MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
|
|
- Kaarina Laaksonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle riippuen maksimoidaanko vai minimoidaanko kohdefunktiota. Kohdefunktio max n j=1 c jx j min m i=1 b iy i Kohdefunktio Rajoitusehdot Muuttujat a T i x b i a T i x b i a T i x = b i x j 0 x j 0 vapaa x j y i 0 y i 0 y i vapaa y T a j c j y T a j c j y T a j = c j Muuttujat Rajoitusehdot Demo 1: Duaalitehtävän muodostaminen Muodosta lineaarisen optimointitehtävän duaalitehtävä. Ratkaise primaali- ja duaalitehtävät ja tarkastele ratkaisuja. a) max 3x 1 + 5x 2 + 8x 3 s.e. 9x 1 + x 2 + 7x x 1 + 3x 2 + 6x 3 32 x 1 0, x 2 0, x 3 R b) min 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 s.e. x 1 + 2x 2 + x 3 = 8 6x 1 + 3x 2 + 8x x 1 + 7x 2 9x 3 35 x 1 0, x 2 0, x 3 R c) max 2x 1 + x 2 s.e. 3x 1 5 x 1 0, x 2 0 d) max x 1 + x 2 s.e. 3x 1 + 4x 2 2 x 1 0, x 2 0 a) Koska primaalitehtävä on maksimointitehtävä, tulee duaalitehtävästä minimointitehtävä. Merkitään duaalimuuttujia y i, ja niitä on yhtä monta kuin primaalissa on rajoitusehtoja. Duaalin kustannusfunktion duaalimuuttujien ker- 1
2 toimiksi tulee aina primaalin vastaavan rajoitusehdon vakiotermi, jolloin kohdefunktioksi saadaan min 28y y 2. Duaalille saadaan yhtä monta rajoitusehtoa kuin primaalilla on päätösmuuttujia. Koska primaali on maksimointitehtävä, jonka ensimmäinen päätösmuuttuja on rajoitettu ei-negatiiviseksi (x 1 0), ensimmäiseksi rajoitusehtoon tulee. Vastaavasti toinen muuttuja on ei-positiivinen (x 2 0), jolloin toiseen rajoitusehtoon tulee. Kolmas muuttuja ei ole rajoitettu, joten kolmas rajoitusehto on yhtälörajoitus. Duaalin ensimmäiseen rajoitusehtoon muuttujien kertoimiksi tulee primaalin ensimmäisen päätösmuuttujan kertoimet primaalin rajoitusehtojen mukaisessa järjestyksessä ja duaalin rajoitusehdon vakiotermi saadaan primaalin ensimmäisen muuttujan kertoimesta kohdefunktiossa. Vastaavalla tavalla saadaan myös toinen ja kolmas rajoitusehto. Näin ollen rajoitusehdoiksi saadaan 9y 1 + 2y 2 3 y 1 + 3y 2 5 7y 1 + 6y 2 = 8 Duaalimuuttujien rajoitukset saadaan primaalin rajoitusehtoista. Rajoitusehdot ovat kaikki -rajoitusehtoja, joten kaikista duaalimuuttujista tulee epänegatiivisia eli y 1 0 ja y 2 0. Ratkaistaan primaalitehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin primaalimuuttujien arvoiksi saadaan x 1 = 0, x 2 = 0 ja x 3 = 4 ja kohdefunktion arvo on 32. Ratkaistaan myös duaalitehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin saadaan duaalimuuttujien arvoiksi saadaan y 1 = 1, 143 ja y 2 = 0 ja kohdefunktion arvo on 32. Primaalin ja duaalin kohdefunktion arvot ovat yhtä suuret eli saadut ratkaisut ovat optimaaliset. b) Koska primaali on minimointitehtävä, duaali on vastaavasti maksimointitehtävä. Jälleen primaalin rajoitusehtojen vakiokertoimet siirtyvät duaalin kohdefunktion kertoimiksi eli max 8y y y 3. Primaali on minimointitehtävä, jonka ensimmäinen muuttuja on rajoitettu epänegatiiviseksi (x 1 0), jolloin vastaavasti duaalin ensimmäiseksi rajoitusehdoksi tulee. Vastaavasti x 2 0, jolloin duaalin toiseen rajoitusehtoon tulee, ja koska x 3 ei ole rajoitettu, tulee duaalin kolmannesta rajoitusehdosta yhtälörajoitus. Duaalin rajoitusehtojen kertoimet saadaan vastaavien primaalimuuttujien rajoitusehtojen kertoimista. y 1 6y 2 + 5y 2 2 2y 1 + 3y 2 + 7y 2 3 y 1 + 8y 2 9y 2 = 5. Duaalin muuttujien rajoitusehdot saadaan vastaavien primaalirajoitusehtojen rajoituksista. Koska ensimmäinen rajoitusehto on yhtäsuurusrajoitus, on ensimmäinen duaalimuuttuja rajoittamaton. Toinen on, jolloin toinen duaalimuuttuja y 2 on epänegatiivinen ( 0). Vastaavasti kolmas rajoitusehto on, joten y 3 0. Primaalin ratkaisuksi saadaan x 1 = 3, 86, x 2 = 0 ja x 3 = 4, 14, jolloin primaalin kohdefunktion arvo on 28,43. Duaalin ratkaisuksi saadaan y 1 = 3, 29, y 2 = 0, 21 ja y 3 = 0, jolloin duaalin kohdefunktion arvo on 28,43. Jälleen kohdefunktioiden arvot ovat yhtä suuret eli ratkaisut ovat optimaaliset. 2
