Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille
. Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial equaions. Memoirs, American Mahemaical ociey 4, 5 Io s lemma is he sochasic calculus counerpar of he chain rule in orinary calculus an is bes memorize using he Taylor series expansion an reaining he secon orer erm relae o he sochasic componen change. The lemma is wiely employe in mahemaical finance an is bes known applicaion is in he erivaion of he Black choles equaion use o value opions. (Wikipeia)
Oleeaan, eä muuuja x nouaaa seuraavaa Io -prosessia: x a( x, ) b( x, ) z, missä keroime a, b riippuva muuujasa x ja ajasa, ja z nouaaa Wiener -prosessia; a on prosessin rif -parameri b keskihajona. Oleeaan funkio (x,). Tällöin nouaaa seuraavaa prosessia: x a x b bz. x () Tää ulosa kusuaan Ion lemmaksi; sen varsin vaaiva oisus sivuueaan (oisuksen iea löyyy Hull n kirjasa s. 35-6).
. Black-choles -malli Opioien kohe-euuena olevan osakkeen hinnan oleeaan nouaavan geomerisa Brownin prosessia: z z. missä -prosessin rif -parameri on ja σ on keskihajona. Tällöin Ion lemman nojalla suure ln() (=()) nouaaa yleiseyä Wiener -prosessia: [ln( )] z, () missä σ / on prosessin rif -parameri. Toiseaan ämä seuraavasi.
Oleamalla () = ln() saaaan:,,. ijoiamalla nämä ulokse Ion lemmaan () muisaen, eä x =, a = ja b = σ, saaaan: ( ) z z. Tällöin ln( T ai oisin sanouna: ) ln( ) N[( / ) T, T ], ln( T ) N[ln( ) ( / ) T, T ].
Opioia hinnoielaessa piää huomaa, eä sekä oso- eä myyniopion hina riippuu kohe-euuen hinnasa ja ajasa. Merkiään opion hinaa f:llä. Tällöin f (, ) ja z. Tällöin Ion lemman mukaan opion hina f nouaaa seuraavaa sokasisa prosessia: f z, Yllä joheu ulos osoiaa, eä sama Wiener -prosessi z vaikuaa sekä osakkeen eä opion hinaan. Muooseaan ny oso-opiosa ja kohe-euuena olevasa osakkeesa riskiön porfolio aiempaan apaan seuraavasi:
Aseeaan opio arvolaan f ja oseaan / kpl osakkeia. Tällöin porfolion Π arvo on: f, Kun / vakio ja sijoiamme alla olevaan kaavaan eellä määrielly f:n ja :n prosessi, saamme: f. Koska yo. yhälössä ei ole mukana ermiä z, siinä ei ole epävarmuua. Porfolio Π on siis riskiön ja arbiraasimahollisuuen esäminen vaaii sen, eä porfolion uooase vasaa riskiönä korkoa. Näin saamme: r / r.
Kirjoiamalla auki eellisellä sivulla oleva kaava, saamme: r f. Tämä voiaan kirjoiaa muoossa: r rf. (4) Yhälö (4) unneaan Black-choles-Meron osiaisiffereniaaliyhälönä. en rakaisuna reunaehoilla c p max( max( X X,),,), kun kun saaaan Black-choles (B-) hinnoielumalli eurooppalaisille oso- ja myyniopioille oeuushinnalla X ja maurieeilla T. T, T,
Oso-opion (c) ja myyniopion (p) B- hinnoielukaava opioien alkuhekillä ova: c ln( ) / X ) Xe rt ( r T ), / ) T p, ln( / X ) / ) T missä N on normaalijakauman,) kerymäfunkio. Kaikki muu kaavojen muuuja unneaan paisi, joka on esimoiava. B- -mallin ymmäräminen vaaii sekä sokasisen prosessien eä osiaisiffereniaaliyhälöien ymmärämisä, joen on ymmärreävää, eä kyseisä mallinamisa ehään pääasiassa maemaaikkojen oimesa. Tällä kurssilla emme eellyä mallin maemaaisen muoon hallinaa, mua enissä voiaan kysyä esimerkiksi mallin yleisiä johamisperiaaeia ai muia malliin liiyviä asioia, joka eivä eellyä mallissa käyeävän maemaiikan hallinaa. Xe rt ) ( r T ),,
B- -mallin oimivuua voiaan esaa esimerkiksi oleamalla > X ja anamalla T ->, eli lähesymällä opioien oeuuspäivää. Tällöin ln( /X ) > ja, -> + jolloin ) = ) = ja - ) = - ) =, ja c X, p. Toisaala, jos < X jolloin ln( /X) <, ja anamalla T ->, eli lähesymällä opioien oeuuspäivää, ällöin:, -> jolloin ) = ) = ja - ) = - ) =, ja c, p X. Opioien oeuuspäivinä niien B- -mallin anama hinna vasaava siis opioien perusarvoja kuen piääkin.
Esimerkki. = $4, X = $4, r =, (/v), T =,5 (v), =, (/ v). Tällöin: ln(4/ 4) (,,,,5 / ),5,7693, ln(4/ 4) (,,,,5 / ),5,678, Xe rt 4e,7693),678),,5 38,49,,779,,7693),7349,,678),9,,65. Näillä ieoilla opioien hinnoiksi ulee: c 4,7693) 38,49,678) 4,76, p 38,49,678) 4,7693),8.