5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat Muistellaan menneitä Jo peruskoulussa lienee opetettu tämä Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen välisestä gravitaatiovoimasta: Tässä yhtälössä G on gravitaatiovakio (6,67259. 10-11 Nm 2 /kg 2 ), m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat ja r kappaleiden välinen etäisyys. Tämä yhtälö ei anna voiman suuntaa, mutta tiedämme, että voima on vetovoima. Mekaniikka 1:n kurssilla on annettu tämä laki täsmällisemmässä muodossa. Kappaleen 1 aiheuttama gravitaatiovoima kappaleeseen 2 on Vektori on yksikkövektori, jonka suunta on kappaleesta 1 kohti kappaletta 2. Mekaniikka 1:n kurssilla käsiteltiin myös konservatiivisen voiman ja potentiaalienergian yhteyttä. Konservatiiviset voimat Konservatiivisen voiman avulla voidaan varastoida energiaa, joka on kokonaan käytettävissä esimerkiksi kineettisenä energiana. Konservatiivisen voiman tekemä työ on reversiibeli. (Reversiibeli = ennalleen palautuva, korjaantuva.) Tämä tarkoittaa, että kun konservatiivinen voima tekee työtä kappaleeseen, kappale saa kineettistä energiaa tämän työn verran. Konservatiivisella voimalla on myös sellainen ominaisuus, että kun se siirtää kappaleen paikasta A paikkaan B, tehty työ ei riipu käytetystä tiestä. Jos konservatiivinen voima kuljettaa kappaletta pisteestä A suljettua käyrää pitkin takaisin pisteeseen A, tehty kokonaistyö on nolla. Kaavana tämä sama voidaan ilmaista seuraavasti:
Potentiaalienergia Konservatiiviseen voimaan liittyy kiinteästi käsite potentiaalienergia. Kun konservatiivinen voima tekee kappaleeseen työtä, kappaleen potentiaalienergia pienenee. Samalla kappaleen kineettinen energia kasvaa, ellei siihen vaikuta (vastustavia) ei-konservatiivisia voimia. Kineettinen energia voidaan myös muuttaa takaisin potentiaalienergiaksi. Potentiaalienergian muutos on yhtä suuri kuin kappaleen kineettisen energian muutos, jos muita voimia ei vaikuta. Kaavana tämä on Konservatiivisen voiman lauseke saadaan potentiaalienergian muutoksesta eli derivaatasta (paikan suhteen): tai Kun tunnetaan voiman lauseke, potentiaalienergian lauseke saadaan taas integroimalla Sovelletaan tätä gravitaatiovoimaan: Asetetaan potentiaalienergia U nollaksi, kun r = r 0 = jolloin saadaan
Ympyräradat Tässä kappaleessa käsitellään tapausta, jossa taivaankappale kiertää toista taivaankappaletta ympyrärataa pitkin. Kiertolaisen massa m oletetaan huomattavan paljon pienemmäksi keskuskappaleen massaa M, jolloin voimme jättää huomiotta keskuskappaleen myötäliikkeen. (Tällainen parihan pyörii yhteisen massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri kuten Maa ja Kuu, joiden yhteinen massakeskipiste ei ole Maan keskipisteessä. Maa kieppuu tämän myötäliikkeen takia jonkin verran radallaan auringon ympäri.) M v R r F m Keskuskappaleen keskipisteessä on origo O. Kiertolaisen paikkavektori on r ja nopeus v. Radan säteen suuruus on R. Kiertolaiseen vaikuttava gravitaatiovoima on pallokoordinaatistossa esitettynä Tämän kiertolaiseen vaikuttavan voiman momentti on nolla origon O suhteen Kiertolaisen liikemäärämomentti on siis vakio yhtälön mukaisesti.
Liikemäärämomentin suuruus on Lausekkeeseen ilmestynyt ω on kiertolaisen kulmanopeus, joka voidaan ilmasta nopeuden ja säteen avulla seuraavasti: ω = v/r. Koska liikemäärä on vakio ja kiertolaisen massa on vakio, kiertolaisen nopeus ja kulmanopeus ovat vakiota. Kyseessä on keskeisliike, jonka aiheuttaa kiertoradan keskipisteeseen vaikuttava voima. Keskeisvoiman yleinen lauseke on Tässä tapauksessa keskeisvoimana toimii gravitaatiovoima. Tämä on kiertolaisen nopeus ympyräradalla. Kiertolaisen kokonaisenergia on kineettinen energia plus potentiaalienergia. Koska kokonaisenergia on negatiivinen, kyseinen systeemi pysyy koossa. Tarvitaan energiaa, että kiertolainen saadaan irrotettua keskuskappaleen vetovoiman vaikutuksesta kohtaan, jossa potentiaalienergia on nolla. Yhteen kierrokseen kulunut aika voidaan myös laskea helposti: Kiertoajan neliö on siten Yksi seuraavissa kappaleissa esitellyistä Keplerin laeista kertookin juuri kiertoajan neliön ja säteen kuution välisestä suhteesta.
