Reuna-Harnack-periaatteesta

Reuna-Harnack-periaatteesta Teemu Kontoniemi Matematiikan Pro Gradu-tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan tilastotieteen laitos 15.1.008

Sisältö 1 Aihe 3 1.1 Johdanto............................... 3 1. Tavoite................................ 3 Laplace-yhtälöstä harmonisista funktioista 4 3 Aputuloksia 11 4 Päätuloksen todistus 14 4.1 Yhden funktion rajoite........................ 14 4.1.1 Huomioita........................... 14 4.1. Ristiriidan konstruktio.................... 16 4. Osamäärän rajoite.......................... 17 4.3 Hölder-normin arvio......................... 0

1 Aihe 1.1 Johdanto Laplace-yhtälö on yhtälö u = 1 1 u + u + + n n u = 0, x U R n, u : U R Laplace-yhtälö on eräs kaikkein tärkeimmistä osittaisdierentiaaliyhtälöistä. Se tulee esiin monissa sovelluksissa. Tyypillisessä tulkinnassa funktio u on jonkin suureen suuruus tasapainotilassa, jossa u siis pysyy an suhteen vakiona alueen U joka pisteessä. Tällöin minkä tahansa sileän osa-alueen V U reunan läpi tapahtuva nettovirtaus on nolla: F νds = 0, V missä F merkitsee virtauksen suuruutta ν ulospäin suunnattua normaalivektorikenttää. Gaussin-Greenin lauseen mukaan V div F dx = V F νds = 0. Koska V oli mielivaltainen, tästä seuraa koko U:ssa div F = 0. Usein on fysikaalisesti järkevää olettaa virtauksen F suuruuden olevan verrannollinen alkuperäisen suureen u gradienttiin, tosin juuri toiseen suuntaan, eli F = a u (a > 0). Sijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan Laplace-yhtälö: div ( u) = u = 0. 1. Tavoite Tässä tutkielmassa tutkitaan Laplace-yhtälön ei-negatiivisia ratkaisu reunan lähellä. Ratkaisuille annetaan lisäehdoksi tkuvuus reunalla samalla reunan osalla arvoksi nolla. Tällöin pystytään todistamaan niinsanottu reuna-harnackperiaate, joka tarkoittaa, että funktiot lähestyvät nollaa samaa vauhtia pienemmässä reunan osassa. Halutaan todistaa seuraava lause: 3

Lause 1.1. Olkoon B + 1 = B 1(0) {x n > 0}. Olkoot u v kaksi ei-negatiivista ratkaisua yhtälölle u = v = 0 B 1 + :ssa. Lisäksi vaaditaan, että u v saavat tkuvasti arvon 0, kun {x n = 0}. Vaaditaan myös, että u v ovat normeerattu siten, että u( 1 e n) = v( 1 e n) = 1. Tällöin on C > 0 α siten, että 0 < α < 1 sup x B + 1/ u(x) v(x) C sup x,y B + 1/ u(x) v(x) u(y) v(y) x y α C. Reuna-Harnack-periaate pätee huomattavasti yleisemmille elliptisille yhtälöille yleisemmissä alueissa, ks. esim. [1], [5]. Laplace-yhtälölle periaate esitettiin v. 1970 [8]. Periaatetta on hyödynnetty tutkittaessa mm. vapaan reunan tehtäviä [], [7], [4], Brownin liikettä [10] p-harmonisia mitto [3]. Olen muokannut yleisempien yhtälöiden tapauksien todistuksia [5] Laplaceyhtälölle tarvittavaan muotoon. Lisäksi olen yrittänyt selkeyttää todistusta. Tavoite oli, että matematiikan opiskeli voi opintojen loppuvaiheessa ymmärtää tutkielman ilman esitieto. Yleisempi todistus yhtälölle D i a ij D j u = 0, missä funktiot a ij ovat mitallisia rajoitettu, voidaan tehdä esitettävällä tavalla. Tarvitaan kuitenkin esitieto vastaavien yhtälöiden Greenin funktioiden säännöllisyydestä sisä-harnackominaisuudesta. Myös apulauseen 3. todistus on hankalampi. Laplace-yhtälöstä harmonisista funktioista Tästä lähin merkitsee aluetta. Määritellään aluksi harmoninen funktio yhtäpitävät keskiarvo-ominaisuudet. Määritelmä.1. Funktio u C () on harmoninen :ssa, jos u = 0 :ssa. Määritelmä.. Sanotaan, että u C() toteuttaa ensimmäisen keskiarvoperiaatteen, jos u(x) = 1 ω n r n 1 u(y)ds y B r(x) kaikilla B r (x) 4

toisen keskiarvoperiaatteen, jos u(x) = n ω n r n u(y)dy B r(x) kaikilla B r (x) missä ω n on yksikköpallon pinnan pinta-ala R n :ssä Huomautus.3. Keskiarvoperiaatteet ovat yhtäpitäviä. Todistus. Jos kirjoitetaan 1. periaate muotoon u(x)r n 1 = 1 u(y)ds y, ω n B r(x) saadaan integroimalla. periaate. Jos kirjoitetaan. periaate muotoon u(x)r n = n u(y)dy, ω n saadaan derivoimalla 1. periaate. B r(x) Harmoniset funktiot toteuttavat keskiarvoperiaatteen. Vastaavasti keskiarvoperiaatteen toteuttavat tkuvat funktiot ovat harmonisia C -funktioita. Siis harmoniset funktiot ovat C -funktioita: Lause.4. Olkoon u C () harmoninen :ssa. Tällöin u toteuttaa keskiarvoperiaatteen :ssa. Todistus. Otetaan mielivaltainen pallo B r (x). Olkoon ρ (0, r) sovelletaan divergenssilausetta palloon B ρ (x). Saadaan u ( ) u(y)dy = ν ds y = ρ n 1 w =1 B ρ(x) B ρ(x) u ρ (x + ρw)ds w = ρ n 1 ρ w =1 Siis harmoniselle funktiolle pätee millä tahansa ρ (0, r) u(x + ρw)ds w = 0. ρ w =1 Integroimalla nollasta r:ään saadaan u(x + rw)ds w = w =1 w =1 u(x + ρw)ds w. u(x)ds w = u(x)ω n eli u(x) = 1 1 u(x + rw)ds w = ω n w =1 ω n r n 1 u(y)ds y. B r(x) Lause.5. Jos u C() toteuttaa keskiarvo-ominaisuuden alueessa, niin u on harmoninen C -funktio :ssa. 5

Todistus. Keskiarvoperiaatteesta seuraa, että u on identtinen konvoluutiofunktionsa kanssa (eli myöskin C ) niissä pisteissä, joiden etäisyys :sta on suurempi kuin silotusfunktion säde ε. Pienentämällä ε:ia saadaan C -ominaisuus mielivaltaiseen :n pisteeseen. Lisäksi, lauseen.4 kaavan (*) keskiarvoperiaatteen mukaan udy = r n 1 u(x + rw)ds w = r n 1 B r(x) r w =1 r (ω nu(x)) = 0 mille tahansa B r (x). Tästä seuraa u = 0 alueessa. Seuraus.6. Jos u on harmoninen :ssa, niin u C (). Huomautus.7. (Lokaali keskiarvo-ominaisuus riittää) Keskiarvoperiaatteen todistamiseksi riittää todistaa se jokaiselle pisteelle x kaikilla säteillä r < r x, missä r x riippuu pisteestä x. Todistus. Todistuksesta säteillä r < r x seuraa Laplace-yhtälön toteutuminen pisteessä x. Lokaaleilla todistuksilla saadaan todistettua funktio harmoniseksi, josta seuraa keskiarvo-ominaisuus lauseella.4 Keskiarvo-ominaisuudesta tkuvuudesta seuraa tärkeä ominaisuus, maksimi minimiperiaate. Tällainen funktio voi saavuttaa maksimiarvonsa vain määrittelyalueensa reunalla, paitsi jos funktio on vakio. Tämä pätee siis myös harmonisille funktioille. Lause.8. (Maksimi- minimiperiaate) Jos u C() toteuttaa keskiarvoperiaatteen :ssa, niin u saavuttaa maksimi- minimiarvonsa vain reunalla paitsi siinä tapauksessa, että u on vakiofunktio. Todistus. Todistetaan vain maksimiperiaate. Olkoon Σ = {x ; u(x) = M max u}. Selvästi Σ on suljettu (:n relatiivitopologiassa). Näytetään sitten, että Σ on avoin. Mielivaltaiselle x 0 Σ valitaan B r (x 0 ) jollain r > 0. Keskiarvoperiaatteen nolla M = u(x 0 ) = n ω n r n u(y)dy M n B r(x 0) ω n r n dy = M. B r(x 0) Siis u M pallossa B r (x 0 ). Siis Σ on sekä suljettu että avoin :ssa, eli joko Σ = tai Σ =. Seuraus.9. Harmoniset funktiot toteuttavat maksimi- minimiperiaatteen. Keskiarvoperiaatteella C -ominaisuudella saadaan rajoitettua ei-negatiivisen harmonisen funktion derivaattaa funktion arvolla etäisyydellä alueen reunasta. Lause.10. Jos u C(B R ) on ei-negatiivinen harmoninen funktio B R = B R (x 0 ):ssa, niin Du(x 0 ) n R u(x 0). 6

Todistus. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että u C 1 (B R ). Valitaan koordinaattiakselien suunnat uudestaan siten, että koordinaatisto säilyy ortonormaalina x i -akselin positiivinen suunta on sama kuin vektorilla u(x 0 ). (Jos u(x 0 ) = 0, lause on triviaalisti tosi.) Laplace-yhtälö toteutuu funktiolle u myös uudessa koordinaatiossa, koska u toteuttaa edelleen keskiarvoperiaatteen. Koska u C (), myös (D xi u) = D xi u = 0, eli myös D xi u on harmoninen B R :ssä. Siis D xi u toteuttaa keskiarvoperiaatteen. Divergenssilauseen avulla saadaan D xi u(x 0 ) = n ω n R n D xi u(y)dy = B R (x 0) n ω n R n u(y)ν i ds y. B R (x 0) Funktion u ei-negatiivisuudesta edellisestä saadaan Du(x 0 ) = D xi u(x 0 ) n ω n R n u(y)ds y = n R u(x 0). B R (x 0) Laplace-yhtälö on invariantti rotaatioiden suhteen, joten on järkeenkäypää tutkia aluksi radiaalisia ratkaisu. Näin saadaan hyödyllisiä eksplisiittisiä kaavo. Lause.11. Laplace-yhtälön radiaalinen ratkaisu, jolla on singulariteetti a:ssa jolle pätee lisäksi v ds = 1 kaikilla r > 0, r on B r Γ(a, x) = 1 log a x, n = π Γ(a, x) = 1 ω n ( n) a x n, n 3. Todistus. Olkoon v(r) = u(x). Tällöin Laplace-yhtälö saa muodon Tästä ratkaisemalla saadaan u = v (r) + n 1 v (r) = 0. r v(r) = c 1 + c log r, n = v(r) = c 3 + c 4 r n, n 3. Normeerausehto huomioiden päädytään lauseen vakioihin. Tarkemmat yksityiskohdat [6], s. 1-. Todistetaan sitten oleellinen integroimistulos, Greenin identiteetti. Lause.1. Olkoon rajoitettu alue R n :ssä u C 1 () C (). Tällöin jokaiselle a pätee u(a) = Γ(a, x) u(x)dx (Γ(a, x) u (x) u(x) Γ (a, x))ds x. n x n x 7

Todistus. [11], s. 10. Greenin integrointikaavalla u vdx v udx = u v ν ds x v u ν ds x U saadaan alueessa B r (a) pienellä r (Γ u u Γ)dx = (Γ u ν u Γ ν )ds x B r(a) U U B r(a) (Γ u ν u Γ ν )ds x Huomataan, että Γ = 0 alueessa B r (a). Siten saadaan Γ udx = (Γ u ν u Γ ν )ds x lim (Γ r 0 B u r(a) ν u Γ ν )ds x Tarkastellaan tapausta n 3. Tapaus n = menee samoin. Γ:n määritelmästä suoraan saadaan Γ u ν ds 1 x = r n u ( n)ω n ν ds x r n sup u 0 B r(a) B r(a) B r(a) B r(a) kun r 0. Niinikään Γ:n määritelmästä saadaan u Γ ν ds 1 x = ω n r n 1 kun r 0. B r(a) uds x u(a) Seuraavaksi määritellään Greenin funktio. Greenin funktio on eräänlainen perusratkaisu annetussa alueessa. Valitaan jokaista x kohti Φ(x, ) C 1 () C () s.e. { y Φ(x, y) = 0 y Φ(x, y) = Γ(x, y) y Merkitään G(x, y) = Γ(x, y)+φ(x, y). G(x, y) on Greenin funktio. Greenin funktio on olemassa kaikissa säännöllisissä alueissa, eli alueissa, joissa Dirichlet'n ongelmalle on ratkaisu. Se on x-keskisen perusratkaisun harmonisella lisäysfunktiolla korttu versio, joka on nollaa määrittelyalueen reunalla. Greenin funktio on yksikäsitteinen, koska kahden Greenin funktion erotus on harmoninen nollaa määrittelyalueen reunalla. Lause.13. Greenin funktio G(x, y) on symmetrinen joukossa eli G(x, y) = G(y, x), kun x y. Todistus. [11], s. 1. Lause.14. Jokaiselle x, y, x y pätee 0 > G(x, y) > Γ(x, y), n 3 0 > G(x, y) > Γ(x, y) 1 log diam(), n =. π 8

Todistus. [11], s. 13. Greenin funktio pallossa on eräs keino johtaa Harnackin epäyhtälö, joka rajoittaa harmonisen funktion arvojen vaihtelua. Lause.15. (Harnackin epäyhtälön eksplisiittinen muoto) Olkoon u harmoninen pallossa B R (x 0 ) u 0. Tällöin R ( R r R + r )n R + r u(x R 0) u(x) ( R + r R r )n R r u(x 0) missä r = x x 0 < R. Todistus. Poisson'n integraalikaavalla, ks. [11], s. 16 [9], s. 107-108. Harnackin epäyhtälö saadaan siistimpään muotoon helposti. Lause.16. Olkoon v ei-negatiivinen ratkaisu yhtälöön v = 0 pallossa B a (0). Tällöin, kun 0 < r < 1 : sup B ar(0) u (1 r) n inf u B ar(0) Todistus. Lauseen.15 mukaan a a ar a a + ar ( )n sup u(x) ( )n inf u(x), a + ar a + ar a ar a ar josta puolittain kamalla saadaan sup u(x) ( 1 + r 1 r )n inf u(x) (1 r) n inf u(x). Viimeisessä vaiheessa on käytetty epäyhtälöä 1 + r (1 + r)(1 r) = 1 r (1 r)(1 r) = 1 r (1 r) 1 (1 r) = (1 r). Harmonisille funktioille saadaan mielenkiintoisia tuloksia myös tutkimalla sopivien funktioiden L -norme. Caccioppolin epäyhtälöllä saadaan ns. energiaestimaatte, joilla harmonisen funktion gradientin L -normia voi rajoittaa funktion itsensä L -normilla. Lause.17. (Caccioppolin epäyhtälö) Toteuttakoon u C 1 () yhtälön D i ud i ϕdx = 0 kaikilla ϕ C0(). 1 Tällöin jokaiselle funktiolle η C0() 1 pätee η Du dx 4 Dη u dx. 9

Todistus. Valitaan φ, jolla testataan yhtälöä. Olkoon ϕ = η u. Tällöin saadaan 0 = DuDϕdx = uηdudηdx + Du η dx, mistä seuraa η Du dx = Hölderin epäyhtälöllä saadaan η Du dx uηdudηdx Du Dη u ηdx. η u Dη Du dx Dη u dx η Du dx. Tulos saadaan korottamalla puolittain toiseen kamalla. Huomautus.18. Harmoniset funktiot toteuttavat lauseen ehdon. Osittaisintegroimalla saadaan D i ud i ϕdx = uϕdx + DuϕdS x = 0 + 0 = 0. Seuraavaksi näytetaan esimerkki energiaestimaatista. Lause.19. Olkoon u kuten lauseessa.17 olkoon = B 1. Tällöin mille tahansa 0 r < R 1 pätee Du C dx B r (R r) u dx B r Todistus. Valitaan η siten, että η 1 B r :ssä, η 0 B R :n ulkopuolella Dη (R r) 1. Tällainen η voidaan konstruoida konvoluutiona, kun alkuperäiselle funktiolle f pätee f 1 alueessa B r+ 1 5 (R r) f 0 alueen B R 1 10 (R r) ulkopuolella f( x ) = 10 7 (R 1 10 x ) alueessa B R 1 10 (R r) B r+ 1 5 (R r) silotusfunktion säteelle ε pätee ε < 1 10. Määritellään Hölder-tkuvuus, C α -normi C α -avaruus, jotta reuna-harnackperiaate on helpompi karakterisoida. Määritelmä.0. Olkoon U avoin joukko. Jos u : U R toteuttaa kaikilla x, y U u(x) u(y) C x y α jollakin 0 < α < 1, niin sanotaan, että u on Hölder-tkuva eksponentilla α. Eksponenttia α vastaava Hölder-avaruus C α (U) on niiden funktioiden joukko, joille normi on äärellinen. sup x U u(x) + sup x,y U;x y u(x) u(y) { x y α } 10

3 Aputuloksia Harnackin epäyhtälö.16 sitoo funktion arvo pienemmässä pallossa lähelle funktion arvoa pallojen keskipisteessä. Todistetaan kaksi apulausetta, jotka vastaavilla palloilla rajoittavat ei-negatiivisen, puolittaisen keskiarvo-ominaisuuden toteuttavan funktion heilahtelua eri tavalla kuin Harnackin epäyhtälö. Näiden lauseiden mukaan funktio ei voi päästä mielivaltaisen lähelle maksimiaan pienemmässä pallossa, jos funktio on nollaa positiivimittaisessa joukossa. Tämän jälkeen on kehitetty päätuloksen todistamiseen tarvittavat työkalut. Lause 3.1. Jos u C(B 1 ) toteuttaa puolittaisen keskiarvo-ominaisuuden eli u(x) n ω n r n u(y)dy kaikilla B r (x) B 1 a) 0 u 1 b) {u = 0} = µ > 0 B r(x) niin on olemassa vakio λ = λ(µ) < 1, jolle sup B 1 u λ(µ) < 1. Todistus. Todistetaan lause tasossa. Todistus menee samoin yleisessä tapauksessa. Jo puolittaisesta keskiarvo-ominaisuudesta seuraa maksimiperiaate samalla todistuksella kuin lauseessa.8 (minimiperiaate ei seuraa). Jatkuvuudesta maksimiperiaatteesta seuraa sup B 1 u = max B 1 u. Olkoon a pallon B 1 reunan piste, jossa u saavuttaa maksimiarvonsa pallossa B 1. Puolittainen keskiarvoperiaate tarkoittaa tässä tapauksessa, kun 0 u 1, että jos u(a) on lähellä yhtä, niin vain mitaltaan pienessä pallon B 1 (a) osajoukossa funktio u voi olla kovin paljon pienempää kuin yksi. Oletetaan, että alueessa B r (0) B 1 (a), r < 1 funktiolle u pätee sup u = 1 µ 9. Arvioidaan alueen mittaa alhaaltapäin neljännessektorilla: B r (0) B 1 (a) > π 4 r. Arvioidaan funktion u arvoa lopussa alueessa B 1 (a) B r(0) ylhäältä päin yhdellä: u B 1 (a) B r(0) 1 11

Tällöin puolittainen keskiarvoperiaate antaa u(a):lle ylära-arvion: josta saadaan π 4 u(a) (π(1 ) π 4 r ) 1 + π 4 r (1 µ 9 ) = π(1 ) π 4 r µ 9. r 1 u(a) µ. 9 Siis kun u(a) tiedetään, edellinen rivi antaa yläran r:n arvoille, joilla pätee u B 1 (a) B r(0) 1 µ 9. Oletetaan sitten, että on piste c, jolle pätee c r u(c) 1 µ 9. Puolittaisella keskiarvo-ominaisuudella voidaan pallossa B 1 r (c) arvioida 0 {x B 1 r (c) : u(x) = 0} + 1 {x B 1 r (c) : u(x) > 0} π(1 r) 1 µ 9. Toisin sanoen π(1 r) {x B 1 r (c) : u(x) = 0} π(1 r) 1 µ 9. Tästä seuraa {x B 1 r (c) : u(x) = 0} π (1 r) µ 9. Ylijäävän alueen B 1 (0) B 1 r (c) mitta on π 1 π (1 r) Alueen, jossa u = 0, mitalle saadaan nämä yhteenlaskemalla ylära ( µ π r r + µ ) ( 9 (r + r + 1) π r + µ ) 9 (r + r + 1) ( µ π µ 1 u(a) + 9 9 ( 1 µ 9 ( = π (1 u(a)) + + µ 9 µ 9 ( π (1 u(a)) + 4 µ 9 ( π (1 u(a)) + 1 (1 u(a)) + µ 9 µ ) 1 u(a) + 9 µ ) 1 u(a) + 9 µ ) 1 u(a) + µ 9 1 u(a) + 1) ) 1

4(1 u(a)) + 48 µ 1 u(a) + 4µ 9. Alkuperäinen väite (λ:n olemassaolo) todistetaan antiteesillä: Jos u(a) voisi olla mielivaltaisen suuri annetulla µ, niin valitsemalla seuraa 1 u(a) < min{ µ 36, µ 3 144 } = µ 3 144 µ 8µ 9 < µ, mikä on ristiriita. Saadaan siis λ:lle arvio λ(µ) < 1 µ 3 144. Lause 3.. (Oskillaatiolemma) Olkoon v ratkaisu yhtälöön v = 0 B 1 + :ssa a) 0 v 1 b) v = 0 B 1 :ssa c) v on tkuva B 1 :ssa eli nollaa, kun x n = 0. Tällöin Todistus. 1. Heistetaan harmoniseksi sup v λ < 1. B 1/ Muodostetaan pallossa B 1 harmoninen funktio v(x) määrittelemällä v(x) = v(x) B 1 + :ssa v(x 1, x,..., x n ) = v(x 1, x,..., x n ) B1 :ssa. Laajennettu funktio v on selvästi harmoninen kummassakin puolipallossa. Keskiarvoperiaate toimii myös hypertasolla x n = 0, joten keskiarvoperiaate toimii lokaalisti koko B 1 :ssa funktio on harmoninen.. Puolittainen keskiarvo-ominaisuus harmonisten maksimille Huomataan, että harmonisten funktioiden maksimifunktiolla on puolittainen keskiarvo-ominaisuus eli jos f = max u 1, u,..., u n, missä u i ovat harmonisia, niin f(x) n ω n r n f(y)dy. B r(x) Selvästikin B r (x):ssä f u i, missä u i on jokin niistä harmonisista funktioista, joille u i (x) = f(x). Siispä f(x) = u i (x) = n ω n r n u i (y)dy n B r(x) ω n r n f(y)dy B r(x) Koska vakiofunktiot ovat harmonisia, lause seuraa soveltamalla lausetta 3.1 funktioon v = max{v, 0}. 13

4 Päätuloksen todistus Todistetaan lause 1.1. Todistus on kolmiosainen: 1. Olkoon u kuten lauseessa 1.1. Todistetaan, että tällöin u B + M, missä M 1/ on u:sta riippumaton vakio.. Osoitetaan, että v u on rajoitettu B+ 1 :ssa aina reunaan x n = 0 asti. 3. Iteroimalla osia 1 todistetaan Hölder-tkuvuus. Todistetaan yksinkertaisuuden vuoksi koko an R :ssa, todistus menee samoin korkeammissa ulottuvuuksissa. 4.1 Yhden funktion rajoite 4.1.1 Huomioita a) Jos y 0 {x n = 0}, niin sup Br(y 0) u pienenee polynomisesti, eli jos r < R, niin u C( r R )α sup u. sup B r(y 0) B R (y 0) Jos näet laajennetaan u:ta identtisesti nollana, kun x n < 0, oskillaatiolemma antaa arvolla λ = λ(1/) sup u Br/ λ sup u Br. Siis sup u f( r B r(y 0) R ) sup u, B R (y 0) missä f ( (k+1), k ] = λ k kaikilla k N. Kun näet valitaan C = 1 λ α = ln λ ln( 1 ), f( r R ) C( r R )α kaikilla 0 < r R < 1. b) Huomautus 4.1. Harnack-yhtälöstä.16 saadaan johdettua, kun s 1 4 : sup u s p u( 1 B 34 {x n>s} e n) = s p, missä p = p(n) on vain dimensiosta riippuva vakio. Siis jos u voi saada mielivaltaisen suuren arvon alueessa B + 3, tämän täytyy 4 tapahtua reunan x n = 0 lähellä. 14

Todistus. Ketjutetaan alueeseen B 1 + sisältyviä Harnackin epäyhtälön sisempiä 1 s 8 -säteisiä pallo, jotka menevät päällekkäin joita vastaavat ulommat 1 8 - säteiset pallot sisältyvät puolipalloon B 1 + (0). Osoitetaan, että alueen B 3 {x n > 4 s} jokainen piste x on saavutettavissa pisteestä 1 e n viiden pallon ketjulla. Olkoon x v = (x 1v, x v ) mielivaltainen alueen B 3 4 {x n > s} piste. Määritellään piste x a seuraavasti: Jos x v 7 3, niin x a = x v. Jos s < x v < 7 3, niin x a = (x 1v, 7 3 ). Jälkimmäisessä tapauksessa sekä x v että x a kuuluvat palloon B (1 s) 1 8 (x 1 v, 1 8 ). Huomataan myös, että B 1 8 (x 1 v, 1 8 ) B+ 1 (0) Tämän jälkeen pisteiden x a 1 e n väliseltä nalta valitaan pisteet 1 10 x a + 9 10 1 e n, 3 10 x a + 7 1 10 e n, 5 10 x a + 5 1 10 e n, 7 10 x a + 3 1 10 e n 9 10 x a + 1 1 10 e n. Nämä pisteet keskipisteinä piirretyt (1 s) 1 8 -säteisistä palloista aina peräkkäiset menevät päällekkäin samankeskiset 1 8 -säteiset pallot sisältyvät puolipalloon B 1 + (0). Peräkkäisten sisempien pallojen leikkaamisen voi todeta arviomalla pisteiden x a 1 e n välisen nan maksimipituudeksi pisteiden ( 3 4, 0) 1 e n etäisyyden kamalla sen viidellä: 1 + 3 4 = 0, 18077... < (1 1 5 4 )( 8 ) (1 1 s )( 8 ) Siis käyttämällä Harnackin epäyhtälöä useamman kerran peräkkäin vähintään kuudella kerralla saadaan mielivaltaiselle pisteelle x v arvioksi u(x v ) (1 r) 6 n u( 1 e n) = s 1n = s p, mistä supremum-arvio seuraa suoraan. Yleisen dimension tapaus menee samalla tavalla, mikä huomataan projisoimalla tapaus tasoon, johon kuuluvat x n -akseli piste x v. c) Koska u on tkuva reunaan x n = 0 alueessa B + 1 u on C -funktio, saavuttaa u suurimman arvonsa B + 1 :ssa eli sup u = u(x 0 ) = M. B + 1 15

Seuraavassa näytetään, että jos M M 0 tarpeeksi suurella kiinteällä M 0, niin u ei ole rajoitettu B + 3 :ssa, mikä on ristiriita, sillä u on rajoitettu samasta syystä 4 kuin puolipallossa B + 1. 4.1. Ristiriidan konstruktio Seuraavassa y k tarkoittaa pisteen x k projektiota hypertasolle x n = 0. Huomautuksesta 4.1 saadaan alueessa B + 1 Siis kun ε = 1 p saadaan M = u(x 0 ) x 0 y 0 p. d 0 = x 0 y 0 M ε. Siis x 0 on lähellä hypertasoa x n = 0, koska M on suuri. Käytetään sitten oskillaatiolemmaa takaperin: Tiedetään, että Tästä seuraa sup u u(x 0 ) M. B d0 (y 0) sup u = sup u T M. B d0 (y 0) B d1 (y 0 ) missä T = 1 > 1 on oskillaatiolemmalla saatava u:sta riippumaton vakio. λ( 1 ) Harnack-epäyhtälöllä saadaan samalla tavalla kuin d 0 :lle: d 1 = x 1 y 1 (T M) ε Soveltamalla uudelleen oskillaatiolemmaa takaperin, kuten u(x 1 ):lle, saadaan u(x ) = taas Harnack-epäyhtälö antaa sup u T u(x 1 ) T M B d1 (y 1) d = x y (T M) ε. Jatkamalla prosessia induktiivisesti saadaan pistejono {x k }, jolle pätee u(x k ) T k M x k y k (T k M) ε 16

x k x k 1 4(T k 1 M) ε. Nyt, jos valitaan M tarpeeksi suureksi, saadaan x k x k 1 mielivaltaisen pieneksi. Valitaan esimerkiksi x k x k 1 1 16, k k jolloin jono pysyy puolipallossa B + 9 konstruktion pallojen koon kanssa ei tule 16 ongelmia. Vaihe 1 on todistettu. (Oskillaatiolemmassa funktion ylära on 1, tässä sovelluskerralla k + 1 funktion u ylära on T k M, joten tarkkaan ottaen täytyy aina soveltaa lemmaa funktioon u/(t k M).) Sama todistus toimisi myös suuremmalla puolipallon säteellä r ] 1, 1[. Harnackepäyhtälön sovellusta pallojen koko täytyisi muuttaa sopivasti. Luonnollisesti M olisi tällöin suurempi. 4. Osamäärän rajoite Halutaan näyttää, että u v on rajoitettu. Koska v( 1 e n) = u( 1 e n) = 1, todistuksen osan 1 perusteella v B + 1 M Harnack-epäyhtälöä ketjuttamalla nähdään, että u 1 M alueessa B + 1 {x n 1 8 }. Osan todistamiseksi riittää seuraavan lauseen todistaminen ( myöhempi käyttö): Lause 4.. Olkoon R n :ssä kuutiot Q (e n ) = {0 < x n <, x j < 1, kun j < n} Q 1 (1 4 e n) = {0 < x n < 1, x j < 1, kun j < n}. 4 Olkoot F 1, F kaksi Q (e n ):n eri tahkoa, ei kumpikaan tahko x n = 0. Olkoon v i funktio, jolle pätee a) v i = 0 Q :ssa b) v i Q = χ Fi Tällöin Q 1 :ssa v 1 Cv. 17

Todistus. Oskillaatiolemmasta saadaan laajentamalla funktiota (1 v i ) identtisesti nollana F i :n ei-kuution puolelle 1 v i λ < 1 lähellä reunaa F i, esimerkiksi kuutiossa Q Fi, jonka yksi sivu on reunalla F i reunojen pituudet ovat 1. Siis v i (1 λ) > 0 v i on aidosti positiivista Q :n sisällä, esimerkiksi Q 1 (e n ):ssä. Olkoon G(x, y) Greenin funktio Q :ssa. Kuutio on säännöllinen alue, joten Greenin funktio on olemassa. G(x, e n ) on rajoitettu muuttulle x reunalla Q 1 (e n ), on nollaa Q :ssa siispä alueessa Q (e n ) Q 1 (e n ). G(x, e n ) Cv 1 (x) Näytetään seuraavaksi, että alueessa R 1 = Q 1 ( 1 4 e n) pätee myös v 1 (x) CG(x, e n ). Tätä varten kiinnitetään x:n johonkin pisteeseen alueessa Q 1 ( 1 4 e n). G on harmoninen y:n suhteen vakiolla x eli y G(x, y) = 0 ( G on määritelty, kun x y, erityisesti siis kun y / Q 1 ( 1 4 e n).) Siispä todistuksen osan 1 avulla, x kiinnitettynä, pätee kaikille y alueessa Q (e n ) Q 3 ( 3 4 8 e n) G(x, y) CG(x, e n ). Koska G on nollaa reunalla Q (e n ), energiaestimaatti antaa y G(x, y) dy C G dy CG (x, e n ). Q (e n) Q 1( 1 en) Q (e n) Q 34 ( 3 8 en) Estimaatti saadaan valitsemalla η siten, että η 1 alueessa Q (e n ) Q 1 ( 1 e n), η 0 alueessa Q 3 ( 3 4 8 e n) η < C alueessa Q 1 ( 1 e n) Q 3 ( 3 4 8 e n). Nyt η:n ei tarvitse olla nollaa reunoilla, sillä G(x, y) on nollaa reunoilla, joten ϕ = η G on myös. Otetaan sitten C -funktio θ, joka on nollaa F 1 :n 1 4 -ympäristössä θ 1 kuutiossa Q 1 ( 1 e n) lopussa osassa Q :ta 0 < θ C. Tällainen funktio löydetään sopivan paloittain lineaarisen funktion konvoluutiona. Esitetään v 1 (x) x:n suhteen alueessa Q 1 ( 1 4 e n) Greenin integrointikaavan v DvDudx = u vdx + U U U ν uds x 18

avulla. Käytetään kaavaa aluessa U = Q B r (x) pienellä r. Saadaan U (θv 1 )(y) G(x, y)dy + Q G ν θv 1dS y U T (θv 1 ) y G(x, y)dy = B r(a) G ν θv 1dS y U θ(y)g(x, y) v 1 (y)dy + Q v 1 ν θgds y U B r(a) T (θg) v 1 dy = v 1 ν θgds y Kuution reunalla otettavat integraalit Laplace-termin sisältävät integraalit ovat selvästi nollia. Määritetään pallon reunalla otettavien integraalien raarvot, kun r 0. Lauseen.1 todistuksesta tiedetään vastaavien integraalien ra-arvot, kun G(x, y):n tilalla on Γ(x, y). B r(x) = v 1 (x) B r(x) G ν θv Γ 1dS y = B r(x) ν θv Φ 1dS y + B r(x) ν θv 1dS y θv 1 (x) + 0 v 1 ν θgds v 1 y = B r(x) ν θγds v 1 y + B r(x) ν θφds y 0 + 0 = 0. Nyt vähentämällä alkuperäiset kaksi yhtälöä toisistaan antamalla r 0 jää siis v 1 (x) = T θ[v 1 y G G v 1 ]. Funktion θ kantalla pätee v1dy C, v 1 dy C, (yksityiskohdat ks. huomautus alla) G dy CG(x, e n ) G dy CG(x, e n ). 19

Siispä Hölderin epäyhtälön nolla v 1 (x) CG(x, e n ). Osa on valmis, koska palatessa u:hun v:hen, voidaan sanoa, että v M( F i v i ) u 1 M v 1 missä F 1 on vastakkainen tahko tahkolle x n = 0. Huomautus 4.3. Todistetaan, että θ:n kantalla v 1 dx < C. Todistuksessa kaikkien integraalien integroimisjoukkona θ:n kanta integrointimuuttuna y: Todistus. Energiaestimaatilla θ v 1 C θ (v 1 ) C Otetaan sitten uusi C -funktio θ, joka on nollaa F 1 :n 1 8 -ympäristössä θ 1 kuutiossa Q 1 ( 1 e n) lopussa osassa Q :ta θ 0 1 θ 1 θ:n kantalla. Voidaan jälleen valita sopiva paloittain lineaarisen funktion silotus. Voidaan suorittaa samat integraalien rajoittuneisuutta koskevat havainnot myös θ :lle saadzan θ v 1 C. y: θ (y) 0 Alkuperäisen θ:n gradientin kantalla (pienemmässä integroimisjoukossa) siis myös θ v 1 C θ > 1, joten v 1 4C. 4.3 Hölder-normin arvio Todistetaan lopuksi Hölder-normin tasainen ylära iteroimalla aiempien vaiheiden tuloksia. Lause 4.4. Olkoon k N, k 4. On olemassa vakiot a k,b k, 1 M a k < b k M, vakio λ < 1 siten, että alueessa B + k (x), k 4, x {{x n = 0} {B + 1/ }} pätee a k u v b k u (b k a k ) λ(b k 1 a k 1 ). Todistus. Induktiotodistus: Lause on voimassa, kun k = 4, sillä osat 1 olisi voitu todistaa isommissakin puolipalloissa valinnat a 4 = 1 M b 4 = M toimivat. 0

Millä tahansa k 4, normalisoidaan alue B + (x) alueeksi B + k 1 (0) transformaatiokuvauksella u(y) = u(x + k y) määritellään positiiviset funktiot w 1 (x) = (v a ku)(x) b k a k w (x) = (b ku v)(x) b k a k tutkitaan positiivisia luku w 1 ( 1 e n), w ( 1 e n). Toinen näistä on suurempi kuin 1 u( 1 e n), koska w 1 ( 1 e n) + w ( 1 e n) = u( 1 e n). Olkoon tämä luku w 1 ( 1 e n). Silloin w 1 (x) on ei-negatiivinen harmoninen funktio B 1 + (0):ssa. Lisäksi w 1(x) on nollaa reunalla {x n = 0} w 1 ( 1 e n) u( 1 e n). Siis lauseen 4. nolla alueessa B + 1 (0) w 1 u 1 M. Takaisin normalisoiden puolipallossa B + (k+1) (x) Eli puolipallossa B + (k+1) (x) v a k u (b k a k )u 1 M [a k + 1 M (b k a k )]u v b k. Siis b k+1 = b k a k+1 = a k + 1 M (b k a k ). Lause 4.5. Funktiolla u v on alueessa B+ 1/ jollakin eksponentilla 0 < α < 1 eli tasaisesti rajoitettu Hölder-normi sup x,y B + 1/ u(x) v(x) u(y) v(y) x y α C. Todistus. Lauseesta 4.4 havaitaan, että u v voidaan määritellä reunalla x n = 0 tkuvaksi u log λ v :n Hölder-normi on eksponentilla α = (jolla siis pätee log 1 λ = 1 α ) rajoitettu tasaisesti sellaisilla x, y, joilla ainakin toinen pisteistä x y siitsee puolipallon alareunalla x n = 0. Lauseesta.10 tiedetään u v alueessa B + 1/ {x n > e} tasaisesti rajoitetuiksi vakiolla C(e), kun 0 < e < 1. Tästä v :n alarasta l samassa alueessa (l > 0, Harnack-epäyhtälöä ketjuttamalla) seuraa tasaisesti rajoitettu Lipschitznormi osamäärien derivointikaavalla. Tästä seuraa tasaisesti rajoitettu Höldernormi millä tahansa eksponentilla α (0, 1). 1

Hölder-normi saadaan tasaisesti rajoitetuksi alareunan lähellä oleville pistepareille {x, y}, joista kumpikaan piste ei kuitenkaan ole alareunalla, yhdistämällä ylläolevat menetelmät: Olkoon B + (z) pienin puolipallo, jonka osapuolipallo B + (z) sisältää pisteet x y. Merkitään eksponenttia k = 4 + i, missä i siis kuvaa kutistuk- k (k+1) sia puolipallon B + 1 (0) tasaisen reunan x n = 0 jokaiselle pisteelle määritellystä 1 16 -säteisestä puolipallosta pienemmäksi. Tarkastellaan u:n v:n arvo puolipallojen pisteissä e kn = (5+i) e n. Kun i = 0, Harnack-epäyhtälöstä seuraa u(e kn ) L v(e kn ) 1 L. Tällöin Kun i > 0, lauseesta 4.4 seuraa funktiot u(e kn )/v(e kn ) L. u(e kn )/v(e kn ) λ i L. u kn = v kn = u u(e kn ) v v(e kn ) voidaan normalisoida B 1 + :een. Normalisoiduille funktioille u 1 (s) = u kn (z + k s) v 1 (s) = v kn (z + k s) pätevät alueessa B + 1/ {s n > e} samat derivaatta-arviot kuin alkuperäisille u:lle v:lle, joten saadaan tasaisesti rajoitettu Hölder-normi: u1(s) v 1(s) u1(t) v 1(t) s t α C. Takaisin pieneen puolipalloon mentäessä saadaan pisteissä x = z + k s y = z + k t u(x) v(x) = u(e kn) u 1 (s) v(e kn ) v 1 (s) u 1(s) v 1 (s) λi L u(y) v(y) = u(e kn) u 1 (t) v(e kn ) v 1 (t) u 1(t) v 1 (t) λi L x y = k s t Sijoittamalla nämä saatuun Hölder-normin arvioon seuraa pienessä puolipallossa u(x) v(x) u(y) v(y) x y α λi L C = (5+i)α 5 L ( α λ) i = C L ( α λ) i = C L. 1

Viitteet [1] Aikawa, Hiroaki; Kilpeläinen, Tero; Shanmugalingam, Nageswari; Zhong, Xiao, Boundary Harnack principle for p-harmonic functions in smooth Euclidean domains. Potential Anal. 6 (007), no. 3, 81301. [] Athanasopoulos, I.; Caffarelli, L. A.; Salsa, S., The free boundary in an inverse conductivity problem. J. Reine Angew. Math. 534 (001), 131. [3] Bennewitz, Björn; Lewis, John L., On the dimension of p-harmonic measure. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 30 (005), no., 459505. [4] Blank, Ivan, Sharp results for the regularity and stability of the free boundary in the obstacle problem. Indiana Univ. Math. J. 50 (001), no. 3, 1077 111. [5] Caffarelli, L.; Fabes, E.; Mortola, S.; Salsa, S, Boundary behavior of nonnegative solutions of elliptic operators in divergence form. Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), no. 4, 61640. [6] Evans, Lawrence C., Partial Dierential Equations. American Mathematical Society, 1998. [7] Ferrari, Fausto, Two-phase problems for a class of fully nonlinear elliptic operators. Lipschitz free boundaries are C 1,γ. Amer. J. Math. 18 (006), no. 3, 541571. [8] Hunt, Richard A.; Wheeden, Richard L., Positive harmonic functions on Lipschitz domains. Trans. Amer. Math. Soc. 147 1970 50757. [9] John, Fritz, Partial Dierential Equations. Springer, 198. [10] Kim, Panki; Song, Renming, Boundary Harnack principle for Brownian motions with measure-valued drifts in bounded Lipschitz domains. Math. Ann. 339 (007), no. 1, 135174. [11] Qing Han, Fanghua Lin, Elliptic Partial Dierential Equations. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1997. 3