MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen

MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa oppii parhaiten itse kirjoittaen ja ongelmia ratkoen. Do not ask permission to understand Do not wait for the word of authority Seize reason in your own hand With your own teeth savor the fruit Robert S. Strichartz

MITT- J INTEGRLITEORI Sisällys Naiivi johdanto 1 1. Valmisteluja 2. Mittateoriaa 2. Lebesguen ulkomitta 6 B. Integraaliteoriaa 3. Yksinkertaisen funktion integraali 21 4. Mitalliset funktiot 25 5. Ei-negatiivisen funktion integraaali 32 6. Integroituvat funktiot ja niiden integraaalit 39 7. Konvergenssilauseiden sovellutuksia 44 8. Fubinin lause Lebesgue-integraaleille 54 9. bsoluuttisesti jatkuvat funktiot 61 10. L p -avaruuksista 67 C. Yleistä mittateoriaa 11. Ulkomitta 74 12. Ulkomitan konstruointi 82 13. bstraktit mitta-avaruudet 87 D. Yleistä integraaliteoriaa 14. Integraaliteoriaa 90 Kuten aina matematiikan opiskelussa, määritelmät on opeteltava huolella. Niiden käyttöä ja sisältöä oppii parhaiten todistuksia tarkastelemalla ja harjoitustehtäviä (jotka sisältävät esimerkkejä) tekemällä. Esitietoina on hyvä kerrata differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi.

MITT- J INTEGRLITEORI 1 Naiivi johdanto nalyysi 2- sekä differentiaali- ja integraalilaskennan kursseilla opittiin Riemannin integraalin käsite yhdessä ja useammassa ulottuvuudessa. Riemannin integraalissa on kuitenkin muutama heikkous: integroituvia funktioita on melko vähän (funktio voi olla epäjatkuva vain mitättömän pienessä joukossa) ja Riemannintegraali soveltuu huonosti rajankäyntiprosesseihin (integroituvien funktioiden rajafunktiot eivät enää yleensä ole integroituvia). Esim. f = χ Q ei ole Riemannintegroituva. Edellä mainitut heikkoudet Riemannin integraalissa johtivat integraalikäsitteen kehittelyihin. Nykyisin standardina käytetään ns. Lebesgue-integraalia, jonka syntyyn merkittävasti vaikuttivat mm. Emilé Borel ja Henri Lebesgue 1900-luvun alkumetreillä. Lebesgue-integraalilla on lukuisia sovellutuskohteita, kuten todennäköisyysteoria ja osittaisdifferentiaaliyhtälöt. Muistellaanpa aluksi (yksiulotteista) Riemann-integraalia. Funktion f : [a, b] R Riemann-integraali määritellään usein porrasfunktioiden avulla: ala { f = sup } g : g porrasfunktio, g f ja ylä { f = inf } h : h porrasfunktio, h f, missä g : [a, b] R on porrasfunktio, jos väli [a, b] voidaan jakaa äärellisen moneen osaväliin siten, että g on vakio kullakin osavälillä; porrasfunktion integraali on helppo määritellä: lasketaan vain porraspalkkien pinta-alat yhteen (portaan suunnan huomioiden): jos a = x 0 x 1 x 2 x k = b ovat sellaisia pisteitä, että g(x) = c j, kun x ]x j 1, x j [, j = 1, 2,..., k, niin n g = c j (x j x j 1 ). Edelleen, f on Riemann-integroituva, jos ylä f = ala f, jolloin tämä yhteinen arvo on =: f. Geometrisesti ideana on approksimoida f:n graafin (ei-negatiivinen f) ja x- akselin väliin jäävää alaa äärellisen monen suorakaiteiden yhdisteen muodostaman monikulmion pinta-aloilla (sisältä ja ulkoa). Lebesgue-integraalia rakennettaessa Riemann-integraalia korjataan karkeasti ilmaisten siten, että porrasfunktioiden määritelmässä oleva äärellisen moneen osaväliin jako korvataan äärettömällä määrällä monimutkaisempia suorakaiteen pohjia (kuin n-välit). Tästä johdutaan ongelmaan: kuinka laskea sellaisen suorakaiteen pinta-ala, jonka pohja ei olekaan väli. Pitäisi ensin kyetä laskemaan pohjan pituus. Tehdään tämä matkimalla Riemann-integraalin määritelmää, minkä avulla kyettiin laskemaan erilaisten funktioiden graafien rajoittamia pinta-aloja: pproksimoidaan joukkoa

2 MITT- J INTEGRLITEORI R n mahdollisimman hyvin -kulmiolla, joka koostuu äärettömän monen n-välin yhdisteestä. Näiden tilavuuksien avulla saadaan Lebesgue-mitta, minkä jälkeen integraalikäsitteen rakentaminen tapahtuu lähes yllä kuvatulla tavalla. Tällä kurssilla numeroituvasti äärettömät prosessit ovat lähes aina sallittuja ja harmittomia! 1. Valmisteluja Joukon X osajoukkojen kokoelmaa sanotaan X:n potenssijoukoksi ja sitä merkitään P(X) = {: X}. Joukkojen ja B leikkaus, yhdiste ja erotusjoukko ovat B : = {x: x ja x B}, B : = {x: x tai x B}, \ B : = {x : x B}, leikkaus, yhdiste, erotusjoukko. Jos X on (perus)joukko (mikä on tällä kurssilla useinmiten R n ), niin joukon X komplementti on joukko c : = : = {x X : x } = X \. Edelleen sanotaan, että joukot ja B ovat pistevieraita, jos B =. Tällä kurssilla k sitellään paljon äärettömiä joukkoja ja joukkokokoelmia. Muista (algebra tms.), että joukkojen ja B sanotaan olevan yhtä mahtavia, jos on olemassa bijektio b: B; tällöin siis joukon alkiot voidaan laskea joukon B alkioiden avulla. Konkreettisesti joukon alkiot voidaan laskea tai luetella peräkkäin, jos on numeroituva, ts. jos on olemassa luonnollisten lukujen joukon N = {0, 1, 2,... } osajoukko B, jolle on bijektio b : B. Huomaa, että (tällä kurssilla) numeroituva joukko on siis joko äärellinen tai yhtä mahtava N:n kanssa (so. numeroituvasti ääretön). Jos joukko ei ole numeroituva, on se ylinumeroituva. Tällä kurssilla numeroituvat joukot ovat yleensä vaarattomia ja pieniä. Esimerkki. Äärelliset joukot ja Q ovat numeroituvia. R n, R ja R \ Q ovat ylinumeroituva. Jatkossa tarvitsemme äärettömänkin monen joukon yhdisteitä ja leikkauksia: Olkoon I joukko (useinmiten I tulee kuitenkin olemaan numeroituva) ja olkoot E i, i I joukkoja. Niiden yhdiste ja leikkaus ovat E i = {x : x E i jollakin i I}, i I E i = {x : x E i kaikilla i I}, i I DeMorganin lait on helppo todistaa harjoitustehtävänä: \ E i = ( \ E i ) i I i I yhdiste, leikkaus.

MITT- J INTEGRLITEORI 3 ja \ E i = ( \ E i ). i I i I Muistutus. Numeroituvan monen numeroituvan joukon yhdiste on numeroituva. Numeroituvan joukon osajoukot ovat edelleen numeroituvia. Eräs tärkeimmistä nalyysi 1 -kurssin käsitteistä oli supremum (ja infimum). Muista, että epätyhjän joukon R supremum sup on joukon pienin yläraja. Ts. sup on sellainen luku M, jolle pätee i) M on joukon yläraja eli a M kaikilla a, ja ii) M on joukon ylärajoista pienin eli jos G on jokin joukon yläraja, niin G M. Vastaavasti, joukon R infimum inf on joukon suurin alaraja. Ts. inf on sellainen luku m, jolle pätee i) m on joukon alaraja eli a m kaikilla a, ja ii) m on joukon alarajoista suurin eli jos g on jokin joukon alaraja, niin g m. Reaalilukujen täydellisyyden nojalla jokaisella ylhäältä rajoitetulla joukolla on sup R, ts. jos joukolla ylipäänsä on jokin (reaalinen) yläraja, niin eräs näistä ylärajoista on pienin. Samoin alhaalta rajoitetulla joukolla on inf R. Edelleen, sup täsmälleen silloin, kun :ssa on suurin alkio, jolloin sup = max. Samoin, inf täsmälleen silloin, kun :ssa on pienin alkio, jolloin inf = min. R ja sen struktuuri. Määritelmä. Joukko R = R {, } on laajennettu reaalilukujoukko. Tässä, R. a) R:n järjestys: määrittelemällä < a < kaikilla a R saadaan reaalilukujen normaali järjestysrelaatio laajennetuksi koko R:oon (ja usein saatetaan merkitä R = [, ]). b) R:n algebralliset ominaisuudet: summa: a + = + a =, kun a R \ { } b = + b =, kun b R \ { } ( ) = ja ( ) =. Laskutoimituksia, + ( ) ja + ei määritellä! Tulo:, jos a > 0 a = a =, jos a < 0 0, jos a = 0 (mukavuussyistä)

