Demo 1: Branch & Bound
|
|
- Mikko Elstelä
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z + {0}, x Z + {0} Ratkaisu Branch & Bound -algoritmin etenemistä voit seurata ratkaisun lopussa näkyvästä puusta, jossa haarat kuvaavat kahdella lisärajoituksella saatavia uusia tehtäviä. Algoritmin alussa ratkaistaan tehtävä reaaliarvoisilla muuttujilla, jolloin tehtävän ratkaisuksi saadaan x =.5 ja x = x + x 9.5 x.5 x 0 x + 5x x x.5.5 Ratkaisu ei ole kokonaisluku, joten tehdään kaksi uutta tehtävää rajoittamalla yksi ei-kokonaislukuarvoinen muuttuja ylhäältä ja alhaalta päin. Valitaan muuttuja x, joka rajoitetaan ensimmäisessä tehtävässä alaspäin lähimpään kokonaislukuun pyöristettyä arvoa pienemmäksi eli x ja toisessa tehtävässä ylöspäin lähintä kokonaislukua suuremmaksi eli x. Huomataan, että rajoituksella x (LP.) tehtävällä ei ole enää yhtään käypää ratkaisua. Vuorostaan rajoituksella x (LP.) tehtävän ratkaisuksi saadaan x = ja x =, 75.
2 4.5.5 x x.5 x 0 x + 5x x + x x x.5.5 Ratkaisu ei ole vieläkään kokonaislukuratkaisu, joten rajoitetaan ainoa ei-kokonaislukumuuttuja, jolloin saadaan kaksi uutta tehtävää LP. ja LP., joihin on lisätty rajoite x tai x. Rajoituksella x (LP.) tehtävän ratkaisuksi saadaan x = ja x =, joka on kokonaislukuratkaisu, joten uusia lisärajoituksia ei tarvitse enää tälle tehtävähaaralle tehdä x x.5 x 0 x + 5x x + x x x.5.5 Tutkitaan x -rajoituksen mukainen haara eli LP., jolla tehtävän ratkaisuksi saadaan x = 0, 5 ja x =, jolloin kohdefunktion arvo on 5,5.
3 4.5.5 x x.5 x 0 x + 5x x + x x x.5.5 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten rajoitetaan tehtävä kahdeksi uudeksi tehtäväksi: LP. rajoituksella x 0 ja LP. rajoituksella x. Huomataan, että x -rajoitus lisäämällä tehtävästä tulee eikäypä. Rajoituksella x 0 (LP.) tehtävän ratkaisuksi saadaan x = 0 ja x =, 5, jolloin kohdefunktion arvo on 4, x 0 x x.5 x 0 x + 5x x + x x x.5.5 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu ja sen kohdefunktion arvo on pienempi kuin parhaalla tähän mennessä löydetyllä kokonaislukuratkaisulla (x =, x = ) saatu kohdefunktion arvo. Tehtävähaaran tutkiminen voidaan täten lopettaa, koska aina rajoitteen lisäyksen takia kohdefunktion arvo heikkenee tai pysyy samana, jolloin optimiratkaisu ei voi löytyä enää tästä haarasta. Koska kaikki mahdolliset haarat on tutkittu, (x, x ) = (, ) on tehtävän optimaalinen kokonaislukuratkaisu. Jos LP.:n haara ei olisi tutkittu ensimmäisenä, jolloin kokonaislukuratkaisua ei olisi jo löydetty, tulisi nyt kesken jätetty haara laskea kokonaislukuratkaisuun asti. Koska x = 0 ja x =, 5 ei ole kokonaislukuratkaisu, muodostetaan jälleen kaksi uuttaa tehtävää rajoitteilla x ja x. Lisärajoituksen x kanssa tehtävällä (LP4.) ei ole käypää ratkaisua, mutta LP4.-tehtävän ratkaisuksi saa-
