AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4 Aaltopakettien vaihe- ja ryhmänopeudet... 116 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa... 119
Aineaaltodynamiikka 105 Aineaaltodynamiikka 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Toistaiseksi olemme tarkastelleet aineaaltokentän stationäärisiä tiloja. ψ x on ajasta Näiden tilojen aaltofunktioiden paikasta riippuva osa ( ) riippumattoman Schrödingerin yhtälön.3 ratkaisu. Stationäärisissä tiloissa todennäköisyystiheys ja fysikaalisten suureiden mitattavissa olevat arvot ovat ajasta riippumattomia. Toisaalta tiedämme, että mikrosysteemeissä, kuten atomeissa tai molekyyleissä esiintyy aikariippuvia ilmiöitä, kuten pulssimuotoista valon absorptiota ja emissiota, molekyylit voivat hajota ja johtaa sähköä jne. Näiden mikromaailman ilmiöiden, joita yleisesti kutsumme dynaamisiksi ilmiöiksi, kuvaamiseksi tarvitaan aikariippuvaa aineaaltokenttää kuvaava kenttäyhtälö. Aineaaltodynamiikan perusolettamuksen (hypoteesin) mukaan tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa Ψ Ψ + E ( ) p x Ψ = i, (3.1) m x t missä aineaaltokenttä ( xt, ) Ψ on sekä paikan että ajan funktio. Kvanttimekaniikka on Newtonin mekaniikkaa yleisempi fysikaalinen teoria, joka sisältää Newtonin mekaniikan erikoistapauksena. Siksi aikariippuvaa Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen fysiikan kenttäyhtälöistä. Sille voidaan kuitenkin esittää järkeviä perusteluja, jos klassisten kenttäyhtälöiden ohella otamme huomioon de Broglie aallonpituuden. Tarkastelemme myöhemmin erästä Schrödingerin yhtälön perustelua esimerkissä 3.1. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaanisen teorian perusolettamus ja samassa asemassa kuin esimerkiksi Maxwellin yhtälöt klassisessa sähkömagnetismissa. Schrödingerin yhtälö 3.1 muodostavaa siis teorian perusolettamuksen ja vasta vertaamalla teorian antamia ennusteita kokeellisten tulosten kanssa voidaan arvioida, kuinka tarkoin Schrödingerin yhtälö kuvaa alkeishiukkasia ja niistä muodostuvia
106 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö mikroskooppisia systeemejä. Kokeelliset havainnot ovat vahvistaneet yhtälön 3.1 oikeaksi erittäin suurella tarkkuudella. Esimerkki 3.1. Seuraavassa pyrimme osoittamaan yhteyden sähkömagneettisen kentän aaltoyhtälön ja Schrödingerin aikariippuvan yhtälön välillä. Tavoitteena ei ole johtaa Schrödingerin yhtälöä, vaan osoittaa se älykkääksi arvaukseksi Planckin fotonihypoteesin avulla. Kirjoitamme aluksi sähkömagneettisen kentän aaltoyhtälön (tyhjössä) muodossa ψ 1 ψ =, (3.) x c t missä c on valon vaihenopeus eli valon nopeus ja ψ jokin sähkö- tai magneettikentän vektorikomponentti. Sähkömagneettisen kentän aaltoyhtälön 3. ohella käytämme fotonin energian ja kulmataajuuden yhteyttä (Planckin fotonihypoteesi) E = ω = cp. (3.3) Fotonin liikemäärä ja aallonpituus toteuttavat yhtälön p = E/ c = h λ. (3.4) Aineaalloille on vastaavasti voimassa yhtälöt 1.4 ja 1.43, joista seuraa E = ω ja p = h λ. Tarkastelemme seuraavassa liikettä yhdessä ulottuvuudessa, joten voimme pitää liikemäärää ja aaltovektoria skalaarisuureina. Tiedämme, että eräs yhtälön 3. eräs ratkaisu on tasoaalto ψ ( ) i kx ωt ( xt, ) = Ae, (3.5) missä fotonin aaltovektori k toteuttaa yhtälön ω = ck. Jos derivoimme klassisen aaltoyhtälön ratkaisun 3.5 ajan suhteen se tulee kerrotuksi vakiotekijällä iω Voimme siis kirjoittaa ψ i = ωψ = Eψ = cpψ. (3.6) t Vastaavasti, jos derivoimme ratkaisun 3.5 paikkakoordinaatin suhteen, saamme
Aineaaltodynamiikka 107 ψ i = kψ = pψ. (3.7) x Yhtälöt 3.6 ja 3.7 ovat muotoa ( differentiaalioperaattori) ψ ( vakio) = ψ, eli ominaisarvoyhtälöitä. Oikealla puolella esiintyvä vakio on ominaisarvo ja ψ on tätä ominaisarvoa vastaava ominaisfunktio. Yhtälön 3.6perusteella voidaan ajatella, että energiaan liittyy differentiaalioperaattori Eop = i (3.8) t ja vastaavasti yhtälön 3.7 perusteella liikemäärään pop = i (3.9) x Yhdistämällä 3.6 ja, 3.7 voimme kirjoittaa E ψ = Eψ = cp ψ. (3.10) op op Neliöimällä operaattorit saamme ( Eop ) ψ ( cpop ) 3.8 ja 3.9 saamme jälleen SM-aaltoyhtälön 3.. = ψ ja sijoittamalla tähän Oletamme nyt, että energiaan ja liikemäärään liittyvät operaattorit 3.8 ja 3.9 ovat universaaleja ja pätevät siis myös aineaalloille. Yhtälön 3.10 vasemmalla puolella korvasimme energian operaattorilla 3.8, kun taas oikealla puolella sijoitimme SM-kentän energian lausekkeeseen liikemääräoperaattorin 3.9. Energian ja liikemäärän suhde ei kuitenkaan ole enää E = cp, vaan klassisen mekaniikan mukaan kokonaisenergia on liike-energian ja potentiaalienergian summa: p E Ep x t m = + (, ). (3.11) Kirjoitamme seuraavaksi yhtälön 3.6 aineaalloille. Yhtälöön E op ψ = Eψ sijoitamme vasemmalle puolelle energiaoperaattoriksi jälleen lausekkeen 3.8. Oikealle puolelle sijoitamme lepomassallisen hiukkasen kokonaisenergian (3.11), missä korvaamme liikemäärän liikemääräoperaattorilla 3.9. Operaattorisijoituksen jälkeen saamme SM-aaltoyhtälön 3. sijaan
