KVANTTIFYSIIKAN HISTORIAA (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö (ennustaa antihiukkaset) 1932: positroni löydetään 1949: Quantum Electrodynamics (QED) 1963-5: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1964: Higgsin mekanismi 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus (Gross, Politzer, Wilczek) 1971-1976: supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria, supergravitaatio 1
OPERAATTORIFORMALISMI Heisenbergin matriisimekaniikasta juontuva moderni formalismi Idea: systeemin -laa kuvaa täydellises- -e3yjen kvan5lukujen kokoelma. Mitkä nämä ovat, riippuu systeemistä (eli Hamiltonin operaa3orista). Esimerkiksi hiukkaselle laa-kossa rii3ää n, vetyatomille tarvitaan n, l ja m. Tilavektoria merkitään seuraavas-: tänne kaikki -laa kuvaavat kvan5luvut Esimerkki: vetyatomi! = nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l Vetyatomilla ei ole muuta iden-tee5ä kuin nämä kvan5luvut! 2
Ei käsitellä ensisijaises- aaltofunk-ota, vaan -lavektoria. Systeemin kaikkien mahdollisten -lojen muodostama vektoriavaruus on nimeltään Hilber)n avaruus. Se on ääretönulo3einen euklidinen vektoriavaruus. Aaltofunk-ota voi ajatella vektorina avaruudessa, jonka kannan muodostavat Hamiltonin operaa3orin ominais-lat. " a 1 % $ ' a!(x,t) =! a n! n (x,t) = $ 2 ' $ a n 3 ' $ ' #... &! 1 $ # & 0! 1 (x,t) = # & # 0 & # & "...%! 0 $ # & 1,! 2 (x,t) = # & # 0 & # & "...%, jne. 3
Aaltofunk-ot ortonormaalisia -lat ortogonaalisia * dx n( x) ψ m( x) ψ = δ nm n m = δ nm Aaltofunk-ota vastaa ket- vektori m pistetulo, vrt. X! Y Aaltofunk-on kompleksikonjugaa5a vastaa bra- vektori Niiden pistetulo on (huomatkaa huumori: bra- ket): n n m Yleises- ψ ϕ = dxψ *( x) ϕ( x) 4
ψ 2 3,... superposi-o! " n=1! = c n n 1 bra- vektorin kertoimet ovat kompleksikonju- gaa3eja:! " n=1! = c * n n Todennäköisyysamplitudi löytää -la m -lasta ψ: m! =! c n m n! = c m " mn P(m) = c m 2 Aaltofunk-on romahtaminen -lan romahtaminen mi3auksessa ψ = c n n n 5
Operaa3orit kuten liikemääräoperaa3ori tai Hamiltonin operaa3ori muu3avat nyt vektoreita toisiksi. Vrt. matriisit ja vektorit: ˆMx n =! n x n operaa3oreita merkitään hatulla ominaisarvoa vastaava ominaisvektori operaa3ori ominaisarvo Vastaavas- operaa3orin operoidessa funk-oon! a 1 $!"(x) jos! on ominaisfunk-o # & ˆM!(x,t) = ˆM # a 2 & # a 3 & # & "... % kääntyy funk-oiden avaruudessa joksikin ääretönulo3einen matriisi toiseksi funk-oksi, jos! ei ole ominaisfunk-o 6
NOTAATIO: ˆM operaa3ori! n operaa3orin ominaisarvo numero n n ominaisarvoa λ n vastaava ominais-la Operaa3ori operoi -laan: ˆM! 7
Esimerkkejä operaa3oreista aaltofunk-oiden tapauksessa: Paikkaoperaa3ori kertoo aaltofunk-on paikkakoordinaa-lla: ˆx!(x,t) = x!(x,t) Impulssioperaa3ori derivoi aaltofunk-on: ˆp!(x,t) =!i! "! "x (x,t) Hamiltonin operaa3ori derivoi kahdes- ja kertoo poten-aalilla: # Ĥ!(x,t) = %!!2 $ 2m " 2 "x +V(x) & (!(x,t) 2 ' Kaikki aaltofunk-ot ovat paikan ominaisfunk-oita. Vain tasoaallot e ikx ovat impulssin ominaisfunk-oita. Vain sta-onaariset -lat ovat Hamiltonin operaa3orin ominaisfunk-oita. 8