4 daan x = 0 ja x =, jolloin kohdefunktion arvo on 4. Tehtävähaaran tutkiminen voidaan lopettaa, koska kokonaislukuratkaisu on löytynyt. Verrataan lopuksi saatuja kokonaislukuratkaisuja ja huomataan, että LP.-tehtävässä (x, x ) = (, ) on tehtävän optimaalinen kokonaislukuratkaisu x 0 x x x.5 x 0 x + 5x x + x x x.5.5 4
5 LP0 x =.5 x =.69 z = x x LP. x = x =.75 z = 6.5 LP. epäkäypä non-feasible x x LP. x = x = z = 5 LP. x = 0.5 x = 4 z = 5.5 x 0 LP. x = 0 x =.5 z = 4.5 x LP. epäkäypä non-feasible x x LP4. epäkäypä non-feasible LP4. x = 0 x = z = 4 Demo : Kokonaisluku- ja binäärimuuttujaoptimointia Formuloi lineaarisena optimointitehtävänä ja ratkaise Excelillä. a) Kauppias voi ostaa tehtaalta tuotetta ja myydä yhden kappaleen e voitolla. Kauppiaan tulee kuitenkin maksaa 000 e tehtaalle voidakseen ostaa tuotetta, jota tehdas pystyy valmistamaan korkeintaan 750 kappaletta. Kuinka monta tuotetta kauppiaan kannattaa ostaa? Ei yhtään? b) Entä jos kauppiaan tulee maksaa 000 e kertamaksu vasta, kun tehtaalta hankittavien tuotteiden määrä ylittää 00 kappaletta? c) Viljelijällä on 5 laatikollista omenoita ja kaksi kauppiasta, Aapeli ja Toopeli, haluavat ostaa hänen omenoitaan. Yhdestä omenalaatikosta Aapeli maksaa 5 e ja Toopeli e. Jos viljelijä myy Aapelille enemmän omenoita kuin Toopelille, Aapeli maksaa viljelijälle bonusta 450 e. Jos taasen Toopeli saa ostaa enemmän omenoita kuin Aapeli, hän maksaa viljelijälle 70 e bonusta. Kuinka monta laatikollista omenoita hänen tulisi myydä Aapelille ja Toopelille maksimoidakseen tulonsa? 5
6 Ratkaisu a) Valitaan päätösmuuttujiksi kauppiaan ostamien tuotteiden määrä kokonaislukuna x ja sen päätös tehtaalle maksamisesta binäärimuuttujana y (arvo on, jos päätös on kyllä, ja 0, jos päätös ei). x Z + {0} y {0, } Kauppias maksimoi tuottoaan, joka on tuotteiden myynnin tuottama voitto, josta on vähennetty mahdollisen kertamaksun kustannukset: max x 000y. Ostettavien tuotteiden määrälle saadaan yläraja, jonka arvo on 0, jos kertamaksua ei ole maksettu tehtaalle, ja 750, jos kertamaksu on maksettu: x 750y. Tehtävän ratkaisuksi saadaan, että kauppiaan kannattaa maksaa tehtaalle kertamaksu ja ostaa 750 kappaletta tehtaan tuotetta, jolloin kauppias tekee 500 e voittoa. b) Muutetaan a-kohdan rajoitusehtoa niin, että kauppias voi ostaa 00 kappaletta ilman maksua, mutta muista täytyy maksaa kertamaksu, eli x y. Tehtävälle saadaan saadaan sama ratkaisu kuin a-kohdalle. c) Valitaan päätösmuuttujiksi myytävät omenalaatikot (Aapeli x ja Toopeli x ) ja binäärimuuttuja y, joka kertoo, että myydäänkö laatikoita enemmän Aapelille (y = ) vai Toopelille (y = 0): x Z + {0} x Z + {0} y {0, } Kohdefunktiona maksimoidaan viljelijän saamia tuloja, jotka muodostuvat yksittäisen laatikon myynnistä saatavista tuloista ja viljelijän saamasta bonuksesta, jonka Aapeli tai Toopeli maksaa. max 5x + x + 450y + 70 ( y). Viljelillä on laatikoita myytävänä yhteensä 5 kappaletta eli: x + x 5. Jos x > x tulee y:n saada arvo, joten x x M y, jossa M on suuri luku (tässä tehtävässä esim ) ja jos x < x tulee y:n saada arvo 0, jolloin jossa M on suuri luku. x x M ( y), Tehtävän ratkaisuksi saadaan, että viljelijä myy Aapelille 8 laatikkoa ja Toopelille 7 laatikkoa, jolloin hän saa Aapelin maksaman suuremman bonuksen. Näin ollen kohdefunktion arvo on 874 e. 6
