Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................ 7 3. Avoimet joukot.......................................................... 10 4. Jatkuva kuvaus metrisessä avaruudessa.................................. 12 5. Jatkuva kuvaus normiavaruudessa....................................... 13 6. Suljetut joukot.......................................................... 14 8. Sisä- ulko ja reunapisteet................................................ 16 11. Jonot metrisissä avaruuksissa........................................... 17 12. Täydellisyys............................................................ 19 13. Kompaktius............................................................ 23 14. Yhtenäisyys............................................................ 25 15. Lineaarikuvaukset...................................................... 28 Sisältö i

Johdanto 1 Kurssilla yleistetään mm. seuraavat avaruuden R n ominaisuudet: Bolzanon lause: Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio, missä [a, b] on suljettu väli. Tällöin (1) Funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa välillä [a, b] (2) Jos f(t) 0 kaikilla t [a, b], niin funktio f on joko positiivinen tai negatiivinen välillä [a, b] Lause. Olkoon f : X Y kuvaus ja {B J } kokoelma Y :n osajoukkoja ts B j Y j J kaikilla j J. Tällöin f 1 [ B j ] = f 1 [B j ]. j J j J Todistus. x f 1 [ B j ] f(x) B j f(x) B j jollekin j j J j J x f 1 [B j ] jollekin j J x f 1 [B j ]. j J Yhtenäisyyskäsite käydään läpi kappaleessa 14 mikä on tärkeä käsite mm. kompleksianalyysissä. Seuraava tulos on tunnettu kompleksianalyysistä: Lause. Olkoon D C alue (= avoin yhtenäinen joukko). Olkoot f, g : D C analyyttisiä (= derivoituvia) funktioita. Jos on olemassa pallo B(a, r) siten, että f B(a,r) = g B(a,r), niin f(z) = g(z) kaikilla z C.

2 Joukko-opin merkintöjä N = {1, 2, 3...} Z = {0, ±1, ±2. ± 3...} Äärellinen joukko #{a 1,..., a n } = n {a} on yksiö {a, b} = {b, a} on kaksio/järjestämätön pari (a, b) on järjestetty pari on tyhjä joukko A B = {(a, b) : a A, b B} Jos toimitaan perusjoukossa X (esim. metrinen avaruus), joukon A X komplementti on A = X \ A De Morganin lait j J A j = j J A j ja j J A j = j J A j Olkoot X ja Y joukkoja. Kuvaus eli funktio f on sääntö, joka liittää jokaiseen x X täsmälleen yhden alkion f(x) Y. Merkitään f : X Y, x f(x) Jos f : X Y ja A X, niin funktion f rajoittuma joukkoon A on f A : A Y, a f(a). Joukon A X kuva kuvauksessa f : X Y on f(a) = f[a] = {f(a) Y : a A}. Joukon B Y alkukuva on Kuvaus f : X Y on f 1 (B) = f 1 [B] = {x X : f(x) B}. injektio, jos joukon X eri pisteillä on eri kuvat ts. f(a) = f(b) a = b surjektio, jos kaikille y Y löytyy x X jolle f(x) = y bijektio, jos se on sekä injektio, että surjektio. Jos f : X Y on bijektio, niin jokaisella y Y on täsmälleen yksi x X, jolle f(x) = Y. Tällöin voidaan määritellä käänteiskuvaus f 1 : Y X, y = f(x) x = f 1 (y). Jos f ei ole bijektio, käänteiskuvaus ei ole määritelty, mutta joukon alkukuva f 1 [B] on hyvin määritelty.

3 1. Sisätulo ja normiavaruus Motivaatio: n-uloitteisessa euklidisessa avaruudessa R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x j R} on määritelty kahden vektorin sisätulo (piste/skalaaritulo) ja vektorin normi (pituus) x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n x = x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n Tarkastellaan yleisiä avaruuksia, joissa on annettu jokin sisätulo/normi, jotka toteuttavat samoja ominaisuuksia kuin R n. Vektoriavaruus Vektoriavaruus on joukko E, jossa on määritelty (a) Summa: Jos x, y E, on määritelty x + y E (b) Skalaarilla kertominen: Jos a R ja x E, niin on määritelty ax E ja joille pätevät seuraavat ominaisuudet i) (x + y) + z = x + (y + z) ii) x + y = y + x iii) On olemassa 0 E : x + 0 = 0 = x iv) Kaikilla x E on olemassa x E : x + ( x) = 0 v) a(bx) = (ab)x vi) a(x + y) = ax + ay vii) (a + b)x = ax + bx Jos E on vektoriavaruus, niin F E on joukon E aliavaruus jos i) x, y F x + y F ii) x F, a R ax F iii) 0 F

4 Esimerkkejä vektoriavaruuksista 1) Avaruus R n on vektoriavaruus: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) ax = (ax 1,..., ax n ) 0 = (0, 0,..., 0) 2) Olkoon D epätyhjä joukko. Tällöin funktioavaruus on vektoriavaruus, koska F (D, R) = {f : f : D R on kuvaus} (f + g)(x) = f(x) + g(x) x D (af)(x) = af(x), x D 0 = nollafunktio 3) Rajoitettujen funktioiden avaruus raj(d, R) = {f F (D, R); on olemassa M 0, jolle f(x) M kaikilla x D} on avaruuden F (D, R) aliavaruus. Sisätuloavaruus Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus E E R, (x, y) x y, on sisätulo vektoriavaruudessa E, jos se toteuttaa seuraavat ominaisuudet kaikilla x, y E, a R (S1) x y = y x (S2) (ax) y = a(x y) (S3) (x + y) z = x z + y z (S4) x x 0 (S5) x x = 0 x = 0 2 Sisätuloavaruus on pari (E, ), missä E on vektoriavaruus ja on sisätulo vektoriavaruudessa E. Jos (E, ) on sisätuloavaruus, vektorin x on normi :n suhteen on x = x x 2 Täydellistä sisätuloavaruutta kutsutaan Hilbertin avaruudeksi

5 Esimerkkejä 1) Avaruuden R n tavallinen sisätulo x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n on sisätulo (HT) 2) Avaruuden R n ääretönuloitteinen vastine on jonoavaruus l 2 = {(x 1, x 2, x 3,...); x j R, i=1 x 2 j suppenee} Sisätuloavaruus sisätulolla x y = j=1 x jy j on hyvin määritelty Schwarzin epäyhtälön nojalla. 3) C[a, b] sisätulolla f g = b a f(x)g(x)dx Lause 1.1. Jos (E, ) on sisätuloavaruus, niin x y x y kaikilla x, y E. Todistus. Jos x, y E ja t R, niin (HT) 0 x + ty 2 = (x + ty) (x + ty) = x x + x (ty) + (ty) x + (ty) (ty) = x 2 + 2tx y + t 2 y 2. }{{} =f(t) Tässä f(t) on toisen asteen polynomi ja f(t) 0 kaikilla t R. Erityisesti f(t):llä ei voi olla kahta erillistä nollakohtaa (paitsi jos f(t) 0). Funktion f(t) diskriminantista saadaan (2x y) 2 4 x 2 y 2 0 x y x y. Lause 1.2. (Normin ominaisuuksia). Jos (E, ) on sisätuloavaruus, niin (1) x + y x + y (Kolmioepäyhtälö) (2) ax = a x kaikilla a R, x E (3) x = 0 x = 0

6 Määritelmä 1.6. Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus E R +, x x on normi E:ssä, jos kaikilla x, y E, a R (N1) x + y x + y (N2) ax = a x (N3) x = 0 x = 0 3 Normiavaruus on pari (E, ), missä E on vektoriavaruus ja on normi E:ssä. Normia merkitään myös x. Lauseesta 1.2 seuraa, että jokainen sisätuloavaruus on normiavaruus. R n :n tavallinen sisätulo määrää avaruuden R n tavallisen eli euklidisen normin x = x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n Normiavaruuden aliavaruus on normiavaruus. Esimerkkejä 1.7. 1) Olkoon D joukko. Tällöin raj(d, R) on normiavaruus sup-normilla f = sup f(x) x D (N1) f + g = sup f(x) + g(x) f + g x D (N2) Selvä. (N3) f = 0 sup f(x) = 0 f(x) = 0 x D f(x) = 0 x D x D f on nollafunktio 2) Joukon R n erilaisia normeja: x = x 2 1 +.. + x 2 n sisätulosta jos 1 p < niin p-normi x = sup x j = max x j edellisen nojalla 1 j n 1 j n ( n x p = j=1 x p j ) 1 p on normi 3 Täydellistä normiavaruutta kutsutaan Banachin avaruudeksi

7 2. Metrinen avaruus Määritelmä 2.1. Olkoon X joukko ja d : X X [0, [. Nyt d on metriikka, jos kaikilla x, y, z X pätee (M1) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, y) = 0 x = y Metrinen avaruus on pari (X, d). Lause 2.1. Jos (E, ) on normiavaruus, niin d(x, y) = x y on metriikka joukossa E. Todistus. Tarkistetaan metriikan ehdot: Selvästi d(x, y) 0 aina ja lisäksi i) d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(x, z) ii) d(x, y) = x y = ( 1)(y x) = y x = d(y, x) iii) d(x, y) = 0 x y = 0 x y = 0 x = y Esimerkkejä 2.3. 1) Normiavaruudet metriikalla d(x, y) = x y R n, d(x, y) = x y 2 = R n, C[a, b], C[a, b], 2 j=1 (x j y j ) 2 d(x, y) = x y p = ( n j=1 (x j y j ) p) 1 p d(f, g) = sup f(x) g(x) x [a,b] d(f, g) = ( b a f(x) g(x) p dx ) 1 p 2) Manhattan metriikka d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = y 1 x 1 + y 2 x 2 3) SNCF- Metriikka

8 1. 1. 0 1. 1. Yllä olevassa kuvassa sininen ympyrä kuvaa yksikköpalloa tavallisessa euklidisessa metriikassa. Punainen neliö puolestaan kuvaa yksikköpallon kuorta kun metriikkana on d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. Jos käytetään metriikkaa joka on saatu normista x eli siis jos d((x 1, x 2, ), (y 1, y 2 )) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }, niin yksikköpallon kuoreksi saadaan kuvan vihreä neliö. Määritelmä 2.2. (Osajoukon metriikka). Jos (X, d) on metrinen avaruus ja A X, niin joukko A metriikalla d A = d A A on metriikan d indusoima metriikka joukossa A. Huomautus 2.5. Sisätuloavaruus on aina normiavaruus Normiavaruus on aina metrinen avaruus Jokainen normiavaruuden osajoukko on metrinen avaruus Kuratowskin upotuslause: Jokainen metrinen avaruus on jonkin normiavaruuden osajoukko Määritelmä 2.3. (Pallot). Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja a X. Määritellään avoin pallo, suljettu pallo ja pallopinta seuraavasti

9 B(a, r) = {x X : d(x, a) < r} B(a, r) = {x X : d(x, a) r} S(a, r) = {x X : d(x, a) = r} (Avoin pallo) (Suljettu pallo) (Pallopinta) Esimerkkejä 2.7. 1) Jos X = R 2 ja d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2, niin tällöin origokeskinen r-säteinen pallopinta on S(0, r) = {x R 2 : x 1 + x 2 = r} 2) Jos joukko X on varustettu {0, 1}- metriikalla, niin a-keskinen avoin pallo joukossa X on B(a, r) = { {a}, jos r 1 X, jos r > 1 Määritelmä 2.9 (Joukkojen välinen etäisyys). Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A X, B X. Tällöin joukkojen A ja B välinen etäisyys on d(a, B) = inf{d(a, b) : a A, b B}. Esimerkiksi siis d([0, 1], [2, 3]) = 1. Jos A B, niin d(a, B) = 0. Lause 2.4. Olkoon (X, d) metrinen avaruus, A X. Jos x, y X, niin Erityisesti d(x, A) d(y, A) < d(x, y).. d(x, z) d(y, z) d(x, y) kaikilla y, z X Määritelmä 2.11. (Joukon läpimitta, halkaisija eng. diameter). Jos A X, niin joukon A läpimitta on Lause 2.12. Jos d on metriikka, niin d(a) = sup{d(x, y) : x A, y A}. d(b(a, r)) d( B(a, r)) 2r

