Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla. Tarve tähän yntyy mm. eri ainefaaien rajapintojen ijainnin määrittämieä eimerkiki virtuaalien työn periaatetta ovellettaea, kun kinemaattiena rajoitteena eiintyy annettu pinta-ala. Ykikkövektoreien ifferentioinnin ja varioinnin eroja korotetaan. Avainanat: pinta-ala, pinta-alan variaatio, vektorilakenta, ykikkövektorin variaatio Johanto Avaruualueen tai kappaleen tilavuu V voiaan eittää vektorianalyyitä tutulla tavalla muooa (eimerkiki []) V rn S. () 3 S Tää r on alueen pintaan päättyvä paikkavektori, n alueeta ulopäin uunnattu pinnan ykikkönormaalivektori ja integrointi on alueen pinnan yli. Kahea imenioa taoalueen pinta-ala A aaaan vataavati kaavata A rn, () joa integrointi on alueen reunaviivan yli. Artikkelia tarkatellaan pinta-alan () variaation lauekkeeeen liittyviä eräitä mielenkiintoa omaavia piirteitä. Tautana on tarve määrittää eimerkiki virtuaalien työn periaatteen avulla eri ainefaaien rajapintojen ijainteja. Tehtävän kinemaattiina rajoitteina voi eiintyä annettuja tilavuukia tai taotapaukia annettuja pinta-aloja. Tällöin tarvitaan taotapaukea paiti pinta-alan A laueketta () myö en variaation δa laueketta. Variaatio Kuva eittää taoalueen reunaviivaa ja paikkavektorin r variaation johota yntyvää naapurikäyrää. Merkintää käytetään tää kaarenpituukoorinaatin tunnukena. Paikkavektori voiaan eittää :n funktiona, r r, ja amoin ii 93
paikkavektorin variaatio δr δr. Kuvaa näkyy liäki reunan ykikkötangenttivektori t ja ykikkönormaalivektori n. Intuitiivieti voiaan kirjoittaa välittömäti tulo δa δrn. (3) Suure δr n kuvaa nimittäin aivan ilmeieti varioinnin johota yntyvän ohuen kerroken pakuutta ja muutopinta-ala aaaan integroimalla tämä alueen reunan yli. Mutta tulo (3) pitää aaa johettua myö ekaktiti lauekkeeta () lähtien ja tätä käitellään euraavaa. Kuva. Alueen alkuperäitä ja variaation tuottamaa reunaviivaa. Kuva. Alkuperäinen ja liioiteltu variaation tuottama geometria. Tarkatellaan kuvaa. Se voii eittää kaaviollieti eimerkiki kiinteään einämään tukeutuvaa kaaun ympäröimää ylinterimäitä neteouutta, jonka poikkileikkaupinta-ala on A. Neteen ja kaaun rajapinnan aema on tehtävää alunperin tuntematon. Varioitaea vain tälle otakutulle neteen ja kaaun rajapinnalle annetaan nollata eroava virtuaalinen iirtymä δr. Lauekkeeta () lähtien aaaan alutava eity 94
δa δrn rδn r δrk r δrk (4) b Kaki enimmäitä integraalia euraavat uoraan integranin variaatiota. Liäki integroimialue rajoittuu iihen :n oaan, jolla δr on nollata eroava; tää ii alueeeen a 0 b Alueen päitä johtuvat termit euraavat vertaamalla varioitua ja alkuperäitä geometriaa. Paikkavektorit r a ja r b aavat variaatiot δr a ja δr b. Suureien δr a k ja δr b k havaitaan olevan arvoiltaan vataavati yhtä kuin ulkoinen ykikkönormaalivektori kerrottuna oan pituuella δr a tai δr b. Eellä ykikkövektori k on poitiivien z-koorinaatin uuntainen. Jo δr on jatkuva ja ulottuu koko alueen ympäri, kaavan (4) kaki integraalia antavat jo ellaiinaan variaation. Kaavan (4) enimmäinen integraali on jo halutua muooa. Toinen integraali δ r n (5) vaatii liäkehittelyä. Eninnäkin ykikkötangenttivektori a ja täten ykikkönormaalivektori Tämän variointi antaa t r (6) r n tk k. (7) ja integraali lauekkeea (5) aa muoon δ δ r δ r n k k (8) δ δ δ r r r n r k kr. (9) Integranin muokkaukea on käytetty tuttuja kalaarikolmitulon kierto- ja vaihtoääntöjä. Tämän jälkeen ovelletaan oittaiintegrointia: Vielä ykityikohtaiemmin aaaan δ r b k r δ δ r k r r k r. (0) a δ δ δ δ r r k r rk rk t r n () 95
ja täten lopuki (ijoitutermiä ovelletaan jälleen kalaarikolmitulon lakentaääntöjä) b rδn δrn r δrk. () Kun tämä laueke ijoitetaan yhtälön (4) oikealle puolelle, havaitaan päätepiteiiin liittyvien termien kumoavan toiena ja aaaan toiaankin variaation laueke (3). Huomautettakoon vielä, että jo δr on jatkuva ja ulottuu koko alueen ympäri, oittaiintegroinnin (0) ijoitutermit laketaan amaa piteeä (pite a yhtyy piteeeen b) ja ouuet kumoavat toiena. a Huomautukia Eellä on jouuttu käittelemään erityieti ykikkövektorin n variointia. Differentiointi ja variointi ovat joain mieleä analogiia operaatioita. Tältä pohjalta on ehkä yllättävää ainakin tämän kirjoittajille havaita, kuinka eri tavoin ifferentiointi ja variointi vaikuttavat ykikkövektoreihin. Differentiointi antaa muutoken r t johota vektorin n, joka on tunnettuun tapaan kohtiuoraa vektoria n vataan tai nolla. Sen ijaan muuto δn muutoken δr johota voi olla eimerkiki nimenomaan vektorin n uuntainen. Differentioinnin tuottaman vektorin n n n pituu on tyyppiä O r, (3) kun taa varioinnia vektorin n n δn pituu on tyyppiä O δr. (4) Hieman epätieteellieti voitaiiin ii anoa, että ifferentiointi äilyttää ykikkövektorin pituuen paremmin kuin variointi. Kolmea imenioa tilavuuen variaation ilmeinen laueke on δv δrn S. (5) S Tämän tuloken johtaminen lähtien liikkeelle kaavata () vaatii oleellieti rakaamman vektorilakennan harjoitelman kuin eellä käitelty taotapau eikä johtoa eitetä tää. Kaavat () ja () eivät ite aiaa eiinny viitteeä [] kovinkaan korotetuti. Kaava () on eitetty. 58 harjoitutehtävänä 3. Kaava () ei näy uoraan ollenkaan. Kaava () yntyy välittömäti oveltamalla Gauin lauetta. 57 iten, että uureeki U valitaan paikkavektori r ja käytetään hyväki tulota r 3. Kaava () aaaan kaavata () ottamalla kappaleeki uora ylinteri, jonka poikkileikkau on tarkateltava taoalue. 96
Lopuki voitaneen ehkä perutelluti kyyä, onko jonkin taoalueen pinta-ala A uure, jota voiaan varioia vai onko δa tulkittava vain uureen A n. virtuaalieki muutokeki? Emme ota tähän kyymykeen tää kantaa. Sovelluten uhteen kuitenkin riittää, että käytettäviä on olion δa laueke (3). Kiito Kiitämme profeori Tapio Salmea artikkelimme huolellieta tarkatamieta ja kommenteita, joien huomioonotto on mieletämme parantanut artikkelin laatua. Viite [] K. Väiälä, Vektorianalyyi, Werner Söertröm, 954. Eero-Matti Salonen, Mika Reivinen Aalto yliopiton ininööritieteien korkeakoulu Rakennutekniikan laito PL 00, 00076 Aalto eero-matti.alonen@tkk.fi, mika.reivinen@tkk.fi 97