Luento 16: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 1 / 48
Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 2 / 48
Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan Seuraavat lähinnä taustoittamaan luennon varsinaista asiaa Elastisuusteoriaa tutkitaan tarkemmin käsiteltäessä fluidien mekaniikkaa eli kontinuumimekaniikkaa Tärkeintä tässä vaiheessa ymmärtää käsitteet 3 / 48
Elastisuusteoria Ideaalinen jäykkä kappale on muotoaan muuttamaton Todellisuudessa kaikki kappaleet deformoituvat jonkin verran kun niihin kohdistetaan voimia Elastisuusominaisuuksia laskettaessa voimia kuvataan jännityksellä (stress) = Voima pinta-alayksikköä kohden Kappaleen deformoitumista kuvataan venymällä (strain) Kun jännitys on riittävän pieni, jännitys ja venymä riippuvat lineaarisesti toisistaan Hooken laki (ideaalinen jousi!) Verrannollisuuskerroin on kimmokerroin (elastic modulus) 4 / 48
Hooken laki Johtaa F = kx -lausekkeisiin Kokeellinen havainto joka pätee usean erityyppisen jännityksen yhteydessä Jännitys voidaan jakaa luonteensa puolesta normaali- leikkaus- ja kiertojännityksiin Toisaalta jännitys voidaan jakaa ulottuvuudensa perusteella aksiaaliseen, taso- tai tilavuusjännityksiin Riippuen tapauksesta jännitystä ja Hooken lain mukaista kimmokerrointa kutsutaan eri nimityksillä
Jännitys Jos kappaletta vedetään molemmista päistä samansuuruisella voimalla, kohdistuu sen poikkipinta-alaan aksiaalinen normaalijännitys = venytysjännitys (tensile stress) σ = F A Jännitys on skalaarisuure (yksikkö 1 Pa = 1 N m 2 ) 6 / 48
Hooken laki Kappaleen pituuden suhteellinen venymä ɛ = l l 0 l 0 = l l 0 Huomaa, että kappale venyy kaikkialta yhtä paljon Hooken laki saadaan muotoon Y = σ ɛ = σ = Y ɛ missä Y on kimmokerroin (Young s modulus) Kimmokertoimesta käytetään usein myös symbolia E Samat yhtälöt pätevät, jos jännitys puristusjännitystä (compressive stress) Jännityksen ja venymän etumerkit muuttuvat
Suppeumakerroin Kun kappaletta venytetään, niin sen pituus l kasvaa mutta samalla se kapenee sivusuunnassa (leveys w) Muutoksen verrannollisia toisiinsa: w w l = v l v ns. suppeumakerroin tai Poissonin luku (Poisson s ratio) 8 / 48
Paine Väliaineen kanssa kontaktissa olevan kappaleen jokaiseen pinta-alkioon da kohdistuu pintaa vastaan kohtisuora voima df = p da (Pascalin laki) Suuretta p kutsutaan paineeksi (pressure) p = df da Huomaa! Näissä kalvoissa paine merk. p ja liikemäärä merk. p! 9 / 48
Tilavuuskimmokerroin Hydrostaattinen paine Väliaineen paineen aiheuttama jännitys Paineen yksikkö sama kuin jännityksen Hydrostaattisessa paineessa kappaleen tilavuusvenymä ɛ V = V V 0 V 0 = V V 0 eli tilavuuden muutos (bulk strain) Kun Hooken laki on voimassa, pätee p = Bɛ V eli missä B > 0 on ns. tilavuuskimmokerroin (bulk modulus).
Puristuvuuskerroin Miinusmerkki yhtälössä osoittaa, että paineen kasvua vastaa tilavuuden pieneminen Oletetaan B vakioksi kun tarkastellaan pieniä paineen muutoksia Puristuvuuskerroin (compressibility) määritellään tilavuuskimmokertoimen käänteisluvuksi Muita merkintöjä k = K = κ k = 1 B = V /V 0 p = 1 V 0 V p 11 / 48
Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 12 / 48
Ääniaallot Tähän asti pitkittäisen aallot esitettiin hiukkasten siirtyminä Ääniaallot ilmassa (tai muussa väliaineessa) eteneviä pitkittäisiä aaltoja Ääniaaltoja kätevämpi esittää paineen vaihteluina Infraäänet Alle 20 Hz taajuudet Ultraäänet Yli 20 khz taajuudet Kuuloalue Ihmiskorvan aistima taajuusalue: 20-20 000 Hz Tarkastellaan sinimuotoista ääniaaltoa, joka etenee x-akselin suuntaan. Kuvataan hiukkasen y-suuntaista poikkeamaa aaltofunktiolla y(x, t) = A sin(ωt kx) 13 / 48
Pitkittäinen aalto kiinteässä aineessa Tarkastellaan pientä tangon osaa (pituus dx) Osan liikeyhtälö F(x + dx) F(x) = F dx x = y(x, t) ρa 2 t 2 Kiinteän aineen muodonmuutos l. deformaatio F = σa = YAɛ = YA l l 0 l 0 x = YA y x ) ( YA x = ρa 2 y t 2 = 2 y x = ρ 2 y Y = 2 Y t 2 v = ρ! Pitkittäinen aaltoliike poikkeama x-akselin suuntainen Intensiteetti I = 1 ρy ω 2 A 2 2
Pitkittäinen aalto väliaineessa Aallon nopeus riippuu väliaineesta ja sen ympäristöstä Johdetaan väliaineessa etenevän pitkittäisen aaltoliikkeen nopeus Tarkastellaan väliaineella täytettyä sylinteriä Toisessa päässä on liikkuva mäntä Väliaine on levossa (paine p) t = 0: mäntä lähtee liikkumaan nopeudella v y
Pitkittäinen aalto väliaineessa Häiriö etenee väliaineessa vakionopeudella v Mäntä etenee nopeudella v y Piste P kohdassa x = vt ajan hetkellä t: Vasemmalla puolella väliaine liikkuu nopeudella v y Oikealla puolella on levossa Liikkuvan väliaineen massa m = ρavt
Väliaineen liikemäärä Liikkuvaan väliaineosaan vaikuttaa voimat (p + p)a männän puolelta pa levossa olevan väliaineen puolelta Nettovoima pa aiheuttaa ajan hetkeen t mennessä impulssin Väliaineella ei alussa liikemäärää J y = pa t p y = p f p i = p f = mv y = ρavt v y 17 / 48
Paine-ero p Esitetään paine-ero p väliaineen ominaisuuksien avulla Tilavuuskimmokertoimen määritelmästä B = p = V /V 0 p = B V V 0 V 0 = B Av yt Avt = B v y v Impulssi on siis J y = B v y v At 18 / 48
Pitkittäisen aallon nopeus väliaineessa Koska J y = p y (p y liikemäärä!) niin J y = B v y v At = p y = ρavt v y = v 2 = B ρ = v = B ρ 19 / 48
Painefluktuaatiot Johdetaan funktio väliaineen paineen fluktuaatioille Merkitään painevaihtelua p(x, t):llä = paikallisen ja ulkoisen keskiarvopaineen erotus Väliainesylinterin lepopituus dx, poikkipinta-ala S Sylinterin tilavuus muuttuu paikallisesti aallon edetessä dv (x, t) = Sy 2 Sy 1 = S [ y(x + dx, t) y(x, t) ] y 1 ja y 2 sylinterin päiden siirtymät Tilavuuden suhteellinen muutos dv V S [y(x + dx, t) y(x, t)] y(x, t) = = Sdx x
Painefluktuaatiofunktio Tilavuuskimmokertoimen määritelmästä p(x, t) B = dv /V Ratkaistaan painefluktuaatiofunktio p(x, t) p(x, t) = B dv V = B y(x, t) x
Paineamplitudi Sijoitetaan sinimuotoinen aaltofunktio paineen lausekkeeseen y(x, t) p(x, t) = B = BkA cos(ωt kx) x Suurin paineen fluktuaatio paineamplitudi (pressure amplitude) p max = BkA 22 / 48
Ääniaallon intensiteetti Etenevän aallon intensiteetti = aallon kuljettaman energian aikakeskiarvo pinta-alaja aikayksikköä kohden W (x, t) P(x, t) I = = = St S F(x, t)vy (x, t) = p(x, t)v y (x, t) S Hiukkasten siirtymänopeus v y (x, t) = y(x,t) t, yhdistetään painefunktioon p(x, t) p(x, t)v y (x, t) = BkωA 2 cos 2 (ωt kx) = I = BkωA 2 cos 2 (ωt kx) = 1 2 BkωA2 koska cos 2 1 2
Intensiteetti ja paineamplitudi Käytetään yhtälöitä v = B/ρ ja ω = vk (ρ tiheys, v aallon nopeus, k aaltovektori) Paineamplitudin p max avulla I = 1 2 BkωA2 = 1 2 ω2 ρv 2 v A2 = 1 2 ρvω2 A 2 = 1 ρbω 2 A 2 2 I = 1 2 BkωA2 = p2 max 2 ρb 24 / 48
Desibeliasteikko Eri taajuisilla äänillä Sama paineamplitudi p max Eri siirtymäamplitudi A Ääniaaltoja kätevämpi kuvata painevaihteluina Äänen intensiteetti Kuvataan desibeliasteikolla β = (10 db) log I I 0 Suhteellinen asteikko, missä I 0 referenssi-intensiteetti I 0 = 10 12 W (= ihmisen kuulokynnys @ 1 khz) 25 / 48
Isotrooppinen äänilähde Pistemäinen, isotrooppinen lähde Emissio samanlainen joka suuntaan Äänen intensiteetti pienenee kääntäen etäisyyden neliöön verrannollisesti I 1/r 2 Lähteen emittoima teho P jakautuu r-säteiselle pallopinnalle I(r) = P 4πr 2 26 / 48
Esimerkki 1 Tehtävänanto Erään ääniaallon aiheuttamat painevaihtelut ilmassa ovat ±3.0 10 2 Pa. Mikä on kyseisen ääniaallon aiheuttama ilmamolekyylien maksimipoikkeama, jos äänen taajuus on 1 khz ja äänen nopeus 344 m s 1? Vastaus p max = BkA = A = pmax Bk. Ideaalikaasulle B ad = γp 0, ilmalle γ = 1.4 (γ lämpökapasiteettien suhde = liittyy kaasun termisiin ominaisuuksiin). Toisaalta k = 2π λ = 2πf v = A = vpmax 2πf γp 0 = 1.2 10 8 m. 27 / 48
Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 28 / 48
Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa 2 aaltoa Ei tarvitse seisovaa aaltoa Lasketaan summaamalla aaltojen amplitudien y(x, t) lausekkeet Esimerkiksi jos kaksi lähdettä lähettää samalla taajuudella ja samassa vaiheessa Interferenssi tarkastelupisteessä P Konstruktiivinen (vahvistava), kun aaltojen matkaero lähteistä P:hen 0, λ, 2λ,... Destruktiivinen (sammuttava), kun matkaero λ/2, 3λ/2, 5λ/2,... 29 / 48
Digress: Kahden aallon summa
Interferenssi tarkemmin = Kahden tai useamman aallon superpositio jossain tietyssä paikassa Aaltojen amplitudit summataan Ilmiöt erottuvat parhaiten yhdistämälla sinimuotoisia aaltoja A sin(ω 1 t k 1 r 1 + δ 1 ) + A sin(ω 2 t k 2 r 2 + δ 2 ) (sama amplitudi yksinkertaisuuden vuoksi) Tarkastellaan kahta lähdettä S 1 ja S 2 b c S 1 S 2 a
Interferenssi ja matkaero b c r 1 = 4λ r 2 = 2λ S 1 S 2 a Vahvistava interferenssi kun (ω 2 ω 1 )t (k 2 r 2 + k 1 r 1 ) + (δ 2 δ 1 ) = mπ, m = 0, ±1, ±2,... Sammuttava interferenssi kun (ω 2 ω 1 )t (k 2 r 2 + k 1 r 1 ) + (δ 2 δ 1 ) = ( m + 1 2) π
Interferenssiehdot Jos lähteet identtisiä: amplitudit samoja, aallonpituudet samoja λ = 2π/k, taajuudet ω samoja ja alkuvaiheet samoja δ (Alkuvaihe vakio = koherentti lähde näistä lisää kevään kurssilla) Interferenssiehdoiksi saadaan: r 2 r 1 = mλ r 2 r 1 = (2m + 1) λ 2 (Konstruktiivinen i.) (Destruktiivinen i.) Huomaa rajoitukset, jolla edellinen pätee! 33 / 48
Harjoitus Kaksi kaiutinta lähettää samanvaiheista sinimuotoista ääniaaltoa. Millä taajuuksilla pisteessä P syntyy konstruktiivinen ja destruktiivinen interferenssi? Äänen nopeus olkoon 350 m s 1.
Huojunta Tarkastellaan edelleen aaltojen interferenssiä Aaltojen amplitudit ovat samat Taajuudet hieman erilaiset x = 0 ja t = 0 aallot samassa vaiheessa = konstruktiivinen interferenssi Ajan kuluessa aaltojen välille syntyy vaihe-ero Lopulta vaihe-ero on π = destruktiivinen interferenssi Normaalin värähtelyn lisäksi syntyy toinen, matalammalla taajuudella tapahtuva amplitudin huojunta (beat) Huojuntaa voidaan käyttää vaikkapa soittimien tarkkaan viritykseen 35 / 48
Huojunnan matemaattista tarkastelua Lasketaan yhteen kaksi aaltofunktiota tietyssä pisteessä Aalloilla vaihe-ero δ = y 1 = sin(ω 1 t) ja y 2 = sin(ω 2 t + δ) Aaltofunktioiden summa y(t) = y a (t) + y b (t) = A [sin ω 1 t + sin(ω 2 t + δ)] Pienellä ähertämisellä [(ω1 y(t) = 2A sin( + ω 2 )t δ ] ) [(ω1 /2 cos( ω 2 )t δ ] ) /2 36 / 48
Huojunnan matemaattista tarkastelua [(ω1 Amplituditekijä 2A sin( + ω 2 )t δ ] ) /2 värähtelee pienellä taajuudella (f a f b )/2 Kosinitekijä värähtelee taajuudella (f a + f b )/2 Huojunnan aiheuttamien aaltojen taajuuden keskiarvo Korva reagoi intensiteettiin aaltomuodon neliöön, joten se kuulee huojuntaintensiteetin taajuudella f a + f b ja missä minimit ja maksimit toistuvat taajuudella f a f b Millaisena äänenä korva kuulee (ja aivot tulkitsevat) suuren ja pienen taajuuserotuksen? 37 / 48
Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 38 / 48
Dopplerilmiö Aaltoliikkeen lähde ja havaitsija liikkuvat toistensa suhteen Muutos havaitussa aaltoliikkeen aallonpituudessa ja taajuudessa Tilanne: äänilähde ja havaitsija suoraviivaisessa liikkeessä samalla akselilla Havaitsijan L nopeus v L (> 0 havaitsijasta lähteeseen päin) Lähteen S nopeus v S (> 0 havaitsijasta poispäin) L v L + S v S 39 / 48