108 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö ψ ψ i E p x t t m x = + (, ) ψ, (3.1) eli aikariippuvan Schrödingerin yhtälön. Emme onnistuneet johtamaan Schrödingerin yhtälöä, mutta osoitimme Planckin fotonihypoteesin ja de Broglie aallonpituuden määritelmän perusteella yksinkertaisen analogian klassisen SM-aaltoyhtälön ja Schrödingerin yhtälön välillä. 3.1.1 Stationääriset tilat Tarkastelemme aluksi stationäärisiä tiloja vastaavia aikariippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisuja. Määrittelemme stationäärisen tilan lyhyesti siten, että sen paikasta riippuva osa (avaruusosa) on ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön.3 ratkaisu. Etsimme stationääriselle tilalle ajasta ja paikasta riippuvaa aaltofunktiota yritteen ( xt, ) ψ ( ) Ψ = iet x e, (3.13) avulla. Kun derivoimme aaltofunktion 3.13 ajan suhteen, saamme Ψ ie = ψ t iet ( x) e. Jos derivoimme aaltofunktion 3.13 kaksi kertaa paikkakoordinaatin suhteen, saamme vastaavasti Ψ ψ = e x x iet. Sijoittamalla nämä yhtälöt aikariippuvaan Schrödingerin yhtälöön 3.1 ja supistamalla yhteinen aikatekijä pois saamme ajasta riippumattoman ψ x. Huomaamme, että jos Schrödingerin yhtälön.3 avaruusosalle ( ) aikatekijässä esiintyvä energia E on stationäärisen tilan ominaisenergia, niin yrite 3.13 on samalla ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön 3.1 ratkaisu. Stationääriset tilat ovat siis aikariippuvan Schrödingerin yhtälön erityisratkaisuja, joissa aaltofunktio on paikasta ja ajasta riippuvien osien tulo. Ajasta riippuva osa on Schrödingerin yhtälön stationääristen ratkaisujen tapauksessa aina muotoa i ω e t = e iet. Esimerkiksi sähkömagneettisille
Aineaaltodynamiikka 109 aalloille seisovien aaltojen aikatekijä voidaan esittää erityistapauksessa myös reaalisessa muodossa. Ero aineaaltojen ja sähkömagneettisten aaltojen välillä johtuu siitä, että Schrödingerin yhtälön aikariippuvuus on ensimmäistä kertalukua. Toinen tärkeä stationääristen tilojen ominaisuus liittyy todennäköisyystiheyteen iet iet ( x, t) ψ ( x) e ψ ( x) e ψ ( x) Ψ = =. (3.14) Huomaamme, että todennäköisyystiheys on ajasta riippumaton. Tästä nimitys stationäärinen tila. Vapaalle hiukkasen, jonka liikemäärä on p = k, aaltofunktion avaruusosa on ( ) ikx Schrödingerin yhtälön ratkaisu on tällöin (, ) ψ ( ) ψ x = Ae. Vastaava aikariippuva iet i( kx ωt Ψ xt = x e = Ae ). (3.15) Tasoaaltotilan kuvaaman hiukkasen todennäköisyystiheys on paikasta ja ajasta riippumaton. Esimerkki 3.. Tarkastellaan lähemmin aaltofunktion 3.15 reaaliosan Acos( kx ωt) maksimikohdan etenemisnopeutta (kosini funktion argumentti on tällöin nπ, missä n on kokonaisluku ). Maksimin sijainnille ajan funktiona saamme ehdon kx ωt = nπ = vakio. Ratkaisemalla paikan ajan funktiona saamme ( E / ) ( ) ( p /m) nπ nπ nπ v x = + t = + t = + t k p/ k p k Toisin sanoen tasoaallon etenemisnopeus (vaihenopeus) on vain puolet elektronin etenemisnopeudesta Hiukkasen todellinen etenemisnopeus on laskettava, joko aaltofunktion avulla nopeuden odotusarvona tai aaltopaketin ryhmänopeutena. Molemmissa tapauksissa saamme hiukkasen nopeudeksi oikean fysikaalisen arvon v. Palaamme aaltofunktion ja kokeellisesti havaittavan nopeuden väliseen suhteeseen myöhemmin tässä luvussa. 3.1.. Ei-stationääriset tilat Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriasta tiedetään, että erityisratkaisujen vakiotekijöillä painotettu summa on myös differentiaaliyhtälön ratkaisu. Schrödingerin aikariippuvan yhtälön 3.1 ratkaisuja, jotka on saatu
110 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö vähintään kahden eri ominaisenergiaan liittyvän stationäärisen tilan painotettuna summana, kutsutaan ei-stationäärisiksi tiloiksi. Seuraavassa osoitetaan, että ei-stationäärisiin tiloihin liittyvä todennäköisyystiheys on ajasta riippuva. Kirjoitamme aikariippuvan Schrödingerin yhtälön yleisen ratkaisun stationääristen tilojen avulla muodossa ( xt) cψ ( x) e. Ψ = ie t, n n n n. (3.16) Suoralla sijoituksella voi havaita, että funktio 3.16 on differentiaaliyhtälön 3.1 ratkaisu, edellyttäen, että kunkin stationäärisen tilan aaltofunktion avaruusosa ψ n toteuttaa ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön.3 ominaisarvolla E n. Yksinkertaisimpana esimerkkinä tarkastelemme seuraavassa kahden stationäärisen tilan painotettua summaa ie t (, ) ψ ( ) ψ ( ) Ψ xt = c x e + c x e. (3.17) 1 iet 1 1 Oletamme, että avaruusosat ovat ortogonaaliset ja normitetut ψ1 ψ1 ψ ψ ψ1 ψ ( x) ( x) dx = ( x) ( x) dx = 1; ( x) ( x) dx = 0. Ajan hetkellä t = 0 ratkaisumme on muotoa ( x,0) c1ψ1 cψ Ψ = +. (3.18) Jos alkuehtona on annettu aaltofunktio hetkellä t = 0, voimme ratkaista kertoimet c 1 ja c laskemalla stationääristen tilojen ψ 1 ja ψ projektion alkuehdon ilmaisevan funktion Ψ ( x,0) suhteen. Kertomalla 3.18 vasem- malta puolittain aaltofunktioilla ψ 1 ja ortonormaalisuuden perusteella ψ. Näin ollen aaltofunktio ( xt, ) c = ( x) Ψ ( x,0) dx ψ ja integroimalla saamme c 1 = ψ 1 ( x) Ψ ( x,0) dx ja Ψ on (vakiovaihetekijää lukuun ottamatta) yksikäsitteisesti määrätty myös kaikkina myöhempinä ajanhetkinä.
Aaltofunktioon ( xt, ) Aineaaltodynamiikka 111 Ψ liittyvä todennäköisyystiheys on muotoa (, ) =Ψ( x, t) P x t ie1t iet ie1t iet ( c1ψ1e cψe )( c1ψ1e cψe ) = + + ( 1 ) ( 1 = cψ + c ψ + c c ψ ψ e + c c ψ ψ e ) i E E t i E E t 1 1 1 1 1 1 (3.19) 1 Huomaamme, että P( x, t ) ei ole vakio, vaan siinä on termejä jotka värähtelevät kulmataajuudella ω = ( E E ). Oheisissa esimerkeissä tarkastelemme potentiaalilaatikon kahden alimman stationäärisen tilan painotetun summan muodostamaa ei-stationääristä tilaa. Osoitamme edelleen, että ei-stationäärisissä tiloissa fysikaalisten suureiden odotusarvojen aikariippuvuus noudattaa klassisen fysiikan liikeyhtälöjä. Jälkimmäinen tulos kulkee nimellä Ehrenfestin teoreema. Esimerkki 3.3. Hiukkanen on potentiaalilaatikon (Luku.5) eistationäärisessä tilassa Ψ ( xt, ) = φ ( xe ) + ( xe ). (3.0) ie1t/ iet / 1 φ a) Hahmottele karkeasti elektronin todennäköisyystiheys ajanhetkinä t = 0 t = π /( E E ). b) Kuvaile todennäköisyystiheyden käyttäytymistä ajan ja 1 funktiona. Missä suhteessa tulos eroaa oleellisesti stationääriseen tilaan liittyvän todennäköisyystiheyden aikakäyttäytymisestä? Ratkaisu: a) Osoitetaan aluksi, että aaltofunktio 3.0 toteuttaa ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön. Potentiaalilaatikossa E p = 0, joten ajasta riippuva yhtälö on Ψ Ψ ih = t m x. (3.1) ϕn Sijoittamalla 3.0 yhtälöön 3.1 ja ottamalla huomioon = m x saadaan E n ϕ n ie1t / iet / ie1t / ϕ 1 iet / ϕ E1ϕ1e + Eϕe = e + e m m x x ie1t / iet / 1ϕ1 ϕ = e E + e E,
11 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö joten kyseessä on ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Kun t = 0, Ψ( x,0) = φ1( x) + φ( x) ja aaltofunktio on kuvassa keskittynyt vasemmalle. b) Kun t = π /( E1 E ) aaltofunktio on ( ) 1/( 1 ) 1 iπ E E E 1 Ψ( xt, = π /( E E )) = e φ ( x) φ ( x) (3.) Oheisessa kuvassa on piirretty ( φ ( x) φ ( x) ) 1 i E1 /( E1 E) e π ilman vaihetekijää, jolla ei ole vaikutusta elektronitiheyteen tai muihin ominaisuuksiin (aaltofunktio on vakiovaihetekijää lukuunottamatta yksikäsitteinen). Tuloksena on, että aaltofunktio (ja elektronitiheys) värähtelee kuopan puolelta toiselle edestakaisin kuvan esittämien ääripisteiden välillä. Erona stationäärisen tilan käyttäytymiseen on se, että todennäköisyystiheys on aikariippuva. Kuva 3-1 Ei-stationäärisen tilan 3. todennäköisyystiheys ajanhetkinä t = 0 ja t = π /( E1 E).
Aineaaltodynamiikka 113 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta Jos hiukkasen esiintymistodennäköisyys eli todennäköisyystiheys muuttuu ajan funktiona, aineaallon todennäköisyystiheyttä virtaa paikasta toiseen. Tätä virtaa kutsutaan todennäköisyysvirraksi. Myös stationäärisiin aineaaltotiloihin voi liittyä ajasta riippumaton todennäköisyysvirta. Voidaan osoittaa (ks. alla oleva esimerkki), että todennäköisyysvirran tiheyden lauseke 1-ulotteiselle aineaaltokentälle (virtavektori on x-akselin suuntainen) on Ψ( xt, ) Ψ ( xt, ) jxt (,) = Ψ (,) xt Ψ(,) xt, (3.3) im x x missä Ψ ( xt,) on ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Jos Ψ ( xt,) on stationäärisen tilan aaltofunktio / Ψ ( xt, ) =ψ ( xe ) iet, todennäköisyysvirran tiheyden lauseke supistuu muotoon ψ( x) ψ ( x) jxt (, ) = ψ ( x) ψ( x). (3.4) im x x Stationäärisen tilan todennäköisyysvirran tiheys on siis ajasta riippumaton. ± ikx Sijoittamalla yhtälöön 3.4 tasoaaltotilojen lausekkeet ψ = e saamme niihin liittyviksi todennäköisyysvirroiksi ± k / m. Esimerkki 3.4. Todennäköisyysvirran lausekkeen johtaminen. Tarkastellaan oheisen kuvan 3-b esittämää suljetun S pinnan rajaamaa tilavuutta V. Ajan kuluessa todennäköisyys sille, että hiukkanen on tilavuudessa V voi muuttua. Kunakin ajanhetkenä kokonaistodennäköisyys on todennäköisyystiheyden r dv. integraali tilavuuden V yli eli integraali Ψ (, t) Merkitsemme todennäköisyystiheyden virtaa differentiaalisen pinnan ds läpi dφ = j ds, missä j on virran tiheys ja ds on pintaa vasten kohtisuora vektori, jonka pituus on differentiaalisen pinnan ala. Hiukkasen kokonaistodennäköisyyden muutos aikayksikköä kohden alueessa V on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin hiukkasvirran vuo aluetta rajoittavan V Kuva 3- Todennäköisyysvirran laskeminen tilavuutta V rajoittavan pinnan S läpi.