3 c) Tehtävän duaali saadaan samalla tavalla kuin a-kohdassa. min 5y 1 s.e. 3y 1 2 0y 1 1 y 1 0 Primaalin x 2 -muuttujaa ei ole rajoitettu ylhäältä päin, joten se voi kasvaa äärettömään asti, jolloin kohdefunktion arvostakin tulee ääretön. Vastaavasti tehtävän duaalille ei löydy käypää ratkaisua, koska toinen rajoitusehto (0 1) ei päde millään lukuarvoilla. Jos duaali on epäkäypä, primaalin optimi ei ole rajoitettu. d) Tehtävän duaaliksi saadaan min 2y 1 s.e. 3y 1 1 4y 1 1 y 1 0 Tehtävän primaali ei ole käypä, koska ensimmäinen rajoitusehdon mukainen epäyhtälö ei ole voimassa, jos molemmat muuttujat ovat negatiivisia. Duaalin kohdefunktiota minimoidaan ja päätösmuuttujaa y 1 ei ole rajoitettu alhaalta päin, jolloin sen arvo voi mennä asti, jolloin myös kohdefunktion arvo on. Jos primaali ei ole käypä, duaalin optimi ei ole rajoitettu. Demo 2: Äidin ongelma - Duaalimuuttujan tulkinta Perheen äiti pyrkii valmistamaan mahdollisimman vähin kustannuksin aterian, joka tyydyttää perheen päivittäisen proteiinin ja kalsiumin tarpeen: vähintään 50 g proteiinia ja vähintään 800 mg kalsiumia. Formuloi ongelma LP-tehtävänä seuraavan taulukon avulla: Ruoka e/yksikkö proteenia g/yksikkö kalsiumia mg/yksikkö Peruna 0,6 3,7 22,7 Tomaatti 2,7 1,1 6,2 Maito 2,3 8,1 296 Oletetaan toisaalta, että paikallinen apteekkari myy proteiini- ja kalsiumpillereitä. Hänen on päätettävä sellainen proteiinin yksikköhinta y 1 ja kalsiumin yksikköhinta y 2, että pillerit olisivat hinnan suhteen kilpailukykyisiä ruoka-aineiden kanssa, ja toisaalta hän pyrkii voiton maksimoimiseksi nostamaan hinnat mahdollisimman korkeiksi. Tämä tarkoittaa, että hän pyrkii määräämään mahdollisimman korkean hinnan nimenomaan perheenäidin tarvitsemalle yhdistelmälle 50 g proteiinia ja 800 mg kalsiumia. Formuloi myös apteekkarin ongelma LP-tehtävänä. Totea, että perheenäidin ongelma ja apteekkarin ongelma ovat primaali-duaalipari. Tarkastele ratkaisuja. Kiva tietää. Tämä ongelma on yksinkertaistettu versio Nobel-voittaja George J. Stieglerin dieettiongelmasta vuodelta Tehtävä oli silloin aivan liian monimutkainen ratkaistavaksi tarkasti ja hän joutui käyttämään erilaisia heuristiikkoja. 3
4 Muodostetaan kotiäidin optimointitehtävä. Valitaan päätösmuuttujiksi ostettavien tuotteiden määrät: x 1 := x 2 := x 3 := perunoiden määrä (yksikkö) tomaattien määrä (yksikkö) maidon määrä (yksikkö) Tavoitteena on minimoida kustannukset: min 0, 6x 1 + 2, 7x 2 + 2, 3x 3. Ostomääriä rajoittavat tarvittavat proteiinin ja kalsiumin määrät: 3, 7x 1 + 1, 1x 2 + 8, 1x , 7x 1 + 6, 2x x Ostomäärät eivät voi olla negatiivisia eli rajoitetaan ne vähintään nolliksi: x 1 0, x 2 0 ja x 3 0. Kotiäidin tehtävän ratkaisuksi saadaan x 1 = 9, 12, x 2 = 0 ja x 3 = 2, 00, jolloin kotiäidin kauppalaskuksi muodostuu 10,08 e. Muodostetaan apteekkarin optimointitehtävä, jossa päätösmuuttujiksi valitaan apteekkarin hinnat kotiäidin ostamille kalsium- ja proteiinimäärille: y 1 := y 2 := proteiiniyksikön hinta (e) kalsiumyksikön hinta (e) Maksimoidaan apteekkarin myyntivoittoa eli max 50y y 2. Rajoitusehdoiksi saadaan tabletit korvaavien tuotteiden (peruna, tomaatti ja maito) yksikköhinnat, koska apteekkarin määrittelemillä hinnoilla esim. perunan sisältämän proteiinin ja kalsiumin yhteishinta ei saa ylittää perunan oikeaa hintaa: Hinnat eivät voi olla negatiivisia, joten 3, 7y , 7y 2 0, 6 1, 1y 1 + 6, 2y 2 2, 7 8, 1y y 2 2, 3 y 1 0 ja y 2 0. Apteekkarin tehtävän ratkaisuksi saadaan y 1 = 0, 138 ja y 2 = 0, 004, jolloin apteekkarin tulot ovat 10,08 e. Huomataan, että kotiäidin tehtävän duaali on apteekkarin tehtävä ja päinvastoin. Tehtävien kohdefunktioiden arvot ovat yhtäsuuret eli ratkaisut ovat optimaaliset. Apteekkarin hinnat eli kotiäidin tehtävän duaalimuuttujien y i arvot vastaavat sitä kotiäidin kohdefunktion eli kauppalaskun arvon kasvua, jonka yhden proteiini- tai kalsiumyksikön lisäys alkuperäiseen tarpeeseen aiheuttaa. Vastaavasti kotiäidin ostosten määrät x i eli apteekkarin tehtävän duaalimuuttujien arvot kertovat kuinka paljon apteekkarin tulot kasvavat, jos vastaavan elintarvikkeen hinta kasvaa yhden e:n. 4
