Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa todistaa, että P() o tosi kaikilla luvuilla = 1,, 3... Väite P() voisi olla esimerkiksi seuraava väite P() : 1 + + 3 + + = ( + 1), kaikilla N Tässä o siis itse asiassa ääretö määrä väitteitä: esimerkiksi P(3) väittää että 1 + + 3 = 3(4)/ ja P(100) väittää, että 1 + + 3 + + 100 = 100(101)/. Nyt tavoitteea olisi todistaa, että joki väite P() pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. O tieteki mahdotota todistaa kyseistä väitettä eriksee jokaisella luoollisella luvulla, sillä äitä o ääretö määrä. Iduktiotodistukse ideaa oki välttää tämä ogelma todistamalla väite P() kaikilla kahdessa vaiheessa: I. Todistamalla väite arvolla 1 eli todistamalla väite P(1). II. Todistamalla, että jos kyseie väite pätee arvolla P(), se pätee myös sitä seuraavalla arvolla eli todistamalla väite P() = P( + 1). Nämä kaksi kohtaa määrittävät iduktiotodistukse. Miksi iduktiotodistus toimii? Oletetaa, että olemme osoittaeet, että kohdat 1. ja. pätevät. Nyt kohdasta I. tiedämme, että P(1) o tosi. Toisaalta sijoittamalla arvo = 1 kohtaa II. huomaamme, että jos P(1) o tosi, myös P() o tosi. Nyt tiedämme siis, että P() o tosi. Sijoittamalla arvo = kohtaa II. saamme tietää että P(3) o tosi. Sijoittamalla arvo = 3 kohtaa II. saamme tietää, että P(4) o tosi. Tätä prosessia toistamalla huomataa, että äi väite o tosi jokaisella luoollisella luvulla. Iduktiotodistukse logiikka toimii siis seuraavasti: 1
P(1) = P() = P(3) = P(4) = Seuraava esimerkki valaisee kuika iduktiota käytetää käytäössä. Esimerkki 1.1 (Iduktiotodistus) Todista P(): 1 + + 3 + + = ( + 1), kaikilla N Ratkaisu. Todistetaa väite iduktiolla eli kahdessa vaiheessa: I. Arvolla = 1 väite P(1) o tosi, sillä yhtälö pätee tällä arvolla: vasemmalle puolelle jää 1 ja oikealle puolelle 1(1 + 1)/ = 1. II. Oletetaa että yhtälö pätee arvolla, eli oletetaa P() todeksi. Tällöi ( + 1) 1 + + 3 + + = Tästä pitäisi pystyä päättelemää P( + 1) todeksi. O siis todistettava: P() = P( + 1). Ee kui teemme äi, o syytä tarkistaa, mikä lopputulokse haluamme: lopputulokse P( + 1). Sijoittamalla P(): lausekkeesee : paikalle arvo + 1, äemme että P( + 1) o väite 1 + + 3 + + + ( + 1) = ( + 1)( + ) Meidä pitää siis saada muokattua P() tähä muotoo. Aloitetaa jällee P():stä: 1 + + 3 + + = Lisätää yt kummalleki puolelle + 1: ( + 1) 1 + + 3 + + + + 1 = ( + 1) + + 1 Nyt lausekkee vase puoli o selvästi samassa muodossa kui P( + 1): vase puoli. Eää pitää saada lausekkeide oikeat puolet samalaisiksi. Pitää siis osoittaa, että ( + 1) + + 1 = ( + 1)( + )
