73 DFFAKTO Optisella alueella valon aallonpituus on hyvin lyhyt ( 5 cm). Valoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatiolla ( ), jossa siis valoenergia etenee säteinä tai aaltorintamina. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa säteet etenevät suoraviivaisesti ja esimerkiksi valon tielle asetettu esine muodostaa terävän varjon. 74. FAUNHOFN DFFAKTO KAPASSA AOSSA Lasketaan Fraunhoferin diffraktiokuvio, jonka aiheuttaa yksi suorakulmion muotoinen kapea rako (pituus >> leveys). Valonlähde on kaukana, joten rakoon tulevat aaltorintamat ovat tasoaaltoja. Käytännössä tilanne saavutetaan asettamalla valolähde positiivisen linssin polttopisteeseen (kuva). Diffraktiolla tarkoitetaan valon kulun poikkeamista geometrisen optiikan ennustamalta reitiltä. Diffraktio on siis seurausta valon aaltoluonteesta. Sitä esiintyy erityisesti tilanteissa, joissa valo kulkee läheltä esineiden reunoja tai suuri joukko säteitä kohtaa toisensa. Pistelähde terävä reuna geometrinen varjo varjostin Viereisen kuvan kokeessa diffraktio ilmenee valon taipumisena geometrisen varjon alueelle. Varjon reuna ei ole enää terävä ja varjossa nähdään kirkkaita ja tummia juovia. Diffraktion tutkimisessa on tapana erottaa kaksi eri tapausta: Fraunhoferin diffraktio ja Fresnelin diffraktio. Fraunhoferin diffraktiossa valolähde ja varjostin ovat kaukana diffraktion aiheuttamasta esineestä (reunasta, aukosta...), jolloin aaltorintamia voidaan käsitellä tasoaaltoina. Puhutaan myös kaukaisen kentän diffraktiosta. Fresnelin diffraktiossa aaltorintamien kaareutuminen on otettava huomioon ja puhutaankin lähikentän diffraktiosta. aon leveys on b. Huygensin periaatteen mukaan aaltorintaman saavuttaessa raon tason, jokainen raon piste toimii palloaaltorintaman keskuksena. Näiden uusien aaltojen resultantti pisteessä P lasketaan superpositioperiaatteen mukaisesti. Pisteessä P yhteenlaskettavat aallot eivät ole samassa vaiheessa, koska niiden välille syntyy (optinen) matkaero. Lasku etenee näin: Jaetaan rako ds : n suuruisiin alkioihin ja lasketaan kunkin alkion tuottama aalto pisteeseen P. Lopuksi lasketaan kokonaisvaikutus integroimalla yli raon. akoelementistä ds lähtevä palloaalto pisteessä P on
d P 75 d r e i( krt), (..) missä d on amplitudi (yksikköetäisyydellä) ja r optinen matka rakoelementistä ds pisteeseen P (ks. kuva). Palloaallosta: Yleisesti palloaallossa "aalto-osa" (esim. i( kr e t) ) on kuten tasoaallossa, mutta amplitudi ei ole vakio vaan pienenee kääntäen verrannollisena etäisyyteen. Pisteen P etäisyys raon keskipisteestä on r, joten kuvan mukaisesti r r r ssin. Kun tämä sijoitetaan (..):een, tulee d P d e r i[ k( r ) t] d e i[ k( r ) t] r. Approksimaatio voidaan tehdä, koska r. On huomattava, että vastaavaa approksimaatiota ei saa tehdä vaiheessa. Hyvin pienetkin vaiheen muutokset (alle aallonpituuden) saavat aikaan suuria muutoksia lopputuloksessa. akoelementistä ds lähtevän säteilyn amplitudi riippuu tietysti alkion suuruudesta (leveydestä ds), ts. d 76 ds, L missä L on raon amplitudi leveysyksikköä kohti. Fraunhoferin diffraktion tapauksessa rakoa valaistaan tasaisesti, joten L on vakio yli koko raon. akoelementin aiheuttamaksi aalloksi pisteessä P tulee siis Lds i( kr kssin t ) dp e r ja koko raon tuottama aalto saadaan integroimalla raon leveyden yli b/ L iks sin i( kr t ) P e ds e r. (..) b/ Lasketaan: b/ b / e ikssin ds ik sin ik sin b / iks sin ik( b/ )sin ik( b/ )sin e e e b / bsin[ kb ( / )sin ] sin[ kb ( / )sin ] ksin b kb ( / )sin sinc( ), missä on käytetty merkintää sin sin kb b. (..3) Kokonaisaalto pisteessä P on siis P bsin r L i( kr t) e, jonka amplitudi (merkitään sitä : llä) on rradianssiksi tulee L bsin r. c L sin c b r,
josta edelleen 77 sinc, (..4) missä vakiotekijät on koottu kertoimeksi. Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvio on siis sinc-funktion neliö. 78 (tark):.43,.46, 3.47,... (appr):.5,.5, 3.5,... Mielivaltaisen tarkkoja ratkaisuja on helppo laskea tavallisella laskimella (opettele). Taulukosta havaitaan, että approksimaatio on sitä tarkempi mitä kaukaisemmasta sivumaksimista on kysymys. nsimmäisen sivumaksimin ja päämaksimin irradianssien suhde yhtälön (..4) perusteella on:.43 sin (.43 ) /(.43 ),47. nsimmäisen sivumaksimin irradinssi on siis vain noin 4.7% päämaksimin irradinssista. Kuvassa diffraktiokuvio (katkoviiva) on piirretty : n funktiona. Kuvion keskellä on päämaksimi, sillä sinc, kun (siis kulma ) ja. Kuvion muut ääriarvot löydetään esimerkiksi laskemalla d sin sin cos sin d Minimit löydetään ensimmäisestä tekijästä (tai suoraan..4:stä) sin : n nollakohdista (kunhan ). Minimeille pätee siis sin kb m, missä m,, Sivumaksimien paikat saadaan jälkimmäisestä tekijästä cos sin tan. Tämän transkendenttiyhtälön ratkaisut ovat lähellä minimien puolivälejä, ts arvoja ( m ). Seuraavassa taulukossa on esitetty tarkat ratkaisut ja ym. approksimaatiolla lasketut: Kuvissa alla on esitetty diffraktiokuvion muodostuminen varjostimelle, jonka etäisyys raosta on L ( b ja y ):
79 Varjostimella kohdassa y: y/ L y kbsin b b L sin Alla vielä miltä todellinen kuvio näyttää: b) Puoliarvokohdassa (ks. kuva) 8 sin / / sin/ / sin/ /. atkaistaan numeerisesti iteroimalla laskimella:. arvaus kuvasta / /,57 simerkki: Fraunhoferin kapean raon diffraktiokokeessa raon leveys on 5. Laske a) päämaksimin kulmaleveys, ts. raon keskipisteestä katsottuna kulma-aukeama päämaksimin viereisiin. minimeihin, b) päämaksimin puoliarvoleveys (FWHM = Full Width at Half Maximum). atkaisu: a) ensimmäiset minimit (ks.sivu 77). On siis sin (5 ) 5 kb b /5, rad Päämaksimin kulmaleveys on siten,4rad / sin / / (5 ) / 5 / kb b /,39 /,885 5 5 rad ja lopulta siis puoliarvoleveys on /,8rad Puoliarvoleveys (,8 rad) on siis hieman vähemmän kuin puolet koko leveydestä (,4/ =, rad)