OperaaDoreita operoimassa ominaiseloihinsa: Ĥ n = E n n operaa3orin ominaisarvo Hamiltonin operaa3ori ˆx x = x x operaa3orin paikka- ominaisarvo operaa3ori operaa3orin ominais-la paikkaoperaa3orin ominais-la ˆp p = p p Huom: ˆp x!/ x 9
Schrödingerin yhtälö kuvaa sitä, miten systeemi vaeltaa vektoriavaruudessa: i!!!t!(t) = Ĥ!(t) Sta-onaaristen -lojen tapauksessa saadaan (tässä n kuvaa kaikkia kvan5lukuja) Ĥ n = E n n Schrödingerin yhtälö muu3uu osi3aisdifferen-aaliyhtälöstä lineaarialgebran yhtälöksi. 10
Operaa3orin odotusarvo -lassa ψ Â =! Â! ( bracket ) Hamiltonin operaa3orin odotusarvo ominais-lassaan: Ĥ =! n Ĥ! n! n Ĥ n = n E n n = E n n n = E n 11
Operaa3oreiden järjestys tärkeä: (matriisikertolasku ei kommutoi) Kommutaa5ori on keskeinen käsite: Â ˆB! ˆBÂ [Â, ˆB]! Â ˆB " ˆBÂ Esimerkki: [ ˆx, ˆp]! =!xi! " "x! # %!i! " $ "x (x!) & ( = i!! ' [ ˆx, ˆp] = i! Suureilla, joita kuvaavat operaa3orit eivät kommutoi, ei voi olla samanaikaisesmäärä3yä arvoa: Heisenbergin epämääräisyysperiaate seuraa ylläolevasta yhtälöstä. (Emme osoita sitä tässä!)!x!p "! 2 12
Tahdon aaltofunkeon takaisin! x! =!(x) Tilan ψ projek-o paikkaoperaa3orin ominais-laan kertoo, mikä todennäköisyys on löytää hiukkanen paikasta x, kun -la on ψ. p! =!(p) Vastaavas- voidaan määritellä aaltofunk-o liikemäärälle, joka kertoo liikemäärän todennäköisyysjakauman. (Ei mennä tähän tarkemmin!) 13
OperaaDoriformalismi miksi piitata? Notaa-o on kompak-mpi: * dxψ ( x) ψ n m ( x) n m Kvan5mekaniikan sääntöjen merkitys on läpinäkyvämpi (superposi-o, ortonormitus, operaa3orien ei- kommuta-ivisuus). Tila on yleisempi käsite kuin aaltofunk-o (joka on paikka- avaruuden todennäköisyysamplitudi, eli vain yksi mahdollinen amplitudi muiden joukossa). Tilalla voi kuvata abstrak-mpia asioita kuin aaltofunk-olla Esimerkiksi: tyhjö on myös -la: hiukkasen spin: 0 s, s z 14
Esimerkki kvanjluvuista: vetyatomi Vetyatomia kuvaa kolme kvan5lukua.! = nlm Ĥ nlm = E n nlm =!! 2 mc 2 2n 2 nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l n kertoo energian ˆL 2 nlm =! 2 l(l +1) nlm ˆL z nlm =!m nlm l kertoo pyörimismäärän L itseisarvon m kertoo pyörimismäärän L z- komponen-n Energia ei riipu kvan5luvuista l ja m: energia on degeneroitunut. 15
SPIN Spin on hiukkasten puhtaas- kvan5mekaaninen ominaisuus, jolla ei ole vas-ne3a klassisessa fysiikassa. Matemaa5silta ominaisuuksiltaan spin muistu3aa pyörimisliikemäärää, joten sitä voi kuvailla hiukkasen sisäiseksi pyörimiseksi. Sähköises- varatun hiukkasen spin vuorovaiku3aa magnee5kentän kanssa kuten hiukkasen pyörimisliike, joten voi sanailla hiukkasen olevan pieni magnee5. Spiniä kuvaa vektori S, jonka pituus ja z- komponen5 voidaan -etää (vrt. kulmaliikemäärä) Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z
Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z vrt. ˆL 2 lm =! 2 l(l +1) lm ˆL z lm =!m lm Kulmaliikemäärän tapauksessa l ja m ovat kokonaislukuja, jotka riippuvat systeemin pyörimis-lasta. Spin- vektorin pituus (eli kvan5luku s) riippuu vain hiukkastyypistä, ja se on kokonaisluku tai puoliluku. Esimerkiksi elektronille s=1/2, fotonille s=1, Higgsin bosonille s=0. Kuten m, s z muu3uu yhden yksiköissä välillä [- s,s]. Elektronille s = 1 2 ; s z = ± 1 2 elektronin spin on ½ 17
Elektronin spin- Ela s, s z = 1 2,± 1 2! 1 2,± s, s z s, s' z =! sz s' z Ŝ 2 s, s z =! 2 s(s +1) s, s z = 3 4!2 1 2,± kokonaisspin Ŝ z s, s z =!s z s, s z = ± 1 2! 1 2,± spinin z- komponen5 18
Kun -edetään, e3ä puhutaan elektroneista, voidaan -lassa jä3ää merkitsemä3ä kokonaisspin usein kirjoitetaan spin ylöspäin s, s z! s z " ± esimerkki: eräs mahdollinen spin- -la on spin alaspäin normitus! = N( + +! ) 1= s s = N 2 ( + +! )( + +! ) " % = N 2 + + $! +! + +! + +! ' # & 1 0 0 1 ( N = 1 2 19
spinin z- komponenj Ŝ z s = 1 2 Ŝ z ( + +! ) =! ( 2 2 +!! ) spinin z- komponenen odotusarvo s Ŝz s = 1 ( 2 + +! )Ŝz ( + +! ) =! ( 4 + +!!! ) = 0 Vaikka kyseessä on spin- 1/2 hiukkanen, spinin odotusarvo on 0. Spinin -la on superposi-ossa epämääräinen. Mi3auksessa havaitaan, e3ä spin on joko ylös tai alas -la romahtaa 20
Vetyatomin tarkassa kuvailussa on huomioitava elektronin (ja y-men) spin:! = nlms z Ĥ 0 = ˆp 2 2m! e2 1 4"# 0 ˆr " Ĥ0 + e 2 1 8"# 0 m 2 c 2 ˆr 3 kokonaiskulmaliikemäärä on J = L + S ˆL# Ŝ $ Ĥ0 + Ĥspin Ĥ! = E nl nlms z energian degeneraa-o häviää osin Kun huomioidaan vielä y-men magnee5ken3ä ja spin: Ĥ 0! Ĥ0 + Ĥspin + Ĥ B Ĥ! = E nlmsz nlms z energian degeneraa-o häviää täysin 21
E nlmsz! E n'l'm's'z = h! spektriviivojen aallonpituudet Esimerkiksi vedyn perus-lan spin- flip, missä elektronin ja protonin spinit muu3uvat vastakkaisista samansuuntaisiksi:!e = 5.9µeV "!=21cm Vetyatomin spektri johda5 kvan5mekaniikkaan. Nykyään sen energiatasoja osataan laskea ja fotonien aallonpituu3a mitata eri3äin tarkas-, ja tulokset vastaavat toisiaan. Vetyatomi on fysiikan menestystarina. 22
Huom.: spin ja avaruudelliset kvan5luvut elävät omissa vektoriavaruuksissaan ss z voimme kirjoi3aa nlm ψ = nlmss nlm z ss z = nlm ss z Spin- operaa3ori operoi vain spin- avaruudessa: Ŝ z! = tämä tarkoi3aa suoraa tuloa Ŝz nlms ± = Ŝz nlm s ±! Ŝz nlm ± = nlm Ŝz ± = ±! 2 nlm ± 23
MonihiukkasElat Monihiukkas-la voidaan kuvata yksihiukkas-lojen suorana tulona: ψ 1! =! 1! 2!! 1! 2 ψ 2 bra- vektoria merkitään vastaavas-:! =! 1! 2!! 1! 2 24
Esimerkiksi kahden spin- 1/2 hiukkasen muodostama spin- 0- -la: 0, 0 = s 1 s 1z ;s 2 s 2z! 1 2 ±; 1 2!! ±;! Yleinen tällainen -la on muotoa a +! + b! + 1 2 1 2 spinien z- komponen5en summa on nolla Normitus: 1 = 0,0 0,0 = ( a* + + b* + )( a + + b + ) = a 2 + + + b 2 + + = a 2 + b 2 25