114 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö pinnan läpi. Jos hiukkasvirran vuo on positiivinen, tiedämme, että todennäköisyys pienenee eli todennäköisyyden derivaatta on otettava negatiivisena j ds = Ψ( r, t) dv. (3.5) S t V Yhtälössä on vasemmalla todennäköisyysvirran vuo tilavuuselementtiä V ympäröivän suljetun pinnan S läpi ja oikealla tilavuuden V yli integroidun todennäköisyystiheyden aikaderivaatta vastakkaismerkkisenä. Hiukkasen integroitu esiintymistodennäköisyys tilavuuselementissä V voi vähentyä vain siten, että todennäköisyystiheyttä virtaa ulos elementin sisältä sitä rajoittavan pinnan läpi. Huomaa, että yhtälö 3.5 on muodoltaan sama kuin klassisen sähkömagnetismin sähkövirran tai nesteen virtauksen jatkuvuusyhtälöt. Koska tilavuus V on valittu mielivaltaisesti, voidaan yhtälö 3.5 esittää vektorianalyysin mukaan myös differentiaalisessa muodossa j = Ψ( r,t). (3.6) t Tarkastellaan lähemmin todennäköisyystiheyden aikaderivaattaa. Ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön 3.1 perusteella Ψ+ EpΨ = i Ψ m t Ψ + EpΨ = i Ψ. m t Kertomalla ylempi yhtälö puolittain funktiolla saamme (3.7) Ψ ja alempi funktiolla Ψ + Ψ Ψ EpΨ Ψ = Ψ i Ψ m t Ψ Ψ + ΨΨ = Ψ Ψ m t Ep i (3.8) Laskemalla yhtälöt 3.8 puolittain yhteen ja järjestelemällä termejä saamme m ( ) Ψ Ψ Ψ Ψ = i Ψ( r,) t. (3.9) t
Aineaaltodynamiikka 115 Yhtälön 3.9 vasen puoli voidaan vielä kirjoittaa gradientin avulla muotoon ( ) Ψ Ψ Ψ Ψ = i Ψ( r,) t. (3.30) m t Vertaamalla nyt yhtälöjä (3.6) ja (3.30) saamme todennäköisyysvirralle lausekkeen j = Ψ Ψ ( Ψ) Ψ. (3.31) mi Kun yhtälössä 3.31 gradientti korvataan derivaatalla d / dx, saadaan erikoistapauksena yhtälö 3.3.
116 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö 3.1.4 Aaltopakettien vaihe- ja ryhmänopeudet Tarkastellaan lähemmin aaltopakettien vaihe- ja ryhmänopeuksia. Olemme perehtyneet näihin käsitteisiin jo klassisen sähkömagnetismin yhteydessä. SM-kenttien yhteydessä opittuja periaatteita voidaan tietyin osin soveltaa myös aineaaltopaketteihin. Aaltopaketilla tarkoitetaan tässä usean tasoaallon muodostamaa painotettua summaa, tai yleisemmin integraalia. Oletamme, että tasoaalto on reaalinen ja esitettävissä sinifunktion avulla muo- Asin kx ωt. Tarkastelemme lähemmin kahden tällaisen sinimuotoi- dossa ( ) sen tasoaallon summaa. Oletamme, että aalloilla on likimain samat aallonpituudet ja ominaistaajuudet. Kahden tällaisen tasoaallon summa voidaan esittää muodossa ( xt, ) = ( xt, ) + ( xt, ) = Asin( kx t) + Asin( k x t) ψ ψ ψ ω ω 1 1 1 ( ) ( ω ω ) ( ) ( ω ω ) = Asin 1 k 1 1 1 1+ k x 1+ t cos k 1 k x 1 t ( ω 1 1 ) ( ω ) = Asin kx t cos kx t, missä k = ( k + k ), k = ( k k ) ja ω = ( ω + ω ), = ( ) 1 / 1 1 / ω ω1 ω. Tätä kahden tasoaallon summaa esittää kuva 3-3. Ylemmässä osassa näemme erikseen piirrettynä kaksi tasoaaltoa ja alemmassa osassa näiden kahden tasoaallon summan. Tasoaaltojen summa muistuttaa jo sähkömagnetismista tuttua moduloitua aaltokenttää. Aallon amplitudia moduloi hitaasti muuttuva kosinifunktio. Nopeus, jolla amplitudin maksimikohta etenee, on vg = ω k, ja sitä Kuva 3-3 Kahden lähes samaan aallonpituuden omaavan aallon superpositio. kutsutaan ryhmänopeudeksi. Kahden tasoaallon summaa ei voida vielä pitää aaltopakettina. Aaltopaketin muodostamiseen tarvitaan integraali tiettyjen lähellä toisiaan olevien ominaistaajuuksien ja aaltovektoreiden yli. Voimme kirjoittaa tällaisen integraalin muodossa
Aineaaltodynamiikka 117 ψ ( xt, ) = Ak ( ) sin( kx ωt) dk. (3.3) Tässä suure Ak ( ) on kunkin osa-aallon painokerroin. Kuva 3-4 esittää erästä tällaista aaltopakettia hetkellä t = 0. Kuvassa on ns. gaussinen aaltopaketti, joka voidaan esittää muodossa ( kx) ψ x = π ke sink x. (3.33) ( ) 0 Gaussinen aaltopaketti saadaan yhtälöstä (3.3) sijoittamalla painokertoimelle arvo ( ) Ak ( k k0 ) ( k) = e. (3.34) Paketin keskikohta aaltovektoriavaruudessa on k 0. Voimme pitää aaltovektorin arvoa k 0 todennäköisimpänä tasoaaltokomponenttina. Aaltopaketissa on mukana kuitenkin suuri joukko aaltoja, joiden aaltovektorit poikkeavat tästä todennäköisimmästä arvosta. Ne aaltovektorin arvot joille poikkeama todennäköisimmästä arvosta k k0 on suuri, ovat edustettuna eksponentiaalisesti pienenevällä Kuva 3-4 Gaussinen aaltopaketti todennäköisyydellä. Aaltopaketin leveys aaltovektoriavaruudessa olkoon k. Mitä suurempi k on, sitä pienempi on aaltopaketin leveys paikkaavaruudessa, eli x. Voidaan osoittaa, että x ja k toteuttavat Heisenbergin epämääräisyysperiaatteen. Kun kahden aallon aaltopaketissa saimme amplitudin maksimikohdan etenemisnopeudeksi ω k, voimme nyt määritellä yleisen aaltopaketin ryhmänopeuden vg dω =. (3.35) dk Yksittäiset tasoaallot etenevät kuitenkin vaihenopeudella v p ω =. (3.36) k
118 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Vertailemme seuraavaksi valoaaltojen ja aineaaltojen dispersio-ominaisuuksia. Valolle pätee tyhjiössä ω = ck. Koska dω dk = c, joten vaihe- ja ryhmänopeus ovat molemmat yhtä suuria kuin valonnopeus c. Valopulssi etenee samalla nopeudella kuin monokromaattinen tasoaalto ja aaltopaketin kaikki osa-aallot etenevät tyhjössä samalla nopeudella. Valoaaltopaketilla ei siis ole (tyhjössä) lainkaan dispersiota ja aaltopaketti säilyttää muotonsa vakiona. Väliaineessa eri aaltokomponenteilla on eri vaihenopeus ja täten aaltopaketin muoto muuttuu sen edetessä esimerkiksi optisessa kuidussa. Tarkastellaan seuraavaksi vapaata hiukkasta, jolla on kineettinen energia E ja joka etenee vakiopotentiaalissa x-akselia pitkin. Tällaiselle hiukkaselle ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa ψ ψ = i. (3.37) m x t Tämän ratkaisu on missä ψ ( xt, ) i( kx ωt = Ae ), (3.38) k m = ω = E. (3.39) Hiukkasen ryhmänopeus on v g dω 1 de k p = = dk = =. (3.40) dk m m p Yhtälö 3.40 on sopusoinnussa klassisen tuloksen kanssa. Tasoaineaallon vaihenopeudeksi saadaan v = ω k = k m= p m. Näinollen monokromaattisen aineaallon vaihenopeus on vain puolet ryhmänopeudesta, joka vastaa hiukkasen todellista kokeellisesti havaittavaa nopeutta. Vaihenopeus on suurempi aaltopaketin suurienergisillä osa-aalloilla, joten aineaaltopaketti levenee aaltovektoriavaruudessa ajan funktiona. Aineaalloilla on aina dispersiota. Erityistapauksessa aineaallon vuorovaikutus ympäristön kanssa voi kompensoida edellä kuvattua levenemistä, jolloin
Aineaaltodynamiikka 119 aineaaltopaketti säilyttää likimain muotonsa. Tällaisia aaltopaketteja kutsutaan solitoneiksi. Myöhemmin tulemme osoittamaan, että aineaaltokenttään liittyvä hiukkasen nopeus on laskettava odotusarvona aineaaltokentän aaltofunktion avulla. Tämä matemaattisesti tarkempi menetelmä antaa yhtälön 3.40 kanssa ekvivalentin tuloksen. 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa Edellä olemme tarkastelleet Schrödingerin yhtälön ja aaltofunktion perusominaisuuksia. Seuraavaksi tarkastelemme lähemmin hiukkasta kuvaavan aaltofunktion ja hiukkasen kokeellisesti mitattavissa olevien ominaisuuksien välistä suhdetta. Aiemmin todettiin, että aaltofunktion itseisarvon neliö eli hiukkasen esiintymisen todennäköisyystiheys on kokeellisesti mitattavissa oleva suure. Mitattavissa olevia suureita ovat myös hiukkasen liikemäärä, kulmaliikemäärä, hiukkasen todennäköisyys siirtyä viritetyltä tilata alemmalle tilalle tai vastaavasti hiukkasen kyky absorboida sähkömagneettista säteilyä jne.. Kaikki hiukkasta koskeva tieto sisältyy aaltofunktioon. Seuraavassa tarkastelemme lähemmin aaltofunktion ja hiukkasen mitattavissa olevien fysikaalisten ominaisuuksien suhdetta. Matemaattista formalismia, joka yhdistää aaltofunktion ja systeemistä mitattavissa olevan fysikaalisen tiedon kutsutaan kvanttimekaniikaksi. Seuraavassa käymme läpi tämän teorian keskeisimmät piirteet. Tulemme usein puhumaan hiukkaseen liittyvän aaltofunktion sijaan myös mikrosysteemiin liittyvästä aaltofunktiosta. Mikrosysteemi on kvanttimekaniikan lakien mukaan käyttäytyvä useamman hiukkasen muodostama kokonaisuus, kuten esimerkiksi monielektroniatomi tai molekyyli. Tarkastelemme aluksi lähemmin ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä ja kirjoitamme sen muodossa 1 d + E p x x = E x m dx ( ) ( ) ( ) ψ ψ. (3.41)
10 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa Yhtälön vasen puoli on ymmärrettävä siten, että hakasulkulausekkeessa ψ x ja näin saadut olevilla tekijöillä kerrotaan erikseen aaltofunktio ( ) funktiot lasketaan yhteen. Voimme ajatella, että hakasulkulausekkeessa ψ x ja tuloksena on alkuperäinen funk- olevat tekijät operoivat funktioon ( ) tio ψ ( x) kerrottuna ominaisarvolla E. Lauseketta 1 ˆ d H = + E ( ) p x m dx, (3.4) joka esiintyy hakasulkulausekkeessa, kutsutaan operaattoriksi ja erityisesti Schrödingerin yhtälöön liittyvää operaattoria 3.4 kutsutaan Hamiltonin operaattoriksi (usein lyhyyden vuoksi Hamiltoni). Voimme kirjoittaa Schrödingerin yhtälön Hamiltonin operaattorin avulla muodossa ( ) = ( ) Ĥψ x Eψ x. (3.43) Jos operoimme Hamilton operaattorilla Ĥ mielivaltaiseen funktioon, tulos ei ole välttämättä vakio kertaa tämä funktio. Yhtälö 3.43 toteutuu ainoastaan, jos funktio ψ ( x) on Hamiltonin operaattorin Ĥ ominaisfunktio. Tämä pätee yleisemminkin ja voimme kirjoittaa mielivaltaiselle operaattorille  ominaisarvoyhtälön muodossa ( ) φ ( ) Aˆ φi x = ai i x i = 1,,... (3.44) Yleisesti operaattorilla  on useita ominaisarvoja, a1, a, a 3,..., ja niihin liittyviä ominaisfunktiota, φ 1, φ, φ 3,... Nämä ominaisarvot ja vastaavat ominaisfunktiot ovat operaattorin  yksilöllinen ominaisuus. Niin kuin edellä olemme havainneet, voi kolmiulotteisen potentiaalilaatikon kohdalla yhteen ominaisarvoon liittyä useita lineaarisesti riippumattomia ominaisfunktiota. Tällöin sanotaan että ominaisarvo (energiataso) on degeneroitunut. Kvanttimekaniikassa ovat erityisasemassa hermiittiset operaattorit. Operaattori  on Hermiittinen jos ˆ ( ) 1A ˆ dx = A 1 dx Φ Φ Φ Φ, (3.45)
Aineaaltodynamiikka 11 missä aaltofunktiot Φ 1 ja Φ ovat mielivaltaisia. Voidaan osoittaa, että hermiittisen operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia ja ominaisfunktiot voidaan valita ortogonaalisiksi; koko φφ i jdx = δ ij, (3.46) avaruus missä φ i ja a j vastaavat ominaisfunktiot. φ j ovat operaattorin  ominaisarvoja a i ja Hamiltonin operaattori 3.4 on keskeisessä asemassa kvanttimekaniikassa. Klassisessa mekaniikassa hiukkasen energia voidaan esittää liike-energian ja potentiaalienergian summana. Tätä kokonaisenergian lauseketta kutsutaan Hamiltonin funktioksi ja kirjoitamme sen muodossa 1 = + ( ). (3.47) H p Ep x m Voimmekin nyt löytää klassisen Hamiltonin funktion ja kvanttimekaanisen Hamiltonin operaattorin välille yksinkertaisen yhteyden. Vertaamalla lausekkeita 3.4 ja 3.47 huomaamme, että klassisen mekaniikan kokonaisenergian lausekkeesta voidaan muodostaa vastaava Hamiltonin operaattori korvaamalla liikemäärä p differentiaalioperaattorilla d p i (3.48) dx Kolmessa ulottuvuudessa kirjoitamme klassisen mekaniikan lausekkeen muodossa 1 H = + E p m ( ) p r, (3.49) missä r on paikkavektori ja liikemäärävektori p voidaan esittää muodossa p = px + py + pz. Yhtälön 3.48 ilmeisenä yleistyksenä kirjoitamme vastaavan operaattorisijoituksen nyt muodossa px i, py i, pz i. (3.50) x y z
1 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa Käyttämällä gradientin määritelmää, voimme kirjoittaa operaattorisijoituksen myös p i. (3.51) Kun suoritamme tämän sijoituksen klassiseen Hamiltonin funktioon, saamme kolmiulotteisen Hamiltonin operaattorin muodossa ˆ H = + E p r m ( ) m x y z = + + + E p ( r). (3.5) Huom. Kirjallisuudessa on usein tapana merkitä klassisen mekaniikan suuretta ja vastaavaa operaattoria samalla kirjaimella, mutta lisäämällä kvanttimekaaniselle operaattorille hattu kirjaimen yläpuolelle. Käytännössä on asiayhteyden perusteella selvää, onko kyse kvanttimekaanisesta operaattorista vai vastaavasta klassisesta suureesta. Tässä luentomonisteessa käytämme hattua operaattorin päällä vain silloin, kun erityisestä syystä haluamme korostaa, että kyseessä on kvanttimekaaninen operaattori eikä vastaava klassinen suure. Vastaavasti voimme kirjoittaa Hamiltonin operaattorin ja aaltofunktion tulon muodossa ˆ ψ ψ ψ Hψ E p m x y z ( r) = + + + ( r) ψ. (3.53) Jos ψ on Hamiltonin operaattorin Ĥ ominaisfunktio, kirjoitamme Ĥψ = Eψ, missä E on vastaava ominaisarvo. Auki kirjoitettuna tämä yhtälö on esitettävissä muodossa ψ ψ ψ m x y z p ( r) + + + E ψ = Eψ, eli kyseessä on juuri aiemmin käsittelemämme kolmiulotteinen ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö. Voimmekin nyt tehdä yhteenvedon edellä esitetystä seuraavan kvanttimekaniikan peruspostulaatin (perusoletuksen) muodossa:
Aineaaltodynamiikka 13 I. Jokaiseen klassisen fysiikan suureeseen A( r, p ) liittyy kvanttimekaniikassa operaattori, joka saadaan korvaamalla kyseisen klassisen mekaniikan suureen lausekkeessa esiintyvä liikemäärä p operaattorilla i. Näin saa- Aˆ r, i. tua operaattoria merkitsemme ( ) Huomaamme, että Hamiltonin operaattorit 3.4 ja 3.5 ovat energiaan liittyviä operaattoreita. Vastaavasti voimme muodostaa liike-energian operaattorin. Klassisen mekaniikan mukaan Ek = p m, joten liike-energian ja kolmessa ulottu- operaattori on yhdessä ulottuvuudessa ( ) vuudessa ( m) m d. Energia- ja liikemääräoperaattorien lisäksi tulemme seuraavassa luvussa perehtymään kulmaliikemääräoperaattoriin. Klassisen mekaniikan mukaan L= r p, joten vastaava operaattori on ( i ) Lˆ = r. (3.54) dx Kvanttimekaniikan toinen postulaatti liittyy mittauksissa saatavien tulosten ja aaltofunktion väliseen suhteeseen: II. Jos mittaamme kokeellisesti klassisen mekaniikan suureen A( r, p ) arvon, mahdollisia mittaustuloksia ovat ainoastaan tätä klassista suuretta vastaavan kvanttimekaanisen operaattorin Aˆ ( r, i ) ominaisarvot a i, jotka saamme yhtälöstä 3.44. Tämän periaatteen mukaisesti voimme määritellä hiukkasen energian ja kaikkien muidenkin fysikaalisten suureiden mahdolliset arvot yksittäisessä mittauksessa. Esimerkkejä ovat liikemäärän, kulmaliikemäärän, kineettisen energian arvot jne. Jos hiukkanen on tilassa, joka on operaattorin  ominaistila ψ i ja mittaamme suureen A arvon, tulos on varmuudella ominaisarvo a i. Yleisesti hiukkanen voi olla myös tilassa, joka on jokin operaattorin  ominaisfunktioiden φ 1, φ, φ 3,... lineaarikombinaatio. Tällöin hiukkasen aaltofunktio voidaan esittää kehitelmänä Φ = c1φ1+ cφ+ c3φ3 +... = cnφn. (3.55) Koska hermiittisen operaattorin  ominaisfunktiot φ n ovat ortogonaalisia voidaan osoittaa, että kehitelmän (3.55) painokertoimet ovat
14 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa 3 3 n φφ n φφ n n c d r d r =. (3.56) Painokertoimet 3.56 saadaan kertomalla yhtälö (3.55) funktiolla φ n, integroimalla puolittain ja käyttämällä ortogonaalisuusehtoa 3.46. Yhtälöitä (3.55) ja 3.56 on vielä yleistettävä, jos hiukkasella on sellaisia vapausasteita, joita ei esiinny operaattorissa Â. Tämä ei ole kuitenkaan oleellista seuraavan tarkastelun kannalta, joten sivuutamme tämän yksityiskohdan. Kolmas kvanttimekaniikan peruspostulaatti kuuluu seuraavasti: III. Jos hiukkasen aaltofunktio Φ voidaan esittää operaattorin  ominaisfunktioiden painotettuna summana, todennäköisyys sille, että mitatessamme suureen A arvoja saamme tulokseksi ominaisarvon a n on, missä cn saadaan yhtälöstä 3.56. c n Tämän kolmannen postulaatin mukaan hiukkasen ollessa superpositiotilassa Φ ei fysikaalisella suureella A voi olla tarkasti määrättyä arvoa, vaan suureelle A saadaan tietty todennäköisyysjakauma. Voimme kuitenkin puhua suureen A keskimääräisestä arvosta, tai odotusarvosta, jolla tarkoitamme useiden peräkkäisten mittausten antamaa suureen A kes- A r, p mittaustulosten keskiarvo yleisessä kvanttitilassa kiarvoa. Suureen ( ) Φ ( r ) määritellään postulaatilla: IV Fysikaalisen suureen A( r, p ) odotusarvo (kokeellisten mittaustulosten keskiarvo) hiukkaselle, jonka normitettu aaltofunktio on Φ ( r ) saadaan integroimalla ( ) 3 A ˆ ˆ ave = A = Φ A r, i Φd r (3.57) Yhtälössä 3.57 on käytetty odotusarvointegraalille kirjallisuudessa usein esiintyvää lyhyttä merkintää Â. Laskeaksemme odotusarvon 3.57 meidän on ensin laskettava  Φ, kerrottava näin saatu funktio Φ :llä ja lopuksi integroitava. Yhtälössä 3.57 on oletettu, että aaltofunktio Φ on valmiiksi 3 normitettu, ts. ΦΦ d r = 1. Ellei näin ole joudumme jakamaan odotusarvon lausekkeen 3.57 vielä aaltofunktion normilla. Odotusarvo saadaan tällöin lausekkeesta
Aineaaltodynamiikka 15 Aˆ Φ ˆ 3 A d r Φ = ΦΦ 3 d r. (3.58) Jos aaltofunktion normituksesta ei ole varmaa tietoa, on käytettävä yhtälöä 3.58. Lopuksi määrittelemme kvanttimekaniikan viidennen postulaatin avulla hiukkasten aineaaltodynamiikan peruslain: V Hiukkasen aaltofunktion aikakäyttäytyminen noudattaa yhtälöä Ψ ih = Hˆ Ψ, (3.59) t missä Ĥ on hiukkasen Hamiltonin operaattori. Yhtälö 3.59 on ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö 3.1 kirjoitettuna Hamiltonin operaattorin avulla. Esimerkki 3.5. Osoita, että monokromaattiselle tasoaallolle 3.15 hiukkasen nopeuden odotusarvo on v. Nopeutta vastaava operaattori saadaan liikemääräoperaattorista vˆ = pˆ/ m= i m x. Nopeuden odotusarvo on määritelmän mukaan ( ) dψ( x, t) < v >= Ψ ( xt,) dx Ψ ( xt,) Ψ( xtdx,) im dx. (3.60) p Sijoittamalla tähän tasoaallon 3.15 saamme < v >= ik v im = m =, missä v = k/ m on samalla aallon ryhmänopeus. Huomaa, että normitusintegraalit (jotka ovat äärettömiä) supistuvat pois. Esimerkki 3.6. Hiukkanen on harmonisen oskillaattorin eistationäärisessä tilassa. Aaltofunktio hetkellä 0 t = on 1 ψ( x) = [ φ0 + φ1 ] (3.61)
16 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa missä φ 0 ja φ 1 ovat harmonisen oskillaattorin kaksi alinta ominaistilaa. Laske muuttujan x odotusarvo ajan funktiona. Kyseessä on ei-stationäärinen tila, jonka ajasta riippuva aaltofunktio on 1 iω0t/ i3 ω0t/ Ψ ( xt, ) = φ 0e + φ1e. (3.6) Lasketaan x:n odotusarvo (aaltofunktion avaruusosa on reaalinen) 1 + iω0t/ + i3 ω0t/ iω0t/ i3 ω0t/ x = ( x, t) x ( x, t) φ 0e φ1e x φ 0e φ1e Ψ Ψ = + + dx (3.63) Pariteetin perusteella φ xφ dx = φ xφ dx =, 0 0 1 1 0 joten 1 iω0t + iω0t x = e φ0xφ1dx+ e φ1xφ0dx = cosω0t φ0xφ1dx. (3.64) Sijoittamalla harmonisen oskillaattorin perustilan ja ensimmäisen viritetyn tilan aaltofunktiot 1 x / λ 1 x φ0 = e ja φ1 = e λ π λ π λ x /λ, missä λ = mω 0 yhtälöön (3.64) saamme integroimalla 1 φ xφ dx= x e dx= = mω 0 1 π λ x / λ λ 0. Odotusarvoksi saadaan lopulta x = cos mω 0 ( ω t) 0. (3.65)
Aineaaltodynamiikka 17 Hiukkanen siis värähtelee edestakaisin harmonisen oskillaatorin perustaajuudella ω 0. Esimerkki 3.7. Tarkastellaan ei-stationääristä kvanttitilaa ie1t/ iet / 1 φ Ψ ( xt, ) = φ ( xe ) + ( xe ), (3.66) joka on potentiaalilaatikon kahden alimman stationäärisen tilan superpositio. Aaltofunktiossa 3.66 ominaisenergiat ovat E = 4 E. Aaltofunktiot ovat 1 E1 = π /ma ja φn = / asin( nπx/ a); n= 1, (3.67) missä a on laatikon leveys. a) Laske energian odotusarvo. b) Mikä on oleellinen ero stationäärisen tilan energian odotusarvoon nähden? a) Tarkastelemme aluksi energian odotusarvon laskemista yleiselle ei-stationääriselle tilalle. Ei-stationäärisen tilan aaltofunktio on muotoa Ψ = j j ie t/ j j ( xt, ) cϕ e, (3.68) missä funktiot ortonormitettuja ( integraalista ϕ j ovat ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön j i dx = δ ji ϕϕ ) ratkaisuja. Energian odotusarvo saadaan Ψ ĤΨdx, (3.69) missä oletettiin, että myös aaltofunktio 3.68 on normitettu. Sijoittamalla saamme ˆ ie / ie jt / it + ˆ j i ϕ j ϕi ji, Ψ HΨ dx = c c e e H dx. Stationääriset tilat toteuttavat ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön Hˆ ϕ = Eϕ. Käyttämällä lisäksi ominaistilojen ortonormaalisuutta i i i ϕϕ j i dx = δ ji saamme