4 MITT- J INTEGRLITEORI ja, jos a > 0 a ( ) = a =, jos a < 0 0, jos a = 0 (mukavuussyistä). Edelleen määritellään { a, jos a > 0 0 =, jos a < 0, ja a = a = 0 kaikilla a R. Erityisesti siis laskutoimituksia ± ± ja 0 0 ei ole määritelty eikä niitä saa siis käyttää. Huomautuksia. i) Jos = R, niin on olemassa luvut sup R ja inf R. (Voidaaan myös sopia, että sup = ja inf =.) ii) Laajennetun reaaliakselijoukon alkioiden muodostaman jonon suppeneminen määritellään kuten ennenkin, esim. kun x j R, niin joss lim x j =, j kaikilla M R on olemassa j 0 N siten, että x j < M, kun j j 0. iii) Nousevalla jonolla x j, x j R, on aina raja-arvo R:ssä: (nouseva: x j x j+1 ) lim x j = sup{x 1, x 2, x 3... } R. j Vastaavasti, laskevalla jonolla x j, x j R, on aina raja-arvo R:ssä: (laskeva: x j x j+1 ) lim x j = inf{x 1, x 2, x 3... } R. j iv) Tavanomaiset laskulait ovat voimassa R:ssä, kunhan ei jouduta määrittelemättömiin muotoihin. v) Ole varovainen epäyhtälöiden käsittelyssä, jos joku termeistä on 0, tai.

MITT- J INTEGRLITEORI 5 Katsaus ei-negatiivitermisten sarjojen suppenemiseen. Olkoon I indeksijoukko, I, ja a : I [0, ]. Merkitään a i := a(i). Jos J I on äärellinen, niin määritellään S J = a i, (S := 0). i J Edelleen määritellään a i = a(i) := sup{s J : J I äärellinen}. i I i I 1.1. Lause. Kun a i 0, niin 1 i N a i = lim j j a i. Todistus. Olkoon J n := {1, 2,..., n} N äärellinen. Merkitään i=1 S := i N a i R. S Jn on nouseva jono R:n alkioita, joten on olemassa S := lim n S J n. On näytettävä, että S = S. Koska S Jn S kaikilla n, on S S. Toisinpäin: jos J N on äärellinen, on olemassa n siten, että n m kaikilla m J. Tällöin J J n, joten S J S Jn S, joten S S. 1.2. Lause. Jos a i > 0 ylinumeroituvan monella i I, niin a i =. i I Todistus. Harjoitustehtävä. (Huomaa: On α > 0, jolle {i I : a i α} on ääretön.) 1.3. Lause. Kun a ij 0, on a ij = a ij = a ij. (i,j) I I i I j I j I i I Todistus. Harjoitustehtävä. Ei vaikea. 1.4. Seuraus. a ij. j N i N a ij = i N j N 1 Tässä käytetään sopimusta, että 0 N.

6 MITT- J INTEGRLITEORI. Mittateoriaa 2. Lebesguen ulkomitta Tavoite: Etsitään keinoa määritellä R n :n osajoukon mitta siten, että se yksinkertaisissa tapauksissa vastaa geometristä mittaa. Toisin sanoen R 1 :n janan mitta = sen pituus R 2 :n suorakaiteen mitta = sen pinta-ala R 3 :n suorakulmaisen laatikon mitta = sen tilavuus jne. Lisätoiveita:. onnistutaan määräämään jokaisen joukon mitta [0, ]. samannäköisillä joukoilla on sama mitta, ts. mitta on invariantti kierroissa ja siirroissa. mitta on täydellisesti additiivinen, ts. numeroituvan monen pistevieraan joukon 1, 2,... yhdisteen mitta on joukkojen j mittojen summa. Tulos: toivottua tavoitetta ei voida saavuttaa; voidaan osoittaa, ettei sellaista mittaa ole, jolla olisi kaikki ym. ominaisuudet. Siksi konstruoidaan aluksi ns. ulkomitta, jolla on muut ominaisuudet paitsi täydellistä additiivisuutta. Sopivasti rajoittamalla tarkasteltavien joukkojen luokkaa (vain hieman) saadaan täysadditiivisuus siellä voimaan. Määritelmä. R n :n väli (n-väli) I R n on n reaalilukuvälin I 1, I 2,..., I n R karteesinen tulo, ts. I = I 1 I 2 I n = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x j I j kaikilla j = 1, 2,..., n}. Muista, että R:n välit ovat muotoa [a, b], [a, b[, ]a, b[, ]a, b], missä avoin päätepiste voi olla ±. R n :n väliksi sallitaan myös surkastuneet välit, joissa jokin I j = {a, } koostuu vain yhdestä pisteestä. Edelleen sanotaan, että n-väli I = I 1 I 2 I n on avoin, jos kaikki sen tekijävälit I j R ovat avoimia. Siis avoin n-väli on muotoa missä a j, b j R. Määritelmä. Jos I = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : a j < x j < b j, j = 1, 2,..., n}, I = I 1 I 2 I n, missä I j R ovat välejä, joiden päätepisteet ovat a j b j, niin luku n v(i) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ) = (b j a j ), v( ) = 0 on I:n geometrinen mitta. Huom. Jos n = 1, on geometrinen mitta välin pituus; jos n = 2, suorakaiteen pinta-ala; jos n = 3, laatikon tilavuus.

MITT- J INTEGRLITEORI 7 Määritelmä. Olkoon K R n avointen n-välien ja :n muodostama joukko ja R n. Lukua m () = m n() = inf{ v(i k ): I k K, I k } sanotaan joukon (n-ulotteiseksi) Lebesguen ulkomitaksi. 2 On saatu joukkofunktio m : P(R n ) [0, ], jolla on ominaisuudet: 2.1. Lause. Lebesguen ulkomitalle m pätee: i) m ( ) = 0 ii) Jos B R n, niin m () m (B). iii) Jos 1, 2, R n, niin (monotonisuus) m ( j ) m ( j ). (subadditiivisuus) Todistus. i): Koska v( ) = 0, on m ( ) = 0. ii): Monotonisuus seuraa infimumin ominaisuuksista. iii): Olkoot 1, 2, R n. Voidaan selvästi olettaa, että m ( j ) < kaikilla j. Olkoon ε > 0. Valitaan avoimet n-välit I k,j K siten, että j I k,j ja Tällöin v(i k,j ) m ( j ) + 2 j ε. j I k,j = j, I k,j, mikä on numeroituva yhdiste, joten m ( j ) = = v(i k,j ) k, v(i k,j ) m ( j ) + ε. (m ( j ) + 2 j ε) 2 Huomaa, että välejä I k on oltava äärettömän monta.

8 MITT- J INTEGRLITEORI Huomautus. (1) Jokaisen yksiön mitta on nolla, m ({x}) = 0 kaikilla x R n. (Harjoitustehtävä). (2) Jos 1, 2,..., k R n, niin m ( k j ) k m ( j ). (Syy: m ( ) = 0.) (3) Olkoon N R n numeroituva. Tällöin m (N) = 0, koska N = {x 1, x 2... } tai N = {x 1, x 2..., x k }, missä x j R n ; joten m (N) j m ({x j }) }{{} =0 = 0. Lebesguen mitta väleillä yhtyy geometriseen mittaan: 2.2. Lause. Olkoon I R n n-väli. Tällöin m (I) = v(i), toisin sanoen jos I = I 1 I 2 I n, missä I j :den päätepisteet ovat a j ja b j, a j b j, niin n m (I) = (b j a j ). Todistus. (1) Olkoon I suljettu. Voidaan olettaa, että I on kompakti (Harjoitustehtävä). a) m (I) v(i): Olkoon ε > 0. Jos I = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ], niin I I ε =]a 1 ε, b 1 + ε[ ]a n ε, b n + ε[ avoin ja siis n m (I) v(i ε ) = (b i a i + 2ε); i=1 väite seuraa, kun ε 0. (Huom: a i, b i R tässä tapauksessa.) a) b) m (I) v(i): Olkoon I I j, missä I j avoin, n-väli. Väite: v(i) v(i k ).