8. FAUNHOFN DFFAKTO PYÖÄSSÄ AUKOSSA Pyöreän aukon taipumisilmiöt (diffraktio) ovat tärkeitä, koska linssit, peilit ja aukot optisessa systeemissä ovat tavallisesti pyöreitä. Matemaattinen tarkastelu on kuitenkin suhteellisen vaativa ja johtaa Besselin funktioihin. Lähtötilanne vastaa nyt kapean raon -ulotteista integraalia (..) (katso myös kuvaa sivulla 74). rradianssin kannalta kiinnostava osa aallossa (..) on sen amplitudi b/ L ikssin e ds r. b / Vastaava amplitudi-integraali pyöreän aukon tapauksessa on - ulotteinen integraali A isk sin e da r A, missä integraali lasketaan yli -ulotteisen aukon A. Tarkastelupisteen P etäisyys aukon keskipisteestä on r ja A on aukon amplitudi pinta-alayksikköä kohti. ntegraalin laskemiseksi on valittava sopiva pinta-alaelementti da. Olkoon aukon säde, ja valitaan pinta-alkioksi viereisen kuvan mukainen suorakaiteen muotoinen ohut (paksuus ds) kaistale: da xds, missä x s, joten da s ds. Tällä valinnalla integraali palautuu -ulotteiseksi, muuttujana s: A isk sin e s ds r. Kun vielä järjestellään 8 A isk sin e s ds r saadaan sulkujen sisään fysiikassa usein esiintyvä standardimuotoinen integraali, joka johtaa ns. Besselin funktioihin. Sulkuosa on isk sin J( ) e s ds, missä ksin, missä J ( ) on ns. ensimmäisen lajin Besselin funktio kertaluvulla yksi. Kyseinen funktio voidaan esittää esimerkiksi sarjamuodossa 3 5 ( / ) ( / ) ( / ) J ( ), 3 josta nähdään mm. että J ( )/ /, kun. Amplitudiksi pisteessä P saadaan siis josta irradianssille J( ) A J( ), r, missä kdsin, (..) kun aukon säteen sijasta käytetään halkaisijaa D. Tässä sisältää taas kaikki vakiot ja se edustaa irradianssia kuvion keskellä, ts. kun eli. Tulosta on mielenkiintoista (hyödyllistä) verrata kapean raon vastaavaan tulokseen (..4) sin, missä kbsin.
83 Pyöreän aukon tapauksessa kapean raon sini-funktio korvautuu Besselin funktiolla J ja raon leveys b aukon halkaisijalla D. Diffraktiokuvioiden samankaltaisuutta lisää vielä se, että Besselin funktio on hyvin sinin kaltainen: Taulukossa alla on esitetty Besselin funktion J( ) ensimmäiset nollakohdat sekä vertailun vuoksi vastaavat nollakohdat sinifunktiolle sin : J ( ) sin,, 3,83,.3 7,6, 3,4,73 3, 4,4 3,34 4, rona voidaan todeta, että Besselin funktio vaimenee hitaasti :n kasvaessa, mutta sini-funktio ei. Pyöreän aukon diffraktiokuvio on ympyräsymmetrinen ja se koostuu kirkkaasta keskimaksimista, jota ympäröi tummat ja nopeasti vaimenevat kirkkaat ympyräjuovat. 84 Diffraktiokuvion kaavan (..) johti ensimmäisenä G. B. Airy (8-89) ja kuvion kirkas keskimaksimi on hänen mukaan nimetty Airyn levyksi (Airy disk). Keskimaksimia ympäröivää ensimmäistä minimiä vastaa funktion J( ) ensimmäinen nollakohta ( ). nsimmäiselle tummalle renkaalle pätee siis kdsin.. nsimmäiseen minimiin osoittavalle suuntakulmalle tulee siten tai (. ). sin, ( / )D D Dsin.. (..) Tätä kannattaa taas verrata kapean raon vastaavaan tulokseen. Kapeassa raossa ensimmäiselle minimille on voimassa bsin. simerkki: Besselin funktiota J ( x ) voidaan suurilla argumentin x arvoilla approksimoida muodolla sin xcos x J( x). x a) Arvioi miten hyvin approksimaatio antaa Besselin funktion J ( ) viisi ensimmäistä nollakohtaa (ks. tarkat arvot edellisen sivun taulukosta) b) Laske suuntakulma diffraktiokuvion. minimiin ja 4. minimiin tarkasti ja a-kohdan approksimaatiota käyttäen. Arvioi approksimaation virhettä. Käytä laskussa aallonpituutta 5 nm ja aukon halkaisijaa,5 mm.
