DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin muutosnopeus II). Partikkelin liikeyhtälöiden muodostaminen.

KERTAUS

KERTAUS: NAPAKOORDINAATISTO P φ r φ O P r r = r(t) φ = φ(t) r O φ r r φ φ r φ r φ r = φ =1 = r r =ṙ r + r φ φ = = =( r r φ 2 ) r +(2ṙ φ + r φ) φ

KERTAUS: SYLINTERIKOORDINAATISTO r φ z z r φ r = r(t) φ = φ(t) z = z(t) r φ z r φ z r φ = r r + z z =ṙ r + r φ φ +ż z = = =( r r φ 2 ) r +(2ṙ φ + r φ) φ + z z

KERTAUS: KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET

KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET a = a XI + a Y J + a ZK = a xi + a yj + a zk ja ( ) da dt A ( da dt ) B

KERTAUS: KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET 1. Muodosta relaatio ei-vakio -kannan ja inertiaalikannan välille: e α i i e α e β = L(ϕ) j j = L(ϕ) 1 e β k k e γ 2. Derivoi puolittain (tulon derivointi ja di/dt = dj/dt = dk/dt = 0): d e α i e β dt = L(ϕ) j k e γ 3. Palauta kanta halutuksi (eli jää jäljelle vain kysytyn kannan vektoreita): d e α e α e α e β dt = L(ϕ)L(ϕ) 1 e β = Ω(ϕ) e β, e γ jossa Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1. e γ e γ e γ

KERTAUS: RISTITULO a b = (a xi + a yj + a zk) (b xi + b yj + b zk) = a xb x(i i) + a xb y(i j) + a xb z(j k) + a yb x(j i) + a yb y(j j) +... Oheiset kuvat esittävät muistisäännön ns. oikeakätisille systeemeille (kuten esim. oikeakätisen koordinaatiston kantavektorit). i Edettäessä kuvaassa vastapäivään (nuolien suunta): i j = k j k = i k i = j ja toisaalta edettäessä myötäpäivään: i k = j k j = i j i = k. Lisäksi muistettava: i i = j j = k k = 0. Alla esitetyssä yleisessä tapauksessa (esim. sylinterikoordinaatistossa olisi: α = r, β = ϕ ja γ = z) vastaavasti: e α e β = e γ e β e γ = e α e γ e α = e β jne j e β e α k e γ

LUENTO 2: MEKANIIKAN KOORDINAATISTOT (OSA II) JA PARTIKKE- LIN LIIKEYHTÄLÖT Arttu Polojärvi

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Osaa johtaa partikkelin nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset derivoimalla partikkelin aseman esitystä pallokoordinaatistossa. Osaa soveltaa kulmanopeusvektoria liikkuvan kannan suhteen vakiovektorin muutosnopeuden johtamisessa. Tuntee partikkelin liikeyhtälöiden muodostamisen periaatteet erilaisissa dynamiikan tehtäville tyypillisissä koordinaatistoissa.

PALLOKOORDINAATISTO

PALLOKOORDINAATISTO Asema: Yleensä kulmat kuvan mukaisesti x- ja z-akseleista ja etäisyys origosta. i ϕ k θ e r e θ r = re r e ϕ j Pallokoordinaatit r = r(t), ϕ = ϕ(t) ja θ = θ(t): - r on etäisyys origosta. - θ kulma z-akselista t.s. rotaatio e ϕ -kantavektorin ympäri. - ϕ on rotaatio z-akselin ympäri. Kantavektorit e r, e θ ja e ϕ : - Suunnat alaindeksin indikoiman koordinaatin kasvusuuntaan. - Kantavektorit eivät ole vakioita. - Kanta on ortonormeerattu.

PALLOKOORDINAATISTO: PARTIKKELIN ASEMA JA LIIKE k e r θ P e ϕ e θ ϕ j i r = re r asema: nopeus: r = re r v = ṙe r + r θe θ + r ϕ sin θe ϕ kiihtyvyys: a = ( r r θ 2 r ϕ 2 sin 2 θ)e r+ (2ṙ θ + r θ r ϕ 2 sin θ cos θ)e θ + (2ṙ ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θ + r ϕ sin θ)e ϕ

PALLOKOORDINAATISTO φ = r r θ r θ = r r φ =ṙ r + r θ θ + r φ θ φ =( r r θ 2 r φ 2 2 θ) r+ (2ṙ θ + r θ r φ 2 θ θ) θ+ (2ṙ φ θ +2r θ φ θ + r φ θ) φ Vektori r karteesisessa koordinaatistossa r = r sin θ cos ϕi + r sin θ sin ϕj + r cos θk. Tästä saadaan johdettua (laskarit ja L1): e r sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ i e θ = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ j e ϕ sin ϕ cos ϕ 0 k }{{} L(θ,ϕ) Kantavektoreiden muutosnopeudet: ė r 0 θ ϕ sin θ ė θ = θ 0 ϕ cos θ ė ϕ ϕ sin θ ϕ cos θ 0 }{{} Ω(θ,ϕ)= L(θ,ϕ)L(θ,ϕ) 1 Näiden avulla saadaan edellä esitetyt v ja a. e r e θ e ϕ.

