f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos k x + b k sin k x ) = c k e i k x oleva funktio, missä n Z +, a,..., a n C, b 1,..., b n C, c n,,..., c n C. Integroituvan funktion f L 1 ([, π]; C) Fourier n kertoimet ovat a k = 1 π f(x) cos k x dx, b k = 1 π Funktion f Fourier n sarjan k Z c k e i k x s n (x) := f(x) sin k x dx, c k = 1 n. osasumma on c k e i k x, f(x) e i k x dx. missä c k ovat yllä määriteltyjä Fourier n kertoimia. Trigonometristen funktioiden yhteydessä välin [, π] (tai [, ]) sijasta on luonnollisempaa tarkastella koko reaaliakselilla määräriteltyjä -jaksoisia funktioita. jaksoisten, välillä [, π] neliöintegroituvien funktioiden joukkoa merkitään jatkossa L ja jatkuvien vastaavasti C. Yksinkertaisuuden vuoksi olkoon e k (x) := e i k x. Funktioiden f, g L 1 konvoluutio määritellään kaavalla (f g)(x) := f(t) g(x t) dt = f(x t) g(t) dt. Koska jatkossa konvoluution toinen tekijä on yleensä jatkuva, on konvoluution olemassaolo tällaisissa tilanteissa selvä. 3.1. Weierstrassin trigonometrinen approksimointilause. Joukko {e k k Z} on ortogonaali ja e k =, joten joukko E := { 1 e k k Z} on ortonormaali. Joukko E näytetään avaruuden L Hilbertin kannaksi osoittamalla, että lineaarinen verho E on tiheä avaruudessa L, t.s. että jokaista f L voidaan approksimoida trigonometrisilla polynomeilla L -normin suhteen. ( 1 + cos t ) k, Olkoon Q k (t) := c k kun t R ja k Z+. Funktioille Q k on voimassa a) Q k (t) kaikille t R (kun c k ); π Q k(t) dt = 1, kun vakio c k valitaan sopivasti; b) 1 c) kun η k (δ) := sup{q k (t) δ t π}, < δ < π, niin lim η k(δ) = k kaikille δ (, π). Ehdot a ja b ovat selviä. Koska kosini on parillinen, ehdon b nojalla saadaan 1 = c ( k 1 + cos t ) k c π ( k 1 + cos t ) k c k dt > sin t dt = π π π (k + 1).
Koska kosini on välillä [, π] vähenevä, saadaan π (k + 1) ( 1 + cos δ ) k Q k (t) Q k (δ), kun k. Olkoon f C. Olkoot Q k, k Z +, trigonometrisia polynomeja, jotka toteuttavat ehdot a c. Asetetaan P k (x) := 1 (f Q k)(x) = 1 f(t) Q k (x t) dt = 1 f(x t) Q k (t) dt. Olkoon Q k (t) = n q k e i k t. Tällöin P k (x) = f(t) q k e i k (x t) dt = q k e i k x f(t) e i k t dt, josta käy ilmi, että P k on trigonometrinen polynomi. Ehdon b nojalla saadaan P k (x) f(x) = 1 (f(x t) f(x)) Q k (t) dt Olkoon nyt ε >. Koska f on tasaisesti jatkuva, on olemassa δ > siten, että f(x t) f(x) ε kaikille x R, kun t δ. Saadaan P k (x) f(x) 1 f(x t) f(x) Q k (t) dt = 1 + 1 t δ δ< t π = 1 ε Q k (t) dt + 1 ε + 1 t δ δ< t π δ< t π Integraalin arviointiin käytetään ehtoa c. Olkoon M := sup{ f(t) t δ< t π [, π]}. Tällöin f(x t) f(x) M, joten 1 1 M η k (δ) dt M η k (δ). δ< t π Siis kaikille x [, π] on δ< t π P k (x) f(x) ε + M η k (δ). Kun k, on η k (δ), joten riittävän suurille k saadaan Tämä tarkoittaa, että P k f tasaisesti. P k (x) f(x) ε + ε. 3.. Paras approksimaatio. Olkoon f L. Merkitään ẽ k := 1 e k, jolloin joukko {ẽ k k Z} on ortonormaali. Olkoon J Z äärellinen indeksijoukko. Tällöin kaikille λ k C, k J on voimasssa f λ k ẽ k = f (f ẽ k )e k + (f ẽ k ) λ k. Välittömiä seurauksia: a) Valitsemalla λ k = (f ẽ k ) saadaan (f ẽ k) f, josta saadaan edelleen Besselin epäyhtälö (= luentomonisteen seuraus 9.4): (f ẽ k ) f. k Z
b) Etäisyyden f λ k ẽ k minimoi piste g = λ k ẽ k, jolle λ k = (f ẽ k ). Merkitään c k := (f ẽ k ), ja lasketaan f λ k ẽ k = f λ k (f ẽ k ) λ k (ẽ k f) + λ k = f λ k c k λ k c k + λ k 3 Toisaalta, Siis c k λ k = (c k λ k ) (c k λ k ) = c k c k λ k λ k c k + f λ k ẽ k = f + c k λ k c k. λ k Valitsemalla λ k = c k saadaan f c k ẽ k = f c k. Väite seuraa. 3.3. Hilbertin kanta. Ortonormaali joukko E := { 1 e k k Z} näytetään avaruuden L Hilbertin kannaksi osoittamalla, että jokaista f L voidaan approksimoida trigonometrisilla polynomeilla L (I)-normin suhteen, I := [, π]. Olkoot f L ja ε >. Jaetaan aluksi funktion f reaali- ja imaginaariosat positiivi- ja negatiiviosiin, f = f 1 f +i (f 3 f 4 ), missä jokainen f j L on ei-negatiivinen. Mittateoriasta tiedetään, että ei-negatiivinen mitallista funktiota f j voidaan approksimoida kasvavalla jonolla yksinkertaisia funktioita (g j,k ) k : g j,k f j ja g j,k (x) f j (x), kun k. Tällöin dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan f j g j,k = f j g j,k, kun k, I sillä f j g j,k f j L 1 (I) ja f j (x) g j,k (x), kun k. Funktiolle g := g 1,k g,k + i (g 3,k g 4,k ) on siis f g ε, kun k on riittävän suuri. Seuraavaksi käytetään apuna Lusinin lausetta: 1 Olkoot η > ja g : I R mitallinen funktio, joka on melkein kaikkialla äärellinen. Tällöin on olemassa jatkuva funktio h: I R ja suljettu joukko F I siten, että g(x) = h(x) kaikille x F ja m(i \ F ) < η. Lisäksi, jos g(x) M kaikille x I, voidaan h valita niin, että h(x) M kaikille x I. Koska yksinkertainen funktio g k on mitallinen ja rajoitettu, on olemassa jatkuva funktio h ja suljettu joukko F I siten, että g k (x) = h(x) kaikille x F, m(i\f ) < η ja h(x) M = sup{ g(x) x I} kaikille x I. 1 Vaikka [, Thm 4.5].
Tällöin g(x) h(x) M kaikille x I, joten g h = g h + g h (M) η. F Valitsemalla η riittävän pieneksi, saadaan g h ε. Seuraavaksi korjataan h -jaksoiseksi. Olkoon δ (, π). Olkoon h π (x) := h(x), kun x π δ. Välillä [π δ, π] h π olkoon ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja yhdistää pisteet (π δ, h(π δ)) ja (π, h()). Tällöin h π on jatkuva ja jaksoinen. Koska h(x) h π (x) h, on h h π h δ. Valitsemalla δ riittävän pieneksi, saadaan h h π ε. Viimeisenä vedotaan Weierstrassin trigonometriseen approksimointilauseeseen. Koska h π on jatkuva ja -jaksoinen, on jokaiselle η > olemassa trigonometrinen polynomi p, jolle h π p η. Kun η valitaan riittävän pieneksi, saadaan h π p h π p η ε. Yhdistämällä edellä saadut approksimaatiot, saadaan kolmioepäyhtälön avulla f p 4ε. Tämä tarkoittaa, että E on tiheä avaruudessa L. Rieszin ja Fisherin lauseen, joka kertoo, että L p -avaruudet (1 p ) ovat Banachin avaruuksia ja eritoten L -avaruudet ovat Hilbertin avaruuksia, alkuperäinen, Rieszin esittämä versio käsittelee ortonormeerattua funktiojoukkoa e k tapauksessa p = : Kun c k C ja k Z c k <, on olemassa f L siten, että f I\F c k e k, kun n. Rieszin ja Fisherin lauseen todistuksesta ilmenee, että osasummien jonolla s n (x) = n c k e i k x on osajono (s nk ), joka suppenee melkein kaikkialla (tarkista asia Mitta- ja integraaliteorian luentomonisteesta). Tästä ei kuitenkaan voi päätellä mitään itse jonon (s n ) n=1 m.k.-suppenemisesta. On helppo konstruoida jono, joka ei suppene millekään muuttujan arvolle, mutta jolla on suppeneva osajono. 3 Seuraavassa esitetään muutamia tärkeitä klassisia tuloksia Fourier n sarjojen pisteittäisestä suppenemisesta. 3.4. Dirichlet n ja Fejér n ytimet. Funktioille e k ja f L on (f e k )(x) = f(t) e i k (x t) dt = e i k x f(t) e i k t dt = c k e i k x. Fourier n sarjan osasummille saadaan s n (x) = c k e i k x = (f 1 e k)(x) = (f 1 D n)(x), 4 Frigyes Riesz ja Ernst Fisher todistivat lauseen toisistaan riippumatta vuonna 197. 3 Esimerkiksi f n (x) := 1, kun k j x k (j + 1), n = k + j ja j < k, ja f n (x) := muuten, t.s. f n = χ In, missä I n = [ k j, k (j + 1)]. Tällöin lim inf n f n (x) = ja lim sup n f n (x) = 1 kaikille x [, 1], t.s. jono (f n (x)) n Z+ ei suppene millekään x [, 1]. Suppenevia osajonoja löytyy helposti, kun piirtää kuvan.
kun D n on Dirichlet n ydin 4 D n (x) := e i k x. Toinen tärkeä konvoluutioydin on Fejér n ydin K n (x) := 1 D k (x) n + 1 Fejér n ydin on konvoluutioydin, jonka avulla Fourier n sarjan osasummien aritmeettinen keskiarvo, Cesàron summa, σ n (x) := 1 s k (x), n + 1 saadaan konvoluutiona σ n (x) = (f 1 K n)(x). Geometrisen sarjan osasummien kaavalla saadaan kaikille x Z e ikx ix 1 einx = e 1 e = einx/ e inx/ e i(n+1)x/ = sin(nx/) ix e ix/ e ix/ sin(x/) ei(n+1)x/. Tästä saadaan D n (x) = sin(nx/) sin(x/) k= k= sin((n + 1)x/) cos((n + 1)x/) + 1 =. sin(x/) Vastaaavalla tavalla saadaan, kun x πz, e i(k 1)x = e ix e ik(x) = sin nx sin x einx sekä reaali- ja imaginaariosille sin nx cos(k 1)x = sin x, sin(k 1)x = sin nx sin x. Jälkimmäisen summan avulla saadaan, kun < t < π, K n (x) = 1 D k (x) = 1 ( sin((n + 1)x/) ). n + 1 n + 1 sin(x/) k= Koska ei k t dt =, kun k, on Dirichlet n ytimelle D n(t) dt =. Fejér n ytimelle saadaan a) K n on jatkuva, parillinen ja K n (t) kaikille t R; π K n(t) dt = 1; b) 1 c) kun η n (δ) := sup{k n (t) δ t π}, < δ < π, niin lim η n(δ) = n kaikille δ (, π). 4 Jos vakio 1 lisättäisiin tekijäksi Dirichlet n ytimeen, osasumman ja ytimen välinen kaava muuttuisi kauniimmaksi: s n = f D n. Tältä osin kirjallisuus on kirjavaa, samoin kuin L p -normin valinnan osalta; dt vai dt. 5
Viimeinen kohta seuraa helposti, kun käytetään apuna epäyhtälöitä sin x x, kun π x π, ja sin x x kaikille x. Näiden avulla saadaan { π } K n (t) min n + 1,, kun < t < π. (n + 1) t Edellä olevat ominaisuudet a c takaavat, että jatkuvalle -jaksoiselle funktiolle f on f 1 K n f tasaisesti, t.s. jatkuvan -jaksoisen funktion Fourier n sarjan osasummien aritmeettisten keskiarvojen jono suppenee tasaisesti kohti funktiota f. Koska Dirichlet n ytimelle f 1 D n = s n on Fourier n sarjan n. osasumma, ominaisuudet a c olisivat toivottavia myös Dirichlet n ytimelle. Näin ei kuitenkaan ole. Katznelson erinomaisessa kirjassa [5, I.] 5 määritellään summability kernel jonoksi (k n ) n=1 jatkuvia, -jaksoisia funktioita, joille a) 1 b) sup { 1 k n(t) dt = 1; k n(t) dt } < ; c) kaikille δ (, π) on lim k n (t) dt =. n δ t π On helppo todeta, että Weierstrassin trigonometrinen approksimointilause voidaan todistaa, vaikka jonon (Q k ) k tilalla käytettäisiin jonoa (k n ) n. Dirichlet n ydin ei ole ei-negatiivinen, eikä se toteuta edes yllä olevia summaustuvuusytimelle (k n ) n asetettuja ehtoja. Ongelmaisin on kohta b. Nimittäin on voimassa L n := 1 Epäyhtälöstä sin x x, saadaan L n = sin((n + 1)t) dt sin(t/) Epäoleellinen Riemann-integraali D n (t) dt, kun n. sin τ τ sin((n + 1 )t) t/ eli se suppenee, mutta sitä vastaava itseinen integraali 1 1 (n+ )π sin τ dt = 4 dτ. τ dt on tunnetusti vain ehdollisesti suppeneva dt hajaantuu. sin τ τ 3.5. Pisteittäisestä suppenemisesta. Koska Dirichlet n ytimelle on voimassa π D n(t) dt = 1, saadaan s n (x) f(x) = (f 1 D n)(x) f(x) = 1 D n (t) (f(x t) f(x) dt. Jos f L 1 toteuttaa Lipschitz-ehdon pisteessä x, t.s. on olemassa vakiot M ja δ > siten, että niin s n (x) f(x), kun n. f(x t) f(x) M t, kun t δ, 6 5 Kirja on Fourier-analyysiin varsin mainio pakkaus; pieni (n. 5 sivua), sisältää tuloksia, joita muualta on vaikea paikantaa, eikä kaipaa esitiedoikseen kuin mitta- ja integraaliteorian sekä funktionaalianalyysin perusasiat.