MITT- J INTEGRLITEORI 9 Koska I on kompakti, on olemassa sellainen k, että I k I j. Nyt k v(i) v(i j ) (miksi?, HT), joten v(i) v(i j ) ja ottamalla infimum yli kaikkien sellaisten välien v(i) inf{ v(j i ): J i K, i=1 I J i } = m (I). i=1 (2) Olkoon I avoin. Määritelmän nojalla m (I) v(i). Olkoon I =]a 1, b 1 [ ]a n, b n [, kun a j R, ja olkoon a j < ã j < b j < b j. Tällöin monotonisuuden ja kohdan (1) avulla kun b j b j ja ã j a j. m (I) m ([ã 1, b 1 ] [ã n, b n ]) = ( b 1 ã 1 )( b 2 ã 2 ) ( b n ã n ) (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ) = v(i), (1) (3) Olkoon I mielivaltainen n-väli. Tällöin int I I I ja (2) v(i) = v(int I) = m (int I) m (I) m (I) = v(i) = v(i). Huomautus. Lebesguen n-ulkomitta on siirto- ja kiertoinvariantti: jos T on siirto, T x = x + b, b R n tai jos O : R n R n on kierto, ts. Ox 0 = x 0 ja Ox Oy = x y kaikilla x, y R n,

10 MITT- J INTEGRLITEORI niin m () = m (T ()) = m (O()) kaikilla R n (harjoitustehtävä). Yleisemmin pätee: Jos L : R n R n on lineaarinen, niin (todistus tekninen). m n(l()) = det L m n() Huomautus. Kaikille R n ja t > 0 on m ({tx : x }) = t n m () (harjoitustehtävä). Nyt tiedämme, että Lebesguen ulkomitta m täyttää sille asetetut ehdot paitsi (ehkä) numeroituvan additiivisuutta, joka valitettavasti ei ole aina voimassa. Tutkitaan seuraavassa mitattavissa olevia joukkoja, jotka ovat sellaisia, joille numeroituva additiivisuus saadaan voimaan. Määritelmä. Joukko R n on Lebesgue-mitallinen, jos m (E) = m ( E) + m (E \ ) kaikilla E R n. (Carathéodoryn ehto) Huomaa, että E on mielivaltainen! Merkitään M := M n := { R n : on Lebesgue-mitallinen}. Mitallisen joukon avulla minkä tahansa joukon mitta voidaan laskea kahdessa osassa, :n kohtaavien ja väistävien pisteiden mittojen summana. Huomautus. Subadditiivisuuden nojalla m (E) m (E ) + m (E \ ) kaikilla E R n, joten on mitallinen, jos ja vain, jos m (E) m (E ) + m (E \ ) kaikilla E R n. 2.3. Lemma. Joukko on mitallinen, jos ja vain jos m (S U) = m (S) + m (U) kaikilla S ja U R n \. Todistus. pätee, koska E = ( E S : Kun S ja U R n \, niin =E =S =S ) (E \ ). U C U=U {}}{{}}{{}}{ m ( S U) = m ( (S U)) + m ( C (S U)) = m (S) + m (U).

MITT- J INTEGRLITEORI 11 Huom. Mitallisten joukkojen luokka ei ole tyhjä: triviaalisti ja R n ovat mitallisia (itse asiassa lähes kaikki konstruoitavissa olevat joukot ovat mitallisia, kuten myöhemmin tulemme näkemään). Lisäksi nollamittaiset joukot ovat Lebesguemitallisia: 2.4. Lemma. Jos m () = 0, niin on Lebesgue-mitallinen. Todistus. Kun E R n, on mitan m monotonisuuden nojalla m (E ) + m (E \ ) m () + m (E \ ) = m (E \ ) m (E), kun huomataan, että m () = 0. Varoitus. Yleensä siitä, että m () = 0 ei seuraa, että =. Esim. surkastunut väli = {(x, 0) R 2 : x R} = R {0} on nollamittainen, m () = 0. 2.5. Lause. i) Jos ja B ovat Lebesgue-mitallisia, niin myös \B on Lebesgue-mitallinen. Erityisesti C on Lebesgue-mitallinen. ii) Jos 1, 2, R n ovat mitallisia, on yhdiste = i mitallinen. iii) Jos 1, 2 R n ovat Lebesgue-mitallisia ja pareittain pistevieraita, (so. j i =, kun i j), niin i=1 ( ) m i = i=1 m ( i ). i=1 Todistus. Käytetään Lemmaa 2.3. i): Olkoon S \ B, U ( \ B) C = C B. Nyt m (S) + m (U) = m (S) + m ((U B) (U \ B)) (U = (U B) (U \ B)) = m (S) + m (U B) + m (U \ B) (koska B on mitallinen) = m (U B) + m (S (U \ B)) koska on mitallinen, S ja U \ B C (Lemma 2.3) = m ((U B) (S (U \ B)) = m (S U), }{{} S U koska B on mitallinen, U B B sekä S (U \ B) B C. Siispä \ B on mitallinen. Huomaa, että R n ja ovat mitallisia, joten C = R n \ on mitallinen. i) ii): Olkoon 1, 2, M n. Olkoon B 1 = 1 B 2 = 2 \ 1 ( ) k 1 B k = k \ j, k = 2, 3,....

12 MITT- J INTEGRLITEORI Joukot B k ovat pareittain pistevieraita ja. i = i=1 oli yhdiste äärellinen tai ääretön. Edelleen. B k, = i = B k. i=1 puväite. Jos S k = k B j, niin S k M ja m (E) k m (E B j ) + m (E Sk C ) kaikilla E R n. puväitteen todistus. Induktio: ok, kun k = 1. Induktioaskel k k + 1: Koska B k+1 = k+1 \ S k M kohdan i) nojalla, saadaan käyttämällä tätä, S k :n mitallisuutta, induktio-oletusta sekä ulkomitan subadditiivisuutta: m (E) = m (E B k+1 ) + m (E \ B k+1 ) }{{} E Bk+1 C = m (E B k+1 ) + m (E Bk+1 C S k }{{} E S k k+1 m (E B j ) + m (E Sk+1) C m (E S k+1 ) + m (E \ S k+1 ), ) + m (E Bk+1 C Sk C } {{ } E Sk+1 C ) joten S k+1 on Lebesgue-mitallinen ja apuväitten epäyhtälö on tosi. Nyt saamme apuväitteen epäyhtälöstä puväite m (E) k m (E B j ) + m (E Sk C ) k m (E B j ) + m (E C ), joten antamalla k seuraa subadditiivisuudesta m (E) m (E B j ) + m (E C ) m (E ) + m (E C ). Siispä on Lebesgue-mitallinen. ii)

MITT- J INTEGRLITEORI 13 Valitsemalla edellisessä kaavassa E = saamme m () m ( B j ) +m ( }{{}} {{ C } ) =B j = = m (B j ). Näin ollen väite iii) seuraa tästä ja subadditiivisuudesta, sillä j joukot j ovat pareittain pistevieraita. = B j, mikäli 2.6. Seuraus. Jos 1, 2, R n ovat mitallisia, on leikkaus i myös mitallinen. Todistus. DeMorganin kaavojen nojalla i = R n \ (R n \ i ), i=1 mikä on Lauseen 2.5 nojalla mitallinen. Lauseen 2.5 nojalla mitallisten joukkojen kokoelma muodostaa ns. σ-algebran, minkä määrittelemme tässä myöhempää käyttöä varten. Määritelmä. Kokoelma Γ joukon X osajoukkoja on σ-algebra X:ssä, jos seuraavat kolme ehtoa toteutuvat: i) Γ. ii) Jos Γ, niin X \ Γ. iii) Jos 1, 2, Γ, niin i=1 i Γ. i=1 Lauseen 2.5 avulla saadaan seuraava merkittävä tulos: 2.7. Lause. Määritellään joukkofunktio m = m n : M n [0, ] asettamalla m() = m (). Tällöin joukkofunktio m on (täysadditiivinen) mitta Lebesgue-mitallisten joukkojen muodostamalla σ-algebralla M, ts i) m( ) = 0, ja ii) Jos 1, 2, M ovat pareittain pistevieraita, niin m( i ) = i=1 m( i ). i=1 i=1 Tavoitteemme on saavutettu Lebesgue-mitallisten joukkojen luokassa M: on konstruoitu täysadditiivinen mitta, joka yhtyy geometriseen mittaan geometrisesti yksinkertaisilla joukoilla. Emme vielä valitettavasti tiedä, kuinka paljon mitallisia joukkoja on (on niitä!). Seuraavaksi tutkiskelemme tätä ja aloitamme toteamalla, että kaikki joukot eivät ole Lebesgue-mitallisia.

14 MITT- J INTEGRLITEORI 2.8. Lause. On olemassa joukko R, joka ei ole Lebesgue-mitallinen. Todistus. Määritellään ekvivalenssirelaatio x y x y Q. (On ekvivalenssi!) Valitaan jokaisesta ekvivalenssiluokasta tasan yksi edustaja, joka kuuluu välille [0, 1]. Näin valitut edustajat muodostavat joukon 3, jota merkitään kirjaimella. Väite: ei ole Lebesgue-mitallinen. ntiteesi: onpas. Merkitään jokaisella r Q + r = {x + r : x }, jolloin + r on mitallinen ja + r + s =, kun r, s Q, r s. Sillä, jos niin Tällöin y + r + s, y = x + r = z + s joillakin x, z. x z = r s Q eli x z ja joukon määritelmän nojalla x = z, mistä edelleen seuraa, että r = s. Edelleen, [0, 1] ( + r) [ 1, 2], r Q [ 1,1] joista jälkimmäinen inkluusion on selvä koska [0, 1]. Edellisen inkluusion perustelu: jos x [0, 1], niin on y, jolle x y (miksi?). Siten r = x y Q, mutta koska x, y [0, 1], on r = x y [ 1, 1] ja x + r. Koska joukot + r olivat pareittain pistevieraita ja mitallisia, saamme nyt m { 0, jos m ( + r) = m () = 0 ( + r) = r Q [ 1,1] }{{}, jos m () > 0. r Q [ 1,1] =m () Toisaalta 0 < 1 = m ([0, 1]) m ( r Q [ 1,1] mikä on ristiriita. Siis ei voi olla mitallinen. + r) m ([ 1, 2]) = 3 <, Huomautus. Vastaava konstruktio voidaaan tehdä jokaisessa dimensiossa. Edelleen, yo. konstruktiota hieman korjaamalla nähdään (HT): Jos R n on sellainen, että m () > 0, niin on olemassa B siten, että B ei ole Lebesguemitallinen. (ks. myös Wheeden s. 39.) Seuraavaksi pyrimme osoittamaan, että mitallisia joukkoja on paljon. loitetaan havainnolla, jonka avulla voidaan oleellisesti rajoittaa niiden joukkojen määrää, joilla testataan Carathéodoryn mitallisuusehtoa. 3 Tämän todistamiseksi tarvitaan ns. valinta-aksioomaa, joka on riippumaton joukko-opin tavanomaisista aksioomista.

MITT- J INTEGRLITEORI 15 2.9. Lemma. Joukko R n on Lebesgue-mitallinen, jos ja vain, jos m (I) = m (I ) + m (I \ ) jokaiselle avoimelle n-välille I. Todistus. Ehdon välttämättömyys on selvä. Toisen suuntaan pitää osoittaa, että m (E) = m (E ) + m (E \ ) kaikilla E R n, kun tiedetään, että se pätee, jos E on avoin n-väli. Olkoon siis E R n ja ε > 0. Lebesguen ulkomitan määritelmän mukaan on on olemassa avoimet n-välit I 1, I 2,..., joille E ja v(i j ) m (E) + ε. I j Nyt käyttämällä ulkomitan subadditiivisuutta ja monotonisuutta m (E) m (E ) + m (E \ ) m (( I j ) ) + m (( I j ) \ ) = (m (I j ) + m (I j \ )) m (I j ) = m (E) + ε. v(i j ) Koska ε > 0 oli mielivaltainen, ovat epäyhtälöt yhtäsuuruuksia ja siten Siten M n. m (E) = m (E ) + m (E \ ). 2.10. Lause. Jokainen n-väli J R n on Lebesgue-mitallinen. Todistus. Olkoon I avoin n-väli. Lemman 2.9 nojalla riitttää osoittaa, että m (I) = m (I J) + m (I \ J). Havaitaan, että I J on myös n-väli. Lisäksi havaitaan helposti, että I \ J = k I i, missä I i :t ovat pareittain sisuksiltaan pistevieraita n-välejä. subadditiivisuutta i=1 m (I) m (I J) + m (I \ J) = m (I J) + m ( k I i ) m (I J) + = v(i J) + i=1 k m (I i ) i=1 k v(i i ) i=1 = v(i) = m (I), Siten käyttämällä

16 MITT- J INTEGRLITEORI koska I = (I J) k I i ja välit ovat pareittain melkein pistevieraita (HT). Väite seuraa. i=1 Lauseiden 2.5 ja 2.10 avulla nähdään, että mitallisia joukkoja on huikea määrä: jokainen avoin joukko G R n voidaan helposti lausua numeroituvana yhdisteenä avoimista n-väleistä, joten G on mitallinen. Edelleen, suljetut joukot ovat avoimien joukkojen komplementteina mitallisia. Samoin näiden numeroituvat yhdisteet. Joskus joukkokokoelmaa B = {Γ: Γ on σ-algebra, joka sisältää R n : n avoimet joukot} sanotaan R n :n Borel-joukkojen σ-algebraksi ja sen joukkoja Borel-joukoiksi (siis B on suppein R n :n avoimet joukot sisältävä σ-algebra). Tällöin B M. 2.11. Seuraus. R n :n Borel-joukot ovat Lebesgue-mitallisia. Erityisesti avoimet ja suljetut joukot sekä näiden numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset ovat Lebesguemitallisia. Esimerkki. Lebesgue-mitallisia joukkoja on muitakin kuin Borel-joukot: olkoon E R ei-lebesgue mitallinen. Tällöin E ei ole Borel-joukko ja siten joukko F = {(x, 0,..., 0) R n : x E} ei ole Borel-joukko. Se on kuitenkin, mitallinen, kun n 2, koska m (F ) = 0. Lebesguen mitta on oikealta ja vasemmalta jatkuva mitallisten joukkojen luokassa. Edelleen, mitalllisten joukkojen mitta voidaan laskea osissa: 2.12. Lause. Olkoot 1, 2, M n. i) Jos 1 2 ja m( 1 ) <, niin ii) Jos 1 2..., niin m( 2 \ 1 ) = m( 2 ) m( 1 ). m( k ) = lim m( k). iii) Jos 1 2... ja m( k0 ) < jollain k 0, niin m( k ) = lim m( k). Todistus. Huomaa, että kaikki Lauseessa esiintyvät joukot ovat mitallisia. i): Koska 2 = 1 ( 2 \ 1 ) ja molemmat osat ovat mitallisia, niin m( 2 ) = m( 2 \ 1 ) + m( 1 ). i

MITT- J INTEGRLITEORI 17 ii): Voidaan hyvin olettaa, että m( k ) < kaikilla k. Esitetään väitteen yhdiste pareittain pistevieraana yhdisteenä mitalllisista joukoista: k = 1 ( ( k+1 \ k )); huomaa, että joukkojono k on nouseva. Tällöin additiivisuuden ja kohdan i) avulla m( k ) = m( 1 ) + m( k+1 \ k ) = m( 1 ) + lim j j (m( k+1 ) m( k )) = m( 1 ) + lim j (m( j+1) m( 1 )) = lim j m( j+1). iii): Tutkimalla tarvittaessa joukkoja Ãk = k k0 voidaan olettaa, että m( k ) < kaikilla k. Koska joukkojono k on vähenevä, on joten kohdasta ii) seuraa joten 1 \ k 1 \ k+1, m( ( 1 \ k )) = lim m( 1 \ k ) = m( 1 ) lim m( k), lim m( k) = m( 1 ) m( ( 1 \ k )) }{{} = 1 \ k = m( 1 ) m( 1 ) + m( k ) = m( k ). ii) Esimerkki. Konstruoidaan suljettu (kompakti) joukko C, jolle m(c) > 0, mutta C:llä ei ole yhtään sisäpistettä (toisin sanoen, C ei sisällä ainoatakaan avointa palloa). Koska m(q) = 0, on R:n avoin joukko D ]0, 1[, jolle Q ]0, 1[ D ja m(d) < 1 2. (HT)

18 MITT- J INTEGRLITEORI Nyt C = [0, 1] \ D on R:n kompakti joukko ja Lauseen 2.12 i) nojalla m(c) = m([0, 1]) m(d) 1 1 2 = 1 2 > 0. Joukolla C ei ole sisäpisteitä, sillä sen komplementti sisältää rationaaliluvut väliltä ]0, 1[. Myöhemmin konstruoimme tällaisen joukon hieman konkreettisemmin. Esimerkki saadaan nostetuksi R n :ään, määrittelemällä C = C [0, 1] [0, 1], jolloin on helppo todeta, että C R n on kompakti joukko ilman sisäpisteitä ja 4 m n ( C) = m 1 (C) > 0. Huomautus. Lebesguen mitta on säännöllinen: jokaiselle R n on olemassa mitallinen B siten, että B ja m () = m (B). Syy: määritelmän mukaan jokaisella ε > 0 avoimet n-välit I j, joille ja m (G ε ) G ε := I j v(i j ) m () + ε; koska G ε on avoimena joukkona mitallinen, joukko B = G 1/j on etsimämme. Lebesgue-mitalle saadaan useita mitallisten joukkojen karakterisointeja. 5 2.13. Lause. Olkoon R n. Seuraavat ovat yhtäpitäviä. i) M n. ii) Kaikilla ε > 0 on olemassa avoin G, jolle m (G \ ) < ε. iii) On olemassa mitallinen joukko 6 B, jolle m (B \ ) = 0. iv) Kaikilla ε > 0 on olemassa suljettu F, jolle m ( \ F ) < ε. v) On olemassa mitallinen joukko 7 E, jolle m ( \ E) = 0. 4 Huomaa, että R n \ C on polkuyhtenäinen ja siten joukko G =]0, 2[ n \ C on R n :n alue, jonka reunajoukko G C on suuri, m( G) > 0. 5 Varoitus: Lauseiden 2.13 ja 2.14 vastineet myöhemmin käsiteltäville yleisille ulkomitoille ovat yleensä vääriä. 6 B voidaan valita numeroituvaksi leikkaukseksi avoimia joukkoja. 7 E voidaan valita numeroituvaksi yhdisteeksi suljettuja joukkoja.

MITT- J INTEGRLITEORI 19 Todistus. i) ii): a): Oletetan ensin, että m () <. Valitaan avoimet välit I 1, I 2,... siten, että I j ja v(i j ) m () + ε. Tällöin G = I j on etsitty joukko, sillä Lauseen 2.12i) nojalla m (G \ ) = m (G) m () b): Jos m () =, niin määritellään v(i j ) m () < ε. k = B(0, k), k = 1, 2,..., jolloin k on mitallinen ja äärellismittainen, joten a)-kohtaa voidaan soveltaa: on olemassa avoimet joukot G k k siten, että m (G k \ k ) < ε 2 k. Nyt joukko G = G k on etsimämme avoin joukko, sillä G ja m (G \ ) m ( (G k \ k )) m (G k \ k ) < ε 2 k = ε. Implikaatiot ii) iii) ja i) iv) jätetään harjoitustehtäväksi. iii) i): Seuraa, kun huomataan, että i) ii) = B \ (B \ ) ja molemmat oikealla olevat joukot ovat mitallisia. iii) i) Implikaatio iv) v) menee samoin kuin ii) iii) ja v) i) seuraa havainnosta: = E ( \ E). 2.14. Lause. Olkoon B M n siten, että m (B) <. Tällöin joukko B on Lebesgue-mitallinen, jos ja vain, jos m () = m (B) m (B \ ). Todistus. Ehdon välttämättömyys seuraa Lauseesta 2.12. Oletetaan sitten, että m () = m (B) m (B \ )

20 MITT- J INTEGRLITEORI ja osoitetaan, että on mitallinen. Sitä varten valitaan mitalliset E 1, E 2 B, joille Tällöin E 1, B \ E 2, m () = m (E 1 ) ja m (B \ ) = m (E 2 ). m (B) = m () + m (B \ ) = m () + m (E 2 ) = m (E 1 ) + m (E 2 \ E 1 ) + m (E 1 E 2 ) = m (E 2 E }{{} 1 ) + m (E 1 E 2 ) =B = m (B) + m (E 1 E 2 ), joten m (E 1 E 2 ) = 0. Siten on mitallinen Lauseen 2.13 nojalla, koska m (E 1 \ ) m (E 1 E 2 ) = 0, onhan E 1 \ E 1 (B \ ) E 1 E 2.

MITT- J INTEGRLITEORI 21 B. Integraaliteoriaa 3. Yksinkertaisen funktion integraali Lebesgue-integraalissa Riemannin integraalin määrittelyssä käytetyt porrasfunktiot korvataan yksinkertaisilla funktioilla. Määritelmä. Funktio f : R n R on yksinkertainen, merk. f Y, jos f saa vain äärellisen monta arvoa ja joukot ovat mitallisia kaikilla c R. {x R n : f(x) = c} Esimerkki. Porrasfunktiot ovat yksinkertaisia. Edelleen, jos R n, niin χ Y, jos ja vain, jos M n. 3.1. Lemma. Olkoon f : R n R. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) f Y. ii) On olemassa joukot 1, 2,..., k M ja luvut c 1, c 2,..., c k R, joille f(x) = k c j χ j (x) kaikilla x R n. iii) On olemassa epätyhjät, pareittain pistevieraat joukot B 1, B 2,..., B l M ja luvut b 1, b 2,..., b l R siten, että b i b j, kun i j, ja l B j = R n l f(x) = b j χ Bj (x) kaikilla x R n. Todistus. Implikaatiot iii) ii) i) ovat selviä. i) iii): Olkoon Tällöin väite seuraa asettamalla f(r n ) = {b 1, b 2,..., b l }, b i b j, kun i j. B j = {x: f(x) = b j }. Määritelmä. Lemman 3.1 kohdan iii) antamaa muotoa sanotaan yksinkertaisen funktion f normaaliesitykseksi. Normaaliesitys on yksikäsitteinen. Huomaa, että normaaliesityksen summassa f(x) = l b j χ Bj (x) on jokaista x kohti korkeintaan yksi nollasta poikkeava termi. Merkitään Y + = {f Y : f(x) 0 kaikilla x R n }.

22 MITT- J INTEGRLITEORI Määritelmä. Olkoon f Y + ja 8 f(x) = sen normaaliesitys. Jos E M, niin I(f, E) := k a j χ j (x) k a j m( j E) on f:n (Lebesgue-)integraali yli joukon E. 3.2. Lemma. Jos f = k a j χ j, missä a j 0 ja j M ovat sellaisia, että j i =, kun i j, niin kaikilla E M. Todistus. harjoitustehtävä. I(f, E) = k a j m( j E) 3.3. Lemma. Olkoot f ja g yksinkertaisia, ei-negatiivisia funktioita ja sekä E mitallisia joukkoja. Tällöin i) I(χ, E) = m( E). ii) λi(f, E) = I(λf, E) kaikilla λ 0. iii) I(f + g, E) = I(f, E) + I(g, E). iv) Jos f g E:ssä, niin I(f, E) I(g, E). v) Jos E, niin I(f, ) I(f, E). Todistus. Kohdat i) ja ii) selviä. iv) ja v) jätetään harjoitustehtäviksi. iii): Olkoot k l f = a j χ j ja g = b j χ Bj normaaliesitykset Nyt yhdisteet i = l ( i B j ) ja B j = k ( i B j ) koostuvat pareittain pistevieraista joukoista. Siten i=1 l χ i = χ i B j ja χ Bj = k i=1 χ i B j 8 Yksinkertaisen funktion integraalin määritelyssä pitää tyytyä ei-negatiivisiin funktioihin, jotta integraalin määrittelevässä summassa ei tule laskettavaksi tapaisia määrittelmättömiä laskuja.

MITT- J INTEGRLITEORI 23 ja edelleen l k f + g = (a i + b j )χ i B j, i=1 i=1 joten Lemman 3.2 nojalla l k I(f + g, E) = (a i + b j )m( i B j E) = a i m( i B j E) + b j m( i B j E) j,i j,i = i a i m( i E) + j b j m(b j E) = I(f, E) + I(g, E). 3.4. Huomautus. Jos f Y +, niin I(f, ) on vain äärellinen summa Lebesguemittoja. Siten mitan ominaisuudet periytyvät ei-negatiivisen yksinkertaisen funktion integraalille. Erityisesti Lauseesta 2.12 saadaan: Olkoot E 1, E 2, M ja f Y +. Tällöin I(f, E k ) kaikille E k M, I(f, E k ) = I(f, E k ), jos joukot E k ovat pareittain pistevieraita, ja edelleen, jos E 1 E 2... ja I(f, E 1 ) <, niin Lopuksi, jos E 1 E 2..., niin I(f, E k ) = lim I(f, E k). I(f, E k ) = lim I(f, E k). Jos matkisimme Riemann-integraalin määrittelyä, niin nyt määrittelisimme f:n ylä- ja alaintegraalit sellaisten yksinkertaisten funktioiden infimumina ja vastaavasti supremumina, jotka ovat f:n ylä- tai alapuolella. Tämän jälkeen tutkisimme, mille funktioille ylä- ja alaintegraalit ovat samat. Oikaisemme tässä hieman ja tutkimme ensin niitä funktioita, joille integraali voidaan hyvin määritellä ja menemme sitten varsinaiseen integraalin määrittelyyn. Heuristinen idea: Tarkastellaan ei-negatiivista funktiota f : R n R. Jos f:n graafin alle jäävan alueen tilavuutta (mittaa) voidaan approksimoida yhtä hyvin ala- kuin yläpuoleltakin yksinkertaisten funktioiden integraaleilla, niin on uskottavan tuntuista, että funktio f itse saadaan raja-arvona yksinkertaisista funktioista, jotka kaikki ovat f:n alapuolella (tai vastaavasti yläpuolella). Ts. f(x) = lim j g j(x) lähes kaikilla x,

24 MITT- J INTEGRLITEORI missä g j Y +, g j f. Huomaa, että koska 0 g j f, voidaan jonosta g j tehdä nouseva määrittelemällä h j (x) = max{g 1 (x), g 2 (x),..., g j (x)}, j = 1, 2, 3,..., x R n. Tällöin h j Y +, h 1, h 2 f ja f(x) = lim j h j(x) lähes kaikilla x, Siten I(h j, E) on nouseva jono (kaikilla E M), joten sillä on raja-arvo tämän raja-arvon on oltava f:n integraali. Edelleen, koska g j f ja g j f, on kaikilla c R {x: f(x) > c} = R n \ {x: f(x) c} = R n \ {x: g j (x) c}, mikä on mitallisten joukkojen leikkauksen komplementtina mitallinen. Tämä antaa aiheen seuraavassa luvussa esitettävään mitallisen funktion määritelmään.