85 atkaisu: a) Lasketaan approksimaation nollakohdat: sin cos J( ) sin cos tan, josta /4 m, missä m on kok. luku. m /4 m tarkka / 4,785 ei hyvä 5 / 4 3,97 3,83 kohtalainen 9 / 4 7,69 7,6 näyttää paranevan 3 3 / 4,,73 4 7 / 4 3,35 3,34 Selvästi approksimaatio on sitä parempi mitä suurempi on. b) Kun Besselin funktion nollakohtaa vastaava tunnetaan, niin vastaava suuntakulma voidaan ratkaista yhtälöstä sin sin sin kd D D Tässä tehtävässä / D 5nm /,5mm, 86 4. minimi 3,34 tarkka sin,44,43 D 7 approx. sin,45,435 4 D virhe:,435,43,%,43 Tässäkin virhe pienenee, kun siirrytään kauemmaksi keskeltä. rotuskyky Viereisessä kuvassa kaksi esinepistettä S ja S kuvataan linssillä varjostimelle. Linssi on pyöreä aukko, joten esinepisteiden kuvat ovat pyöreän aukon diffraktiokuvioita. Besselin funktion ensimmäinen nollakohta ( ) osoittaa diffraktiokuvion päämaksimiin, joten ensimmäinen tumma rengas saadaan approksimaation /4 m arvolla m.. minimi tarkka 3,83 sin,,699 D approx. 5 sin,5,76 4 D virhe:,76,699,4%,699 Kun esinepisteitä tuodaan lähemmäksi toisiaan, tilanne varjostimella voisivat olla seuraavan sivun kuvien mukainen:
87 Kuvassa (b) kuvapisteet erotetaan vielä toisistaan helposti, mutta kuvassa (c) ollaan jo erotuskyvyn rajoilla. 88 Jos linssi on mikroskoopin objektiivi, erotusraja määräytyy periaatteessa samalla tavalla, vaikkakin aaltojen tasomaisuudesta on luovuttava. Tilanne on melkein seuraava: ayleighin kriteeri: Kaksi kohdetta ovat juuri erotettavissa, jos toisen diffraktiokuvion maksimi on toisen. minimin kohdalla. Seuraavan kuvan perusteella erotusrajalle saadaan: Mikroskooppia käytettäessä tutkittava kohde on "hieman" kauempana kuin objektiivin polttoväli, jolloin mikroskoopin sisälle syntyy todellinen suurennettu kuva, jota sitten katsotaan okulaarilla. Kuvassa yllä esinepisteet on sijoitettu objektiiviin polttovälin päähän, mikä on hyvä approksoimaatio. josta koska Dsin[( ) ]., min. ( ) min, (..3) D ( ) on pieni. Tässä D on linssin halkaisija. min Pisteiden A ja B minimietäisyys x min saadaan laskemalla. xmin f( ) min f. D Suhde D/ f on linssin ns. numeerinen apertuuri, jonka arvo hyvällä mikroskoopin objektiivilla on tyypillisesti noin,. Siten hyvällä mikroskoopilla. xmin
89 simerkki: Valoisassa silmän pupillin halkaisija on noin mm. Kuinka kaukaa mm:n etäisyydellä toisistaan olevat kohteet voidaan vielä erottaa erillisinä? Käytä näkyvän valon edustajana aallonpituutta 5 nm. atkaisu: 9.,55 m ( ) min 33,6 3 D m 5 rad 9.3 KAHDN AON DFFAKTO Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla b/ L ikssin e ds r b /, missä s on alkion ds etäisyys raon keskipisteestä, ja kulma tarkastelupisteen P suuntakulma keskiakselista. Kahden raon kuvio lasketaan samalla integraalilla käyttäen vain eri integrointirajoja. Tilannetta tarkastellaan seuraavassa kuvassa: rotetaan etäisyydeltä 3 mm m x 5 3 metriä ( ) 33,6 min Kapeat raot ovat nytkin leveydeltään b ja rakojen vastinpisteiden välimatka on a. Amplitudi-integraali menee muotoon (/ )( ab) (/ )( ab) L isk sin isk sin e ds e ds r (/)( ab) (/ )( ab). ntegrointi ja rajojen sijoittaminen johtaa tulokseen L r ik sin e e e e (/ ) i( abk ) sin (/) i( abk ) sin (/) ia ( bk ) sin (/) ia ( bk ) sin Otetaan seuraavaksi käyttöön merkinnät: kb (.3.) sin
9 koskien rakojen leveyttä b ja samanlainen ka (.3.) sin koskien rakojen välimatkaa a. Näillä saadaan (/ ) i( ab) ksin i i, (/ ) i( ab) ksin i i, (/ ) i( ab) ksin i i, (/ ) i( ab) ksin i i, jolloin integraalin kaarisulkuosa menee muotoon ii ii ii ii e e e e i i i i i i e ( e e ) e ( e e ) i i i i ( e e )( e e ) (cos )(isin ). Amplitudille saamme lopulta r L b b L sin (isin )(cos ) cos, i r ja irradianssille tulee L sin c c b cos r, mikä menee muotoon missä sin 4 cos, (.3.3) cb. L r Tässä on yhden kapean raon maksimi-irradianssi yhtälön (..4) mukaan. Kahden raon kuviossa siis keskimaksimin irradianssi on 4-kertainen yhteen rakoon verrattuna. 9 Aikaisemmin interferenssin yhteydessä (Youngin koe) osoitimme, että kahden periaatteessa äärettömän ohuen raon interferenssikuvio on (ks. yhtälö..) a 4cos sin 4cos. Yhden raon diffraktiossa puolestaan (yhtälö..4) Kahden raon diffraktiokuvio sin. sin 4 cos muodostuu siten kahden raon interferenssin irradianssin ja yhden raon diffraktion irradianssin tulona:
93 Suureet ja ovat kulmamitoissa ja ne kytkeytyvät toisiinsa kuten (katso.3. ja.3.) a a. (.3.4) b b Puuttuvat kertaluvut Kahden raon diffraktiokuviossa havaitaan ns. interferenssin puuttuva kertaluku, kun diffraktion minimi sattuu interferenssimaksimin kohdalle. Diffraktion minimit saadaan, kun m bsin m, m,, (.3.5) nterferenssin maksimit saadaan, kun p asin p, p,,, (.3.6) Puuttuva kertaluku saadaan, kun molemmat ehdot ovat samanaikaisesti voimassa. Jakamalla yhtälöt puolittain tulee a p, b m josta (ks. myös.3.4) p p a b tai. (.3.7) m m Kun rakojen välimatka on jokin raon leveyden monikerta, tämä ehto toteutuu eksaktisti. simerkiksi, jos a b niin p m. Puuttuvat interferenssin kertaluvut ovat siten p, 4, dellisen sivun diffraktiokuviosta puuttuu selvästi interferenssimaksimit p 6,,. Kuvio vastaa siis tilannnetta a 6b. 94 simerkki: Kahden raon systeemissä rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Hahmottele sin ja cos samaan kuvaan :n funktiona ja piirrä sitten yhdistetty kokonaiskuva (.3.3). Mitkä interferenssimaksimit puuttuvat? atkaisu: Tässä a4b 4, joten sin / :n maksimi, kun cos (4 ) sin 4 cos (4 ) ja minimit, kun m :n maksimit, kun 4 p ja minimit "puolessa välissä". Puuttuvatmaksimit: a4 b p/ m4 p 4m, eli p 4(,, 3, ) 4, 8,,
95 Seuraavassa kuvassa on vielä verrattu yhden raon kuviota (kuva c) kahden raon kuvioon (kuva d). Molemmissa raon leveys on sama..4 MONN AON DFFAKTO Kuvassa alla on monen raon systeemi. akojen vastinpisteiden välimatka on a ja jokaisen raon leveys on b. Tässäkin lähdetään liikkeelle yhden raon amplitudiintegraalista L ikssin e ds r johon rakosysteemi rakennetaan valitsemalla integrointirajat sopivasti. Monen raon systeemissä voidaan edelleen hyödyntää aikaisemmin laskettua kahden raon systeeemiä, kun rakoja tarkastellaan pareittain. Yksi pari muodostuu aina keskikohdan suhteen symmetrisesti sijaitsevista raoista.. Pari: Aikaisemman kahden raon tarkastelun perusteella 96 (/)( ab) (/ )( ab) L isk sin isk sin e ds e ds r (/)( ab) (/)( ab). Pari: L b sin cos. r (/ )(3 ab) (/)(3 ab) L isk sin isk sin e ds e ds r (/ )(3 ab) (/ )(3 ab) Kysymyksessä on täsmälleen sama integraali kuin. parin tapauksessa, kunhan korvataan a 3a eli 3. Saadaan siis 3. Pari: jne. 3 L bsin cos3 r L bsin cos5 r Kun rakoja on N kpl (ts. rakopareja on N / kpl, siis N on tässä vaiheessa vielä parillinen) saadaan parien kokonaisvaikutukseksi L bsin [cos cos3 cos5 cos( N ) ]. r ix Koska e( e ) cos x, hakasulkuosa saadaan muotoon i i3 i5 i( N) [ ] e e e e e, missä nyt kaarisulkujen sisään muodostuu geometrinen sarja. Yleisessä tapauksessa geometrisen sarjan summa on n q Sn a q,
97 missä a on ensimmäinen termi ja q peräkkäisten termien suhde. i Nyt a e i ja q e. Termien lkm on n N/, joten i N e / Ni i e [ ] ee e i i i e e e. ulerin kaavan avulla saadaan (cos N ) isin N [ ] e isin Siten lopultakin ja irradianssiksi tulee missä sisältää kaikki vakiot. i(cos N ) sin N sin N e. sin sin L bsin sin N r sin sin sin N, (.4.) sin Vaikka tulos johdettiin parillisella N : n arvolla se pätee myös parittomilla. Tämä voidaan osoittaa valitsemalla rakosysteemin keskikohdaksi keskimmäisen raon keskikohta ja toistamalla edellisten sivujen laskut (ei tehdä sitä nyt). Kun N, tulos (.4.) antaa suoraan yhden raon tuloksen. Kun N, saadaan kahden raon tulos, sillä sin /sin cos, jne. Tarkastellaan tarkemmin irradianssin (.4.) tekijää sin N sin, joka kuvaa rakojen välistä interferenssiä. nterferenssikuvion ääriarvot saadaan kirjoittamalla 98 d sin N sin N Ncos Nsin cossin N. d sin sin sin Minimit saadaan ensimmäisestä tekijästä asettamalla sinn, kunhan huolehditaan, että sin. Siis N p, josta p, missä (.4.) N p,, 3,, mutta p, N, N, Päämaksimit saadaan edellisestä, kun p, N, N, eli m, missä (.4.3) p m,,, 3, N Tällöin tekijä on epämääräinen (muotoa /), mutta L Hospital in säännöllä saadaan raja-arvot sin N Ncos N lim lim N. m sin m cos Päämaksimeiden irradianssi on siis verrannollinen N : een. Sivumaksimit saadaan derivaatan toisesta tekijästä kirjoittamalla osoittaja nollaksi, ts. Ncos Nsin cossin N eli Ntan tan N. (.4.4) Tämä toteutuu ensinnäkin, kun,,, eli päämaksimien kohdalla. Varsinaiset sivumaksimit saadaan muilla arvoilla. Hyvä approksimaatio tässäkin on olettaa, että sivumaksimit sijaitsevat minimien puolessa välissä, eli paikoissa ( p ). N
99 simerkki: Piirrä monen raon systeemin tuottaman Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma, kun rakojen lukumäärä on 8 ja rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. atkaisu (mathematica-ohjelmalla) 3 simerkki: Monen raon systeemissä N = 8 ja a = 4b (ks. edellä). Laske keskimmäisen päämaksimin viereisen ensimmäisen sivumaksimin irradianssi suhteessa päämaksimin irradianssiin a) approksimoimalla sivumaksimit minimien puoleen väliin b) tarkasti atkaisu: a) Minimit p /8, missä p (),,,3,4,5,6,7,(8),9,, Tässä siis p,8,6, eivät kelpaa. nsimmäinen sivumaksimi on minimien p ja puolessa välissä, ts,5,875. 8 8 8 Ja sitten lasketaan: sin( / 4) sin8 sivu,9979 3,3983 ( / 4) sin 3,647 sin() sin(8 ) 64 64 () sin joten sivu 3,647,557 5,% 64 keski keski b) Tarkasti sivumaksimin paikka (siis ) saadaan ratkaisemalla transkendenttinen yhtälö 8tan tan8 numeerisesti. teroinnin lähtöarvoksi kannattaa valita approksimaatio,875 : Kohtaa a tarkempi arvo on siis,797. Lasketaan:
3 sin( / 4) sin8 sivu,99338 3,368 ( / 4) sin 3,33857 64 (kuten a-kohdassa) keski Joten sivu 3,33857,565 5,% keski 64.5 DFFAKTOHLA dellä tarkastelimme diffraktiota monessa raossa. Käytännön laite, joka soveltaa johdettua teoriaa on diffraktiohila. Monen raon diffraktiokuvio muodostuu itse asiassa interferenssimaksimeista (ks. keskimmäinen kuva esimerkissä sivulla 99), jotka vähitellen vaimenevat diffraktion vaikutuksesta (ks. ylin kuva esimerkissä) kun siirrytään kauemmaksi kuvion keskeltä. Kun rakojen lukumäärä N kasvaa, käy niin, että sivumaksimit pienenevät käytännössä olemattomiin ja irradianssi keskittyy kokonaan päämaksimeille. Päämaksimit saadaan yhtälöstä (.4.3) josta asin m, asin m, m,,, (.5.) Tämä on ns. hilayhtälö, joka siis kertoo maksimien suunnat. Yhtälössä vakio a (rakojen välimatka) on ns. hilavakio ja kokonaisluku m ns. kertaluku. 3 Monokromaattinen valo Kun hilaan saapuu monokromaattista valoa, valon irradianssi jakautuu eri kertalukuihin viereisen kuvan mukaisesti. ri kertalukujen suuntakulmat voidaan laskea ratkaisemalla ne hilayhtälöstä (.5.): arcsin[ m / a]. Viereiseen kuvaan on merkitty ensimmäisen kertaluvun suuntakulma. ri kertalukujen irradianssit saadaan puolestaan soveltamalla monen raon diffraktion teoriaa, joka on esitetty edellisessä kappaleessa. simerkki: Hilaan ohjataan HeNe-laserin valoa, jonka aallonpituus on 63,8 nm. Hilassa on 6 rakoa millimetrillä ja rakojen leveys on /4 peräkkäisten rakojen välimatkasta. a) Mihin kertalukuihin ja suuntiin laservalon irradianssi jakautuu? b) Laske kertalukujen suhteelliset irradianssit. 3 atkaisu: Hilavakio a mm = m 6 6 a) Lasketaan suuntakulmaa sin m m/ am,37968 m sin m sin,37968,3 m sin,75936 49,4 m 3 sin3,394 ei enää mahdollinen rradianssi jakautuu kolmeen kertalukuun (, ja ) b) Kertaluvut ovat interferenssin maksimeita, joille pätee (.4.3): m. nterferenssimaksimit ovat sinänsä kaikki yhtä voimak- kaita, mutta niitä vaimentaa diffraktiotekijä (sin / ) sitä enemmän mitä suurempiin kertalukuihin mennään (esimerkki