PALLOKOORDINAATISTO Edellä esitetyn matriisin Ω(θ, ϕ) johdossa tarvitaan taas derivoinnin ketjusääntöä. Kahden muuttujan tapauksessa saadaan ketjuderivoimalla y = y(u, v) jossa sekä u = u(t) että v = v(t) Edellä esimerkiksi dy dt = dy du du dt + dy dv dv dt. e r = e r (θ, ϕ) = sin θ cos ϕi + sin θ sin ϕj + cos θk jossa ϕ = ϕ(t) ja θ = θ(t) ja i = j = k = 0. Nyt siis muutosnopeus ė r = der dϕ dϕ dt + der dθ dθ dt. tätä auki laskiessa täytyy muistaa myös tulon derivaatta (tässä pitäisi palauttaa vielä kanta edellisen sivun yhteyksiin päästäkseen - nythän esitys on karteeisessa koordinaatistossa).

PALLOKOORDINAATISTO Muutosnopeudet saadaan esimerkiksi aloittamalla yhtälöstä (ks. L1) ė r e r ė θ = L(θ, ϕ)l(θ, ϕ) 1 e θ, ė ϕ e ϕ jossa tulee ketjuderivoida alkioittain dl 11 dθ L(θ, ϕ) = dθ dt + dl 11 dϕ dϕ dt jne dl 12 dϕ dϕ dt +... jne ja sitten muistaa kannanpalautus (kertominen matriisilla L(θ, ϕ) 1 ). On kuitenkin myös nopeampi tapa, joka katsotaan seuraavan esimerkin jälkeen.

PALLOKOORDINAATISTO: ESIMERKKI Vasemmanpuoleisen kuvan pyörivä heiluri koostuu jäykästä ja massattomasta sauvasta (pituus l), joka on nivelöity pisteessä O tappiin OA ja sauvan päähän kiinnitetystä partikkelista P. Tappi pyörii vakiokulmanopeudella ϕ. Esitä partikkelin P nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeet. Oikeanpuoleinen kuva antaa yhden vaihtoehdon tehtävän koordinaatiston valintaan. (EMS, Dynamiikka II, esim. 8.2)

KANTA- JA VAKIOVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Viime luennolla johdettiin yleisessä tapauksessa pätevä yhteys ė α e α ė β = Ω e β jossa Ω = LL 1 ė γ ja matriisia L kutsutaan rotaatio- tai muunnosmatriisiksi. e γ Toinen, lyhyempi ja jatkossakin esiintyvä tapa esittää asia on ė α = ω e α ė β = ω e β, ė γ = ω e γ. jossa ω on kannan kulmanopeusvektori. Kulmanopeusvektori ω: suunta antaa rotaatioakselin ja suuruus kulmavauhdin. Vaikkapa ω = 3K rad/s on vauhdilla 3 rad/s rotaatiota K:n ympäri.

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Liikkuvan kannan suhteen vakiovektorin muutosnopeus: Rotaatiossa olevan e α e γ e γ -kannan suhteen vakiovektorin (ḃα = ḃβ = ḃγ = 0) b = b αe α + b β e β + b γe γ muutosnopeus on ḃ = ω b, jossa ω on kannan kulmanopeus. Huomaa, että kantavektorit ovat vain vakiovektorin b erikoistapauksia, esim: e α:n saat asettamalla b α = 1 ja b β = b γ = 0 b = e α Taktiikka: Katsotaan ensin, kuin mielivaltainen vakiovektori (suhteellisen näkemyksen mukaan vakio) b muuttuu ω:n takia ja korvataan sitten b kantavektorilla.