5 Tehtävä 1: Duaalitehtävän muodostaminen Muodosta tehtävän duaali. a) min 2x 1 x 2 + 3x 3 + 5x 4 s.e. 6x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 8 2x 1 x 2 + 5x 4 = 8 x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 10 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 R b) max 5x 1 + 6x 2 s.e. 3x 1 + 4x 2 16 x 1 + 5x 2 3 x 1 R, x 2 0 c) min 3x 1 + 4x 2 + 6x 3 s.e. 5x 1 + 2x 2 20 x 1 0 x 2 0 x 3 0 d) max x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + x 2 = 5 3x 1 x 2 = 6 x 1 R x 2 R a) max 8y 1 + 8y y 3 s.e. 6y 1 + 2y 2 + y 3 2 2y 1 y 2 + y 3 1 y 1 + 2y 3 3 y 1 + 5y 2 + y 3 = 5 y 1 0, y 2 R, y 3 0 b) min 16y 1 + 3y 2 s.e. 3y 1 y 2 = 5 4y 1 + 5y 2 6 y 1 0, y 2 0 5
6 c) max 20y 1 s.e. 5y 1 3 2y 1 4 0y 1 6 y 1 0 d) min 5y 1 + 6y 2 s.e. 2y 1 + 3y 2 = 1 y 1 y 2 = 1 y 1 R, y 2 R Tehtävä 2: Putte-Possun nimipäivät Puten nimipäiväkutsut alkavat näillä minuuteilla. Kauhistuksekseen hän huomasi, että eihän henellä ole lainkaan mitään juotavaa tarjolla. Pikaisen tutkiskelun jälkeen hän päätyi kolmeen vaihtoehtoon: hedelmämehu, marjamehu ja sekamehu. Hedelmämehuun tarvitaan litraa kohden 0,25 l hedelmätiivistettä, marjamehuun 0,2 l marjatiivistettä ja sekamehuun tarvitaan 0,1 l hedelmä-, ja 0,15 l marjatiivistettä. Lisäksi mehut tarvitsevat sokeria: hedelmämehu 50 g, marjamehu 75 g ja sekamehu 60 g jokaista litraa kohden. Putella on käytössään 20 l hedelmätiivistettä, 45 l marjatiivistettä ja 5 kg sokeria. Kuinka paljon kutakin mehua Puten kannattaa tehdä, jotta hän saisi mahdollisimman paljon mehua? Formuloi LP-tehtävä ja muodosta sen duaalitehtävä. Ratkaise tehtävät ja anna tulkinta duualimuuttujille. Valitaan päätösmuuttujiksi valmistettavien mehujen määrät litroina (l): x 1 := x 2 := x 3 := hedelmämehun määrä (l) marjamehun määrä (l) sekamehun määrä (l) Putte haluaa maksimoida mehun kokonaismäärän: max x 1 + x 2 + x 3 Mehujen määrää rajoittaa marja- ja mehutiivisteiden määrät ja sokerin määrä. 0, 25x 1 + 0, 1x , 2x 2 + 0, 15x x x x Mehujen määrät ovat epänegatiivisia eli x 1 0, x 2 0, x
7 Tehtävän duaali on vastaavasti min 20y y y 3 s.e. 0, 25y y , 2y y 3 1 0, 1y 1 + 0, 15y y 3 1 y 1 0, y 2 0 y 3 0 Primaalin ratkaisuksi saadaan x 1 = 70, x 2 = 0 ja x 3 = 25, jolloin mehun määrä on 95 l. Duaalin ratkaisuksi saadaan y 1 = 1, y 2 = 0 ja y 3 = 0, 015, jolloin kohdefunktion arvo on 95 eli sama. Duaalimuuttujan arvo kuvaa sitä mehun määrän lisäystä, joka syntyy, kun vastaavaa rajoitusta löystetään eli vakiokerrointa kasvatetaan. Esim. y 1 :n arvo kuvaa kuinka paljon mehua saadaan lisää, jos hedelmämehutiivistettä on 1 litra enemmän. Tehtävä 3: Dualitehtävän muodostaminen Muodosta tehtävän duaali. Mitä erikoista dualitehtävässä on? Mikä on sen ratkaisu? Entä alkuperäisen tehtävän ratkaisu? min 2x 1 x 2 + 3x 3 + 5x 4 s.e. 2x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 5x 4 0 3x 1 x 2 + x 4 = 0 7x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 0 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 R Muodostetaan minimointitehtävän duaali. max 0y 1 + 0y 2 + 0y 3 s.e. 2y 1 + 3y 2 + 7y 3 2 2y 1 y 2 + 2y 3 1 6y 1 + 4y 3 3 5y 1 + y 2 + 2y 3 = 5 y 1 0, y 2 R, y 3 0 Koska duaalimuuttujien kertoimet duualin kohdefunktiossa ovat nollia, on kohdefunktion arvo aina 0. Näin ollen riittää löytää tehtävälle jokin käypä ratkaisu. Primaalin ratkaisuksi saadaan x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 ja x 4 = 0, jolloin kohdefunktion arvo on 0. 7