Tämä o osoitettavissa muokkaamalla seuraavasti: ( + 1) + + 1 = = = ( + 1) ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) ( + 1)( + ) Tämä o sama kui P( + 1): oikea puoli. Täte väite P() pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Tässä esimerkissä siis todistimme iduktiolla väittee P() paikkasapitävyyde kaikilla luoollisilla luvuilla. Haastavita tässä oli todistaa implikaatioketju P() = P( + 1). Epäyhtälö todistamie iduktiolla Yllä väittee P(1) todetamie oli helppoa. Tässä väite P() siis todistettii alkuarvolla = 1. Alkuarvo ei ole kuitekaa pakko olla yksi. Alla olevassa esimerkissä väite pätee aioastaa luvuilla, 3, 4,..., jolloi väite todistetaa aluksi arvolla = : Esimerkki 1. (Epäyhtälö todistamie iduktiolla) Osoita iduktiolla, että kaikilla > 1 ja x > 1, x = 0 pätee (1 + x) > 1 + x. Ratkaisu. Ku =, yhtälö saoo että (1 + x) > 1 + x. Tämä o sama asia kui 1 + x + x > 1 + x x > 0, mikä pitää paikkasa koska oletuksea o että x = 0. Oletetaa yt, että väite pätee arvolla eli että P() : (1 + x) > 1 + x o tosi. Haluamme osoittaa, että tästä seuraa P( + 1) eli (1 + x) +1 > 1 + ( + 1)x Lähdetää muokkaamaa yhtälöä (1 + x) > 1 + x. Kerrotaa tämä kummaltaki puolelta luvulla (1 + x). Epäyhtälö suuta säilyy, koska tämä o positiivie luku oletukse x > 1 ojalla. Nyt epäyhtälö o muodossa (1 + x) +1 > (1 + x)(1 + x). Tämä oikea puoli voidaa laskea auki, jolloi saadaa 1 + x + x + x = 1 + ( + 1)x + x. Nyt siis olemme osoittaeet, että (1 + x) +1 > 1 + ( + 1)x + x 3
Olemme lähes valmiita. Eää pitää todeta, että koska x > 0, ii 1 + ( + 1)x + x >1 + ( + 1)x eli (1 + x) +1 >1 + ( + 1)x + x ja 1 + ( + 1)x + x > 1 + ( + 1)x jote (1 + x) +1 >1 + ( + 1)x Täte väitteestä P() seuraa väite P( + 1) ja tehtävä väite o todistettu. Ratioaali- ja irratioaaliluvut Ratioaaliluvu ja irratioaaliluvu määritelmät Ratioaaliluku o luku, joka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Täte jokaie ratioaaliluku o muotoa p/q, jossa p ja q ovat kokoaislukuja eli p Z ja q Z. Ratioaalilukuje joukko Q koostuu kaikista ratioaaliluvuista: Q = {x : x = pq } ja p, q Z Muu muassa luvut 5/3, 7/5 ja 1/100 ovat ratioaalilukuja: e voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Täte esimerkiksi 5 o ratioaaliluku, koska 5 = 5/1. Samalla tavalla voidaa järkeillä, että jokaie kokoaisluku o ratioaaliluku. Huomaa, että koska esimerkiksi 4/5 ja 7/1000 ovat ratioaalilukuja, ii iide summa ja tuloki ovat ratioaalilukuja eli 4/5 + 7/1000 o ratioaaliluku samoi kui 4/5 7/1000. Yleisemmi mikä tahasa äärellie summa tai äärellie tulo ratioaalilukuja o ratioaaliluku. Myös vaikkapa (p/q) = p /q o ratioaaliluku. Kaikki reaaliluvut eivät kuitekaa ole ratioaalilukuja. Eli o olemassa lukuja x, joita ei voida esittää muodossa x = p/q millää kokoaisluvuilla p, q Q. Nämä ovat irratioaalilukuja. Esimerkiksi e (Neperi luku) ja π ovat irratioaalilukuja. Reaaliluvut koostuvat ratioaali- ja irratioaaliluvuista. Ratioaaliluvu ja irratioaaliluvu summaamie ja kertomie Valtaosa reaaliluvuista o irratioaalilukuja. Lisäksi irratioaaliluvut ovat sikäli domioivia, että jos ratioaaliluvu summaa irratioaalilukuu ii 4
tuloksea o irratioaaliluku. Lisäksi jos irratioaaliluvu kertoo ratioaaliluvulla, ii tuloksea o irratioaaliluku. Esimerkki.1 (Ratioaali- ja irratioaaliluvu summa o irratioaaliluku) Osoita, että jos x o irratioaaliluku, ja r o ratioaaliluku ii x + r o irratioaaliluku. Ratkaisu: Tehdää vastaoletus: oletetaa että x + r = p/q, jossa p/q o ratioaaliluku. Nyt x = p/q r eli x o kahde ratioaaliluvu erotus, mutta koska kahde ratioaaliluvu erotus o ratioaaliluku, ii tämä tarkoittaisi, että x olisi ratioaaliluku. Täte x + r o irratioaaliluku. Tästä seuraa, että koska esimerkiksi π o irratioaaliluku, ii myös π + 1 irratioaaliluku. Esimerkki. (Irratioaaliluku kertaa ratioaaliluku o irratioaaliluku) Osoita, että jos x o irratioaaliluku ja r o ratioaaliluku, ii rx o myös irratioaaliluku. Ratkaisu. Tehdää jällee vastaoletus: oletetaa että rx o ratioaaliluku eli muotoa rx = p/q. Tällöi x = p/(rq) o kuiteki kahde ratioaaliluvu osamäärä eli ratioaaliluku. Tämä o ristiriita, jote rx o pakolla irratioaaliluku. Tästä seuraa esimerkiksi, että koska π ja ovat irratioaalilukuja ii myös esimerkiksi π ja ovat irratioaalilukuja. Huomaa lisäksi, että jos kaksi irratioaalilukua summaa, ii tuloksea voi olla joko irratioaaliluku tai ratioaaliluku. Esimerkiksi π + π = π o irratioaaliluku, mutta π + (1 π) = 1 o ratioaaliluku. Vastaavasti jos kaksi irratioaalilukua kertoo keskeää, ii tuloksea voi olla joko ratioaali- tai irratioaaliluku. 3 Biomikaava Kertoma Luvu kertoma o tulo 1. Tätä merkitää!. Täte esimerkiksi 5! = 1 3 4 5 = 10 ja 3! = 1 3 = 6. Kertoma yksi sovellus o se, että! kertoo että objektia voi järjestää jooo! eri tavalla. Esimerkiksi kirjaisarjassa ABC o kolme objektia, jote se voi järjestellä 3! = 6 eri tavalla. Nämä tavat o esitetty alla: ABC BAC CAB ACB BCA CBA 5
Tulos joka mukaa kolme objektia voi laittaa jooo 3! eri tavalla voidaa perustella seuraavasti: esimmäise kirjaime voi valita kolmesta vaihtoehdosta, toise kirjaime kahdesta jäljellä olevasta vaihtoehdosta ja kolmaeksi kirjaimeksi o jäljellä vai yksi kirjai. Täte järjestyksiä o 3 1 = 3! = 6 kappaletta: Kertoma! kertoo esimerkiksi myös, kuika moella tavalla ihmisiä voi laittaa jooo. Täte 5 ihmistä voi laittaa jooo peräti 5! = 10 eri tavalla. 0! määritellää site että 0! = 1. Biomikerroi Biomikerroi ( k ) ( yli k: ) vastaa kysymyksee: kuika moella tavalla :stä objektista voi valita k objektia. Esimerkiksi ( 5 1 ) kertoo kuika moella tavalla viidestä objektista voi valita yhde objekti (vastaus: viidellä tavalla). Vastaavasti ( 10 ) = 90 kertoo, että kymmeestä objektista voi valita kaksi objektia 90 eri tavalla. Biomikerroi määritellää kertomie avulla:! = k k!( k)! Täte voidaa varmetaa esimerkiksi, että ( 5 1 ) = 1:! k!( k!) = 5! 1!4! = 5 4 3 1 4 3 1 = 5 Täte ( 5 ) = 10 kertoo että viidestä ihmisestä voi valita kaksi hekeä kymmeellä eri tavalla. Huomaa erityisesti ( 0 ) = 1 eli :stä ihmisestä voi valita 0 ihmistä yhdellä tavalla. Huomaa lisäksi, että jos : objekti joukosta valitaa k objektia, ii samalla tulee automaattisesti valittua loput k objektia. Täte = k k Eli jos esimerkiksi valmetaja valitsee viidestä hegestä joukkueesee kaksi pelaajaa, ii ( 5 ) kertoo kuika moella tavalla tämä voi tehdä. Valmetaja voi kuiteki yhtäpitävästi valita myös e hekilöt, jotka eivät pääse joukkueesee, he voidaa valita ( 5 5 ) = (5 3 ) tavalla, joka o yhtä kui (5 ). 6
Biomikaava Biomikaava käyttää yllä esiteltyjä ideoita löytääksee kaava kahde luvu summa potessille eli luvulle (x + y) = (x + y)(x + y) (x + y) }{{} kertaa (x + y) Kirjoitetaa aluksi tämä esimmäisillä : arvoilla: (x + y) = x + xy + y (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 Nämä kaikki oudattavat seuraavaa kaavaa: (x + y) = x + x 1 y + x y + + xy 1 + y eli (x + y) = Kaava (x + y) = x + 0 x + 0 x 1 y + 1 x 1 y + 1 x y + + xy 1 + 1 x y + + xy 1 + 1 y y o biomikaava. Se avulla voi avata esimerkiksi tulo (x + y) 5. Se kertoo myös, että termi x r y r kerroi kaavassa (x + y) o yhtä kui ( r ). Täte esimerkiksi termi x y kerroi o yhtä kui ( ). Etsi termi x 3 y kerroi lausek- Esimerkki 3.1 (Biomikaava käyttö) keessa (x + y) 5. Ratkaisu: Biomikaava mukaa termi x r y r kerroi kaavassa (x + y) o yhtä kui ( r ). Koska selvästi = 5 ja r =, ii tämä kerroi o ( 5 ) = 10. Etsi termi x 4 y 4 kerroi lausek- Esimerkki 3. (Biomikaava käyttö) keessa (x + y ) 6. Ratkaisu: Voimme tehdä aluksi sijoitukse z = y. Tällöi x 4 y 4 = x 4 z, ja tämä o muotoa x 6 z, jote tämä termi kerroi o ( 6 ) = 15. Etsi termi x 6 y 4 kerroi lausek- Esimerkki 3.3 (Biomikaava käyttö) keessa (x + y) 10. 7
Ratkaisu: Tehdää yt sijoitus z = x. Nyt termi z 6 y 4 kerroi o ( 10 4 ) = 10. Eli termi (x) 6 y 4 kerroi o tuo 10, jote termi x 6 y 4 kerroi o 6 10 = 56 10 = 11760. Esimerkki 3.4 (Biomikaava soveltamie) Osoita biomikaava avulla, että = + + + + + 0 1 1 Ratkaisu. Valitaa x = 1 ja y = 1. Ku ämä arvot sijoittaa biomikaavaa (x + y) = x + 0 x 1 y + 1 ii saadaa selvästi haluttu tulos: = + + 0 1 4 Epäyhtälöitä Itseisarvo x y + + xy 1 + 1 + + + 1 Luvu x itseisarvo x määritellää seuraavalla kaavalla: { x, ku x 0, x = x, ku x < 0. y Eli esimerkiksi 3 = 3 ja 10 = 10. Itseisarvolle pätee säätö x y = x y eli tulo itseisarvo o itseisarvoje tulo. Täte esimerkiksi 5 x = 5 x = 5 x. Itseisarvo x = x 0 kertoo pistee x etäisyyde origosta. Samoi itseisarvo x c kertoo pistee x etäisyyde pisteestä c. Täte esimerkiksi epäyhtälö x 5 < 1 kysyy iitä pisteitä x, joide etäisyys pisteestä 5 o alle yhde. Tällöi vastauksea o avoi väli x (4, 6). Epäyhtälöitä Seuraavassa o listaus siitä, mite epäyhtälöille saa muokata: 1. Jos meillä o epäyhtälö a > b, voidaa se kertoa positiivisella luvulla, jolloi se suuta säilyy. Eli jos c > 0, c a > c b. Täte esimerkiksi 5 >, jote 5 > ( ), eli 10 > 4. 8
. Jos epäyhtälö kertoo egatiivisella luvulla, se suuta muuttuu: jos a > b ja c < 0, ii c a < c b. Tätä voi testata esimerkillä: 5 > 1, mutta 5 < 1, jossa siis epäyhtälö kumpiki puoli o kerrottu luvulla 1. Tarkastellaa yt epäyhtälöä x < c. Jos x 0, ii x = x, jote epäyhtälö kertoo, että 0 < x < c. Jos x < 0, ii x = x ja epäyhtälö kertoo että x < c x > c. Ku ämä kaksi tapausta laittaa yhtee, saadaa x < c c < x < c Esimerkki 4.1 (Epäyhtälö ratkaisemie) Epäyhtälö x 3 < c o yhtäpitävä epäyhtälö c < x 3 < c kassa. Tästä saadaa (lisäämällä 3) epäyhtälö muotoo c + 3 < x < c + 3. Esimerkki 4. (Epäyhtälö ratkaisemie) Yllä olevassa esimerkissä vastaukseksi tuli tietty yksi väli x-akselista. Ku epäyhtälö suuta o toisi päi, vastaukseksi tulee kaksi erillistä palasta x-akselia: sieveetää x + 1 > 3: x + 1 > 3 eli x + 1 > 3 tai (x + 1) > 3 x > tai x 1 > 3 x > tai 4 > x Jos meillä o epäyhtälö 0 < a < 1/x < b, jossa a ja b ovat suurempia kui olla, mite tästä saa x: kätevästi osoittajasta imittäjää? Vastaus paljastuu muokkaamalla kumpaaki epäyhtälöä eriksee: 1/x < b a < 1/x 1 < bx ax < 1 1/b < x x < 1/a Eli vastauksea saadaa 1/b < x < 1/a 5 Kolmioepäyhtälö Kolmioepäyhtälö kertoo meille seuraavaa: x + y x + y 9
Eli summa itseisarvo o pieempi tai yhtä suuri kui itseisarvoje summa. Epäyhtälö pitävyys tulee selväksi, ku se paikalle sijoittaa eri arvoja: jos x = 1 ja y = 1, se äyttää seuraavalta: 1 + ( 1) 1 + 1 Yllä oleva epäyhtälö o sama asia kui 0, mikä tieteki pitää paikkasa. Jos x ja y ovat kumpiki suurempia kui olla, kyseie epäyhtälö pätee yhtälöä. Esimerkki 5.1 (Kolmioepäyhtälö soveltamie) Osoita kolmioepäyhtälö avulla, että x + y + z x + y + z Ratkaisu. Kolmioepäyhtälössä o vai kaksi termiä, mutta tässä tehtävässä o kolme: kolmioepäyhtälö saoo a + b a + b Tehdää lausekkeesee x + y + z sijoituksia: x + y + }{{}}{{} z =a =b Nyt voimme sijoittaa epäyhtälöö a + b a + v arvot a = x + y ja b = z: a + b a + b x + y + z x + y + z Jälkimmäisee epäyhtälöö voi soveltaa kolmioepäyhtälöä vielä kerra: x + y + z x + y + z x + y + z. Viimeie epäyhtälö pätee, koska x + y x + y. Käytäössä kolmioepäyhtälö käytössä kaattaa käyttää luovuutta a: ja b: valiassa. Luovuutta voi käyttää myös lisäämällä älykkäästi olla kyseisee epäyhtälöö: Esimerkki 5. (Kolmioepäyhtälö soveltamie) a + c + b c. Osoita, että a + b 10
Ratkaisu: Esiä a + b voidaa muokata muotoo a + c }{{} c +b =0 Nyt kolmioepäyhtälöä voi soveltaa sijoituksilla x = a + c ja y = c + b: Tässä tuli siis todistettua: (a + c) + ( c + b) }{{}}{{}} a {{ + } c + c }{{ + b } =x =y =x =y a + b = a + c c + b a + c + b c 11