Esimerkki 5: Jupiterin kuun Europan kiertoaika on 3,551 vuorokautta ja kiertoradan keskisäde 671 034. Laske Jupiterin massa olettaen, että Europan kiertorata on ympyrä. (Radan eksentrisyys on 0,0094.) Kuva sivulta: http://scienceblogs.com/startswithabang/files/2011/03/jupitermoons.20050513.composite.an_.gif
5.14 Planetaarinen liike, ellipsiradat ja Keplerin lait Johdantoa ja historian havinaa Jo antiikin aikoina huomattiin, että muutaman tähdet liikkuivat taivaalla eri tavalla kuin normaalit kiintotähdet. Koska Maan ajateltiin olevan maailmankaikkeuden keskus, jota taivaankappaleet kiersivät ympyräratoja pitkin, nämä epänormaalisti liikkuvat planeetat aiheuttivat päänvaivaa. Kreikkalainen Klaudios Ptolemaios (noin 85 165) kehitti niin kutsutuista episykleistä mallin, jolla hän kykeni selittämään Auringon, Kuun ja planeettojen liikkeen verrattain tarkasti. Episyklit ovat pienempiä ympyröitä, joita pitkin planeetat liikkuvat ja episyklin keskipiste liikkuu isompaa ympyrää pitkin. Ptolemaios keksi, että Maan ei tarvinnut olla isomman ympyrän keskipisteessä. Sitä ei Ptolemaios tai kukaan muukaan huomannut, että mikä tahansa liike voidaan selittää, kun mukaan otetaan tarpeeksi episyklejä. Kuva sivulta http://physics.weber.edu/schroeder/ua/epicycle.png Puolalainen pappi Nikolaus Kopernikus (1473-1543) tuli siihen päätelmään, että Ptolemaioksen mallissa on liikaa episyklejä. Niistä päästäisiin kokonaan eroon, jos ajateltaisiin, että Maa ja planeetat kiertäisivät Aurinkoa. Prahassa työskentelevä saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler (1571-1630) kehitti planeettojen ratojen matemaattista mallia olettamalla planeettojen radat soikeiksi eli ellipseiksi. Hän testasi malliaan tanskalaisen Tyko Brahen (1546-1601) suorittamilla erittäin tarkoilla mittauksilla ja huomasi mallinsa toimivan täydellisesti.
Kepler ei ymmärtänyt, mistä syystä planeetat liikkuvat niin kuin ne liikkuvat ja mikä voima vetää planeettoja ja aurinkoa kohti toisiaan. Vasta Isaac Newton (1642-1727) loi perustan tälle (klassiselle) mekaniikalle, jota me nyt opiskelemme. Keplerin muotoilemat kolme planeettojen ratoja koskevaa lakia toimivat kuitenkin edelleen, ja niitä voimme käyttää hyväksi vielä tänäkin päivänä. Nämä lait ovat: 1. Planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko. 2. Auringosta planeettaan piirretty säde piirtää yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pintaalat. 3. Eri planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden Auringosta mitattujen keskietäisyyksien kuutiot. Yleistä ellipseistä Ellipsin määritelmä: Ellipsi on niiden tasolla olevien pisteiden joukko, joiden kahdesta kiinteästä pisteestä mitattujen etäisyyksien summa on vakio. Näitä kiinteitä pisteitä kutsutaan polttopisteiksi. Etäisyyksien summaa merkitään yleensä 2a:lla. Alla olevassa kuvassa on esitelty ellipseihin liittyviä käsitteitä. F = polttopiste y b = pikkuakseli a b r F φ F x c a a = isoakseli
Ellipsin eksentrisyys on. Origokeskisen ellipsin yhtälö karteesisissa koordinaateissa. Saatamme tarvita myöhemmin ellipsin pinta-alaa: y x dx c ja Neljäsosa ellipsin pinta-alasta on Sijoitetaan Integroimisrajat: ja Nyt neljäsosa ellipsin pinta-alasta on Koska Ellipsin pinta-ala on
Saatamme tarvita myöhemmin ellipsin yhtälön pallokoordinaateissa, joten johdamme sen nyt. Pallokoordinaateissa on yleisesti φ ja. Sijoitetaan nämä yllä olevaan ellipsin yhtälöön.
Alla olevassa kuvassa on esitelty ellipsi planeetan ratana. Aurinko y Planeetan rata r P θ r x r A Periheli Apheli On hyvä osata esittää perihelietäisyys r P ja aphelietäisyys r A ison akselin a ja eksentrisyyden ε funktiona. Johdetaan nämä yhtälöt nyt. Nämä yhtälöt kannattaa opetella johtamaan. Planeettojen liike ellipsiradoilla ja Planeettojen ja muiden taivaankappaleiden radoille on voimassa seuraavat kolme säilymisperiaatetta. Nämä säilymisperiaatteet ovat voimassa kaikille radoille eli ympyröille, ellipseille, paraabeleille ja hyperbeleille. 1. Mekaanisen energian säilyminen 2. Liikemäärämomentin säilyminen 3. Runge-Lenzt vektorin säilyminen Käsitellään näitä säilymislakeja vielä jokaista erikseen.
1. Mekaanisen energian säilyminen. Gravitaatiovoima on konservatiivinen, joten systeemin kineettisen energian ja potentiaalienergian summa on vakio, jos kappaleeseen ei vaikuta ei-konservatiivisia voimia. Näissä laskuissa esimerkiksi väliaineen vastus oletetaan mitättömäksi. Yhtälönä energiansäilymislaki on Tässä yhtälössä m on planeetan (tai muun pienemmän kappaleen) massa ja M ison kappaleen massa. Iso kappaleen massa ajatellaan huomattavan paljon suuremmaksi kuin pienen kappaleen massa, jolloin se ei tee myötäliikettä ja sen kineettinen energia oletetaan mitättömäksi tämän kahden kappaleen systeemin suhteen. r on näiden kahden kappaleen keskipisteiden välinen etäisyys ja v pienemmän kappaleen nopeus isomman kappaleen suhteen. Kineettinen energia merkitään usein seuraavalla tavalla: 2. Liikemäärämomentin säilyminen. Gravitaatiovoima vaikuttaa pieneen kappaleeseen siten, että sen suunta on suoraan ison kappaleen keskipistettä kohden. Siksi gravitaatiovoima ei aiheuta pieneen kappaleeseen voiman momenttia ison kappaleen keskipisteen suhteen. Tällöin Liikemäärän säilymisellä ja Keplerin toisella lailla on yhteys. Kepler laati lakinsa Tyko Brahen havaintojen perusteella, eikä liikemäärämomentti-käsitettä oltu vielä kehitetty, mutta yhtäkaikki hänen toinen lakinsa on liikemäärämomentin säilymislaki. Keplerin toinen lakihan oli: Auringosta planeettaan piirretty säde piirtää yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. Johdetaan seuraavaksi tämän lain yhteys liikemäärämomentin säilymiseen.
Aurinko dr/dt y Planeetan rata r r+dr/dt x Katso alla yllä olevaa kuvaa. da/dt eli planeetan säteen ajassa dt pyyhkimä ala on kolmen vektorin r, dr/dt ja r +dr/dt rajoittaman alueen pinta-ala. Fysiikan matematiikan luentojen mukaan tällaisen kolmion pinta-ala on (Katso sivu 67 linkissä https://noppa.oulu.fi/noppa/kurssi/763101p/materiaali/763101p_luentomoniste_2.pdf) Tästä saamme laskettua planeetan yhteen kierrokseen kuluttaman ajan ellipsiradalla. Tälle kiertoajan lausekkeelle voi johtaa monia muitakin esitysmuotoja. Esimerkki 6: Mikä on ellipsiradalla liikkuvan planeetan kokonaisenergia, jos ison akselin puolikas on a ja eksentrisyys ε. Planeetan massa on m ja auringon massa M.
Runge-Lenz vektori ja sen säilyminen Runge-Lenz vektoria voidaan kutsua myös Lapalace-Runge-Lenz vektoriksi, Laplace-vektoriksi tai Lenz-vektoriksi. Tämä vektori on nimetty seuraavien henkilöiden mukaan: Pierre-Simon Laplace (1749-1827), ranskalainen matemaatikko, fyysikko ja tähtitieteiljä Carl Runge (1856-1927), saksalainen matemaatikko ja fyysikko Wilhelm Lenz (1888-1956), saksalainen fyysikko Näistä herroista kukaan ei keksinyt Runge-Lenz vektoria, vaan se oli keksitty jo aikaisemmin. Tätä vektoria voidaan käyttää planeettojen rataliikkeen yhtälöiden johtamiseen, mutta tätä voidaan hyödyntää myös sähkömagnetismissa, atomifysiikassa, suhteellisuusteoriassa ja muilla aloilla, missä käsitellään Inverse square law voimia. Tosin tämä vektori on huonosti tunnettu fysiikassa. Runge-Lenz vektoria voidaan merkitä symboleilla R ja A. Ainakin dimensiottomaa versiota merkitään myös symbolilla e, ja tämän vektorin itseisarvo on eksentrisyys. (Tähtitieteellisen yhdistyksen URSAn julkaisemissa kirjoissa, esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, käytetään symbolia e.) Runge-Lenz vektorin yhtälö on y Planeetta v r Aurinko R x
Edellä olevassa kuvassa Runge-Lenz vektori on piirretty kohdassa, missä planeetta on perihelissä. Silloin suunta on kaikkein helpoin päätellä, koska nopeus ja säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. On muistettava, että Runge-Lenz vektorin suunta ja suuruus ovat vakioita planeetan radan joka kohdassa. Mistä Runge-Lenz vektori on tullut? Joku on keksinyt laskea ellipsiradalla (tai paraabeliradalla tai hyperbeliradalla) liikkuvalle taivaankappaleelle lausekkeen Perusteluja edelliseen: * dl/dt on nolla, koska L on vakio ** Nopeuden aikaderivaatta on kiihtyvyys ja tässä tapauksessa kiihtyvyys tulee gravitaatiovoimasta GMm/r 2, jonka suunta on vastakkainen r:lle eli keskuskappaletta (aurinkoa ) kohden ***, kun muistetaan, että vastaan. **** on kohtisuorassa yksikkövektoria vastaan ja samalla vektoria
Pitkähkön laskun jälkeen Runge-Lenz vektorin pituudeksi saadaan Mitä hyötyä Runge-Lenz vektorista on? Lasketaan radan säteen ja Runge-Lenz vektorin pistetulo Kulma θ on vektoreiden r ja R välinen kulma, ja samalla se on vektorin r ja isonakselin välinen kulma. (Katso alla oleva kuva.) Aurinko Planeetta v r y R θ R x
Edellä johdetusta voidaan ratkaista planeetan etäisyys auringosta eli r. Kun yhtälön oikeaa puolta hiukan käsitellään, saadaan planeetan radan yhtälö. Sijoitetaan edellä olevaan lausekkeeseen aikaisemmin johdettu Runge-Lenz vektorin pituus R: Jaetaan yhtälön oikealla puolella sekä osoittaja että nimittäjä GMm :llä: Radan yhtälö on missä ja ovat vakioita. Kyseinen r:n yhtälö on ellipsin yhtälö ja ε on ellipsin eksentrisyys. Ellipsin isonakselin ja pikkuakselein puolikkaalle voidaan johtaa lausekkeet: ja
Nyt saamme ellipsiradan kiertoajalle aikaisempaa käyttökelpoisemman yhtälön: Olemme teorian avulla todistaneet Keplerin kolmannen lain: Eri planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden Auringosta mitattujen keskietäisyyksien kuutiot. Tällä kiertoajan lausekkeella on hyvin suuri merkitys tähtitieteessä. Tämän avulla voimme muun muassa laskea Auringon massan, mikä on muulla tavalla hyvin vaikea tehtävä. Tätä lauseketta voidaan soveltaa kaikkiin kahden kappaleen sidottuihin systeemeihin. Sidottuja systeemeitä ovat kaikki ne, joilla kokonaisenergia E < 0 eli ne systeemit, joissa taivaankappale kiertää toista ympyrä- tai ellipsirataa pitkin. Paraabeliradalla kokonaisenergia on E = 0 ja hyperbeliradalla E > 0. (Näistä molemmista on laskuharjoituslasku.) Näille radoille pätevät samat säilymislait kuin ympyrä- ja ellipsiradoille eli kokonaisenergia, liikemäärämomentti ja Runge-Lenz vektori säilyvät. Yhteenveto kahden kappaleen systeemeistä Kokonaisenergia: Ympyräradalla Ellipsiradalla Paraabeliradalla E = 0 Hyperbeliradalla E > 0 Liikemäärämomentti: = vakio Runge-Lenz vektori: