ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K

SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli....................... 6 1.3 Modulien summa................................ 8 1.4 Vapaa moduli.................................. 11 1.5 Vapaan modulin aste.............................. 12 2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 16 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD............................ 16 2.2 Syt ja pyj.................................... 19 2.3 Eukleideen alue................................. 20 3 POLYNOMIT 24 3.1 Polynomin nollakohdat............................. 24 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri.......... 25 3.3 Polynomin derivaatta.............................. 29 4 KUNTALAAJENNUKSET 32 4.1 Kuntalaajennuksen aste............................ 32 4.2 Yksinkertainen laajennus............................ 34 4.3 Algebrallinen laajennus............................. 36 4.4 Algebrallinen sulkeuma............................. 40 4.5 Sovellus: geometriset konstruktiot....................... 42 4.6 Laajennusten isomorfia............................. 43 4.7 Polynomin hajoamiskunta........................... 46 4.8 Normaali laajennus............................... 48 4.9 Äärellisen laajennuksen yksinkertaisuus.................... 50 5 ÄÄRELLISET KUNNAT 52 5.1 Äärellisen kunnan perusominaisuuksia.................... 52 5.2 Kaikki äärelliset kunnat............................ 54 6 GALOIS N TEORIAA 56 6.1 Kuntalaajennuksen automorfismit....................... 56 6.2 Galois n laajennus; Galois n ryhmä...................... 57 6.3 Galois n vastaavuus............................... 60 6.4 Konjugaattilaajennukset............................ 64 6.5 Yhtälön algebrallinen ratkaiseminen...................... 66

SISÄLTÖ 2 7 MODULI YLI EUKLEIDEEN ALUEEN 68 7.1 Matriisin Smithin normaalimuoto....................... 68 7.2 Vapaan modulin alimoduli........................... 70 7.3 Modulin torsioalkiot.............................. 74 7.4 Äärellisesti generoitu moduli.......................... 75 7.5 Sovellus: äärellisesti generoitu Abelin ryhmä................. 78 8 RYHMÄTEORIAA 84 8.1 Ryhmien isomorfiasta.............................. 84 8.2 Vastaavuuslause................................. 85 8.3 Yksinkertainen ryhmä............................. 87 8.4 Normaali- ja kompositiosarjat......................... 89 8.5 Ratkeava ryhmä................................. 92 8.6 Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö............... 95 8.7 Sylowin ryhmät................................. 98 (2004) 1 2 7 8 5 6 3 4

JOHDANTO 3 JOHDANTO Kertauksena eräiden algebrallisten systeemien postulaatit: Monoidi (G, ) : 1. (ab)c = a(bc) a, b, c G, 2. 1 G : a 1 = 1 a = a a G. Jos lisäksi a G a 1 G : aa 1 = a 1 a = 1, niin G on ryhmä. Abelin ryhmä (A, +) : 1. (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c A, 2. 0 A : a + 0 = 0 + a = a a A, 3. a A a A : a + ( a) = ( a) + a = 0, 4. a + b = b + a a, b A. Abelin ryhmän alkioiden a ja b erotus a b = a + ( b). Rengas (R, +, ) : 1. (R, +) on Abelin ryhmä, 2. (R, ) on monoidi, 3. a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc a, b, c R. Jos kertolasku lisäksi on kommutatiivinen, R on kommutatiivinen rengas. Kunta (K, +, ) : 1. (K, +, ) on kommutatiivinen rengas, 2. a K {0} a 1 K : aa 1 = a 1 a = 1. Kunnan alkioiden a ja b 0 osamäärä a b = ab 1. Esimerkki. Todetaan, että (Z +, ) on monoidi, (2Z, +) on Abelin ryhmä, Z on rengas (kommutatiivinen), Q on kunta.

1 MODULI 4 1 MODULI 1.1 Moduli; alimoduli Modulin käsite on vektoriavaruuden välitön yleistys. Määritelmä. Olkoon R rengas. Abelin ryhmää (M, +) sanotaan (vasemmaksi) R-moduliksi, jos siinä on määritelty modulikertolasku joka täyttää seuraavat ehdot: RM0. ax M a R, x M, (a, x) a x merk. = ax a R, x M, RM1. a(x + y) = ax + ay a R, x, y M, RM2. (a + b)x = ax + bx a, b R, x M, RM3. (ab)x = a(bx) a, b R, x M, RM4. 1x = x x M. Esimerkki 1.1.1. Jos K on kunta, niin K-moduli = vektoriavaruus yli K:n. Esimerkki 1.1.2. Jokainen Abelin ryhmä (M, +) on Z-moduli, jossa modulikertolaskun määrittelee alkion monikerta kx (k Z, x M). Postulaatti k(x + y) = kx + ky on laskulaki, joka ryhmän multiplikatiivisessa merkinnässä saa muodon (xy) k = x k y k ; tämä on tosiaan voimassa kommutatiivisuuden nojalla. Esimerkki 1.1.3. Renkaan R ihanne I (tarkemmin (I, +)) on R-moduli, modulikertolaskuna ri (r R, i I) renkaan oma kertolasku. Postulaatti RM0 seuraa ihanteen määritelmästä, muut postulaatit suoraan rengaspostulaateista. Erityisesti siis R itse on R-moduli. Merkintä: R R. Modulien teoria rakentuu samaan tapaan kuin vektoriavaruuksien. Erityisesti kaikki vektoriavaruuksia koskevat tulokset, joiden todistuksessa ei tarvita skalaarikunnan jakolaskua (eikä kertolaskun kommutatiivisuutta), pätevät myös moduleihin. Tällaisia tuloksia ovat ensinnäkin seuraavat laskulait: 1 ax = 0, jos a = 0 tai x = 0, 2 a(nx) = (na)x = n(ax) n Z, 3 a(x y) = ax ay, (a b)x = ax bx.

1.1 Moduli; alimoduli 5 Huomautus 1.1. (i) Sekä R:n että M:n nolla-alkiosta käytetään yleensä merkintää 0 (ks. 1 ). (ii) Sääntö 1 ei päde kääntäen; esimerkiksi Z-modulissa Z 6 on 2 3 = 0. (Vrt. vektoriavaruuksiin.) Määritelmä. R-modulin M osajoukkoa N sanotaan M:n (R-)alimoduliksi, jos N on R- moduli (samojen operaatioiden suhteen kuin M). Alimodulikriteeri. R-modulin M osajoukko N on M:n alimoduli, jos se täyttää seuraavat ehdot: AM1. N, AM2. x, y N = x + y N, AM3. a R, x N = ax N. Todistus. Ryhmä (N, +) on (M, +):n aliryhmä, koska x, y N = x y N (AM2, AM3). Postulaatti RM0 seuraa AM3:sta. Muut postulaatit ovat voimassa N:ssä, koska ne ovat voimassa M:ssä. Esimerkki 1.1.4. (i) K = kunta: K-modulin V eli vektoriavaruuden V alimodulit = V :n aliavaruudet. (ii) M = Abelin ryhmä: Z-modulin M alimodulit = M:n aliryhmät. (iii) Modulin R R alimodulit = renkaan R vasemmat ihanteet. Jos erityisesti R on kommutatiivinen, nämä ovat = R:n ihanteet. Alimodulikriteerin nojalla R-modulin M alimodulien N α leikkaus α N α on M:n alimoduli. Tämän perusteella määritellään tavalliseen tapaan joukon S M generoima M:n alimoduli S = N (N on M:n alimoduli, S N). Kuten vektoriavaruuksilla, tämä koostuu kaikista S:n alkioiden lineaarikombinaatioista: S = { a 1 s 1 + + a k s k k 1; a i R, s i S i }. Perustelu: Oikea puoli on M:n alimoduli alimodulikriteerin nojalla; muu triviaalia. Jos S on äärellinen, S = {s 1,..., s n }, niin merkitään S = s 1,..., s n. Edellisen nojalla { n ( ) s 1,..., s n = a i s i a i R i=1 } i.

1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 6 Erityisesti s = { as a R } merk. = Rs on ns. alkion s generoima syklinen moduli. Modulia s 1,..., s n sanotaan äärellisesti generoiduksi. Esimerkki 1.1.5. Z-modulin M syklinen alimoduli Zs = s:n generoima M:n syklinen aliryhmä. Siis esimerkiksi M = Z 6 : Z2 = {0, 2, 4} (ord(2) = 3); M = Q : Z( 1) = Z (ord( 1) = ). Esimerkki 1.1.6. K = kunta: K-moduli V on äärellisesti generoitu sjvsk dim V <. Esimerkiksi R-moduli R n = e 1,..., e n, missä e 1 = (1, 0,..., 0) T, e 2 = (0, 1, 0,..., 0) T jne. Esimerkki 1.1.7. Abelin ryhmä R 2 on M 2 (R)-moduli, kun modulikertolasku ( ) ( ) a b x1 Ax, A = M c d 2 (R), x = R 2, määritellään tavallisena matriisikertolaskuna. Tämä on äärellisesti generoitu, vieläpä syklinen: esimerkiksi R 2 = e 1, sillä ( ) ( ) ( ) y1 0 1 y1 = y y 2 0 0 1, y 2 R. Esimerkki 1.1.8. Moduli R R on syklinen: R R = R 1. 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli Olkoot M ja M R-moduleja. Kuvausta y 2 f : M M sanotaan (R-)modulihomomorfismiksi tai R-homomorfismiksi, jos se täyttää ehdot MH1. f(x + y) = f(x) + f(y) x, y M, MH2. f(ax) = af(x) a R, x M. Ehto MH1 merkitsee, että f on ryhmähomomorfismi (M, +) (M, +). Esimerkki 1.2.1. Vektoriavaruudet V ja V yli kunnan K: K-homomorfismit = lineaarikuvaukset V V. Esimerkki 1.2.2. Z-modulit M ja M : Z-homomorfismit = ryhmähomomorfismit M M. x 2

1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 7 Esimerkki 1.2.3. Kuvaus f : R R R R, f(r) = 2r on R-homomorfismi (mutta ei rengashomomorfismi). Tavalliseen tapaan määritellään R-isomorfismi = bijektiivinen R-homomorfismi. R-homomorfismin f : M M ydin ja kuva: Ker(f) = { x M f(x) = 0 }, Im(f) = { f(x) x M } = f(m). Nämä ovat R-moduleja (sovella alimodulikriteeriä). Määritelmä. R-modulin M tekijämoduli alimodulin N suhteen on tekijäryhmä varustettuna modulikertolaskulla M/N = { x + N x M }, (x + N) + (y + N) = x + y + N a(x + N) = ax + N a R, x M. Tekijämodulin alkioita x + N sanotaan N:n sivu- tai jäännösluokiksi M:ssä. Tätä määritelmää varten on ensiksikin varmistuttava, että ko. modulikertolasku on hyvinmääritelty: x 1 + N = x 2 + N = x 1 x 2 N = a(x 1 x 2 ) N = ax 1 + N = ax 2 + N ( a R). Toiseksi se toteuttaa postulaatit RM0 RM4. Täten M/N on R-moduli. Esimerkki 1.2.4. Z-modulit: tekijämodulit = tekijäryhmät. Esimerkki 1.2.5. Vektoriavaruuden tapauksessa tekijämodulia sanotaan tekijäavaruudeksi. Jos esimerkiksi V = R 2 ja aliavaruudeksi valitaan x x+x_ 2x_ U = { (u, 2u) u R }, x_ niin tekijäavaruus on R 2 /U = { x + U x R 2 }, (x + U) + (x + U) = x + x + U, a(x + U) = ax + U. x+u U x+x_+u x_+u 2x_+U

1.3 Modulien summa 8 Homomorfialause. Jos f : M M on R-homomorfismi, niin Tarkemmin: f indusoi R-isomorfismin M/ Ker(f) Im(f). F : M/ Ker(f) Im(f), F (x + Ker(f)) = f(x). Todistus. Ryhmäteorian homomorfialauseen nojalla F on Abelin ryhmien M/ Ker(f) ja Im(f) välinen isomorfismi. Lisäksi (merkitään K = Ker(f)) F (a(x + K)) = F (ax + K) = f(ax) = af(x) = af (x + K), joten F on R-homomorfismi ja siis R-isomorfismi. Huomautus 1.2. Kuvaus f = F π, missä π on projektiokuvaus M M/ Ker(f), π(x) = x + Ker(f) (R-homomorfismi). f M Im(f) M π F M/ Ker(f) Esimerkki 1.2.6. Lineaarikuvaus f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 2 2x 1 : Ker(f) = { (x, 2x) x R } = U, Im(f) = R Homomorfialause antaa isomorfismin (esim. f(0, x) = x). F : R 2 /U R, F ((x 1, x 2 ) + U) = x 2 2x 1. Katso kuvaa esimerkissä 1.2.5: jokainen suora kuvautuu siksi pisteeksi, jossa se leikkaa y-akselin. 1.3 Modulien summa Määritellään R-modulin M alimodulien N 1,..., N k summa N 1 + + N k = { x 1 + + x k x i N i i }. Tämä nähdään alimoduliksi alimodulikriteeristä. Huomaa myös, että oikea puoli on = N 1 N k generoinnin määrittelyn nojalla; siis Erityisesti (vrt. pykälän 1.1 kaavaan ( )) N 1 + + N k = N 1 N k. s 1,..., s k = Rs 1 + + Rs k (s i M i).

1.3 Modulien summa 9 Määritelmä. R-modulin M alimodulien summaa N = N 1 + + N k sanotaan suoraksi summaksi, merkitään N = N 1 N k, jos jokaisen alkion x N esitys muodossa on yksikäsitteinen. x = x 1 + + x k (x i N i i) Lause 1.1. R-modulin M alimodulien summa N = N 1 + + N k on suora sjvsk N j i j N i = {0} (j = 1,..., k). Todistus. 1) Silloin. Jos x 1 + + x k = x 1 + + x k (x i, x i N i ), niin x j x j = i j (x i x i ) merk. = x (1 j k). Siis x N j i j N i = {0}, joten x = 0. Täten x j = x j. Summaesitys x 1 + + x k on siis yksikäsitteinen. 2) Vain silloin. Oletetaan, että x N j i j N i (1 j k). Silloin x = x j, x = i j x i (x 1 N 1,..., x k N k ). Tästä saadaan x j i j x i = 0 = 0 + i j 0. Esityksen yksikäsitteisyyden nojalla x j = 0. Siis x = 0, joten ko. leikkaus = {0}. Esimerkki 1.3.1. Vektoriavaruuksilla edellä mainitut käsitteet yhtyvät aliavaruuksien summan ja suoran summan käsitteisiin. Jos vektoriavaruuden V (yli kunnan K) virittää joukko {x 1,..., x n }, niin Jos ko. joukko on V :n kanta, niin V = Kx 1 + + Kx n. V = Kx 1 Kx n. Esimerkki 1.3.2. Z-modulissa eli Abelin ryhmässä puhutaan vastaavasti aliryhmien summasta ja suorasta summasta. Esimerkiksi ryhmässä (R, +) Z + 3 2 Z = 1 2 Z (ei suora, koska esim. 3 Z 3 2 Z), Z + 2Z = { a + b 2 a, b Z } = Z 2Z.

1.3 Modulien summa 10 Määritelmä. Olkoot M 1,..., M k R-moduleja. Karteesinen tulo on R-moduli, kun määritellään M 1 M k = { (x 1,..., x k ) x i M i i } (x 1,..., x k ) + (y 1,..., y k ) = (x 1 + y 1,..., x k + y k ), a(x 1,..., x k ) = (ax 1,..., ax k ) a R (todistus suoraan modulin määritelmästä). Tätä sanotaan modulien M 1,..., M k (ulkoiseksi) suoraksi summaksi; myös sitä merkitään M 1 M k. Tällä modulilla M = M 1 M k on alimodulit ja M on näiden suora summa, M i = { (0,..., 0, x i, 0,..., 0) x i M i } kuten todetaan ajattelemalla summaesitystä M = M 1 M k, (i = 1,..., k), (x 1,..., x k ) = (x 1, 0,..., 0) + + (0,..., 0, x k ). Esitykset M = M 1 M k ja M = M 1 M k voidaan samaistaa samaistamalla keskenään isomorfiset modulit M i ja M i (i = 1,..., k), siis samaistamalla alkiot x i ja (0,..., 0, x i, 0,..., 0). Esimerkki 1.3.3. Vektoriavaruus R n = R R (n kertaa; ulkoinen suora summa). Esimerkki 1.3.4. Z-modulina C R R, isomorfismina esimerkiksi a + bi (a, b). Kun C ajatellaan R-modulina, niin C = R 1 Ri (alimodulien suora summa). Lopuksi alimodulien summan sovelluksena eräs isomorfialaki: Suunnikassääntö. Jos N 1 ja N 2 ovat R-modulin M alimoduleja, niin Todistus. Kuvaus N 1 /(N 1 N 2 ) (N 1 + N 2 )/N 2. N 1 + N 2 N 1 N 2 N 1 N 2 f : N 1 (N 1 + N 2 )/N 2, f(x) = x + N 2 on R-homomorfismi. Sen ydin Ker(f) = N 1 N 2, sillä x Ker(f) x N 1 ja x + N 2 = N 2 x N 1 N 2. Edelleen Im(f) = (N 1 + N 2 )/N 2, sillä z + N 2 (N 1 + N 2 )/N 2 = z = x 1 + x 2 (x 1 N 1, x 2 N 2 ) = f(x 1 ) = x 1 + N 2 = x 1 + x 2 + N 2 = z + N 2. Väite seuraa homomorfialauseesta.

1.4 Vapaa moduli 11 1.4 Vapaa moduli Määritelmä. R-modulin M alkiot x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos n a 1,..., a n R, a i x i = 0 = a 1 = = a n = 0. Vastakohta: lineaarisesti riippuvia. i=1 Jos alkiot ovat lineaarisesti riippuvia, ei välttämättä päde (kuten vektoriavaruudessa), että jokin niistä on muiden lineaarikombinaatio. Ajattele esimerkiksi Z-modulissa Z lineaarista relaatiota 3 2 2 3 = 0. Määritelmä. R-modulin M osajoukko {x 1,..., x n } on M:n kanta, jos 1) M = x 1,..., x n, 2) x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia. Modulia M sanotaan vapaaksi, jos sillä on kanta. Kannan {x 1,..., x n } määritelmästä seuraa välittömästi, että jokaisella modulin M alkiolla x on yksikäsitteinen kantaesitys x = a 1 x 1 + + a n x n, missä a i R i. Huomautus 1.3. Sopimus: R-moduli {0} on vapaa, kanta =. Lineaarisen riippumattomuuden ja kannan määritelmät voidaan yleistää äärettömiin joukkoihin. Esimerkki 1.4.1. Lineaarialgebrasta tiedetään, että jokaisella n-ulotteisella vektoriavaruudella V on kanta {z 1,..., z n }; V on siis vapaa. Huomaa myös, että Yleisemmin: R-moduli V K n = { (x 1,..., x n ) x i K i }. R n = { (x 1,..., x n ) x i R i } on vapaa, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta {e 1,..., e n }, missä e i = (0,..., 0, 1 i:s, 0,..., 0) (i = 1,..., n). Erityisesti (n = 1) siis myös moduli R R on vapaa, kantana {1}. Esimerkki 1.4.2. Äärellinen Abelin ryhmä M ei ole Z-modulina vapaa, sillä siinä ei ole lineaarisesti riippumattomia alkioita: kx = 0 esimerkiksi kun k on x:n kertaluku. Lause 1.2. Olkoot M 1 ja M 2 R-moduleja, M 1 vapaa, kantana {x 1,..., x n } ja olkoot y 1,..., y n modulin M 2 alkioita. On olemassa yksikäsitteinen R-homomorfismi f : M 1 M 2, joka täyttää ehdon f(x i ) = y i (i = 1,..., n).

1.5 Vapaan modulin aste 12 Todistus. Väitetty kuvaus on ( n ) f a i x i = i=1 n a i y i a i R (i = 1,..., n) i=1 (vrt. vektoriavaruuksien lineaarikuvausten teoriaan). Lause 1.3. Jokainen äärellisesti generoitu R-moduli on isomorfinen jonkin vapaan R- modulin tekijämodulin kanssa. Todistus. Olkoon M = s 1,..., s n R-moduli. Verrataan tätä esimerkissä 1.4.1 mainittuun vapaaseen moduliin R n. Määritellään lauseen 1.2 mukainen R-homomorfismi f : R n M, f(e i ) = s i (i = 1,..., n), missä {e 1,..., e n } on R n :n luonnollinen kanta. Nyt Im(f) = M, sillä n ( n y M = y = b i s i (b i R) = y = f b i e i ). Homomorfialause antaa siis i=1 M R n / Ker(f). i=1 Modulien teorian päätuloksiin kuuluu kaikkien äärellisesti generoitujen R-modulien luokittelu, kun R on pääihannealue (PID). Tämä tulos, joka perustuu edelliseen lauseeseen, esitetään luvussa 7. Koska Z on PID, tuloksesta seuraa edelleen kaikkien äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu (myös luvussa 7). 1.5 Vapaan modulin aste Tässä pykälässä oletetaan, että rengas R on kommutatiivinen. Otetaan avuksi matriisit kuten lineaarialgebrassa. Matriiseilla a 11... a 1n A =.............. (a ij R i, j) a m1... a mn määritellään summa, tulo ja R:n alkioilla kertominen kuten tavallisessa matriisilaskennassa. Ne toteuttavat normaalit laskulait (tähän tarvitaan vain R:n rengasominaisuuksia). Itse asiassa kaikkien m n-matriisien joukko M m n (R) on R-moduli ja erityisesti joukko M n (R) = M n n (R) on rengas. Neliömatriisia A M n (R) sanotaan säännölliseksi, jos sillä on käänteismatriisi, ts. sellainen matriisi B = A 1 M n (R), että AB = BA = I n. Neliömatriisin A determinantti det(a) määritellään tavalliseen tapaan: se on siis renkaan R alkio ja täyttää lisäksi ehdon det(ab) = det(a) det(b).

1.5 Vapaan modulin aste 13 Lemma 1.1. Olkoon R kommutatiivinen rengas. Matriisi A M n (R) on säännöllinen sjvsk det(a) on renkaan R yksikkö (ts. det(a):lla on R:ssä käänteisalkio). Todistus. 1) AB = I = det(a) det(b) = 1 = (det(a)) 1 = det(b). 2) Jos det(a) on yksikkö, niin matriisi 1 ( ) T Cij (C ij on a ij :n komplementti i, j) det(a) kuuluu joukkoon M n (R). Tämä matriisi on A:n käänteismatriisi, sillä det(a) I = ( C ij ) T A = A ( C ij ) T kuten klassisessa matriisiteoriassa. Huomautus 1.4. Lemmasta seuraa: Jos A, B M n (R) ja AB = I, niin B = A 1. Olkoon M vapaa R-moduli ja olkoot E = {e 1,..., e m }, F = {f 1,..., f n } kaksi M:n kantaa (seuraavassa näytetään, että m = n). Kannanvaihdon E F matriisi A määritellään kuten lineaarialgebrassa: a 11... a 1n f 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + + a m1 e m A =.............., kun...... a m1... a mn f n = a 1n e 1 + a 2n e 2 + + a mn e m. Kannanvaihdon E F G matriisi saadaan kertomalla kannanvaihtojen E F ja F G matriisit (ks. lineaarialgebran kurssia; huomaa että tässä tarvitaan R:n kommutatiivisuus). Tarkastelemalla kannanvaihtoja E F E ja F E F saadaan AB = I m, BA = I n, missä B on kannanvaihdon F E matriisi (tyyppiä n m). Tapauksessa m = n tästä seuraa erityisesti, että kannanvaihdon matriisi A on säännöllinen. Lause 1.4. Olkoon M vapaa moduli yli kommutatiivisen renkaan R. Silloin jokaisessa M:n kannassa on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoot E ja F kuten edellä M:n kantoja sekä A ja B kannanvaihtomatriisit E F ja F E. Oletetaan, että m > n, ja johdetaan ristiriita. Kirjoitetaan A ja B lohkomatriiseina ( ) A1 A =, B = ( ) B 1 B 2, missä A 1 ja B 1 ovat n n-matriiseja. Koska AB = I m, saadaan ( ) ( ) A1 B (1) 1 A 1 B 2 In 0 =. A 2 B 1 A 2 B 2 0 I m n A 2

1.5 Vapaan modulin aste 14 Erityisesti siis (2) A 1 B 1 = I n. Tästä seuraa edellisen huomautuksen nojalla, että A 1 1 = B 1. Yhtälö (1) antaa A 2 B 2 = I, A 2 B 1 = 0. Kun kerrotaan jälkimmäinen yhtälö oikealta A 1 :llä, saadaan tulos A 2 = 0. Tämä on ristiriidassa edellisen yhtälön kanssa. Määritelmä. Vapaan R-modulin M (missä R kommutatiivinen) kanta-alkioiden lukumäärää sanotaan M:n asteeksi (rank). Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli ja F sen kiinnitetty kanta, niin R-homomorfismit ϕ : M M vastaavat bijektiivisesti matriiseja A M n (R) kuten lineaarialgebrassa. Kannanvaihdossa F F, jonka matriisi on P, matriisi A muuttuu matriisiksi P 1 AP. Lause 1.5. Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli, niin M R n. Todistus. Olkoon {x 1,..., x n } M:n kanta ja {e 1,..., e n } R n :n luonnollinen kanta. Ehdon f(x i ) = e i (i = 1,..., n) määrittelemä R-homomorfismi M R n (ks. lausetta 1.2) on bijektio, siis R-isomorfismi. Esimerkki 1.5.1. Vapaata Z-modulia sanotaan vapaaksi Abelin ryhmäksi; nämä ovat siis muotoa Z n, n 0 (isomorfiaa vaille). Ryhmän (Q, ) aliryhmä kanta esimerkiksi {2, 3}. 2, 3 = { 2 h 3 k h, k Z } Z 2, Jos erityisesti R on PID, lause 1.5 on äärellisesti generoitujen R-modulien rakennelauseen (luku 7) pieni osatulos. Vertaa myös esimerkkiin 1.4.1 pykälässä 1.4. Seuraava lause, jota myös tarvitaan luvussa 7, antaa keinon hallita vapaan modulin kaikki kannat. Lause 1.6. Olkoon M vapaa n-asteinen R-moduli ja E = {e 1,..., e n } jokin sen kanta. Merkitään f 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + + a n1 e n...... f n = a 1n e 1 + a 2n e 2 + + a nn e n, missä a ij R säännöllinen. i, j. Joukko F = {f 1,..., f n } on M:n kanta sjvsk matriisi A = ( a ij ) on

1.5 Vapaan modulin aste 15 Todistus. Jos F on M:n kanta, niin A on kannanvaihdon E F matriisi ja siis säännöllinen. Oletetaan kääntäen, että A on säännöllinen. Kirjoitetaan lauseen yhtälöryhmä matriisimuodossa f 1. f n = A T missä pystyriveinä kirjoitetut matriisit voidaan ajatella lohkomuodossa esitetyiksi n n- matriiseiksi, lohkoina vaakarivit f i ja e j (kukin vaakarivi muodostuu kyseisen M:n alkion kantaesityksen kertoimista, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta). Kun merkitään A 1 = B, edellisestä yhtälöstä seuraa e 1 e n e 1. e n f 1. = B T. Täten e j F j ja siis E F. Mutta E = M, ja näin ollen joukko F virittää M:n. Joukon F lineaarisen riippumattomuuden todistamiseksi olkoon n i=1 c if i = 0 eli matriisimuodossa ( ) ( ) T c 1... c n f1... f n = 0. Oletuksen mukaan tästä seuraa f n,. ( c1... c n ) A T ( e 1... e n ) T = 0. Kun merkitään ( c 1... c n ) A T = ( d 1... d n ), päätellään tästä edelleen joukon E lineaarisen riippumattomuuden nojalla, että d 1 = = d n = 0. Siis ( c1... c n ) A T = ( 0... 0 ). Kertomalla tämä yhtälö oikealta B T :llä saadaan tulos c 1 = = c n = 0.

2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 16 2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD Määritelmä. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja olkoot a, b R. Sanotaan, että b jakaa a:n tai a on jaollinen b:llä, merkitään b a, jos c R : a = bc. (Tällöin merkitään joskus myös c = a b.) Muista, että u R on R:n yksikkö, jos u:lla on R:ssä käänteisalkio, ts. v R : uv = 1 (v = u 1 ). Kaikki renkaan R yksiköt muodostavat ryhmän kertolaskun suhteen. Ellei erikseen toisin mainita, seuraavassa R = D = kokonaisalue, ts. kommutatiivinen rengas, jossa ei ole nollanjakajia. Tällöin erityisesti supistamissääntö pätee. (Eräät yksinkertaiset tulokset alla ovat voimassa myös yleisemmin kommutatiivisissa renkaissa.) Jaollisuusrelaation ominaisuuksia: 1) a a, 1 a, a 0 a D, 2) 0 a = a = 0, 3) c b, b a = c a, 4) c a, c b = c (a + b). Määritelmä. Alkioita a, b D sanotaan liitännäisiksi (associated), jos a b ja b a. Liitännäisyys on ekvivalenssirelaatio; seuraavassa siitä käytetään merkintää. Kokonaisalueelle D saadaan näin partitio liitännäisalkioiden luokkiin. Huomautus 2.1. (i) u on yksikkö u 1 u 1. (ii) a 0 = a = 0. Lause 2.1. a b a = bu, missä u on yksikkö. Todistus. ( = ) Jos a = bu, missä u on yksikkö, niin voidaan myös kirjoittaa b = au 1. Edellisestä yhtälöstä seuraa b a, jälkimmäisestä a b. ( = ) Jos a = 0, niin b = 0 ja voidaan siis valita u = 1. Olkoon a 0. Ehdoista a b, b a seuraa, että a = bu, b = av, missä u, v D. Näistä saadaan, että a = avu, siis (huomaa oletus) 1 = vu. Täten u on yksikkö. Esimerkki 2.1.1. (i) D = Z: yksiköt ±1; siis a b a = ±b. (ii) D = kunta K: yksiköt = kaikki alkiot 0; siis a b a, b K {0}. (iii) D = K[x], polynomirengas yli kunnan K: yksiköt = vakiopolynomit 0; siis f(x) g(x) f(x) = a g(x), a K {0}.

2.1 Jaottomat alkiot ja UFD 17 Määritelmä. Alkiota a D sanotaan jaottomaksi (irreducible) D:ssä, jos 1) a 1 ja 2) a = bc (b, c D) = b 1 tai c 1. Esimerkki 2.1.2. (i) Renkaan Z jaottomat alkiot = jaottomat luvut eli alkuluvut 2, 3, 5, 7, 11,... ja näiden vastaluvut. (ii) Kunnassa ei ole jaottomia alkioita. (iii) Polynomirenkaan K[x] (K kunta) jaottomat alkiot = jaottomat polynomit. Esimerkki 2.1.3. Näytetään, että jaottoman alkion liitännäisalkiot ovat samoin jaottomia. Määritelmä. Kokonaisaluetta D sanotaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (unique factorization domain, lyh. UFD), jos se täyttää seuraavat ehdot: 1) jokainen D:n alkio c 0, c 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, 2) jos kaksi tällaista esitystä ovat c = a 1 a 2 a r = b 1 b 2 b s (a i, b j jaottomia), niin r = s ja, kun b j :t on numeroitu sopivasti, a i b i (i = 1,..., s). Esimerkki 2.1.4. (i) Rengas Z on UFD (aritmetiikan peruslause). Huomaa, että esimerkiksi 6 = 2 3 = ( 2)( 3). (ii) Kunta K on triviaalisti UFD (ehdot 1) ja 2) tyhjiä). (iii) Myöhemmin todistetaan, että K[x] on UFD. Jos D on UFD, valitaan D:stä sellainen jaottomien alkioiden joukko P, että jokainen D:n jaoton alkio on liitännäinen tarkalleen yhden P:n alkion kanssa. Esimerkiksi Z:ssa voidaan valita P = P = {2, 3, 5,... }. Silloin jokainen c D {0} voidaan esittää yksikäsitteisesti (lukuunottamatta jaottomien alkioiden järjestystä) muodossa c = up α 1 1 p αr r (r 0, α i > 0 i), missä u 1 ja p i :t ovat P:n erisuuria alkioita. Joskus on mukava kirjoittaa tämä esitys muotoon c = u { p α αi 0 i, i i α i > 0 vain äärellisen monella i:llä, p i P missä p i käy läpi koko P:n.

2.1 Jaottomat alkiot ja UFD 18 Esimerkki 2.1.5. Tutkitaan jaollisuutta joukossa Z[ n ] = { a + b n a, b Z } (n Z), joka on C:n alirengas ja siis kokonaisalue. Oletetaan, että n on neliövapaa, ts. n 0, 1 ja p P : p 2 n. Luvun α = a + b n Z[ n ] liittoluvuksi sanotaan lukua α = a b n Z[ n ] (= α:n liittokompleksiluku, jos n < 0). Suoralla laskulla todetaan, että Määritellään luvun α normi Huomaa, että N(α) Z ja α + β = α + β, αβ = α β. N(α) = αα = a 2 nb 2 (= α 2, jos n < 0). N(α) = 0 α = 0 tai α = 0 α = 0; Väite 2.1. N(α) = ±1 α 1. N(αβ) = αβ αβ = ααββ = N(α)N(β). Todistus. ( = ) N(α) = ±1 = αα = ±1 = α 1 = α 1. ( = ) αβ = 1 = N(α)N(β) = 1 = N(α) = ±1. Väite 2.2. N(α) = ±p, p P = α jaoton. (Ei päde kääntäen.) Todistus. Väitteen 2.1 nojalla α 1. Edelleen α = βγ = N(α) = N(β)N(γ) = esim. N(β) = ±1 = β 1 (väite 2.1). Kokonaisalue Z[ n ] ei ole välttämättä UFD. Osoitetaan tämä tapauksessa n = 5. Väite 2.3. Z[ 5] ei ole UFD. Todistus. Näytetään, että luvun 6 hajotelmat 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5) ovat kaksi olennaisesti erilaista hajotelmaa jaottomiin tekijöihin. Väitteestä 2.1 seuraa helposti, että renkaan Z[ 5] yksiköt ovat ±1. Täten mikään em. hajotelmissa esiintyvistä luvuista ei ole yksikkö.

2.2 Syt ja pyj 19 Oletetaan, että 2 = αβ, α 1, β 1. Silloin N(α)N(β) = 4, siis N(α) = ±2. Kun merkitään α = a + b 5, on siis a 2 + 5b 2 = ±2. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua a, b Z. Siis 2 on jaoton. Samoin osoitetaan, että 3 on jaoton ja luvut 1 ± 5 ovat jaottomia. Lopuksi todetaan, että 2 1 ± 5, koska (1 ± 5)/2 ±1. (Vastaavanlainen renkaiden Z[ n ] käsittely positiivisilla n:n arvoilla on paljon vaikeampaa, koska näissä on enemmän itse asiassa äärettömän paljon yksiköitä.) 2.2 Syt ja pyj Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b (ainakin toinen 0) suurin yhteinen tekijä, lyhyesti syt, on sellainen alkio d D, joka täyttää ehdot 1) d a, d b; 2) jos d a, d b, niin d d. Merkintä: d = syt(a, b) (tai lyhyemmin (a, b)). Lause 2.2. Jos syt(a, b) on olemassa, se on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Tarkemmin: jos d = syt(a, b), niin e = syt(a, b) e d. Todistus. ( = ) Jos e = syt(a, b), niin e a, e b. Koska d = syt(a, b), saadaan siis e d. Symmetrian nojalla d e. Siis e d. ( = ) Jos e d, niin e voidaan kirjoittaa d:n tilalle ehdoissa 1) ja 2). Täten e = syt(a, b). Merkintää syt(a, b) käytettäessä on siis oltava varovainen. Seuraavat syt:n ominaisuudet ovat helppoja todistaa: (i) ((a, b), c) (a, (b, c)), (ii) syt(a, b) a a b, (iii) syt(a, 0) a. Kohtaa (i) ja induktiota käyttämällä saadaan määritellyksi n:n alkion a 1,..., a n syt, kun enintään yksi a i = 0. Tämän jälkeen määritellään syt(a 1,..., a n ) aina, kun (a 1,..., a n ) (0,..., 0), vain jättämällä mahdolliset 0:t pois. Siis esimerkiksi Z:ssa syt(6, 0, 30, 15, 0) = syt(6, 30, 15) = 3. Lause 2.2 pätee ilmeisesti myös useamman alkion syt:n tapauksessa; samoin seuraava lause 2.3 yleistyy suoraan tähän tapaukseen.

2.3 Eukleideen alue 20 Lause 2.3. Jos D on UFD, syt(a, b) on aina olemassa (kun esimerkiksi a 0). Tarkemmin: kun a 0 ja b 0, sanokaamme (1) a = u niin p i P (2) syt(a, b) p α i i, b = v p i P p i P p β i i (u, v 1), p γ i i, γ i = min(α i, β i ) i. Todistus. Tapauksessa b = 0 ensimmäinen väite seuraa edellisestä kohdasta (iii), tapauksessa b 0 se seuraa jälkimmäisestä väitteestä. Jälkimmäinen väite puolestaan seuraa siitä, että jos d = p i P pδ i i, niin d a sjvsk δ i α i i. Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b pienin yhteinen monikerta (tai jaettava), lyhennettynä pyj, on sellainen alkio m D, joka täyttää ehdot 1) a m, b m; 2) jos a m, b m, niin m m. Merkintä: m = pyj(a, b) (tai lyhyemmin [a, b]). Kuten syt, myös pyj on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Jos UFD:n alkioilla a ja b on hajotelmat (1), niin ilmeisesti (3) pyj(a, b) Koska p i P niin kaavoista (2) ja (3) seuraa, että p µ i i, µ i = max(α i, β i ) i. min(α i, β i ) + max(α i, β i ) = α i + β i, (a, b) [a, b] ab. Tämä kaava voitaisiin todistaa yleisemminkin (olettamatta, että D on UFD). 2.3 Eukleideen alue Miten voidaan todeta, onko annettu kokonaisalue UFD? Seuraavassa eräs menetelmä. Määritelmä. Olkoon D kokonaisalue. Funktiota ϕ : D {0} Z 0 (= {0, 1, 2,... }) sanotaan D:n Eukleideen normiksi, jos se täyttää ehdot

2.3 Eukleideen alue 21 E1. ϕ(ab) ϕ(a) a, b 0, E2. a, b D, b 0 q, r D : a = bq + r, ϕ(r) < ϕ(b) tai r = 0 (ks. myös huomautusta 2.4 pykälän lopussa). Jos D:llä on jokin Eukleideen normi, D:tä sanotaan Eukleideen alueeksi. Esimerkki 2.3.1. Rengas Z on Eukleideen alue, normina ϕ(a) = a. Esimerkki 2.3.2. Polynomirengas K[x] (K kunta) on Eukleideen alue, normina ϕ(p(x)) = deg p(x). Ehtoa E2 voidaan nimittää lyhyesti jakoalgoritmiksi. On kuitenkin huomattava, ettei välttämättä ole olemassa menetelmää, jolla alkiot q ja r löydetään. Lause 2.4. Eukleideen alueessa D on jokaisella alkioparilla a, b (ainakin toinen 0) syt, lisäksi u, v D : syt(a, b) au + bv. Todistus. Jos esimerkiksi b = 0, niin syt(a, b) a = a 1 + 0 0. Olkoot a, b 0. Ehdon E2 nojalla D:ssä on sellaiset alkiot q 1, r 1, q 2, r 2,..., että a = bq 1 + r 1, ϕ(r 1 ) < ϕ(b), b = r 1 q 2 + r 2, ϕ(r 2 ) < ϕ(r 1 ),................................. r n 2 = r n 1 q n + r n, ϕ(r n ) < ϕ(r n 1 ), r n 1 = r n q n+1, r n+1 = 0. Yhtälöketju ( Eukleideen algoritmi ) päättyy, koska ϕ(b) > ϕ(r 1 ) > ϕ(r 2 ) >... on aidosti vähenevä jono kokonaislukuja 0; lopuksi saadaan siis r n+1 = 0. Ensimmäisen yhtälön nojalla r 1 = au + bv (u = 1, v = q 1 ); tästä ja toisesta yhtälöstä seuraa, että r 2 on samaa muotoa. Jatkamalla samoin saadaan (1) r n = au + bv (u, v D). Yhtälöketjun viimeisen yhtälön nojalla r n r n 1, siis viimeistä edellisen yhtälön nojalla r n r n 2. Jatkamalla näin saadaan r n a, r n b. Jos d a, d b, niin (1):n mukaan d r n. Täten r n syt(a, b) ja lause on todistettu. Lemma 2.1. Olkoon D kokonaisalue ja p D {0}, p 1. Jos p täyttää ehdon (2) p ab (a, b D) = p a tai p b, niin p on D:n jaoton alkio.

2.3 Eukleideen alue 22 Todistus. Nyt p = ab = p ab = p a tai p b, voidaan olettaa p a = a = pc = abc (c D) = bc = 1 = b 1. Siis p on jaoton. Määritelmä. Ehdon (2) täyttävää jaotonta alkiota sanotaan vahvaksi jaottomaksi alkioksi (kirjallisuudessa myös alkualkioksi, engl. prime element). Esimerkki 2.3.3. Renkaan Z kaikki jaottomat alkiot (eli ±alkuluvut) ovat vahvoja. Esimerkki 2.3.4. Renkaan Z[ 5] = { a + b 5 a, b Z } alkio 3 on jaoton ( 2.1, esimerkki 2.1.5), mutta ei vahva jaoton, sillä 3 (1 + 5)(1 5), 3 (1 ± 5). Lause 2.5. Kokonaisalue D on UFD D täyttää ehdot (i) jokainen alkio c D {0}, c 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, (ii) jokainen D:n jaoton alkio on vahva jaoton. Todistus. ( = ) (i) on sama kuin UFD:n määritelmän ehto 1). Todistetaan (ii). Oletetaan, että p ab. Koska D on UFD, voidaan kirjoittaa a = u p i P p α i i, b = v p i P p β i i (u, v 1). Olkoon esimerkiksi p = p 1. Koska p 1 ab, niin α 1 + β 1 1. Silloin α 1 1 tai β 1 1, toisin sanoen p 1 a tai p 1 b. ( = ) On todistettava, etä (ii):stä seuraa alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys. Todistus on aivan samanlainen kuin aritmetiikan peruslauseen todistus (jossa on kyse samasta väitteestä tapauksessa D = Z). Lemma 2.2. Oletetaan, että D on Eukleideen alue ja a, b D {0}. Jos a b mutta b a (eli a on b:n aito tekijä), niin ϕ(a) < ϕ(b). Todistus. Tehdään vastaoletus: ϕ(a) ϕ(b). Koska a b, niin b = ac, c D. Soveltamalla jakoalgoritmia (E2) saadaan a = bq + r = acq + r, ϕ(r) < ϕ(b) (huom. r 0, koska b a). Nyt r = a acq = a(1 cq), joten ristiriita! Lause 2.6. Eukleideen alue on UFD. ϕ(r) E1 ϕ(a) vo ϕ(b);

2.3 Eukleideen alue 23 Todistus. Todistetaan, että Eukleideen alue D täyttää lauseen 2.5 ehdot (ii) ja (i). Oletetaan, että p on jaoton, p ab, p a. Nyt syt(a, p) 1, siis 1 = au + pv, missä u, v D (ks. lausetta 2.4). Tämä antaa b = abu + pbv. Koska p ab, niin p (abu + pbv), siis p b. Täten p on vahva jaoton. Olkoon a D, a 0. Oletetaan, että (3) a = a 1 a 2 a k, a i 1 i. Lemman 2.2 nojalla ϕ(a) > ϕ(a 2 a 3 a k ) > ϕ(a 3 a k ) > > ϕ(a k ) > ϕ(1) ( 0), joten ϕ(a) k. Esityksessä (3) on siis tekijöiden määrä rajoitettu. Täten on olemassa sellainen esitys (3), jossa tekijöiden määrä on maksimaalinen, ja silloin a 1,..., a k ovat jaottomia. Seuraus 2.3.1. Eukleideen alueessa D jokaisella alkioparilla on pyj. Todistus. UFD:ssä on pyj(a, b) = ab syt(a, b) (kun (a, b) (0, 0)). Seuraus 2.3.2. Jos K on kunta, niin polynomirengas K[x] on UFD. Tämä tulos on tärkeä seuraavissa luvuissa, joissa polynomit yli kunnan muodostavat keskeisen apuneuvon. Huomautus 2.2. Eukleideen alue on myös PID (pääihannealue). Tämä todistetaan jakoalgoritmin (E2) avulla samoin kuin Z:lla ja K[x]:llä (ks. algebran peruskurssia). Huomautus 2.3. Voidaan todistaa lausetta 2.6 yleisempi tulos: jokainen PID on UFD. Huomautus 2.4. Edelliset huomautukset antavat toisen todistuksen sille, että Eukleideen alue on UFD. Tässä todistuksessa ei tarvita Eukleideen normin ehtoa E1. Koska ehtoa E1 ei tarvita myöskään lauseen 2.4 todistuksessa, Eukleideen normi voitaisiin määritellä yksinomaan ehdolla E2. Toisaalta ehto E1 on yleensä automaattisesti täytetty niissä tapauksissa, jotka ovat teorian kannalta kiinnostavia.

3 POLYNOMIT 24 3 POLYNOMIT 3.1 Polynomin nollakohdat Polynomirengas R[x] on määritelty, olipa R mikä hyvänsä rengas. Seuraavassa renkaasta R oletetaan kuitenkin vähintään, että se on kommutatiivinen. Jos f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] ja c R, merkitään tavalliseen tapaan f(c) = a 0 + a 1 c + + a n c n. Kuvaus R[x] R, f(x) f(c), missä siis c R on kiinteä, on rengashomomorfismi, ts. a(x) = f(x) + g(x) = a(c) = f(c) + g(c), b(x) = f(x)g(x) = b(c) = f(c)g(c) (ja f(x) = 1 = f(c) = 1). Tästä seuraa, että jokainen R[x]:n polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun x:n paikalle sijoitetaan mikä tahansa c R (sijoitusperiaate). Jos f(c) = 0, alkiota c sanotaan polynomin f(x) nollakohdaksi tai yhtälön f(x) = 0 juureksi. Muista, että nollapolynomin asteeksi on sovittu. Lause 3.1 (Yleinen jakoalgoritmi). Jos a(x), b(x) R[x] ja b(x) on pääpolynomi, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset polynomit q(x), r(x) R[x], että a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). Todistus. Ks. algebran peruskurssia, jossa sama on todistettu tapauksessa R = K = kunta heikommalla oletuksella b(x) 0. Huomaa, että nytkin b(x):n johtavalla kertoimella (= 1) on käänteisalkio. Lisäksi yksikäsitteisyystodistuksessa tarvittava tulopolynomin astelukukaava (aste = tekijöiden asteiden summa) pätee, koska toinen tekijä on pääpolynomi b(x). Huomautus 3.1. Yleisemmin jos b(x):n johtava kerroin (= b m ) on R:n yksikkö, niin b(x) = b m b(x), missä b(x) on pääpolynomi R[x]. Jakoalgoritmi soveltuu myös tällöin: a(x) = q(x) b(x) + r(x) = ( b 1 m q(x) ) b(x) + r(x). Lause 3.2 (Jäännöslause). Jos c R ja f(x) R[x], niin g(x) R[x] : f(x) = (x c)g(x) + f(c). Lisäksi f(c) = 0 (x c) f(x).

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 25 Todistus. Lause 3.1 antaa f(x) = (x c)g(x) + r(x), missä deg r(x) < 1, siis r(x) = r R. Sijoittamalla x = c saadaan f(c) = 0 + r, siis r = f(c). Nyt ( = ) seuraa edellisestä. ( = ) : (x c) f(x) = f(x) = (x c)f 1 (x) = f(c) = 0 (sij. x = c). Lause 3.3. Olkoon D kokonaisalue ja f(x) D[x]. Jos c 1,..., c k ovat f(x):n eri nollakohtia, niin (x c 1 )(x c 2 ) (x c k ) f(x). Todistus. Induktiolla k:n suhteen. 1) k = 1: lause 3.2. 2) Induktio-oletuksen nojalla f(x) = (x c 2 ) (x c k )g(x), g(x) D[x]. Sijoitetaan x = c 1 : 0 = (c 1 c 2 ) (c 1 c k )g(c 1 ) = g(c 1 ) = 0 (koska ei nollanjakajia) = g(x) = (x c 1 )h(x), h(x) D[x] = f(x) = (x c 1 )(x c 2 ) (x c k )h(x). Seuraus 3.1.1. Jos f(x) D[x], f(x) 0, ja deg f(x) = n, niin f(x):llä on D:ssä enintään n eri nollakohtaa. Todistus. Lauseen 3.3 merkinnöin k = deg ( (x c 1 ) (x c k ) ) deg f(x) = n. Seuraus 3.1.2. Jos f(x), g(x) D[x] ovat enintään astetta n ja f(c i ) = g(c i ) (i = 1,..., n + 1), missä c 1,..., c n+1 ovat D:n eri alkioita, niin f = g. Todistus. Polynomi f(x) g(x) on enintään astetta n ja sillä on n + 1 eri nollakohtaa c i. Seurauslauseen 3.1.1 nojalla f(x) g(x) = 0. Huomautus 3.2. Tämän seurauslauseen mukaan siis n + 1 yhtälöä f(c i ) = t i, missä c 1,..., c n+1 ovat D:n eri alkioita, määrittävät n-asteisen polynomin f yksikäsitteisesti. Jos erityisesti D = K = kunta, voidaan helposti osoittaa, että tällainen polynomi f on aina olemassa (sen antaa klassinen Lagrangen interpolointikaava). 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri Olkoon K kunta. Luvussa 2 todistettiin, että K[x] on UFD. Jokainen K[x]:n polynomi vakio (muista, että vakiot 0 ovat K[x]:n yksiköt) voidaan siis esittää olennaisesti yksikäsitteisellä tavalla jaottomien polynomien tulona: (1) f(x) = p 1 (x) p r (x) (p i (x) jaoton K[x] i).

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 26 Probleema: Mitkä ovat K[x]:n jaottomat polynomit? Triviaalisti jaottomia polynomeja ovat ainakin kaikki 1. asteen (eli lineaariset) polynomit. Lauseesta 3.2 seuraa, että 2. tai 3. asteen polynomi on jaoton sjvsk sillä ei ole nollakohtia (vrt. algebran peruskurssiin). Jos kunta K on äärellinen, jaottomat polynomit löydetään periaatteessa kokeilemalla. Lause 3.4. Jos K on kunta, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Polynomirenkaassa K[x] jaottomat polynomit = lineaariset polynomit. (ii) Jokaisella K[x]:n polynomilla vakio on nollakohta K:ssa. Todistus. (i) = (ii) Oletuksen mukaan polynomilla f(x) vakio on hajotelma f(x) = (a 1 x + b 1 ) (a r x + b r ) (r 1; a i 0 i). Silloin f( b 1 /a 1 ) = 0. (ii) = (i) Olkoon p(x) K[x] jaoton. Oletuksen mukaan sillä on nollakohta c K, joten p(x) = (x c)q(x), q(x) K[x]. Tässä q(x) on vakio, q(x) = q, koska p(x) on jaoton. Siis p(x) on lineaarinen, p(x) = q (x c). Määritelmä. Kuntaa K sanotaan algebrallisesti suljetuksi, jos se täyttää lauseen 3.4 ehdot. Esimerkiksi C on algebrallisesti suljettu (algebran peruslause). Voidaan osoittaa, että jokaisella kunnalla K on laajennus L (K L), joka on algebrallisesti suljettu. Suppeinta tällaista L:ää sanotaan K:n algebralliseksi sulkeumaksi. Esimerkiksi C on R:n algebrallinen sulkeuma. (Tästä enemmän luvussa 4.) Polynomia f(x) K[x] tarkasteltaessa on usein hyödyllistä ajatella sitä ensin L[x]:ssä, missä L on algebrallisesti suljettu K:n laajennus. Esimerkki 3.2.1. Tapauksessa K = R jaottomat polynomit ovat 1 lineaariset polynomit ja 2 polynomit ax 2 + bx + c, missä b 2 4ac < 0. Tämä nähdään hajottamalla polynomi f(x) R[x] ensin C[x]:ssä muotoon f(x) = a n (x c i ) (a R, c i C i). i=1 Jos c i / R, myös liittoluku c i esiintyy nollakohtana (koska f(c i ) = f(c i ) = 0 = 0); tällöin (x c i )(x c i ) = x 2 + tx + u R[x], diskr. < 0.

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 27 Seuraavassa tutkitaan polynomin tekijöihinjakoa Q[x]:ssä. Jos f(x) Q[x], niin kertomalla sopivalla vakiolla (siis Q[x]:n yksiköllä) saadaan polynomi Z[x]. Tutkitaan ensin näitä. Oletetaan yleisemmin, että polynomit D[x], missä D on UFD. Polynomia f(x) D[x] \ D sanotaan seuraavassa jaottomaksi, jos f(x) = g(x)h(x) = g(x) tai h(x) on vakio. Tämä ei ole edellisessä luvussa esitetyn yleisen teorian mukainen D[x]:n jaottoman alkion määritelmä, koska kaikki vakiopolynomit eivät välttämättä ole D[x]:n yksiköitä. (Itse asiassa D[x] = D, joten siis D[x] = D \ {0} sjvsk D = K = kunta.) Määritelmä. Polynomia f(x) D[x], missä D on UFD, sanotaan primitiiviseksi, jos f(x):n kertoimien syt 1. Esimerkki 3.2.2. Polynomi 2x 2 + 3x 4 Z[x] on primitiivinen, 2x 2 + 6x 4 ei ole. Lause 3.5 (Gaussin lemma). Kahden primitiivisen polynomin (yli UFD:n) tulo on primitiivinen. Todistus. Olkoot f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ja g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m primitiivisiä. Vastaoletus: f(x)g(x) ei ole primitiivinen, siis (2) f(x)g(x) = πh(x), π D:n jaoton alkio. Oletetaan, että π a r, π b s, r ja s minimaalisia. Tällaiset a r ja b s ovat olemassa, koska f, g primitiivisiä. Nyt tulossa f(x)g(x) termin x r+s kerroin on a 0 b r+s + + a r 1 b s+1 + a r b s + a r+1 b s 1 + + a r+s b 0, siis π:llä jaoton. Toisaalta se on (2):n nojalla π:llä jaollinen; ristiriita! Jokainen polynomi f(x) D[x] (missä D on UFD) voidaan kirjoittaa muotoon (3) f(x) = δf 1 (x) { δ = f(x):n kertoimien syt ( D), f 1 (x) primitiivinen. Alkio δ D (polynomin f(x) sisältö) on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Lause 3.6. Jos f(x) Z[x] Z on jaoton, niin f(x) on jaoton myös Q[x]:ssä. Todistus. Vastaoletus: f(x) = g(x)h(x), g, h Q[x] Q. Poistetaan nimittäjät: af(x) = g 1 (x)h 1 (x), a Z, g 1, h 1 Z[x] Z.

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri 28 Kirjoitetaan polynomit muotoon (3): abf 1 (x) = c 1 d 1 g 2 (x)h 2 (x) { a, b, c1, d 1 Z, f 1, g 2, h 2 primit. Z[x] Z. Gaussin lemmasta seuraa, että ab = ±c 1 d 1 ja siis f 1 (x) = ±g 2 (x)h 2 (x). Tällöin f(x) = bf 1 (x) = ±bg 2 (x)h 2 (x). Tämä on ristiriita, koska f on jaoton Z[x]:ssä. Huomautus 3.3. Lausetta 3.6 käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos polynomi f(x) Z[x] \ Z hajoaa tuloksi g(x)h(x) yli kunnan Q (tekijät astetta n, m > 0), niin f(x) hajoaa myös yli Z:n tekijöihin ja nämä ovat g(x) ja h(x) kerrottuna vakioilla. Huomautus 3.4. Polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x] lineaariset tekijät Q[x]:ssä löydetään tunnetulla tavalla: jos ( ( x s) r f(x) eli f r s) = 0 (r, s Z), niin s an ja r a 0 (tai r = 0). Polynomin f(x) Z[x] jaottomuus voidaan monissa tärkeissä tapauksissa todistaa seuraavalla kriteerillä. Lause 3.7 (Eisenstein). Polynomi f(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n Z[x] on jaoton Q[x]:ssä, jos on olemassa sellainen alkuluku p, että 1) p a n, 2) p a i (i = 0,..., n 1), 3) p 2 a 0. Todistus. Vastaoletus: f ei ole jaoton Q[x]:ssä. Silloin f ei ole jaoton myöskään Z[x]:ssä (lause 3.6), joten f = gh, { g(x) = b0 + b 1 x + + b r x r Z[x], deg g(x) = r > 0, h(x) = c 0 + c 1 x + + c s x s Z[x], deg h(x) = s > 0. Erityisesti b 0 c 0 = a 0, joka on oletuksen mukaan jaollinen p:llä mutta ei p 2 :lla. Voidaan olettaa, että esimerkiksi p b 0, p c 0 (tarvittaessa vaihdetaan g ja h). Samoin oletuksen mukaan b r c s = a n on jaoton p:llä. Siis p b r, p c s. Olkoon b i polynomin g(x) ensimmäinen p :llä jaoton kerroin, jolloin edellisen mukaan 1 i r < n. Nyt a i = b i c 0 + b i 1 c 1 + + b 0 c i. Redusoidaan mod p : Toisaalta p b i, p c 0 ; ristiriita! 0 b i c 0 + 0 + + 0 (mod p).

3.3 Polynomin derivaatta 29 Esimerkki 3.2.3. Polynomi f(x) = x n p on jaoton p P (n = 1, 2,... ). Täten Q[x] sisältää mielivaltaisen korkeaa positiivista astetta olevia jaottomia polynomeja. Esimerkki 3.2.4. Olkoon f(x) = x 3 4. Kun merkitään y = x 1, saadaan f(x) = (y + 1) 3 4 = y 3 + 3y 2 + 3y 3 merk. = g(y). Tämä on jaoton Q[y]:ssä Eisensteinin kriteerin nojalla (p = 3). Siis myös f(x) on jaoton Q[x]:ssä, sillä f(x):n tekijöihinjaosta seuraisi tekijöihinjako myös g(y):lle. Huomautus 3.5. Lauseet 3.6 ja 3.7 yleistyvät suoraan tapaukseen, jossa Z:n tilalla on UFD D, p:n tilalla D:n jaoton alkio ja Q:n tilalla kokonaisalueen D osamääräkunta K. 3.3 Polynomin derivaatta Määritelmä. Polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] (muodollinen) derivaatta Käytetään myös merkintää f (x) = Df(x). Derivaatta noudattaa sääntöjä f (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1 R[x]. (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg, kuten nähdään määritelmästä suoralla laskulla (tai voidaan päätellä analyysin derivointikaavoista). Määritelmä. Jos f(x) K[x], α K ja (1) f(x) = (x α) m g(x), g(x) K[x], g(α) 0, niin α on polynomin f(x) kertalukua m oleva nollakohta. Tarkastellaan polynomia f(x) K[x], missä K on kunta. Oletetaan, että K F = algebrallisesti suljettu kunta. Silloin f(x) hajoaa F [x]:ssä lineaarisiin tekijöihin: f(x) = c(x α 1 ) m1 (x α r ) mr, missä α 1,..., α r ovat F :n eri alkioita. Kunkin nollakohdan α i kertaluku on m i (i = 1,..., r). Huomaa, että koska F [x] on UFD, nollakohdan kertaluku ei riipu siitä, missä kunnassa sitä tarkastellaan (kunhan nollakohta vain kuuluu kyseiseen kuntaan). Lause 3.8. Olkoon f(x) K[x] ja F kuten yllä. Silloin alkio α F on f(x):n useankertainen nollakohta sjvsk f(α) = f (α) = 0.

3.3 Polynomin derivaatta 30 Todistus. Jos α on useankertainen nollakohta, niin (x α) 2 f(x), siis f(x) = (x α) 2 g(x) (F [x]:ssä). Derivoidaan: f (x) = 2(x α)g(x) + (x α) 2 g (x). Sijoittamalla tähän x = α saadaan f (α) = 0. Kääntäen: Jakoalgoritmi antaa f(x) = (x α) 2 q(x) + r(x), r(x) lineaarinen tai vakio. Oletuksesta f(α) = f (α) = 0 seuraa r(α) = r (α) = 0. Kun merkitään r(x) = ax + b, on siis aα + b = 0 ja a = 0. Näistä seuraa a = b = 0, siis r(x) = 0. Täten (x α) 2 f(x). Seuraus 3.3.1. Alkio α F on polynomin f(x) K[x] useankertainen nollakohta sjvsk syt ( f(x), f (x) ) on jaollinen (x α):lla (polynomirenkaassa F [x]). Siis f(x):n nollakohdat ovat yksinkertaiset sjvsk syt ( f(x), f (x) ) 1. On tärkeää, että syt ( f(x), f (x) ) voidaan määrittää Eukleideen algoritmilla polynomirenkaassa K[x]. Useankertaisten nollakohtien olemassaolo saadaan siis selvitetyksi siirtymättä K:n laajennuskuntiin. Huomaa, että jos syt(f(x), f (x)) 1, niin tämä syt hajoaa lineaarisiin tekijöihin F [x]:ssä. Esimerkki 3.3.1. Tutkitaan, onko polynomilla f(x) = x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 4x 2 + x + 2 useankertaisia nollakohtia kunnassa Q tai C. Hajotetaan f(x) jaottomiin tekijöihin Q[x]:ssä ja C[x]:ssä. Luetellaan nyt polynomin f(x) nollakohdat F jonona α 1,..., α n, jossa jokainen α i esiintyy niin monta kertaa kuin sen kertaluku osoittaa. Seurauslauseen nojalla syt ( f(x), f (x) ) 1 merk. = i<j (α i α j ) 2 = 0. Lukua sanotaan polynomin f(x) diskriminantiksi. Voidaan osoittaa, että K ja saadaan lasketuksi polynomin kertoimista. Esimerkki 3.3.2. Tapauksessa f(x) = x 2 + ax + b = (x α 1 )(x α 2 ) on α 1 + α 2 = a ja α 1 α 2 = b, joten = (α 1 α 2 ) 2 = a 2 4b. Diskriminantti saadaan myös kaavasta = f (α 1 )f (α 2 ). Yleistys: Jos f(x) = (x α 1 ) (x α n ), niin = ±f (α 1 ) f (α n ) (harj.). Lause 3.9 (Taylorin kaava). Olkoon K kunta, jonka karakteristika = 0. Jos f(x) K[x], deg f(x) = n ja α K, niin f(x) = f(α) + f (α) 1! (x α) + f (α) 2! (x α) 2 + + f (n) (α) (x α) n. n!

3.3 Polynomin derivaatta 31 Todistus. Merkitään y = x α, jolloin f(x) = f(y + α) = n a i (y + α) i = i=0 n b i y i = i=0 n b i (x α) i. i=0 Derivoimalla j kertaa saadaan f (j) (x) = n i(i 1) (i j + 1)b i (x α) i j i=j (j = 0,..., n). Sijoitetaan x = α: f (j) (α) = j!b j + 0 + + 0. Koska char(k) = 0, yhtälö voidaan jakaa j!:lla. Tulokseksi saadaan b j = f (j) (α)/j!. Seuraus 3.3.2. Jos char(k) = 0, niin alkio α K on polynomin f(x) K[x] m-kertainen nollakohta sjvsk f(α) = f (α) = = f (m 1) (α) = 0, f (m) (α) 0. Tästä seuraa erikoistapauksena uudestaan lause 3.8 (ehdolla, että char(k) = 0).

4 KUNTALAAJENNUKSET 32 4 KUNTALAAJENNUKSET 4.1 Kuntalaajennuksen aste Oletetaan, että K ja L ovat kuntia, K L, ts. L on kunnan K laajennus(kunta). Tällöin sanotaan, että L on (kunta)laajennus yli K:n, merkitään L/K. Koska K ja L ovat myös renkaita, niin tällöin L (tarkemmin (L, +)) on K-moduli ja siis vektoriavaruus yli kunnan K. Huomaa, että skalaarilla kertominen tarkoittaa tavallista kertolaskua kunnassa L: au = tulo kunnassa L a K, u L. Merkitään tämän vektoriavaruuden dimensiota dim K L:llä. Määritelmä. Kuntalaajennuksen L/K aste [L : K] = dim K L. Kuntalaajennusta sanotaan äärelliseksi tai äärettömäksi sen mukaan, onko sen aste < vai =. Vektoriavaruuksien teoriasta seuraa, että [L : K] = n < L:llä on kanta {u 1,..., u n } K:n yli jokaisella alkiolla u L on yksikäsitteinen esitys n u = a i u i (a i K i). Esimerkki 4.1.1. Näytetään, että [L : K] = 1 L = K. i=1 Esimerkki 4.1.2. (i) [C : R] = 2, kanta esim. {1, i}. (ii) [R : Q] = (muuten Q:n numeroituvuudesta seuraisi R:n numeroituvuus, siis ristiriita). (iii) [Q(i) : Q] = 2. Esimerkki 4.1.3. Jokaisella kunnalla K on laajennuskuntana polynomirenkaan K[x] osamääräkunta { } f(x) K(x) = f(x), g(x) K[x], g(x) nollapolynomi. g(x) Tätä sanotaan rationaalifunktioiden kunnaksi yli K:n. (Tapauksessa K = R kyseessä ovat tavalliset rationaalifunktiot.) Kunta K itse muodostuu niistä rationaalifunktioista, jotka ovat vakioita. Aste [K(x) : K] =, sillä K(x):ssä on mielivaltaisen monen alkion muodostamia lineaarisesti riippumattomia joukkoja, nimittäin {1, x, x 2,..., x n }, n 0.

4.1 Kuntalaajennuksen aste 33 Lause 4.1 (Astelukulause). Olkoon L/K kuntalaajennus ja F K F L. Silloin [L : K] = [L : F ] [F : K] (jos aste =, se tulkitaan kaavassa luonnollisella tavalla). sen välikunta, ts. Todistus. 1) Olkoon [L : K] = n <, {u 1,..., u n } L:n kanta K:n yli. Koska F on vektoriavaruutena L:n aliavaruus, niin dim K F dim K L eli [F : K] n. Siis [F : K] <. Tarkastellaan L:n alkion u kantaesitystä u = n a i u i, a i K i. i=1 Koska K F, niin a i F i. Täten {u 1,..., u n } generoi vektoriavaruuden L myös F :n yli. Siis [L : F ] n, erityisesti [L : F ] <. L 2) Oletetaan, että [L : F ] = m < ja [F : K] = r <. Olkoon F m K ja näin ollen joukko r {v 1,..., v m } L:n kanta yli F :n, {w 1,..., w r } F :n kanta yli K:n. Jos u L, niin u = m i=1 b iv i, b i F i. Kirjoitetaan b i = r j=1 c ijw j, c ij K i, j. Tämä antaa u = m i=1 r c ij v i w j, j=1 (1) { v i w j 1 i m, 1 j r } generoi L:n yli K:n. 3) Osoitetaan, että (1) on lineaarisesti riippumaton yli K:n; silloin se on L:n kanta ja siis [L : K] = mr. Päättely on seuraava: d ij v i w j = 0 (d ij K) = ( d ij w j )v i = 0 i,j i j = j d ij w j = 0 i (koska v i :t lin. riippumattomia) = d ij = 0 i, j (koska w j :t lin. riippumattomia). Seuraus 4.1.1. Jos [L : K] on alkuluku, niin laajennuksella L/K ei ole aitoja välikuntia, ts. K F L = F = K tai F = L.

4.2 Yksinkertainen laajennus 34 4.2 Yksinkertainen laajennus Palauta mieleen laajennuskunnan generointi: jos L/K on kuntalaajennus ja S L, niin K(S) = joukon S generoima K:n laajennuskunta L:ssä. Sanotaan myös, että K(S) saadaan liittämällä (adjungoimalla) kuntaan K joukon S alkiot. Yksinkertaisia esimerkkejä tapauksessa L = R: L Q( 2) = { a + b 2 a, b Q }, Q( 3 2) = { a + b 3 2 + c 3 4 a, b, c Q } (jälkimmäinen perustellaan myöhemmin). K(S) Verrattaessa kunnan K laajennuksia käytetään usein seuraavaa triviaalia tosiasiaa: K(S 1 ) K(S 2 ) S 1 K(S 2 ). Täten esimerkiksi K(α, β) = K(γ), kunhan vain α, β K(γ) ja γ K(α, β). Määritelmä. Kunnan K laajennusta F L sanotaan yksinkertaiseksi, jos ρ L : F = K(ρ). Ilmeisesti K(ρ, τ) = (K(ρ))(τ), ja vastaava pätee yleisesti, kun joukko S vain on äärellinen. Äärellisesti generoitu kuntalaajennus voidaan siis muodostaa peräkkäisistä yksinkertaisista laajennuksista. Seuraavassa tutkitaan, mitkä alkiot (L:ssä) muodostavat yksinkertaisen laajennuksen K(ρ). Lemma 4.1. Olkoon L/K kuntalaajennus ja ρ L. Kunnan L osajoukko on L:n alirengas ja siis kokonaisalue. Todistus. Suoraan alirengaskriteeristä. K[ρ] = { f(ρ) f(x) K[x] } Huomautus 4.1. Lemma 4.1 pätee myös, jos K:n tilalla on mikä tahansa (kommutatiivinen) rengas R ( L). Esimerkki 4.2.1. Näytetään, että Z[ n ] = { a + b n a, b Z } (n neliövapaa). Tätä joukkoahan on merkitty Z[ n ]:llä aikaisemminkin. Esimerkki 4.2.2. Rengas Q[ n ] = { a + b n a, b Q } (n neliövapaa). Perustelu aivan samoin kuin esimerkissä 4.2.1. Tässä siis Q( n) = Q[ n ]. Tämä on erikoistapaus tuloksesta, joka on alla lauseessa 4.2. S K