Nimittäin, Lipschitz-ehdon nojalla saadaan s n (x) f(x) 1 ( ) dt + dt t δ t >δ 1 D n (t) M t dt + 1 t δ =: 1 (n, δ) + 1 (n, δ). t >δ D n (t) (f(x t) f(x)) dt Ensimmäiselle integraalille saadaan epäyhtälön sin x x, kun < x π, avulla π 1 (n, δ) 1 sin((n + 1)t) M t dt 1 sin(t/) M π δ. t δ Kun ε > on annettu, voidaan δ > valita siten, että 1 (n, δ) ε kaikille n Z +. Jälkimmäiselle termille on (n, δ) = sin((n + 1 f(x t) f(t) )t) dt. sin(t/) π t >δ Tässä funktio g : t f(x t) f(x) on integroituva joukossa [, δ] [δ, π] =: I sin(t/) δ. Jos f on neliöintegroituva, on myös g neliöintegroituva, joten (n, δ) = (g(t) χ Iδ (t) cos t sin(n t) + g(t) χ I δ (t) sin t cos(n t)) dt on neliöintegroituvien funktioiden Fourier n kertoimien lineaarikombinaatio. Besselin epäyhtälön nojalla (n, δ), kun n. Jos funktiosta f oletetaan (Lipschitz-ehdon lisäksi) vain integroituvuus, seuraa (n, δ), kun n, Fourier-analyysin yhdestä keskeisestä tuloksesta: Riemannin ja Lebesguen lemma. Olkoon f L 1 (R). Tällöin R f(t) e i x t dt, kun x. Todistuksen osalta katso [1, Thm. 11.6], [, Thm. 15.7], [3, luku IX, 8 9]. [5, Thm. I..8], [6, lemma XII.4.4], [8, 5.14], [9, Thm. 813] On siis saatu Lause 3.1. Jos f L 1 toteuttaa Lipschitz-ehdon pisteessä x, niin s n (x) f(x), kun n. 7 Lemma 3.. Funktion f C 1 derivaatan f Fourier n kertoimet ovat c k = ik c k, kun c k ovat funktion f Fourier n kertoimet. Todistus. Harjoitusten 6 tehtävä 7. Lause 3.3. Funktion f C 1 Fourier n sarja suppenee itseisesti ja tasaisesti ja sen summa on f(x). Todistus. Harjoitusten 6 tehtävä 8 viimeistä väitettä lukuunottamatta.
Landaun O-symboli. Olkoot (c k ) ja (d k) annettuja lukujonoja. Merkitään c k = O(d k ), kun k, jos on olemassa vakiot M R ja K Z + siten, että c k M d k, kun k K. Jatkuvan funktion Fourier n kertoimien jono (c k ) k Z on rajoitettu, c k = O(1). (Riemannin ja Lebesguen lemma antaisi vähän enemmänkin). Käyttämällä lemmaa 3. toistuvasti, saadaan: Jos f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, on c k = O( k l ). Käyttämällä samankaltaista menettelyä kuin lauseen 3.3 todistuksessa, saadaan osittain käänteinen tulos: Jos funktion f Fourier n kertoimille on voimassa c k = O( k s ), missä s >, niin f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, missä l := s, jos s on kokonaisluku, ja l := s 1, jos s ei ole kokonaisluku. Erityisen kaunis yhteys saadaan C -funktioiden ja nopeasti vähenevien jonojen välille: -jaksoisen C -funktion f : R C, Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä eli toteuttavat kaikille s Z + on c k = O( k s ). Kääntäen, jos -jaksoisen funktion f : R C Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä, niin f on C -funktio. Riemannin ja Lebesguen lemma sanoo siis, että funktion f L 1 Fourier n kertoimille c k on c k, kun k. Mutta kuinka nopeasti kertoimet vaimenevät? Strombergin erinomaisessa kirjassa [9, Cor. 8.19] osoitetaan mm.: Olkoon (a k ) k= jono, jolle a k ja a k, kun k. Tällöin on olemassa ei-negatiivinen f L 1, jonka Fourier n kertoimille on c k = c k > a k kaikille k N. Fourier n kertoimien jono voi siis vaimeta miten hitaasti vain Lisäksi kirjassa [9, Example 8.] osoitetaan, että on olemassa trigonometrisia sarjoja a k cos(k x) ja a k sin(k x) joista kosinisarja on L 1 -funktion Fourier n sarja, mutta sinisarja (samalle kerroinjonolle) ei. Kirjallisuutta [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, toinen laitos, viides painos, Addison Wesley, 1981. [] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner ja Brian S. Thomson: Real analysis, second edition, ClassicalRealAnalysis.com, 8. [3] Jean Dieudonné: Infinitesimal calculus, Hermann, Paris 1971. [4] Lauri Kahanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 4. [5] Yitzhak Katznelson: An introduction to harmonic analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., 1968. [6] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997. [7] Walter Rudin: Principles of mathematical analysis, toinen laitos, Tata McGraw-Hill, 1979. [8] Walter Rudin: Real and complex analysis, kolmas laitos, McGraw-Hill, 1976. [9] Karl Stromberg: An introduction to classical real analysis, Wadsworth International Mathematics Series, 1981. 8