33 sivulla 99). Koska nyt a 4b eli /4 m /4, suhteelliset irradianssit saadaan laskemalla [sin( m / 4) /( m / 4)]. Lasketaan: m [sin()/()] = m [sin( / 4) /( / 4)] =,8 m [sin( / 4)/( / 4)] =,45 i-monokromaattinen valo Myös ei-monokromaattinen valo jakautuu kertalukuihin. Lisäksi jokaiseen kertalukuun muodostuu spektri, ts. eri aallonpituudet jakautuvat kertaluvun sisällä hieman eri suuntiin. simerkki: Hilassa on 4 rakoa millimetrillä (4 uraa/mm). Laske näkyvän valon (4 nm 7 nm) kulmajakautuma a) toisessa kertaluvussa b) kolmannessa kertaluvussa 34 Tärkeä havainto: Mitä suurempi kertaluku sitä leveämpi kulmajakauma. Hilan erotuskyky Tarkastellaan tilannetta, jossa hilaan saapuva valo koostuu kahdesta aallonpituudesta ja d, missä d on pieni. Syntyy kaksi monen raon diffraktiokuviota (.4.) 3 atkaisu: Hilavakio a mm = m 4 4 9 Aallonpituuskaista: 4 m 7 9 m a) m (lasketaan vain positiivisia kertalukuja) arcsin( / a) 8,7 arcsin( / a) 34,, kulmajakauma 5,4 b) m 3 arcsin(3 / a) 8,7 arcsin(3 / a) 57,, kulmajakauma 8,4 Hilan erotuskyvyllä tarkoitetaan hilan kykyä tuottaa lähellä toisiaan olevista aallonpituuksista erilliset piikit tietyssä kertaluvussa. Oleellinen kysymys siis on: Milloin päämaksimit vielä erotetaan toisistaan? sim. kuvassa yllä nollannen kertaluvun piikit eivät erotu, mutta jo ensimmäisessä kertaluvussa ne näyttäisivät erottuvan. Toisessa ja kolmannessa erottuminen on jo selvää.
35 ayleigh'n, kriteeri: Piikit erotetaan, kun d:n maksimi osuu :n. minimin kohdalle. Tämä tilanne on esitetty kuvassa alla. Hilayhtälö (ks. myös.4.3) p asin m N antaa päämaksimit, kun p, N, N, ja niitä seuraavat. minimit saadaan seuraavilla arvoilla eli p. Kirjoitetaan: d:n maksimit: p asin m( d) ( d) N :n minimit: p asin N Näistä saadaan p p p ( d) md / N N N N N ja erotuskyvyksi voidaan kirjoittaa ( ) min mn, (.5.) missä ( ) min d on minimi aallonpituusero, joka ayleigh n kriteerin mukaan on erotettavissa. Hilan, jossa on N rakoa, erotuskyky on verrannollinen diffraktion kertalukuun. Toisaalta vakiokertaluvussa erotuskyky paranee rakojen määrän kasvaessa. 36 simerkki: Hilan on kyettävä erottamaan ensimmäisessä kertaluvussa vähintään, nm:n aallonpituuseroja koko näkyvällä alueella (4-7 nm). Hilan leveyden on oltava cm. a) Laske vaadittava rakojen lukumäärä. b) Laske mihin kulmaväliin, nm:n aallonpituusero avautuu aallonpituudella 5 nm ensimmäisessä kertaluvussa. c) Mitä matkaa tämä kulmaero vastaa varjostimella, joka on sijoitettu m:n etäisyydelle hilasta? atkaisu: a) m ja ( ) min, nm. rotuskyvystä (.5.) tulee N 7. m ( ) min, nm Tiukin vaatimus on 7 nm:n alueella, joten sitä käytettiin yllä. Tällä arvolla 4 nm:n alueella ( ) min 4nm / 7,6nm, joten hilat toimii varmasti vaaditusti. b) Hilavakio: a m 857, nm 7 Hilayhtälöstä ( m ) asin derivoimalla ( :n suhteen) d acos d acos a sin a ( / a) a Tässä:,nm, 5nm ja a 857, nm 35,6rad c) varjostimella väli on m =,36 mm.