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) ympyrä ω α a dθ db b

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Trigonometria (ympyrän taso ω): sin α = a a = b sin α b ympyrä ω α a dθ db b

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Trigonometria (ympyrän taso ω): sin α = a a = b sin α b Kaarenpituus (kulma dθ = ω dt): db = adθ = a ω dt = ω b sin αdt ympyrä ω α a dθ db b db dt = ḃ = ω b sin α

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Trigonometria (ympyrän taso ω): sin α = a a = b sin α b Kaarenpituus (kulma dθ = ω dt): db = adθ = a ω dt = ω b sin αdt ympyrä ω α a dθ db b db = ḃ = ω b sin α dt Ristitulon määritelmästä saadaan: ḃ = ω b sin α = ω b

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Trigonometria (ympyrän taso ω): sin α = a a = b sin α b Kaarenpituus (kulma dθ = ω dt): db = adθ = a ω dt = ω b sin αdt ympyrä ω α a dθ db b db = ḃ = ω b sin α dt Ristitulon määritelmästä saadaan: ḃ = ω b sin α = ω b Koska db ω ja b (kuvan ympyrä) niin ḃ ω b eli ḃ = ω b. (ω, b ja ḃ nk. oikean käden systeemi)

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II) Todetaan vielä laskemalla kantavektoreiden tapauksessa ė α = (ω α e α + ω β e β + ω γ e γ ) e α = ω β e γ + ω γ e β ė β = (ω αe α + ω β e β + ω γe γ) e β = ω αe γ ω γe α ė γ = (ω αe α + ω β e β + ω γe γ) e γ = ω αe β + ω β e α, jotka matriisimuodossa ovat siis tutumman näköisesti ė α ω β e γ + ω γ e β 0 ω γ ω β ė β = ω α e γ + ω γ e α = ω γ 0 ω α ė γ ω αe β + ω β e α ω β ω α 0 jossa siis esiintyy taas vinosymmetrinen Ω-matriisi. e α e β e γ = Ω e α e β e γ, Valitsemalla ω tarkasteltavan koordinaatiston kulmakoordinaatin rotaatioiden mukaisesti saadaan tuttujen koordinaatistojen kantavektoreiden muutosnopeudet.

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II): ESIM. 1 e z Käytä yhtälöä ė = ω e ja johda kantavektoreiden muutosnopeuksiin sylinterikoordinaatiston tapauksessa liittyvä yhteys ė r 0 ϕ 0 ė ϕ = ϕ e r 0 0 e ϕ. ė z 0 0 0 e z e r e ϕ P z r r O ϕ Hyvä harjoitus: tee sama pallokoordinaatiston tapauksessa.

KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA II): ESIM. 2 Automaattinen aurinkopaneelin kääntölaite seuraa kello-ohjattuna auringon liikettä. Paneeli pyörii jalustansa ympäri kulmavauhdilla ϕ (vakio). Samanaikaisesti kallistuskulman muutosnopeus horisonttiin nähden on θ (vakio). Määritä paneeliin sidotun xyz-koordinaatiston kantavektoreiden muutosnopeudet (lausuttuina xyz-koordinaatiston kannassa). i 0 θ ϕ cos θ Vastaus: j = θ i 0 ϕ sin θ j k ϕ cos θ ϕ sin θ 0 k

PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖT

PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖT (LY:T) Aloitetaan liikeyhtälöiden muodostamisen tarkastelu partikkelista. Partikkelin (massa m) LY:t ovat muotoa (Newton II): F = ma, jossa F on partikkeliin vaikuttava voimaresultantti. a (= r) on partikkelin kiihtyvyys. LY:stä voidaan ratkaista partikkelin (tai kappaleen) asema r = r(t). LY:iden ratkaiseminen vaatii usein numeerisia työkaluja. Jäykkien kappaleiden LY:ssä myös rotaatio huomioitava! Dynamiikka II: LY:iden muodostaminen riittää.

PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖT RESEPTI PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖILLE: 1. Vapaakappalekuva (VKK): irroita tarkasteltava partikkeli ympäristöstään ja esitä siihen vaikuttavat voimat. 2. Koordinaatisto: valitse ratkaistavan ongelman mukaan helpoin kanta ja esitä vapaakappalekuvassa voimat ja kappaleen liikettä kuvaavat suureet ko. kannassa. 3. Voimaresultantti: Summaa tarkasteltavaan kappaleeseen vaikuttavat voimat voimavektoriksi valitsemassasi koordinaatistossa f. 4. Kiihtyvyyden esitys: valitse kiihtyvyyden esitys valitsemasi koordinaatiston mukaan (ja huomioi ongelman rajoitteet) a. 5. Sijoita liikelakiin: Sijoita Newtonin II liikelakiin f = ma valitsemassasi koordinaatistossa skalaariyhtälö jokaisen kantavektorin suuntaan.

PARTIKKELIN LIIKEYHTÄLÖT: ESIMERKKI Oheisen kuvan mukainen tasoheiluri (matemaattinen heiluri) koostuu massattomasta ja venymättömästä sauvasta ja partikkelista P (massa m). Muodosta systeemin liikeyhtälöt kun sauvan nivelen oletetaan olevan kitkaton ja ilmanvastusta ei tarvitse huomioida. Kuinka tilanne ja LY:t muuttuisivat, jos heilurin liike ei olisi pakotettu tasoon?