L u e n t o Lineaarinen optimointi Luennon sisältö LP:n perusteet Mallien ratkaiseminen Katariina Kemppainen / Logistiikka
Lineaarinen optimointi
LP-malleilla monia käyttökohteita Karkea suunnittelu tuotantosuunnitelmat, resursointi (hlökunnan määrä), tuotesekoitukset, jne. - kustannustehokkain tuotantosuunnitelma tietylle tuotevalikoimalle - kustannusten minimointi vapaapäivien aikatauluttamisessa Töidenjärjestely työvuorot, ajoneuvojen allokointi, jne. - sairaanhoitajien optimaalinen määrä ja työaikataulut sairaalassa - jakelukustannusten minimointi sähköisessä kaupassa Prosessinhallinta materiaalin leikkaus jne. - jätteen määrän minimointi leikattaessa vesiputkia työmaalla Varastonhallinta varaston kontrollointi, toimittajien valinta jne. Jakelu ja sijainti reittien suunnittelu tavaralähetyksille, tehdasinvestoinnit, jne. - toimitusten allokointi tuotantolaitoksilta jakelukeskuksiin - uuden tuotantolaitoksen optimaalinen sijainti Luento beta 3
Tuotevalikoimapäätökset Kuinka paljon kahta tuotetta (A ja B) tulisi valmistaa seuraavan kuukauden tuoton maksimoimiseksi, kun tehtaalla on käytössään seuraava tuotantolinja ja resurssit? Tuotetiedot A B 2 h/yksikkö Alue 1 Alue 2 2.5 h/yksikkö 2 h/yksikkö Alue 3 1.5 h/yksikkö Tuote Myynti- Materiaalikustannus Alue 1 Alue 2 Alue 3 kustannus kate Min Max Vaadittavat työtunnit Työ- Yksikköhinta Myyntiennuste A $600 $50 2 0 2 $100 $450 75 140 B $600 $100 0 2.5 1.5 $80 $420 0 140 Työvoimatiedot Alue 1 Alue 2 Alue 3 Tuntipalkka $30 $20 $20 Käytössä olevat työtunnit 336 336 336 Luento beta 4
Tavoite selvittää seuraavan kuukauden tuotannon maksimituotto Rajoitteet käyvälle ratkaisulle alueella 1 voidaan käyttää korkeintaan 336 työtuntia alueella 2 voidaan käyttää korkeintaan 336 työtuntia alueella 3 voidaan käyttää korkeintaan 336 työtuntia tuotetta A valmistettava 75-140 yksikköä tuotetta B valmistettava 0-140 yksikköä Päätösmuuttujat Tavoite ja rajoitteet optimaaliset tuotantomäärät tuotteita A ja B Työvoimarajoitteet Markkinointi- /kysyntärajoitteet Luento beta 5
Matemaattinen formulointi Päätösmuuttujat x A = A-tuotteen tuotantomäärä ensi kuussa x B = B-tuotteen tuotantomäärä ensi kuussa Tavoite yksikkökate tuotteelle A $ 450 ja tuotteelle B $ 420 Ł tavoitefunktio on muotoa: maksimoi 450x A + 420x B Työvoimarajoitteet jokainen yksikkö tuotetta A vaatii 2 työtuntia alueella 1, kun taas tuote B ei vaadi työtunteja alueella 1: Alue 1: 2X A 336 vastaavasti, työvoimarajoitteet alueille 2 ja 3 ovat: Alue 2: 2.5X B 336 Alue 3: 2.0X A + 1.5X B 336 Kysyntä-/markkinarajoitteet tuotteelle A voidaan esittää seuraavat epäyhtälöt: x A 75 ja x A 140 vastaavasti markkinakysyntä asettaa tuotteelle B seuraavat rajoitukset: x B 0 ja x B 140 Luento beta 6
Valikoimaongelma kaavamuodossa Max 450 x A + 420 x B ehdoilla 2 x A 336 2.5 x B 336 2 x A + 1.5 x B 336 x A 75 x A 140 x B 0 x B 140 Työvoimarajoitteet Markkinointirajoitteet Luento beta 7
Valikoimaongelma graafisessa muodossa 250 x A = 75 x A = 140 2x A = 336 200 Määrä B 150 100 x B = 140 2.5x B = 336 50 0 x B = 0 Käypä ratkaisu 0 50 100 150 200 Määrä A Alue 1 kapasiteetti Alue 2 kapasiteetti Alue 3 kapasiteetti M in A M ax A M in B M ax B Luento beta 8
Optimaalinen ratkaisu graafisesti 250 Määrä B 200 150 100 Tavoitefunktion arvo pisteessä (100,50); Tuotto 450(100)+420(50)=66000 Optimaalinen ratkaisu pisteessä (75,124). Tavoitefunktion arvo: 450(75)+420(124)=85830 50 x 0 0 50 100 150 200 Määrä A Alue 1 kapasiteetti Alue 2 kapasiteetti Alue 3 kapasiteetti M in A M ax A M in B M ax B Luento beta 9
Miksi LP-malli? Tavoitefunktio ja rajoitteet ovat lineaarisia jokainen yksikkö tuotetta A tai B tuottaa saman verran katetta tavoitefunktioon, riippumatta siitä onko kyseessä 1. vai 100. yksikkö jokainen yksikkö tuotetta A tai B kuluttaa saman verran työtunteja käytössä olevilla resursseilla (alueet 1, 2 ja 3) mallissa ei ole ristikkäisiä tuotetermejä (kuten 4*x A *x B ) jokainen funktio on yksittäisten osiensa summa Muuttujien arvot jatkuvia esim. 75 x A 140 - ei x A {75, 90, 120, 140} Huom! usein muuttujien arvot voidaan pyöristää kokonaisluvuiksi ilman merkittävää vaikutusta ratkaisuun Mallissa ei ole epävarmuutta Luento beta 13
Kapasiteettirajoitteet Periaate yhden periodin tuotanto ei voi ylittää tarjolla olevaa kapasiteettia Esimerkki 1 henkilöstön määrä yhdellä periodilla (W t ) on yhtä suuri kuin henkilöstön määrä edellisellä periodilla (W t-1 ) + palkattujen määrä (H t ) - erotettujen määrä (F t ) H 1 H 2 H 3 H 4 W 0 W 1 W 2 W 3 W 4 Periodi 1 Periodi 2 Periodi 3 Periodi 4 F 1 F 2 F 3 F 4 Esimerkki 2 konekapasiteetti on yhtä suuri kuin olemassa oleva kapasiteetti (C t-1 ) + periodikohtainen alihankittu kapasiteetti (SC t ) + kapasiteetin lisäykset (CA t ) SC 1 SC 2 SC 3 SC 4 C 0 C 1 C 2 C 3 C 4 Periodi 1 Periodi 2 Periodi 3 Periodi 4 CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 Luento beta 14
Materiaalivirran tasapainorajoitteet Periaate saapuva materiaalivirta = poistuva materiaalivirta - pätee jokaiselle jaksolle Esimerkki 1 loppuvarasto (I t ) on yhtä suuri kuin alkuvarasto (I t-1 ) + tuotanto (P t ) - myynti (S t ) periodilla P 1 P 2 P 3 P 4 I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 Periodi 1 Periodi 2 Periodi 3 Periodi 4 Esimerkki 2 S 1 S 2 S 3 S 4 tuotantoprosessi muuttaa raaka-aineet tuotteiksi tiedettyjen suhdelukujen perusteella - materiaalia tuottavat muuttujat positiivinen merkki - materiaalia kuluttavat muuttujat negatiivinen merkki - esim. raaka-ainetta R tarvitaan tuottamaan T1,T2 tai T3 1 R- 0.2 T - 0.5 T - 0.8 T = 0 1 2 3 epäyhtälöä käytetään, mikäli ylijäämämateriaaliin on mahdollisuus Luento beta 15
Tuotantoprosessin rajoitteet Suhdeyhtälö kertoo suhteen, jolla materiaalista saadaan useita tuotteita valmistusprosessissa - vaatii enemmän kuin yhden yhtälön - esim. yhdestä yksiköstä raaka-ainetta R1 voidaan saada 20 % T1- tuotetta, 50 % T2-tuotetta ja 30 % T3-tuotetta 0.2 R1-1 T1 = 0 0.5 R1-1 T2 = 0.3 R -1 T 0 Resepti 0 1 3 = määrittää missä suhteessa materiaaleja käytetään yhden tuotteen valmistuksessa - esim. resepti T1-tuotteelle voi olla: 50 % raaka-ainetta R1, 1 R1-0.5 T1 = 0 30 % raaka-ainetta R2, ja 1 R2-0.3 T1 = 0 20 % raaka-ainetta R3 1 R - 0.2 T = 0 3 1 Luento beta 16
Muita mahdollisia rajoitteita Ylityö tavallisesti periodi-/jaksokohtainen päätös usein vain rajattu määrä tunteja voidaan lisätä Varastorajoitukset minimi tai maksimi periodikohtaiselle varastotasolle vaatimukset alku- tai loppuvarastolle Jälkitoimitukset tilausta ei aina peruta, vaikkei tavaraa pystytä toimittamaan heti (jälkitoimitukset) - periodikohtainen varasto I it on edellisen jakson varastotason ja jälkitoimitusten erotus ellei jälkitoimituksia sallita, periodilla toimitettujen yksiköiden määrä täytyy olla yhtä suuri kuin periodin toimitusennusteen kanssa Saanto vähentää työasemien tehokasta kapasiteettia erityisesti tuotantoprosessin alkupäässä Käyttöastetavoitteet jokaiselle resurssille pyritään saamaan sama hyötykäyttö (RHS:lle tietty kerroin) Luento beta 17
LP-mallien ominaisuuksia Lineaarisuus muuttumaton tuotto / kustannus / käyttöaste ei usein toteudu käytännössä, esim. volyymiedut ja -haitat Erotettavuus ja lisättävyys erotettavuus = esim. nettovoitto ja resurssien käyttöaste voidaan mitata eri tuotteille erikseen lisättävyys/yhteenlaskettavuus = erilliset vaikutukset voidaan summata Jakamattomuus ja jatkuvuus muuttujat saavat arvot (annetussa) reaalilukujatkumossa Yksi tavoitefunktio Tiedoissa ei epävarmuutta Luento beta 18
Mallien mahdollisia laajennuksia Resurssit tuotannon ulkoistaminen lisätyövoima Laajennettu suunnitteluhorisontti usean periodin ongelmat yleisiä kysymyksiä - kuinka paljon tuottaa kullakin viikolla? - kuinka paljon myydä kullakin viikolla? - kuinka paljon säilyttää varastossa kullakin viikolla? Volyymiedut Tuotannon siirtymät Luento beta 19
LP-mallien rakentaminen
Optimointimallien rakentaminen Määritä päätösmuuttujat mittaavat yleensä resurssien määrää tai jonkin aktiviteetin tasoa Määrittele tavoitefunktio riippuu normaalisti päätösmuuttujista Tunnista rajoitteet yleiset rajoitteet ylä- ja alarajat määritellyille muuttujille fyysiset rajoitteet esim. positiivisuus ja tasapainorajoitukset Määritä Excelin ratkaisimen (solver) asetukset Optimoi ja tulkitse saatu vastaus Luento beta 21
Mallin rakentaminen Excelissä Luo solut päätösmuuttujille määritä mallissasi yksi solu jokaiselle päätösmuuttujalle Luo solut tavoitefunktion kertoimille määritä solu jokaiselle tavoitefunktion kertoimelle kirjoita jokaiseen soluun asianomainen kaava tai kertoimen arvo Luo solu tavoitefunktiolle määritä yksi solu tavoitefunktion arvoa varten kirjoita tähän soluun tavoitefunktion kaava viittaamalla päätösmuuttujiin ja niiden kertoimiin. Luo solut rajoitteiden kertoimille määritä solu kaikille rajoitusten kertoimille mallissa. kirjoita jokaiseen soluun asian-omainen kaava tai arvo kertoimelle. Luo solut rajoiteyhtälöille (vasen puoli = LHS = left-hand side) määritä yksi solu jokaiselle rajoiteyhtälölle mallissa. jokaisessa solussa, kirjoita rajoiteyhtälön kaava viittaamalla päätösmuuttujiin ja kertoimiin. Luo solut rajoitteille (oikea puoli = RHS = right-hand side) määritä yksi solu jokaiselle rajoitteelle mallissa. jokaisessa solussa, kirjoita asianomainen kaava tai arvo rajoitteelle. Luento beta 22
Mahdollisia lopputuloksia Could not find a feasible solution ( käypää ratkaisua ei löydy ) ongelma on mahdoton toteuttaa käytännössä ei ole olemassa ratkaisua, joka täyttäisi kaikki rajoitukset mahdollisia syitä: näppäilyvirhe ja todellinen mahdottomuus (esim. ei riittävästä kapasiteettia tuottamaan minimikysyntä) Does not converge ( ei suppene ) ongelma on rajaton - algoritmi löytää loputtomiin parempia ja parempia ratkaisuja (päätösmuuttujia ei ehkä ole rajoitettu oikein) ongelman ratkaisemiseen varattu aika ei ole riittävä Found a solution ( ratkaisu löytyi ) ainutkertainen ei-degeroitunut optimi useita optimeja degeneroitunut optimi Luento beta 23
Auton tuotantomäärien suunnittelu Esim. 1 Huippukaara tuottaa kolmea eri automallia malli X: 40 työtuntia 1,0 tonni terästä - nettotuotto $1000 malli Y: 65 työtuntia - 1,5 tonnia terästä - nettotuotto $3000 malli Z: 110 työtuntia - 2,0 tonnia terästä - nettotuotto $6000 Käytössä olevat resurssit 16,000 työtuntia 600 tonnia terästä runsas tarjonta muita tarpeellisia resursseja Tehtävä formuloi LP-malli maksimoimaan kuukausittainen tuotto etsi optimaaliset tuotantomäärät automalleille ------ oletetaan, että yritys kehittää mallin Q, joka vaatii 120 työtuntia ja 1,25 tonnia terästä ja jonka nettotuotto on $4000. Pitäisikö malli Q ottaa huomioon kuukausittaisessa valmistussuunnitelmassa? Luento beta 24
Mallin formulointi ja ratkaisu Esim. 1 Maksimoi 1000X + 3000Y + 6000Z ehdoilla 40X + 65Y + 110Z 16000 X + 1,5Y + 2Z 600 X, Y, Z 0 Rajoitteet X Y Z Arvo RHS Työvoiman kapasiteetti 40 65 110 16000 16000 Teräs - materiaalirajoite 1 1,5 2 291 600 Tuotto 1000 3000 6000 872727 Muuttujat 0,0 0,0 145,5
Sekoitusprosessi ongelma Esim. 2 Sekoitusongelma luonnollisen raaka-aineen ainesosat voivat vaihdella 10 tynnyrillistä saatavilla tiedetyin ominaisuuksin maksimoi saatavilla olevan raaka-aineen käyttö x i = osuus, joka tynnyristä i käytetään sekoituksessa (0 x i 1) Lopputuote tuotteen täytyy noudattaa valvovan viranomaisen määrittämiä vaatimuksia: - ainesosan A prosenttiosuuden täytyy olla välillä 54,0-56,0 % - ainesosan B prosenttiosuuden täytyy olla välillä 19,5-20,5 % - ainesosan C prosenttiosuuden täytyy olla välillä 24,2-25,8 % ainesosien A, B ja C painotetun summan täytyy olla tiettyjen rajojen sisällä esim. ainesosa A:n prosenttiosuuden alaraja sekoituksessa voidaan esittää seuraavalla sekoitusrajoitteella: (0,60)(80)x 1 +(0,59)(78)x 2 + +(0,48)(79)x 10 0,54(80x 1 +78x 2 + +79x 10 ) Luento beta 26
Esim. 2
Työvoiman suunnittelu ongelma Esim. 3 Palvelu puhelinpäivystys 7 päivää viikossa klo 9-17 suunnittelusyistä päivät on jaettu kahteen vuoroon - aamuvuoro (9-13) ja iltavuoro (13-17) Työvoimavaatimukset: Viikonpäivä Ma Ti Ke To Pe La Su Työntekijätarve aamuvuoro (a.m.) 24 17 22 15 20 27 16 Työntekijätarve iltavuoro (p.m.) 22 17 25 15 15 24 20 Työaikataulut ja kustannukset täysipäiväiset tilausten vastaanottajat - työssä 5 peräkkäistä päivää - $ 600 per viikko osa-aikaiset tilausten vastaanottajat - käytettävissä 3 peräkkäisenä puolikkaana päivänä - työskentelevät vain joko aamuvuorossa tai iltavuorossa - $ 200 per viikko Luento beta 28
Tehtävä Esim. 3 Rakenna ja ratkaise LP-malli, joka minimoi yrityksen viikoittaiset henkilöstökulut jos optimaalinen ratkaisu ei tuota kokonaislukuja vastaukseksi, ratkaise malli uudelleen kokonaislukuoptimointina (IP-malli). Luento beta 29
Optimaalinen työaikataulu Esim. 3
Mahdollisten suunnitelmien vertailu Esim. 3 Min Plan 1 Plan 2 Plan 3 Plan 4 Plan 5 Plan 6 Plan 7 Mon am 24 24 24 24 24 24 24 24 Mon pm 22 24 23 24 22 22 25 22 Tue am 17 23 25 19 22 26 23 23 Tue pm 17 23 25 19 25 29 24 22 Wed am 22 25 25 25 22 22 24 24 Wed pm 25 25 25 25 25 25 25 25 Thu am 15 20 15 20 15 15 20 15 Thu pm 15 17 15 17 15 15 15 16 Fri am 20 20 20 20 20 20 20 20 Fri pm 15 17 18 17 15 15 15 18 Sat am 27 27 27 27 29 29 29 27 Sat pm 24 24 24 24 24 24 24 24 Sun am 16 20 23 24 24 20 20 21 Sun pm 20 20 20 24 24 20 20 21 "tight half-days" 6 8 5 9 10 7 7 Luento beta 31
Binäärimuuttujien käyttö - case kiinteät kustannukset - Pitäisikö tuotantolinja tai kone ottaa käyttöön? binäärimuuttujia (0 tai 1) voidaan käyttää osoittamaan päätöstä - muuttujan arvo = 0, mikäli uutta resurssia ei oteta käyttöön - muuttujan arvo = 1, mikäli uusi resurssi otetaan käyttöön Jokainen päätös vaatii oman muuttujan esim. kahden tuotantolinjan käyttöł2 binäärimuuttujaa - mahdollinen tavoitefunktio: 120X + 50Y 10000 P1 5000 P2 - päätösmuuttujien kertoimia ovat kiinteät kustannukset Luento beta 32
Kiinteät tuotantokustannukset ongelma A-linjan testauksen kustannusfunktio kiinteä kustannus $ 2016 ja muuttuva kustannus $ 32 per tunti 0-1 päätösmuuttuja FA - FA = 0, jos A-linjan testivälineistöä ei käytetä viikolla - FA = 1, jos A-linjan testivälineistöä käytetään viikolla Ł rajoite: MA + MB 120 FA 0 C-linjan testauksen kustannusfunktio kiinteä kustannus $ 1200 ja muuttuva kustannus $ 38.50 per tunti - FC=0, jos välineistöä ei käytetä viikolla - FC=1, jos välineistöä käytetään viikolla Ł rajoite: MC 48 FC 0 Tavoitefunktio maksimoi Z = 410MA + 520MB + 686MC - 2016FA - 1200FC - 32MA - 32MB - 38,5MC 378 MA + 488 MB + 647,50 MC 2016 FA 1200 FC Esim. 4 Luento beta 33
Kiinteät tuotantokustannukset formulointi Tavoitefunktio maksimoi tuotto maksimoi 378 MA + 488 MB + 647,50 MC - 2016 FA - 1200 FC Rajoitteet A-linjan testikapasiteetti MA + MB 120 FA 0 C-linjan testikapasiteetti MC 48 FC 0 työvoiman saatavuus 10 MA + 15 MB + 20 MC 2000 positiiviset kokonaislukumuuttujat MA, MB, MC binäärimuuttujat FA, FC Esim. 4 Luento beta 34
Esim. 4 Kiinteät tuotantokustannukset ratkaisu
Kokonaislukuoptimointi Excelissä IP-ongelman ratkaisu Excelin ratkaisimella aseta reunaehdot rajoite-valikossa - kokonaisluku int - binääriluku bin huomioi, ettei niihin kuulu LP-mallin mukaista herkkyysanalyysiä - herkkyysraportti ja rajoiteraportti puuttuvat ratkaisusta Luento beta 36