Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan lukumääriä suoraan asettamalla joukkojen A ja B alkiot vastaamaan toisiaan. Matemaattisesta näkökulmasta tämä tarkoittaa bijektion g : A B muodostamista. (Esim. g(a) = d, g(b) = e ja g(c) = f.)
Yleisesti sanomme, että A ja B ovat keskenään yhtä mahtavia eli niihin liittyy sama kardinaaliluku, jos on olemassa bijektio joukolta A joukolle B. Merkitsemme tällöin A B. Lisäksi pitää sopia, että. (Miksi?) Huom. Vaihtoehtoisesti mahtavuuksien yhteydessä voidaan hyväksyä tyhjä funktio :, joka on selvästi bijektio. Lause 15. Olkoon X perusjoukko. Mahtavuuksien yhtäsuuruus on ekvivalenssirelaatio joukossa P(X ). Todistus. Taululla.
Sanomme, että joukko A on äärellinen, jos A {0,..., n 1} jollakin n N. (Tässä {0,..., n 1} = {m N m < n} =, jos n = 0.) Muussa tapauksessa A on ääretön. Siis intuitiivisesti joukko on äärellinen, jos siinä on n alkiota jollain n N.
Selvästi luonnollisten lukujen joukko N on ääretön: ei ole olemassa bijektiota N {0,..., n 1} millään n N. (Tämä todistetaan Joukko-opin kurssilla.) Esimerkki. N 2N = {0, 2, 4, 6,...}, sillä f : N 2N: f (n) = 2n on bijektio. N : 0, 1, 2, 3,..., n,... 2N : 0, 2, 4, 6,..., 2n,...
Luonnollisia lukuja on siis tässä mielessä yhtä monta kuin parillisia luonnollisia lukuja. Yleisesti jokainen ääretön joukko on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Kokonaisuus ei siis olekaan aina osiansa suurempi. Esimerkki. Kaikki suljetut reaalilukuvälit [a, b], a < b, ovat keskenään yhtä mahtavia pistejoukkoja. Tätä voi havainnollistaa kuviollakin taululla.
Määrittelemme vielä, että joukon A mahtavuus on pienempi tai yhtäsuuri kuin joukon B mahtavuus, jos A on yhtä mahtava B:n jonkin osajoukon kanssa. Merkitsemme tällöin A B. On helppo huomata, että A B, jos ja vain jos on olemassa injektio f : A B, tai A =. Huom. Jos tyhjä injektio : B otetaan huomioon, vaihtoehtoa A = ei tarvitse mainita. Edelleen voidaan todistaa, että A B on yhtäpitävää sen kanssa, että A = tai on olemassa surjektio B:ltä A:lle. (Todistuksessa tarvitaan valinta-aksioomaa.)
Lause 16. Olkoot A, B ja C joukkoja. Tällöin Mahtavuus (r) A A. (as) Jos A B ja B A, niin A B (heikko muoto). (t) Jos A B ja B C, niin A C. (v) A B tai B A. Todistus. (r) on triviaalisti tosi, sillä A A A. (t) on helppo (injektioiden yhdistetty kuvaus on injektio). (as) on Cantorin, Schröderin, Bernsteinin lause; se ja (v) todistetaan Joukko-opin kurssilla. Huom. ei ole järjestysrelaatio, sillä antisymmetrisyydestä pätee vain heikko muoto.
Joukko, joka on äärellinen tai yhtä mahtava luonnollisten lukujen joukon kanssa, on numeroituva. Intuitiivinen kriteeri numeroituvuudelle. Joukko A on numeroituva, jos ja vain jos sen alkiot voidaan luetella. Todistus. Oletetaan ensin, että joukko A on numeroituva. Jos se on ääretön, niin on olemassa bijektio f : N A. Joukon A alkiot voidaan tällöin luetella seuraavasti: f (0), f (1), f (2), f (3),... Koska f on surjektio, niin kaikki joukon A alkiot todellakin esiintyvät luettelossa.
Jos taas A on äärellinen, niin on olemassa bijektio g : {0,..., n 1} A, jolloin sen alkiot voidaan luetella jonona g(0),..., g(n 1). Oletetaan sitten, että joukon A alkiot voidaan luetella. Jos A ei ole äärellinen, niin on kuitenkin siis on olemassa ääretön luettelo a 1, a 2, a 3,... jossa jokainen joukon A alkio esiintyy täsmälleen kerran. Tällöin f : N A, f (n) = a n+1 on bijektio.
Seuraus. Jos A ja B ovat numeroituvia joukkoja, niin niiden yhdiste A B on numeroituva. Todistus. Todistetaan väite siinä tapauksessa, että sekä A että B ovat äärettömiä. Muut tapaukset ovat samankaltaisia. Olkoon A:n alkiot lueteltuna a 1, a 2, a 3,... ja B:n alkiot lueteltuna b 1, b 2, b 3,... Poistamalla luettelosta a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,... mahdolliset toistot saadaan lueteltua yhdisteen A B alkiot.
Induktiolla voidaan helposti todistaa, että jos A 1, A 2,..., A n ovat numeroituvia, niin yhdiste A 1 A 2 A n on myös numeroituva. Voidaan todistaa myös, että numeroituvien joukkojen ääretön, mutta numeroituva yhdiste i N A i on numeroituva. Tämän todistuksessa tarvitaan kuitenkin valinta-aksioomaa.
Lause 17. Kokonaislukujen joukko on numeroituva. Mahtavuus Todistus. Kirjoitamme joukkojen N ja Z alkiot vastaamaan toisiaan seuraavasti: N : 0, 1, 2, 3, 4,... Z : 0, 1, 1, 2, 2,... Tämän vastaavuuden määrittelee bijektio f : N Z: f (n) = { (n + 1)/2, kun n on pariton, n/2, kun n on parillinen.
Lause 18. Rationaalilukujen joukko on numeroituva. Todistus. Koska f : Q + Q, f (r) = r, on bijektio, riittää todistaa, että Q + on numeroituva. Tällöin myös Q = Q {0} Q + on numeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva.
Tapa 1. Muodostamme seuraavan taulukon, jossa jokaisella Q + :n alkiolla on oma paikkansa (itse asiassa äärettömän monta paikkaa). 1 2 3 4 5 6... 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6............
Järjestämme taulukon luvut jonoon nuolten osoittamalla tavalla. Jos kohdattu luku on jo jonossa, niin sivuutamme sen. Saamme jonon 1, 2, 1 2, 1 3, 3, 4, 3 2, 2 3, 1 4, 1 5, 5, 6, 5 2, 4 3, 3 4, 2 5, 1 6,..., jossa jokainen Q + :n alkio esiintyy täsmälleen kerran. Siis Q + N.
Tapa 2. Voimme edetä myös seuraavien nuolten mukaan. Mahtavuus 1 2 3 4 5 6... 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6............
Tällöin saamme jonon 1, 1 2, 2, 1 3, 3, 1 4, 2 3, 3 2, 4, 1 5, 5, 1 6, 2 5, 3 4, 4 3, 5 2, 6,...
On olemassa myös ylinumeroituvia joukkoja, joiden mahtavuus on suurempi kuin joukon N mahtavuus. Lause 19. Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Todistus. Riittää tarkastella väliä I = ]0, 1], sillä ]0, 1[ R. Itse asiassa ]0, 1] R.
Jokainen x ]0, 1] voidaan esittää desimaalikehitelmänä x = 0, a 1 a 2..., missä oikea puoli tarkoittaa lukua, jonka desimaalinumerot ovat a 1, a 2,.... Esimerkiksi 1/3 = 0, 333..., 1 = 0, 999..., 1/2 = 0, 5000... = 0, 4999.... Desimaalikehitelmä ei siis ole yksikäsitteinen päättyville desimaaliluvuille. Sovimme, että tällöin käytetään peräkkäisiin yhdeksikköihin päättyvää esitystä; siis 1/2 = 0, 4999..., 1/4 = 0, 24999....
Vastaoletus: I on numeroituva. Siis sen alkiot voidaan järjestää jonoon x 1, x 2,..., siis I = {x 1, x 2,...}. Ristiriita syntyy, kun löydämme sellaisen luvun x I, joka ei ole tässä jonossa. Muodostamme lukujen x 1, x 2,... desimaalikehitelmät
x 1 = 0, x 11 x 12 x 13..., x 2 = 0, x 21 x 22 x 23..., x 3 = 0, x 31 x 32 x 33...,. ja määrittelemme luvun y I niin, että sen desimaalikehitelmän 0, y 1 y 2... numerot ovat { 7, kun x kk 7, y k = 8, kun x kk = 7.
Lukujen y ja x 1 ensimmäiset desimaalit siis eroavat toisistaan, joten y x 1. Toisten desimaalien eroamisen perusteella y x 2, kolmansien y x 3 jne. Täten y ei voi olla joukon I = {x 1, x 2,...} mikään luku, ja näin olemme ristiriidassa sen kanssa, että y I.
Käyttämämme Cantorin diagonaalimenetelmä on hyödyllinen monissa ylinumeroituvuustodistuksissa. Kontinuumihypoteesin mukaan ei ole olemassa sellaista joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin joukon N mutta pienempi kuin joukon R. Voidaan todistaa, että kontinuumihypoteesi on riippumaton joukko-opin aksioomista. Edelleen voidaan todistaa, että joukon P(X ) mahtavuus on aina suurempi kuin joukon X. Täten äärettömiä mahtavuuksia on äärettömän monta.