7 Tehtävä : Branch & Bound -menetelmä Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x.5 x + x 6 x Z + {0}, x Z + {0} Ratkaisu Käytetään Branch & Bound-algoritmia Demo :n mukaisesti. Ratkaistaan ensin tehtävä ilman kokonaislukurajoitteita ja rajoitetaan ei-kokonaislukumuuttujia kokonaislukurajoitteilla, kunnes saadaan vain kokonaislukuratkaisuja, joista valitaan optimaalinen. Tutkimalla LP.-tehtävän mukainen haara saadaan kokonaislukuratkaisu x = ja x =, jolla kohdefunktion arvo on. Vastaavasti LP.-tehtävästä saadaan toinen kokonaislukuratkaisu, x = ja x =, jolla kohdefunktion arvo on kuitenkin pienempi kuin LP.-tehtävällä saatu ratkaisu, joka on optimaalinen. x LP0 x =.5 x =.5 z = x LP. x = x =.5 z =.5 LP. x = x = z = x 4 x LP. epäkäypä non-feasible LP. x = x = z = Tehtävä : Kännyköiden valmistaminen Moba Fone Oy tuottaa T5-mallin kännykköitä, jotka ovat markkinoiden kestosuosikkeja. Yhden T5:n valmistaminen vaatii neljä mikrosirua ja yhden virtapiirin ja sen markkinahinta on 50 e. Yhtiö voi myös lanseerata uuden mallin, A:n, jonka valmistamiseen vaaditaan kuusi mikrosirua ja kaksi virtapiiriä. Yhdestä A:sta maksetaan 0 e. Uuden tuotantolinjan lanseeraminen vaatii e sijoituksen ja A:n kysynnän oletetaan riittävän viideksi vuodeksi. Voidaan olettaa, että kaikki tuotetut kännykät tullaan ostamaan. Moba Fonen alihankkijat pystyvät tuottamaan vuodessa mikrosirua vuodessa ja virtapiiriä. Formuloi lineaarisena optimointitehtävänä, kun yritys maksimoi voittoaan. 7
8 Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi T5-mallien määrä ei-negatiivisena kokonaislukuna x, A-mallien määrä epänegatiivisena kokonaislukuna x ja binäärimuuttuja y, joka kertoo rakennetaanko lisälinjastoa vai ei. Yhtiö maksimoi vuoden aikana kännyköistä saatavaa voittoa, jossa huomioidaan mahdollisen uuden linjaston aiheuttamat kustannukset yhdelle vuodelle laskettuna max 50x + 0x y. A-mallia voidaan valmistaa vain, jos uusi linjasto on rakennettu eli jossa M on suuri luku (esim ). x M y, Mallien tuotantomääriä rajoittaa mikrosirujen ja virtapiirien vuoden aikana käytettävissä olevat määrät: 4x + 6x x + x Tehtävän ratkaisuksi saadaan, että yrityksen kannattaa rakentaa uusi linjasto ja tuottaa koko kapasiteetillaan vain A-mallia eli yhteensä kappaletta, jolloin yrityksen vuoden tuotoksi tulee e. Tehtävä : Autotehtaan työvuorot Autotehtaan tuotannossa on kolme osa-aluetta: runko, moottori ja renkaat. Runkojen valmistaminen vaatii päivän aikana vähintään 80 työtehoyksikköä. Moottorit taasen vaativat 40 yksikköä ja renkaat 0 yksikköä. Tehtaalla on viisi työntekijää, joille maksetaan jokaista tehtyä työtuntia kohti 0 e. Työntekijöille maksetaan joka päivä vähintään työtunnista. Jos työntekijän työtunnit ylittävät 8 h, työntekijälle maksetaan ylityölisänä 00 e kertamaksu riippumatta ylityön määrästä. Työntekijä voi tehdä korkeintaan 0 h työtä päivän aikana. Työntekijöiden työtunnit määritellään kokonaisina työtunteina. Työntekijöiden tehtäväkohtaiset työtehot on kuvattu taulukossa, jossa luku vastaa tehtävään käytettyjen työtehoyksikköjen määrää yhdessä tunnissa. Työntekijä / Tehtävä Runko Moottori Renkaat 4 6,5 4,75 4 0,5 5 4 Formuloi lineaarisena kokonaislukuoptimoinnin tehtävänä. Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi työntekijöiden tekemät työtunnit kokonaislukuina, työntekijöiden palkkatunnit kokonaislukuina ja työntekijöiden ylityön tekeminen binäärimuuttujina (arvo on, jos työntekijä tekee ylityötä): 8
9 x i,j := z i := y i := työntekijän i työtunnit tehtävässä j työntekijän i tunnit, joista maksetaan palkkaa työntekijän i ylityön indikaattori. Tavoitteena on minimoida palkkakustannuksia, jonka määrittelevät työntekijöiden palkkatunnit ja ylityöt, eli min 5 0z i y i Autotehtaan tehtäviin (runko, mooottori ja renkaat) täytyy käyttää tarpeeksi työtä: 5 a i, x i, 80 5 a i, x i, 40 5 a i, x i, 0 Jos työntekijä i tekee yli 8 tuntia työtä, ylityön binäärimuuttuja saa arvon, kuitenkin niin, että työtuntien yhteismäärä ei ylitä 0 tuntia: x i,j 8 + y i i. Palkkatunnit ovat tuntia tai työntekijän tekemien työtuntien määrä, jos niiden määrä ylittää tuntia: z i i. i. z i Tehtävän ratkaisuksi saadaan alla olevan taulukon mukaiset työtunnit, jolloin kohdefunktion arvo on 80 e. x i,j Työntekijä Runko Moottori Renkaat Tehtävä 4: Verkko-optimointi Etsi seuraavasta verkosta lyhin polku solmusta solmuun 6 muodostamalla ongelmasta lineaarisen ohjelmoinnin tehtävä. Kaikki kaaret voidaan olettaa kaksisuuntaiseksi samalla kustannuksella. Ratkaise Excelillä. 9
10 Ohje:. Lisää verkkoon uusi kuvitteellinen kaari solmujen ja 6 välillä siten, että kustannus kaarella suuntaa 6 on erittäin suuri (esim. 500) ja suuntaan 6 olematon (=0).. Muodosta 6 6 päätösmuuttujamatriisi X =[x i,j ], jossa muuttuja x i,j kertoo onko kaarella i j virtausta vai ei. Muodosta myös vastaava 6 6 kustannusmatriisi C, johon laitetaan olemattomille kaarille (esim. 4) suuri kustannus. Aseta lisäksi kustannusmatriisin diagonaalille eli kaarelle solmusta samaan solmuun suuri kustannus. Laske matriisien X ja C avulla virtausten kokonaiskustannus verkossa.. Aseta kuhunkin solmuun tulevat virtaukset ja lähtevät virtaukset saman suuruisiksi eli laske X matriisin rivi ja sarakesummat ja aseta nämä saman suuruisiksi solverissa. 4. Rajoita solverissa virtaukset x i,j binäärimuuttujiksi. Aseta lisäksi rajoitus, että virtaus kaarella 6 on suuruudeltaan yksi. Ratkaise minimivirtauskustannus Solverilla. 5. Lue lyhin polku solmusta solmuun 6 virtausmuuttujien arvoista optimissa. Ratkaisu Päätösmuuttujina ovat binäärimuuttujat x i,j, kun i =,,..., 6 ja j =,,..., 6, jotka kuvaavat kulkeeko virtaus solmusta i solmuun j. Kohdefunktiona minimioidaan kaikkien virtausten yhteiskustannuksia min 6 6 c i,j x i,j. Virtausten, jotka lähtevät solmusta k, summa täytyy olla yhtä suuri kuin solmuun k saapuvien virtausten summa: 6 x k,j = 6 x i,k, k =,,..., 6 Jotta solmujen välille saadaan virtaus kulkemaan, täytyy pakottaa virtaus solmusta 6 solmuun : x 6, =. Ratkaisuksi saadaan, että virtaus kulkee solmusta solmuun, josta se kulkee solmun 4 kautta solmuun 6. Näin ollen virtauksen kustannuksien arvo on. Tehtävä 5: Sairaalan aikataulutus* *Ylimääräinen tehtävä; ei esitellä taululla Yrjö on yliopistollisen sairaalan työvuorovastaava, ja hänen tulisi aikatauluttaa sairaalan leikkaussalivuorot. Seuraavan viiden päivän aikana on tehtävä 5 leikkausta, joiden odotetut kestot ovat 0
11 Leikkaus Tyyppi A B C A B C A B C A B C A B B Kesto (h) Leikkaussali on käytettävissä 5 h päivässä, ja siellä voidaan operoida ainoastaan yhtä potilasta kerrallaan. Leikkaussalin käyttö maksaa 0 e/h. Jos leikkaus on eri tyyppiä kuin edellinen leikkaus, joudutaan leikkaussalin varustus ja henkilökunta vaihtamaan, mikä maksaa 0 e. Formuloi Yrjön tehtävä kokonaislukutehtävänä. Tehtävää ei tarvitse ratkaista. Ratkaisu Valitaan binäärimuuttujiksi x i,j leikkauksen i alkamistunnit ajanhetkellä j (i =,,..., 5 ja j =,,..., 5), binäärimuuttujiksi y i,j leikkauksen i:n ensimmäistä tuntia seuraava tunti ajanhetkellä j (leikkauksille, jotka kestävät yli tunnin) (i = 8,..., 5 ja j =,,..., 5) ja binäärimuuttujiksi z j leikkauksen tyypin vaihtuminen ajanhetken j ja j+ välillä (j =,,, 4, 6, 7, 8, 9,,..., 4, koska oletetaan, että päivän vaihtuessa leikkausten tyyppien ei tarvitse olla samoja). Minimoidaan kohdefunktiota, joka muodostuu jokaisesta leikkauksen aloittavasta ja jatkavasta tunnista syntyvien maksujen ja leikkaustyypin vaihtamisesta aiheutuvien kustannusten summasta: 5 min 5 Jokainen leikkaus voi alkaa vain kerran: x i,j + 0y i,j + 0z i x i,j =, i =,,..., 5. Vain yksi leikkaus voi olla käynnissä kunakin tuntina: 5 (x i,j + y i,j ) j =,,..., 5. Kaksi tuntia kestävillä leikkauksilla täytyy olla yksi jatkotunti, 5 kolme tuntia kestävillä kaksi tuntia y i,j =, i = 8, 9, 0,,, 5 y i,j =, i = 4, 5 ja ei yhtään jatkotuntia vain tunnin kestäville leikkauksille 5 y i,j = 0, i =,,, 4, 5, 6, 7. Ensimmäistä tuntia seuraavien tuntien täytyy olla heti leikkauksen ensimmäisen tunnin perässä x i,j y i,j+ 0, i = 8,...,, j =,,, 4, 6, 7, 8, 9,,..., 4 x i,j y i,j+ y i,j+ 0, i = 4, 5, j =,,, 6, 7, 8,,...,.