18 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa ˆ ie / ie jt / ˆ / ie jt / it + ieit + Ψ Ψ = j i ϕ j ϕi = j i ϕ j iϕi ji, ji, H dx c c e e H dx c c e e E dx ji, ie jt / + ie jt / j i iδ ji i i i = c ce e E = c E. (3.70) Energian odotusarvolle saamme yhdistämällä 3.70 ja 3.7 ˆ E = Ψ HΨdx Ψ Ψ dx = ci Ei. (3.71) i Ei-stationäärisen tilan energian odotusarvo on siis stationääristen tilojen energioiden kertoimien c i itseisarvon neliöillä painotettu keskiarvo Jos ei-stationäärisen tilan aaltofunktion on normitettu, kertoimien c j tulee tällöin toteuttaa ehto c = 1. Tämä nähdään yhtälöstä i i dx ie / ie jt / it + c jcie e ϕϕ j idx cici ji, i ΨΨ = = = 1. (3.7) 1 Palaamme nyt esimerkin laskutehtävään. Potentiaalilaatikon stationääristen tilojen aaltofunktiot φn = / asin( nπx/ a); n= 1, on valmiiksi normitettu. Painokertoimet ovat c 1 = 1 ja c = 1, jolloin c + c = ts. eistationäärisen tilan aaltofunktiota ei ole normitettu. Aaltofunktio normitetaan jakamalla se normitusintegraalin neliöjuurella: ie1t / iet / φ1e φe 1/ 1/ Ψ + 1 1 = = φ + ( 1+ 1) ΨΨdx ie1t/ iet / 1e φe, Uudet normitetut kertoimet ovat siis c 1 = 1/ ja c = 1/. Energian odotusarvoksi saadaan yhtälöstä normituksen jälkeen 1 1 E = c1 E1 + c E = E1 + E =,5E1. b) Oleellinen ero stationääriseen tilaan on siinä, että mitattaessa energiaa saadaan ominaisarvot E 1 ja E 50 % todennäköisyydellä. Stationäärisessä tilassa saataisiin aina sama mittaustulos. Esimerkki 3.8. Hiukkanen liikkuu potentiaalissa E ( x ), joka rajoittaa hiukkasen jollekin alueelle x-akselia. Osoita, että paikan ja liikemäärän p
Aineaaltodynamiikka 19 odotusarvoille pätevät klassiset liikeyhtälöt (operaattoreiden hatut jätetään jatkossa lyhyyden vuoksi pois) d x = p / m, ja dt d dt p de p =. dx Tulos on nimeltään Ehrenfestin teoreema. Osoitamme ensin Schrödingerin aikariippuvan yhtälön ja Hamiltonin hermiittisyyden avulla (ajasta riippumattoman) operaattorin A odotusarvolle pätevän aputuloksen: d 1 A = AH HA. dt i Suuretta [ AH, ] = AH HA kutsutaan operaattoreiden A ja H kommutaattoriksi. Operaattoreiden sanotaan kommutoivan, jos niiden kommutaattori on nolla. Odotusarvo määritellään A = ψ Aψdx. (3.73) Koska A ei riipu eksplisiittisesti ajasta, on aikariippuvuutta vain tilanfunktioissa ψ. Derivoimalla 3.73 saamme d dψ dψ A = Aψ + ψ A dx dt dt dt. (3.74) Aikariippuvan Schrödingerin yhtälön perusteella dψ 1 = Hψ dt i. (3.75) Sijoittamalla 3.75 yhtälöön 3.74 saamme d 1 A = ( H ψ) A ψ + ψ A ( H ψ) dx dt i. (3.76) Hermiittisyyden perusteella ( ) saamme kaipaamamme aputuloksen H ψ χ dx = ψ H χ dx. Sijoittamalla χ = Aψ d 1 ( ) 1 A = ψ HA + AH ψ dx = AH HA dt i i. (3.77)
130 3. Kvanttimekaniikan formaalia teoriaa Sovelletaan tätä paikkaoperaattorille: d 1 x = xh Hx dt i. (3.78) Paikkaoperaattorin ja Hamiltonin p H Ep ( x) m = + kommutaattori lasketaan seuraavasti: Koska x kommutoi potentiaalin Ep ( x ) kanssa saamme kommutaattoriksi p 1 [ xh] = x = ( xp p x),, m m Oikea puoli lasketaan käyttämällä tulosta ( ) operaattorilla p ensin vasemmalta ja sitten oikealta, saamme (3.79) px xp = i. Kertomalla tämä p x pxp i p = pxp xp = i p. (3.80) Laskemalla nämä yhteen saadaan p x xp i p = (3.81) Yhdistämällä lopuksi 3.78, 3.79 ja 3.81 saadaan d x = p / m. dt Seuraavaksi tarkastelemme liikemäärän odotusarvon liikeyhtälöä. Yhtälön 3.77 perusteella d 1 p = ph Hp dt i. (3.8) Voidaan helposti osoittaa, että liikemäärä kommutoi liikeenergiaoperaattorin kanssa, muttei potentiaalienergian operaattorin E p kanssa. Saamme ( ) 1 1 1 ph Hp = pe p E pp = Ψ ( x,) t pe p E pp Ψ (,) x t dt i i i. (3.83) Tarkastellaan lähemmin osaa integrandista:
Aineaaltodynamiikka 131 ( ) Ψ Ψ ( Ψ ) Ψ pe p E pp = i E p E p i E p E p x x = = x x Ep Ψ Ψ Ep i Ψ + Ep Ep i Ψ x = x x (3.84) x Sijoittamalla tämä yhtälöön 3.83 saadaan ( p p ) d 1 p = Ψ ( x,) t pe E p Ψ ( x,) t dt dt i 1 Ep Ep = Ψ ( xt, ) i Ψ ( xtdt, ) = i x x (3.85) Tulos tunnetaan Ehrenfestin teoreemana. Ehrenfestin teoreeman avulla voidaan ymmärtää, miten klassinen mekaniikka seuraa asymptoottisena rajaarvona kvanttimekaniikasta Makroskooppisia kappaleita kuvaavien aaltopakettien dispersio on häviävän hidasta ja fysikaalisten suureiden suhteellinen keskipoikkeama keskiarvosta hyvin pieni.