimaalinen estimaattori on todella se, joka tuottaa pienimmät mahdolliset varianssit.
198 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Valitse Λ p j def = C pi Ci j + D i j ) 1. Silloin kaavasta 9.5, ja käyttäen hyväksi matriisien C ja D symmetrisyyttä: Σ pp = C pi Ci j + D i j ) 1 C T jp + C pp C pi Ci j + D i j ) 1 C T jp C pi Ci j + D i j ) 1 C T jp = = C pp C pi Ci j + D i j ) 1 C T jp. 9.6) Tutkitaan seuraavaksi vaihtoehtoinen valinta Tässä tapauksessa saadaan Λ p j = C pi Ci j + D i j ) 1 + δλp j. Σ pp = C ) 1 pp C pi Ci j + D i j C T jp [ + Ci ) ] + δλ pi j + D i j Λ T jp + [ )] Λ pi Ci j + D i j δλ T jp + + δλ pi Ci j + D i j ) δλ T jp δλ pic T ip C p jδλ T jp = ) 1 = C pp C pi Ci j + D i j C T jp + δλ pic T ip + C p jδλ T jp δλ pi C T ip C p jδλ T jp + δλ ) pi Ci j + D i j δλ T jp = ) 1 = C pp C pi Ci j + D i j C T jp + δλ ) pi Ci j + D i j δλ T jp. Tässä viimeinen termi ainoa ero tuloksen 9.6 verrattuna on positiivinen, koska matriisit C i j ja D i j ovat positiivis-definiittejä: Σ pp > Σ pp, paitsi jos δλ pi = 0. Toisin sanoen, yllä annettu ratkaisu Λ p j = C pi Ci j + D i j ) 1 = ŝ Tp ) = C pi Ci j + D i j ) 1 l j on optimaalinen pienimmän neliösumman tarkemmin, virhevarianssin Σ pp, p = 1,..., M minimoimisen merkityksessä. 9.5.5 Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio Pienimmän neliösumman kollokaatiota käytetään paljon Maan pinnalla painovoima-arvojen ja painovoimakentän muiden funktionaaliarvojen optimaaliseksi estimoimiseksi. Jos meillä on kaksi pistettä P ja Q, joiden mitatut painovoima-anomaliat ovat g P ja g Q, haluaisimme saada näiden kahden anomalian välinen kovarianssi } Cov { g, g. P Q
9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 199 Kuten jo argumentoitiin osiossa 9.4, voimme empiirisesti saada sellainen kovarianssi vain tutkimalla kaikki pisteparit P,Q) samassa keskinäisessä asennossa maailman ympäri, ja ottamalla niiden keskiarvo käyttäen M tai M operaattori. Tavallisesti kovarianssi oletetaan riippuvan vain pisteiden P,Q välisestä etäisyydestä ψ. Silloin puhutaan isotrooppisesta prosessista g φ,λ ). Silloin myös kovarianssi on } Cov { g, g = M { } ) g P Q P, g QP) = C ψpq. Usein käytetty kovarianssifunktio painovoima-anomalijoille on Hirvosen 3 kaava: C ψ ) C 0 = 1 + ψ /ψ 0 ) 2, 9.7) jossa C 0 = C 0) ja ψ 0 ovat painovoimakentän käyttäytymistä kuvaavia parametreja. Suuretta C 0 kutsutaan signaalivarianssiksi, ψ 0 korrelaatiopituudeksi. ψ 0 kuvaa etäisyyttä, jolla eri pisteiden painovoimaanomalioiden välillä on vielä 50% korrelaatiota. Paikallisissa sovelluksissa käytetään kulmaetäisyyden ψ sijasta metristä etäisyyttä s = ψr, jossa R on maapallon keskisäde. Silloin C s) = C 0 1 + s /d) 2. Tämä kaava johdattiin Yhdysvaltain Ohion osavaltion painovoima-aineistosta, mutta se pätee laajemminkin. C 0) = C 0, signaalivarianssi, kun s = 0. Myös suuretta d kutsutaan korrelaatiopituudeksi. Se on etäisyys d jolla C d) = 1 2 C 0, kuten kaavasta näkyy. Suure C 0 vaihtelee huomattavasti alueesta toiseen, sadoista tuhansiin mgal 2, ja on suurimmillaan vuoristo-alueilla. Suure d on yleensä suuruusluokkaa muutama kymmenen km. Varoitus: Hirvosen kovarianssikaava on tarkoitettu ilma-)painovoimaanomalioille, siis suureille jotka saadaan vähentämällä mitatusta painovoimasta normaalipainovoima. Nykyisin lasketaan usein 3 Reino Antero Hirvonen 1908 1989) oli suomalainen geodeetti ja Maan painovoimakentän tutkija.
200 Luku 9. Tilastolliset menetelmät C ψ ) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 4 0 2 0 x 2 4 4 2 y 2 4 Kuva 9.2. Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa. Oletettuna C 0 = d = 1. anomalioita vähentämällä havainnoista korkean asteen normaalikenttä eli pallofunktiokehitelmä. Silloin käytät Hirvosen kaavaa vain omalla riskillä! Vaihtoehtoiset funktiot, joita myös usein käytetään paikallisissa sovelluksissa, ovat ensimmäisen tai toisen järjestysluvun Gauss-Markov - prosessien kovarianssifunktiot: C ψ ) = C 0 e ψ/ψ 0 tai C ψ ) = C 0 e ψ /ψ 0) 2. g 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 35 30 25 y 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 x 40 Kuva 9.3. Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta. Tässä on annettuna kaksi datapistettä tähtiä); piirretty pinta antaa estimoitua arvoa g P alueen jokaiselle pisteelle. Tässä siis käytetään siis PNSkollokaatio painovoimadatan inter- ja ekstrapolointiin.
9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 201 9.5.6 PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille Jos on annettuna N pistettä P i, i = 1,..., N, joissa on mitattuna painovoimaarvot anomaliat) g i, voidaan, kuten yllä, konstruoida varianssimatriisi C 0 C ) ψ 21 C ) ψ N1 } C Var { g ) ψ = 12 C 0 C ) ψ N2 i..... =. C ) ψ 1N C ) ψ 2N C 0 C 0 C 21 C N1 C = 12 C 0 C N2...... = C i j,. C 1N C 2N C 0 jossa kaikki alkiot C ψ i j ) 9.7 avulla. Jos vielä lasketaan myös painovoimaltaan tuntemattomalle pisteelle P: } [ Cov { g, g = P i C ) ψ P1 C ) ψ P2 C ) ]. ψ PN = CP i, saadaan, täysin samalla tavalla kuin ennen, pienimmän neliösumman kollokaation ratkaisuksi: g P = C P i Ci j + D i j ) 1 g j C P i C 1 i j g j, jossa g j on pisteissä j = 1,..., N suoritetut painovoima-anomaliahavainnot. Matriisi D i j jota jättämme tässä huomioimatta) kuvaa taas näiden havaintojen tekemisen yhteydessä esiintyvä satunnainen havaintovirhe epätarkkuus). Useimmiten D i j on diagonaalimatriisi eli havainnot ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan eivätkä korreloidu keskenään. Voimme laskea myös yo. ratkaisun tarkkuusarvio eli ennustusvarianssi yhtälö 9.11): Σ PQ C PQ C P i C 1 i j C jq. Yhden tuntemattoman pisteen P tapauksessa Q = P ja Sen neliöjuuri on estimaattorin g P keskivirhe. Var { g P } = ΣPP = C 0 C P i C 1 i j C jp. σ gp = Σ PP
202 Luku 9. Tilastolliset menetelmät 9.5.7 Laskuesimerkki 30 20 y 1 15 mgal) P 2 20 mgal) 10 P 10 20 30 x Annettuna kaksi pistettä, joissa painovoima on mitattu ja painovoimaanomaliat laskettu: g 1 = 15mGal, g 2 = 20mGal. Koordinaatit x- ja y- suunnassa ovat kilometreissa. Oletetaan, että eri pisteiden painovoimaanomalioiden välillä on voimassa Hirvosen kovarianssifunktio: C s) = C 0 1 + s 2 /d 2, 9.8) jossa d = 20km ja C 0 = ±1000mGal 2. Tämän lisäksi oletetaan, että suoritetut painovoimamittaukset mukaanlukien painovoimapisteiden korkeuden määritys!) olivat virheettömiä. Siis D i j = 0, i, j = 1,2. Laske pisteen P painovoima-anomalian estimaatti g P ja sen keskivirhe σ PP = Σ PP. Lasketaan ensin etäisyydet s ja vastaavat kovarianssit C. s 2 12 = 30 20) 2 + 20 30) 2) km 2 = 200km 2, C 12 = C 21 = 1000mGal2 1 + 200/400 = 666,66... mgal2, s 2 1P = 30 10) 2 + 20 10) 2) km 2 = 500km 2, C 1P = 1000mGal2 1 + 500/400 = 444,44... mgal2, s 2 2P = 20 10) 2 + 30 10) 2) km 2 = 500km 2, C 2P = 1000mGal2 1 + 500/400 = 444,44... mgal2. Tästa seuraa C i j + D i j = C i j = C 11 C 12 C 21 C 22 = 1000 666,66 mgal 2, 666,66 1000
9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 203 ja sen käänteismatriisi Ci j + D i j ) 1 = 0,0018 0,0012 0,0012 0,0018 mgal 2. Meillä on myös [ C P i = ] [ C P1 C P2 = 444,44 444,44 ] mgal 2. Kun havaintojen vektori on g j = g 1 g 2 = 15 20 mgal, saadaan tuloksena [ g P = 444,44 444,44 ] 0,0018 0,0012 0,0012 0,0018 15 20 mgal = = 9,3333 mgal. Tarkkuus: Σ PP = C PP C P i Ci j + D i j ) 1 C jp = [ = C 0 444,44 444,44 ] 0,0018 0,0012 0,0012 0,0018 444,44 444,44 mgal 2 = = 762,96mGal 2 eli σ gp = ±27,622mGal. Tuloksen yhteenveto: g P = 9,3333 ± 27,622mGal. Tässä voi havaita, että löytynyt painovoima-anomalian estimaatti on paljon omaa epävarmuuttaan pienempaa, eli ei eroa merkittävästi nollasta. Itse asiassa kun jätetään havainnot kokonaan käyttämättä, a priori estimaatti g P = 0 ± 1000mGal = 0 ± 31,623mGal, melkein yhtä hyvä.
204 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Jos sen sijaan laitettaisiin piste P pisteiden 1 ja 2 väliin, paikkaan 25km,25km), silloin C P 1 = C P 2 = 1000mGal2 1+50/400 = 888,89mGal 2 ja g P = 18,667±7,201 mgal, a priori nolla-estimaattia huomattavasti parempaa. Ja jos olisi valittu käytettäväksi ensimmäisen järjestysluvun Gaussin- Markovin kovarianssifunktion C = C 0 e s/d, olisi saatu tuloksiksi g P = 7,663 ± 29,272mGal alkuperäiselle pistesijainnille, ja g P = 16,460 ± 18,426mGal siirrettylle sijainnille. 9.5.8 PNS-kollokaation teoria Yllä esitettiin erästä pienimmän neliösumman kollokaation LSC, leastsquares collocation) suosittua sovellusta. Tässä tutkitaan menetelmää yleisemmältä kannalta. Peruskaava on: [ ] ] 1 f = C f g C gg + D gg [g + n. 9.9) Vektori g on havaintosuureiden g i vektori stokastinen suure) ja f on predikoitavana olevien suureiden f i vektori. Hattu on tavallisesti käytetty estimaattorin merkki. Molemmat vektorit g ja f voivat olla esimerkiksi painovoima-anomalioita, jolloin on kyseessä homogeeninen prediktio, eräänlainen interpolaatio/ekstrapolaatio. Yleisemmin f ja g ovat erityyppisiä, esim. f koostuu geoidin korkeuksista N, ja g painovoima-anomalioista g. Jälkimmäisessä tapauksessa Stokesin yhtälö on piilevänä mukana C-matriisien rakenteissa. Matriisit rakennetaan kovarianssifunktioista. Niiden alkiot voidaan esittää seuraavasti: [ } } C f g ]i j {f = M g = Cov {f, g, i j i j [ ] } } C gg jk {g = M g {g, g j k j k = Cov [ ] } D gg jk {n = E j n k = Cov, } {n j, n k, jossa n i, vektorin n alkio, edustaa havaintoyhtälössä 9.4 esiintyvää havaintoprosessin epävarmuutta: l i = g i + n i l = g + n.
9.6. Painovoima-anomalioiden prediktio 205 l on itse havaintoarvojen vektori, mukaan lukien havaitsemisen epävarmuus n. D-matriisi on havaintovirheiden eli kohinan varianssimatriisi, joka kuvaa siis havaintoprosessin eikä painovoimakentän ominaisuus. Kun M { } g i g j :n arvot voivat olla luokkaa 1200mGal 2, voivat puolestaan } painovoimahavaintojen E {n i n j :n arvot olla paljon pienempiä, mittaustekniikasta riippuen, esim. niinkin pieniä kuin 0,01mGal 2. Ei kuitenkaan blokkikeskiarvojen tapauksessa esim. 1 1 kokoisten blokkien keskiarvot, hajanaisista havaintopisteistä laskettuina, jotka ovat usein hyvin epätarkkoja. PNS-kollokaatiomenetelmän suuri etu on sen joustavuus. Eri havaintotyypit voidaan käsitellä yhden yhtenäisen teorian ja menetelmän avulla, havaintopisteiden tai blokkien) paikat ovat täysin vapaita, ja tulos saadaan suoraan vapaasti valittaviksi suureiksi ja paikkoihin mihin niitä halutaan. 9.6 Painovoima-anomalioiden prediktio Jos laskettavana eli estimoitavana oleva suure f on samantyyppinen kuin havaittu suure g, puhutaan usein prediktiosta. Esimerkiksi osassa 9.5.6 jo esitetty painovoima-anomalioiden prediktiokaava saadaan kaavasta 9.9 sijoittamalla: g P = C P i Ci j + D i j ) 1 g j. 9.10) Tässä on useita pisteitä j joissa painovoima on annettuna: vaikkapa N havaintoa g j, j = 1,..., N. Predikoitavia pisteitä voi olla yksi, P, tai myös useita. Matriisit C i j ja D i j ovat neliön muotoisia ja niiden summan käänteismatriisi on olemassa. C P i on suorakulmainen matriisi; jos on vain yksi piste P, se on 1 N kokoinen rivimatriisi. Prediktion virhe on nyt erotussuure g P g P, ja sen varianssi ennustusvarianssi ) on Σ PP def = Var { g P g P } = Var { g P } + Var { g P } 2Cov Tässä varianssien kasautumislaki): Var { g P } = CP i Ci j + D i j ) 1 C jk C kl + D kl ) 1 C lp = { g P, g P }.
206 Luku 9. Tilastolliset menetelmät = C P i Ci j + D i j ) 1 [ C jk + D jk ) D jk ] Ckl + D kl ) 1 C lp = = C P i Ci j + D i j ) 1 C jp C P i Ci j + D i j ) 1 D jk C kl + D kl ) 1 C lp, ja { } Cov g P, g = C P P i C i j + D i j ) 1 C jp. Tassa C ip eli C jp, eli C lp ) on matriisin C P i transpoosi. Matriisi ) 1 Ci j + D i j on symmetrisena oma transpoosinsa. } Lopputulos on muista, että Var { g = C P PP ): Σ PP = C PP C P i C i j + D i j ) 1 C jp C P i C i j + D i j ) 1 D jk C kl + D kl ) 1 C lp. Siinä tapauksessa, että D i j C i j, saadaan yksinkertaisempi, usein käytetty tulos: Rajatapauksia: Σ PP C PP C P i C 1 i j C jp. 9.11) 1) Piste P on kaukana kaikista pisteistä i. Silloin C P i 0 ja Σ PP C PP, eli prediktio on käytännössä mahdotonta ja prediktiokaava antaa nolla). Prediktion virhe on sama kuin signaalin painovoimaanomalian) suuruus prediktiopisteessä. 2) Piste P on identtinen erään pisteen i kanssa. Silloin, jos käytetään vain tuo piste i, saadaan Σ PP = C PP C PP C 1 PP C PP = 0, eli ei prediktiovirhettä lainkaan prediktiopisteen arvo kun oli jo tiedossa!). Kuitenkin jos D PP 0 mutta pieni), on tulos Σ PP = D PP. Todista.) 9.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit 9.7.1 Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio Teoreettisessa työssä käytetään painovoima-anomalioiden sijasta mieluummin häiriöpotentiaalin T kovarianssifunktio Maan pinnalla: K P,Q) = M { } T P T QP).
9.7. Kovarianssifunktio ja astevarianssit 207 Kirjoitetaan tämä seuraavaan muotoon käyttäen M { }:n määritelmää, kaava 9.3: K ψ PQ ) = M { T P T QP) } = = 1 8π 2 ˆ 2π ˆ +π/2 ˆ 2π 0 π/2 0 T P T QP) dλ P cosφ P dφ P dα PQ. 9.12) Tässä on oletettu, että potentiaali on isotrooppinen: K ei riipu α:sta vaan ainoastaan ψ:stä. Valitaan yksikköpallon pinnalla koordinaattijärjestelmä, jossa piste P on napa. Tässä järjestelmässä parametrit α PQ ja ψ PQ ovat pisteen Q pallokoordinaatit. Kovarianssifunktio kehitetään seuraavaksi summaksi: K ψ ) = n n=2 m= n jossa Y nm on määritelty yhtälössä 2.17. k nm Y nm α,ψ ) Isotrooppisuuden perusteella kaikki kertoimet häviävät 4 joissa m 0: K ψ ) = n=2 k n0 Y n0 ψ ) def = ) k n P n cosψ. Kertoimia k n kutsutaan häiriöpotentiaalin) astevariansseiksi. Isotrooppiselle kovarianssifunktiolle K ψ ) astevarianssien k n, n = 2,3,... informaatiosisältö on sama kuin itse funktiossa, se on itse asiassa sen spektraaliesitys. n=2 9.7.2 Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet Voimme yksinkertaisella tavalla erikoistaa kaava B.7: f n = 2n + 1 f ψ ) ) 2n + 1 P n cosψ dσ = 4π σ 2 jos funktion f kehitelmä on f ψ ) = ˆ π 0 ) f n P n cosψ. n=2 f ψ ) P n cosψ ) sinψdψ 4 koska ) ) P nm cosψ cos mα m 0, Y nm α,ψ = ) P n m cosψ sin m α m < 0, ilmaisu joka voi olla vain riippumaton α:sta jos m = 0.
208 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Vertaus edelliseen antaa k n = 2n + 1 2 ˆ π 0 K ψ ) P n cosψ ) sinψdψ, eli kun K ψ ) on annettuna, voimme laskea kaikki k n. Sijoittamalla K ψ PQ ) kaavasta 9.12 antaa k n = 2n + 1 16π 2 ˆ +π/2ˆ 2π π/2 0 T P {ˆ π dλ P cosφ P dφ P. 0 ˆ 2π 0 T QP) dα PQ P n cosψpq ) sinψpq dψ PQ } Tässä olemme jo vaihtaneet integraalien järjestystä, kuten on sallittu, ja siirretty T P toiseen paikkaan. Kaarisuluissa oleva ilmaisu on yksikköpallon pinta-integraali ˆ π ˆ 2π 0 0 ) ) def T QP) P n cosψpq dαpq sinψ PQ dψ PQ = T P n cosψpq dσ = σ def = 4π 2n + 1 T n P), T:n osuus pallofunktioiden asteluvulle n, vert. asteosuusyhtälö 2.15. Sijoittamalla saadaan k n = 1 4π = 1 4π ˆ +π/2ˆ 2π π/2 σ TT n cosφ dλdφ = 0 TT n dσ = M [TT n ] = 1 4π σ T 2 n dσ = M [ T 2 n], M-operaattorin määritelmän mukaan, ja ottaen huomioon funktioiden T n ortogonaalisuutta. Jos nyt kirjoitetaan tuttujen määritelmien kanssa) T φ,λ ) = = = ) T n φ,λ = n=2 n n=2 m=0 n n=2 m= n [a nm P nm sinφ ) cos mλ + bnm P nm sinφ ) sin mλ ] = t nm Y nm φ,λ ) saadaan K ψ ) ) ) 1 = k n P n cosψ = Tn 2 n=2 n=2 4π dσ ) P n cosψ = σ n [ ] ) = a 2 nm + ) n b2 nm P n cosψ = n=2 m=0 n=2 t 2 nm m= n ) P n cosψ ).
9.8. Kovarianssien kasautumislaki 209 Tässä on käytetty hyväksi täydellisesti normalisoitujen perusfunktioiden ) cos mλ m 0 Y nm = P n m sinφ sin m λ m < 0 ortonormaalisuutta yksikköpallon σ pinnalla. Kaavasta näkyy, että eli n k n = a 2 nm + b2 nm = m=0 n m= n t 2 nm, 9.13) Potentiaalin astevarianssit k n voidaan laskea suoraan pallofunktiokehitelmän kertoimista. Kirjallisuudesta löytyy myös monet vaihtoehtoiset notaatiot astevariansseille, esim.: def k n = σ 2 def n = σ TT i. 9.8 Kovarianssien kasautumislaki Yllä johdattu häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio K voidaan käyttää myös muiden suureiden kovarianssifunktioiden johtamiseksi. Tämä toimii periaatteessa suureille, jotka ovat Maan pinnan häiriöpotentiaalin T,, R) funktionaaleja, kuten esitettiin alaluvussa 9.2. 9.8.1 Esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin Kirjoitetaan häiriöpotentiaali avaruudessa T φ,λ, r ) pintahäiriöpotentiaalin T φ,λ, R ) = T,, R) funktionaaliksi. Tiedämme, että T φ,λ, r ) ) R n+1 ) = T n φ,λ. r n=2 Tätä voimme ilmaistaa symbolisesti: T φ,λ, r ) = L { T φ,λ, R )}, Tässä L on lineaarinen operaattori funktionaali) ) R n+1 L {f } = f n, r n=2
210 Luku 9. Tilastolliset menetelmät missä f n ovat asteosuusyhtälön 2.15 mukaisesti määritelty, niin että pallon pinnalla f = f n. n=2 Symbolisesti voimme kirjoittaa L {f } = L n f n, jossa n=2 R L n = r ) n+1 on L-operaattorin spektraaliesitys. Voimme vielä kirjoittaa tietyllä pisteellä P ) φ P,λ P, r P avaruudessa: L P {f } = L n P f n, n=2 jossa ) R n+1 L n P =. r P Nyt T:n kovarianssifunktioksi avaruudessa saadaan: K r P, r Q,ψ PQ ) = M { T φp,λ P, r P ) T φq,λ Q, r Q )} = = M { { )} { )}} L P T φ,λ, R LQ T φ,λ, R = { } [ = M L n P T ] ] n [L n Q T n = n=2 n =2 = L n P Ln Q M {T nt n }. n=2 n =2 Funktioiden T n ortogonaalisuuden perusteella on ) k n P n cosψpq jos n = n M {T n T n } =, 0 jos n n eli pintakovarianssifunktion K ) ) ψ PQ = k n P n cosψpq n=2 9.14) harmoniset komponentit. Näin saadaan 5 K ) R 2 r P, r Q,ψ PQ = n=2 r P r Q ) n+1 ) k n P n cosψpq. 9.15) 5 Tämä toimii vain niin siististi koska tässä tapauksessa operaattori L n on luonteeltaan kerroin, R /r) n+1.
9.8. Kovarianssien kasautumislaki 211 Tässä olemme ilmaisseet avaruuden häiriöpotentiaalin T φ,λ, r ) kovarianssifunktio vastaavan Maan pinnan häiriöpotentiaalin T φ,λ, R ) astevarianssien k n kehitelmänä, soveltamalla kovarianssien kasautumislakea K-funktion kehitelmään 9.14. Näin olemme saaneet kolmiulotteisen kovarianssifunktion häiriöpotentiaalille, jollainen tarvitaan mm. vuoristomaissa ja ilma- ja avaruussovelluksissa. 9.8.2 Esimerkki: painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio Tiedämme yhtälö 4.7) että painovoima-anomalioiden ja häiriöpotentiaalin välillä on olemassa seuraava yhteys: ) R n+1 n 1) T n, g = 1 r n=2 r symbolisesti: g = L g {T} sopivalle L g -funktionaalille: jossa nyt L g {f } = L n g = n 1 r L n g f n, n=2 ) R n+1. Nyt voidaan näyttää samalla tavalla kuin yllä, että r M { g P g Q } Usein kirjoitetaan = = L n g,p Ln g,q M {T nt n } = n=2 n=2 n 1 n 1 R 2 ) n+1 ) k n P n cosψpq. r P r Q r P r Q C ) R 2 ψ PQ = r P r Q n=2 ) n+2 ) c n P n cosψpq, jossa painovoima-anomalioiden astevarianssit ovat ) n 1 2 c n = k n. R Vastaavasti lasketaan myös sekakovarianssit häiriöpotentiaalin ja painovoima-anomalian välille: } Cov {T P, g = M { } T Q P g Q = = n=2 n 1 R 2 r Q r P r Q n=2 L n P Ln g,q M {T nt n } = ) n+1 ) k n P n cosψpq.
212 Luku 9. Tilastolliset menetelmät { } }} Cov {L 1 TP, L2 {T Q = n L n 1,P Ln 2,Q M {T nt n } = = n L n 1,P Ln 2,Q k np n cosψpq ), mielivaltaisille lineaarisille funktionaaleille L 1 {T P } = L n 1,P T n, n=2 { } L 2 TQ = L n 2,Q T n, n=2 missä T n = T n φ,λ ) ovat Maan pinnan häiriöpotentiaalin asteosuuksia. 9.9 Globaaliset kovarianssifunktiot Empiirisiä kovarianssifunktioita on laskettu paljon. Koko maapalloa koskevia empiirisia kovarianssifunktioita on olemassa vain muutama. Tyypillisesti ne annetaan astevarianssikaavan muodossa.kuuluisinta on William Kaulan 6 havaitsema nyrkkisääntö: Kirjoittamalla k n = αn 4. ) n 1 2 c n = k n, R missä c n ovat painovoima-anomalioiden astevarianssit, saadaan c n = α R 2 n 1) 2 n 4 α R 2 n 2. Tässä α/r 2 on planeettakohtainen vakio, arvoltaan n. 1200mGal 2 maaplaneetalle. Kaulan sääntö ei pidä paikkansa kovin tarkasti hyvin korkeille asteluvuille. Se muuten pätee aika hyvin myös Marsin painovoimakentalle, tietenkin eri vakioarvolla Yuan ym., 2001). Toinen kuuluisa sääntö on Tscherning-Rappin kaava 7 Tscherning ja Rapp, 1974): c n = A n 1) n 2)n + B) = ) n 1 2 k n. 6 William M. Kaula 1926 2000) oli amerikkalainen geofyysikko ja avaruusgeodeetti, joka tutki Maan painovoimakentän määritystä satelliittigeodesian keinoin. 7 Carl Christian Tscherning 1942 2014) oli johtava tanskalainen geodeetti ja geoidimäärityksen matematiikan asiantuntija. R
9.10. Kollokaatio ja spektraalinäkökohta 213 Astevarianssi kn m 4 /s 4 ) 10 10 10 8 10 6 10 4 10 2 10 0 10 2 10 4 Kaula Tscherning-Rapp EGM96 EGM2008 GOCE, Gatti ym. 2014) EGM96 virhevarianssit EGM2008 virhevarianssit GOCE virhevarianssit 10 6 10 8 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Asteluku n Kuva 9.4. Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina. GOCE-malli menee vain asteeseen 280 saakka. Vakiot ovat tekijöiden mukaan A = 425.28mGal 2 ja B = 24 tarkasti). Teknisena yksityiskohtana valitaan tavallisesti R = R B = 0.999R, Maan sisällä olevan Bjerhammarin 8 pallon säde R on Maapallon keskisäde). Ylläolevan kaavan muoto on valittu siten, että erilaisten suureiden kovarianssifunktioiksi saataisiin suljettuja kaavoja. 9.10 Kollokaatio ja spektraalinäkökohta Myös pienimmmän neliösumman kollokaation laskennat voidaan suorittaa tehokkaasti FFT:n tavoin. Tätä varten pitää tarkastella geometriassa olevat symmetriat, lähinnä rotaatiosymmetria, joka on esim. olemassa pituusastesuunnassa koko maapallolla: mitään ei muutu kun pyöritetään koko maapalloa tietyn kulman θ verran rotaatioakselinsa ympäri. kaikille pituusasteille λ λ+θ. Seuraavassa käsitellään yksinkertaistettua esimerkkiä. 8 Arne Bjerhammar 1917 2011) oli etevä ruotsalaisgeodeetti.
214 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Olkoon kentän g ψ ),ψ [0,2π) havaintoja l i = g i + n i annettuna ympyrän reunalla, pisteissä ψ i. = 2π i/n, i = 0,1,2,..., N 1. Oletetaan, että myös laskentatulokset eli tulosfunktion f ψ ) estimaatit f i halutaan samoihin pisteisiin. Silloin kaava 9.9 antaa jossa [ ] ) 1 f = C f g C gg + D gg g + n [ ] C f g i j = C ) )) ) f g f ψi, g ψ j = C f g ψi,ψ j, [ ] C gg i j = C ) )) ) gg g ψi, g ψ j = C gg ψi,ψ j, [ ] D gg i j = D ) )) ) gg g ψi, g ψ j = D gg ψi,ψ j. Mikäli koko tilanteen fysiikka on pyörähdyssymmetrinen, on oltava 9.16) C f g [ f ψi ), g ψ j )] = C f g [ ψi ψ j ) mod 2π ] = C f g [i j) mod N], ja samoin C gg [ g ψi ), g ψ j )] = C gg [i j) mod N]. Lisäksi, koska yleensä havainnot eivät korreloi keskenään, on 9 D gg = σ 2 I N, σ 2 havaintojen varianssi, oletettu samana kaikille) kertaa N N yksikkömatriisi. Tämän muotoisia matriiseja kutsutaan Toeplitz-sirkulanteiksi 10. Ominaisuuden ansiosta yhtälö 9.16 koostuu konvoluutioista. Ilman todistusta esitetään, että kaavan 9.16 spektraalivastine on seuraavan näköinen: F { f } = F { } C { } f g F { } { }F g + n = C gg + F D gg 9 Itse asiassa yksikkö- eli identiteettimatriisi tunnetaan myös Kroneckerin deltana, ja Töplitz-matriisina sitä voi tulkita Diracin delta-funktion diskreettina versiona. Sen Fourier-muunnos on F {I} = 1. 10 Otto Toeplitz 1881 1940) oli saksanjuutalainen matemaatikko ja funktionaalianalyysin tutkija.
9.10. Kollokaatio ja spektraalinäkökohta 215 3 2 1 0 N 1 N 2 ψ Kuva 9.5. Sirkulaarinen geometria. = F { } C { } f g F { } C gg + σ 2 F g + n. 9.17) Tämä on helppo ja nopea tapa laskea ratkaisu FFT:n avulla. Limiitissä jossa havainnot ovat eksakteja eli σ 2 = 0, seuraa kaavan 9.17 mukaan f suoraan g + n = g:stä. Jos sopivalla funktionaalilla L pätee f = L {g}, kaava yksinkertaistuu seuraavaksi: ja jos lisäksi σ 2 = 0, F { f } = F {L}F { } C { } gg F { } C gg + σ 2 F g + n, F { f } = F {L}F { } { } g f = L g. Esimerkiksi jos g = g +n i i i ovat painovoima-anomalioita ja f häiriöpotentiaalin arvoja, on 11 F {L} = R/n 1). Lähestymistapaa kutsutaan fast collocationiksi, esim. Bottoni ja Barzaghi 1993). Tietenkin sitä käytetään Maan pinnan kahdessa ulottuvuudessa, vaikka esimerkkimme oli yksiulotteinen. Kuten aina, se edellyttää että havaintoaineisto on annettu hilan muodossa ja tässä tapauksessa lisäksi, että aineiston tarkkuus on homogeeninen kaikkialla sama) alueella. Tämä vaatimus täyttyy tuskin koskaan tarkasti. 11 Käytännön laskennassa asia on mutkikkaampi... asteluku n, joka on määritelty globaalisessa pallogeometriassa, on ensin konvertoitava Fourieraaltonumeroksi käytetyllä laskentahilalla.
216 Luku 9. Tilastolliset menetelmät Harjoitus 9 1: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio Hirvosen kovarianssikaava on C s) = C 0 1 + s /d) 2, jossa Ohion parametrit ovat C 0 = 337mGal 2 ja d = 40km. Kaava antaa kahden pisteen P ja Q painovoima-anomalioiden välinen kovarianssi C s PQ ) = Cov { gp, g Q }. s PQ on pisteiden välinen metrinen etäisyys. } } 1) Laske Var { g ja Var { g. Muista, että määritelmän mukaan P Q Var { x } = Cov { x, x }! } 2) Laske Cov { g, g jos s P Q PQ = 20km. 3) Laske korrelaatio { } def Corr g, g = P Q } Cov { g, g P Q } } Var { g Var { g. P Q 4) Oleta nyt, että ainoa mittauspiste on P. Mikä on painovoimaanomalian ennustusvarianssi pisteessä Q joka on s PQ = 10km matkan päästä tarkasti!) annetun anomalian pisteessä P? Sovella yhtälö 9.11 seuraavasti: σ 2 QQ = C QQ C QP C 1 PP C PQ. 5) Entä kohta 4 jos etäisyys on s PQ = 80km? Harjoitus 9 2: Painovoima-anomalioiden prediktio Olkoon annettuna kahdessa pisteessä 1 ja 2 mitatut painovoima-anomaliat g ja g. Pisteiden välinen etäisyys on 80km ja niiden välissä, 1 2 etäisyydellä 40 km molemmasta pisteestä, sijaitsee piste P. Laske pisteen P painovoima-anomalia g P prediktion avulla. Prediktion kaava on ) 1 g P = C P i Ci j + D i j g, j
Harjoitus 9 3: Painovoima-anomalioiden prediktio 2) 217 [ jossa g = j g 2 ] T on havaittujen anomalioiden abstrakti) vektori, g 1 C i j = } Var { g i } Cov { g, g i j } Cov { g, g i } j Var { g j on tämän vektorin varianssimatriisi, ja [ C P i = } Cov { g, g P 1 } ] Cov { g, g P 2 on kovarianssimatriisi tämän vektorin ja g :n välillä. D P i j on suureiden g, g havaintojen varianssimatriisi. 1 2 1) Laske matriisi C i j, olettamalla taas Hirvosen kovarianssikaava edellinen tehtävä) ja paramteriarvo d = 40 km. 2) Laske C P i. 3) Laske g P ilmaistuna havaintoarvoihin g and g. Oleta D 1 2 i j = 0. Inverting thematriisin C i j kääntäminen käsin on mahdollista, mutta käytä mieluummin Matlab tms.) 4) Laske ennustusvarianssi huomaa C jp = C T P i ) kaavalla σ 2 PP = C PP C P i C 1 i j C jp. Harjoitus 9 3: Painovoima-anomalioiden prediktio 2) Olkoon taas pisteet 1 ja 2 joissa mitatut painovoima-anomaliat g ja 1 g. Nyt kuitenkin pisteet 1, 2 ja P muodostavat kolmion, jossa pisteen 2 P kohdalla on suora kulma, ja etäisyydet P:stä pisteisiin 1 ja 2 ovat edelleen 40km. Pisteiden 1 ja 2 välinen etäisyys on nyt vain 40 2km. 1) Laske C i j, C P i, g P and σ 2 PP. 2) Vertaa tulos edellisen tuloksen kanssa. Johtopäätös? Harjoitus 9 4: Kovarianssien kasautuminen Annettuna häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio 9.15 } Cov {T P, T Q = R 2 n=2 r P r Q ) n+1 ) k n P n cosψpq,
218 Luku 9. Tilastolliset menetelmät 1) laske painovoimahäiriön δg:n yhtälö 4.3) kovarianssifunktio. Vihje: kirjoita ensin kehitelmä muotoa δg = L n δg T n n=2 Kertoimen L n ilmaisun löytämiseksi. Sen jälkeen δg } Cov {δg,δg P Q = L n δg,p Ln δg,q k ) np n cosψpq. n=2 siis: painovoimahäiriön pysty- 2) Laske painovoimagradientin 2 T r 2 gradientti!) kovarianssifunktio. Harjoitus 9 5: Kaulan sääntö painovoima-anomalioille Häiriopotentiaalille T φ,λ, r ) ) R n+1 ) = T n φ,λ r n=2 9.18) eli Maan pinnalla r = R) T φ,λ, R ) ) = T n φ,λ n=2 Kaulan sääntö pätee astevariansseilla k n = αn 4. Näistä voi laskea varianssien kulkeutumislain avulla painovoima-anomalioiden astevarianssit: ) n 1 g = L n g T n = T n R n=2 n=2 c n = ) L n 2 n 1 2 g) kn = k n α R R 2 n 2. Differentioimalla yllä oleva kehitelmä 9.18 häiriöpotentiaalille Tr,ϕ,λ) = saadaan toinen derivaatta 2 T r 2 = n=2 ) R n+1 T n ϕ,λ) n=2 r n + 1)n + 2) r 2 ) R n+1 T n, r
Harjoitus 9 6: Maanalaiset massapisteet 219 spektraaliyhteys häiriöpotentiaalin ja painovoimagradientin välillä. Maan pinnalla r = R, eli jossa 2 T n + 1)n + 2) r 2 = r=r R 2 T n = L n gg T n n=2 L n gg. n + 1)n + 2) = R 2. n=2 1) Johda likimääräinen) yhtälö painovoimagradientin astevariansseille, kutsutaan ne g n, analogisella tavalla kuin yllä painovoimaanomalioiden astevariansseille c n : g n =? k n? n?. 2) Johtopäätös? Harjoitus 9 6: Maanalaiset massapisteet 1) Jos massapiste sijoitetaan Maan sisään syvyyteen D havaintopisteen P alapuolella, mitä on sen Maan pinnalla aiheuttaman vetovoimakentän korrelaatiopituus, siis arvo s millä C s) = 1 2 C 0? 2) Siis, jos haluamme konstruoida massapistemalli, jossa jokaisen havaintopisteen g P :n alapuolella on yksi massapiste, kuinka syvälle niiden pitäisi laittaa, jos korrelaatiopituus d on annettu?
10. Gravimetriset mittauslaitteet 10.1 Historia Ensimmäinen mittauslaite jota rakennettiin heilurin perusteella oli kello. Heilurikaava, T = 2π l g, kertoo että tietyn pituisen heilurin heilahdusaika T on vakio joka riippuu vain heilurin pituudesta l ja paikallisesta painovoimasta g, edellytettynä että heilahdukset ovat pieniä. Alankomaalainen Christiaan Huygens 1 rakensi v. 1657 ensimmäinen tähän perustuva, käyttökelpoinen heilurikello http://en.wikipedia.org/wiki/pendulum_clock). Kun nuori ranskalaistutkija Jean Richer 2 kävi Ranskan Guyanassa v. 1671 heilurikello mukanaan, hän huomasi kellon kulkeneen tuntuvasti hitaammin. Asia saatiin korjatuksi yksinkertaisesti lyhentämällä heiluri. Ilmiön syy ei voinut olla ilmasto-olosuhteet tropiikissa eli heilurin lämpölaajeneminen; oikea selitys oli, että tropiikissa painovoima g on heikompi kuin Euroopassa. Palattuaan Ranskaan v. 1763 Richer joutui taas pidentämään heilurinsa. Havainnosta on merkintä raportissaan Observations astronomiques et physiques faites en l isle de Caïenne, Richer 1731), yhden kappaleen verran sivuilla 87-88. Näin keksittiin heilurigravimetri. Myöhemmin rakennettiin varta vas- 1 Christiaan Huygens 1629 1695) oli johtava hollantilainen tiedemies ja matemaatikko. Heilurikellon keksimisen lisäksi hän oli myös ensimmäinen, joka oivalsi vuonna 1655, että Saturnus-planeetalla on rengas. 2 Jean Richer 1630 1696) oli ranskalainen tähtitieteilijä. Hänet oikeasti muistetaan vain heilurilöydöstään. 221
222 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Kuva 10.1. Jean Richer n raportti. ten paljon tarkempia laitteita, mm. Katerin3 reversioheiluri ja neljän heilurin Von Sterneck4 -laite, joka tuli käytetyksi myös Suomessa 20ja 30-luvuilla. Mainittavia ovat myös hollantilaisen F.A. Vening Meineszin5 sukellusvenemittauksia mm. Javamerellä, joilla havaittiin, että merenpohjalla olevien syvänteiden yläpuolella vallitsee tuntuva painovoiman vaje ja että ne ovat näin ollen vahvasti isostaattisessa epätasapainossa. Painovoimamittauksiin tuotantomielessä heilurigravimetrit ovat kuitenkin liian hankalia ja hitaita. Sitä varten on kehitetty jousigravimetri, ks. alaluku 10.2. Heilurigravimetrit ovat periaatteessa absoluuttisia mittauslaitteita, eli painovoima saadaan suoraan kiihtyvyyslukuna. On kuitenkin olemassa heilurin kiinnitykseen liittyviä systemaattisia efekteja jotka aiheuttavat sen, että mittauksen absoluutisuuteen ei sittenkään voida luottaa. Yksi kokeiltu ratkaisu on hyvin pitkä lankaheiluri, esim. Hytönen 1972). Kuitenkin nykyisin absoluuttimittaukset tehdään ballistisilla gravimetreilla, ks. alaluku 10.3. On havaittu, että vanhemmat, heilurikojeella tehdyt mittaukset ns. Potsdam-järjestelmässä ovat arvoltaan systemaattisesti 14 mgal liian suuria... 3 Henry Kater 1777 1835) oli englantilaisfyysikko. 4 Robert von Sterneck 1839 1910) oli itävaltalais-unkarilainen tutkija. 5 Felix Andries Vening Meinesz 1887 1966) oli hollantilainen geofyysikko, geodeetti ja gravimetrikko. Hän laati yhdessä W. A. Heiskasen kanssa oppikirjan The Earth and its Gravity Field 1958).
10.2. Relatiivinen eli jousigravimetri 223 Kuva 10.2. Autograv CG5 jousigravimetri. Kuva 2011 David Monniaux, Wikimedia Commons, GNU Free Documentation License. 10.2 Relatiivinen eli jousigravimetri Jousigravimetri on yksinkertaisimmillaan sama kuin jousivaaka. Lineaarisessa jousivaa assa koemassan liikeyhtälö on d 2 ) l m dt 2 g = k l l 0 ), jossa m on koemassa, g paikallinen mitattavissa oleva) painovoima, k jousivakio ja suure l 0 on jousen lepopituus, pituus joka jousella olisi jos siihen ei kohdistuisi ulkopuolisia voimia; l on jousen todellinen, hetkellinen pituus. Tasapaino jousen voiman ja painovoiman välillä on d 2 l ) dt 2 = 0 mg = k l l 0) = k l l 0, 10.1) missä l on jousen keskimääräinen pituus heilahtelun aikana, ja samalla tasapainopituus jos heilahtelua ei ole. Kun koemassa häiritään, se alkaa värähdellä tasapainopaikkansa ympäri. Värähtely-yhtälö, jota saadaan ynnäämällä yo. yhtälöt toisistaan, on d 2 l dt 2 = k m ) l l.
224 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Periodi on T = 2π ) m/k = 2π l l 0 /g = 2π δl/g, 10.2) missä δl = l l 0 on tasapainotilan ja lepotilan jousen pituuksien välinen ero, siis jousen pidennys painovoiman vaikutuksesta. Laitteen herkkyyttä saadaan differentioimalla kaava 10.1 muodossa ) mg = k l l 0 = kδl tuloksena dl d g = d δl) d g = m k = T2 4π 2. 10.3) Sijoittamalla esim. δl = 5cm ja g = 10 m/s 2 kaavaan 10.2 saadaan T = 0.44 s. Yhden milligalin muutos painovoimassa g tuottaa kaavan 10.3 mukaan pidennystä vain 5 10 8 m tarkista)! Tämän liikkeen havaitseva tai kompensoiva anturi on ilmiselvästi oltava erittäin herkkä! 10.2.1 Astatisaatio Astatisoitu gravimetri tarjoaa eri mittausgeometriaa. Käytämme tässä esimerkkinä pitkään suosiota nautinutta LaCoste-Romberg gravimetria. Sen sisällä koemassa on vivun eli puomin päässä, ks. kuva 10.3. Vipuun kohdistuvat kaksi vääntöä jotka ovat tasapainossa. Jousen vääntö on ) τ s = k l l 0 b sinβ, jossa l on jousen todellinen venytetty) ja l 0 teoreettinen eli lepotilan pituus ilman kuormitusta. Sinisäännön mukaan lsinβ = c sin 90 + ɛ ) = c cosɛ, josta sijoitus edelliseen: ) bc τ s = k l l 0 l cosɛ. Massaan vetoava painovoima taas on mg, ja vastaava vääntö τ g = mgp cosɛ.
10.2. Relatiivinen eli jousigravimetri 225 Totuus Voima Toiminta-alue Hooken laki c Jousi pituus l ) k l l 0 sinβ Pituus b β Koemassan vipu ɛ p mg Kuva 10.3. Jousigravimetrin toimintaperiaate. Oikealla, miten toteutetaan zero-length spring. Niiden välillä on oltava tasapaino: ) bc τ g τ s = mgp cosɛ k l l 0 cosɛ = 0, 10.4) l eli ) mgpl kbc l l 0 = 0. 10.5) Differentioimalla mpl d g + mgp dl kbc dl = 0 josta saa sijoittamalla yhtälö 10.5, herkkyyskaavan: dl d g = mpl mgp kbc = mpl mgp mgp = l l l 0 l g l l 0 l 0. Tästä näkyy, että herkkyyttä voidaan mielivaltaisesti kasvattaa valitsemalla l 0 mahdollisimman lyhyeksi, lähes nolla ns. zero-length spring -ratkaisu 6. Tietenkin laitteen tasaus, käyttäen sisäänrakennettua rasiatasainta ja kolmea jalkaruuvia, ja on kriittinen. 6 http://en.wikipedia.org/wiki/spring_%28device%29#zero-length_ springs.
226 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Esimerkiksi oletukset l = 5cm, l 0 = 0,1cm, g = 10 m/s 2 antavat dl d g = 2,5 10 6 m/mgal, 50 kertaa 7 parempi tulos kuin aiemmin! Parannussuhde on juuri l l 0 l 0. Tämä on ns. astatisoidun gravimetrin, esimerkiksi LaCoste-Rombergin 8, toimintaperiaate. 10.2.2 Heilahtelun periodi Tätä voidaan tarkastella myös hieman toisella tavalla: jos laite ei ole tasapainotilassa, puomi heilahtelee hitaasti tasapainotilan molemmin puolin. Lähdetään yhtälöstä 10.5: ) mgpl kbc l l 0 = 0, 10.6) mutta sovellettuna epätasapainotilaan; silloin koemassalla on kiihtyvyys a, ja meillä on mg a) pl kbc l l 0 ) = 0, jossa, jousen tasapainopituuden l sijaan meillä on hetkellinen pituus l. Vähentämällä ylläolevat kaksi yhtälöä toisistaan saadaan ) ) mgp l l map l kbc l l = 0. Käytämme yhtälöä 10.6 taas ilmaisun kbc eliminoimiseksi, tuloksena: ) mgp l l map l mgp l l l 0 Termien uudelleenjärjestys antaa map l = mgp l ) 0 l l, l l 0 ) l l = 0. eli l 0 a = g l l l 0 ) l l. 7 Vertailukelpoisuuden vuoksi pitää vielä kertoa p/b sinβ:n kanssa, jos mitataan koemassan paikka. 8 Lucien LaCoste 1908 1995) oli amerikkalainen fyysikko ja metrologi, joka ylioppilaana yhdessä fysiikkaprofessorinsa Arnold Rombergin 1882 1974) kanssa keksi astatisoidun gravimetrin ja zero-length springin periaatetta.
10.2. Relatiivinen eli jousigravimetri 227 δε) α Fε) Fε)cosα + δ + ε) mg ε. mg Kuva 10.4. Astatisoinnin idea. Tavallisen jousen elastinen voima kasvaa jyrkästi venymisen myötä vasemmalla), kun taas koemassan paino on vakio. Puomi- ja diagonaaliasetelman ansiosta oikea) jousen voiman osuus puomin liikkumissuunnassa punainen) pienenee jousen venymisen mukaan, kun taas jousen voima itse kasvaa lähes samalla tavalla venymisen myötä. Tämä likimääräinen kumoaminen nostaa herkkyyttä. Käytetty jousi on zero-length spring. Tässä taas ilmaantuu astatisointisuhde l l 0 l 0, joka nollapituusjouselle l 0 0) on hyvin pieni. Nyt jousen pituuden epätasapaino l l on yhteydessä koemassan pystysijainnin poikkeamaan z ylöspäin kasvava) seuraavasti: Tämän avulla saadaan ) p z = l l b sinβ. a = d2 dt 2 z = g l l 0 b sinβ l l 0 p Tämä on taas värähtely-yhtälö muuttujassa z, jonka periodi on l p T = 2π g b sinβ l l 0 l 0. Samoille arvoille kuin yllä, l 0 = 0,1cm, l = 5cm l, g = 10 m/s 2 ja p/b sinβ = 2, löydämme T = 4,4s. Tämä pitkä värähtelyperiodi merkitsee myös, että laite on epäherkkä korkeataajuuksisille värähtelyille, ohikulkevasta liikenteestä ja mikroseismiikasta, jne. Merkittävä operatiivinen etu. z.
228 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet 10.2.3 Käytännön mittaus Tavallinen jousigravimetri perustuu elastisuuteen. Koska mikään aine ei ole täydellisesti elastinen, vain aina myös plastinen viskoosi) 9, gravimetri itse muuttuu mittausprosessin aikana. Tätä muutosta kutsutaan käynniksi. Käyntiä hoidetaan käytännön mittauksissa seuraavilla toimenpiteillä: mitataan linjoja pitkin, jotka lähtevät tunnetusta pisteestä ja päättyvät tunnettuun pisteeseen, jolloin saadaan sulkuvirhe. Linjoja kuljetaan läpi mahdollisimman nopeasti. Sulkuvirhe hävitetään tasoittamalla mittauksesta saadut arvot suhteessa niiden mittausaikoihin. Gravimetri kuljetetaan varovasti sitä kolhimatta, ja muistetaan aina arretoida kiinnittää puomi) kuljetuksen aikana! Koska jousen elastiset ominaisuudet ja laitteen geometria riippuvat molemmat lämpötilasta, ovat tarkkuusgravimetrit aina termostoituja. Merigravimetri eroaa tavallisesta maa-)gravimetrista siinä, että se on vaimennettu tehokkaasti. Sama pätee myös ilmagravimetrille. Molemmat ovat tämän lisäksi vielä kiinnitetty stabiloituun alustaan, jolloin mittausakseli on aina paikallisen luotiviivan suunnassa kulkuneuvon liikkeistä huolimatta. 10.3 Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri on paluu juurille eli painovoiman määritelmään: se mittaa suoraan vapaan putoamisen kiihtyvyyttä. Laite sisältää tyhjiöputken, jonka sisällä kappale, valoa heijastava prisma, putoaa vapaasti. Tässä kuvataan lyhyesti Boulderissa, Coloradan yliopistossa Jim Falle- 9 Metallikiteen plastinen deformaatio tapahtuu kidehilan virheiden, dislokaatioiden, välityksellä. Kun dislokaatiot kulkevat hilan läpi kiteen kuormittuessa, metallin ominaisuudet muuttuvat, ja lopuksi voi seurata metalliväsymys, tunnettu ongelma mm. ilmailussa. https://fi.wikipedia.org/wiki/ Dislokaatio.
10.3. Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri 229 Tyhjiöpumppujärjestelmä Suojahäkin kuljetusjärjestelmä Prisman suojahäkki Putoava prisma g Superjousi Vertausprisma Puoliläpäisevä peili Laser Peili Interferenssin havaintolaite Kuva 10.5. Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate. rin 10 rakentama JILA-gravimetri, jollaisia Geodeettinen laitos on hankkinut kaksi. Kuva 10.6 näyttää uudempaa saman ryhmän rakentamaa laitetta, FG5. Suomessa tämä laite, sarjanumero 221, on toiminnut vapaan putoamisen kiihtyvyyden kansallisena mittanormaalina. Vuonna 2012 laite päivitettiin FG5X -tyyppiseksi. Prisman putoamisen aikana häkki, jonka pohjassa on ikkuna, likkuu sen sisällä olevan prisman mukana siihen kuitenkaan koskematta. Häkin tarkoituksena on estää jäljellä olevia ilmahiveniä vaikuttamasta prisman kulkuun. Putken pohjan lähellä häkki, joka kulkee tietokoneohjattuna raidetta pitkin, jarruttaa ja prisma laskeutuu suhteellisen pehmeästi sen pohjaan. Sen jälkeen häkki kulkee takaisin putken yläpäähän ja uusi mittausjakso alkaa. Laserinterferometri mittaa prisman paikat matkan varrella; mittaukset toistetaan tuhansia kertoja hyvän tarkkuuden aikaansaamiseksi keskimääräistämällä. Toinen prisma, vertausprisma, on ripustettu toises- 10 James E. Faller 1934 ) on amerikkalainen fyysikko, metrologi, geodeetti ja gravitaation tutkija. Hän ehdotti laserheijastinten asettamista Kuun pinnalle Apollo-projektin puitteissa, Kuun etäisyyden mittaamiseksi LLR, Lunar Laser Ranging.
230 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Kuva 10.6. FG5 absoluuttinen gravimetri. Kuva National Oceanic and Atmospheric Administration. sa putkessa hyvin löysästä jousesta oikeastaan elektronisesti simuloitu superjousi ) suojatakseen sitä mikroseismiikasta. Laite on suunniteltu suurimman mahdollisen tarkkuuden saavuttamiseksi; esimerkiksi pudottamisen aiheuttama tärinä on saatu hallintaan hyvin suunnitelleen jalustan avulla. Tarkkuudet ovat luokkaa muutama µgal, eli sama mihin tavalliset LaCoste-Romberg relatiivigravimetrit pystyvät. Laite on kuitenkin kookas ja, vaikka sitä voidaankin kuljettaa paikasta toiseen, sitä ei voi kutsua kenttäkoneeksi. Viime aikana kehitys on menneet pienempien laitteiden suuntaan, joiden kuljetettavuus on olennaisesti parannettu. Vapaasti putoavan massan liike kuvaa seuraava yhtälö d 2 dt 2 z = g z), missä on oletettu realistisesti että painovoima g riippuu paikasta z pudotusputken sisällä. Jos kuitenkin oletetaan g vakioksi, saadaan integroimalla d dt z = v 0 + gt, z = z 0 + v 0 t + 1 2 gt2,
10.3. Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri 231 mistä saadaan mittausprosessin havaintoyhtälöt [ z i = 1 t i 1 2 t2 i ] z 0 v 0 g. 10.7) Tässä tuntemattomat 11 ovat z 0, v 0 ja g. Suureet z i ovat putoavan prisman interferometrisesti mitatut pystysuuntaiset paikat. Vastaavan mittaushetken eli epookin t i tarkka määritys on tietenkin olennainen. Jokaisessa pudotuksessa kerättyjen mittausarvojen määrä on suuri. Havaintoyhtälö kirjoitetaan matriisimuotoon: l = Ax, jossa l = z 1 z 2. z i., A = 1 t 1 t 2 1 1 t 2 t 2 2... 1 t i t 2 i... ja x = z 0 v 0 g. z n 1 t n t 2 n Tästä ratkaisu seuraa pienimmän neliösumman tasoituksen menetelmän mukaisesti, normaaliyhtälöistä A T A x = A T l ratkaisuna [ 1 x = A A] T A T l. Vaihtoehtoinen absoluuttigravimetrityyppi heittää prisma ylös putken sisällä), jonka jälkeen se kulkee symmetristä parabolirataa. Sellainen rise-and-fall laite on esim. italialainen IMGC-02. Teoreettisesti saataisiin tällä menetelmällä tarkempia mittauksia; tekniset haasteet ovat kuitenkin suurempia kuin pudotusmenetelmän tapauksessa. Laitetyyppien väliset vertailut ovat auttaneet identifioimaan virhelähteitä. 11 Olisi helppoa harjoitus!) lisätä tähän painovoiman pystygradienttiä edustava tuntematon.
232 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Viime aikana on rakennettu myös ns. atomi- eli kvanttigravimetreja, joissa mitataan interferometrisesti yksittäisten atomien putoamisliikettä de Angelis ym., 2009). Laitteen idea on, että mitataan painovoiman vaikutus putoavien atomien aine-aallon vaihekulmaan. Ensin valmistetaan äärimmäisen kylmä ns. Bosen Einsteinin kondensaatti; ehkä miljoonan verran atomeja kaikki identtisessä kvanttitilassa, vaihekulma sama kuin yhdessä marssivat sotilaat. Kondensaatti annetaan pudota, ja ensimmäinen laserpulssi jakaa se kahteen. Puolet atomeista 12 putoaa ensin hitaasti, ja sitten nopeammin; toinen puoli putoaa ensin nopeasti ja sitten hitaammin. Tämän toteuttamiseksi ammutaan toisen laserpulssiparin, joka toimii peilin tai ehkä tennismailan tavoin. Kolmas ja viimeinen laserpulssi lukee interferometrisesti kahden yhdistyvän atomisäteen välistä vaihe-eroa. Valon ja atomien välinen vuorovaikutus perustuu Raman-ilmiöön. Kun atomit kulkevat kahta eri reittiä aika-avaruuden kautta joilla painovoimapotentiaali on erilainen 13, syntyy niiden välillä vaihe-ero jota voidaan mitata. Ilman painovoimaa katkoviivat) tämä vaihe-ero olisi nolla. Ks. kuva 10.7, missä vaaka-akseli on aika. 10.4 Verkkohierarkia gravimetriassa Gravimetriassa verkkohierarkia on yhtä tärkeä kuin geodeettisissa sijainnin tai korkeuden mittauksissa. Menetelmä on yleensä ollut se, että ylin mittausluokka koostui absoluuttigravimetrilla mitatuista pisteistä; aikanaan tämä merkitsi heilurimittaukset. Tämän verkon vaiheittainen tihennys eli runkoverkon mittaus suoritettiin sen jälkeen relatiivi- eli jousigravimetreilla, kuten myös alimman luokan mittaukset eli painovoimakartoitus. Runkomittauksissa käytettiin nopeita kuljetusvälineitä kuten lentokoneita: kansalliset tai alueelliset vertauspisteet sijaitsivat usein lentokentillä. Koska heilurigravimetrit eivät olleet aidosti absoluuttisia, jäi vanhaan 12 Tämä on kvanttiteoreettisesti väärin sanottuna. Jokaisen atomin aineaalto jakautuu kahteen! 13 Itse asiassa atomin vaihekulman kiertoliike toimii kellon tavoin, ja ajan kulun nopeus riippuu paikallisesta geopotentiaalista Vermeer, 1983).
10.4. Verkkohierarkia gravimetriassa 233 Jakosäde Lukusäde Peilaussäde g z Ilman painovoimaa Painovoimakentässä t Kuva 10.7. Atomigravimetrian toimintaperiaate. ns. Potsdamin järjestelmään noin 14 mgal:n virhe: kaikki arvot olivat sen verran liian suuria. Nykyisin käytetään sen sijaan ballistisia gravimetreja, joiden mahdollinen systematiikka on paljon pienempi vaikkei olematon, suuruusluokkaa mikrogalleja. Koska ei ole olemassa tätä parempia eli absoluuttisempia laitteita, tähän ongelmaan ei löydy varsinaista ratkaisua. Kuitenkin, arvokkaita, säännöllisiä kansainvälisiä laitevertailuja järjestetään esim. International Comparison of Absolute Gravimeters). Kuva 10.8. Kansainvälinen absoluuttigravimetrien vertailu. Kuva 2003 EGCS, Luxembourg.
234 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Ylin kondensaattorilevy Keski kondensaattorilevy Nostokäämi Palautekäämi Alin kondensaattorilevy Nostokäämi Kuva 10.9. Suprajohtavan gravimetrin toimintaperiaate. Pallon paikka luetaan kapasitiivisesti. Suomessa absoluuttigravimetrilla säännöllisesti mitatut pisteet ovat Metsähovin lisäksi Vaasa kaksi pistettä), Joensuu kaksi pistettä), Kuusamo, Sodankylä, Kevo ja Eurajoki. 10.5 Suprajohtava gravimetri Tämä gravimetrityyppi perustuu magneettikentässä leijuvaan suprajohtavaan metallikuulaan, jonka tarkka paikka mitataan elektronisesti. Koska magneettikenttä ei läpäise suprajohtavaa ainetta, kuula jää ikuisesti samaan paikkaan kentän sisälle. Tietysti kenttä itse on oltava muuttumaton; se on mu-metallista tehdyn säiliön sisällä joka suojaa Maan magneettikentältä ja suprajohtavien käämien generoima Meissner-ilmiö, http://en.wikipedia.org/wiki/mu-metal). Suprajohtavuus näissä sovelluksissa vaatii edelleenkin työskentelyä nestemäisen heliumin He) lämpötilalla. Siksi laite ei ole vain kallis, vain vaatii kallis laboratoriotila toimivan yhteiskunnallisen infrastruktuurin ympäristössä. Näitä laitteita maailmassa on reilu parikymmentä. Yksi GWR 20- tyyppinen laite on toiminnut vuodesta 1994 lähtien Kirkkonummella silloisen Geodeettisen laitoksen, nyt Maanmittauslaitoksen, Metsä-
10.6. Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen 235 hovin tutkimusasemalla. Ks. Virtanen ja Kääriäinen 1995), Virtanen 1998). Laite päivitettiin v. 2014. Suprajohtavan gravimetrin tärkein ominaisuus sen tarkkuuden 14 lisäksi on sen stabiliuus eli pieni käynti. Siksi se soveltuu erinomaisesti pitkäperiodisten ilmiöiden seuraamiseksi, kuten maapallon vapaat värähtelyt suurten maanjäristysten jäljiltä 15. Näin se sopii mittauksiin joihin tavallinen gravimetri ei sovi sen suuremman käynnin ja heikomman herkkyyden johdosta, ja mittauksiin johon seismometri ei sovi koska taajuudet ovat liian matalia. Viime aikainen trendi on kevyitten, kannettavien, ja kauko-ohjattavien suprajohtavien gravimetrien kehitys, esimerkiksi GWR igrav, joka painaa 30 kg eikä kuluta yhtään nestemäistä heliumia. Toisaalta se vaatii reilun kilowattin verran verkkovirtaa jäähdytysjärjestelmäänsä 16. Ehkä tämä tuo parannusta nykytilanteeseen jossa valtaosa laitteista sijaitsee Euroopassa ja Pohjois-Ameriikassa. 10.6 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen Ilmakehä vaikuttaa kahdella tavalla painovoimaan: 1) Laitteeseen liittyviä vaikutuksia. Nämä johtuvat gravimetrin konstruktiosta. Sulkeamalla laite painekammioon saataisiin nämä ilmiöt häviämään. Käytännössä helpompaa on kalibroida laite laboratoriossa) ja laskea kalibrointituloksen mukainen korjaustermi kenttämittauksiin. 2) Ilmakehän vetovoima. Tämä on oikea gravitaatio. Se kuitenkin aiheuttaa epäsäännöllistä paikallista painovoiman vaihtelua, jonka ilman mielummin jäisimme. 14 Virtanen 2006) kertoi, miten Metsähovin laite havaitsi painovoiman muutos kun työmiehet loivat lunta laboratoriorakennuksen katolta teetauko mukaan lukien! Myös vierailijoiden punnitus heidän vetovoimansa perusteella on rutiinia. 15 Niiden periodit vaihtelevat vajaasta tunnista yli kahteenkymmeneen tuntiin ja ovat geofysikaalisesti hyvin mielenkiintoisia. 16 http://catalog.gwrinstruments.com/item/gravity-meters/- superconducting-gravimeter-for-portable-operation/item-1001?
236 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Ilmakehän vaikutus voidaan laskea Bouguer-laatta-approksimaation avulla: jos ilmanpaine on p, on ilmakehän massan pintatiheys κ = p g, missä g on ilmakehälle edustava painovoima-arvo. Emme tee kovin suurta virhettä jos käytämme g 9,8 m/s², jolloin saadaan merenpinnan tasolla κ 10000 kg/m 2. Bouguerlaatan vaikutus on 2πGκ = 0,43 mgal. Ilmanpäinevaihtelut vaikuttavat suhteessa. Jos ilmanpaineen poikkeama on p = p p 0, missä p 0 on keskimääräinen ilmanpaine 1015 hp, on sen vaikutus painovoimamittaukseen δg A = 0,43 p p 0 mgal. Myrskyn tai säärintaman ylikulun aikana tämä kaunis teoria romahtaa ja yksinkertaiset kaavat antavat harhaanjohtavia tuloksia. Silloin on parasta olla tekemättä mitään painovoimamittauksia! 3) Ilmakehän sisällyttäminen maapallon massaan. Tämä ei ole painovoimamittauksiin tehtävä korjaus. Se on reduktio joka käytetään painovoima-anomalioiden laskennassa, mikäli halutaan anomalioita joista ilmakehän vaikutus on poistettu. Muista, että GRS80:n vertauspainovoimakenttä on määritelty siten, että parametri GM sisältää koko maapallon massan, ilmakehää mukaanlukien, eli maan painovoimakenttä sellaisena kun satelliitit sen havaitsevat Heikkinen, 1981). Siksi myös painovoimaanomalioita g laskiessa, pitää redukoida painovoima siirtämällä laskennallisesti koko mittauspaikan yläpuolella oleva ilmakehä mittauspaikan alapuolelle, esimerkiksi merenpintaan. Ilmakehän kokonaismassa on M A = 4πκR 2 = 4π p g R2.
10.7. Ilmagravimetria ja GNSS 237 Newtonin mukaan sen vetovoima on GM A R 2 = 4πG p, g kaksi kertaa yllä annettua ilmakehäreduktiota. Merenpinnalla vaikutus on 0,86 mgal. Korkeudessa vaikutus on 0,86 p p 0 mgal, missä p ja p 0 ovat ilmanpaineet korkeudella ja merenpinnalla, vastaavasti. 10.7 Ilmagravimetria ja GNSS 1990-luvun alussa GPS, Global Positioning System, on muuttanut ilmagravimetria hankalasti soveltavasta tekniikasta täysin operationaaliseksi. Tämän ymmärtämiseksi täytyy tuntea ilmagravimetrian toimintaperiaate. Lentokoneessa kuljetetaan ilmagravimetri, laite joka on samalla tavalla kuin merigravimetri vahvasti vaimennettu. Mittaus tapahtuu automaattisesti, yleensä sähköstaattisen kompensaation avulla. Laite on kiinnitetty stabiloituun alustaan joka seuraa paikallista luotiviivaa. Lennon aikana gravimetri mittaa kokonaispainovoimaa lentokoneessa. Tämä koostuu kahdesta osasta: 1) varsinainen painovoima siis, painovoima Maan pintaan kiinnitetyssä vertausjärjestelmässä, ja 2) Lentokoneen kiihtyvyyksien aiheuttamia näennäisvoimia, jopa suorassa lennossa. Lentokoneeseen on kiinnitetty muutama GNSS 17 -antenni; niiden, ja geodeettisen GNSS-laitteen avulla voidaan seurata senttimetritarkasti lentokoneen liikkeet. Niistä voidaan sitten laskea kohdalla 2 mainitut näennäisvoimat. 17 GNSS, Global Navigation Satellite Systems, sisältää GPS:n lisäksi myös muiden maiden paikannussatelliittijärjestelmät, kuten venäläinen GLONASS.
238 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Jos mitataan lentokoneen tai mittalaitteen) paikka x i hetkillä t i, t = t i+1 t i, saadaan kiihtyvyysarvojen estimaatit seuraavasti: a i x i+1 + x i 1 2x i ) t) 2. 10.8) Jos mitattu kiihtyvyys on Γ i ja paikallisen vertikaalin suunta n i, seuraa paikallinen painovoima g i seuraavasti: g i = Γ i a i n i. Kriittinen asia koko menetelmässä on aikavakion t valinta. Parasta on valita se mahdollisimman pitkäksi; silloin laskettujen GNSSkiihtyvyyksien a i tarkkuus on mahdollisimman hyvä. Myös gravimetrin vaimennus valitaan t:n mukaan, ja havainnot suodataan digitaalisesti: kaikki taajuudet rajan t 1 ylläpuolella poistetaan, koska ne ovat lähinnä lentokoneen liikkeiden aiheuttamia. Käytännössä usein signaalista poistettu korkeataajuuksinen osa on 10 000 kertaa suurempi kuin etsitty painovoimasignaali! Jos yhden GNSS-paikkamittauksen koordinaatin epävarmuus keskivirhe) on σ x ja ne eivät korreloi!), on kaavan 10.8 mukaan pystykiihtyvyyden epävarmuus on σ a = σ x 6 t) 2. Aikavälin t tekeminen mahdollisimman pitkäksi ilman että resoluutio kärsii, vaatii matalaa lentonopeutta. Yleensä käytetään potkurikonetta tai jopa helikopteria. Tietysti mittauksen hinta kasvaa lennon keston mukaan helikopterin roottoritunti on kallis! Lentokorkeudeksi H valitaan resoluution x mukaan: H x = v t, jossa v on lentonopeus. Vierekkäisten lentoratojen välinen etäisyys valitaan vastaavalla tavalla. Ensimmäinen suuri ilmagravimetriaprojekti lienee ollut Grönlannin painovoimakentän kuvaus ilmasta Brozena, 1992). Kunnianhimoisessa amerikkalais-tanskalaisessa hankkeessa kesinä 1991-92 lennettiin yli 200 000 km, koko aikaa mittaamassa painovoimaa ja magneettikenttää. Jäänpinnan korkeutta mitattiin tutka-altimetrilla Ekholm ym., 1995).
10.8. Painovoimagradientin mittaus 239 Sen jälkeen muutkin suuret asumattomat alueet pohjoisella ja eteläisellä napa-alueilla on kartoitettu, ks. Brozena ym. 1996), Brozena ja Peters 1994). Muista suurista mittauskampanjoista kerrottiin jo alaluvussa 8.6.2. Toiminta jatkuu, ks. Coakley ym. 2013), Kenyon ym. 2012). Menetelmä soveltuu hyvin suureille asumattomille alueille, mutta myös esim. merialueille lähellä rannikkoa joilla laivagravimetrilla olisi vaikea navigoida pitkiä suoria linjoja. Vuonna 1999 suoritettiin ilmagravimetriakampanja Itämeren yli, mukaanlukien Suomenlahti J. Kääriäinen, henkilökohtainen tiedotus). Taloudellisen näkökohdan lisäksi ilmagravimetrian tärkeä etu on, että saadaan laajalta alueelta homogeeninen painovoima-aineisto. Monien vuosikymmenien aikana kerätyn pintamittausaineiston homogeenisuus on vaikea taata samalla tavalla. Myös hyvin paikallisen maaston vaikutus, joka pintamittauksissa on etenkin vuoristoissa systemaattinen, hankalasti poistettavissa oleva häiriötekijä ks. alaluku 5.3 sivulla 103), ei esinny ilmagravimetriassa. Satelliittigravimetrian, esim. GOCE:n Geopotential and Steady-state Ocean Circulation Explorer) toimintaperiaate on samanlainen. Olennainen ero kuitenkin on, että satelliittissä oleva laitteisto on painottomuustilassa: Γ = 0 korkealla radalla, tai jos käytetään ilmanvastuksen kompensaatiomekanismia); tai Γ on pieni ja mitataan herkän kiihtyvyysmittarin avulla matalalla radalla, missä ilmanvastus on merkittävä). Satelliittimission suunnittelun suurin haaste onkin lentokorkeuden valinnassa. Matalin mahdollinen korkeus on n. 150 km; sillä korkeudella tarvitaan jo ajoainetta tankillisen verran, muuten lento ei kestä kauan. Kuitenkin mittausten resoluutio Maan pinnalla on rajallinen, esimerkiksi pienimmät yksityiskohdat Maan painovoimakentässä joka GOCEsatelliitti näkee ovat läpimitaltaan 50 100 km. 10.8 Painovoimagradientin mittaus Painovoiman kiihtyvyys g on geopotentiaalin W gradientti. Se vaihtelee paikan mukaan, etenkin massojen lähistöllä. Puhutaan painovoimagra-
240 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet dienttitensorista eli Marussi 18 -tensorista: M =. 2 2 x 2 x y 2 y x 2 z x 2 x z 2 2 y 2 y z 2 z y 2 z 2 W. Tiedämme, että painovoima kasvaa alaspäin mennessämme, ainakin vapaassa ilmassa. Ylöspäin painovoima vähenee, noin 0,3 mgal jokaista korkeusmetriä kohti. Toposentrisissa koordinaateissa x, y, z), jossa z osoittaa zeniitin suuntaan, on tämä matriisi likimäärin 0,15 0 0 M 0 0,15 0 mgal /m, 0 0 0,3 missä 2 W z 2 = z g z 0,3 mgal/m on standardiarvo painovoiman ilmagradientille: Newtonin laki antaa pallon muotoiselle maapallolle minusmerkki tulee siitä, että g:n suunta on alaspäin kun z-koordinaatti kasvaa ylöspäin): Derivointi antaa g z = GM R + z) 2. z g z = = 2 GM R + z) R + z) 3 = 2g z z R + z) 3 10 6 m/s2 /m = 0,3 mgal/m. Suureet 2 W x 2 ja 2 W y 2 x- ja y- suunnassa, kaavat 3.3, 3.4: taas kuvaavat ekvipotentiaalipintojen kaarevuudet 2 W x 2 = g ρ 1 ja 2 W y 2 = g ρ 2, jossa ρ 1 ja ρ 2 ovat x- ja y-suunnan kaarevuussäteet. Sijoittaminen ρ 1 = ρ 2 = R 6378km antaa 2 W x 2 = 2 W y 2 1,5 10 6 m/s 2 /m = 0,15 mgal/m. 18 Antonio Marussi 1908 1984) oli italialainen geodeetti ja matemaatikko, tunnettu siitä, että hän ensimmäisinä otti differentiaaligeometrian menetelmät käyttöön geodesiassa.
Harjoitus 10 1: Absolute gravimeter 241 Unkarilainen tutkija Loránd Eötvös teki useita neuvokkaita kokeita Eötvös, 1998) painovoimagradienttitensorin komponenttien mittaamiseksi rakentamillaan torsiovaa oilla. Menetelmä on edelleen käytössä geofysikaalisissa tutkimuksissa, kun painovoimagradientti on mittaussuureena varsin herkkä paikallisiin maankuoren ainetiheysvaihteluihin. Eötvöksen kunniaksi painovoimagradientin yksikkönä käytetään Eötvös, symboli E: 1E = 10 9 m/s 2 /m = 10 4 mgal/m. Yllä oleva tensori on nyt M 1500 0 0 0 1500 0 0 0 3000 E. Huomaa, että 2 W x 2 + 2 W y 2 + 2 W z 2 0, tuttu Laplacen yhtälö. Kuitenkaan yhtälö ei ole tässä eksakti: Maan mukana pyörivässä koordinaatistossa Laplacen yhtälöön pitää lisätä keskipakoisvoiman termi, 2ω 2, yhtälö 3.1. Kuun ja Auringon painovoimagradienttikenttä tunnetaan Maan päällä vuorovesivoimakenttänä, ks. alaluku 13.1. Harjoitus 10 1: Absolute gravimeter The observation equation for absolute gravimetry is: z = z 0 + v 0 t + 1 2 gt2. Let us assume that the distance of falling is 30 cm. 1) How much is the time of falling? 2) If we aim at an accuracy of ±10µGal, how precisely should the laser interferometer measure the falling distance of the prism? A very crude order-of-magnitude guesstimate is enough!) 3) Same question for the time registration of the falling time.
242 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet Harjoitus 10 2: Spring gravimeter When we use a spring gravimeter in the field, we always take care that the device is arrested during transport, i.e., the beam is clamped to be motionless; the internal temperature of the device is kept constant by a thermostat system. The reason for this is that the functioning of a spring gravimeter depends on the properties of the spring material, which may change as a result of careless handling or temperature variations. Furthermore a gravimeter always has a drift, i.e., the relationship between measured value and true value changes slowly over time. In a non- factory fresh gravimeter this drift is however very regular and almost linear. As a result of the drift, a spring gravimeter cannot be used for absolute gravity measurement and is therefore called a relative gravimeter. Question: how is the relative nature of a spring gravimeter and its drift taken into account 1) in planning the topology of the measurement network? 2) In planning the time order of the different measurements in a network? 3) In the choice of vehicles and point locations? Harjoitus 10 3: Air pressure and gravity 1) How much does a low-pressure zone of 100 hpa affect gravity measured on the Earth surface? You may assume the low-pressure zone to be very extended in area.) 2) How much does sea water rise due to the upside-down barometer effect under a low-pressure zone? 3) How much does the effect from point 2 amount to in local gravity measured on a ship? On the open sea, with a free-air gravity gradient of 0.3mGalm 1, density of sea water 1000kgm 3. Analyze
Harjoitus 10 3: Air pressure and gravity 243 the situation carefully 19. 19 And I mean really carefully.
11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia 11.1 Peruskäsitteet Merellä geoidi on keskimäärin samalla tasolla kuin keskimerenpinta, pinta joka saadaan jos hetkellisestä merenpinnasta poistetaan kaikki periodiset ja kvasi-periodiset vaihtelut. Näitä vaihteluja ovat esimerkiksi: vuorovesi-ilmiöt Kuun ja Auringon aiheuttamia); ±1 m luokka, paikallisesti enemmänkin ilmanpainevaihtelujen aiheuttamia vaihteluja ylösalainen ilmapuntari ); tavallisesti desimetriluokkaa, mutta trooppisten hirmumyrskyjen alla jopa metrejä tuulen työntämien vesimassojen wind pile-up ) aiheuttamia vaihteluita reunamereillä: makean jokiveden mereen virtaavan määrän vaihteluja valtamerillä, esim. Golf-virran ja Agulhas-virran yhteydessä syntyviä pyörteitä mesoscale eddies ) joiden elinkaari voi olla kuukausia ja joissa merenpinta voi olla jopa paria desimetriä ympäristönsä merenpinnan ala- tai yläpuolella valtamerten virtauksien jatkuva siirtyminen paikasta toiseen ENSO, El Niño Southern Oscillation, on hyvin pitkä-aikainen, kvasi-periodinen sää-ilmiö joka tapahtuu pääasiassa Tyynen Valtameren vesissä ja sen yläpuolella olevassa ilmassa mutta vaikuttaa koko maapallon sää-ilmiöihin. Vaihtelun aikaskaala on parista 245
246 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia seitsemään vuoteen. Jos poistetaan kaikki nämä periodiset ja kvasi-periodiset vaihtelut, jää keskimerenpinta. Jos merten vesi olisi tasapainotilassa, olisi tämä keskimerenpinta ekvipotentiaalipinta nimeltä geoidi. Kuitenkaan näin ei todellisuudessa ole. Myös keskimerenpinta eroaa ekvipotentiaalipinnasta seuraavien ilmiöiden seurauksena: pysyvät virtaukset valtameressä aiheuttavat Coriolis-voiman kautta pysyviä keskiveden tason eroja myös pysyvät lämpötila- ja suolaisuuserot aiheuttavat pysyviä keskiveden tason eroja, jälkimmäiset esim. jokien suiden edustalla. Yllämainitut fysikaaliset ilmiöt, muun muassa, aiheuttavat ns. meritopografian, pysyvän erotuksen merenpinnan ja geoidin välillä. Geoidin eräs klassinen määritelmä on se ekvipotentiaalipinta joka yhtyy lähimmin keskimerenpintaan. Tämän määritelmän käytännön ongelma on, että geoidin oikean tason määritys edellyttää keskimerenpinnan tuntemista kaikkialla valtamerella. Siksi monet geoidin mallit käytännössä eivät yhdykään globaaliseen keskimerenpintaan, vain johonkin paikalliseen keski-)merenpintaan ja usein sekin vain likimäärin. Keskimerenpinta puolestaan on myös ongelmallinen käsite. Se on merenpinta mistä on laskennallisesti poistettu kaikki periodiset efektit mutta kuka voi tietää, onko ns. sekulaarinen efekti todellisuudessa ehkä pitkäperiodinen? Järkevä kompromissi on merenpinnan keskiarvo jaksolle 18 vuotta Kuun rataliikkeen tärkeä jaksollisuus, saroshttps://en.wikipedia.org/wiki/saros_astronomy). Meritopografia taas määritellään sen keskimerenpinnan ja geoidin välisen eron osuudeksi, joka on pysyvä. Myös tässä, pysyvyyden mitta on käytettävissä olevat mittaussarjat; mareografimittaukset ovat olleet
11.2. Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit 247 laajasti käytössä jo noin vuosisadan ajan, kun taas useat satelliittiaikasarjat TOPEX/Poseidon ja sen seuraajat) ovat vain noin parin vuosikymmenen pituisia. Ks. kuva 12.1. 11.2 Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit Paikallisesti määritetty geoidin malli on yleensä relatiivinen. Paikallisesti ei ole riittävällä tarkkuudella, nykytekniikalla käytettävissä globaalista keskimerenpintaa. Tulevaisuudessa tämä saattaa muuttua. Yleensä paikallinen geoidimalli on sidoksissa kansalliseen korkeusjärjestelmään, ja ero määritelmästä on siis sama kuin kansallisen korkeusjärjestelmän tasoero globaalisesta keskimerenpinnasta. Suomen tapauksessa ero on noin metri, johtuen lähinnä Pohjanmeren noin 30 cm) ja Pohjois-Atlantin meritopografiasta. Suomessa korkeudet mitattiin pitkään N60-järjestelmässä, joka on sidottu keskimerenpintaan Helsingin satamassa vuoden 1960 alussa. Järjestelmän pääkiintopiste kuitenkin sijaitsee Kaivopuistossa. Tarkkavaaituksen avulla korkeudet on viety kaikkialle Suomeen. Nykyisin Suomen korkeusjärjestelmä on N2000, joka on periaatteessa Amsterdamin merenpinnalle sidottu, mutta jonka pääkiintopiste Suomessa sijaitsee vaastaavasti Metsähovin tutkimusasemalla Kirkkonummella. Vuonna 1960 alussa Suomen korkeusjärjestelmän N60 lähtötaso oli Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta. Kuitenkaan postglasiaalisen maannousun seurauksena se ei sitä enää ole: postglasiaalinen maannousu vaihtelee n. neljästä millimetristä vuodessa Helsingin seudulla noin kymmeneen millimetriin vuodessa maannousun maksimialueella Pohjanmaan tienoilla. Tämä on tärkein syy, miksi Fennoskandiassa korkeusjärjestelmillä on paras ennen -päivämäärä ja ne joudutaan uusimaan pari kertaa vuosisadalla. Yleensä käytännön geoidikartat, kuten Suomen geoidimalli FIN2000 kuva 8.4) konstruoidaan niin, että ne muuntavat kansallisen korkeusjärjestelmän mukaiset, esim. N60-korkeudet Helmert-korkeudet) keskimerenpinnasta korkeuksiksi GRS80-vertausellipsoidista. Koska maannousu on kuitenkin jatkuva prosessi, on se sidottava tiettyyn
248 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia epookkiin, ajanhetkeen jolloin tehtiin ne GNSS-mittaukset joihin alunperin gravimetrinen geoidiratkaisu on sovittu. FIN2000:n tapauksessa tämä oli 1997.0 Matti Ollikainen, eri lähteitä). Tarkasti ottaen FIN2000 ei siis olekaan geoidin malli. Parempi nimitys lienee muunnospinta. Tämä koskee oikeastaan kaikki kansalliset tai alueelliset geoidimallit jotka tehdään ensisijaisesti sitä varten, että GPS-menetelmä voitaisiin käyttää korkeudenmääritykseen GPSvaaitus ). Nämä geoidinkaltaiset pinnat konstruoidaan yleensä niin, että 1) lasketaan gravimetrinen geoidimalli käyttämällä Stokesin menetelmä ja Remove-Restore, esim. FFT-menetelmän avulla; 2) sovitetaan tämä geoidipintaratkaisu muutamaan vertauspisteeseen, missä sekä korkeus vaaituksesta merenpinnasta ) että GPS-menetelmästä vertausellipsoidista) ovat tunnettua. Sovitus tapahtuu esim. kuvaamalla erotukset polynomifunktiolla: δn = a + b λ λ 0 ) + c ) ϕ ϕ 0 +... tai jotain monimutkaisempaa, ja ratkaisemalla kertoimet a, b, c geoidierotuksista tunnetuissa pisteissa pienimmän neliösumman menetelmän avulla. 11.3 Geoidi ja postglasiaalinen maannousu Globaalinen keskimerenpinnan taso ei ole vakio. Se nousee hitaasti määrällä joka on viime vuosisadan aikana hitaasti kasvanut. Koko 1900-luvun aikana keskimääräinen nousutahti on ollut parhaiden arvoiden mukaan n. 1.5 2.0 mm/a, esim. 1.6 mm/a Wöppelmann ym., 2009). Viime parina vuosikymmenenä tahti on kiihtynyt ja on nyt n. 3 mm/a, ks. kuva 12.1. Tätä arvoa kutsutaan eustaattiseksi keskimerenpinnan nousuksi. Se johtuu osin jäätiköiden ja mannerjään sulaamisesta, osin meriveden lämpölaajenemisesta. Eustaatisen nousun tarkkaa arvoa on hyvin vaikea määrittää: lähes kaikilla merenpinnan tasoa mittaavilla mareografeilla on oma pystyliikkeensä ja niiden erottaminen merenpinnan noususta
11.3. Geoidi ja postglasiaalinen maannousu 249 edellyttää mittauspaikkojen erittäin edustavaa maantieteellistä jakaumaa. Etenkin kiinteän Maan vielä käynnissä oleva isostaattinen reaktio viimeisen jääkauden loppuun, ns. GIA Glacial Isostatic Adjustment) on maailmanlaajuinen ilmiö, jota vasta viime vuosikymmeninä on osattu havainnoida satelliittipaikannuksen avulla. Eustaattisesta merenpinnan noususta johtuen on tehtävä ero absoluuttisen ja relatiivisen maannousun välillä: Absoluuttinen maannousu on maankuoren liike maapallon massakeskipisteeseen nähden. Tämä maannousu mitataan kun käytetään satelliitteja, joiden radanmääritys tapahtuu Maan massakeskipisteeseen sidotussa vertausjärjestelmässä. Esim. satelliittialtimetria, GNSS-paikannus mareografeilla. Relatiivinen maannousu on maankuoren liike keskimerenpinnan nähden. Tämä liike mitataan mareografien avulla. Geoidin nousu: kun postglasiaalinen maannousu on Maan sisäisten ainemäärien siirtyminen paikasta toiseen, on selvä että myös geoidi täytyy muuttaa. Geoidin nousu on kuitenkin pieni maannnousun verrattuna, vain muutama prosentti siitä. Kaava piste suureen yläpuollella merkitsee aikaderivaatta d/dt): jossa ḣ = Ḣ r + Ḣ e + Ḣ t + Ṅ, ḣ on absoluuttinen maannousu, Ḣ r on relatiivinen maannousu, Ḣ e on eustaattinen keskimerenpinnan) nousu, Ḣ t on meritopografian ajallinen muutos luultavasti pieni), Ṅ on geoidin nousu. Geoidin muutos maannousun seurauksena voidaan yksinkertaisesti laskea Stokesin yhtälön avulla: dn dt = R 4πγ σ S ψ ) ) d dt g dσ. Tässä d dt g on painovoima-anomalioiden muutos ajassa maannousun johdosta. Valitettavasti emme tunne tarkasti mekanismia millä massaa
250 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia Maankuori Astenosfääri a) Bouguer-hypoteesi... Maankuori Ylä-vaippa b)... ja vapaa-ilma-hypoteesi. Kuva 11.1. Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia. virtaa Maan vaipassa maannousualueen alle; voimme kirjoittaa d dt g = c dh dt, missä vakio c voi vaihdella arvojen 0,16 ja 0,31 mgal/m välillä. Arvoa 0,16 mgal/m kutsutaan Bouguer-hypoteesiksi : se vastaa tilannetta, missä nousevan maankuoren alle virtaa ylävaipan materiaalia täyttämään syntynyttä reikää. Arvo 0,31 mgal/m on toinen ääripää, vapaa-ilma-hypoteesi. Tämän hypoteesin mukaan viimeisen jääkauden jääkuorma on vain puristanut maan vaippa kokoon, ja nyt se on hitaasti laajenemassa entiseen tilavuuteensa pullataikinamalli ). Todennäköisin arvo oli pitkään noin 0,2 mgal/m, melkoisella epävarmuudella. Uusimmat tulokset Mäkinen ym., 2010) antavat 0,16 ± 0,02 mgal/m yksi standardipoikkeama), mikä näyttää ratkaisevalta. Näyttää siltä, että Bouguer-malli on lähempänä fysikaalista totuutta. Massan virtaus tapahtuu todennäköisesti ns. astenosfäärin sisällä. Tämä ongelmakenttä on paljon tutkittu Pohjoismaissa. Menetelmä on
11.4. Menetelmiä meritopografian määrittämiseksi 251 5 65 10 15 20 25 30 35 65 Föllinge Meldal Kopperå Vågstranda Stugun Kramfors Vaasa Äänekoski Joensuu 60 5 10 15 20 25 30 60 35 Kuva 11.2. Fennoskandian 63 N leveyspiirin painovoimalinja. ollut gravimetrinen mittaus 63 N leveyspiiriä pitkin Blue Road Geotraverse -projekti). Mittausasemat ulottavat Norjan rannikolta Venäjän rajalle saakka, ja ne on valittu niin että painovoima niillä vaihtelee pienen välin sisällä. Näin vältetään gravimetrien mittakaavavirheen vaikutusta. Eihän absoluuttinen painovoima kiinnosta, vain ainoastaan painovoimaerojen muutos ajassa asemien välillä. Mittauksia on tehty monen vuoden ajan käyttäen huipputarkkoja jousieli relatiivigravimetreja. Viime vuosina on siirrytty absoluuttigravimetrien käyttöön, jolloin mittauslinjoja ei enää tarvita. 11.4 Menetelmiä meritopografian määrittämiseksi Periaatteessa on olemassa kolme geodeettista menetelmää: 1) satelliitti-altimetria ja gravimetrinen geoidimääritys 2) GNSS-paikannus rannikolla mareografit) ja gravimetrinen geoidimääritys 3) tarkkavaaitus rannikkoa pitkin. Tämän lisäksi on vielä olemassa oseanograafinen menetelmä eli fysikaalinen mallinnus. Menetelmää kutsutaan steeriseksi vaaitukseksi jos käytetään lämpötila- ja suolaisuusmittauksia pystyprofiilia pitkin avomerellä; geostrofiseksi vaaitukseksi jos käytetään virtausmittauksia Coriolis-voiman vaikutuksen määrittämiseksi, yleensä rannikon lähel-
252 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia lä. Kaikki menetelmät pitäisi antaa samat tulokset. Itämeri on esimerkkitapaus, missä kaikki kolme menetelmää on käytetty. Tulos oli, että koko Itämeren pinta on kallellaan : ekvipotentiaalipintaan nähden merenpinta nousee Tanskan raumoista Suomenlahden ja Pohjanlahden pohjukoille n. 25 30cm. Oseanografiset mallilaskennat antavat ymmärtää, että tämä kaltevuus on suurilta osin peräisin suolaisuusgradientista: Atlantilla suolaisuus on 30 35 o/oo, kun Itämerellä se laskee 5 10 o/oo:iin johtuen jokien massiivisesta makean veden tuotannosta Ekman, 1992). Tietysti tämän päälle asettuvat ajalliset vaihtelut, kuten myrskyjen aiheuttamat oskillaatiot heiluvan kylpyammeen tapaan, joiden amplitudi voi olla yli metriä. Julkaisussa Ekman 1992) löytyy lisää Itämeren meritopografiasta ja sen määrityksestä. 11.5 Globaalinen meritopografia ja lämmönkuljetus Yksi tärkeä syy miksi tutkijat ovat kiinnostuneita maailmanlaajuisesta meritopografiasta on, että se antaa tilaisuuden tutkia tarkemmin valtamerten virtaukset ja näin ollen Auringon lämpöenergian kuljetusta päiväntasaajalta korkeampiin leveysasteisiin. On itse asiassa olemassa monta asiaa, joiden tutkimusta edesauttaa merivirtausten tarkka tunteminen: veteen liuennut hiilidioksidi, klorofylli kasviplankton), suolaisuus, ym. Maan pyörähdysliikkeen aiheuttama Coriolis-voima kiihtyvyys) on: a = 2 v ω, 11.1) missä v on liikevektori pyörivän maapallon järjestelmään kiinnitetyssä järjestelmässä ja ω on maapallon pyörähdysliikevektori. Jos neste virtaa Maan pinnalla, vaikuttaa yhtälössä 11.1 vain vektorin ω pinnan normaalisuunnassa oleva osa: sen pituus on ω n = ωsinϕ, ja vektoriyhtälö 11.1 voidaan korvata yksinkertaisemmalla skalaariyhtälöllä: a = 2vωsinϕ,
11.5. Globaalinen meritopografia ja lämmönkuljetus 253 missä a. = a a n, eli a:n projektion pituus Maan tangenttitasossa, ja v. = v,ω. = ω jne. tutulla tavalla. Coriolis-kiihtyvyyden suunta on aina kohtisuora virtausnopeutta kohtaan, virtaussuunnassa katsottuna oikeaanpäin pohjoisella pallonpuoliskolla, vasempaanpäin eteläisellä pallonpuoliskolla. Coriolis-voiman seurauksena merivirtauksen alueella merenpinta tulee olemaan kallellaan, kulmalla a γ = 2vω γ sinϕ. Tätä tasapainoa Coriolis-voiman ja paineen vaakagradientin välillä kutsutaan geostrofiseksi tasapainoksi. Kuten näkyy on päiväntasaajalla kaltevuus nolla, mutta kaikkialla muualla merivirrat ovat kallellaan. Esimerkiksi Golf-virran tapauksessa tämän efektin aiheuttama korkeusvaihtelu on muutama desimetri. Jos määritellään paikallinen x, y) -koordinaatisto jossa x ϕ,λ ) osoittaa pohjoiseen ja y ϕ,λ ) itään, voimme kirjoittaa meritopografialle H: H x = 2v ω y γ sinϕ, H y = +2v ω x γ sinϕ, 11.2) Kuten tulemme näkemään seuraavassa luvussa 12, voidaan mitata merenpinnan paikka avaruudessa tällä tarkkuudella satelliitti-altimetrian avulla. Jos meillä on tämän lisäksi vielä tarkka geoidikartta, niin voimme laskea meritopografia, [ ja yhtälöiden 11.2 avulla ratkaista virtauksen ] T [ nopeusvektorikenttä 1 ) ) ] T v x x, y) v y x, y) = v x ϕ,λ v y ϕ,λ. Kaavojen elegantti ominaisuus on, ettei tarvitse tietää edes kentän H x, y) = H ϕ,λ ) absoluuttista tasoa, koska se häviää differentioimisessa. Kuvattu menetelmä edellyttää riiittävän tarkan Maan valtamerten geoidikartan olemassaoloa. Tähän tarpeeseen GOCE-satelliitti tuli kuin tilattuna, ks. alaluku 12.7. Hankkeen yhtenä päämääränä oli, kuten nimestä voi päätellä, saada täydellinen kuva merivirtauksista ja erityisesti niiden lämpökuljetuskapasiteetista. Tämä tieto auttaa ymmärtämään 1 Käypä, vaikkakin epävirallinen merivirtauksen yksikkö on Sverdrup http: //en.wikipedia.org/wiki/sverdrup), miljoona kuutiometriä sekunnissa. Maailman kaikki joet yhdessä ovat noin yksi Sverdrup, kun Golf-virta on 30 150Sv.
254 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia - x + y Kuva 11.3. Meritopografian ja merivirtausten välinen yhteys. Punaiset nuolet kuvaavat merivirtauksia; käyrät meritopografiaa. miten maapallon ilmasto toimii ja miten se on muuttumassa, myös ihmiskunnan toiminnan seurauksena. Tämä on Euroopalle ja Suomelle keskeisen tärkeä, ovathan nämä alueet asumiskelpoisia ainoastaan Golf-virran tuoman lämpöenergian ansiosta. Jo ilman geoidimallia voidaan tutkia satelliitti-altimetrian avulla merivirtausten vaihteluja. On tiedetty jo kauan, että Pohjois-Atlantilla Golfvirran laidalla liikkuu ns. meso-scale eddies, 10 100 kilometrin kokoisia pyörteitä jotka näkyvät satellitti-altimetriakuvissa. Mielenkiintois- Kuva 11.4. GOCEn tuottama meritopografiakartta. European Space Agency. Yksikkö cm. Päälle piirretyt meren pintavirtaukset NOAA / Rick Lumpkin Lumpkin ja Garraffo, 2005).
11.6. Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen 255 ta on, että pyörteet näkyvät myös merenpinnan lämpätilakartoissa ja biologit ovat havainneet, että pyörteiden sisäinen eliöstö poikkeaa sen ulkopuolisesta Godø ym., 2012). Pyörteiden elinkaari voi olla viikkoja, jopa kuukausia. Hyvä, vaikkakin jo hieman vanha, johdanto geodeettiseen meritieteeseen ja satelliitti-altimetrian käyttöön antaa Rummel ja Sansó 1992). 11.6 Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen Vettä on maapallolla kolmessa eri olomuodossa: neste, jää ja höyry. Geologisen historian aikana on erityisesti nestemäisen veden ja jään suhde vaihdellut suuresti. Myös tällä hetkellä on suuri määrä jäätä sidoksessa mannerjäätikköihin, lähinnä Etelämanner ja Grönlanti. Näistä Itä- Etelämanner on ylivoimaisesti suurin. Kun mannerjäätikköihin sidotun veden määrä vaihtelee, vaihtelee merenpintakin. Viimeisen jääkauden loppuminen on nostanut merenpintaa jopa 120m, prosessi joka tuli päätökseen noin 6000 vuotta sitten 2 http://en.wikipedia.org/wiki/current_sea_level_rise). Vasta viime vuosisadan, parin aikana on merenpinta taas lähtenyt kiihtyvään nousuun lähinnä globaalin lämpenemisen seurauksena. Elämme edelleen viimeisen glasiaation jälkimainingeissa; siellä missä oli isoja mannerjäätikköitä jotka ovat sittemmin sulanneet pois, kuten Fennoskandiassa ja Kanadassa ns. Laurentiidinen mannerjäätikkö) on maa edelleen nousemassa tasaiseen tahtiin, paikoin jopa 10 milliä vuodessa. Maannousualueiden ympärillä, keski-euroopassa ja Yhdysvalloissa, tapahtuu taas maan vajoaminen, 1 1,5 mm:n vuosivauhdilla, kun välittömästi Maan kovan ulkokerroksen eli litosfäärin alla olevassa ylävaipassa eli astenosfäärissä ainetta virtaa hitaasti sisään päin nousevan Maankuoren alle. Kuvion mutkistamiseksi mannerjäätikköiden aiheuttama merenpinnan nousu painaa myös valtameren pohjaa alaspäin jopa 0,3 mm vuodessa, ns. Peltier-ilmiö Peltier, 2009). Siksi mitattu merenpinnan nousu 2 6000 years before present, 6ka BP. BP sovitusti merkitsee: ennen 1950. Nykyisin käytetään myös b2k, ennen vuotta 2000.
256 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia Merenpinta laskee Merenpinta nousee Merenpinta laskee Grönlanti Etelämanner Kuva 11.5. Merenpintayhtälö. Merenpinta reagoi monimutkaisella tavalla kun mannerjäätiköt sulaavat. joko rannikolla mareografeilla, tai avaruudesta satelliitti-altimetriaa käyttäen ei edusta koko valtameren vesivolyymin muutosta. Jos se on kiinnostuksen kohteena, kuten se ilmastotukimuksessa aina on, pitää lisätä havaintoarvoihin vielä tämä Peltier-korjaus. Merenpohjan vajoaminen ei ollut edes globaalisti tasaista: mantereiden reunalla tapahtuu vipuliike kun merenpohja vajoaa mutta kuiva maa ei. Ja Intian ja Tyynen Valtameren tropiikissa merenpinta saavutti 6000 vuotta sitten maksimitasonsa, ns. mid-holocene highstand, maankuoren suhteen; sen jälkeen paikallinen merenpinta on laskenut ja sen aikaiset korallimuodostelmat ovat jääneet kuolleina noin 2 3 m nykymerenpinnan yläpuolelle. Näin muodostivat esim. Tuvalu ja Malediivit, joita moderni merenpinnan nousu on jälleen uhkaamassa. 11.7 Merenpintayhtälö Tieteellisesti merenpinnan vaihtelut tutkintaan merenpintayhtälön avulla http://samizdat.mines.edu/sle/sle.pdf). Alan pioneereja on ollut Richard Peltier http://www.atmosp.physics.utoronto.ca/~peltier/ data.php), joka on rakentanut fysikaalisia malleja siitä, miten sekä kiinteä Maa että merenpinta reagoi, jos mannerjäätikköiden kokonaismassa muuttuu. Merenpintayhtälö on http://samizdat.mines.edu/sle/sle.pdf): S = S E + ρ [ ] i G s i I G s i I + ρ [ ] o G s o S G s o S, 11.3) γ 0 γ 0
11.7. Merenpintayhtälö 257 jossa S = S ω, t) = S ϕ,λ, t ) kuvaa merenpinnan vaihtelut paikan ω = ϕ,λ ) ja ajan t funktiona, I = I ω, t) on vastaavasti jäätiköiden geometriaa kuvaava paikan ja ajan funktio, S E on eustaattinen termi, eli jäämassojen vaihtelu kuvattuna vastaavana globaalisen merenpinnan vaihteluna, kaavassa S E t) = m i t) ρ o A o, jossa m i t) on jään kokonaismassan vaihtelu ajan funktiona, ρ o meriveden tiheys ja A o valtamerten kokonaispinta-ala, ρ on aineen tiheys: ρ i jään ja ρ o meriveden, on Maan pinnan ja aika-akselin konvoluution symboli, i jäätiköiden, o valtamerten yli eli Greenin funktio kerrotaan jääja merifunktioiden kanssa ja integroidaan ko. domeenin yli. Nämä integraalit ovat muuten hyvin samanlaisia kuin mistä puhuttiin alaluvussa 7.1, esim.: {G s o S}ω, t) = ˆ t meri G s { ψ ω,ω ), t t )} S ω, t ) dω dt, jossa ψ ω,ω ) on geosentrinen kulmaetäisyys laskentapisteen ω = ϕ,λ ) ja integrointipisteen ω = ϕ,λ ) välillä. Pinta-integraalin mitta on dω = N ϕ ) M ϕ ) cosϕ dφdλ, jossa N, M R ovat maaellipsoidin pääkaarevuussäteet. Kuten näkyy, on tässä kyse sekä Maan pinnalla ω että aika-akselilla t suoritettu konvoluutio. Yläpalkki kuvaa keskimääräistystä koko valtameren pinnan yli, γ 0 on keskimääräinen painovoimakiihtyvyys, G s on ns. merenpinnan Greenin funktio: G s = G V γ 0 G u, jossa geopotentiaalin Greenin funktio on ) ) ) ) G V ψ, t = G r V ψ, t +G e V ψ, t +G v V ψ, t jossa taas ψ on laskentapisteen etäisyys integrointipisteestä, ja G r V,Ge V ja Gv ovat jäykän rigid ), elastisen ja plastisen viscous ) V
258 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia Kuva 11.6. Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen Wikimedia Commons, Robert A. Rohde, GNU Free Documentation License). deformaatioiden osittaiset Greenin funktiot. Ne siis kuvaavat maapallon reologista käyttäytymistä, ja niiden teoreettiseen laskemiseen tarvitaan Maan sisäistä viskoositeettijakauma ηr), olettaen, että se on isotrooppinen, ts. riippuu vain säteestä r. ) ) ) G u ψ, t = G e u ψ, t +G v u ψ, t taas on vastaavasti pystysiirtymän Greenin ydinfunktio, samalla tavalla jaettuna elastiseen ja plastiseen osuuksiin. Merenpinnan käyttäytyminen voidaan nyt laskea sillä tavalla, että ensin yritetään konstruoida jääkuormahistoria, siis I ω, t); sitten tästä yritetään laskea iteratiivisti merenpintayhtälön 11.3 avulla S ω, t). Huomaa, että S kuvaa relatiivista merenpinnan vaihtelua, eli muutokset merenpinnan ja Maan kiinteän kappaleen eli maankuoren välisessä pystysuunnan sijainnissa. Se on paikan funktio: ei saa olettaa, että se olisi kaikkialla sama. Artikkelissa Mitrovica ym. 2001) näytetään, miten esim. Grönlannin sulamisvesi pakenee eteläiselle pallonpuoliskolle, kun taas Etelämantereen sulaamisvesi tulee vastaavasti pohjoiseen. Tämä on seuraus siitä, että Maan painovoimakenttä ja geoidi muuttuvat, kun suuret jäämassat sulaavat. Toinen tekijä on, että myös Maan muoto
Harjoitus 11 1: Coriolis force, ocean current 259 muuttuu, kun jään kuormitus muuttuu: ns. Glacial Isostatic Adjustment eli GIA. Tämä hankaloittaa myös globaalisen keskimerenpinnan vaihtelujen seurantaa paikallisista mittauksista: ongelma on Fennoskandiasta tuttu, kun maankuori liikkuu ylöspäin toistaiseksi nopeammin kuin globaalisen merenpinnan nousu... Merenpintayhtälön Green-funktiot ovat sekä etäisyyden ψ että ajan t funktioita; tämä kuvaa se, että GIA on sekä paikan että ajan funktio. Pallosymmetriselle Maalle funktioita voidaan kirjoittaa kehitelmiksi, esim. 3 G v V ψ, t ) = H t) Rγ 0 M ) I k li e s ) li t P l cosψ, i=1 l=1 jossa H t) on askelfunktio, Heaviside-funktio. Indeksi i laskee ns. plastiset relaksaatiomoodit, jollaisia on useita jokaisen asteluvun l kohtaan; k li ovat plastisia kuormituksen deformaatiokertoimia ja τ li = 1/s li vastaavat relaksaatioajat joissa ko. moodi vaimentuu aikaa myöten. Yleensä moodit joilla on pitkät spatiaaliset mittakaavat siis alhaiset l-luvut vaimentuvat hitaammin, kun taas paikalliset moodit korkeat l-luvut yleensä vaimentuvat nopeammin, ja viime deglasiaation paikalliset moodit ovat nytemmin jo hävinneet: Fennoskandian maannousun maantieteellinen kuvio on jo hyvin sileä, ja deglasiaation aikainen seisminen toiminta on pitkälti ohi. Silloin, heti mannerjäätikön vetäytymisen jälkeen jäätikön reunalla, tapahtui voimakkaita maanjäristyksiä joiden jälki näkyy maisemassa Kuivamäki ym., 1998). Tämän hetken hallitsevat viskoelastiset moodit ovat maantieteelliseltä mittakaavaltaan tuhansia kilometreja, ja vastaavasti aikaskaalaltaan tuhansia vuosia. Harjoitus 11 1: Coriolis force, ocean current If the velocity of flow of an ocean current is 0,1 m/s and its breadth 100 km, compute 1) how much at latitude 45 N is the height difference between its left and right edges 3 Tässä otetaan huomioon vain plastista deformaatiota.
260 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopografia 2) If the same current was 200km broad and the velocity of flow 0,05 m/s i.e., assuming the same depth, also the transport of water were the same), compute for that case the height difference between the left and the right edges. 3) [For fun] if the depth of the current is 1km, what is the water transport in sverdrup?
12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot 12.1 Satelliitti-altimetria Satelliitti-altimetria mittaa mikroaaltotutkalaitteiston avulla satelliitiltä matkaa suoraan alaspäin merenpintaan. Aikaa myöten on lentänyt useitä satelliitteja joilla oli tutka-altimetri mukanaan, ks. taulukko 12.1. GEOS- ja Seasat-satelliitit olivat amerikkalaisia koesatelliitteja altimetriamenetelmän kehittämiseksi. GEOS-3:n 1975-027A) mittaustarkkuus oli vielä aika heikko. Ennen sitä kokeiltiin altimetriaa myös Skylabilla 1973-027A) olevalla laitteella. Taulukko 12.1. Altimetriasatelliitteja kautta aikojen. Satelliitti Lauk. Ratatason Radan Toisto- Tark- Paikanvuosi kalte- korkeus jaksot kuus nus vuus ) km) vrk) m) GEOS-3 1975 115,0 843 0,20 Seasat 1978 108,0 780 317) 0,08 Geosat 1985 108,0 780 3, 17 0,04 ERS-1 1991 98,5 780 3, 35, 2 168 0,03 TOPEX/Poseidon 1992 66,0 1337 10 0,033 GPS, DORIS ERS-2 1995 98,5 780 35 0,03 PRARE Geosat follow-on 1998 108 800 17 0,035 Envisat 2001 98,5 784 35 0,045 GPS, DORIS Jason-1 2001 66,1 1336 9,9156 0,025 GPS, DORIS Jason-2 2008 66,04 1336 9,9156 0,025 GPS, DORIS Cryosat-2 2010 92,0 725 369, 30 DORIS HY-2A 2011 99,3 970 14, 168 0,085 DORIS, GPS SARAL/AltiKa 2013 98,5 781 35 DORIS Jason-3 2016 66,04 1338 9,9927 0,025 GPS, DORIS 261
262 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Seasat 1978-064A) meni epäkuntoon vain kolme kuukautta laukaisunsa jälkeen. Kuitenkin Seasat-aineisto oli ensimmäinen laaja satelliitti-altimetria-aineisto joka käytettiin keskimerenpinnan määrittämiseksi, myös Itämerellä. Geosat 1985-021A) oli Yhdysvaltain laivaston laukaisema satelliitti, jonka tarkoituksena oli kartoittaa maailman valtamerten painovoimakenttä, tarkemmin luotiviivan poikkeamat, joita tarvitaan sukellusveneiltä laukaistujen ballististen ohjusten oikean lähtösuunnan aikaansaamiseksi. Geodeettisen mission 17- päiväisen toiston aineisto oli alunperin salaista; sitten julkaistiin eteläisen pallonpuoliskon aineisto tutkijoitten käyttöön, ja tällä hetkellä koko aineisto on käytettävissä. ERS-1/2 -satelliitit 1991-050A, 1995-021A) ja Envisat 2002-009A) ovat ESAn European Space Agency) laukaisemia. Altimetri oli vain yksi monesta laitteesta. ERS-satelliiteillä oli mukana saksalainen PRARE-paikannin, mutta vain ERS-2:n laite oli toimiva laukaisun jälkeen. TOPEX/Poseidon 1992-052A) oli amerikkalais-ranskalainen yhteistyöprojekti jonka yhtenä tavoitteena oli meritopografian tarkka määritys. Erikoispiirteenä on mukana oleva tarkka GPS-paikannin, jonka ansiosta altimetri määrittää merenpinnan sijainnin geosentrisesti. Yhdessä sen seuraajien Jason-1, 2 ja 3 2001-055A, 2008-032A, 2016-002A) kanssa tämä satelliittimissio on myös tuottanut, ja tuottaa edelleen, arvokasta tietoa globaalin keskimerenpinnan noususta viime 20 vuoden aikana, noin 3 mm vuodessa. Ks. kuva 12.1. Kuuluisa merentutkija Walter Munk kuvasi v. 2002 TOPEX/Poseidon sanoilla kaikkien aikojen menestyksekkain merentutkimushanke http://en.wikipedia.org/wiki/topex/poseidon). HY-2A 2011-043A) on kiinalainen, Kiinan laukaisema satelliitti. SARAL/AltiKa 2013-009A) on Intian laukaisema satelliitti. Altimetri ja DORIS ovat Ranskan rakentamia. Cryosat-2 2010-013A) on Euroopan avaruusjärjestön ESAn laukaisema satelliitti napa-alueiden merijään tutkimiseksi. Kiinnos-
12.1. Satelliitti-altimetria 263 Kuva 12.1. TOPEX/Poseidon ja Jason -satelliitien tuottamat tulokset. Vasemmalla, globaalisen keskimerenpinnan nousu; oikealla, yhteys globaalisen keksimerenpinnan ja ENSOn El Niñon ) välillä. Colorado UniversityBoulderin yliopisto, Colorado, Yhdysvallat s Sea Level Research Group, http://sealevel.colorado.edu/. tuksen kohteeksi on ns. freeboard, eli paljonko jää törröttää ympäröivän veden yläpuolille. Tästä voidaan laskea jään paksuus ja, pinta-alan kanssa, sen kokonaismäärä Cryosat-1 laukaisu epäonnistui). Paikannus tapahtuu ranskalaisen DORIS-järjestelmän avulla. Satelliittialtimetrian mittausmenetelmä on kuvattu kuvassa 12.2. Tässä näkyy kaikki suureet jotka altimetriassa ovat mukana: mitattu etäisyys l on satelliitin korkeus h vertausellipsoidista, korjattuna geoidin korkeuksella N, meritopografialla H ja merenpinnan vaihteluista, kuten vuokset, pyörteet, vuosittaiset jaksot jne. Tämän lisäksi, jos satelliitissa ei ole mukana tarkka paikannuslaite, satelliitin todellinen rata ei ole se mikä on laskettu edes jälkeenpäin!); siksi h sat = h 0,sat + h, missä h 0,sat on laskettu rata ja h ratavirheen korjaus. Mittaukset tehdään lähettämällä 10 20 pulssia sekunnissa alaspäin; takaisin heijastettujen pulssien kulkumatka mitataan, suurin ja pienin arvo heitetään pois mahdollisina virhemittauksina) ja lopusta lasketaan lineaariregression avulla keskiarvo pulssisarjan keskiepookkiin.
264 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Todellinen rata Laskettu rata h sat l Meritopografia H footprint Geoidi Vertausellipsoidi Merenpinta Keskimerenpinta Geoidikorkeus N Kuva 12.2. Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet. Näin regressioviivasta saatu arvo on varsinainen mittaus : yksi sekunnissa, jolloin mittaustahti on 1 Hz. Yksityiskohdat vaihtelevat satelliitista toiseen. Pulssin muoto ei ole koskaan aivan terävä; heijastuksen paikka meren pinnalla eli footprint, on läpimitaltaan muutama kilometri. Etenkin jos merellä on aaltoliike significant wave height, SWH), on käsittelyvaiheessa tehtävä huolellisia laitekorjauksia, jottei syntyisi systematiikkaa: jos SWH on iso, on myös altimetrin footprint merenpinnan alue mistä palaa radioenergiaa vastaanottimeen) suurempi, ja radioaaltojen kulkumatka keskimäärin pitempi. Kaikista laitteistoon, ilmakehään, mereen ja kiinteään Maahan liittyvistä korjauksista mainittakoon: meriaaltojen korkeus SWH) kiinteän Maan vuorovesi meren vuorovedet troposfäärin kostea propagaatioviive, parhaiten mitattavissa sa-
12.2. Crossover-tasoitus 265 telliitilla olevan vesihöyryradiometrin avulla, muulloin ilmakehämallista troposfäärin kuiva propagaatioviive ionosfääriviive, vaan ionosfäärin osuudesta satelliitin alapuolella, riippuu lentokorkeudesta altimetriatutkan oma kalibrointikorjaus. Nykyisin pyritään aina in-flight -kalibrointiin. Mittaukset ja niihin tehtävät kaikki korjaukset kerätään geophysical data record GDR) -nimiseen tietueeseen, yksi per havaintoepookki. Näin rakennetut tiedostot jaetaan tutkijoille. Tämä mahdollistaa kaikenlaista kokeilua, esim. korjausten korvaaminen paremmilla malleilla lasketuilla, jne. 12.2 Crossover-tasoitus Kun satelliitti kiertää Maata kuukausien tai jopa vuosien ajan, kertyy tuhansia pisteitä missä radat kulkevat ristin. Jos oletetaan, että merenpinta oli sama kumman satelliitin ylikulun aikana, tästä muodostuu ehto jota voidaan käyttää satelliittiratavirheiden tasoittamiseksi. Havaintoyhtälöt: h a = N + H + h + ɛ + n, missä h a on altimetrinen merenpinnan korkeuden mittaus, N on geoidin korkeus, H on meritopografia keskimerenpinnan pysyvä poikkeama ekviipotentiaalipinnasta), h on ratakorjaus, ɛ on merenpinnan vaihtelevuus mm. vuoroveden seurauksena, ja n on altimetriatutkahavaintojen kohina. Tästä saadaan ratojen i ja j risteyskohdassa: l k. = h i a h j a = h i h j ) + ɛi ɛ j ) + n i n j ). Tässä näkyy hankaluutena, että risteyskohtatasoituksessa sekä merenpinnan vaihtelevuus että ratakorjaukset ovat molemmat mukana samassa yhtälössä.
266 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot h 2 h 3 h 2 h 3 h 1 h 1 h 3 3 Crossover 2 Crossover 1 1 2 Kuva 12.3. Eräs crossoverien yksinkertainen geometria. Jos unohdetaan toistaiseksi merenpinnan vaihtelevuutta tai oletetaan että se käyttäytyy satunnaisesti, ts. on osaa kohinasta n), voimme kirjoittaa l k = h i h j + n k, crossover-tasoituksen havaintoyhtälö. Indeksi k laskee risteyskohtia, indeksit i, j laskevat ratoja. Seuraavaksi valitaan sopiva malli satellittiratakorjauksille. Yksinkertaisin valinta, joka riittää pienellä alueella, on oletus että ratakorjaus on vakio. Ks. yksinkertainen esimerkki, kuva 12.3. Kuvassa on kolme rataa ja kaksi risteyskohtaa. Havaintoyhtälöt, jotka kuvaavat tiedossa olevien risteyskohtien ristiriidat määrittettävinä olevien ratakorjausten funktioina, ovat l 1 = h 2 h 3 + n 1 l 2 = h 1 h 3 + n 2
12.2. Crossover-tasoitus 267 tai matriisimuodossa 1 l 1 l 2 = 0 1 1 1 0 1 h 1 h 2 h 3 + n 1. n 2 Symbolisesti l = Ax + n. Kun nyt yrität laskea ratkaisu tavallisen pienimmän neliösumman menetelmän avulla, x = A A) T 1 A T l, huomaat, että se ei onnistu. Normaalimatriisi A T A on singulaarinen tarkista!). Tämä käy järkeenkin, voidaanhan siirtää koko rataverkko ylös- tai alaspäin ilman että havaintosuureet l k muuttuisivat. Sellaiseen järjestelmään ei löydy yksiselitteistä ratkaisua. Ratkaisun saaminen edellyttää, että jotain kiinnitetään. Esim. yksi rata, tai demokraattisemmin, kaikki ratojen keskitaso. Tämä kiinnitys saadaan aikaan lisäämällä seuraava havaintoyhtälö : l 3. = 0 = [ c c c ] x, jossa c joku sopiva vakio. Silloin matriisista A tulee 0 1 1 A = 1 0 1, c c c ja ĥ 1 ĥ 2 ĥ 3 ) 1A = A T A T l = 1 3 0 0 1 2 = 1 2 1 l 1, 3 l 2 1 1 2 3 1 3 0 2 3 0 1 3c 2 0 1 c 1 0 c 1 1 c l 1 l 2 0 = 1 Huomaa samanlaisuutta vaaituksen havaintoyhtälöiden kanssa! Vaaituspisteiden sijasta meillä on ratoja, vaaituslinjojen sijasta risteyskohteja.
268 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot yksiselitteinen ratkaisu josta c on hävinnyt 2. Vaihtoehtoinen ratakorjausten esitystapa joka kelpaa suuremmalla alueella käytettäväksi, on lineaarinen funktio: h = a + bτ, jossa parametri τ on paikka radassa laskettuna sen alkupisteesta. Paikan dimensio voi olla aika sekunteja) tai etäisyys kulmamitalla asteita). Nyt ylläolevan tilanteen havaintoyhtalöiden ryhmä on huomaa notaatio: τ i, k havainnon eli crossover-pisteen numero, i tuntemattoman k eli radan numero): l 1 l 2 = 0 0 1 τ2 1 1 τ 3 1 1 τ 1 2 0 0 1 τ 3 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 + n 1. n 2 Tietysti tämäkin ryhmä osoittautuu singulaariseksi. Singulariteetin poistaminen onnistuu kiinnittämällä kaikki kolme b-parametria ja yksi a-parametri 3. Ilmiötä, että ratkaisua ei löydy, mikäli ei kiinnitetä jotain, kutsutaan datumi-defektiksi. Sopivan asian kiinnitys määrittää tietty datumi. Eri datumien välillä on olemassa muunnoskaava, esim. yksinkertaisimmassa tapauksessa että on vain yksi ratakorjausparametri per rata, tama muunnos on yksinkertainen, kaikkien ratojen translaatio eli siirto ylöstai alaspäin. Tilanne on hiemän sama kuin maan korkeusjärjestelmää määrittäessä: täytyy kiinnittää yksi piste, esim. Helsingin satama. Jos kiinnitetään toinen piste, esim. Turun satama, saadaan toinen datumi, jossa kaikki 2 Huomaa, että x = A 1 l olisi tässä tapauksessa tuottanut saman ratkaisun, koska A on neliön muotoinen ja sen käänteismatriisi on olemassa. 3 Tämän ymmärtämiseksi rakenna vaikkapa kolmen radan rautalankamalli kolmesta jäykästä rautalankapätkästä, yhteensidottuina naruilla crossoverkohdilla. Risteyskohtaehdot eivät millään tavalla kiinnitä kaltevuuksien b arvot, ja koko häkkyrän absoluuttitaso on edelleen kiinnittämättä.
12.2. Crossover-tasoitus 269 korkeusarvot eroavat ensimmäisen datumin vastaavista korkeuksista tietyllä vakioarvolla. Sama argumentti pitää jos on suuri määrä ratoja, esim. kymmenen rataa pohjoiseen ja kymmenen etelään, ja 10 10 risteyskohtaa. Tässä, jos on kaksi parametria per rata, olisi 40 tuntematonta ja peräti 100 havaintoa. Kuitenkin koko ratojen verkon absoluuttitasoa ja kaikenlaiset kaltevuudet ja väännöt pitää asettaa. Se on mutkikas; yksinkertainen lähestymistapa on asettaa kaikille estimoitavissa oleville tuntemattomille a i, b i a priori epävarmuuksia, esim. tunnetut rataennusteen epävarmuudet. Pienimmän neliösumman yhtälöstä tulee silloin x = A T A + Σ 1) 1 A T l, jossa Σ on diagonaalimatriisi jossa jokaisen radan i parametrien a priori varianssit 4 σ 2 a,i,σ2 b,i. Tätä kutsutaan Tikhonov5 -regularisaatioksi. 12.2.1 Esimerkki Oheisessa satellitti-altimetriaratakuviossa 12.4 on 16 crossover-pistettä. Yritämme suorittaa crossover-tasoitus. Kysymyksiä: 1) Jos jokaisen radan satelliittiratavirhe h kuvataan mallilla jossa on yksi vakiovirhe bias ), montako tuntemattomia on? 2) Jos on käytettävissä 16 havaintoa eli crossover-eroa, montako on ylimääräisiä? 3) Onko geometrisesti mahdollista laskea tätä verkkoa? 4) Jos kiinnitetään yksi rata etukäteen ns. a priori informaatio), montako ylimääräisyyksiä on? Voidaanko tätä verkkoa laskea? 5) Jos jokaisella radalla on kaksi tuntematonta, bias ja aikaa myöten lineaarisesti kasvava virhe eli trendi tai tilt, mitä kaikkea 4 Oletetaan, että painoyksikön keskivirhe on 1. 5 Andrey Nikolayevich Tikhonov 1906 1993) oli venäläinen matemaatikko ja geofyysikko.
270 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot [H] Kuva 12.4. Satelliitti-altimetrian ratageometria. täytyy silloin kiinnittää jotta verkkoa voitaisiin laskea? Montako ylimääräisyyksiä silloin on? 6) Jos tapauksessa 3) kiinnitetään yksi rata, mikä niistä valitsisit? Ehdota ratkaisu joka välttää valitsemista. Vastaukset: 1) Yhtä monta kuin ratoja, eli 8. 2) 16 8 = 8. 3) Ei, koska koko verkon absoluuttista tasoa ei ole kiinnittetty. 4) 16 8 1) = 9. Nyt verkkoa voidaan laskea. 5) Jos oletetaan, että radat ovat suoria x, y) koordinaateissa, silloin koko verkon sallittujen muunnosten joukko on h = a 00 + a 10 x + a 01 y + a 11 xy jossa on neljä vapausastetta. Siis meidän on kiinnitettävä yksi bias ja kolme trendiä, jotka eivät ole kaikki kolme pohjoiseen tai etelään meneviä. 6) Mikä tahansa valinta olisi mielivaltainen kuitenkin ne kahden rinnakkaisen radan trendit kannattaa valita kaukana toisistaan). Käytä mieluummin yllä kuvattu menetelmä, Tikhonov-regularisaatio.
12.3. Satelliittiradan valinta 271 12.2.2 Globaalinen crossover-tasoitus Maailmanlaajuisissa crossover-tasoituksissa käytetään usein vieläkin hienompi malli, h = a + b sinτ + c cosτ, 12.1) missä nyt τ on kulmamittaa, esim. paikka radassa mitattuna viimeisestä päiväntasaajan ylikulusta etelästä pohjoiseen. Ks. Schrama 1989), jossa tämä ongelma käsitellään laajemmin. Tässä mallissa a edustaa radan kokoa, kun taas b, c) kuvaa radan keskipisteen siirtymää Maan keskipisteestä. Tämä malli on kolmiulotteinen: ratakaaret risteyskohtiensä kanssa muodostavat pallon muotoisen verkon maapallon ympäri. Risteysehtojen jättämät vapausasteet ovat nyt tämän pallon koko ja sen keskipisteen siirtymä Maan keskipisteestä: jos X, Y, Z) ovat geosentrisia koordinaatteja, saadaan h = a 0 + a 1 X + a 2 Y + a 3 Z 12.2) jossa neljä vapausastetta 6. 12.3 Satelliittiradan valinta Satelliittiradan valinnassa Keplerin rataliikelait ovat keskeisiä. Kolmas Keplerin laki sanoo: GM P 2 = 4π 2 a 3, 12.3) jossa a = a E +h on satelliittiradan iso akselipuolikas eli keskimääräinen etäisyys Maan keskipisteestä), kun h kutsutaan satelliitin keskikorkeudeksi. P on kiertoaika eli periodi, a E Maan ekvatoriaalisäde. Kaavasta 12.3 voi jo päätellä, että satelliittihavaintojen avulla suure GM saadaan tarkasti määritetyksi. Periodi P on tarkasti mitattavissa pitkistä havaintosarjoista, ja myös radan koko a saadaan hyvin tarkasti esim. satelliittilaserhavaintojen SLR, Satellite Laser Ranging) avulla. Tähän on käytetty esim. tunnetut Lageos Laser Geodynamic Satellite) -satelliitit 1976-039A, 1992-070B), jotka kiertävät maapalloa 6000 km 6 Voitaisiin argumentoida, että, kaavassa 12.1, parametri a pitäisi olla nolla, koska Keplerin kolmannen lain avulla voidaan määrittää radan kokoa hyvin tarkasti, ks. alaluku 12.3. Silloin myös a 0 = 0 in eq. 12.2.
272 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Solmulinja Maan pyörähdysakseli z Perigeum y E Solmulinja Satelliitti Apsidilinja Apogeum ν Ω ω θ x Greenwich) Kevättasauspiste) i x Apogeum Ω a Maan pyörähdysliike Nouseva solmu b ω ν ea Perigeum Kuva 12.5. Keplerin rata-alkiot: a iso akselipuolikas, e eksentrisyys, i inklinaatio, Ω nousevan solmun rektaskensio taivaallinen pituus), ω perigeikulma, ja ν luonnollinen anomalia. korkeudella. Etäisyydet saadaan nykyisin alle sentimetrin tarkkuudella. Altimetriasatelliittien radat valitaan paljon matalammin, kuten luvun alussa annetusta taulukosta 12.1 ilmenee. Korkeus säädetään rakettimoottoreiden avulla tarkasti niin, että satelliitti kulkee saman paikan yli esim. kerran päivässä, 14 kierroksen jälkeen. Vaihtoehtoisesti valitaan rata joka kulkee paikan yli joka kolmas päivä, tai joka seitsemästoita päivä, tai joka 168. päivä... tätä kutsutaan toistojaksoksi. Toistojakson valinta perustuu käyttötarkoitukseen: jos halutaan tutkia keskimerenpinnan tarkka muoto, valitaan pitkä toistojakso, jotta saadaan radat mahdollisimman lähelle toisilleen Maan pinnalla; jos halutaan tutkia merenpinnan vaihtelevuutta, valitaan rata joka palautuu samaan paikkaan lyhyin aikavälein. Silloin rataverkosto Maan pinnalla muotautuu harvemmaksi. Myös Maan muotoparametrit vaikuttaa satelliitin rataliikkeeseen, esimerkiksi suure J 2, dynaaminen litistyneisyys, jonka arvo on J 2 = 1082,6267 10 6. Se on vain yksi monesta ns. pallofunktiokertoimesta jotka kuvaavat maapallon muotoa ja vaikuttavat satelliittiratoihin. J 2 :n tapaukses-
12.3. Satelliittiradan valinta 273 Maan litistyneisyyden aiheuttama vetovoima Satelliittin rataliike Auringin näennäinen) päivittäinen liike Satelliittiradan nousevan solmun päivittäinen liike Kuva 12.6. Aurinkosynkroonisen radan mekanismi. sa vaikutus on sellainen, että satelliitin ratataso kiertää tietyllä nopeudella rataprekessio), joka johtaa siihen, että, jos satelliitti lentää saman paikan yli seuraavana päivänä, se tekee sen useita minuutteja aikaisemmin. Yhtälö on ympyrän muotoiselle radalle jonka säde on a: dω dt = 3 GM a2 E 2 a 3 a 2 J 2 cos i, missä taas a E on Maan ekvatoriaalisäde, ja i ratatason kaltevuuskulma eli inklinaatio päiväntasaajan suhteen. Jos sijoitetaan tähän numeeriset arvot, saadaan dω cos i [ = 1,31895 1018 m 3.5 dt a E + h) 3.5 s 1], jossa h in satelliittiradan keskikorkeus, konventionaalisesti ekvatoriaalisäteen a E yläpuolella. Jos tähän sijoitetaan vaikkapa satelliitin korkeudeksi h = 800km ja käytämme a E = 6378137m) saamme dω dt = 1,33102 10 6 cos i [ rads 1] = 6,589 cos i. 12.4) pv Käytännön syistä aurinkopaneelit!) valitaan satelliittirata usein niin, että ratataso kiertää Auringon vuosittaisen näennäisliikkeen mukana, 360 eli 365,25pv = 0,9856. Ks. kuva 12.6. pv Jos inklinaatio i valitaan välissä 96 102, radan korkeudesta riippuen, Maan dynaaminen litistyneisyys J 2 aiheuttaa juuri sopivan ratatason kiertoliikkeen no-shadow/sun-synchronous/sun-stationary orbit ), eli varjoton, aurinkosynkrooni rata, ks. kuva 12.7.
274 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Kevät Kesä Talvi Syksy Kuva 12.7. No-shadow -radan geometria. Vuodenajat nimetty pohjoisen pallonpuoliskon mukaan. Rata, jonka inklinaatio- eli kaltevuuskulma i > 90, kutsutaan retrogradiseksi radaksi: satelliitin liike on länteen päin. toisin kuin Maan pyörähdysliike joka on itäänpäin. Radan inclinaatio i, tai retrogradiselle radalle sen supplementti 180 i, on korkein pohjoinen tai eteläinen leveysaste jonka ylitse satelliitti voi lentää. Tämä merkitsee että, ellei inklinaatio ole tarkasti 90, molempien napojen ympäri on alueita, joiden ylitse satelliitti ei koskaan tule lentämään. Auronkosynkroonin radan haittapuolena taas on, että altimetriahavainnot tehdään aina samaan paikallisaikaan. Esimerkiksi Auringon aiheuttamat päivittäiset ja puolipäivittäiset vuokset ovat aina samassa vaiheessa ja niitä näin ollen ei voida havaita sellaisen satelliittin avulla resonanssi ). Siksi merentutkimussatelliitti TOPEX/Poseidonin, ja sen seuraajasatelliitit Jasonin, radat valittiin ei-aurinkosynkrooniksi. 12.4 Esimerkki Satelliitti liikkuu aurinkosynkroonisessa radassa, ts. se ylittää aina, päivä päivältä, jokaista leveyspiiriä samalla paikallisella keskimääräisellä) aurinkoajalla. Kysymyksiä:
12.4. Esimerkki 275 Kuva 12.8. Retrogradisessa radassa oleva satelliitti, joka ylittää päiväntasaajaa etelästä pohjoiseen kolmella peräkkäisellä radalla. Kulma radan ja päiväntasaajan välillä eli inklinaatio i, 3 2 1 i tai retrogradisille radalle 180 i, on myös korkein pohjoinen tai eteläinen leveysaste joka satelliitti saavuttaa. Saavuttamattomat kalotit ovat merkittyinä valkoisilla katkoviivoilla. 1) Mitä on satelliitin periodi jos se lentää aina 14 kierrosten jälkeen saman paikan ylitse? 2) Sama kysymys, jos se lentää aina saman paikan ylitse 43 kierrosten 3 päivän) jälkeen? 3) Entäs 502 kierrosten 35 päivän) jälkeen? 4) Mikä on satelliitin korkeus kolmen päivän radassa? Käytä Keplerin kolmas laki, kaava 12.3. GM = 3986005 10 8 m 3 s 2, ja satelliitin korkeus on h = a S a, missä a = 6378137m. 5) Mikä on satelliitin korkeus 35 päivän radassa? Entä korkeusero edelliseen nähden? 6) Mikä on kolmen päivän radan pohjoiseen menevien ratojen keskinäinen etäisyys eli kuinka yksityiskohtaisesti altimetri pystyisi kuvamaan merenpintaa!)? 7) Sama kysymys 35 päivän radalle. 8) Miettimiskysymyksiä: a) mihin tarkoitukseen käytettäisiin 35 päivän rata, mihin kolmen päivän rata? b) Olisiko mahdollista, tai helppoa, lentää molemmat radat samalla satelliitilla ks. kysymys 5)? Vastaukset: 1) Satelliitti tekee 14 kierrosta vuorokaudessa eli 1440 minuutissa:
276 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot P = 1440/14min = 102,857min. 2) Satelliitti tekee 43 kierrosta kolmessa vuorokaudessa eli 3 1440 minuutissa: P = 3 1440/43 min = 100,465 min. 3) Satelliitti tekee 502 kierrosta 35:ssa vuorokaudessa eli 35 1440 minuutissa: P = 35 1440/502 min = 100,398 min. 4) Suorita seuraava octave-koodi: %format long GM=3986005e8; ae=6378137; P=100.465*60; % seconds fac=4*pi*pi; % four pi square a=gm*p*p/fac)^0.33333333; h = a - ae; printf \n\norbital height: %8.3f km.\n, h/1000); Tulos on 780,604 km. 5) Sama koodi muutoksella P=100.398*60 antaa 777,421 km. Ero edellisestä on 3,183 km. 6) Satelliitilla on 43 eri maarataa. Tämä antaa niiden väliseksi etäisyydeksi 360/43 = 8,372 astetta, eli päiväntasaajalla, 40000 = 43 930 km; vähemmän korkeammilla leveysasteilla. 7) 360/502 = 0,717 astetta eli 40000 502 = 80km. 8) a) 35 päivän rata olisi mainio yksityiskohtaista kartoitusta varten. Kolmen päivän rata soveltuisi, esim., vuoroveden tai säähän liittyvien ilmiöiden havainnoimiseksi, mutta resoluutio olisi heikko. b) Ratakorkeuksien ero on vain 3km, ja periodien ero, 4s. Tarvittava radan muutos on helposti saavutettavissa jopa pienillä rakettimoottoreilla. Siis vastaus on kyllä. 12.5 Retracking Satelliitti-altimetriamission tulokset julkaistaan jo lennon aikana ns. geophysical data record GDR) -tiedostoina, joissa kaikki mittaukseen liittyvat seikat mm. ilmakehän korjaustermit, vuorovesikorjaukset, me-
12.5. Retracking 277 Kulkuaika Puolikorkeussääntö Lähetetty pulssi Vastaanotettu pulssi Kuva 12.9. Altimetriapulssin analysi. Klassinen paluupulssin ajanmittaus käyttää puolikorkeuspistettä. riaaltoparametrit jne. on annettuna. Nykykäytäntö on käsitellä jo saadut altimetriamittaukset uudelleen, enemmän hyödyllisten tietojen ulos saamiseksi. Tässä analysoidaan koko tutkan paluupulssi uudelleen. Menetelmää kutsutaan retracking:ksi 7. Standardianalyysimenetelmä perustuu paluupulssin alkunousun pisteeseen, joka on puolikorkeudella pulssin maksimiarvosta. Tämä on todistetusti hyvä menetelmä saada kulkuaikaa, joka liittyy pisteeseen keskellä footprintia, suoraan satelliitin alla. Pulssin takaosassa on heijastuksia footprintin kaukaisemmilta reuna-alueilta. Kuitenkaan kahdessa tilanteessa tämä menetelmä ei toimi hyvin lennon aikana, ja tarkempi pulssin analyysi jälkeenpäin kannattaa: 1) Saaristoja, esim. Indonesia, Ahvenanmaa,... Tässä voi esimerkiksi käydä niin, että footprintin keskipiste on maan puolella rannikkoa. Silloin ensimmäiset vahvat heijastukset tulevat vinosti lähimmältä rannikolta. Tarkka rantaviivatiedosto on silloin käsittelyssä tarpeen. 2) Merijää-alueita pohjoisella ja eteläisellä jaamerellä. Heijastukset voivat tulla merijään pinnalta, jolloin on käsittelyssä otettava huomioon freeboard 8 eli paljonko merijään pinta on veden yläpuolella. Molemmassa tapauksessa perinteinen on-board käsittely tuottaa virheellisiä mittauksia, koska paluupulssin kulkuaika vaihtelee liian nopeasti kun satelliitti lentää eteenpäin. Retrackingilla on saatu nämä mittaukset pelastetuiksi ja altimetriamittausten kattama alue ulotetuk- 7 http://www.altimetry.info/radar-altimetry-tutorial/dataflow/data-processing/retracking/ 8 Suomeksi: kuivakylki, ainakin veneelle.
278 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Kuva 12.10. Jäävolyymi Arktisella merellä. PIOMAS http://psc. apl.washington.edu/research/projects/arctic-sea-icevolume-anomaly/) si jäämerten saakka. Freeboard on tärkea suure jään paksuuden määrittämisessä. Kun jään tiheys on n. 920 kg/m 3 ja meriveden tiheys noin 1027 kg/m 3, on jään paksuus n. 8 freeboard. Jos tämän lisäksi on kaukokartoitustietoa jääpeitteen pinta-alasta, voidaan laskea merijään kokonaisvolyymi ja -massa. Arktinen jääpeite on viime vuosikymmenina rajusti vähentynyt. Kuitenkin kaikista rajumpaa on ollut jäävolyymin vähentyminen, ks. kuva 12.10: pinta-alan lisäksi myös paksuus vähenee, ja erityisesti monivuotisesta, paksummasta jäästä on suuri osa jo hävinnyt. 12.6 Merentutkimus satelliitti-altimetrian avulla Geodesian kiinnostus satelliitti-altimetriaa kohtaan on perinteisesti ollut sen käyttö geoidin määritykseen. Tämä onnistuu vain jos oletetaan että merenpinta 1) on vakio 2) yhtyy tasapotentiaalipintaan, ts. on sama kuin geoidi. Käytännössä kuitenkin merenpinta on vaihteleva eikä tasapotentiaalipinta. Siksi on tullut toisetkin näkökohdat esille.
12.7. Satelliittipainovoimamissiot 279 1) Merenpinnan vaihtelevuutta voidaan tutkia satelliitti-altimetrialla käyttämällä kolme menetelmää: a) Toistuvia ratoja samasta satelliittista. Radat voidaan laittaa päällekkäin käyttämällä yksinkertainen ratakorjausmalli, ja jäljelle jäävät ratakohtaiset residuaalit kertovat jotain muttei kaikki!) merenpinnan vaihtelevuudesta. b) Myös crossover-tasoituksesta voidaan saada tietoa merenpinnan vaihtelevuudesta. Kun merenpinta vaihtelee, crossovertasoituksesta saadut tulokset huononevat: neliöllinen a posteriori laskennan jälkeen) crossover-ero tule olemaan suurempi. Varsinainen vaihtelevuuden tutkimus tällä menetelmällä on hankalampi: se pystyy lähinnä vain toteamaan sen olemassaoloa ja arvioimaan sen suuruutta. c) Nykyisin altimetriasatelliiteissa on aina mukana GNSS-paikannuslaite joka antaa tutkalaitteiston absoluuttista geosentrista paikkaa mittauksen hetkellä. Sen ansiosta voidaan merenpinnan vaihteluita seurata suoraan mittaamalla, olettaen, että sekä ajallinen että maantieteellinen mittaustiheys on riittävä. 2) Merenpinnan poikkeamista tasapotentiaalipinnasta geoidista voidaan tutkia vain, jos on saatavissa riippumatonta tietoa todellisesta geoidipinnasta. Mikäli on käytettävissä hyvät, tiheät painovoimamittaukset koealueelle, tämä pitää paikkansa, ja voidaan estimoida meritopografia. Tarvittavan tarkan ja tiheän painovoima-aineiston saaminen onnistuu laiva- tai ilmagravimetrian avulla. Myös mittaus erikoissatelliittin avulla painovoimagradiometri, GOCE-satelliitti) suunniteltiin pitkään ja toteutui vihdoin, ks. alaluku 12.7. 12.7 Satelliittipainovoimamissiot 2000-luvun alkuvuosina laukaistiin kolme satelliittia Maan painovoimakentän eli geopotentiaalin hienorakenteen selvittämiseksi, toisin sanoen: globaalisen, korkean resoluution geoidimallin määrittämiseksi.
280 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Magnetometripuomi GPS-antenni GPS-1 GPS-2 GPS-3 GPS-4 Kiihtyvyysvektori Nimellinen rata CHAMP Todellinen Aurinko- kennot rata Maan sisäiset massatiheysvaihtelut esimerkki) Kuva 12.11. Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti lentävän satelliitin GPS-rataseurannan avulla. CHAMP Challenging Minisatellite Payload for Geophysical Research and Applications, 2000-099A) oli saksalainen satelliittiprojekti, vetäjänä Deutsches Geoforschungszentrum GFZ. Se laukaistiin rataansa Plesetskiltä Venäjältä v. 2000. CHAMPIN radan korkeus oli alussa 454 km, mikä lennon aikana väheni 300 km:iin ilmakehän vastuksen seurauksena. Ratatason kaltevuus oli 87. Syyskuun 19. päivänä 2010 satelliitti palasi ilmakehään. Projektin kuvaus löytyy osoitteelta http://op.gfz-potsdam.de/champ. CHAMP sisälsi GPS-vastaanottimen satelliitin tarkan radan määrittämiseksi, josta taas saa lasketuksi sen paikan avaruudessa xt) jokaiselle ajan hetkelle t. Tästä voi laskea geometrista kiihtyvyyttä at) differentioimalla: at) = d2 dt 2 xt). Differentiaatio tapahtuu numeerisesti, tavalla joka jo kuvattiin ilmagravimetrian osuudessa, yhtälö 10.8. Satelliitti sisälsi myös kiihtyvyysmittarin, joka eliminoi ilmakehän aerodynaamisten voimien aiheuttamat satelliitin kiihtyvyydet, siis poikkeamat vapaan putoamisen liikkeestä. Jäljelle jäävät vain Maan gravitaatiokentän aiheuttamat kiihtyvyydet, joista lasketaan tarkka geopotentiaali- eli geoidimalli käyttäen aiemmin kuvattuja menetelmiä. Muutamia CHAMPIN dataan perustuvia globaalisia geopotenti-
12.7. Satelliittipainovoimamissiot 281 Kiihtyvyyksien ero näköviivan suunnassa Satelliitti 1 Etäisyys 220 km) Tarkka etäisyysmittaus, aallonpituus 1,5 cm Satelliitti 2 Korkeus 500 km Maan sinisen kalvon ilmakehän, vesivaipan) massasiirtymiä, eli merenpohjan kokonaispaineen vaihtelu Kuva 12.12. GRACE-satelliittien perusidea: Painovoimakentän pienenpienien ajallisten vaihtelujen mittaaminen SST:n Satellite-to-Satellite Trackingin) avulla. aalimalleja on laskettu ja julkaistu. GRACE Gravity Recovery And Climate Experiment Mission, 2002-012A ja B) mittaa Maan painovoimakentän ajalliset muutokset n. kuukauden välein erittäin tarkasti, mutta melko karkealla maantieteellisellä erotuskyvyllä. Nämä ajalliset muutokset johtuvat lähinnä Maan sinisen kalvon, eli ilmakehän ja vesivaipan, liikkeistä. Mitattavaa suuretta kutsutaan myös merenpohjan paineeksi, hieman yllättävä ilmaisu, kunnes ymmärrät, että se edustaa todella koko ilma- ja vesipatsaan sisältämän massan. Projektin kuvaus löytyy osoiteelta http://www.csr.utexas.edu/grace/. Projekti on yhdysvaltalais saksalainen yhteistyö jonka päävetäjänä on Center for Space Research, University of Texas at Austin. GRACE on satelliittipari Tom ja Jerry ): satelliittit lentävät samassa radassa toinen toista perään aluksi noin 500 km korkeudella, keskinäisella etäisyydellä 220 km. Ratatason kaltevuus on 89, lähes polaarinen rata joka antaa täydellisen globaalisen peittävyyden. Satelliittien välisiä etäisyydenmuutoksia mittaa mikroaaltolinkki tarkkuudella 1µms 1. Molemmissa satelliitissa on myös herkät kiihtyvyysmittarit ilmakehän vastuksen vaikutuksen
282 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot mittaamiseksi ja poistamiseksi. Mittausjärjestelmä on niin herkkä, että jopa millimetrin paksuisen vesikerroksen liikkeet voidaan huomata, jos se vaan ulottuu mantereen kokoiselle alueelle n. 500 km). Julkaistuissa tuloksissa näkyy vakuuttavasti esim. kostean ja kuivan monsuunin kausittaiset vaihtelut, vastavaiheessa pohjoisella ja eteläisellä pallonpuoliskolla, suurissa trooppisissa jokialtaissa: Amazonas, Kongo, Mekong, Intia, Indonesia... ks. http: //grace.jpl.nasa.gov/. Animaatio: GIF 9. Vuonna 2016 radan korkeus oli enää 360km ja mission loppu häämöttää. GRACE:n seuraajamissio on suunnitteilla. GOCE Geopotential and Steady-state Ocean Circulation Explorer, 2009-013A) oli satelliiteista kaiken kunnianhimoisin. European Space Agencyn ESA:n rakentamana se laukaistiin onnistuneesti Plesetskiltä maaliskuussa 2009. Radan korkeus oli mission aikana vain 270 235 km ja satelliitti sisälsi rakettimoottorin jonimoottorin) ja ajoainevarannon radan ylläpitämiseksi ilmakehän jarruttavaa vaikutusta vastaan. Ratatason kaltevuuskulma oli 96,7 eli rata oli aurinkosynkrooninen 10. GOCE kantoi hyvin herkän painovoimagradiometrin, laite joka mittasi tarkasti Maan vetovoiman gradientin eri komponentteja, eli vetovoimavektorin komponenttien riippuvuuksia eri paikkakoordinaateista. Gradiometri koostui kuudesta pareittain kehikköön kiinnitetystä äärimmäisen herkistä kolmiakselisista kiihtyvyysmittarista. Missio loppui v. 2013 ja satelliitti palasi ilmakehään ja poroksi 11. marraskuuta Falklandin saarten yläpuolella 11. Teoreettisista analyyseista on saatu selville, että gradiometria on paras tapa mitata painovoimakentän hyvin paikalliset piirteet, parempi kuin rataseuranta GPS:n avulla. Pienimmät geoidikartan 9 http://commons.wikimedia.org/wiki/file:global_gravity_anomaly_ Animation_over_LAND.gif 10 Tämän kaltevuuskulman seurauksena oli kummallakin navalla 3,3 - säteinen kalotti jonka sisällä ei suoritettu mittauksia. 11 http://blogs.esa.int/rocketscience/2013/11/11/goce-burninglast-orbital-view/
Harjoitus 12 1: Altimetry, cross-over adjustment 283 GOCE-satelliitti 1 - Kiihtyvyyserojen mittaus 3 5 6 4 - X 2 Kiihtyvyysmetri Gradio- mittari 6) Tuntemattomia tiheysvaihteluita Kuva 12.13. Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliittin painovoimagradiometrin avulla. yksityiskohdat joita GOCE näki, ovat läpimitaltaan vain 100 km, ja niiden tarkkuus niin hyvä kuin ±2cm. Niin tarkan globaalisen geoidimallin avulla voidaan laskea merenpinnan poikkeamat geoidista, siis ekvipotentiaalipinnasta, samalla tarkkuudella. Merenpinnan todellinen paikkahan avaruudessa saadaan tutka-altimetriasatelliittimittauksilta myös muutaman senttimetrin tarkkuudella. Tämä tasoero merenpinnan ja ekvipotentiaalipinnan välillä taas voidaan invertoida merivirtauksiksi, ks. alaluku 11.5. Tämä on GOCE-satelliitin nimen tausta. Harjoitus 12 1: Altimetry, cross-over adjustment Annettuna 2 pohjoiseen menevää satelliittirataa ja 3 etelään menevää rataa. Löytyy 6 ristikohtaa, ks. kuva.
284 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot 1) Jos jokaisen radan ratavirheet kuvataan lineaarisena paikan funktiona: h = a + bτ, montako kerrointa a ja b silloin tarvitaan? 2) Kirjoita auki havaintoyhtälöt. Havainnot ovat ristikohtien erotukset, tuntemattomat ovat eri ratojen kertoimet a ja b. 3) Saadaanko näistä havaintoyhtälöistä yksiselitteistä ratkaisua? Miksi / miksei? Harjoitus 12 2: Satelliittirata Satelliitti liikkuu aurinkosynkroonisessa radassa, jolloin 419 kierroksen ja 30 päivän jälkeen se on taas tarkasti saman paikan yläpuolella. 1) Paljonko on satelliitin periodi? 2) Kuinka pitkä on etäisyys lännestä itään) kilometreissa, pohjoiseen menevien ratojen välillä päiväntasaajalla? 3) Mitä on korkein pohjoinen leveysaste jonka ylitse satelliitti voi lentää? Ja... 4)... mihin suuntaan satelliitti lentää siinä pisteessä?
Harjoitus 12 3: Keplerin kolmas laki 285 Harjoitus 12 3: Keplerin kolmas laki Paljonko on satelliitin korkeus jos sen periodi on 98 minuuttia? Käytä Keplerin kolmas laki GMP 2 = 4π 2 a 3 S, GM = 3986005 10 8 m 3 s 2, ja satelliitin korkeus on h S = a S a, jossa a = 6378137m.
13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet 13.1 Teoreettinen vuorovesi Voimme kirjoittaa vuorovesi- eli vuoksipotentiaali W seuraavasti: W = GMR2 d 3 P 2 cos z) +... = GMR2 3cos 2 2d 3 z 1 ) +..., missä d on etäisyys, joko Kuuhun tai Aurinkoon; R Maan säde, ja z paikallinen Kuun zeniittikulma. P 2 cos z) on toisen asteluvun Legendrepolynomi. GM on Kuun massa kerrottuna Newtonin vakiolla. Auringon ja Kuun tapauksessa lisätermit...) voidaan jättää huomioimatta, koska ne ovat niin kaukaisia kappaleita: d R. Pallotrigonometrian mukaan cos z = sinφsinδ + cosφcosδcos t, missä φ on leveysaste, δ on Kuun deklinaatio 1 ja t on Kuun tuntikulma 2. Sijoittamalla saadaan P 2 cos z) = 1 cos 2 z 1 ) = 2 = 1 3sin 2 φ 1 ) 1 3sin 2 δ 1 ) + 3 2 2 4 cos2 φcos 2 δcos2t+ + 3 sin2φsin2δcos t, 4 1 Deklinaatio on Kuun geosentrinen leveysaste. 2 Tuntikulma on Kuun ja paikallisen meridiaanin välinen pituusasteiden ero. Se on nolla kun Kuu on etelässä korkeimmillaan. 287
288 Luku 13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet Vuoksi Luode z Vuoksi Luode Kuva 13.1. Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun tai Auringon) paikallinen zeniittikulma. josta W = GMR2 4d 3 3sin 2 φ 1)3sin 2 δ 1)+ +3sin2φsin2δcos t+ +3cos 2 φcos 2 δcos2t. Tämä on ns. Laplacen vuorovesikaava. Siinä on kolme osaa: 1) Hitaasti vaihteleva osa, W 1 = GMR2 4d 3 [ 3sin 2 φ 1 ) 3sin 2 δ 1 )], joka vielä riippuu δ:stä ja näin ollen on periodinen 14 päivän puolen kuukauden) periodilla. Taas käyttämällä pallotrigonometriaa: 1 sinδ = sinɛsinl sin 2 δ = sin 2 ɛsin 2 l = sin 2 ɛ 2 1 ) 2 cos2l, 13.1) jossa l on Kuun pituus eli longitudi radassaan, laskettuna nousevasta solmusta ekvaatorin ylityksestä), ja ɛ Kuun radan kaltevuus ekvaattorin nähden, keskimäärin 23 mutta aika vaihteleva, 18,3 ja 28,6 välillä. Näin saadaan [ W 1 = GMR2 3sin 2 4d 3 φ 1 ) 1 3sin 2 ɛ 2 1 ) )] 2 cos2l 1,
13.1. Teoreettinen vuorovesi 289 jossa on käytetty tulos 13.1. Hajotetaan W 1 = W 1a +W 1b, vakio-osa 3 ja periodinen eli puolikuukausittainen osa: W 1a = GMR2 4d 3 W 1b = GMR2 4d 3 [ 3sin 2 φ 1 ) )] 3 2 sin2 ɛ 1 ; 13.2) [ 3sin 2 φ 1 ) )] 3 2 sin2 ɛ cos2l. 2) Tämän lisäksi meillä on pari termiä jossa tuntikulma t esiintyy periodeja noin vuorokausi ja noin puoli vuorokautta): W 2 = GMR2 4d 3 [ 3sin2φsin2δcos t ], W 3 = GMR2 4d 3 [ 3cos 2 φcos 2 δcos2t ]. Molemmissa on t:n lisäksi vielä δ hitaana muuttujana. Yhtälöt voitaisiin kirjoittaa Kuun longitudin l eri funktioiden summiksi. Käytä taas perustrigonometria, yhtälö 13.1: cos 2 δ = 1 sin 2 δ = 1 sin 2 ɛ sin 2 l = 1 sin 2 ɛ cos2lcos2t = 1 [cos2l + 2t) + cos2l 2t)]; 2 [ 1 2 1 ] 2 cos2l ; sin2δ = 2sinδcosδ = 2sinδ cos 2 δ = [ 1 = 2sinɛsinl 1 sin 2 ɛ 2 1 ] 2 cos2l, mikä johtaa l:n trigonometriseen kehitelmään, ja niin edelleen. Ks. esimerkiksi Melchiorin 4 kuuluisa kirja Melchior 1978). Yllä olevista yhtälöistä erotetaan usein kerroin D. = 3GMR2 4d 3, Doodsonin 5 vakio. Kuun vakio on D = 26,75cm g ja Auringon 12,3cm g. Ks. kuva 13.2. 3 Ei tarkasti, koska ɛ on hitaasti) aikariippuvainen. 4 Paul Melchior 1925 2004) oli etevä belgialainen geofyysiko ja maavuoksen tutkija. 5 Arthur Thomas Doodson 1890 1968) oli brittiläinen merentutkija, vuorovesiteorian pioneeri ja vuoroveden laskentaan soveltuvien koneiden suunnittelija. Hän oli täysin kuuro.
290 Luku 13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet Taulukko 13.1. Teoreettisen vuoroveden eri periodeja. Laajasti käytössä olevat symbolit ovat George Darwinin standardisoimia. Muuttuva funktio W1a W1b W2 W3 cos 2` cos t cos 2t a Lunar fortnightly b Solar semi-annual Periodi Darwin-symboli Kuu Aur. Kuu Aur. 14d 24h 50m 12h 25m 182d 24h 12h M0 Mfa K 1, O1 M2 S0 Ssab S 1, P1 S2 Nimi Pysyvä vuoksi Deklinaatiovuoksi Päivittäiset Puolipäivittäiset Periodit ovat luetteloituina taulukossa 13.1 Darwin6 -symboleineen. 6 Sir George Howard Darwin 1845 1912) oli englantilainen tähtitieteilijä ja matemaatikko, kuuluisan Lajien Synnyn Charles Darwinin poika. W1b, kaksiviikkoinen, ² = 23 Leveysaste ) W1a, pysyvä 0, 2 0, 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 80 60 40 20 0 20 40 60 80 Akselin kaltevuus ², 0 90 Leveysaste ) W2, vuorokautinen, δ = 23 80 60 40 20 0 20 40 60 80 0, 2 0 0,2 0,4 0,6 5 10 15 Tuntikulma 20 0, 1 0,05 0 0,05 0,1 0,15 W3, puolivuorokautinen, δ = 23 0, 4 0 80 60 40 20 0 20 40 60 80 Ekliptinen pituusaste, 0 360 0, 6 80 60 40 20 0 20 40 60 80 0, 4 0, 2 0 0,2 0,4 0,6 0 5 10 15 Tuntikulma 20 Kuva 13.2. Teoreettisen vuoroveden pääkomponentit. Nämä arvot on vielä kerrottavana Doodsonin vakion D kanssa. 0,8