Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Ehdollinen varianssi, Jatkuva jakauma, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Karteesinen tulo, Kertmäfunktio, Korrelaatio, Korreloimattomuus, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Kulmakerroin, Multinomijakauma, Odotusarvo, Pistetodennäköissfunktio, Regressiofunktio, Regressiosuora, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Satunnaismuuttuja, Suora, Tihesfunktio, Varianssi, hteisjakauma, hteiskorrelaatiokerroin Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot ja satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin : S : R Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: {(,), } R S = r s r R s S Satunnaismuuttujien ja järjestett pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: (, ): S R Diskreetti kaksiulotteinen jakauma Olkoot ja diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestett pari (, ) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (, ) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen todennäköissjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja hteisjakaumaksi. Reaaliarvoinen funktio f : R R määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f (, ) kaikille ja () f (, ) = (3) Pr( = ja = ) = f (, ) TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Jatkuva kaksiulotteinen jakauma Olkoot ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin järjestett pari (, ) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (, ) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen todennäköissjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja hteisjakaumaksi. Reaaliarvoinen funktio f : R R määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f (, ) kaikille ja + + () f (, ) dd = bd (3) Pr( a b ja c d) = f (, ) dd Kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio ac Olkoon (, ) satunnaismuuttujien ja muodostama järjestett pari. Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman kertmäfunktio F määritellään kaavalla F (, ) = Pr( ja ) Diskreetin kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio Olkoon f (, ) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköissfunktio. Jakauman kertmäfunktio saadaan kaavalla F (, ) Pr( ja ) f (, ) = = i i i i Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio Olkoon f (, ) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tihesfunktio. Jakauman kertmäfunktio saadaan kaavalla F (, ) = Pr( ja ) = f ( u, v) dvdu Olkoon F (, ) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio. Jos derivaatta F (, ) = f (, ) on olemassa ja on jatkuva, funktio f (, ) on satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio. TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (, ) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköissfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio on f ( ) = Pr( = ) = f(, ) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio on f( ) = Pr( = ) = f(, ) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat htvät satunnaismuuttujien ja todennäköissjakaumiin. Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (, ) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tihesfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio on + f ( ) = f(, ) d Satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio on + f( ) = f(, ) d Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat htvät satunnaismuuttujien ja todennäköissjakaumiin. Satunnaismuuttujien riippumattomuus Olkoon f (, ) satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio, f () satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio ja f () satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio. Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f (,) = f ()f () Diskreetin kaksiulotteisen jakauman leinen odotusarvo Olkoon f (, ) diskreettien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktio ja olkoon g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio E( g(, )) g(, ) f (, ) = Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman leinen odotusarvo Olkoon f (, ) jatkuvien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio ja olkoon g : TKK @ Ilkka Mellin (8) 3/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio + + E( g(, )) g(, ) f (, ) dd = Diskreetin kaksiulotteisen jakauman odotusarvot Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktio f (, ), satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f (). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) = f (, ) = f (, ) = f ( ) Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) = f (, ) = f (, ) = f ( ) Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman odotusarvot Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio f (, ), satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f (). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: + + + + + E( ) = f (, ) dd = f (, ) dd = f ( ) d Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: Odotusarvon ominaisuudet + + + + + E( ) = f ( dd, ) = f ( dd, ) = f ( d ) Satunnaismuuttujien ja odotusarvojen muodostama järjestett pari (µ,µ ) määrää satunnaismuuttujien ja hteisjakauman todennäköissmassan painopisteen. Satunnaismuuttujien ja summan + odotusarvo: E( + ) = E( ) + E( ) Satunnaismuuttujien ja erotuksen odotusarvo: E( ) = E( ) E( ) TKK @ Ilkka Mellin (8) 4/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo: E( ) = E( ) E( ) = µ µ Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E( ) = E( ) E( ) = µ µ ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Kaksiulotteisen jakauman varianssit ja standardipoikkeamat Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) = µ E( ) = µ Satunnaismuuttujien ja varianssit htvät vastaavien reunajakaumien variansseihin: Var( ) = D ( ) = = E[( µ ) ] Var( ) = D ( ) = = E[( µ ) ] Satunnaismuuttujien ja varianssien kaavat voidaan kirjoittaa seuraaviin htäpitäviin muotoihin: D( ) = E[( µ )] = E( ) µ = E( ) [E( )] D( ) = E[( µ )] = E( ) µ = E( ) [E( )] Satunnaismuuttujien ja standardipoikkeamat htvät vastaavien reunajakaumien standardipoikkeamiin: D( ) = = E[( µ ) ] ( ) D = = E[( µ ) ] Diskreetin kaksiulotteisen jakauman varianssit Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f (). Tällöin satunnaismuuttujien ja varianssit ovat vakioita D( ) = ( µ ) f () D( ) = ( µ ) f( ) Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman varianssit Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f (). + D( ) = ( µ ) () + D( ) = ( µ ) ( ) f d f d TKK @ Ilkka Mellin (8) 5/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Kovarianssi Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) = µ E( ) = µ Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) = = E[( µ )( µ )] Eritisesti Cov(, ) = Var( ) = Cov(, ) = Var( ) = Satunnaismuuttujien ja kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin htäpitäviin muotoihin: Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = E( ) µ µ = E( ) E( ) E( ) Jos satunnaismuuttujat ja ovat diskreettejä, satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) = ( µ )( µ ) f (, ) Jos satunnaismuuttujat ja ovat jatkuvia, satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio + + Cov(, ) = ( µ )( µ ) f (, ) dd Kovarianssin ominaisuudet Jos Cov(, ) = = niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin ne ovat korreloimattomia, mutta käänteinen ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit Var( ) = Var( ) = ja kovarianssi Cov(, ) = Tällöin Jos Var( ± ) = Var( ) + Var( ) ± Cov(, ) = + ± TKK @ Ilkka Mellin (8) 6/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Cov(, ) = = niin Var( ± ) = Var( ) + Var( ) = + Korrelaatiokerroin Olkoon satunnaismuuttujilla ja on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) = µ Var( ) = D ( ) = E( ) = µ Var( ) = D ( ) = Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on vakio Cov(, ) Cor(, ) = ρ = Var( ) Var( ) Cov(, ) = D( ) D( ) = Korrelaatiokertoimen ominaisuudet Huomaa, että Cor(, ) = ρ = täsmälleen silloin, kun Cov(, ) = = Jos siis Cor(, ) = ρ = niin satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin ne ovat korreloimattomia, mutta käänteinen ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Tällöin (i) Cor(, ) + (ii) Jos ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) = (iii) Cor(, ) =±, jos ja vain, jos = α + β, jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β TKK @ Ilkka Mellin (8) 7/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Lineaarimuunnokset ja -ulotteisen jakauman tunnusluvut Olkoot satunnaismuuttujilla ja seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) = µ Var( ) = E( ) = µ Var( ) = Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = Olkoot W = a+ b Z = c+ d jossa a, b, c, d R ovat reaalisia vakioita. Tällöin E( W) = a+ be( ) = a+ bµ E( Z) = c+ de( ) = c+ dµ Var( W) = b Var( ) = b Var( Z) = d Var( ) = d Cov( W, Z) = bd Cov(, ) = bd Cor( W, Z) = sgn( bd)cor(, ) = sgn( bd) ρ Ehdolliset jakaumat Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio f (, ) ja satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköiss- tai tihesfunktiot f () ja f (). Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = ) on f (, ) f ( ) =, jos f ( ) f ( ) > Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = ) on f (, ) f ( ) =, jos f ( ) f ( ) > Ehdolliset jakaumat ja riippumattomuus Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ht satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( ) = f ( ), jos f ( ) > Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ht satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( ) = f ( ), jos f ( ) > Diskreetin kaksiulotteisen jakauman ehdolliset odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujat ja diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: TKK @ Ilkka Mellin (8) 8/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B E( ) f ( ) = = Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( ) f ( ) = = Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman ehdolliset odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujat ja jatkuvia. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( = ) = f ( d ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnais muuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( = ) = f ( d ) Ehdolliset odotusarvot ja riippumattomuus Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, ehdolliset odotusarvot htvät niiden reunajakaumien odotusarvoihin. Jos siis ja ovat riippumattomia, niin E( ) = E( ) E( ) = E( ) Iteroidun odotusarvon laki Ehdolliset odotusarvot voidaan tulkita satunnaismuuttujiksi ehtomuuttujan suhteen. Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvo (satunnaismuuttujan suhteen) on E E( ) = E( ) Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvo (satunnaismuuttujan suhteen) on Regressiofunktiot E E( ) = E( ) Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( = ) ehtomuuttujan arvojen funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen määrittelee regressiokärän TKK @ Ilkka Mellin (8) 9/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B = g ( ) = E( = ) Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( = ) ehtomuuttujan arvojen funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen määrittelee regressiokärän = g ( ) = E( = ) Moniulotteisia jakaumia Multinomijakauma Multinomijakauma on binomijakauman leists useamman toisensa poissulkevan tapahtuman tilanteeseen. Olkoon A, A,, A k otosavaruuden S ositus. Tällöin A i A j =, i j S = A A A k Olkoot tapahtumien A, A,, A k todennäköisdet: Pr(A i ) = p i, i =,,, k p + p + + p k = Määritellään satunnaismuuttujat i, i =,,, k: Tällöin jossa Lisäksi i = Tapahtuman A i esiintmisten lukumäärä n-kertaisessa toistokokeessa ~Bin( n, p ), i =,,, k i p i = Pr(A i ), i =,,, k + + + k = n Multinomijakaumalla tarkoitetaan satunnaismuuttujien i hteisjakaumaa.,,, k TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Huomautus: Satunnaismuuttuja i eivät ole riippumattomia, koska niitä sitoo toisiinsa ehto + + + k = n jossa toistokokeiden lukumäärä n on kiinteä luku. Satunnaismuuttujat,,, k noudattavat (k )-ulotteista multinomijakaumaa, jos niiden hteisjakauman pistetodennäköissfunktio on muotoa jossa n! Pr( = n ja = n ja ja = n ) = p p p n n n k k k k n! n! nk! p+ p + + pk = n + n + + n = n k Merkintä: (,,, k ) Multinom(p, p,, p k ; n) Jos k =, niin multinomijakauma ht binomijakaumaan: Pr ( = n ja = n n ) = Pr ( = n ) Multinom Bin Multinomijakauman ksiulotteiset reunajakaumat ovat binomijakaumia. Multinomitodennäköisdet saadaan korottamalla multinomi (p + p + + p k ) potenssiin n: n! ( p + p + + p ) = p p p n n n k n! n! nk! jossa summa lasketaan li kaikkien lukujen n, n,, n k, joille pätee ehto n + n + + n k = n n k k -ulotteinen normaalijakauma Satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa -ulotteista normaalijakaumaa, jos sen tihesfunktio on () f (, ) = ep Q (, ) π ρ ( ρ ) jossa ja µ µ µ µ Q (, ) = ρ + < µ <+ > < µ <+ > ρ + TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B -ulotteisen normaalijakauman tihesfunktion määrittelevän htälön () hakasulkulauseke [ ] määrää tihesfunktion tasa-arvokärät. Kaikki tasa-arvokärät ovat ellipsejä, joiden htälöt voidaan ilmaista muodossa µ µ µ µ ρ Q (, ) = + = c missä c on vakio. -ulotteinen normaalijakauman tihesfunktio () on parametroitu niin, että sen parametreina ovat satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja korrelaatio. Satunnaismuuttujien ja odotusarvot ovat µ = E( ) µ = E( ) Satunnaismuuttujien ja varianssit ovat = Var( ) = E ( µ ) = Var( ) = E ( µ ) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on ρ = Cor(, ) = jossa [ ] = Cov(, ) = E ( µ )( µ ) on satunnaismuuttujien ja kovarianssi. -ulotteista normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujien ja parin (, ) odotusarvovektori on µ µ = µ ja kovarianssimatriisi on ρ Σ = = ρ -ulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat -ulotteisia normaalijakaumia: N( µ, ) N( µ, ) -ulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja korreloimattomuudesta seuraa niiden riippumattomuus. Muista, että aina pätee se, että riippumattomuudesta seuraa korreloimattomuus. TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B -ulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat -ulotteisia normaalijakaumia: ( ) N( µ + β ( µ ), ( ρ)), β = ρ ( ) N( µ + β ( µ ), ( ρ)), β = ρ Ehdollinen odotusarvo E( ) = µ + β ( µ ) on muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen. Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran = µ + β ( µ ) Suoran kulmakerroin on β = ρ ja se kulkee pisteen (µ,µ ) kautta. Ehdollinen odotusarvo E( ) = µ + β ( µ ) on muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen. Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran = µ + β ( µ ) Suoran kulmakerroin on β ρ = ja se kulkee pisteen (µ,µ ) kautta. Huomaa, että regressiosuorien kulmakertoimet β ja β toteuttavat htälön β β = ρ -ulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja hteiskorrelaatiokerroin on R ja ehdolliset varianssit ovat ρ = = = = = ( ρ ) = ( ρ ) -ulotteisen normaalijakauman tihesfunktiota muodon määräävien tasa-arvoellipsien R µ µ µ µ Q (, ) = ρ + = c pääakseleiden pituudet (oik. pituuksien suhteet) ja suunnat saadaan määräämällä kovarianssimatriisin TKK @ Ilkka Mellin (8) 3/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B ρ Σ = = ρ ominaisarvot ja ominaisvektorit. Matriisin Σ ominaisarvot saadaan määräämällä determinanttihtälön λ Σ λi = = λ + λ+ = λ ( ) nollakohdat muuttujan λ suhteen. htälöllä on (aina) kaksi reaalista ja ei-negatiivista nollakohtaa, jotka ovat siis matriisin Σ ominaisarvot. Matriisin Σ ominaisarvoja λ ja λ vastaavat ominaisvektorit q = (q, q ) q = (q, q ) saadaan htälöistä Σq = λ q, =, i i i i ottamalla huomioon ehdot qq i i = q i + qi =, i =, Tasa-arvoellipsien Q(,) = c pääakseleiden pituudet suhtautuvat toisiinsa kuten ominaisarvojen λ ja λ neliöjuuret ja pääakseleiden suunnat htvät vastaavien ominaisvektoreiden suuntiin. TKK @ Ilkka Mellin (8) 4/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Tehtävä 6.. Heitetään kahta virheetöntä noppaa (nopan virheettömdellä tarkoitetaan sitä, että silmälukujen,, 3, 4, 5, 6 todennäköisdet ovat htä suuria). Määritellään satunnaismuuttujat = tulos. nopan heitosta = tulos. nopan heitosta U = min(,) V = ma(,) Määrää: (a) Satunnaismuuttujan U jakauma. (b) Satunnaismuuttujan V jakauma. (c) Satunnaismuuttujien U ja V hteisjakauma. (d) E(U) (e) E(V) (f) Satunnaismuuttujan U ehdollinen jakauma ehdolla V = 4. (g) Satunnaismuuttujan V ehdollinen jakauma ehdolla U = 4. (h) E(U V = 4) (i) E(V U = 4) Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reunajakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.. Ratkaisu: Koska nopat oletettiin virheettömiksi, satunnaismuuttujien ja pistetodennäköissfunktiot f (i) = Pr( = i), i =,, 3, 4, 5, 6 f (i) = Pr( = i), i =,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i 3 4 5 6 f (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 f (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 TKK @ Ilkka Mellin (8) 5/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (a) Muodostetaan heittotulosten minimille U = min(, ) jossa =. nopan heiton tulos =. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: U = min(, ). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos 3 4 5 6 3 3 3 3 3 4 3 4 4 4 5 3 4 5 5 6 3 4 5 6 Satunnaismuuttujan U = min(, ) pistetodennäköissfunktio f U (i) = Pr(U = i), i =,, 3, 4, 5, 6 voidaan lukea tästä aputaulukosta. Pistetodennäköissfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: i 3 4 5 6 f U (i) /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Esimerkiksi silmäluku 5 voi tulla minimiksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos U = min(, ) 5 5 5 5 6 5 6 5 5 TKK @ Ilkka Mellin (8) 6/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (b) Muodostetaan heittotulosten maksimille V = ma(, ) jossa =. nopan heiton tulos =. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: V = ma(, ). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 Satunnaismuuttujan V = ma(, ) pistetodennäköissfunktio f V (i) = Pr(V = i), i =,, 3, 4, 5, 6 voidaan lukea tästä aputaulukosta. Pistetodennäköissfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: i 3 4 5 6 f V (i) /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 Esimerkiksi silmäluku voi tulla maksimiksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos V = ma(, ) TKK @ Ilkka Mellin (8) 7/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (c) Satunnaismuuttujien U = min(, ) ja V = ma(, ) hteisjakauman pistetodennäköissfunktio f UV (i, j) = Pr(U = i ja V = j) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f UV (i,j) V = ma(, ) = j U = min(, ) = i 3 4 5 6 ht. /36 /36 /36 /36 3/36 3 /36 /36 /36 5/36 4 /36 /36 /36 /36 7/36 5 /36 /36 /36 /36 /36 9/36 6 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 ht. /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Esimerkiksi: f UV (5,3) = Pr(U = 5 ja V = 3) = koska kahden luvun minimi ei voi olla maksimia suurempi. Esimerkiksi: f UV (3,5) = Pr(U = 3 ja V = 5) = /36 koska tulos {U = 3 ja V = 5} voi sntä täsmälleen kahdella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos U = min(,) V = ma(,) 3 5 3 5 5 3 3 5 (d) Satunnaismuuttujan U odotusarvo on 6 6 E( U) = if ( i) = ipr( U = i) U i= i= 9 7 5 3 9 = + + 3 + 4 + 5 + 6 = =.58 36 36 36 36 36 36 36 TKK @ Ilkka Mellin (8) 8/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (e) Satunnaismuuttujan V odotusarvo on 6 6 E( V) = jf ( j) = jpr( V = j) V j= j= 3 5 7 9 6 = + + 3 + 4 + 5 + 6 = = 4.47 36 36 36 36 36 36 36 (f) Satunnaismuuttujan U ehdolliset pistetodennäköissfunktiot, ehdolla V saadaan kaavasta fuv (, i j) fuv ( i j) =, i,,,6, j,,,6 f ( j) = = V Tuloksena saadaan ao. taulukko, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: V = j f U V (i j) U = i V = j 3 4 5 6 ht. /3 /3 3 /5 /5 /5 4 /7 /7 /7 /7 5 /9 /9 /9 /9 /9 6 / / / / / / Taulukko saadaan jakamalla (c)-kohdan taulukon solutodennäköisdet f UV (i,j) = Pr(U = i ja V = j) satunnaismuuttujan V reunajakauman todennäköisksillä f V (j) = Pr(V = j) jotka ovat (c)-kohdan taulukossa rivisummina. Kstt ehdollinen jakauma f U V (i j = 4) on merkitt taulukkoon lihavoituna. TKK @ Ilkka Mellin (8) 9/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (g) Satunnaismuuttujan V ehdolliset pistetodennäköissfunktiot, ehdolla U saadaan kaavasta fuv (, i j) f ( j i) =, i,,,6, j,,,6 VU f () i = = U Tuloksena saadaan ao. taulukko, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: V = j U = i f V U (j i) U = i 3 4 5 6 / /9 3 / /9 /7 4 / /9 /7 /5 5 / /9 /7 /5 /3 6 / /9 /7 /5 /3 ht. Taulukko saadaan jakamalla (c)-kohdan taulukon solutodennäköisdet f UV (i,j) = Pr(U = i ja V = j) satunnaismuuttujan U reunajakauman todennäköisksillä f U (i) = Pr(U = i) jotka ovat (c)-kohdan taulukossa sarakesummina. Kstt ehdollinen jakauma f U V (i j = 4) on merkitt taulukkoon lihavoituna. (h) Ehdollinen odotusarvo E(U V = 4) saadaan (f)-kohdan taulukosta: E( U V = 4) = if ( i j = 4) 6 i= UV 6 = + + 3 + 4 + 5 + 6 = =.86 7 7 7 7 7 TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (i) Ehdollinen odotusarvo E(V U = 4) saadaan (g)-kohdan taulukosta: E( V U = 4) = jf ( j i = 4) 6 j = V U 6 = + + 3 + 4 + 5 + 6 = = 5. 5 5 5 5 Tehtävä 6.. Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktio Pr( = = 3) = Pr( = = ) = Pr( = = ) = Pr( = = ) = /4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Cov(, ) (c) Cor(, ) (d) Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. (e) E( ) Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reunajakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.. Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman f (, ) = Pr( = ja = ) pistetodennäköissfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: f (, ) 3 /4 /4 /4 /4 Reunajakaumien f () = Pr( = ) = f (, ) f () = Pr( = ) = f (, ) pistetodennäköissfunktiot saadaan tästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B f (, ) f () 3 /4 /4 /4 /4 /4 /4 / f () /4 / /4 (b) Lasketaan satunnaismuuttujien ja kovarianssi kaavalla Cov(, ) = E() E()E() Lasketaan ensin satunnaismuuttujien ja odotusarvot: 3 E( ) = i Pr( = i) = + + = =.5 4 4 4 i= Edelleen 3 E( ) = i Pr( = i) = + + 3 = 4 4 i= 3 3 E( ) = Pr( =, = ) i= j= i j i j 7 = ( ) 3 + ( ) + + ( ) = =.75 4 4 4 4 4 Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) = E[( E( ))( E( ))] = E( ) E( ) E( ) 7 7 = = =.75 4 4 4 (c) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on Cov(, ) Cor(, ) = D( ) D( ) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on laskettu (b)-kohdassa, mutta joudumme laskemaan vielä satunnaismuuttujien ja standardipoikkeamat. Lasketaan ensin satunnaismuuttujille ja. origomomentit: 3 5 E( ) = i Pr( = i) = ( ) + + = =.5 4 4 4 i= TKK @ Ilkka Mellin (8) /39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B 8 9 E( ) = Pr( = ) = ( ) + + 3 = = = 4.5 4 4 4 3 i i i= Satunnaismuuttujien ja varianssit ovat: Siten 5 9 Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] =.875 4 = = 4 6 9 9 Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = 4.5 7 Cov(, ) 4 7 Cor(, ) = = = =.757 D( ) D( ) 9 9 7 6 (d) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköissfunktiot, kun ehtomuuttujana on : f (, ) f ( ) = f ( ) = : 3 f () = : 3 f () / / = : 3 f () Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisdet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetn satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisdet satunnaismuuttujan reunajakauman todennäköisksillä. TKK @ Ilkka Mellin (8) 3/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (e) Ehdolliset odotusarvot E( = ) = f () saadaan kohdasta (d): E( = ) 3 / Esimerkiksi: 3 E( = ) = Pr( = = ) = + + 3 = j= j j Tehtävä 6.3. Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio f(, ) = C( + ),, jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman kertmäfunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tihesfunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle ehdolla. (f) Ehdollinen odotusarvo E( ). Tehtävä 6.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reuna-jakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.3. Ratkaisu: (a) Vakio C saadaan määrätksi integroimalla satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio sen määrittelalueen A li: (,) A (,) TKK @ Ilkka Mellin (8) 4/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Saamme siten seuraavan htälön vakion C määräämiseksi: + + f (, ) dd = C ( + ) dd = C + d C d = = C = C = 6 3 Ratkaisuksi saadaan C = 3 Siten satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio on muotoa f(, ) = 3( + ),, 3 = C 6 z (b) Todennäköiss Pr( ) saadaan integroimalla hteisjakauman tihesfunktio alueen B li: (,) (/,/) B (,) Siten ( ) / Pr = 3 ( + ) dd + 3 ( + ) dd / / / / 3 / / 3 3 / = 3 + d+ 3 + d = 3 d+ 3 d 3 = 3 3 6 + = 6 TKK @ Ilkka Mellin (8) 5/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (c) Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman kertmäfunktioksi saadaan F (, ) = f ( u, v) dvdu = 3 ( u + v) dvdu uv v du = 3 + = 3 + u du = 3 u+ u 3 3 = + Kertmäfunktio on määritelt alueella A = {(,), } (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat saadaan integroimalla niiden hteisjakauman tihesfunktio vuorotellen kummankin muuttujan suhteen: 3 f ( ) = 3 ( + ) d = 3 + = ( ) 3 f ( ) = 3 ( + ) d= 3 + = ( ) Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska 9 9 f f = = + + = f 4 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3( ) (, ) (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on f f (, ) 3( + ) ( + ) ( ) = = = f ( ) 3 ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla = riippuu :stä, jolloin esimerkiksi mös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat :stä. Tämä on mmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. TKK @ Ilkka Mellin (8) 6/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (f) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + E( ) = f ( d ) = ( + ) d ( ) = + d 3 = + 3 ( )( + ) = 3 + Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla = eli satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen riippuu :stä. Tämä on mmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. Tehtävä 6.4. Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio f(, ) = Ce +,, jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (c) Ovatko ja riippumattomia? Tehtävä 6.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reuna-jakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.4. Ratkaisu: (a) Vakio C saadaan määrätksi integroimalla satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio sen määrittelalueen li, koska aina pätee, että + + f (, ) dd TKK @ Ilkka Mellin (8) 7/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Saamme siten seuraavan htälön vakion C määräämiseksi: + C e dd = C e e dd C e d = = Ce ( ) ed = Ce ( ) e = Ce = ( ) Ratkaisuksi saadaan C = /(e ) Siten satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio on + f (, ) = e,, ( e ) (b) Koska satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio faktoroituu muotoon f(, ) = ( e ) e + = e e e e niin satunnaismuuttujien ja reunajakaumien tihesfunktiot ovat f ( ) = e e f ( ) = e e (c) Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, koska f ( ) f ( ) = f (, ) TKK @ Ilkka Mellin (8) 8/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Tehtävä 6.5. Alla olevassa taulukossa on annettu satunnaismuuttujien ja reunajakaumat: f (, ) f () 3 /4 /4 / f () /4 / /4 niin, Tätä taulukon solut satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköisksillä että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Tehtävä 6.5. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan riippumattomuuden käsitettä. Tehtävä 6.5. Ratkaisu: Diskreetit satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden hteisjakauman pistetodennäköissfunktio voidaan esittää sen reunajakauman pistetodennäköissfunktioiden tulona: f (, ) = Pr( = ja = ) = Pr( = )Pr( = ) = f ()f () Siten saamme hteisjakauman pistetodennäköisksiksi seuraavan taulukon luvut: f (, ) f () 3 /6 /8 /6 /4 /6 /8 /6 /4 /8 /4 /8 / f () /4 / /4 Tehtävä 6.6. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E( ) =+ Var( ) = 9 E( ) = Var( ) = 4 Cov(, ) = 5 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. TKK @ Ilkka Mellin (8) 9/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (b) Cor(, ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. Tehtävä 6.6. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Tehtävä 6.6. Ratkaisu: Oletuksen mukaan µ E( ) = =+ Var( ) = D ( ) = = 9 µ E( ) = = Var( ) = D ( ) = = 4 Cov(, ) = = 5 (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat ovat normaalisia: ~ N(+, 9) jossa µ E( ) = =+ Var( ) = D ( ) = = 9 ja ~ N(, 4) jossa µ E( ) = = Var( ) = D ( ) = = 4 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cov(, ) 5 5 = Cor(, ) = = = = =.8333 D( ) D( ) 3 6 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: ~ N(E( ), Var( )) Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) odotusarvo eli satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo (ehdolla ) on 5 3 5 E( = ) = µ + ρ ( µ ) = ( + ) = 6 4 4 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen funktiona lineaarinen. Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) varianssi eli satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) on TKK @ Ilkka Mellin (8) 3/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Var( = ) = ( ρ ) = 9 = 9 =.75 < 9 = 6 36 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: ~ N(E( ), Var( )) Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) odotusarvo eli satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo (ehdolla ) on 5 4 6 E( = ) = µ + ρ ( µ ) = ( ) = 6 9 7 7 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen funktiona lineaarinen. Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) varianssi eli satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) on Var( = ) = ( ρ ) = 4 = 4 = =. < 9 = 6 36 9 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Tehtävä 6.7. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E( ) = µ =+ Var( ) = D ( ) = = 4 E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 9 Cor(, ) = ρ =.9 Määrää Cov(, ) Tehtävä 6.7. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Tehtävä 6.7. Ratkaisu: Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on Cov(, ) ρ = Cor(, ) = = D( ) D( ) TKK @ Ilkka Mellin (8) 3/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Siten Tässä joten = Cov(, ) = Cor(, ) D( ) D( ) = ρ D( ) = = D( ) = = 3 Cor(, ) = ρ =.9 Cov(, ) = ρ =.9 3 = 5.4 Tehtävä 6.8. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on 4 E( = ) = 5 5 satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on 5 E( = ) = 4 4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja odotusarvot. (b) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio. Tehtävä 6.8. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.8. Ratkaisu: Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on muotoa = µ + ρ ( µ ) ja satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on muotoa = µ + ρ ( µ ) jossa µ = = = µ = = = ρ = Cor(, ) E( ) D ( ) Var( ) E( ) D ( ) Var( ) TKK @ Ilkka Mellin (8) 3/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Koska kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat lineaarisia ehtomuuttujien arvojen suhteen niitä kutsutaan regressiosuoriksi. (a) Regressiosuorien htälöistä näk, että kumpikin suora kulkee satunnaismuuttujien ja hteisjakauman todennäköissmassan painopisteen (µ, µ ) kautta. Siten satunnaismuuttujien ja odotusarvot saadaan määräämällä suorien leikkauspiste. Siten leikkauspiste saadaan määräämällä lineaarisen htälörhmän 4 = 5 5 5 = 4 4 ratkaisu. Sijoittamalla ensimmäinen htälö toiseen htälöön saadaan htälö 5 4 3 = = + 4 5 5 4 4 4 josta saadaan ratkaisuksi = Sijoittamalla tämä ensimmäiseen htälöön saadaan 4 = = 5 5 Siten satunnaismuuttujien ja odotusarvot ovat E() = E() = + (b) Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiosuorien leisistä lausekkeista näk, että suorien kulmakertoimet ρ ja ρ toteuttavat htälön Siten ρ ρ = ρ 5 = = 5 4 4 ρ TKK @ Ilkka Mellin (8) 33/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B joten satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ = koska regressiosuorien kulmakertoimet ovat negatiivisia. Tehtävä 6.9. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E() = E() = Var() = D () = 9 Var() = D () = 4 Cor(, ) =.5 (a) Määrää muuttujien ja kovarianssi. (b) Määrää muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. (c) Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien ja odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset? Tehtävä 6.9. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.9. Ratkaisu: Oletuksen mukaan E( ) = µ =+ Var( ) = D ( ) = = 9 E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 4 Cor(, ) = ρ =.5 Lasketaan ensin muuttujien ja standardipoikkeamat: D() = 3 D() = (a) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi: Cov(, ) = Cor(, ) D() D() =.5 3 = 3 (b) Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 3/ =.75 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen TKK @ Ilkka Mellin (8) 34/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (E(), E()) = (+, ) kautta, suoran htälö on muotoa =.75 ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 9 = 6.75 < D () Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 /3 = /3 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (+, ) kautta, suoran htälö on muotoa + = (/3) ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 4 = 3 < D () (c) Koska kumpikin regressiosuorista kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen kautta, suorien leikkauspisteenä on piste (E(), E()) = (+, ) Tehtävä 6.. (a) Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E() = E() = Var() = D () = Var() = D () = 4 Cov(, ) = Määrää muuttujien ja korrelaatio ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. (b) Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. TKK @ Ilkka Mellin (8) 35/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Olkoon satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen 8 4 = + 3 3 ja satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen 3 7 = + Määrää muuttujien ja odotusarvot. Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.. Ratkaisu: Oletuksen mukaan E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 4 Cov(, ) = ρ = Lasketaan ensin muuttujien ja standardipoikkeamat: D() = D() = (a) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio: Cor(, ) = Cov(, )/(D() D()) = /( ) =.5 Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 / = /4 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa = ( /4) ( ) Vastaava ehdollinen varianssi: ( Cor(, ) ) D () = ( (.5) ) =.75 < D () Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 / = Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen TKK @ Ilkka Mellin (8) 36/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa = Vastaava ehdollinen varianssi: ( Cor(, ) ) D () = ( (.5) ) 4 = 3 < D () (b) Suorat leikkaavat pisteessä (,), joten E() = E() = Tehtävä 6.. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E() = E() = 5 Var() = D () = 6 Var() = D () = 9 Cov(, ) = 6 (a) Määrää muuttujien ja korrelaatio. (b) Määrää muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. (c) Kerro (b)-kohdassa määräämiesi regressiosuorien kulmakertoimet keskenään ja vertaa saatua tulosta (a)-kohdassa määräämäsi korrelaatiokertoimen neliöön. Mitä havaitset? (d) Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien ja odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset? Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.. Ratkaisu: Oletuksen mukaan E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 6 E( ) = µ = 5 Var( ) = D ( ) = = 9 Cov(, ) = = 6 Lasketaan ensin muuttujien ja standardipoikkeamat: D() = 4 D() = 3 (a) Muuttujien ja korrelaatio: TKK @ Ilkka Mellin (8) 37/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Cor(, ) = Cov(, )/(D() D()) = 6/(4 3) = / =.5 (b) Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 4/3 = /3.667 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa + = (/3) ( 5) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen: ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 6 = < D () Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 3/4 = 3/8 =.375 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa 5 = (3/8) ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi muuttujan suhteen: ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 9 = 7/4 = 6.75 < D () (c) Muuttujan regressiosuorassa muuttujan suhteen kulmakerroin on D( ) Cor(, ) D( ) Muuttujan regressiosuorassa muuttujan suhteen kulmakerroin on D( ) Cor(, ) D( ) Siten kulmakertoimien tuloksi saadaan D( ) D( ) Cor(, ) Cor(, ) = [Cor(, )] D( ) D( ) TKK @ Ilkka Mellin (8) 38/39
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Tehtävässä D( ) D( ) 3 Cor(, ) Cor(, ) = = = [Cor(, )] D( ) D( ) 3 8 4 = TKK @ Ilkka Mellin (8) 39/39