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotJälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun
Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotDemo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
Lisätiedot6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 12.3.2018 Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 297 4 2 4 163 3 454 6 179 2 136 2 169 2 390 4 3 436 7 5 Kuva 1: Tehtävän 1
LisätiedotDemo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
Lisätiedot8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
LisätiedotHarjoitus 1 (17.3.2015)
Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotTentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotDemo 1: Excelin Solver -liitännäinen
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotMalliratkaisut Demot 5,
Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön
LisätiedotKirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)
Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
LisätiedotOPERAATIOANALYYSI ORMS.1020
VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina 2000-2005 vuosi indeksi
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotLP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotDemo 1: Pareto-optimaalisuus
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 6 Ehtamo Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull
LisätiedotTEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS
1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan
LisätiedotLP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
LisätiedotOhjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön
Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön LINDOn tärkeimmät komennot ovat com (command), joka tuloaa käytettävissä olevat komennot ruudulle, ja help, jonka avulla saa tietoa eri komennoia. Vaaukset kursiivilla
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotTyövuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely)
Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Pekka Alli 1.12.2015 Ohjaaja: Tuuli Haahtela Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotOperatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotTrimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä
Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotLineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotKeskeiset tulokset heikko duaalisuus (duaaliaukko, 6.2.1) vahva duaalisuus (6.2.4) satulapisteominaisuus (6.2.5) yhteys KKT ehtoihin (6.2.
Duaalisuus Lagrangen duaalifunktio ja duaalitehtävä määrittely ja geometria max θ(u,v), missä θ(u,v)=inf x X ϕ(x,u,v) s.e u 0 Lagr. funktio ϕ(x,u,v)=f(x)+u T g(x)+v T h(x) Keskeiset tulokset heikko duaalisuus
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
Lisätiedot1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...
MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..
Lisätiedot4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 219 / orms.13 Talousmatematiikan perusteet 9. harjoitus, viikko 12 (18.3. 22.3.219) L Ma 1 12 A22 R5 Ti 14 16 F453 R1 Ma 12 14 F453 L To 8 1 A22 R2 Ma 16 18 F453 R6 Pe 12 14 F14 R3 Ti 8 1 F425 R7
LisätiedotLineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen
Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen
LisätiedotSimplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
LisätiedotHarjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel)
Harjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen ja ratkaiseminen
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotMonitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot