JHS 5 ETRS89 järjestelmää liittyvät karttaprojektiot, tasokoordiaatistot ja karttalehtijako, Liite : Projektiokaavat Versio: 6.6.008 Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Trasverse Mercator projektiolle o esitetty lasketakaavoja esimerkiksi seuraavissa lähteissä: Hirvoe, R.A., Matemaattie Geodesia, Tekillise korkeakoulu ylioppilaskuta, Helsiki, 97 Hirvoe, R.A. The Use of Subrouties i Geodetic Computatios, Maamittaus, 970. Hooijberg, Marte: Practical Geodesy, Spriger Verlag Berli Heidelberg New York 997, pages 8 8 Krüger L: Koforme Abbildug des Erdellipsoids i der Ebee, B. G. Teuber Verlag Leipzig 9, pages Köig, R.; Weise, K. H.: Mathematische Grudlage der höhere Geodäsie ud Kartographie, Spriger Verlag Berli Göttige Heidelberg, 95 Meade, B. K., Program for Computig Uiversal Trasverse Mercator (UTM) Coordiates for Latitudes North or South ad Logitudes East or West, Surveyig ad Mappig, Vol. 7, No., pages 37 9. Poder, K.; Egsager, K.: Some Coformal Mappigs ad Trasformatios for Geodesy ad Topographic Cartography, Publicatios series, volume 6, Natioal Survey ad Cadastre Demark, 998 Seuraavaksi esitettävät kaavat ovat R.A. Hirvose kirjasta Matemaattie Geodesia ja Maamittaus lehde artikkelista. Suomessa käytettävie ellipsoidie parametreja Ellipsoidi Isoakseli Pikkuakseli Litistyssuhde f puolikas a (m) puolikas b (m) Kasaivälie 9 6378388.0 63569.968 /97.0 (Hayford 909) GRS80 637837.0 635675.30 /98.570 WGS8 637837.0 635675.35 /98.573563 Kaavoissa esiityvät symbolit ja iide määritelmät kaavoissa käytetää kulmayksikköä radiaaia. Symboli Määritelmä a = ellipsoidi isoakseli puolikas b = ellipsoidi pikkuakseli puolikas f = ellipsoidi litistyssuhde k 0 = mittakaavakerroi keskimeridiaailla λ 0 = projektio keskimeridiaai E 0 = Itäkoordiaati arvo keskimeridiaailla ϕ = geodeettie leveys λ = geodeettie pituus E = projektio itäkoordiaatti /7
Symboli Määritelmä N = projektio pohjoiskoordiaatti γ = meridiaaikovergessi k = mittakaavakerroi A = meridiaai pituise ympyrä säde e = esimmäise epäkeskisyyde eliö e' = toise epäkeskisyyde eliö = toie litistyssuhde t = suutakulma tasolla (suutakorjaukse kaavassa δ = T t) c = apakaarevuussäde M = meridiaaikaarevuussäde N = poikittaiskaarevuussäde (kaavassa ()) Hyperboliset ja kääteiset hyperboliset (area) fuktiot: (Vai hyperboliste fuktioide kaavoissa e = Neperi luku, muutoi e = esimmäie epäkeskisyys) sih(x) = x x e e cosh(x) = x x e + e tah(x) = x x sih( x) e e = x x cosh( x) e + e arsih(x) = l( x + x + ) artah(x) = + x l( ) x sech(x) = = x x cosh( x) e + e + x arsech(x) = l( ) x Apusuureet = f a b = f a + b A = a ( + + ) + 6 (0) e = f f (03) e' = e e (0) V = + e cos (ϕ) (05) (0) h = 3 + 37 96 3 360 (06) /7
h = h 3 = h = h = h = h 3 = h = Projektiokaavat 8 7 3 + 5 3 37 80 80 397 680 37 0 5 3 + + 3 6 80 3 3 3 557 + 8 5 0 6 3 03 0 0 956 680 (07) Geodeettisista koordiaateista (φ,λ) tasokoordiaateiksi (N, E) Syöte: pistee geodeettiset koordiaatit (φ,λ) pistee tasokoordiaatit (N, E) projektiotasolla, Q = arsih[ta(ϕ)] (08) Q = artah[e si(ϕ)] (09) Q = Q e Q (0) l = λ λ 0 () β = arcta[sih(q)] () η = artah[cos(β) si(l)] (3) ξ = si( β ) arcsi[ ] sech( η') () ξ = h si(ξ )cosh(η ) (5) ξ = h si(ξ )cosh(η ) ξ 3 = h 3 si(6ξ )cosh(6η ) ξ = h si(8ξ )cosh(8η ) η = h cos(ξ )sih(η ) (6) η = h cos(ξ )sih(η ) η 3 = h 3 cos(6ξ )sih(6η ) η = h cos(8ξ )sih(8η ) ξ = ξ + (ξ + ξ + ξ 3 + ξ ) (7) η = η + (η + η + η 3 + η ) (8) N = A ξ k 0 (9) E = A η k 0 + E 0 (0) 3/7
/7
Tasokoordiaateista (N, E) geodeettisii koordiaatteihi (φ,λ) Syöte: ξ = η = pistee tasokoordiaatit (N, E) projektiotasolla, pistee geodeettiset koordiaatit (φ,λ) N A k 0 E E A k 0 0 () () ξ = h si(ξ)cosh(η) (3) ξ = h si(ξ)cosh(η) ξ 3 = h 3 si(6ξ)cosh(6η) ξ = h si(8ξ)cosh(8η) η = h cos(ξ)sih(η) () η = h cos(ξ)sih(η) η 3 = h 3 cos(6ξ)sih(6η) η = h cos(8ξ)sih(8η) ξ = ξ (ξ + ξ + ξ 3 + ξ ) (5) η = η (η + η + η 3 + η ) (6) β = arcsi[sech(η ) si(ξ )] (7) l = tah( η') arcsi[ ] cos( β ) (8) Q = arsih[ta(β)] (9) Q = Q + e artah[e tah(q)] (30) Q = Q + e artah[e tah(q )] iteroiti, kues muutos =0 (3) ϕ = arcta[sih(q )] (3) λ = λ 0 + l (33) Käytäössä kaavassa (3) riittää kolme iteraatiokierrosta. Esi kaavalla (9) laskettu Q sijoitetaa kaavaa (30), jolla saadaa Q : esimmäie likiarvo. Q : likiarvo sijoitetaa kaavaa (3), jota iteroidaa. Meridiaaikovergessi Syöte: pistee geodeettiset koordiaatit (φ,λ), keskimeridiaai λ 0 meridiaaikovergessikulma (γ) γ = l si( ϕ) [ + V (V )cos ( ϕ) l ], missä l = λ λ0 3 (3) 5/7
Mittakaavakorjaus ja pituuskorjaus Syöte: pistee geodeettiset koordiaatit (φ,λ), keskimeridiaai λ 0 mittakaavakerroi (k) pisteessä (φ,λ) k = k0 [ + cos ( ϕ) l ], missä l = λ λ0 (35) Mittakaavakerroi muuttuu hitaasti ja sitä voidaa moissa tarkoituksissa pitää vakioa oi 0 km : suuruisella alueella. Pidemmillä etäisyyksillä mittakaavakerroi voidaa laskea kaavalla: k = /6(k + k m + k ) (36) missä k ja k ovat mittakaavakertoimet lija päissä ja k m o mittakaavakerroi lija puolessavälissä. Maastomittauksissa voidaa käyttää kaavalla (35) määritettyä mittakaavakertoime arvoa k, mikäli esimerkiksi takymetrissä tehdää muutki etäisyysmittaukse reduktiot mittaushetkellä. Muute ellipsoidi pialla tehty ja ellipsoidi kaareksi redukoitu etäisyyshavaito korjataa projektiotasolle kertomalla se k:lla, joka saadaa joko kaavalla (36) tai tasokoordiaateista laskie kaavalla: k = k 0[ + ( E + EE + E )] 6R (37) Suutakorjaus Ellipsoidi pialla havaittu suuta korjataa tasolle suutakorjauksella (Arc to chord Correctio δ = T t). Suutakorjaus δ lasketaa seuraavilla kaavoilla: Syöte: kahde pistee koordiaatit (N, E ) ja (N, E ) suutakorjaus δ ja δ δ = ( N N)(E + E) 6R (38) δ = ( N N)(E + E) 6R (39) Kaavoissa (37) (39) käytettävistä itäkoordiaateista E ja E o väheettävä 500 000 m (itäkoordiaati arvo keskimeridiaailla). R o keskikaarevuussäde, joka voidaa laskea kaavalla: R = M N M = c 3 V N = c V (0) () () c = a (3) b Suutakulma (t) projektiotasolla, atsimuutti (α), kovergessikulma (γ) ja suutakorjaus (δ) riippuvat toisistaa seuraava kaava mukaisesti: t = α γ δ () 6/7
Kuva. Karttapohjoie, apapohjoie, kovergessikulma ja suutakorjaus. Ku piste o keskimeridiaai itäpuolella, karttapohjoie o itää apapohjoisesta ja meridiaaikovergessi o positiivie. Pistee ollessa lätee keskimeridiaaista, karttapohjoie o lätee apapohjoisesta ja meridiaaikovergessi o egatiivie. Katso myös kuva 3. 7/7