3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

Samankaltaiset tiedostot
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

4.3.7 Epäoleellinen integraali

Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

Kanta ja Kannan-vaihto

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Ominaisarvo ja ominaisvektori

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

5.6 Yhdistetty kuvaus

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Käänteiskuvauslause, implisiittikuvauslause ja Lagrangen menetelmä

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Insinöörimatematiikka D

3.3 Funktion raja-arvo

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Käänteismatriisi 1 / 14

Determinantti 1 / 30

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

x = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Täydellisyysaksiooman kertaus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

Matematiikan tukikurssi

Ominaisarvo ja ominaisvektori

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Funktioista. Esimerkki 1

Vektorianalyysi II MAT21020

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Vektorilaskenta, tentti

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

3. Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n. Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio. Se kuvaa

Avaruuden R n aliavaruus

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

Matematiikan tukikurssi

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

Transkriptio:

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1 (Käänteiskuvauslause). Olkoon D R m avoin, a D ja f C 1 (D; R m ) sellainen funktio, että sen Jacobin matriisin J f,a determinantti det(j f,a ) 0. Tällöin 1. löytyy sellaiset avoimet joukot U D ja V R n että a U, f(u) = V ja f : U V on injektio, 2. f 1 : V U on C 1 -funktio ja 3. J f 1,f(a)J f,a on identtinen matriisi. Huomautus 3.4.1. Lähtö- ja maaliavaruuden dimensiot ovat samat! Lause eroaa lineaarikuvausten vastaavasta tuloksesta vain joukkojen U ja V osalta, jotka voivat olla pieniä joukkoja. Funktio f 1 on määritelty vain kuvajoukon f(d) osajoukossa. Tämä motivoi seuraavaa määritelmää. Määritelmä 3.4.1. Olkoon D R m avoin, a D ja f : D R n. Funktio f on lokaalisti eli paikallisesti injektiivinen pisteessä a, jos löytyy sellainen avoin joukko U D, että a U ja f : U f(u) on injektio. Tällöin funktio f on lokaalisti eli paikallisesti kääntyvä pisteessä a ja sen lokaalia käänteiskuvausta merkitään f 1 : f(u) V.

Esimerkki 3.4.1. Olkoon f(x 1, x 2 ) = (e x 1 cos(x 2 ), e x 1 sin(x 2 )), missä x 1, x 2 R. Tutki, onko funktio f kääntyvä tai lokaalisti kääntyvä. Funktio f : R 2 R 2 ei ole injektio, sillä f(0, 0) = f(0, k2π) kaikilla kokonaisluvuilla k. Funktio f ei ole kääntyvä, koska se ei ole injektio. Funktion f Jacobin matriisi pisteessä (x 1, x 2 ) R 2 on [ ] e x 1 cos(x J f,(x1,x 2 ) = 2 ) e x 1 sin(x 2 ) e x 1 sin(x 2 ) e x 1 cos(x 2 ) ja det(j f,(x1,x 2 )) = e 2x 1 cos 2 (x 2 ) + e 2x 1 sin 2 (x 2 ) = e 2x1 0. Funktio f on lokaalisti kääntyvä jokaisessa pisteessa (x 1, x 2 ) R 2. Funktion f lokaalin käänteiskuvauksen derivaatan matriisiesitys luonnollisten kantojen suhteen on Lauseen 3.4.1 kohdan 3. nojalla J f 1,f(x 1,x 2 ) = J 1 f,(x 1,x 2 ) = 1 [ ] e x 1 cos(x 2 ) e x 1 sin(x 2 ) e 2x 1 e x 1 sin(x 2 ) e x 1 cos(x 2 ) Funktion f 1 : V U derivaatta voidaan määrätä, vaikka funktiota f 1 sekä joukkoja U ja V ei ole eksplisiittisesti määrätty!

Määritelmä 3.4.2. Olkoon m 1 ja F : D R m+1 R. Jos on olemassa sellainen funktio f : D R m R, että F (x 1,..., x m, f(x 1,..., x m )) = 0 kaikilla (x 1,..., x m ) D, niin yhtälö F (x 1,..., x m, x m+1 ) = 0 määrittelee funktion f implisiittisesti. Esimerkki 3.4.2. a) Olkoon F (x,, y) = x 2 + y 2 1 = 0, missä x, y R. Silloin funktio F määrittelee implisiittisesti esimerkiksi funktiot missä x [ 1, 1], sillä f ± (x) = ± 1 x 2, F (x, y) = F (x, f ± (x)) = x 2 + (f pm (x)) 2 1 = 0, x [ 1, 1]

b) Olkoon F (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + 2x 2 2 + x 2 3 1 kaikilla x 1, x 2, x 3 R. Silloin tasaarvojoukko {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : F (x 1, x 2, x 3 ) = 0} (3.4.1) on ellipsoidi ja yhtälö määrittelee implisiittisesti funktion kaikilla (x 1, x 2 ) D, missä F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 f(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 2x2 2, D = {(x 1, x 2 ) R 2 : 1 x 2 1 2x 2 2 0}, sillä joukossa D. F (x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) = x 2 1 + 2x 2 2 + f(x 1, x 2 ) 2 1 = 0

Palautetaan mieleen, että joukko S R m on C 1 -sileä pinta, jos löytyy sellainen C 1 -funktio F : D R m R, että F (x) 0 kaikilla x S ja S = {(x 1,..., x m ) R m : F (x 1,..., x m ) = C}. Kirjoittamalla pinnan määräävä funktio muodossa F (x 1,..., x m ) C = 0 (3.4.2) herää kysymys, määrääkö yhtälö (3.4.2) jonkin funktion implisiittisesti. Jos implisiittisesti määritelty funktio f on olemassa, niin pinta S voidaan ilmaista funktion f(x 1,..., x m 1 ) kuvaajan avulla, sillä pinnan pisteet ovat silloin muotoa (x 1,..., x m ) = (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )). Implisiittifunktiolause näyttää, että tämä on totta lokaalisti ( mahdollisen koordinaatiston muunnoksen jälkeen).

Lause 3.4.2 (Implisiittifunktiolause 2D tapauksessa). Olkoon D R 2 avoin, (a, b) D ja F = F (x, y) C 1 (D) sellainen funktio, että F (a, b) = 0 ja y (a, b) 0. Silloin löytyy sellaiset avoimet joukot U, V R, että 1. a U ja b V, 2. jokaisella x U löytyy yksikäsitteinen y =: f(x) V, jolla F (x, f(x)) = 0 ja 3. b = f(a) sekä funktio f : U V on C 1 - funktio, jonka derivaatta on kaikilla x U. f x (x) = y (x, f(x)) (x, f(x)) Esimerkki 3.4.3. Käytetään Implisittifunktiolausetta ns. implisiittiseen derivointiin 2Dtapauksessa. Olkoon F (x, y) = x 5 + y 5 + 5x 3 y kaikilla (x, y) R 2. Silloin F C 1 (R 2 ). Tarkastellaan pistettä x = 1. Olkoon y R sellainen 1, että F (1, y) = 0. Silloin 1 Tässä kohtaa kannattaa yleisemmässä tapauksessa ratkaista y y (1, y) = 5y4 + 5 > 0.

Implisiittifunktiolauseen nojalla löytyy sellainen pisteen 1 pieni ympäristö U ja sellainen f C 1 (U), että f(1) = b ja funktion f derivaatta pisteessä 1 on f x (1) = y (1, f(1)) + 15f(1) = 5 (1, f(1)) 5f(1) 4 + 5. Kun f(1) tunnetaan, niin myös derivaatta f (1) tunnetaan. Pyritään löytämään f(1) (tämän kannattaa tehdä usein ensimmäisenä) 0 = F (1, f(1)) = 1 + f(1) 5 + 5f(1), jonka likimääräinen ratkaisu on f(1) 1.997. Tällöin f (1) 0.3

Lause 3.4.3 (Implisiittifunktiolause m-ulotteisessa tapauksessa). Olkoon m 2, D R m avoin, a D ja F = F (x 1,..., x m ) C 1 (D) sellainen funktio, että F (a) = 0 ja x m (a) 0. Silloin löytyy sellaiset avoimet joukot U R m 1 ja V R, että 1. (a 1,... a m 1 ) U ja a m V, 2. jokaisella (x 1,..., x m 1 ) U löytyy yksikäsitteinen x m =: f(x 1,..., x m 1 ) V, jolla F (x 1,... x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) = 0 ja 3. a m = f(a 1,..., a m 1 ) sekä funktio f : U V on C 1 - funktio, jonka osittaisderivaatat ovat f x (x 1,..., x m 1 ) = i (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) x i x m (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) kaikilla (x 1,..., x m 1 ) U ja i = 1,..., m 1.

Esimerkki 3.4.4. Olkoon S R m on C 1 -sileä pinta. Silloin löytyy sellainen C 1 -funktio F : D R m R, että ja F (x) 0 kaikilla x S. Olkoon a = (a 1,..., a m ) S. S = {(x 1,..., x m ) R m : F (x 1,..., x m ) C = 0}. Mikäli x m (a) = 0, tehdään koordinaatiston vaihto numeroimalla koordinaattiakselit uudelleen siten, että osittaisderivaatta viimeisen koordinaatin suhteen ei häviä. Tämä on mahdollista, sillä F (a) 0, joten ainakin yksi sen komponenteista ei häviä. Implisiittifunktiolauseen nojalla on olemassa pisteen (a 1,..., a m 1 ) avoin ympäristö U R m 1 sekä funktio f(x 1,..., x m 1 ), joilla pisteet (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) S. C 1 -sileä pinta voidaan esittää kunkin pisteensä pienessä ympäristössä (mahdollisen lineaarisen koordinaatiston vaihdon jälkeen) jonkin C 1 - funktion kuvaajana

