3. Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n. Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio. Se kuvaa

Transkriptio

1 3 Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio Se kuvaa A:n pisteet x = (x,, x n ) A (x,, x n R) reaaliluvuiksi f(x) ja koko A:n R:n osajoukoksi f(a) R Tapauksissa n = tai n = 3 käytetään myös vaihtoehtoista merkintää r = (x, y) = xī + y j (ī = (, 0), j = (0, )) tai r = (x, y, z) = xī + y j + z k (ī = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, )) merkintöjen x = (x, x ) ja x = (x, x, x 3 ) sijaan Kertaan aluksi lineaarialgebran määritelmiä ja etäisyyteen liittyviä käsitteitä ja tuloksia: Jos x = (x,, x n ) R n, y = (y,, y n ) R n ja a R, niin (3) x + y = (x + y,, x n + y n ), summa x y = x y + + x n y n, pistetulo x = x x = x + + x n, normi ax = (ax,, ax n ), luvun ja vektorin tulo d(x, y) = x y = (x y ) + + (x n y n ), etäisyys B r (x) = {y R n d(x, y) < r}, r-säteinen, x-keskinen, n-ulotteinen avoin kuula B r (x) = B r(x) = B r (x) \ {x}, punkteerattu n-kuula 3 Lause (i) x y x y x, y R n (Schwarz) (ii) ax = a x (a R, x R n ) (iii) x + y = x + y, Kolmioepäyhtälö R n :ssä (iv) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), Kolmioepäyhtälö R n :ssä (v) Tasossa R (x, y) = x + y ja R 3 :ssa (x, y, z) = x + y + z Joukko A R n on avoin, jos (33) x A r > 0 se B r (x) A, ts jos jokainen A:n piste on sisäpiste määritelmän 6 mielessä Jos R n \A on avoin, A on suljettu Pätee: A suljettu A A (eli A sisältää reunapisteidensä joukon A, ks 6) 34 Esimerkki (i) Kolmioepäyhtälöstä seuraa, että avoin kuula B r (x) (x R n, r > 0) on avoin ja suljettu kuula on suljettu joukko B r (x) = {y R n d(x, y) r} 67

2 (ii) y reuna A A Jos kuvan joukon A reunakäyrä A A, A on suljettu Jos A R \ A, A on avoin Muuten A ei ole avoin eikä suljettu x Useamman muuttujan funktion raja-arvo ja jatkuvuus Perusidea: Lausekkeilla määritellyistä funktioista tulee jatkuvia muualla kuin mahdollisissa ongelmakohdissa (joita ovat esimerkiksi nimittäjän nollakohdat, negatiiviset argumentit neliöjuuren alla ja logaritmeissa jne) 35 Määritelmä Olkoon A R n, f : A R funktio ja x 0 A Funktio f on jatkuva pisteessä x 0, jos Toinen muotoilu: ɛ > 0 δ > 0 se f(b δ (x 0 ) A) ]f(x 0 ) ɛ, f(x 0 ) + ɛ[ f jatkuva x 0 :ssa ɛ > 0 δ > 0 se x A pätee ehto ( ) d(x, x 0 ) = x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ Jos f on jatkuva x 0 :ssa x 0 A, sanomme, että f on jatkuva (määrittelyjoukossaan A) 36 Huomautus (i) Jos x 0 A on eristetty piste eli jos on olemassa δ > 0 se B δ (x 0 ) A = {x 0 }, jokainen f : A R on jatkuva x 0 :ssa, sillä ehto ( ) pätee tällä δ:n arvolla (ja pienemmillä) triviaalisti (ii) Muissa kuin eristetyissä A:n pisteissä x 0 jatkuvuusehto voidaan pukea yhden muuttujan teoriasta tuttuun muotoon raja-arvo on arvo : f jatkuva x 0 :ssa lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Tätä varten joudumme tutkimaan f:n raja-arvoa x 0 :ssa joukossa A ja havaitsemme hyödylliseksi tutkia raja-arvoa x 0 :ssa pitkin joukkoa B A, kun pistettä x 0 voidaan lähestyä pitkin B:tä 68

3 37 Esimerkki Tutkitaan funktiota f(x, y) = xy kun (x, y) (0, 0) pitkin x + y kx suoraa y = kx (k R) Tällöin f(x, y) = f(x, kx) = x + k x = k on vakio, + k joten sen raja-arvona on sama k:sta riippuva vakio Koska nämä raja-arvot eroavat toisistaan, on syytä olettaa, ettei f:llä ole minkään järkevän määritelmän mielessä raja-arvoa f(x, y) ja arvoa f(0, 0) ei voi määritellä niin, että f:stä tulisi lim (x,y) (0,0) myös origossa jatkuva 38 Määritelmä (i) Piste x 0 R n on joukon A R n kasaantumispiste, jos x 0 :n jokaisessa ympäristössä on A:n x 0 :sta eroavia pisteitä: ɛ > 0 : B ɛ(x 0 ) A (ii) Olkoon B A R n ja olkoon x 0 B:n kasaantumispiste sekä f : A R funktio (Tällöin x 0 on myös A:n kasaantumispiste ja pistettä x 0 voidaan lähestyä pitkin joukkoja B ja A) Sanomme, että funktiolla f on pisteessä x 0 raja-arvo a R pitkin joukkoa B ja merkitsemme lim f(x) = a, x x 0, x B jos ɛ > 0 δ > 0 se 0 < x x 0 < δ ja x B f(x) a < ɛ Toinen muotoilu: lim f(x) = a ɛ > 0 δ > 0 se x x 0, x B f(b δ(x 0 ) B) ]a ɛ, a + ɛ[ Tapauksessa B = A (f:n määrittelyjoukko) merkitään lyhyemmin lim f(x) = lim f(x) x x 0, x A x x 0 39 Lause Jos lim f(x) = a ja C B A (x 0 x x 0, x B f : A R), niin myös lim x x 0, x C sama raja-arvo kuin isompaa joukkoa pitkin] C:n kasautumispiste, f(x) = a [Ts pienempää joukkoa pitkin tulee Todistus Olkoon ɛ > 0 Oletuksesta lim f(x) = a seuraa, että on olemassa x x 0, x B δ > 0 se f(b δ (x 0) B) ]a ɛ, a + ɛ[ Tällöin f(b δ (x 0) C) f(b δ (x 0) B) ]a ɛ, a + ɛ[ ja väite seuraa 69

4 30 Lause Jos raja-arvo lim f(x) on olemassa, se on yksikäsitteinen x x 0, x B Todistus Kuten yhden muuttujan teoriassa 3 Seuraus Jos B A ja C A ja x 0 on B:n ja C:n kasaantumispiste ja f : A R toteuttaa lim f(x) lim f(x), x x 0, x B x x 0, x C niin raja-arvoa lim x x 0 f(x) ei ole olemassa Todistus Lauseet 39 ja 30 Jos siis kahta pienempää joukkoa pitkin tulee eri raja-arvot, f:llä ei ole rajaarvoa xy 3 Esimerkki (i) Koska lim (x,y) (0,0),y=kx x + y = k esimerkin 37 nojalla, + k xy seuraa 3:stä, että lim (x,y) (0,0) x + y antavat 3:n joukoiksi B ja C kaksi eri suoraa y = kx) (valitsemalla kaksi eri k:n arvoa, jotka (ii) Jos f(x, y) = xy x + y, niin joukossa B 4 k = {(x, y) y = kx, x 0} f:llä on kaikilla k R raja-arvo 0 origossa, sillä y = kx xy x + y 4 = x k x x + k 4 x 4 = k x + k 4 x x 0 0 (ja B k:ssa (x, y) 0 x 0) Siitä huolimatta lim (x,y) (0,0) f(x, y)! Perustelu: Käyrää x = y pitkin raja-arvoksi tuleekin 0, sillä Nytkin 3 x = y xy x + y 4 = lim (x,y) (0,0) f(x, y) y4 y 4 + y 4 = y 0 Positiivinen raja-arvotulos todistetaan arvioimalla f:n ja väitetyn raja-arvon erotuksen itseisarvoa sopivalla tavalla x y 33 Esimerkki (i) Väite: lim (x,y) (0,0) x + y = 0 Todistus: x y x + y 0 (x + y )y = y x + y [joten tässä x y x + y 0 < ɛ, kun 0 < (x, y)) = x + y < ɛ = δ, jolloin y x + y < ɛ] Johtopäätökseen riittää siis se havainto, että saatu yläraja y 0, kun (x, y) (0, 0) 70

5 (ii) Todistetaan kohdan (i) väite myös napakoordinaattien avulla x y x + y 0 = r 4 sin ϕ cos ϕ r = r sin ϕ cos ϕ r = x + y = (x, y) 0, (x,y) (0,0) x y joten lim = 0 Tässä on arvioissa päästävä eroon ϕ:stä ja se käy (x,y) (0,0) x + y havaitsemalla, että sin ϕ cos ϕ (iii) Projektiokuvauksilla pr i : R n R, pr i (x) = x i x = (x,, x n ) R n (i {,, n}), raja-arvo on arvo: Jos y = (y,, y n ) R n, niin ( Väite: lim pr i (x) = y i = pri (y) ) x y Todistus: Jos ɛ > 0 ja x = (x,, x n ) R n, niin arvion 0 x i y i (x y ) + + (x i y i ) + + (x n y n ) = x y nojalla saadaan valitsemalla δ = ɛ, että x y < δ = ɛ x i y i = pr i (x) pr i (y) < ɛ Äsken saadun tuloksen voi myös muotoilla seuraavasti: projektiokuvaukset pr i : R n R (i =,, n) ovat jatkuvia : 34 Lause Funktio f : A R (A R n ) on jatkuva joukon A kasaantumispisteessä x 0 A, jos ja vain jos f:n raja-arvo x 0 :ssa on f:n arvo Siis f jatkuva x 0 :ssa lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 (vrt 36(ii)) Todistus Suora seuraus määritelmistä 35 ja 38 Myös useamman muuttujan teoriassa pätevät tutut raja-arvojen laskusäännöt: 35 Lause Olkoot f : A R ja g : A R (A R n ) funktioita, x 0 R n osajoukon B A kasaantumispiste ja lim f(x) = a, lim x x 0,x B g(x) = b, x x 0,x B (a, b R) 7

6 Tällöin (i) (ii) (iii) (iv) ( ) lim f(x) ± g(x) = a ± b, x x 0,x B lim cf(x) = ca c R, x x 0,x B ( ) f(x)g(x) = ab, ja lim x x 0,x B f(x) lim x x 0,x B g(x) = a b, kun b 0 Todistus Sivuutetaan (ei eroa paljonkaan vastaavan yhden muuttujan tuloksen todistuksesta) 36 Seuraus Jatkuvien funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat jatkuvia (osamäärän tapauksessa ei kuitenkaan nimittäjän nollakohdissa) Todistus Lauseet 35 ja Huomautus Lauseen 35 voi laajentaa koskemaan myös raja-arvoja ± (määrittele nämä käsitteet!), kunhan lasketaan syksyn kurssista tutuilla sallituilla muodoilla 38 Esimerkki Koska lim x = (33(ii)) ja lim (x,y) (,0) (x,y) (,0) y = ( sillä > M (> 0), kun y < eli esimerkiksi ystössä B y ((, 0)) ), saamme, että M M lim (x,y) (,0) (x + y ) = + = Vektoriarvoisen funktion f : A R p (A R n ) raja-arvo ja jatkuvuus voidaan määritellä suoraan tai palauttaa ne f:n komponenttifunktioiden (39) f i = pr i f : A R (i =,, p) vastaaviin käsitteisiin (pr i ks 33(iii)) Esimerkiksi jatkuvuuden määritelmät ovat (i) f : A R p jatkuva pisteessä x 0 A ɛ > 0 δ > 0 se x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ (vasemman puolen normi R n :ssä oikeanpuoleinen R p :ssä) ja toisella tavalla (ii) f : A R p jatkuva pisteessä x 0 A f i = pr i f jatkuva x 0 :ssa i {,, p} Lopputulos on sama ja tämän todistus ei ole vaikeaa 7

7 30 Esimerkki Olkoon f : R R 3, f(x, y) = (x, xy, x + y) Tällöin f (x, y) = x, f (x, y) = xy ja f 3 (x, y) = x + y ovat jatkuvia (35) Siis lauseen 33(iii) nojalla f = (f, f, f 3 ) on jatkuva (koska sen komponenttifunktiot f i = pr i f : R R ovat jatkuvia) Jatkuvien kuvausten yhdistetty kuvaus on aina jatkuva 3 Lause Olkoot A R n, B R p sekä f : A R p, g : B R m jatkuvia Jos f(a) B, niin yhdistetty kuvaus g f : A R m on jatkuva Kuva f g A B R m g f Todistus Olkoon ɛ > 0, x 0 A Koska g on jatkuva f(x 0 ):ssa on olemassa δ > 0 se ( ) y f(x 0 ) < δ ja y B g(y) g(f(x 0 ) < ɛ Koska f on jatkuva x 0 :ssa on olemassa δ > 0 se jos x A, niin ( ) x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < δ Valitsemalla δ = δ saadaan nyt x A ja x x 0 < δ ( ) f(x) f(x 0 ) < δ }{{} B ( ) g(f(x)) g(f(x 0 )) < ɛ eli (g f)(x) (g f)(x 0 ) < ɛ Kuten yhden muuttujan funktioiden teoriassa, nämä lauseet takaavat sen, että lausekkeilla määritellyt funktiot ovat jatkuvia muualla kuin lausekkeiden muodostamiseen liittyvissä ongelmakohdissa 3 Esimerkki i) Rationaalifunktiot ovat jatkuvia muualla kuin nimittäjän nollakohdissa Esimerkiksi rationaalifunktio f(x, y, z) = xy + x + z (x ) yz on x:n y:n ja z:n polynomien P (x, y, z) = xy + x + z (aste ) ja Q(x, y, z) = (x ) yz = x yz xyz + yz (aste 4) 73

8 osamäärä f = P Q Se on määritelty ja jatkuva R3 :n osajoukossa A = {(x, y, z) Q(x, y, z) 0} = {(x, y, z) x, y 0, z 0} ii) Funktio f(x, y) = sin(xy) + x on jatkuva määrittelyjoukossaan A = {(x, y) sin(xy) + x 0} R Perustelu: Esimerkin 33 (iii) nojalla (x, y) x ja (x, y) y ovat jatkuvia kaikkialla (joten niiden rajoittumat A:han ovat myös jatkuvia (lauseet 39 ja 34)), siten seurauksen 36 nojalla (x, y) xy on jatkuva A:ssa ja edelleen lauseesta 3 seuraa, että (x, y) sin(xy) on jatkuva A:ssa (sillä sin : R R on jatkuva) Koska (x, y) x on jatkuva [ 3 : (x, y) pr x itseis x on jatkuvien kuvausten arvo yhdiste ], niin lauseesta 35 seuraa, että (x, y) sin(xy) + x on jatkuva A:ssa Koska se on A:ssa 0 ja koska neliöjuuri [0, [ [0, [ on jatkuva, niin lauseen 3 nojalla f on jatkuva A:ssa Myös useamman muuttujan funktioiden yhteydessä voidaan tietysti tarkastella erilaisia lukujonoja tai vektorijonoja ja niiden raja-arvoja ( (( 33 Esimerkki Määritä lim n n, ln + π ) n )) n n Ratkaisu Koska n = ( n n, koska + π ) n e π, ja koska funktiot n n n x x ja x ln x ovat jatkuvia pisteissä ja e π on (( lim ( n n, ln + π ) n )) = (, ln(e π ) ) = (, π) n n Osittaisderivaatat ja gradientit, differentioituvuus Olkoon x 0 = (a,, a n ) A joukon A R n sisäpiste ja olkoon f : A R funktio Yhden muuttujan funktiot g i (t) = f(a,, a i, t, a i+,, a n ) (i =,, n) ovat tällöin määritellyt pienillä a i -keskisillä väleillä (sillä x 0 oli A:n sisäpiste) ja riippuvat vain f:n arvoista x 0 :n kautta kulkevalla x i -akselin suuntaisella suoralla Jos g i on derivoituva pisteessä t = a i, niin sen derivaatta (34) g i (a i) = lim h 0 g i (a i + h) g i (a i ) h on f:n osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä x 0 Merkintöjä: (35) g i(a i ) = D i f(x 0 ) = f x i (x 0 ) = D xi f(x 0 ) = f xi (x 0 ) 74

9 Jos A on avoin (ts jokainen x 0 A on sisäpiste) ja f:llä on jokaisessa x 0 A kaikki osittaisderivaatat D i f(x 0 ) (i =,, n), f on derivoituva A:ssa Osittaisderivaatoista koottu n-vektori (36) grad f(x 0 ) = f(x 0 ) = (D f(x 0 ),, D n f(x 0 )) on f:n gradientti(vektori) x 0 :ssa Se on määritelty vain kun f on derivoituva x 0 :ssa (ts D i f(x 0 ) i) 37 Huomautus (i) Gradientin määritelmässä esiintyvä symboli ( nabla ) on derivaattaoperaattori = (D,, D n ), jonka ajatellaan operoivan reaalifunktioon f seuraavasti: f = (D,, D n )f = (D f,, D n f) Näemme myöhemmin, että gradientti on jonkinlainen yhden muuttujan funktioiden derivaatan vastine: Funktio f esimerkiksi kasvaa x 0 :ssa nopeimmin gradienttivektorinsa f(x 0 ) suuntaan (ii) Osittaiderivaattojen käytännön laskeminen sujuu peruskurssista tutuilla derivoimissäännöillä, sillä kyseessä on yhden muuttujan funktioiden g i (t) tavallinen derivointi; muut kuin i:s muuttuja x i ajatellaan vakioiksi ja derivoidaan x i :n suhteen (iii) Vektoriarvoisen funktion f : A R p (A R n ) derivointi palautetaan koordinaattifunktioiden f j = pr j f (j =,, p) derivointiin kaavalla D i f(x 0 ) = (D i f (x 0 ),, D i f p (x 0 )) (i =,, n), missä x 0 on A:n sisäpiste 38 Esimerkki i) f(x, x, x 3, x 4 ) = x e x x 3 + x 3 x 4 Tällöin D f(x) = e x x 3, D f(x) = x x 3 e x x 3, D 3 f(x) = x x e x x 3 + x 3 x 4 ja D 4 f(x) = x 3 x = (x, x, x 3, x 4 ) R 4 ii) f(x, y) = x +sin(x+ln y) Tällöin f on määritelty joukossa A = {(x, y) y > 0} y ja tämä joukko A on avoin R :ssa Nyt D f(x, y) = + cos(x + ln y) y ja D f(x, y) = x cos(x + ln y) + y3 y joten esimerkiksi pisteessä (0, ) A on (x, y) A, grad f(0, ) = f(0, ) = (D f(0, ), D f(0, )) = ( ) 0 cos(0 + ln ) = + cos(0 + ln ), + = (, ) 3 75

10 Pisteessä (0, ) tämä funktio f kasvaa siis nopeimmin vektorin f(0, ) = (, ) = ī + j suuntaan iii) Vektorifunktion f : R 3 R, f(x, y, z) = ( f (x, y, z), f (x, y, z) ) = (x 3 y 4, x + y + z ) osittaisderivaattafunktiot ovat D f(x, y, z) = ( D x (x 3 y 4 ), D x (x + y + z ) ) = (3x y 4, x), D f(x, y, z) = ( D y (x 3 y 4 ), D y (x + y + z ) ) = (4x 3 y 3, y), D 3 f(x, y, z) = ( D z (x 3 y 4 ), D z (x + y + z ) ) = (0, z) Jos funktion f : A R osittaisderivaatta D i f on olemassa eräissä A:n sisäpisteissä x 0, saadaan vastaava osittaisderivaattafunktio D i f : B R, missä B = {x 0 A x 0 on A:n sisäpiste ja D i f(x 0 )} Näillä voi edelleen olla korkeampia osittaisderivaattoja D j (D i f) = D ij f Jos A R n on avoin merkitään C 0 (A) = {f f : A R jatkuva} (39) C (A) = {f f : A R jatkuvasti derivoituva, ts D i f : A R jatkuva i {,, n}} C (A) = {f D j f C (A) j {,, n}} = = {f f kahdesti jatkuvasti derivoituva} jne Saadaan jono sisäkkäisiä A:ssa määriteltyjen reaalifunktioiden avaruuksia C 0 (A) C (A) C (A) ja näiden leikkauksena (330) C (A) = {f f:llä on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat} 76

11 33 Huomautus Koska osittaisderivaatat D i f(x 0 ) riippuvat vain f:n arvoista x 0 :n kautta kulkevilla koordinaattiakseleiden suuntaisilla suorilla, on selvää, ettei pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo kerro mitään funktiosta f näiden suorien ulkopuolella Esimerkki { 0, x = 0 tai y = 0 f(x, y) =, x 0 ja y 0 näyttää, ettei f:n edes tarvitse olla jatkuva pisteessä, jossa se on derivoituva Tässä näet D f(0, 0) = D f(0, 0) = 0, mutta f ei ole jatkuva origossa Kohdassa 39 määritelty jatkuva derivoituvuus x 0 :ssa, ts osittaisderivaattafunktioiden olemassaolo ja jatkuvuus pisteessä x 0 A, sen sijaan kertoo jo paljon f:stä Jatkuvien ja jatkuvasti derivoituvien funktioiden väliin mahtuvat vielä ns differentioituvat funktiot, joita kohta käsitellään 33 Esimerkki Jos f : R n R on polynomi, niin f C (R n ) ja riittävän korkeat f:n osittaisderivaatat ovat nollia Jos esimerkiksi f : R 3 R on polynomi niin osittaisderivaatat f(x, y, z) = xy + xyz + z x, D f = y + yz + z, D f = xy + xz, ja D 3 f = xy + xz ovat jatkuvia, joten f C (R 3 ) Edelleen toisen kertaluvun osittaisderivaatat D (D f) = D f = 0, D (D f) = D f = y + z, D 3 (D f) = D 3 f = y + z, D (D f) = D f = y + z, D f = x, D 3 f = x, D 3 f = y + z, D 3 f = x, D 33 f = x ovat jatkuvia, joten f C (R 3 ) Toisen kertaluvun osittaisderivaatoista D ij f ja D ji f havaitaan tässä esimerkissä, että ne aina yhtyvät Jatkuvasti derivoituville funktioille tämä seuraa ns derivoimisjärjestyksen vaihtosäännöstä: 333 Lause Jos A R n on avoin ja f C k (A) on A:ssa k-kertaa jatkuvasti derivoituva (k N, k ), niin f:n osittaisderivaatat kertalukuun k asti riippuvat ainoastaan siitä, montako kertaa kunkin muuttujan suhteen on derivoitu, eivät siis derivoimisjärjestyksestä Todistus Sivuutetaan liian työläänä Toisen kertaluvun osittaiderivaatoista voidaan muodostaa ns Hessen matriisi, jolla on käyttöä mm ääriarvojen teoriassa: 77

12 334 Määritelmä Olkoon A R n, x 0 A:n sisäpiste ja f : A R kahdesti derivoituva x 0 :ssa Matriisi H f (x 0 ) = H(x 0 ) = D f(x 0 ) D f(x 0 ) D n f(x 0 ) D n f(x 0 ) D n f(x 0 ) D nn f(x 0 ) ( ts [H(x0 )] ij = D ij f(x 0 ) i, j {,, n} ) on f:n Hessen matriisi pisteessä x 0 ja sen determinantti det H(x 0 ) R on f:n Hessen determinantti x 0 :ssa Jos A on avoin ja f C (A), f:n Hessen matriisi H f (x 0 ) on symmetrinen x 0 A lauseen 333 nojalla 335 Esimerkki (i) Jos f(x, y) on kahden muuttujan x ja y neliömuoto f(x, y) = ax + bxy + cy [ ] [ ] ( ) ( a b x = [ x y ] matriisikielellä ), b c y niin D f(x, y) = ax + by, D f(x, y) = bx + cy, D f = a, D f = b = D f, D f = c, joten f:n gradientti on matriisikielellä ilmaistuna [ ] [ ] [ ] a b x x f(x, y) = = A b c y y ja f:n Hessen matriisi on vakiomatriisi [ ] a b H f = = A, b c [ ] a b missä A = on neliömuodon f määrittelevä symmetrinen matriisi (ks ( )) b c (ii) Vastaava pätee samanlaisella laskulla n:n muuttujan neliömuodolle f(x,, x n ) = [ x x n ] A x x n 78

13 ( A on se symmetrinen n n-matriisi, jonka (i, i)-alkiot ovat neliömuodon f termien x i kertoimet ja (i, j) ja (j, i)-alkiot ovat puolet termin x ix j kertoimesta, kun i j ja samanmuotoiset termit x i x j ja x j x i on yhdistetty): f(x) = A x x n ja H f = A Yhden muuttujan funktioiden teoriasta tuttu differentiaalikehitelmä on tärkeä myös useamman muuttujan funktioille 336 Määritelmä Olkoon A R n, f : A R funktio ja x 0 A:n sisäpiste Funktio f on differentioituva x 0 :ssa, jos sillä on x 0 :n ympäristössä ns differentiaalikehitelmä eli jos f:n muutos f(x 0 + h) f(x 0 ) voidaan esittää muodossa (337) f(x 0 +h) f(x 0 ) = a h+ h ɛ(h) = a h + +a n h n + h + + h n ɛ(h), missä a R n on vakiovektori ja ɛ(h) 0, kun h 0 Jos A on avoin ja f on differentioituva x 0 :ssa kaikilla x 0 A, niin f on differentioituva (joukossa A) Kehitelmässä (337) merkitään usein h i = dx i (x:n muutos) ja lukuja a i h i = a i dx i kutsutaan f:n osittaisdifferentiaaleiksi x 0 :ssa sekä lukua a h = a dx + + a n dx n f:n kokonaisdifferentiaaliksi pisteessä x 0 On oltava a = f(x 0 ): 338 Lause Olkoon f differentioituva x 0 :ssa kuten (337):ssä Tällöin f on jatkuva x 0 :ssa ja derivoituva x 0 :ssa Lisäksi kehitelmä (337) on muotoa f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 ) h + h ɛ(h), ts a = f(x 0 ) ja a i = D i f(x 0 ) i {,, n} Todistus Koska f(x 0 + h) f(x 0 ) = a h + h ɛ(h) a h + h ɛ(h) 3(i) a h + h ɛ(h) = h ( a + ɛ(h)) 0, h 0 niin f on jatkuva x 0 :ssa Sen osoittaminen, että D i f(x 0 ) = a i jätetään harjoitustehtäväksi lukijalle (Vihje: Valitse h = (0,, 0, h i, 0,, 0) ja käytä erotusosamäärää) Pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo ei takaa differentioituvuutta (ks huomautus 33 ja lause 338), mutta jatkuva derivoituvuus takaa sen: 79

14 339 Lause Jos f : A R n (A R n ) on jatkuvasti derivoituva A:n sisäpisteessä x 0, f on differentioituva x 0 :ssa Todistus Sivuutetaan Käsitteiden jatkuva, derivoituva, jatkuvasti derivoituva ja differentioituva välillä on siis seuraavat implikaatiot: JATKUVASTI DERIVOITUVA DIFFERENTIOITUVA = JATKUVA DERIVOITUVA Huomautus Mitään yllä olevista implikaatioista ei voi yleisesti kääntää Huomautus Differentiaalikehitelmässä (337) a = f(x 0 ) esiintyy samassa roolissa kuin f (x 0 ) yhden muuttujan funktioille Tämän mukaisesti käytetäänkin joskus gradientille myös merkintää f(x 0 ) = grad f(x 0 ) = f (x 0 ) Differentioituvalla funktiolla f : A R (A R n ) on suunnatut derivaatat f(x 0 + tā ) f(x 0 ) (340) Dāf(x 0 ) = lim, ā = ā t 0 t ā myös muihin suuntiin ā 0 kuin koordinaattiakselien suuntiin ā = e i = (0,, 0, i:s, 0,, 0) (joihin ne ovat osittaisderivaatat D i f(x 0 )): 34 Lause Jos A R n ja f : A R on differentioituva A:n sisäpisteessä x 0, niin Dāf(x 0 ) = f(x 0 ) ā = f(x 0 ) ā ā Todistus Valitaan differentiaalikehitelmässä (337) muutosvektoriksi h ā:n suuntainen vektori h = tā : f(x 0 + tā ) f(x 0 ) = f(x 0 ) (tā ) + t ɛ(tā ) f(x 0 + tā ) f(x 0 ) t = f(x 0 ) ā + t t }{{} ± ɛ(tā ) t 0 f(x 0 ) ā Suunnattu derivaatta Dāf(x 0 ) kuvaa f:n muutosnopeutta siirryttäessä x 0 :sta suuntaan ā Schwarzin epäyhtälön 3(i) avulla maksimaalinen kasvunopeus tulee gradientin suuntaan ja maksimaalinen vähenemisnopeus vastakkaiseen suuntaan f(x 0 ): 80

15 34 Seuraus Olkoon f differentioituva pisteessä x 0 Tällöin suunnattu derivaatta Dāf(x 0 ) on suurin = f(x 0 ) ā f(x 0 ) pienin = f(x 0 ) ā f(x 0 ) Lisäksi suunnattu derivaatta on 0 gradienttia vastaan kohtisuoriin suuntiin Seurauksen 34 viimeisen toteamuksen sisältö voidaan ilmaista sanonnalla Funktion muutosnopeus gradienttia vastaan kohtisuoriin suuntiin on nolla Geometrisesti f(x 0 ) on pisteessä x 0 A kohtisuorassa (n )-ulotteista R n :n tasaarvopintaa f(x) = f(x 0 ) vastaan, kun f on differentioituva ja f(x 0 ) 0 Tapauksessa n = kyseinen tasa-arvopinta on käyrä f(x, y) = f(x 0, y 0 ) pienessä (x 0, y 0 ):n ympäristössä, tapauksessa n = 3 se on pinta f(x, y, z) = f(x 0, y 0, z 0 ) pienessä (x 0, y 0, z 0 ):n ympäristössä Tämän pinnan pisteeseen (x 0, y 0, z 0 ) = r 0 piirretyn tangenttitason yhtälö on siis (343) { f(x0, y 0, z 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 eli D f( r 0 )(x x 0 ) + D f( r 0 )(y y 0 ) + D 3 f( r 0 )(z z 0 ) = Esimerkki Harjoitellaan esitettyjä käsitteitä tarkastelemalla vaikkapa funktiota f : R 3 R, f(x, y, z) = x + 3y + 4z (aina 0), jonka tasa-arvojoukko { r f( r) = c} on i), jos c < 0, ii) { 0}, jos c = 0 (f( r 0 ) = 0 r 0 = 0) HUOM! tapauksissa i) ja ii) kyseessä ei ole pinta iii) ellipsoidi, jos c > 0 (c = f( r 0 ) > 0 f( r 0 ) 0 ja tulee pinta) Selvästi D f = 4x, D f = 6y ja D 3 f = 8z ovat jatkuvia, joten f on jatkuvasti derivoituva (f C (R 3 ), jopa f C (R 3 )) ja siten myös differentioituva Esim pisteeseen r 0 = (,, ) kuuluva f:n gradientti on f(,, ) = (4, 6, 8) ja differentiaalikehitelmä f( + h, + h, + h 3 ) f(,, ) = ( ) = f(,, ) (h, h, h 3 ) + h + h + h 3 ɛ(h) = = 4h + 6h 8h 3 + h ɛ(h) Tässä funktion ɛ(h) voisi ratkaistakin yhtälöstä ( ), mutta tiedämme myös muuten, että lim ɛ(h) = 0 Toisella (perinteisellä) tavalla kirjoitettuna f:n kokonaisdifferentiaali pisteessä r 0 = (,, ) on 4dx + 6dy 8dz, osittaisdifferentiaaliensa h 0 summa Kokonaisdifferentiaali df on pienillä muutosvektoreilla (dx, dy, dz) = (h, h, h 3 ) = h hyvä approksimaatio f:n muutokselle f = f( r 0 + h) f( r 0 ) f df = 4dx + 6dy 8dz 8

16 Pisteeseen r 0 liittyy f:n tasa-arvopinta f( r) = f( r 0 ) x + 3y + 4z = 9 x ( ) + 3 y ( 3 ) + z ( 3 ) = 3 (origokeskinen ellipsoidi, puoliakselit ī, 3 3 j, k) Tämän pinnan pisteeseen r 0 = (,, ) piirretty tangenttitaso on siis kohtisuorassa vektoria f( r 0 ) = (4, 6, 8) vastaan ja sen yhtälö on f( r 0 ) (x, y, z + ) = 0 4x + 6y 8z = 0 x + 3y 4z = 9 (ellipsoidin tangenttitaso pisteessä (,, ) Pisteessä (,, ) funktio f siis pysyy likimain muuttumattomana tämän tangenttitason vektorien suuntaan, kasvaa nopeimmin suuntaan f(,, ) = (4, 6, 8) ja vähenee nopeimmin suuntaan ( 4, 6, 8) Esimerkiksi suuntaan 3ī+4 j = (3, 4, 0) = ā f:n suunnattu derivaatta (,, ):ssä on D (3,4,0) f(,, ) = f(,, ) (3, 4, 0) = = (4, 6, 8) ( 3 5, 4 5, 0) = = 36 5 = 7 5 ja tämä on pienempi kuin maksimaalinen suunnattu derivaatta f(,, ) = ( 8) = 6 Vektorifunktion f : A R p (A R n ) differentioituvuus ja differentiaalit määritellään koordinaateittain: f on differentioituva f i = pr i f on differentioituva i {,, p} 345 Esimerkki f : R R, f(x, y) = (x y + x, xy + x ) Tällöin f (x, y) = x y + x ja f (x, y) = xy + x, joten D f = xy +, D f = x, D f = y + x ja D f = x ja edelleen f (, 3) = ( 3 +, ) = (3, 4) ja f (, 3) = (3 +, ) = (7, ) ja f:n kokonaisdifferentiaali (, 3):ssa on df = ( f (, 3) (dx, dy), f (, 3) (dx, dy) ) = (3dx + 4dy, 7dx + dy) Differentioituvien kuvausten yhdistetty kuvaus on differentioituva 8

17 346 Lause (Ketjusääntö) Olkoot A R m avoin, g = (g,, g n ) : A R n, g(a) B R n, B avoin ja f : B R R m A g = (g,, g n ) R n B x g(x) (f g)(x) f R Jos g ja f ovat differentioituvia, niin yhdistetty kuvaus f g on differentioituva ja x A on D i (f g)(x) = n D j f(g(x))d i g j (x) (i =,, m) j= (eli vanhanaikaisesti ketjun muotoon kirjoitettuna (f g) x i Todistus Sivuutetaan = f g + f g + + f ) g n g x i g x i g n x i Ketjusäännöllä on käyttöä lähinnä teoreettisissa yhteyksissä, koska käytännössä yhdistetyn funktion derivoiminen yleensä sujuu nopeiten muodostamalla ensin yhdistetyn kuvauksen lauseke ja derivoimalla suoraan sitä 347 Esimerkki i) Derivoi w(x, y) = (x + y 3) 3 suoraan ja ketjusäännön avulla Ratkaisu Suora derivointi antaa D x w = 3 (x + y 3) x = 6x(x + y 3) D y w = 3 (x + y 3) = 6(x + y 3) Ketjusäännön soveltamiseksi tulkitaan w yhdistetyksi kuvaukseksi w = f g, g(x, y) = x + y 3, f(t) = t 3, jolloin g : R R ja f : R R ja m =, n = ketjusäännössä Nyt g = g ja saamme D w(x, y) = f (g(x, y))d g(x, y) = 3 (x + y 3) x ja D w(x, y) = f (g(x, y))d g(x, y) = 3 (x + y 3), siis sama tulos kuin suoraan derivoitaessa ii) Laske ketjusäännöllä D 3 (f g), kun g : R 3 R on kuvaus g = (g, g ), g (x, y, z) = x e z + yz 3, g (x, y, z) = yz z + x + ja f : R R on kuvaus f(x, y) = xy 83

18 Ratkaisu Nyt m = 3, n =, D f = y, D f = x ja saamme D 3 (f g)(x, y, z) = D j f(g(x, y, z))d 3 g j (x, y, z) = j= ( = D f x e z + yz 3, yz + ( + D f x e z + yz 3, yz + = ( yz + z ) x + z x + D 3 (x e z + yz 3 ) ) ( D 3 yz + z z ) ( x e z + 3yz ) + (x e z + yz 3 ) x + ) = x + ( yz + x + Sama tulos saadaan suoralla derivoinnilla yhdistetyn kuvauksen f g lausekkeesta (f g)(x, y, z) = (x e z + yz 3 ) ( yz + z ) x + ) Ketjusäännöstä seuraa heti, että jatkuvasti derivoituvien funktioiden yhdistetty kuvaus on jatkuvasti derivoituva 348 Lause Olkoot A R m avoin, g : A R n jatkuvasti derivoituva, B R n avoin, g(a) B ja f : B R jatkuvasti derivoituva Tällöin yhdistetty kuvaus f g : A R on jatkuvasti derivoituva Todistus Ketjusäännön nojalla D i (f g) = n ( (Dj f) g ) (D i g j ) j= on jatkuva kaikilla i {,, m} koska D j f ja D i g j ovat jatkuvia ja g on jatkuva Implisiittifunktiot Tarkastellaan kysymystä, millä ehdoilla esim yhtälö F (x, y) = 0 määrittelee ainakin paikallisesti (x 0, y 0 ):n ( F (x 0, y 0 ) = 0 ) ympäristössä y:n x:n funktiona y = y(x) ja tämän funktion derivaatan y (x) laskemista ilman tietoa funktion lausekkeesta Yleisemmin x voi tässä olla n-vektori x = (x,, x n ), jolloin F on (n+):n muuttujan funktio ja y on n:n muuttujan funktio ja y:n derivaatat osittaisderivaattoja muuttujien x,, x n suhteen On selvää, että jotain rajoittavia ehtoja F :stä tarvitaan, sillä jos esim F on vakiofunktio F (x, y) 0, ei y ratkea x:n funktiona 84

19 349 Esimerkki Yhtälö F (x, y) = x + y = 0 määrittelee yksikköympyrän C: x + y = pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä y:n x:n funktiona, jos y 0 0: Jos y 0 > 0, y = + x C:ssä lähellä (x 0, y 0 ):aa Jos y 0 < 0, y = x C:ssä lähellä (x 0, y 0 ):aa Pisteiden (, 0) ja (, 0) ympäristössä y ei ole x:n funktio, mutta x on kyllä y:n funktio: x = y (, 0):n ympäristössä C:ssä x = y (, 0):n ympäristössä C:ssä Annamme heti yleisen tuloksen implisiittifunktion olemassaolosta ja osittaiderivaatoista ilman todistusta: 350 Lause Olkoon A R n+ avoin, F : A R jatkuvasti derivoituva, (x 0, y 0 ) = (x 0,, x 0n, y 0 ) A, F (x 0, y 0 ) = 0 ja D n+ F (x 0, y 0 ) = F (x 0, y 0 ) y 0 Tällöin on olemassa (x 0, y 0 )-keskinen (n+)-ulotteinen suorakulmainen särmiö S = T [y 0 δ, y 0 + δ], missä δ > 0 ja T on x 0 -keskinen n-ulotteinen särmiö, T = [x 0 δ, x 0 + δ ] [x 0n δ n, x 0n + δ n ], niin että S A ja joukossa S yhtälö F (x, y) = F (x,, x n, y) = 0 määrittelee y:n muuttujien x,, x n funktiona y = f(x,, x n ) : T R Siis (x, y) S ja F (x, y) = F (x, x n, y) = 0 x T ja y = f(x,, x n ) Saatu implisiittifunktio y = f(x) : T R on jatkuvasti derivoituva ja D i f(x) = D if (x, y(x)) D n+ F (x, y(x)) x T, (i =,, n) 35 Esimerkki (i) Olkoon F (x, y) = x + y, jolloin F :n nollajoukko on yksikköympyrä C = F (0) = {(x, y) x + y = } Nyt F : R R on jatkuvasti derivoituva ja D F (x, y) = F (x, y) y = y 0, kun y 0 Jos siis (x 0, y 0 ) C ja y 0 0, lause 350 (jossa nyt n = ) takaa implisiittifunktion y = f(x) = y(x) olemassaolon pienellä x 0 -keskisellä välillä T = [x 0 δ, x 0 + δ ] (nyt x 0 = x 0 ) Tässä tapauksessa implisiittifunktio f saadaan myös eksplisiittisesti ratkaistua: f(x) = ± x y 0 :n merkin mukaan valittavalla etumerkillä 85

20 (ks esimerkki 349) Sen derivaataksi saadaan esim tapauksessa y 0 > 0 suoralla derivoinnilla f (x) = D (+ ) x = x = x x y(x) tai lauseen 350 kaavalla (jossa n =, D = D) f (x) = D f(x) = D F (x, y(x)) D F (x, y(x)) = x y(x) eli sama tulos (Lisähuomio: Kaava f (x) = x y pätee myös, kun y 0 < 0) Käytännössä implisiittifunktion derivointi suoritetaan yleensä ns implisiittisenä derivointina ajatellen tiedetyksi, että y = y(x) ja derivoimalla tämän mukaisesti Esim äskeinen lasku sujuisi implisiittisellä derivoinnilla seuraavasti: Oletetaan, että yhtälö x + y = määrittelee (x 0, y 0 ):n ympäristössä y:n x:n funktiona y = y(x) Tällöin x + ( y(x) ) = D ( x + ( y(x) ) ) = 0 x+y(x)y (x) = 0 y (x) = x y(x) (ja viimeksi saadusta muodosta nähdään, että tapauksessa y 0 = 0 tulisi luultavasti ongelmia) (ii) Osoita, että yhtälö xyz ln(zy) + = 0 määrittelee pisteen (,, ) ympäristössä z:n x:n ja y:n funktiona z = z(x, y) Laske D x z(, ) ja D y z(, ) Ratkaisu Merkitään A = {(x, y, z) z > 0, y > 0} ja F (x, y, z) = xyz ln(zy) +, jolloin F (,, ) = ln( ) + = 0 ja F : A R on jatkuvasti derivoituva, sillä D F = yz, D F = xz y ja D 3F = xy z ovat A:ssa jatkuvia funktioita Koska D 3 F (,, ) = = 3 0, lauseesta 350 seuraa, että yhtälö F (x, y, z) = 0 määrittelee pisteen (,, ) ympäristössä z:n funktiona z = z(x, y) ja D x z = D z = D F ( x, y, z(x, y) ) D 3 F ( x, y, z(x, y) ) = yz xy z D y z = D z = D F ( x, y, z(x, y) ) D 3 F ( x, y, z(x, y) ) = xz y xy z Kun (x, y) = (, ) on z = z(x, y) = ja siten D x z(, ) = D y z(, ) = = 3 ja = 86

21 Johdetaan samat tulokset implisiittisellä derivoinnilla: z = z(x, y) ja F (x, y, z) = 0 xyz(x, y) ln ( z(x, y)y ) + = 0 D x (xyz ln(zy) + ) = 0 ja D y (xyz ln(zy) + ) = 0 yz + xyd x z D xz = 0 ja xz + xyd y z (z + yd yz) z zy D x z = yz xy ja xz ( y + xy ) D y z = 0 z z = 0 D x z = yz xy z missä siis z = z(x, y) ja D y z = xz y xy, z 35 Huomautus (i) Samanlaista teoriaa voi tietysti soveltaa myös esim muuttujan y ratkaisemiseen yhtälöstä F (x, y, z) = 0: Jos F on jatkuvasti derivoituva ja D F (x 0, y 0, z 0 ) 0 ja F (x 0, y 0, z 0 ) = 0, niin y ratkeaa lokaalisti xn ja z:n funktiona ja D x y(x, z) = D xf (x, y(x, z), z) D y F (x, y(x, z), z) ja vast D z y = D zf D y F (ii) Yleisemmin implisiittifunktioiden teoriaa voi soveltaa yhtälöryhmiin ratkaisemalla muuttujia y,, y m muuttujien x,, x n avulla (m + n):n tuntemattoman m:n yhtälön yhtälöryhmästä Lyhyt esitys löytyy esim Timo Patovaaran monisteesta (iii) Jos f : A R (A R n avoin) on jatkuvasti derivoituva (f C (A)) ja jos f(x 0 ) 0, niin yllä olevan nojalla ne muuttujista x i (i =,, n), joilla D i f(x 0 ) 0, ratkeavat muiden funktioina vastaavan tasa-arvopinnan yhtälöstä f(x) = f(x 0 ) Tämä takaa mm sen, että tämä pinta leikkaa itseään lähellä pistettä x 0 ja tuloksena on x 0 :n ympäristössä siisti (n )-ulotteinen pinta, jolla on f(x 0 ):aa vastaan kohtisuora (n )-ulotteinen tangenttitaso Sivuutamme tähän johtavat tarkastelut liian mutkikkaina peruskurssille Neliömuodot ja niiden tyyppi Esimerkissä 335 on jo käsitelty n:n muuttujan x,, x n neliömuotoa x n n (353) Q(x) = a ij x i x j = x f(x) = x T Ax, X =, i= j= 87 x n

22 missä on pistetulo ja f : R n R n on se lineaarikuvaus, jonka matriisi on A = (a ij ) R n n Siis f(x) = ( f (x),, f n (x) ), missä koordinaattifunktiolla f i (x) on lauseke n f i (x) = a ij x j (i =,, n) j= Tässä A vaaditaan (yleensä) symmetriseksi, a ij = a ji i, j, jolloin f on ns itseadjungoitu lineaarikuvaus ja neliömuodot Q, itseadjungoidut lineaarikuvaukset f ja symmetriset n n-matriisit A vastaavat toisiaan kääntäen yksikäsitteisesti kaavan (353) kautta Neliömuodossa Q(x) yhdistetään lisäksi yleensä termit a ij x i x j ja a ji x j x i, jolloin (354) Q(x) = 355 Esimerkki n n a ii x i + a ij x i x j i= Q(x, y) = x + xy + y = [ x y ] i= i<j [ ] [ ] x = (x, y) f(x, y), y missä f(x, y) = ( f (x, y), f (x, y) ) = (x + y, x + y) Tällöin todella (x, y) f(x, y) = x(x + y) + y( x + y) = x + xy + y = Q(x, y) ja matriisikertolaskulla [ x y ] ii) Neliömuotoon [ ] [ ] x = [ x y ] y = [ Q(x, y) ] = Q(x, y) }{{}}{{} -matriisi luku [ x + y x + y ] = [ x + xy + y ] = x + x 3 + x x + 3x 4 + x 3x 4 = Q(x, x, x 3, x 4 ) (Q : R 4 R) liittyvä symmetrinen (4 4)-matriisi on A = a ii on x i :n kerroin, a ij = a ji on x i x j :n kertoimen puolikas (esim a 34 =, koska x 3 x 4 :n kerroin on = ja a 4 = 0 koska termiä x x 4 ei ole) 88

23 356 Määritelmä Olkoon Q : R n R symmetrisen A R n R n indusoima neliömuoto: Q(x) = x T Ax (i) Jos Q(x) > 0 x R n \ { 0}, Q ja A ovat positiivisesti definiittejä; merk A > 0 (ii) Jos Q(x) < 0 x R n \{ 0}, Q ja A ovat negatiivisesti definiittejä; merk A < 0 (iii) Jos Q(x) 0 x R n, Q ja A ovat positiivisesti semidefiniittejä; merk A 0 (iv) Jos Q(x) 0 x R n, Q ja A ovat negatiivisesti semidefiniittejä; merk A 0 (v) Jos x, y R n se Q(x) < 0 ja Q(y) > 0, niin Q ja A ovat indefiniittejä 357 Lause Olkoon Q : R n R kuten määritelmässä 356 (i) A on positiivisesti definiitti A:n johtavat alideterminantit a a a 3 a a d = a, d = a a, d 3 = a a a 3,, d n = det A a 3 a 3 a 33 ovat kaikki positiivisia (ii) A on negatiivisesti definiitti A on positiivisesti definiitti (iii) A on positiivisesti semidefiniitti det B 0 aina kun B on sellainen matriisi, joka saadaan jättämällä A:sta pois r riviä ja vastaavat r saraketta (r = 0,, n ) (iv) A on negatiivisesti semidefiniitti A on positiivisesti semidefiniitti (v) A on positiivisesti (negatiivisesti) definiitti A:n ominaisarvot ovat kaikki positiivisia (negatiivisia) (vi) A on positiivisesti (negatiivisesti) semidefiniitti A:n ominaisarvot ovat kaikki 0 ( 0) Todistus Väitteet (v) ja (vi) on tarkoitettu lisätiedoiksi kurssin Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II tiedot hallitsevilla Ne seuraavat heti diagonalisoimalla Q A:n ominaisvektoreiden ortonormaalissa kannassa (v,, v n ) Q:lla on näet esitys Q(y v + + y n v n ) = λ y + + λ ny n kun v i on A:n ominaisarvoon λ i liittyvä kannan ominaisvektori Väitteet (ii) ja (iv) seuraavat heti väitteistä (i) ja (iii) Väite (i) voidaan todistaa induktiolla alideterminantin kertaluvun suhteen Joudumme sivuuttamaan väitteiden (i) ja (iii) todistukset liian työläinä Joskus voi olla nopeampaa osoittaa neliömuoto semidefiniitiksi väitteen (vi) avulla kuin väitteen (iii) determinanteilla (Väite (iii) kuitenkin toimii aina, kun sen sijaan ominaisarvoja ei aina saada ratkaistua) 89

24 358 Esimerkki (i) Q(x, y) = x + xy + y = (x + y) on selvästi positiivisesti semidefiniitti, sillä Q(x, y) 0 (x, y) R Se ei ole definiitti muoto, sillä Q(, ) = 0 ja (, ) (0, 0) (ii) Q(x, y) = 6xy + y on indefiniitti, sillä Q(0, ) = > 0 ja Q(, ) = 6 + = 5 < 0 (iii) Q(x, y, z) = 3x 4xy + z Tällöin vastaava symmetrinen matriisi A on 3 0 A = Nyt 3 d = 3 > 0, d = = 4 < 0, 0 joten A ei ole positiivisesti definiitti ja koska A:ssa d = 3 < 0, myöskään A ei ole positiivisesti definiitti Siten A ei ole definiitti muoto Koska d = 3 > 0 ja d = 4 < 0, niin A ei ole positiivisesti semidefiniitti (nämä determinantit ovat muotoa B 357 (iii):ssä ) ja koska A:ssa d = 3 < 0, niin A ei ole negatiivisesti semidefiniitti Johtopäätös: A on indefiniitti Tämän näkisi suoraankin, sillä esim Q(0, 0, ) = > 0 ja Q(,, 0) = < 0 (iv) Q(x, y) = x + xy + y = (x + y) y 0 ja Q(x, y) = 0 x = y = 0, joten Q on positiivisesti definiitti Sama determinanttiehdolla 357 (i): Q:n matriisi A = ( ) toteuttaa d = > 0 ja d = joten 357 (i):stä seuraa, että Q on positiivisesti definiitti (v) Q(x, y, z) = x + y + 3z + xy + yz Nyt 0 = 4 = 3 4 > 0, A = toteuttaa d = > 0, d = > 0 ja 0 3 d 3 = det A = = > 0, joten Q ja A ovat positiivisesti definiittejä 90

25 (vi) x + 4xy 4y = (x y) 0 on negatiivisesti semidefiniitti Sama determinanttiehdoilla 357 (iv ja iii): Nyt A = ( 4 ) = ( ) 4 ja d = (r=) > 0, d = 4 4 = 0 (r=0) 0, = 4 {}}{ det [4] > 0, (r=) joten 357 (iii):stä seuraa, että A on positiivisesti semidefiniitti Siis 357 (iv):n nojalla A ja Q ovat negatiivisesti semidefiniittejä 9