39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja jollakin reaaliakselin älillä a t b. Pinta on kaksiulotteinen olio, joten sen parametrisointiin taritaan kaksi parametria, esim. reaaliluat u ja. Pinnan parametriesitys on r= ru (, ) = xui (, ) ˆ+ yu (, ) ˆj + zuk (, ) ˆ, A 5.5 jossa a u b, c d. Pinnan sanotaan olean sileä, jos sen jokaiseen pisteeseen oidaan määrittää yksikäsitteisesti tangenttitaso. Tässä on asioiden helpottamiseksi otettu parametrialueeksi u-tason suorakaide; oisi se olla jokin muukin yhtenäinen suljettu ja rajoitettu u-tason alue (ympyräkiekko, kolmio jne), jolla on hyin määritelty pinta-ala. Esimerkki. Pinta, jonka määrää yhtälö z= f( xy, ), ( xy, ) A, oidaan esittää parametrimuodossa seuraaasti: ru (, ) = uiˆ+ j ˆ+ f( uk, ) ˆ, jossa ( u, ) A. Tällaisessa tapauksessa on usein luonteaa samaistaa (u,)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on r = xiˆ+ yj ˆ + f ( x, y) kˆ, ( x, y) A.
4 Pintaintegraalit. Olkoon äärellinen pinta R 3 :ssa ja f( xyz,, ) pinnan pisteissä määritelty äärellinen funktio. Jaetaan pinta osa-alueisiin,,, n, joiden pinta-alat oat. Olkoon ( x, y, z ) i i i i jokin piste alueessa i. Muodostetaan summa (Riemannin summa) n R = f( x, y, z ). n i i i i i= Jos tällä summalla on yksikäsitteinen raja-aro, pisteiden ( xi, yi, zi) alinnasta riippumatta, kun osa-alueiden i pintaalojen annetaan lähestyä nollaa (eli tihennetään pinnan jakoa rajattomasti), sanotaan funktion f olean integroitua pinnalla. umman raja-aron sanotaan olean funktion f pintaintegraali pinnan yli. itä merkitään näin, Pinta. f ( x, y, z) d. Kun funktio f ja pinta on annettu, tehtääksi jää parametrisoida pinta sopiasti ja suorittaa integraali molempien parametrien suhteen. Pintaintegraali tasopinnan yli. Aloitetaan yksinkertaisesta -ulotteisesta tapauksesta, jossa alue on jokin (x,y)-tason suorakaide (siis tasopinta) a x b, c y d eli suorakulmio [a,b] [c,d]. Tällöin b d f ( x, y) d = dx dy f ( x, y). a c
4 Pintaintegraali siis muuttuu kahdeksi peräkkäiseksi yhden muuttuja integroinniksi: ensin f(x,y) integroidaan y:n suhteen, josta tuloksena on jokin x:n funktio, ja tämä integroidaan sitten x:n suhteen. (Jos pinta ei ole suorakaide, oimme ajatella sen jonkin suorakaiteen sisälle ja asettaa funktiolle aron f = :n ulkopuolelle jääässä osassa suorakaidetta.) On monia tapoja kirjoittaa edellä olea pintaintegraali: dx dy f ( x, y) = dx dy f ( x, y) b d b d a c a c bd bd = dxdy f ( x, y) = f ( x, y) dxdy. ac ac Tässä on sopimuksena, että integroinnit suoritetaan oikealta asemmalle eli ensin y ja sitten x ja että integraalimerkit rajoineen kirjoitetaan samaan järjestykseen kuin astaaat differentiaalit. Joskus on hyödyllistä kirjoittaa integraalimerkkiin muuttuja näkyiin: b d x= a y= c dxdy f ( x, y). Esimerkki: Olkoon suorakulmio [,] [,] ja f( xy, ) = x + y. illoin ( ) d f = dx dy x + y = dx x y + y 3 = 5 dx( x + ) = 3x + x = + =. 3 6
4 Esimerkki : Jos integroidaan funktio f( xy, ) = yli tasopinnan, saadaan tulokseksi pinnan ala: dxdy = d = : n pinta-ala. Integraalilla yli tasopinnan on seuraaa geometrinen tulkinta: Jos f > pinnalla, niin pintaintegraali on sen lieriökappaleen tilauus, jonka kantena on pinta z= f( xy, ), pohjana taso z = ja poikkileikkauksena. Tason alue on säännöllinen, jos koordinaattiakselien suuntaiset suorat leikkaaat alueen reunaa korkeintaan kahdessa pisteessä. äännöllinen alue x-suunnassa säännöllinen alue y-suunnassa säännöllinen alue Jos integroimisalue on säännöllinen y- suunnassa, oidaan integrointi suorittaa iipaleittain eli ottamalla x-
43 integroinnissa integroimisalkioksi alareunakäyrästä φ ( x) yläreunakäyrään φ ( x) ulottuan dx-leyisen pinta-alkion (ks. kua): b φ ( x) f ( x, y) d = dx dy f ( x, y). a φ ( x) Jos taas integroimisalue on säännöllinen x- suunnassa, oidaan integrointi suorittaa päinastaisessa järjestyksessä iipaleittain eli ottamalla x-integroinnissa integroimisalkioksi alareunakäyrästä ψ ( x) yläreunakäyrään ψ ( x) ulottuan dyleyisen pinta-alkion (ks. kua): d ψ ( x) f ( x, y) d = dy dx f ( x, y). c ψ ( x) Esimerkki: Lasketaan funktion f( xy, ) = ypintaintegraali yli alueen, jota rajoittaat x- ja y-akselit ja suora x+ y =. Alue on säännöllinen molemmissa suunnissa, joten lasketaan se harjoituksen uoksi molemmin suuntaisin iipalein. Ensin y-suuntaisesti iipaloiden. Kutakin x kohti y integroidaan alakäyrältä y = φ ( x) = yläkäyrälle y = φ ( x) = x. aadaan
44 x f ( x, y) d = dx dy y = x dx y = dx ( x) 6 3 6 ( x). = = Kun iipaloidaan x-suuntaisesti, saadaan astaaasti y f ( x, y) d = dy dx y = y [ ] dy y x = dy y( y) 3 = y 3 y = =. 3 6 Kuassa on esitetty kappale, jonka integroimisalue ja funktio f irittäät. e täyttää yhden kuudesosan yksikkökuutiosta, kuten laskemastamme sen tilauudesta oi päätellä. Muuttujien aihto pintaintegraalissa. Yllä käsittelimme tilanteita, joissa integroitaa funktio ja pinta, jonka yli integroidaan, oliat esitetty karteesisten koordinaattien aulla. Usein kannattaa kuitenkin käyttää niiden sijasta toisia muuttujia integroinnin helpottamiseksi.
45 Oletetaan nyt, että käytetään uusia muuttujia u ja, joiden aulla lausuttuna karteesisilla koordinaateilla on lausekkeet x= xu (, ) = gu (, ), y= yu (, ) = hu (, ). Alkuperäinen xy-aaruuden integroimisalue korautuu uaaruuden alueella. Kun integraalia laskee uusien muuttujien aulla, tulee huomata, että pinta-alkion koko muuttuu eli että yleensä d dt eli dxdy dud. Tämä tulee ottaa huomioon Riemannin summassa ja sitä myöten pintaintegraalissa. elitetään seuraaaksi tuo muutos. Infinitesimaalinen pinta-alkio dxdy on paikkaektorin r muutoksen dr irittämän suunnikkaan ala. Tämä pintaala on sama kuin uusien koordinaattikäyrien suuntaan otettujen dr :n komponenttien dru ja dr xy-tasoon irittämän alueen pintaala dru dr. Nyt on r ( ˆ ˆ dr ) ( (, ) ˆ (, ) ˆ u = du = xi + yj du = g u i + h u j) du u u u g ˆ h i ˆ = + j du, u u g ˆ h dr ˆ = i + j d, joten
46 iˆ ˆj kˆ d = dr dr = g h dud g u u = g u u u h dud. h g h Itseisaromerkkien sisällä oleaa determinanttia kutsutaan Jacobin determinantiksi, ja sille on käytössä monia merkintöjä: ug uh ux uy ( xy, ) g h x y ( u, ) Ju (, ). Pinta-alkio d = dxdy oidaan siis kirjoittaa uusissa muuttujissa näin: d = dxdy = J ( u, ) dud = J ( u, ) dt. Pintaintegraalille pätee siis dxdy f ( x, y) = dud J ( u, ) f ( u, ), missä f ( u, ) = f( xu (, ), yu (, )). Esimerkki: Lasketaan pintaintegraali x I = dxdy, x + y = f( xy, ) jossa on suorien T
47 x y =, x y =, x+ y =, x+ y = rajoittama suunnikas. uunnikas on ikäässä asennossa integrointia ajatellen, joten muuttujien aihto on paikallaan. Ilmeinen alinta uusiksi muuttujiksi on josta ratkaistuina u = x y, = x+ y, x= ( u+ ), y = ( u+ ). 5 5 Jacobin determinantti on silloin ux uy 5 5 Ju (, ) = = =. x y 5 Integraali oidaan nyt suorittaa: 5 5 ( u+ ) / 5 u I = dud = dud( ) 5 5 + T = J = f (,) u u = du d( ) du u log 5 + = + 5 u= = u= + 4log u u 5 5 = + log =.