10 jos lisäksi X on normiavaruus, niin d(b(a, r)) = d( B(a, r)) = 2r. Todistus. Jos x, y B(a, r) d(x, y) d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r. Jos X on normiavaruus ja v X, v 0 niin merkitään e = v ja asetetaan x = a + te, missä v a < t < r. Jos y = a te, niin x, y B(a, r) ja d(x, y) = x y = 2t e = 2t, joten Aiemmilla kursseilla: R:n avoin väli ]a, b[ sup{d(x, y) : x, y B(a, r)} = 2r. 3. Avoimet joukot Joukko A R n on avoin joukko jos ja vain jos se ei sisällä yhtään reunapistettään Määritelmä 3.1. Joukko U X on avoin avaruudessa (X, d) jos kaikilla x U on olemassa r > 0 siten, että B(x, r) U. Merkitään avointa osajoukkoa symbolilla (o=open). Tyhjä joukko on aina avoin joukko. Lause 3.2. Avoin pallo B(a, r) on aina avoin joukko. Todistus. Olkoon x B(a, r). Merkitään s = d(a, x) < r ja t = r s > 0. Nyt y B(x, t) d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < t + s = r joten B(x, t) B(a, r). Esimerkkejä 3.3. 1) Aina X ja X X 2) Avoimet pallot joukossa R n ja avoimet välit joukossa R 3) Suljetut välit [a, b] tai puoliavoimet välit [a, b[ eivät ole avoimia R:ssä Lause 3.4. Avoimien joukkojen mielivaltainen yhdiste on avoin. Todistus. Olkoon { j } j J perhe X:n avoimia joukkoja ja olkoon V = Nyt koska x V niin x U j jollekin j J. Siispä on olemassa B(x, r) siten, että B(X, d) U j jollekin j. Avoimien joukkojen mielivaltainen leikkaus ei ole välttämättä avoin: ] 1, [ 1 j j = {0}. j=1 j J U j.

Lause 3.5. Avoimien joukkojen äärellinen leikkaus on avoin. Todistus. Olkoon 1,..., k avoimia joukkoja X:ssä. Merkitään V = k U j. Nyt jos x V, niin x U j kaikilla j = 1,..., k. Merkitään r = min{r 1,..., r k }. Tällöin B(x, r) B(x, r j ) U j kaikilla j = 1,..., k eli B(x, r) V. Määritelmä 3.6. Metrisen avaruuden (X, d) avoimien joukkojen kokoelmaa merkitään T = {U X : U on avoin} T d on avaruuden (X, d) topologia. Se toteuttaa seuraavat ehdot: (T1) Sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet (T2) Sisältää jäsentensä äärelliset leikkaukset j=1 11 (T3) T d ja X T d Määritelmä 3.8. Pisteen a X ympäristö on mikä tahansa avoin joukko U X, joka sisältää pisteen a. Lause 3.11. Metrisen avaruuden erillisillä pisteillä on eri ympäristöt. Todistus. Olkoot a, b X a b. Merkitään r = d(a, b) > 0. Tällöin B( r, a) ja B( r, b) 3 3 ovat erilliset ympäristöt, sillä jos x B( r, a) B( r 2r, b) d(x, a)+d(x, b) <, mikä 3 3 3 on ristiriita. Määritelmä 3.3. Olkoon A X. Piste x A on joukon erakkopiste jos löytyy x- ympäristö V jolle V A = {x}. Joukko A on diskreetti, jos kaikki sen pisteet ovat erakkopisteitä.

12 4. Jatkuva kuvaus metrisessä avaruudessa Määritelmä 4.1. Kuvaus f : X Y on pisteessä a X, jos kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0, x X siten, että d(x, a) < δ d(f(x), f(a)) < ε. Huomautus 4.3. Jos A X ja f : A Y, niin funktion f jatkuvuus määritellään kuvauksen f : (A, d) (Y, d ) jatkuvuutena. Lause 4.4. Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on Lipschitz (M-Lipschitz) jatkuva, jos on olemassa M 0 siten, että kaikilla x, y X pätee d (f(x), f(y)) Md(x, y). Esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz, inkluusiokuvaus 1-Lipschitz jatkuva.

13 5. Jatkuva kuvaus normiavaruudessa Määritelmä 5.1. Olkoot f, g : X E kuvauksia. Määritellään summakuvaus ja tulokuvaus seuraavasti f + g : X E, (f + g)(x) = f(x) + g(x) αf : X E, (αf)(x) = α(x)f(x) Lause 5.2. Jos f ja g ovat jatkuvia funktioita niin summakuvaus f + g on jatkuva. Todistus. Helppo. Lause 5.3. Jos α ja f ovat jatkuvia funktioita niin tulokuvaus αf on jatkuva. Todistus. Helppo. Lause 5.4. Kuvaus f : X R n on jatkuva jos ja vain jos sen komponenttifunktiot f j ovat jatkuvia. Todistus. Olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa δ > 0 siten, että Toisaalta, koska x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε kaikilla x 0 X f j (x) f j (x 0 ) f(x) f(x 0 ) < ε kun valitaan sama δ > 0. Siispä jokainen komponenttifunktio f j (x) on jatkuva. = Jos jokainen komponenttifunktio jatkuva, jokaiselle f j (x) on olemassa δ j siten, että x x 0 < δ j f j (x) f j (x 0 ) < Valitaan δ =min{δ 1,..., δ k }. Tällöin jos x x 0 < δ, niin j=1 j=1 ε k ( k ) 1 ( f(x) f(x 0 ) = (f j (x) f j (x 0 )) 2 2 k ( ) 2 ) 1 ε 2 = ε. k Huomautus. f j = f e j, missä {e 1,.., e n } on avaruuden R n standardikanta. Vastaava jatkuvuustulos ei päde yleisessä sisätuloavaruudessa.

14 Suljettu väli [a, b] R 6. Suljetut joukot Joukko A R n on suljettu A A Määritelmä 6.1. Joukko F X on suljettu joukossa X jos joukko F = X \ F on avoin. Huomautus. Käsitteet avoin ja suljettu eivät ole toistensa vastakohtia. Esimerkiksi puoliavoin väli ja rationaalilukujen joukko R:ssä ovat esimerkkejä joukoista, jotka eivät ole suljettuja eikä avoimia. Esimerkkejä 6.2. 1) Jos X on varustettu {0, 1}- metriikalla, niin kaikki pisteet ovat avoimia joukkoja. jokainen A X on avoin jokainen A X on suljettu 2) Suljettu pallo on aina suljettu joukko B(a, r) = {x X : d(x, a) > r} = d { 1}[ ]r, [ ] 3) Erityisesti [a, b] on suljettu joukko, sekä ], a] ja [b, [ ovat suljettuja joukkoja. 4) Joukko { 1 n : n N} ei ole suljettu, mutta joukko { 1 n : n N} {0} on suljettu. Lause 6.9 (Sulkeuman perusominaisuuksia). Olkoot A, B X. Tällöin i) A Ā ii) Ā on aina suljettu joukko iii) A B X, B suljettu Ā B iv) Ā on pienin suljettu joukko, joka sisältää joukon A v) A B Ā B vi) A on suljettu Ā = A vii) Ā = Ā viii) A B = Ā B ix) A B Ā B Lause 6.1. Olkoon A R, A ylhäältä rajoitettu joukko. Tällöin sup A Ā. Jos A on suljettu, niin sup A A ts. sup A = max A. Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.2. Jos A X epätyhjä joukko, niin Ā = {x X : d(x, A) = 0}.

15 Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.3. Kuvaus f : X Y on jatkuva jos ja vain jos jokaisen suljetun joukon F Y alkukuva on suljettu. Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.4. Olkoot A, B X suljettuja erillisiä joukkoja. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus f : X [0, 1]. jolle f(x) = 1 kaikilla x A ja f(x) = 0 kaikilla x B. Todistus. Sivuutetaan. Lause 6.5. Joukko A on suljettu jos ja vain jos joukko A sisältää kaikki kasaantumispisteensä. Todistus. Sivuutetaan.

16 8. Sisä- ulko ja reunapisteet Määritelmä 8.1. Olkoon (M, d) metrinen avaruus ja A X. Jaetaan joukon X pisteet kolmeen erilliseen joukkoon: piste x X on joukon A (1) Sisäpiste, jos pisteellä x on ympäristö U A (2) Ulkopiste, jos pisteellä x on ympäristö U A (3) Reunapiste, jos piste x ei ole sisäpiste eikä ulkopiste Huomautus. Piste x on joukon A reunapiste jos ja vain jos jokainen pisteen x ympäristö leikkaa joukkoa A sekä joukkoa A. Merkitään (1) inta = {x X : x on joukon A sisäpiste} (interior point) (2) exta = {x X : x on joukon A ulkopiste} (exterior point) (3) A = {x X : x on joukon A reunapiste} (boundary point) Lause 8.3. i) Aina inta A ja exta A ii) A on avoin A = inta, ext A = A ja inta = exta \ A iii) exta = Ā ja Ā = A A iv) Ā Ā = Ā \ inta, ja A on suljettu joukko v) A = A vi) A on avoin A = Ā \ A vii) inta on joukon X suurin avoin osajoukko, joka sisältyy joukkoon A Esimerkki 8.4 (Tulossa..)

17 11. Jonot metrisissä avaruuksissa Määritelmä 11.1 Olkoon D joukko. Jono on kuvaus x : N D, merkitään x(n) = x n. Jonoa x merkitään (x n ) n=1, (x n ), tai (x 1, x 2, x 3...). Huomautus. Jono x n on eri asia kuin joukon D osajoukko. Määritelmä 11.2. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja x n jono joukossa X. Jono (x n ) suppenee kohti pistettä a X, jos jokaiselle pisteen a ympäristölle U on olemassa n 0 N jolle x n U kun n n 0. Merkitään x n a (kun n ) tai lim n x n = a, missä a on jonon (x n ) raja-arvo. Lause 11.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja (x n ) joukon X jono. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) x n a (2) Jos U on pisteen a ympäristö niin x n U vain äärellisen monella n N (3) Kaikilla ε > 0 on olemassa n 0 N siten, että d(x n, a) < ε kun n n 0 (4) d(x n, a) a Todistus. Sivuutetaan. Lause 11.2. Metrisen avaruuden jonolla on korkeintaan yksi raja-arvo. Todistus. Olkoon (x n ) jono, x n a, x n b. Jos a b, niin Lauseen 3.11. nojalla pisteillä a ja b on olemassa erilliset ympäristöt U ja V. Koska x n a ja x n b, on olemassa n 1, n 2 N joille x n U kun n n 1 ja x n V kun n n 2. Jos k = max{n 1, n 2 }, niin x k U V =. Tämä on ristiriita, joten a = b. Lause 11.3. Olkoon A X, a X. Tällöin a Ā jos ja vain jos on olemassa joukon A jono (x n ), jolle x n a. Seuraus 11.7. Joukko A X on suljettu jos ja vain jos A sisältää kaikkien suppenevien jonojensa raja-arvot. Todistus Olkoon a Ā. Tällöin kaikilla n N on olemassa x n A B(a, 1 n ). Nyt d(x m, a) < 1 n joten d(x n, a) 0. Siis (x n ) on joukon A jono ja x n a. = Olkoon (x n ) joukon A jono, x n a. Jos U on pisteen a ympäristö, on olemassa n 0 N siten, että x n U kun n n 0. Jokainen pisteen a ympäristö leikkaa siis joukkoa A joten a Ā. Lause 11.4. Olkoon f : X Y kuvaus, a X. Tällöin funktio f on jatkuva pisteessä a jos ja vain jos f(x n ) f(a) kaikille joukon X jonoille, joille x n 0. Todistus. Sivuutetaan.

18 Määritelmä 11.14. Piste a X on jonon (x n ) kasautumisarvo (accumulation point); jos kaikille pisteen a ympäristöille U, x n U äärettömän monella indeksillä n N. Huomautus 11.15. Jonolla x n = (2, 3, 4, 5... ) ei ole yhtään kasautumisarvoa. Jos x n a, niin a on ainoa kasautumisarvo. Jos x n = (2, 1/2, 3, 1/3... ) niin kasautumisarvo on 0. Jos (x n ) on joukon X jono ja A = {x n : n N}, joukon A kasautumispisteet ovat jonon (x n ) kasautumisarvoja mutta kasautumisarvot eivät välttämättä ole kasautumispisteitä. Lause 11.18. Piste a on jonon (x n ) kasautumisarvo jos ja vain jos jonolla (x n ) on osajono (y k ), jolle y k a. Todistus. Jos a on kasautumisarvo, valitaan x n1, x n2.. siten, että x n1 B(a, 1) x n2 B(a, 1 2 ),..., x n k B(a, 1 k ). Nyt osajono (x nk ) suppenee pisteeseen a = Jos (y k ) on osajono jolle y k a. Nyt y k = x nk, n 1 < n 2 < n 3 <.. joten y k = x nk U äärettömän monella k N kaikille pisteen a ympäristöille U. Siispä a on kasautumisarvo. Määritelmä 11.20. Olkoon D joukko, f j : D X kuvauksia j N, ja (X, d) metrinen avaruus. Jono (f j ) suppenee kohti funktiota f pisteittäin, jos kaikilla x D lim f j(x) = f(x). j Jono (f j ) suppenee kohti funktiota f tasaisesti, jos lim sup d(f j (x), f(x)) = 0. j x D Lause 11.24. Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia ja f n : X Y jatkuvia funktioita. Tällöin jos f n f tasaisesti niin f on jatkuva. Todistus. Osoitetaan, että f on jatkuva. Valitaan a X ja ε > 0. Halutaan pisteen a ympäristö U jolle d (f(x), f(a)) < ε aina kun x U. Koska f n f tasaisesti niin on olemassa n 0 N siten, että kun n n 0. Koska f n0 U jolle kun x U. Nyt jos x U, niin sup d (f n (x), f(x)) < ε x X 3 on jatkuva pisteessä a, niin on olemassa pisteen a ympäristö d (f n0 (x), f n0 (a)) < ε 3

19 d (f(x), f(a)) d (f(x), f n0 (x)) + d (f n0 (x), f(a)) d (f(x), f n0 (x)) + d (f n0 (x), f n0 (a)) + d (f n0 (a), f(a)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Määritelmä 11.26. Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia, A X, f : A Y kuvaus. Jos a Ā, niin kuvauksella f on pisteessä a raja-arvo, merkitään b = lim f(x) = lim f(x) x a,x A x a jos kaikille pisteen b ympäristöille V on olemassa pisteen a ympäristö U, jolle f[u A] V. Huomautus 11.27. lim f(x) = b x a ε > 0 δ > 0 : f(x) b < ε, kun 0 < x a < δ. Lause 11.5. Olkoon f : X Y kuvaus, a X. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä (1) Funktio f on jatkuva pisteessä a (2) lim f(x) = f(a) x a,x X (3) lim f(x) on olemassa x a,x X Todistus. Todistetaan, että (3) (2). Olkoon B = lim x a,x X f(x). Nyt kaikille pisteen b ympäristöille V on olemassa ympäristö U jolle f[u] V. Siis f(a) V kaikille pisteen b ympäristöille V. Nyt f(a) = b, sillä jos olisi f(a) b, niin pisteellä f(a) ja b olisi erilliset ympäristöt. 12. Täydellisyys Täydellisyysaksiooma Jos A R on ylhäältä rajoitettu joukko niin on olemassa sup A R Määritelmä 12.1. Metrisen avaruuden (X, d) jono (x n ) on Cauchy-jono, jos kaikilla ε > 0 on olemassa n 0 N, siten, että d(x n, x k ) < ε aina kun n, k 0. Lause 12.2. Olkoon (x n ) jono joukossa X ja A n = {x j : j n} jonon häntää vastaava joukko. Tällöin jono (x n ) on Cauchy-jono jos ja vain jos d(a n ) 0, kun n. Todistus. HT Lause 12.3. Suppeneva jono on Cauchy-jono. Todistus. Olkoon (x n ) jono jonka raja-arvo on a. Jos ε > 0, on olemassa n 0 jolle d(x n, a) < ε 2 kun n n 0. Nyt jos n, k n 0, niin d(x n, x k ) d(x n, a) + d(a, x k ) < ε 2 + ε 2 = ε.

20 Cauchy-jono ei välttämättä suppene: Jos X = R\{0} ja x n = (1/n), niin x n 0 joukossa R, joten jono (x n ) on Cauchy-jono joukossa R ja myös joukossa X. Kuitenkaan (x n ) ei suppene joukossa X. Määritelmä 12.4. Metrinen avaruus (X, d) on täydellinen, jos kaikki sen Cauchyjonot suppenevat. Lause 12.4. Joukko R n on täydellinen. Todistus. Olkoon (x (k) ) k=1 joukon Rn Cauchy-jono. Kirjoitetaan x (k) = (x (k) 1,..., x n (k) ), missä (x (k) j ovat jonoja joukossa R ja 1 j n. Kiinnitetään j {1,..., n}. Nyt ) k=1 x (k) j x (l) j x (k) x (l). Nyt kaikille ε > 0 on olemassa n 0 N jolle x (k) x (l) < ε, kun l, k n 0. Siispä (x (k) j ) k=1 on Cauchy-jono joukossa R eli x(k) j a j kun k. Siispä x (k) (a 1,..., a n ). Lause 12.5. Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Tällöin A X on täydellinen jos ja vain jos A on suljettu joukossa X. Todistus. = HT = Jos A on suljettu joukko ja olkoon (x n ) Cauchy-jono joukossa A. Koska X on täydellinen niin on olemassa x X jolle x n x. Tällöin Lauseen 11.5. nojalla x Ā eli erityisesti x A. Siispä joukon A Cauchy-jonot suppenevat joukossa A. Määritelmä 12.6. Olkoot (X, d) ja (Y, d ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus f : X Y on kontraktio (kutistus), jos on olemassa q [0, 1[ siten, että d (f(x), f(y)) qd(x, y), kaikilla x, y X. Esimerkki. Funktio f : R R, f(x) = x 2 on kontraktio. Lause 12.7. (Banachin kiintopistelause). Jos (X, d) on täydellinen metrinen avaruus ja f : X X on kontraktio, niin tällöin funktiolla f on yksikäsitteinen kiintopiste. Todistus. Olkoon x 0 X ja x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ) = f(f(x 0 )),..., x n+1 = f(x n ). Osoitetaan, että (x n ) on Cauchy-jono. Nyt d(x n, x n+1 ) = d(f(x n 1, f(x n )) qd(x n 1, x n ) q 2 d(x n 2, x n 1 ) q n d(x 0, x 1 ) Jos k > n 1, niin d(x n, x k ) d(x n, x n+1 )+d(x n+1, x k )... d(x n, x n+1 )+d(x n+1, x n+2 )+...+d(x k 1, x k )

( k ) ( k n ) q n q j d(x 0, x 1 ) q n q j d(x 0, x 1 ) q n 1 1 q d(x 0, x 1 ). j=n j=1 Koska q < 1, niin kaikilla ε > 0 on olemassa n 0 N siten, että d(x n, x k ) < ε kun n, k n 0. Koska jono (x n ) on Cauchy-jono, niin täydellisyydestä seuraa, että x n a jollekin a X. Toisaalta koska f on jatkuva kuvaus niin f(x n ) f(a). Koska f(x n ) = x n+1 a niin raja-arvon yksikäsitteisyydestä seuraa, että f(a) = a. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö cos x = x, x [0, 1]. Väliarvolauseen nojalla 21 f(x) f(y) = f (c)(x y) sin c x y q x y, kaikilla x, y [0, 1] missä q = sin c < 1. Nyt X = [0, 1] on täydellinen, joten f : X X, f(x) = cos x on kontraktio. Tällöin Banachin kiintopistelauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen kiintopiste x [0, 1], jolle cos x = x. 2. y = x 4. 2. 0 2. 4. 2. y = cos x Huomautus. Banachin kiintopistelausetta käytetään mm. implisiittifunktiolauseessa, käänteiskuvaus- lauseessa ja differentiaaliyhtälöiden OY-lauseessa. Lause 12.8. Jokaisella reaalilukujonolla on monotoninen (nouseva/laskeva) osajono. Todistus. Olkoon (x n ) jono joukossa R. Olkoon A = {n N : x j x n kaikilla j n + 1} Jos A sisältää äärettömän monta pistettä, niin kirjoitetaan A = {n 1, n 2, n 3,..} missä n 1 < n 2 <... Nyt x n1, x n2 x n3... ja (x nk ) on nouseva osajono. Jos joukko A on äärellinen, valitaan m N, jolle A [1, m], Nyt kaikilla n > m on olemassa n > n jolle x n < x n. Valitaan n 1 = m + 1, n 2 = n 1, n 3 = n 2,..., n k+1 = n k. Nyt (x n k ) on laskeva osajono.

22 Lause 12.9. (Bolzano-Weierstrass). Rajoitetulla joukon R jonolla on olemassa suppeneva osajono. Todistus. Olkoon (x n ) rajoitettu jono joukossa R. Tällöin Lauseen 12.9. nojalla on olemassa monotoninen osajono (x nk ). Jos (x nk ) on nouseva, niin x n1 x n2 x n3... x nk M kaikilla k N. Jos A = {x n1, x n2,...}, niin A on ylhäältä rajoitettu, joten täydellisyysaksiooman nojalla on olemassa x = sup A. Siispä kaikilla ε > 0 on olemassa x nk A, jolle x ε < x nk x Nyt x nk x, kun k. Jos (x nk ) on laskeva, niin tehdään sama tarkastelu jonolle ( x nk ) Lause 12.10. Jokainen Cauchy-jono joukossa R suppenee. Todistus. Olkoon (x n ) Cauchy-jono. Tällöin se on rajoitettu jono joten Lauseen 12.10. nojalla sillä on olemassa suppeneva osajono (x nk ), jolle x nk x. Olkoon ε > 0. Nyt on olemassa N 1 N siten, että Toisaalta on olemassa N 2 N siten että x nk x < ε 2 kun n k N 1 x n x m < ε 2 kun n, m N 2 Olkoon N = max {N 1, N 2 } ja k 0 siten, että n k0 N. Nyt jos n N, niin x n x x n x nk0 + x nk0 x < ε 2 + ε 2 = ε. Siis x n x.

23 Aiemmilla kursseilla 13. Kompaktius Joukko A R n on kompakti, jos se on suljettu ja rajoitettu Jos K R n on kompakti ja f : K R jatkuva, niin f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa K ja f on tasaisesti jatkuva Metrisen avaruuden (X, d) osajoukko A on kompakti, jos se on täydellinen ja täysin rajoitettu. Yhtäpitävästi joukko A on kompakti jos ja vain jos jokaisella joukon A jonolla on suppeneva osajono. Edelleen yhtäpitävästi A on kompakti jos ja vain jos jokaisella joukon A avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Määritelmä 13.1. Metrinen avaruus (X, d) on kompakti jos jokaisella joukon X jonolla on jokin suppeneva osajono. Joukko A X on kompakti jos (A, d A ) on kompakti ts. jokaisella joukon A jonolla on suppeneva osajono joukossa A. Esimerkki 13.2. 1) Äärellinen joukko {a 1,..., a n } on aina kompakti, sillä jokaisella jonolla on osajono muotoa (a j, a j, a j,...) joka suppenee. Joukko R ei ole kompakti, sillä jonolla (1, 2, 3, 4...) ei ole kasautumisarvoa eikä siis suppenevaa osajonoa. 3) Avoin väli ]0, 1[ ei ole kompakti, sillä jonolla ( 1, 1, 1...) ei ole kasautumisarvoa 2 3 4 joukossa ]0, 1[. 4) Suljettu väli [a, b] on kompakti Lauseen 12.10. nojalla Lause 13.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A X kompakti. Tällöin A on suljettu. Todistus. Olkoon A X kompakti ja b Ā. Lauseesta 11.6. seuraa, että on olemassa joukon A jono (x n ), jolle x n b joukossa X. Koska A on kompakti niin on olemassa osajono (x nk ) jolle x nk a, joukossa A. Toisaalta x nk b, joten b = a A Lause 13.2. Olkoon X kompakti joukko ja A X suljettu joukko. Tällöin A on kompakti. Todistus. Olkoon (x n ) mielivaltainen jono joukossa A. Koska X on kompakti niin on olemassa osajono (x nk ) jolle x nk x. Nyt (x nk ) on joukon A jono. Nyt Lauseen 11.6. nojalla x A = Ā. Siis jono (x n k ) suppenee joukossa A. Lause 13.3. Olkoon X kompakti joukko. Tällöin A X on kompakti jos ja vain jos A on suljettu. Todistus. Sivuutetaan. Huomautus 13.9. Suljettuus on relatiivinen käsite (A on suljettu joukossa X), kompaktius on absoluuttinen käsite (ei riipu ulkoavaruudesta).

24 Lause 13.4. Joukko A R n on kompakti jos ja vain jos A on suljettu ja rajoitettu. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 13.15. Suljettu pallo ja pallopinta ovat kompakteja joukkoja joukossa R n. Lause 13.5. Jos X on kompakti joukko ja A X on ääretön niin tällöin joukolla A on kasautumispiste. Todistus. Sivuutetaan. Lause 13.6. Olkoon f : X Y jatkuva ja A X kompakti. Tällöin f[a] on kompakti. Todistus. Olkoon (y n ) jono joukossa f[a]. Nyt y n = f(x n ) jollekin x n A. Koska joukko A on kompakti, niin on olemassa suppeneva osajono x nk x A. Nyt funktion f jatkuvuuden nojalla f(x nk ) f(x). Siis (y nk ) = (f(x nk )) on jonon (y n ) suppeneva osajono. Lause 13.7. Olkoon f : X R jatkuva, A X kompakti ja epätyhjä. Tällöin f A saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa A. Todistus. Sivuutetaan. Lause 13.8. Olkoot A, B X erillisiä joukkoja, A kompakti, B suljettu. Tällöin jollakin a A pätee d(a, B) = d(a, B). Lisäksi d(a, B) > 0. Todistus. Sivuutetaan. Lause 13.9. Olkoon f : X Y jatkuva bijektio ja X kompakti joukko. Tällöin f 1 on jatkuva. Todistus. Sivuutetaan. Huomautus. Oletus joukon X kompaktisuudesta Lauseessa 13.25. on oleellinen: Olkoon f : R R, f(x) = x ja avaruus X = R varustettuna {0, 1}-metriikalla. Tällöin f on selvästi jatkuva ja jokainen sen alkukuva on avoin. Toisaalta käänteisfunktion yksiöiden alkukuvat ovat yksiöitä, jotka ovat avoimia {0, 1}-metriikan suhteen, joten käänteisfunktio f 1 ei ole jatkuva. Lause 13.10. Kompakti metrinen avaruus on täydellinen. Todistus. Sama kuin joukossa R.

25 14. Yhtenäisyys Määritelmä 14.1. Metrinen avaruus (X, d) on epäyhtenäinen, jos on olemassa joukot A, B X joille (1) A, B (2) Joukot A ja B ovat avoimia joukossa X (3) A B = (4) A B = X Muuten (X, d) on yhtenäinen. Metrinen avaruus (X, d) on siis yhtenäinen, jos sitä ei voida esittää kahden erillisen epätyhjän avoimen joukon yhdisteenä. Jos A X, niin A on yhtenäinen jos (X, d) on yhtenäinen. Esimerkki 14.3. 1. Yhden alkion joukot ovat yhtenäisiä. 2. Joukon R 2 osajoukko X = B(a, 1) B(b, 1) on epäyhtenäinen, kun a b > 2. 3. Joukko X = R\{0} on epäyhtenäinen, sillä A =], 0[, B =]0, [ ja X = A B. 4. Reaaliakselin välit ovat yhtenäisiä Lauseen 14.15 nojalla. 5. Diskreetti avaruus (X, d {0,1} ) on epäyhtenäinen kun #X 2. Lause 14.2. Olkoon X joukko. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä 1. X on epäyhtenäinen 2. X = A B, A, B X erillisiä epätyhjiä suljettuja joukkoja joukossa X. 3. On olemassa A X, A X, siten että A on sekä avoin, että suljettu joukossa X. 4. On olemassa jatkuva surjektio f : X {0, 1}. Todistus. Ekvivalenssi kohtien 1 ja 2 välillä saadaan ottamalla komplementit. Kohtien 1 ja 3 yhtäpitävyys on selvä. Todistetaan (1) (4): Jos X = A B kuten määritelmässä. Määritellään f : X {0, 1} f(x) = { 0, jos x A 1, jos x B Nyt koska A B f on surjektio. Lisäksi f 1 [{0}] = A ja f 1 [{1}] = B ovat avoimia, joten f on jatkuva. (4) (1): Olkoon f : X {0, 1} jatkuva surjektio. Määritellään A = f 1 [{0}] ja B = f 1 [{1}]. Nyt joukot A ja B ovat epätyhjiä, koska f on surjektio, avoimia koska f on jatkuva ja lisäksi myös erillisiä, joten X = A B. Lause 14.3. Epätyhjä joukko E R on yhtenäinen jos ja vain jos #E = 1 tai E on väli.

26 Todistus. Olkoon E R yhtenäinen, #E 2. Merkitään a = inf E ja b = sup E (mahdollisesti ± ). Nyt #E 2m joten b. Osoitetaan, että ]a, b[ E, jolloin E on väli. Tehdään antiteesi: On olemassa x ]a, b[ siten, että x E. Merkitään A =], x[ E ja B =]x, [ E. Nyt A ja B ovat erillisiä ja epätyhjiä sekä avoimia joukossa E. Siispä kaikilla x 0 on olemassa ε > 0 jolle ]x 0 ε, x 0 + ε[ E A. ja E = A B. Nyt E on epäyhtenäinen mikä on ristiriita. Kääntäen, jos #E = 1 niin E on yhtenäinen. Olkoon esimerkiksi E = ]0, 1[ väli. (Sama idea voidaan yleistää). Antiteesi: E ei ole yhtenäinen. Nyt on olemassa erilliset epätyhjät joukot A ja B joukossa E siten, että A, B E ja E = A B. Valitaan a A, b B joille a < b. Merkitään S = {x A : x < b} Olkoon c = sup S [a, b] ]0, 1[. Nyt c A tai c B. Jos c A, niin c < b. (Jos c = b, niin c A B = ). Lisäksi A on avoin, joten on on olemassa ε > 0 jolle B(c, ε) A. Siis on olemassa joukon A piste d, jolle c < d < b mikä on ristiriita, sillä c = sup S. Jos taas c B, mutta koska B on avoin niin c = sup S ei voi olla joukon B sisäpiste. Lause 14.4. Yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen. Todistus. Olkoon X on yhtenäinen joukko ja f : X Y. Tehdään antiteesi eli että f[x] on epäyhtenäinen, jolloin on olemassa jatkuva surjektio g : f[x] {0, 1}. Tällöin g f 1 : X {0, 1} on jatkuva surjektio, missä f 1 : X f[x], missä f 1 (x) = f(x) on jatkuva (HT). Siis joukko X on epäyhtenäinen mikä on ristiriita. Lause 14.5. Olkoon X yhtenäinen joukko ja f : X R jatkuva. Jos f saa arvot s ja t joille s < t, niin f saa kaikki arvot väliltä [s, t]. Erityisesti jos f(a) 0 ja f(b) 0, joillekin a, b X, niin f(c) = 0 jollekin c X. Todistus. Lauseesta XXX seuraa, että f[x] R on yhtenäinen. Lisäksi Lauseesta 14.15. seuraa, että f[x] on väli kaikilla s, t f[x] joten [s, t] f[x]. Määritelmä 14.6. Metrinen avaruus (X, d) on polkuyhtenäinen, jos jokainen a, b X voidaan yhdistää polulla ts. on olemassa jatkuva kuvaus γ : [0, 1] X jolle γ(0) = a ja γ(1) = b. Esimerkki 14.22. Jokainen väli [a, b] R on polkuyhtenäinen, sillä poluksi voidaan valita α(t) = a + t(b a). Sen sijaan esimerkiksi joukko [0, 1] [2, 3] ei ole polkuyhtenäinen. Lause 14.7. Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. Todistus. Antiteesi: Avaruus on epäyhtenäinen. Tällöin on olemassa jatkuva surjektio f : X {0, 1}. Olkoot a, b X siten, että f(a) = 0 ja f(b) = 1. Koska joukko X on polkuyhtenäinen, niin on olemassa polku α : [0, 1] X, jolle α(0) = a ja α(1) = b. Nyt β = f α : [0, 1] {0, 1}

27 on jatkuva, joten kuvajoukko β[[0, 1]] = {0, 1} on yhtenäinen mikä on ristiriita. Esimerkki 14.24. Yhtenäinen joukko ei välttämättä ole polkuyhtenäinen. Olkoon A = {(x, sin 1 ) : x ]0, 1]} x Tällöin X = A {(0, t) R 2 : 1 t 1} (topologin sinikäyrä) on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen. y = sin 1 x 1. 1.. 0 1. Todistus. Todistetaan, että joukko X ei ole polkuyhtenäinen. Antiteesi: Joukko X on polkuyhtenäinen. On siis olemassa jatkuva polku f(t) = (α(t), β(t)), jolle f(0) = (0, 0) ja f(1) = ( 1, 0). Väliarvolauseen nojalla on olemassa t π 1 ]0, 1[ siten, että α(t 1 ) = (2/3π). Edelleen on olemassa t 2 ]0, t 1 [ siten, että α(t 2 ) = (2/5π). Näin jatkamalla saadaan laskeva jono, jolle α(t n ) = (2/(2n + 1)π). Tästä seuraa, että β(t n ) = ( 1) n. Jono (t n ) on alhaalta rajoitettu ja laskeva, joten sillä on olemassa raja-arvo lim n (t n ). Toisaalta funktio f on jatkuva, joten raja-arvo lim n (t n ) on olemassa. Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä raja-arvoa ei ole olemassa (koska rajaarvoa lim n ( 1) n ei ole olemassa). Siispä joukko X ei ole polkuyhtenäinen.

28 15. Lineaarikuvaukset Lause 15.1. Joukon R n kaikki normit ovat ekvivalentteja. Jos (1) ja (2) ovat normeja joukossa R n, niin on olemassa c 1, c 2 > 0 siten, että c 1 x (1) x (2) c 2 x (1) kaikilla x R n. Todistus. Riittää osoittaa, että jos on euklidinen normi joukossa R n ja (1) on mielivaltainen normi, niin on olemassa c 1, c 2 > 0 joille c 1 x (1) x (2) c 2 x (1) kaikilla x R n eli c 1 x (1) c 2 kaikilla x S n 1 = {x R n : x = 1} Osoitetaan, että f : S n 1 R, f(x) = x (1), on jatkuva. Tällöin S n 1 on kompakti joten Lauseen 13.21 nojalla on olemassa c 1, c 2 joille Tässä c 1, c 2 > 0, koska c 1 f(x) c 2 kaikilla x S n 1. A = id, (R n, ) (R n, ) niin f(x) = Ax (1). Riittää osoittaa, että A on jatkuva. Jos x (k) x normiavaruudessa (R n, ), niin Ax (k) Ax (1) = x (k) x (1) = n j=1 (x (k) j x j )e j (1) n j=1 x (k) k x j e j (1) 0.

Viitteet 29 [1] Jussi Väisälä Topologia I