12 Käytetään binäärisiä indikaattoreita a j,k ilmoittamaan leikkauksen tyyppiä; a j,k =, jos leikkaus j on tyyppiä k (k = (A), (B), (C)). Jos leikkaustyypit ovat ajanhetkillä j ja j + erilaisia, saa z j arvon. Huomaa. Oletetaan, että päivän viimeisen tunnin ja seuraavan päivän ensimmäisen tunnin vaihtumista ei tarvitse huomioida, jolloin joka viides tunti poistuu j:n indekseistä 5 (a j,k x i,j + a j,k y i,j ) j =,,, 4, 6, 7, 8, 9,,..., 4, k =,,. 5 (a j+,k x i,j+ + a j+,k y i,j+ ) z j 0
Harjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotTentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
LisätiedotDemo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotOptimoinnin sovellukset
Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 12.3.2018 Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 297 4 2 4 163 3 454 6 179 2 136 2 169 2 390 4 3 436 7 5 Kuva 1: Tehtävän 1
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
Lisätiedot4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä
8 4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä Minkowskin esityslauseen avulla voidaan osoittaa, että jos P on rationaalinen monitahokas ja S sen sisällä olevien kokonaislukupisteiden joukko, niin co(s) on
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotDemo 1: Excelin Solver -liitännäinen
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotKokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa
Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Systeemianalyysin laboratorio Teknillinen Korkeakoulu, TKK 3 Maaliskuuta 2008 Sisällys 1 Johdanto Taustaa Ongelman kuvaus 2 PACE-graafi Graafin muodostaminen
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotKon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö
Kon-15.4199 Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö 22.1.2016 Harjoituksessa 1. Varmistetaan että kaikilla on pari! Ilmoittautukaa oodissa etukäteen! 2. Tutustutaan ensimmäiseen tehtävään
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotTotaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista
8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina 2000-2005 vuosi indeksi
LisätiedotHarjoitus 1 (17.3.2015)
Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi 8..7 Luento 8 Verkkotehtävät, simlex ja duaalisuus (kirja 7.-7., 7.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Motivointi Käsitteitä Verkkotehtävä Verkkosimlex Duaalitehtävä Yhteenveto
Lisätiedot8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
LisätiedotT : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko
LisätiedotYksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.
KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään
LisätiedotLuetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
LisätiedotTrimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä
Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn
LisätiedotLineaarinen optimointi
L u e n t o Tuotevalikoimapäätökset Lineaarinen optimointi Luennon sisältö LP:n perusteet Mallien ratkaiseminen Kuinka paljon kahta tuotetta (A ja B) tulisi valmistaa seuraavan kuukauden tuoton maksimoimiseksi,
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotOPERAATIOANALYYSI ORMS.1020
VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotHarjoitus 1 (20.3.2014)
Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotSearch space traversal using metaheuristics
Search space traversal using metaheuristics Mika Juuti 11.06.2012 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki
Lisätiedot4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
LisätiedotHarjoitus 2 ( )
Harjoitus 2 (24.3.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 graafi. Aikaisimmat aloitushetket selvitetään kaavoilla v[0] = 0 v[p] max 0 i p 1 {v[i]+a i (i,p) E} = v[l]+a l d[p] l. Muodostetaan taulukko, jossa
LisätiedotMonitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
LisätiedotHarjoitus 4 (7.4.2014)
Harjoitus 4 (7.4.2014) Tehtävä 1 Tarkastellaan Harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä solmusta
LisätiedotHarjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel)
Harjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen ja ratkaiseminen
LisätiedotMalliratkaisut Demot 5,
Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön
LisätiedotTyövuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely)
Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Pekka Alli 1.12.2015 Ohjaaja: Tuuli Haahtela Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta
LisätiedotEsimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista
Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotLP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotTIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
LisätiedotHarjoitus 2 ( )
Harjoitus 2 (27.3.214) Tehtävä 1 7 4 8 1 1 3 1 2 3 3 2 4 1 1 6 9 1 Kuva 1: Tehtävän 1 graafi. Aikaisimmat aloitushetket selvitetään kaavoilla v[] = v[p] d[p] l. max i p 1 {v[i] + a i (i, p) E} = v[l] +
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotLineaarinen optimointi
L u e n t o Lineaarinen optimointi Luennon sisältö LP:n perusteet Mallien ratkaiseminen Katariina Kemppainen / Logistiikka Lineaarinen optimointi LP-malleilla monia käyttökohteita Karkea suunnittelu tuotantosuunnitelmat,
LisätiedotUolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2
Uolevin reitti Kuvaus Uolevi on ruudukon vasemmassa ylänurkassa ja haluaisi päästä oikeaan alanurkkaan. Uolevi voi liikkua joka askeleella ruudun verran vasemmalle, oikealle, ylöspäin tai alaspäin. Lisäksi
LisätiedotLP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedot