VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona: M = F F = voima (N) ja = voiman vasi (m). Voiman vasi on voiman vaikutussuoan kohtisuoa etäisyys kietoakselista O. Momentin yksikkö on M = Nm. Tässä Nm ei ole joule J. Kietosuunnat voidaan valita seuaavasti: myötäpäivään ja vastapäivään +. Esimekkinä vaikkapa jakoavaimella vääntö. Kuva 1. - mp Jos voima F on vino eli se ei ole kohtisuoassa etäisyyttä vastaan, niin voiman momentti voidaan laskea kahdella tavalla: Tapa I: Piietään voiman F vaikutussuoa ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 2. O d voiman F vaikutussuoa
Voiman F momentti M = F. Esitetään momentti etäisyyden d avulla (ks. kuva 2). on voiman vaikutuspisteen ja kietoakselin O välinen etäisyys. Eo. kuviosta saadaan =, josta =. Siis Voiman F momentti on = = =. Siis momentti on M = F, kun = dsinϕ. Tapa II: Piietään voiman F vaikutussuoa ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. O d Voiman F momentti M = F. voiman F vaikutussuoa Osoitetaan, että tässäkin tapauksessa saadaan sama tulos voiman momentille kuin tapauksessa I: ==. Kuvasta 3 saadaan =, josta seuaa kohtisuoalle voimalle lauseke =. Näin voiman momentti on = = = = =. Näin ollen kummassakin tapauksessa voiman F momentti voidaan laskea (kuvien mekintöjen mukaan) seuaavasti: =, missä F = voima (N), = voiman vasi (m), d = kietoakselin O ja voiman alkupisteen välinen etäisyys.
Yleisesti: Momentti on vektoisuue, joka määitellään istitulona eli vektoitulona: = (MAOL s. 126 ( 118)). = (ks. MAOL s. 35 (41)). Momentin itseisavo on =. O kietoakseli Kuva 4. d A voiman F vaikutussuoa Vieeisen kuviossa (kuva 4) hiukkaseen A vaikuttaa voima F, joka saa aikaan hiukkasen A kietymisen kietoakselin O ympäi. Paikkavektoi d on hiukkasen A etäisyys kietoakselista. Kulma on paikkavektoin d ja voiman F vaikutussuoan välinen kulma ja on voiman F vasi eli voiman F vaikutussuoan kohtisuoa etäisyys kietoakselista O. Voiman F vääntövaikutusta kuvaava suue eli voiman F momentti pisteen O suhteen on ===. Tässä voiman F vasi =. Momenttivaen sijaan voidaan laskea myös voiman F kohtisuoana pojektio kietoakselia OA = vastaan, jolloin = ja M = (ks. kuva 3). Tästäkin seuaa sama tulos kuin edellä: M = = ==. Siis: ==
Esim. 1. Keinulauta. Matti ja Maija keinuvat lautakeinulla, joka on tuettu keskeltä. Keinulaudan pituus on 3,6 m. Matin massa on 50 kg ja Maijan 34 kg. Mihin kohtaan keinulautaa Matin on asetuttava, jos Maija asettuu keinulaudan päähän? Esim.1. Ratkaisu. - 1 x mp Koska Maija on kevyempi, niin hänen on oltava kauempana tasapainokohdasta (kietoakselista O), jotta keinuminen onnistuu. Maija on keinulaudan päässä. Olkoon Matin etäisyys tasapainokohdasta x tasapainokohdan O toisella puolella. Maijan massa m 1 = 34 kg ja paino F 1 = m 1 g. Maijan etäisyys tasapainokohdasta 1 = 3,6 m : 2 = 1,8 m. Matin massa m 2 = 50 kg ja paino F 2 = m 2 g. Matin etäisyys tasapainokohdasta on x. Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla: =0 = 0 = ( voima x vasi = voima x vasi ) = : = = =, =,,. 1,8 m 1,2 m = 0,6 m. V: Matin on asetuttava 1,2 m päähän tasapainokohdasta keinulaudan toiselle puolelle eli 0,6 metin päähän keinulaudan toisesta päästä.
Esim. 2. Lipputangon pystytys. Pettei pystyttää tasapaksua lipputankoa, jonka massa on 38 kg ja pituus 16 m. Lipputangon painopiste on lipputangon keskipisteessä. Piiä voimakuvio ja mekitse siihen myös voimien vaet. Kuinka suui voima tavitaan kuvan tilanteessa pitämään lipputankoa paikoillaan vetoköyden välityksellä? 35 o 25 o Esim. 2. Ratkaisu. lipputangon massa m = 38 kg ja pituus 16,0 m. Lipputankoon vaikuttavat voimat: - lipputangon paino(voima) = - henkilön lipputankoa vetävä voima =? 10 o 16 m 80 o 8,0 m 2 35 o 65 o 25 o A mp - 1
Määitetään voimien ja vaet. Kuviosta saadaan: =, 35 ja = 10 Painon vasi on =, ja voiman vasi on = Lipputanko on tasapainossa pyöimisen suhteen, joten momenttien summa akselin A suhteen on nolla eli =0 = 0 = : 2 = = sijoitetaan yhtälöön voimien vaet 1 ja 2 =, =,, V: 880 N.,. JÄYKÄN KAPPALEEN TASAPAINOEHDOT: 1) Tasapaino etenemisen suhteen (tanslaatioehto): = =0 =0 - kappale ei etene (voimaehto) 2) Tasapaino pyöimisen suhteen (otaatioehto): = - kappale ei pyöi (momenttiehto) ks. Tikapuutehtävä : http://www.kotiposti.net/ajnieminen/tp.pdf