Esimerkki: 0 π e + e Pioni hajoaa elektroni- positronipariksi. Pionin spin on 0, ja spinin z- komponen5 säilyy, joten loppu-lan kokonaisspin on myös 0. Elektroni ja positroni ovat symmetrisessä asemassa, joten kummallakin on sama 50% todennäköisyys osoi3aa ylös tai alas:! = 1 ( 2 e+ + e!! + e +! e! + ) " 1 ( 2 +! +! + ) spin ylös spin alas spin alas spin ylös elektroni ja positroni ovat epämääräisissä spin- -loissa Jos elektronin spin on alas, niin positronin spin on ylös, ja päinvastoin. Sanotaan, e3ä -lat ovat lomi5uneet (entangled). Lomi3unu3a -laa ei voida kirjoi3aa yksihiukkas-lojen suorana tulona. 26
Spin- staeseikka- teoreema Hiukkasilla ei ole muuta iden-tee5ä kuin niiden kvan5luvut. Niinpä monihiukkas-lassa havaintosuureiden pitää pysyä samana, kun vaihdetaan kaksi samat kvan5luvut omaavaa hiukkasta. Tila voi sil- muu3ua, koska havaintosuureet eivät riipu -lan vaiheesta. Tarkastellaan esimerkiksi heliumatomia (Z=2) ja jätetään elektronien keskinäiset vuorovaikutukset sikseen. Tila on silloin! = n 1 l 1 m 1 s z1 n 2 l 2 m 2 s z2! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 Pitää siis olla n 2 l 2 m 2 s z2 ;n 1 l 1 m 1 s z1 = e i! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 Vakio α on reaalinen. 27
n 2 l 2 m 2 ;n 1 l 1 m 1 = e i! n 1 l 1 m 1 ;n 2 l 2 m 2 Kvan5ken3äteoriassa voidaan osoi3aa, e3ä 1) Ainoastaan arvot ovat mahdollisia. 2) Merkin ja spinin s välillä on yhteys (spin- sta)s)ikka- teoreema)*: Toisin sanoen: e i! = ±1 Jos hiukkasen spin on kokonaisluku, -la on symmetrinen (+merkki). Jos hiukkasen spin on puoliluku, -la on an-symmetrinen (- merkki). Hiukkasia, joiden spin on kokonaisluku, sanotaan bosoneiksi, ja hiukkasia joiden spin on puoliluku, sanotaan fermioneiksi.! = i2"s (*Mielenkiintoinen yksityiskohta: Teoreema pätee vain kun avaruuden ulo3uvuuksia on kolme tai enemmän. Kaksiulo3eisissa systeemeissä on olemassa anyoneja, joille α voi olla mikä tahansa reaaliluku.) 28
Paulin kieltosääntö Spin- sta-s-ikkateoreemasta seuraava Paulin kieltosääntö sanoo, e3ä kaksi saman lajin fermionia (elektroni, positroni, myoni, protoni,...) ei voi olla samassa -lassa (eli omata samoja kvan5lukuja). Esimerkiksi heliumatomin (Z=2) perus-lassa molemmilla elektroneilla on n=1, l=0 ja m=0, mu3a s z on erilainen. Mu3a jo li-umin (Z=3) tapauksessa alimmalle energiatasolle ei enää mahdu elektroneja, joten perus-lassa yhden elektronin on pakko olla -lassa n=2. Alkuaineiden elektronikuorten rakenne (ja siten erilainen käy3äytyminen) seuraa Paulin kieltosäännöstä. Kemia pohjaa kvanjkendäteoriaan! 29
Tilan epämääräisyys: Schrödingerin jänis Suljetaan jänis laa-kkoon (koe toimii myös kissalla, jos se on hiljainen). Laa-kossa on mukana kapseli, joka rikkoutuu - tai si3en ei- radioak-ivisen hajoamisen takia. Kapselissa on myrkkykaasua. Meitä ei kiinnosta jäniksessä muu kuin henki. Kvan5systeemissä on siten kaksi -laa elävä jänis! 1 ja kuollut jänis! 2 Tila on laa-kon sulkemisen jälkeen superposi-ossa!! a 1 (t) 1 + a 2 (t) 2 Kun laa-kko avataan, jänis on joko elävä tai kuollut: a 1 (t) 2 + a 2 (t) 2 =1 30
Kvan5mekaniikan formalismin mukaan: Annetaan Hamiltonin operaa3ori, joka kuvaa kapselin hajoamista (ja muita jäniksen kuolemaan mahdollisesjohtavia tekijöitä). Sijoitetaan Schödingerin yhtälöön ja ratkaistaan yhtälö sillä alkuehdolla, e3ä a 1 (t 0 )=1 ja a 2 (t 0 )=0. Saadaan kertoimet a 1 (t) ja a 2 (t). Matemaa5ses- selkeää, mu3a tapahtuuko näin oikeas-? Ensinnäkin: onko pupu todella sekaisin? (Onko kyse todella epämääräisyydestä eikä epä-etoisuudesta?) Toisekseen: miksei tällaista superposi-o-laa nähdä makroskooppisessa maailmassa (toisin kuin elektronien tapauksessa)? 31
Tilojen lomiduminen (entanglement) Kysymys yksi: onko pupu sekaisin? Epämääräisyys ja epä-etoisuus voidaan ero3aa toisistaan kokeellisestarkastelemalla lomi3uneita -loja. Kvan5mekaaninen -la on kokonaisuus, joka kuvaa koko systeemiä. Jos joidenkin suureiden (kuten kahden hiukkasen spinin) arvot riippuvat toisistaan, niin yhden mi3aaminen muu3aa samalla toistakin... olivatpa hiukkaset missä vain. 32
spin ylös Pioni hajoaa spin ylös e + π 0 e - spin alas spin alas Jos mitataan elektronin spin, määräytyy positroninkin spin. Tila on korreloitunut raja3oman pitkien matkojen yli, ja romahdus muu3aa sen väli3ömäs- kaikkialla. (Kaukovaikutus, ac)on at a distance.) Mistä positroni -etää, e3ä elektronin spin on mita3u, jos se on matkannut jo kauas pois? Väli3yykö informaa-ota valoa nopeammin? (Einstein- Podolsky- Rosen- paradoksi.) 33
EPR- paradoksin ratkaisu: -lan romahdus ei välitä informaa-ota. Kun elektronin spin on mita3u olevan ylös, positronin spinin mi3aaja tulee saamaan tuloksen alas 100% todennäköisyydellä. Mu3a hän ei -edä sitä ellei elektronin mitannut kerro! Kvan5mekaniikka ei ole lokaali teoria! (Lokaali teoria: vuorovaikutukset paikallisia, muutokset etenevät valon nopeudella.) Kvan5mekaniikka on kausaalinen teoria. (Informaa-ota ei voi väli3ää ajassa taaksepäin, syy ei voi olla seurauksen jälkeen.) (Mus-en aukkojen informaa-oparadoksi lii3yy -lojen lomi3umiseen: jos osa systeemistä putoaa mustaan aukkoon, sen informaa-o menetetään lopullises-, mu3a loppusysteemi on yhä korreloitunut tuon menetetyn informaa-on kanssa. Ei mennä tähän tarkemmin!) 34
Einstein: spooky ac)on at a distance (hämyä kaukovaikutusta). Ehkä kvan5mekaniikka on väärin, ja elektronin/positronin spin määräytyy pionin hajoamishetkellä? Piilomuu3ujateorioiden idea: kvan5mekaniikan taustalla on determinis-nen ja lokaali teoria. Teorian todelliset muu3ujat ovat meille (toistaiseksi?) tuntema3omat, mu3a niiden liikeyhtälöiden approksimaa-ona saadaan Schrödingerin yhtälö. Kvan5mekaniikka on vain approksimaa-o ja kaukovaikutus, epämääräisyys, epädeterminismi ovat vain näennäisiä. Todennäköisyyskuvaus johtuu -etämä3ömyydestä. Yllä3ävää kyllä, tätä ideaa voidaan kokeellises- testata: Minkä tahansa determinis-sen ja lokaalin teorian korrelaa-ot ovat erilaisia kuin epädeterminis-sen ja epälokaalin kvan5mekaniikan. 35
Jos elektronilta ja positronilta mitataan molemmilta z- komponen5, niin ei voi päätellä onko -la määrä3y vai ei. Yleisempää -lanne3a tarkastelemalla asiaan saadaan valaistusta. Mitä käy jos elektronilta mitataan ensin spinin z- komponen5, ja si3en positronilta x- komponen5? (Spinhän voidaan mitata missä suunnassa tahansa.) Kvan5mekaniikan mukaan positronin z- komponen5 on määrä3y, joten x- komponen5 on epämääräinen. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.) Piilomuu3ujateoriassa kaikilla komponenteilla on koko ajan määrä3y arvo. Koska alku-lan spin on 0, elektronin ja positronin spinit ovat aina vastakkaiset. Mi3auksen jälkeen -edetään elektronin spinin z- komponen5 ja x- komponen5 yhtä aikaa. 36
Mitataan spin suunnissa a, b ja c ja lasketaan eri tapaukset: tapausten lukumäärä elektroni positroni N 1 a+, b+, c+ a-, b-, c- N 2 a+, b+, c- a-, b-, c+ N 3 a+, b-, c+ a-, b+, c- N 4 a+, b-, c- a-, b+, c+ N 5 a-, b+, c+ a+, b-, c- N 6 a-, b+, c- a+, b-, c+ N 7 a-, b-, c+ a+, b+, c- N 8 a-, b-, c- a+, b+ c+ Mi3austen kokonaislukumäärä on N=Σ i N i, joten tapauksen i todennäköisyys on P i =N i /N. elektroni Voimme kirjoi3aa epäyhtälön (N i 0) N 3 + N!" # $#! N + N 4 2 4!# " $# + N + N 3 7!# " $# NP(a+,b+) ( ) NP(a+,c+) ( ) NP(c+,b+) " P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Bellin epäyhtälö (1964) positroni 37
Mille tahansa lokaalille piilomuu3ujateorialle siis pätee P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Tällä välin kvan5mekaniikassa: Jos on mita3u suunnassa a elektronin spiniksi +, niin positronin spin on -lassa "! a = cos! ab $ # 2 % " '! & b + sin! ab $ # 2 % ' + & b missä θ ab on suun-en a ja b välinen kulma. todennäköisyys saada a+ Todennäköisyys P(a+,b+) on siis ½ * sin 2 (1/2 θ ab ). Sama ju3u todennäköisyyksille P(a+,c+) ja P(c+,b+). Saadaan siis:! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % 38
! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % Tämä epäyhtälö ei päde kaikille kulmille. Valitaan vaikkapa θ ac =θ cb =θ ja θ ab =2θ. Saadaan epäyhtälöksi! cos 2! $? # & " 2 % ' 1 2 0!!! " 2 Tämä epäyhtälö rikkoutuu kaikilla kulman arvoilla. Teoree5ses- siis kvan5mekaniikka rikkoo Bellin epäyhtälöä. Syynä on se, e3ä eri mahdollisuuksien todennäköisyydet eivät ole addi-ivisia: -lavektorit lasketaan yhteen, ja todennäköisyydessä esiintyy interferenssitermi. 39
Kokeellinen testaus (1982): fotonien polarisaa-oiden korrelaa-ot rikkovat Bellin epäyhtälöä ja ovat sopusoinnussa kvan5mekaniikan kanssa. (Useita muita kokeita sen jälkeen.) lokaalit piilomuu3ujateoriat eivät kuvaa todellisuu3a Kvan5mekaniikan todennäköisyydessä on kyse epämääräisyydestä, ei epä-etoisuudesta. Empiiristä filosofiaa: maailman -la ei ole määrä3y. Ei voida sanoa, e3ä joko väite tai sen ris-riita on tosi. (Kissa ei ole joko kuollut tai elävä.) (Ei voida sulkea pois mahdollisuu3a, e3ä todellinen teoria on kuitenkin determinis-nen, mu3a silloin sen pitää olla ei- lokaali tai muuten kummallinen. Yritykset tällaisiksi teorioiksi eivät ole olleet kovin onnistuneita.) 40
Takaisin romahdukseen Pupu siis voi olla sekaisin. Miksei tätä nähdä? Miksi makroskooppisessa maailmassa asioilla näyttää olevan määrätty tila? Miten se määräytyy? Kööpenhaminan tulkinta: tila romahtaa mitattaessa. Ongelmia: Onko mittaajaa erikoisasemassa? Kuka kelpaa mittaajaksi? Kuka mittaa mittaajia? (Tulkinta olettaa klassisen kuvauksen mittaajasta!) Kosmologia: eikö maailmankaikkeuden tila ole määrätty ennen kuin joku kehittyy sitä mittaamaan? (Inflaation kvanttifluktuaatiot) 41
Dekoherenssi Osan pupuongelmaa ratkaisee dekoherenssi. Systeemi on dekoherentti, kun siinä ei esiinny interferenssiä eri mitattavien tilojen välillä. Vuorovaikutus ulkomaailman kanssa lomittaa systeemin ja maailman: Esimerkiksi elävä pupu hengittää, joten laatikosta tulee hiilidioksidimolekyylejä. (Yksinkertaisempi esimerkki: isolla molekyylillä on monta mahdollista viritystilaa, ja joku niistä voi emittoida fotonin kaksoisrakokokeen aikana.) Vuorovaikutus kytkee systeemin ja ulkomaailman yhdeksi kokonaisuudeksi, siten että molempien tila määräytyy samalla kertaa. Jäniksen tila siis näyttää aina määrätyltä! Mutta... dekoherenssi ei kerro miten koko systeemin tila määräytyy (romahdus) eikä sitä mikä vaihtoehdoista nähdään (epädeterminismi). 42
KvanJmekaniikka summa summarum Kvanttimekaniikka on lineaarinen, epädeterministinen teoria, joka kuvaa N:n hiukkasen systeemiä. Systeemin tilaa kuvaa tilavektori tai aaltofunktio Ψ, jonka aikakehityksen kertoo Schrödingerin yhtälö. i!!" % ( = H" = '#!2!t 2m $2 +V(x) *" & ) Ψ on todennäköisyysamplitudi: Ψ 2 on todennäköisyystiheys. Planckin vakion h määrää kvanttiefektien merkityksen: klassinen fysiikka vastaa rajaa h 0. Aaltohiukkasdualismi: vapaan hiukkasen ratkaisu on aalto, ja toisaalta energia (ja tietyt muut suureet) ovat kvantittuneita. E =!! p =!k 43
Schrödingerin yhtälö on lineaarinen, eli ratkaisujen summa on ratkaisu: superpositioperiaate. Superpositiotilassa kaikilla havaintosuureilla ei ole määrättyä arvoa. (Bellin epäyhtälö.) Havaintosuureiden arvo määräytyy vasta mitattaessa. Joidenkin suureiden arvot eivät voi olla samanaikaisesti mielivaltaisen tarkasti määrättyjä: Heisenbergin epämääräisyysperiaate.!x!p "! 2 Mittauksessa aaltofunktio romahtaa johonkin tilaan. Tämä prosessi on epädeterministinen eikä sillä ole mitään matemaattista kuvailua. Kööpenhaminan tulkinta: mittauksen tekeminen romahduttaa tilan. Moderni näkemys: vuorovaikutus ympäristön kanssa (dekoherenssi) plus jäljelle jäävä epädeterminismin kummallisuus... Hiukkanen laatikossa: hiukkasen rajoittaminen äärelliselle alueelle johtaa energian kvantittumiseen (vrt. hyppynarun taajuudet). Realistinen esimerkki: vetyatomi. Voidaan johtaa Bohrin atomimallin energiaspektri lähtien Schrödingerin yhtälöstä. 44