Havaitsija liikkuu Vain havaitsija liikkuu Havaitsijan mielestä aalto lähestyy nopeudella v + v L Äänen taajuus Liiketilat f L = v + v L λ = v + v L f S v Lähdettä kohti liikkuva havaitsija v L > 0 = f L > f S Lähteestä poispäin liikkuva: v L < 0 = f L < f S L v L + S 40 / 48
Äänilähde liikkuu poispäin Äänilähde liikkuu poispäin havaitsijasta Lähde emittoi siirtymämaksimin (esim) kun t = 0 paikassa x = 0 Seuraava siirtymämaksimi emittoituu ajan hetkellä t = T = 1/f S, mutta kohdassa x = v S T Edellinen siirtymämaksimi on tällä välin edennyt matkan vt Lähteen takana äänen aallonpituus λ = vt + v S T = v + v S f S L + S v S 41 / 48
Molemmat liikkuvat Havaitsija liikkuu kohti lähdettä Tällöin havaitsijan kuulee taajuuden f L = v + v L λ = v + v L v + v S f S Pätee kaikkiin tapauksiin lähteen ja havaitsijan liikesuunnasta riippumatta Nopeuksien merkit pitää mennä oikein! L v L + S v S 42 / 48
Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan* Ääniaallot* Aaltojen interferenssi Doppler* Laskettuja esimerkkejä 43 / 48
Esimerkki 1 Kaiuttimen lähettämä ääniaalto, jonka taajuus on 200 Hz, heijastuu lähes täydellisesti seinästä luoden seisovan aallon. Missä pisteessä ei ääntä kuulla lainkaan? Ratkaisu Ihmiskorva aistii painevaihtelut, eli ääntä ei kuulla kun paineella solmukohta = siirtymän kupukohta. Seinässä on siirtymän solmukohta, joten kupukohdat ovat (2m 1)λ/4 päässä seinästä. Ensimmäinen kupukohta: λ = v f = 1.72 m = ei ääntä, kun d = λ 4 = 0.43 m 44 / 48
Esimerkki 2 Poliisiauton sireenin taajuus on 300 Hz ja äänen nopeus 340 m s 1. Mikä on tarkkailijan kuuleman äänen taajuus kun 1. Tarkkailija paikallaan ja poliisiauto liikkuu nopeudella 30 m s 1 poispäin tarkkailijasta? 2. Poliisiauto paikallaan ja tarkkailija liikkuu nopeudella 30 m s 1 poispäin poliisiautosta? 3. Tarkkailija liikkuu kohti poliisiautoa nopeudella 15 m s 1 ja samalla poliisiauto liikkuu nopeudella 45 m s 1 poispäin tarkkailijasta? 45 / 48
Ratkaisut 1. v L = 0 ja v S = 30 m s 1. 2. v L = 30 m s 1 ja v S = 0. 3. v L = 15 m s 1 ja v S = 45 m s 1. f L = v + v L f S = 340 300 Hz = 276 Hz v + v S 340 + 30 f L = v + v L 340 30 f S = 300 Hz = 274 Hz v + v S 340 f L = v + v L 340 + 15 f S = 300 Hz = 277 Hz v + v S 340 + 45 46 / 48
Esimerkki 3: tupla-doppler Poliisiauton sireenin taajuus on 300 Hz ja äänen nopeus 340 m s 1. Poliisiauto liikkuu nopeudella 30 m s 1 kohti talon seinää. Sireenin aiheuttamat ääniaallot heijastuvat talon seinästä takaisin. Mikä on poliisiauton ajajan kuulema heijastuneen äänen taajuus? 47 / 48
Ratkaisu Ensimmäinen Doppler-siirtymä: seinä kuuntelijana. Merkkisäännöt = v W = 0 ja v S = 30 m s 1 f W = v + v W f S = 340 300 Hz = 329 Hz v + v S 340 30 Toinen Doppler-siirtymä: poliisi kuuntelee Merkkisäännöt = v W = 0 ja v L = 30 m s 1 f W = v + v L 340 + 30 f W = 329 Hz = 358 Hz v + v W 340 48 / 48