MITT- J INTEGRLITEORI 25 4. Mitalliset funktiot Määritelmä. Olkoon R n Lebesgue-mitallinen. Funktion f : R sanotaan olevan (Lebesgue-)mitallinen, jos jokaisella a R alkukuva on mitallinen. f 1 (]a, ]) = {x : f(x) > a} Tärkeä huomautus. Joukko R n on Lebesgue-mitallinen, jos ja vain, jos sen karakteristinen 9 funktio χ on mitallinen. Syy: R n, jos a < 0, {x: χ (x) > a} =, jos 0 a < 1,, jos a 1. Esimerkki. Mitallisilla joukoilla määritellyt jatkuvat funktiot ovat Lebesgue-mitallisia. Yksinkertaiset funktiot ovat Lebesgue-mitallisia. 4.1. Lause. Olkoon R n mitallinen ja f : R. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) f on mitallinen. ii) {x : f(x) a} on mitallinen kaikilla a R. iii) {x : f(x) < a} on mitallinen kaikilla a R. iv) {x : f(x) a} on mitallinen kaikilla a R. Todistus. Seuraa mitallisten joukkojen struktuurilauseesta 2.5: i) ii): f 1 ([a, ]) = f 1 (]a 1, ]) M. i ii) iii): iii) iv): iv) i): i=1 f 1 ([, a[) = \ f 1 ([a, ]) M. f 1 ([, a]) = f 1 ([, a + 1 [) M. i i=1 f 1 (]a, ]) = \ f 1 ([, a]) M. 4.2. Lause. Olkoon R n mitallinen ja f : R. Tällöin i) Jos f 1 ( ) M ja f 1 (]a, b[) M kaikilla a, b R, a < b, niin f on mitallinen. ii) Jos f on mitallinen, niin alkukuvat f 1 ( ), f 1 ( ) ja f 1 (B) ovat mitallisia jokaisella B R, joka on numeroituva yhdiste tai leikkaus suljetuista tai avoimista joukoista. 10 9 Muista: χ (x) = ( 1, jos x 0, jos x. 10 B:ksi voidaan ottaa mikä hyvänsä R:n Borel-joukko.

26 MITT- J INTEGRLITEORI Todistus. i): Kaikilla a R f 1 ([, a[) = f 1 ( ) f 1 (]a k, a[) M, joten f on mitallinen Lauseen 4.1 nojalla. i) ja ii): Ensiksi huomataan, että Olkoon sitten f 1 ( ) = f 1 ([, k]) M f 1 ( ) = f 1 ([k, ]) M. Γ = {E R: f 1 (E) M}. Nyt Γ sisältää avoimet reaalilukuvälit Lauseen 4.1 nojalla, sillä f 1 (]a, b[) = f 1 (]a, ]) f 1 ([, b[) M. Edelleen, Γ on σ-algebra, ts. sillä on ominaisuudet (HT) a), R n Γ. b) Jos, B Γ, niin \ B Γ. c) Jos 1, 2, Γ, niin k Γ. Tästä seuraa, että Γ:ssa on avoimet joukot G R (koska ne ovat numeroituvia yhdisteitä avoimista väleistä) ja suljetut joukot (avoimien komplementteina) sekä näiden numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. Väite seuraa tästä. Huomautus. Jos f on mitallinen, niin mv. mitallisen joukon R alkukuva ei ole välttämättä mitallinen (edes silloin kun f on jatkuva). Huomautus. Jatkossa käytetään usein funktion nollajatkoa, joka määritellään seuraavasti: jos f : R (missä M), niin nollajatko on kuvaus f : R n R, { f(x), jos x f(x) = 0, jos x. Tällöin f on mitallinen jos ja vain, jos f on mitallinen. Muistutus. Olkoon f : R. Tällöin f:n positiiviosa on funktio { f(x), jos f(x) 0 f + (x) = max(f, 0)(x) = = max(f(x), 0) 0, jos f(x) 0. Samoin f:n negatiiviosa on funktio { f(x), jos f(x) 0 f (x) = min(f, 0)(x) = 0, jos f(x) 0. Tällöin f = f + f ja f = f + + f.

MITT- J INTEGRLITEORI 27 4.3. Lemma. Olkoon R n mitallinen ja f : R. Tällöin f on mitallinen, jos ja vain, jos sekä f + että f ovat mitallisia. Todistus. Välttämättömyys seuraa, koska { {f > a}, jos a 0 {f + > a} =, jos a < 0, mitkä ovat mitallisia, mikäli f on mitallinen. Edelleen f = ( f) +. Riittävyys seuraa taas, koska { {f + > a}, jos a 0 {f > a} = {f < a}, jos a < 0. Seuraavaa Lemmaa tarvitaan osoitettaessa, että mitallisten funktioiden summa on edelleen mitallinen (mikäli hyvin määritelty). 4.4. Lemma. Jos f : R ja g : R ovat mitallisia, niin joukko on mitallinen. Todistus. Seuraa Lauseesta 2.5, sillä E = q Q E = {x : f(x) < g(x)} ({x: f(x) < q} {x: g(x) > q}) M. 4.5. Lause. Olkoot f : R ja g : R mitallisia. Tällöin summa f + g (mikäli määritelty) ja tulo fg ovat mitallisia. 11 Todistus. f + g: Ensiksi joukko on mitallinen. Olkoon a R. Koska (f + g) 1 ( ) = f 1 ( ) g 1 ( ) {a f > λ} = {a λ > f} kaikilla λ R, on funktio a f mitallinen. Siten joukko {f + g > a} = {g > a f} on Lemman 4.4 nojalla mitallinen. f+g 11 Summa f + g on määritelty mitallisessa joukossa \ ((f 1 ( ) g 1 ( )) (f 1 ( ) g 1 ( ))).

28 MITT- J INTEGRLITEORI f g: Seuraa siitä, että äärettömyysjoukkojen ulkopuolella fg = 1 ( (f + g) 2 (f g) 2) 4 mitkä ovat mitallisia, koska h 2 on mitallinen aina, kun h on sitä (harjoitustehtävä.) Huomautus. Jos f on mitallinen, niin f = f + + f on myös mitallinen, mutta käänteinen väite ei päde. Jos f : R ja g : R R ovat mitallisia, niin g f ei yleensä ole mitallinen. Lauseesta 4.2 seuraa kuitenkin (harjoitustehtävä): 4.6. Lause. Jos f : R on mitallinen ja g : R R on jatkuva, niin yhdistetty funktio g f on mitallinen. la- ja yläraja-arvot, limes inferior ja limes superior. Lukujonoilla ei ole yleensä raja-arvoa. Kuitenkin jokaisella R:n lukujonolla on osajono, jolla on rajaarvo. Osoittautuu hyödylliseksi tarkastella näiden osajonojen raja-arvojen ääritapauksia, pieninpiä ja suurinpia mahdollisia, joita tullaan kutsumaan jonon ala- ja yläraja-arvoiksi. Määritelmä. Olkoon a k R, k = 1, 2,.... Jonon a k yläraja-arvo eli limes superior on lim sup a k = lim a k = lim sup j k Jonon a k alaraja-arvo eli limes inferior on lim inf a j = lim sup{a k, a k+1, a k+2, a k+3,... }. a k = lim a k = lim inf a j = lim inf{a k, a k+1, a k+2, a k+3,... }. j k Huomautus. la- ja yläraja-arvojen määritelmä on hyvä, sillä ne ovat aina olemassa: jono b k = sup a j j k on laskeva ja jono c k = inf j k a j on nouseva, joten niillä on raja-arvot R:ssä. Edelleen, ina lim sup a k = inf k sup a j ja lim inf j k lim inf a k lim sup a k a k = sup k inf a j. j k ja yhtäsuuruus pätee (HT), jos ja vain, jos jonolla a k on raja-arvo, jolloin lim a k = lim inf a k = lim sup a k.

Esimerkkejä. i) Jos a k = ( 1) k, niin MITT- J INTEGRLITEORI 29 lim inf a k = 1 ja lim sup a k = 1. Koska inf{a k, a k+1, a k+2,... } = inf{1, 1} = 1 ja sup{a k, a k+1, a k+2,... } = sup{1, 1} = 1. ii) Jos a k = ( k) k, niin Koska lim inf a k = ja lim sup a k =. inf{a k, a k+1, a k+2,... } = inf{( k) k, ( k 1) k+1,... } k ja sup{a k, a k+1, a k+2,... } = sup{( k) k, ( k 1) k+1,... } k. Funktiojonojen f k : R ala- ja ylärajafunktiot lim inf f k = lim määritellään luonnollisesti pisteittäin: (lim inf f k)(x) = lim inf k f k ja lim sup f k (x) ja (lim sup Mitallisuus säilyy näissä rajankäyntioperaatioissa: f k = lim f k f k )(x) = lim sup f k (x). k 4.7. Lause. Jos funktiot f k : R, k = 1, 2,..., ovat mitallisia niin myös funktiot sup f k, inf f k, lim inf f k ja lim sup f k k k ovat mitallisia. Todistus. Kaikilla a R {x: sup f k (x) a} = {x: f k (x) a} M, k joten sup k f k on mitallinen. Siis myös ja edelleen inf k f k = sup( f k ) k on mitallinen, ovat mitallisia. lim inf f k = sup(inf f j) sekä lim sup k j k f k = inf (sup f j ) k j k

30 MITT- J INTEGRLITEORI 4.8. Seuraus. Jos funktiot f k : R, k = 1, 2,..., ovat mitallisia ja ne suppenevat kohti funktiota f, niin f on mitallinen Todistus. Tällöin f = lim sup f k = lim inf f k. Esimerkki. Olkoon f : R R derivoituva. Edelleen erotusosamääräfunktiot ovat mitallisia. Näin ollen derivaatta on mitallinen. g j (x) = f(x + 1 j ) f(x) 1 j f = lim j g j Rajankäynnin avulla saadaan seuraava tärkeä tulos: Siten f on jatkuvana mitallinen. 4.9. Lause. Olkoon M ja f : [0, ]. Tällöin f on mitallinen, jos ja vain, jos on olemassa nouseva jono f k Y + siten, että lim f k(x) = f(x) kaikilla x. Todistus. Seurauksen 4.8 nojalla ehto on riittävä. Konstruoidaan jono f k Y + seuraavasti: Kiinnitetään k N ja määritellään joukot ja E = {x : f(x) k} E j = {x : j 1 2 k f(x) < j 2 k }, mitkä ovat Lemman 4.1 nojalla mitallisia, joten asettamalla f k (x) = k2 k j 1 2 k χ E j (x) + kχ E (x) sadaan yksinkertainen, ei-negatiivinen funktio. Koska joukot E j ja E ovat pareittain pistevieraita (kun j k2 k ), on helppo havaita, että Edelleen, 0 f k (x) f k+1 (x) f(x) kaikilla x. f(x) f k (x) 2 k, kun x k2k E j = {x: f(x) < k} ja joten f k (x) = k kun x {x: f(x) k}, lim f k(x) = f(x) kaikilla x.

MITT- J INTEGRLITEORI 31 4.10. Seuraus. Olkoon M ja f : R. Tällöin f on mitallinen, jos ja vain, jos on olemassa jono f k Y siten, että lim f k(x) = f(x) kaikilla x. Todistus. Lauseen 4.9 nojalla on jonot g k ja h k yksinkertaisia funktioita, joille Tällöin f k = g k h k on etsitty. g k f + ja h k f.

32 MITT- J INTEGRLITEORI 5. Ei-negatiivisen funktion integraaali Koska sallimme mitallisten funktioiden saavan arvoikseen myös + ja ja koska haluamme integroida yli rajoittamattomien joukkojen, meidän on syytä paloitella integroinnin käsite erikseen funktion positiivi- ja negatiiviosien integroinniksi. Määritelmä. Olkoon f : [0, ] mitallinen. Tällöin f:n (Lebesgue-)integraali yli joukon on f dm = f dx = sup{i(u, ): u Y +, u f :ssa}. Selvästi 0 f dm. Edelleen, Lauseen 3.3 iv) nojalla kaikilla yksinkertaisilla f Y + f dm = I(u, ). Huomautus. Jos f : [0, ] on mitallinen, niin sen nollajatko f : [0, ], { f(x), jos x f(x) = 0, jos x, on mitallinen ja f dm = f dm. (miksi?) B B Näin ollen voimme jatkossa olettaa, että integroitavat funktiot ovat määritellyt koko R n :ssä. Huomautus. On erittäin hyödyllistä huomata, että jos m() = 0, niin f dm = 0 kaikilla f. On helppo nähdä, että ei-negatiivisen funktion integraalilla on ulkomitan ominaisuudet (Lause 2.1), kuten yksinkertaisen funktion integraalillakin oli (ks. Huomautus 3.4). 5.1. Lemma. Olkoon f : R n [0, ] mitallinen. Tällöin i) Jos, B M, B, niin f dm f dm. ii) Jos 1, 2, M, niin f dm i i=1 B i=1 i f dm. iii) Jos 1, 2, M ovat pareittain pistevieraita, niin f dm = f dm. i i Todistus. harjoitustehtävä. i=1 i=1

MITT- J INTEGRLITEORI 33 5.2. Lause. Olkoot f ja g ei-negatiivisia ja mitallisia ja M. Tällöin i) (λf) dm = λ f dm kaikilla λ R, λ 0. ii) Jos f g joukossa, niin f dm g dm. iii) (Tsebyshevin epäyhtälö) Kaikilla 0 < λ < m({x : f(x) > λ} 1 λ f dm. Todistus. (i) Jos λ = 0, niin (0 f) dm = 0 dm = 0 = 0 f dm. Olkoon sitten 0 < λ <. Tällöin, jos u Y +, u f, niin λu Y + ja λu λf, joten λi(u, ) = I(λu, ) (λ f) dm ja ottamalla supremum Soveltamalla tätä epäyhtälöä, sadaan (λ f) dm = λ( 1 λ λ f dm (λ f) dm. λ f dm) λ ( 1 λ λ f dm) = λ f dm. (ii) Seuraa suoraan integraalin määritelmästä. (iii) Koska f λχ {x : f(x)>λ}, seuraa edellä olevasta λm({x : f(x) > λ}) = λχ {x : f(x)>λ} dm f dm. Määritelmä. Sanotaan, että ominaisuus P = P (x) pätee melkein kaikilla (lyh. m.k.) x (tai melkein kaikkialla :ssa), jos on olemassa joukko N siten, että m(n) = 0 ja P (x) pätee kaikilla x \ N. Huomautus. Jos f : R on mitallinen ja g(x) = f(x) m.k. x, niin g on mitallinen.

34 MITT- J INTEGRLITEORI 5.3. Lause. Olkoon f : [0, ] mitallinen. Tällöin i) f dm = 0, jos ja vain, jos f(x) = 0 m.k. x. ii) Jos f dm <, niin f(x) < m.k. x. Todistus. i) : Olkoon E k = {x : f(x) > 1 k }, jolloin Tsebyshevin epäyhtälön avulla 0 = f dm f dm 1 E k k m(e k) 0, joten m(e k ) = 0 kaikilla k ja edelleen m ( {x : f(x) > 0} ) = m( E k ) m(e k ) = 0. : Koska m ( {x : f(x) > 0} ) = 0, on Lauseen 5.2 nojalla 0 = {x : f(x)>0} dm = χ {x : f(x)>0} dm f dm 0, joten f dm = 0. ii) Tsebyshevin epäyhtälön 5.2 nojalla kaikilla 0 < λ < m({x : f(x) = }) m({x : f(x) > λ}) 1 λ f dm 0, kun λ, koska f dm <. Seuraava Lemma vahvistaa sen, että nollamittaiset joukot eivät vaikuta integraaleihin.

MITT- J INTEGRLITEORI 35 5.4. Lemma. Olkoot f, g : [0, ] mitallisia. Jos f(x) = g(x) m.k. x, niin f dm = g dm. Todistus. Olkoon N = {x : f(x) g(x)}. Koska m(n) = 0, niin f dm = 0 = g dm N N ja siten f dm = f dm + f dm = = = \N \N g dm = g dm. N \N \N g dm + N f dm g dm Seuraava lause on yksi integraaliteorian keskeisimmistä lauseista. 5.5. Lause. (Lebesguen monotonisen konvergenssin lause) Olkoon f k : [0, ] nouseva jono (ts. f k (x) f k+1 (x) kaikilla x ja k) mitallisia funktioita. Jos f(x) = lim f k(x), x, niin f dm = lim f k dm. Todistus. Huomaa, että f on mitallinen (Seuraus 4.8). Koska f k dm f k+1 dm on integraalien raja-arvo olemassa ja f k dm lim f dm kaikilla k, f dm. Olkoon 0 < λ < 1 ja u Y +, u f :ssa. Olkoon k = {x : f k (x) λu(x)}, k = 1, 2,.... Tällöin 1 2 3... ovat mitallisia ja k =,

36 MITT- J INTEGRLITEORI koska kaikilla x joko λu(x) < f(x) tai f(x) = 0. Siten f k dm f k dm λu dm = λ u dm λ k k k u dm, kun k, koska yksinkertaisen funktion integraalilla on mitan jatkuvuusominaisuudet (ks. huomautus 3.4). Siispä f k dm λ u dm. lim Ottamalla supremum yli yksinkertaisten u saamme f k dm λ f dm, lim mistä väite seuraa, kun λ 1. 5.6. Seuraus. Olkoon f : [0, ] mitallinen. Tällöin on olemassa nouseva jono yksinkertaisia funktioita u k Y + siten, että f(x) = lim u k(x), kaikilla x ja ( ) f dm = lim u k dm. Kääntäen, (*) on voimassa jokaiselle nousevalle jonolle u k mitallisia, ei-negatiivisia funktioita, joille f = lim u k. Todistus. Seuraa monotonisen konvergenssin lauseesta 5.5 ja Lauseesta 4.9. Huomautus. Monotonisen konvergenssin lauseesta ja yksinkertaisen funktion integraalin lineaarisuudesta saamme helposti: (f + g) dm = f dm + g dm kaikilla mitallisilla f, g : [0, ], kun valitaan u k, v k Y +, u k f ja v k g, jolloin (f + g) dm I(u k + v k, ) = I(u k, ) + I(v k, ) f dm + g dm. Tämä yleistyy äärettömille summille monotonisen konvergenssin lauseen avulla: 5.7. Seuraus. Olkoot f k : [0, ] mitallisia funktioita. Tällöin f k dm = f k dm.

MITT- J INTEGRLITEORI 37 Seuraava tärkeä lause, Fatoun lemma, todistetaan käyttämällä monotonisen konvergenssin lausetta. Olisimme voineet toimia toisinkin päin: todistaa ensin Fatoun lemma ja sitten sen avulla monotonisen konvergenssin lause ne ovat tässä mielessä ekvivalentteja. 5.8. Lause. (Fatoun lemma) Olkoot f k : [0, ] mitallisia funktioita. Tällöin lim f k dm lim f k dm. Todistus. Muista, että ala-raja-arvon määritelmän nojalla lim f k = lim g j, j missä funktiot g j = inf k j f k muodostavat nousevan jonon mitallisia funktioita. Siten monotonisen konvergenssin lauseen nojalla lim f k dm = lim g j dm = lim g j dm lim f k dm, j j missä viimeisin epäyhtälö seuraa, koska g k f k. Huomautus. Fatoun lemmassa raja-arvojen lim f k tai lim f k dm ei tarvitse olla olemassa. Lemman epäyhtälö voi olla aito, kuten seuraava esimerkki näyttää. Esimerkki. Olkoot f k : [0, [ [0, 1], f k (x) = 1 { 1 k χ k [0,k](x) =, kun 0 x k 0, kun x > k. Tällöin f k 0 (tasaisesti) R:ssä, mutta lim f k dm = lim [0, [ 1 m([0, k]) = 1 > 0 = 0 dm = k [0, [ [0, [ lim f k dm. Edellä olevaa esimerkkiä muuntamalla on helppo nähdä, että monotonisen konvergenssin lausetta vastaava väite ei päde väheneville jonoille. Kuitenkin saamme:

38 MITT- J INTEGRLITEORI 5.9. Lause. Olkoon f k : [0, ] laskeva jono (ts. f k (x) f k+1 (x) kaikilla x ja k) mitallisia funktioita ja f(x) = lim f k(x), x. Jos niin f k0 dm < jollain k 0, f dm = lim f k dm. Todistus. Indeksointia muuttamalla voidaan olettaa, että Siten joukko f 1 dm <. N = {x : f 1 (x) = } on Lauseen 5.3 ii) nojalla nollamittainen. Tällöin funktiot f 1 (x) f k (x), kun x \ N, muodostavat \ N:ssa nousevan jonon, ei-negatiivisia mitallisia funktioita. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla josta \N f 1 dm f dm = koska m(n) = 0 ja koska \N \N f dm = \N = lim = \N (f 1 f) dm \N (f 1 f k ) dm f 1 dm lim \N f k dm, f dm = lim f k dm = lim f k dm, \N f 1 dm <.

MITT- J INTEGRLITEORI 39 6. Integroituvat funktiot ja niiden integraaalit Tässä laajennamme integraalin käsitteen merkkiänsä vaihtaviin funktioihin. Määritelmä. Olkoon M ja f : R mitallinen. Jos joko f + dm < tai f dm <, niin funktion f (Lebesgue-)integraali yli joukon on f dm = f + dm f dm. Edelleen sanotaan, että f on integroituva :ssa, merkitään f L 1 (), jos sekä f + dm < että f dm <. Huomautus. Integroida voidaan siis muitakin kuin integroituvia funktioita mikäli joko positiivi- tai negatiiviosan integraali on äärellinen integroituvalle funktiolle nämä molemmat ovat äärellisiä. Joskus on hyvä kirjoittaa muuttujat näkyviin integraaleihin: f dm = f(x) dm(x) = f(x) dx. 6.1. Lemma. Olkoon f : R mitallinen. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) f on integroituva :ssa (eli f + L 1 () ja f L 1 ()). ii) On olemassa integroituvat u 0 ja v 0 siten, että f = u v. iii) On olemassa integroituva g siten, että f g :ssa. iv) f on integroituva :ssa. Todistus. i) ii) : Valitse u = f + ja v = f. ii) iii) : Valitaan g = u + v, jolloin g on integroituva ja i) ii) f = u v u + v = g. iii) iv) : Koska f on mitallinen ja f + = f, on f + dm g dm < ja f dm = 0 dm = 0 <. ii) iii) iv) i) : Koska f + f ja f f, on f + dm f dm < ja f dm = f dm <, iii) iv) joten f L 1 ().

40 MITT- J INTEGRLITEORI Integroituvalle funktiolle f L 1 () pätee f < m.k. :ssa (Lemma 5.3). Käänteinen, ei ole totta. Huomautuksia. a) Lemmassa 6.1 kaikki epäyhtälöt voidaan korvata vastaavilla m.k. voimassa olevilla epäyhtälöillä. b) Jos, kuten Lemman 6.1 kohdassa ii), on integroituvat u, v L 1 (), joille f = u v, niin ja siten Seurauksen 5.7 nojalla u dm + josta edelleen f = u v = f + f eli u + f = f + + v f dm = f dm = f + dm f + dm + f dm = v dm, u dm v dm. 6.2. Lause. (Integraalin lineaarisuus) Olkoot f, g L 1 (). Tällöin jokaisella λ R funktiot 12 λf ja f + g ovat integroituvia :ssa ja λf dm = λ f dm sekä (f + g) dm = f dm + g dm. Todistus. Koska (λf) + = λf + ja (λf) = λf, jos λ 0 sekä (λf) + = λf ja (λf) = λf +, jos λ < 0, seuraa funktiota λf koskeva väite Lauseesta 5.2. Summafunktiota f + g koskeva väite seuraa Lemmasta 6.1 ja sen jälkeisestä huomautuksesta b), sillä f + g = (f + f ) + (g + g ) = (f + + g + ) (f + g ). Huomautus. Integroituvat funktiot muodostavat hilan: jos f, g L 1 (), niin max(f, g) L 1 () ja min(f, g) L 1 (). (harjoitustehtävä) 6.3. Lemma. Olkoot f, g L 1 (). Jos f g m.k. :ssa, niin f dm g dm ja f dm f dm. Todistus. Olkoon Koska m(n) = 0 ja N = {x : f(x) > g(x)}. f + g + ja f g \ N : ssä, 12 Huomaa, että koska f < ja g < m.k., on summafunktio f + g on määritely m.k. :ssa. Koska nollamittaiset joukot eivät vaikuta integroituvuuteen eikä integraaleihin, meidän ei tarvitse välittää, vaikka f + g ei olisikaan määritelty koko :ssa tarkastele vaikka nollajatkoa.

seuraa Lauseesta 5.2 f dm = MITT- J INTEGRLITEORI 41 = \N \N f dm = g + dm g dm. \N \N f + dm g dm = \N \N Toinen epäyhtälö seuraa tästä, koska f f ja f f. f dm g dm Huomautus. Integroituvien funktioiden joukko L 1 () ei ole vektoriavaruus, koska summafunktio f + g ei ole määritelty kaikilla f, g L 1 (). Tämä vaikeus on kuitenkin näennäinen, koska funktiot ovat m.k. äärellisiä, jolloin voitaisiin huoletta olettaa, että integroituvat funktiot ovat äärellisiä. Myöhemmin tulemme kiertämään tämän vaikeuden samastamalla sellaiset kaksi L 1 ():n funktiota, jotka ovat m.k. samat. Erittäin hyödyllinen integraalin ominaisuus on sen σ-additiivisuus: 6.4. Lause. Olkoot 1, 2, M pareittain pistevieraita ja = k. Jos f L 1 (), niin f dm = k f dm. Todistus. Seuraa soveltamalla Lemmaa 5.1 funktioihin f + ja f. Seuraava konvergenssilause on Lebesgue-integraalin tärkeimpiä ominaisuuksia. 6.5. Lause. (Lebesguen dominoidun konvergenssin lause) Olkoot f, f k : R mitallisia funktioita siten, että f k (x) f(x) m.k. x. Jos on olemassa g L 1 (), jolle kaikilla k f k (x) g(x) m.k. x, niin f ja f k ovat integroituvia sekä f dm = lim Todistus. Olkoon f k dm. N = {x : lim f k (x) f(x)} {x : lim f k(x) f(x)} {x : f k (x) > g(x)}. Tällöin m(n) = 0 ja f(x) = lim f k(x) g(x) kaikilla x \ N,