Lause 3.4.4 (Implisiittifunktiolause vektoriarvoisille funktioille). Olkoon D R m R n avoin ja a R m sekä b R n sellaisia, että (a, b) D. Olkoon F = F (x 1,..., x m, y 1,..., y n ) C 1 ( D; R n ) sellainen funktio, että F (a, b) = 0 ja matriisi i y j (a, b), missä i, j = 1,..., n, on kääntyvä. Silloin löytyy sellaiset avoimet joukot U R m ja V R n, että 1. a U, b V, 2. jokaisella x U löytyy yksikäsitteinen y =: f(x) V, jolle F (x, f(x)) = 0, 3. b = f(a) ja funktio f : U V on C 1 -funktio, jonka Jacobin matriisi pisteessä x U on n m-matriisi J f,x = (J) 1 n n( J) n m, missä i, j = 1,..., n ja k = 1,..., m. J ij = i y j (x, f(x)) ja J ik = i x k (x, f(x)),

Esimerkki 3.4.5. a) Olkoon { x + y + z = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 (3.4.3) Kolmea muuttujaa x, y ja z sitoo kaksi yhtälöä, jolloin formaalisti ainoastaan yksi muuttuja jää vapaaksi. Olkoon vapaa muuttuja x. Näytetään, että yhtälöryhmällä (3.4.3) on implisiittisesti määrätty ratkaisu y = y(x) ja z = z(x) pisteen x = 1 2 lähellä kun tiedetään, että piste ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) = ( 1 2, 1 4 (1 + 5), 1 4 (1 5) ) on yhtälöryhmän (3.4.3) eräs ratkaisu. Asetetaan F (x, y 1, y 2 ) = (x + y 1 + y 2 1, x 2 + y1 2 + y2 2 1) kaikilla x, y 1, y 2 R. Silloin F on C 1 -funktio ja [ ] 1 y 1 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) [ ] 1 y 2 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) 1 1 2 y 1 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) =, 2 y 2 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) 2ỹ 1 2ỹ 2 jonka determinantti on 2ỹ 2 2ỹ 1 = 5 2 0. Implisiittifunktiolauseen nojalla löytyy pisteen x = 1 2 pienessä ympäristössä yksikäsitteinen C 1 -funktio f, jolle pätee F (x, f(x)) = (0, 0). Siis yhtälöryhmän (3.4.3) implisiittinen ratkaisu pisteen x = 1 2 lähellä on (x, y, z) = (x, f(x)).

b) Yksi implisiittifunktiolauseen ja käänteiskuvauslauseen käyttökohteista on koordinaatistonmuunnokset, joita käytetään myöhemmin moniulotteisten integraalien muuttujienvaihdossa. Tarkastellaan havainnollistamisen nimissä yksinkertainen tapaus, jonka voi käsitellä myös suoraviivaisemmilla menetelmillä. Määritelllään paraboliset koordinaatit (y 1, y 2 ) vaatimalla, että euklidisen avaruuden piste (x 1, x 2 ) = (y 2 1 y 2 2, y 1 y 2 ). Tunnetaan siis kuvaus parabolisesta koordinaatistosta euklidiseen koordinaatistoon. Riittää tarkastella pisteitä (y 1, y 2 ) (0, 0), sillä koordinaattimuunnos (ja sen mahdollinen käänteismuunnos) kuvaa origon origoksi. Tällöin vektoriyhtälö F (x 1, x 2, y 1, y 2 ) = (y 2 1 y 2 2, y 1 y 2 ) (x 1, x 2 ) = (0, 0) määrää implisiittisesti koordinaattien lokaalin muunnoksen euklidisista koordinaateista parabolisiin koordinaatteihin f(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), sillä F on C 1 -funktio ja matriisin [ ] 1 y 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) 1 y 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) 2 y 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) 2 y 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) determinantti 2y 2 1 + 2y 2 2 > 0 kaikilla (y 1, y 2 ) R 2 \{(0, 0)}. = [ ] 2y1 2y 2 y 2 y 1

Todistuksia Lemma 3.4.1. (Väliarvolause) Olkoon D R m avoin, f : D R differentioituva ja pisteet a, b D sellaisia, että a+t(b a) D jokaisella t [0, 1]. Silloin löytyy sellainen piste c {a + t(b a) : t (0, 1)}, että f(b) f(a) = f(c) (b a) Todistus. Merkitään g(t) = f(a + t(b a)). Silloin g(1) = f(b) ja g(0) = f(a). Tällöin reaalifunktioiden väliarvolauseen ja ketjusäännön nojalla on olemassa sellainen t 0 (0, 1), että g(1) g(0) = g (t 0 )(1 0) = f(a + t 0 (b a)) Merkitään c = a + t 0 (b a). d(a + t(b a)). dt