Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin laki Ampèren laki Vektoripotentiaali Menetelmän valinta Magneettinen voima Magnetismi-ilmiö on monelle mysteeri. Siksi sen avulla voidaan helposti huijata ihmisiä ja myydä kaikenmaailman polttoaineen säästäjiä autoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimasta eli sähköisesti varautuneiden hiukkasten välisestä voimasta. Sen verran magnetismiilmiössä on outoa, että se voidaan johtaa suhteellisuusteorian avulla Coulombin voimasta. (Voitaisiin tietysti ajatella niinkin, että magneettinen voima on perusvoima ja Coulombin voima suhteellisuusteorian mukainen seuraus siitä.) Suppean suhteellisuusteorian ensimmäinen aksiooma sanoo, että fysiikan laeilla täytyy olla sama muoto kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa eli tasaisella nopeudella toistensa suhteen liikkuvissa koordinaatistoissa. Magneettikenttää tarvitaan, jotta tämä aksiooma toteutuisi sähkömagnetismissa. (Tästä on puhuttu enemmän kirjassa Grant & Phillips: Electromagnetism, kappaleessa 13.) Liikkuva varattu partikkeli aiheuttaa lähistöönsä magneettikentän. Vastaavasti magneettikentän voimavaikutus kohdistuu liikkuvaan varattuun partikkeliin, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Arkielämästä tuttu kestomagneetin voimavaikutus perustuu myös varattujen partikkelien liikkeeseen, joka on materiaalin sisältämien atomien elektronien liikettä. Peruskurssin kirjassa on liikkuvan varatun (pistemäisen) partikkelin aiheuttama magneettikenttä esitetty yhtälöllä qv rˆ 4 r missä q on partikkelin varaus, v partikkelin nopeus, r partikkelin etäisyys siitä pisteestä, jossa magneettikenttä lasketaan ja rˆ yksikkövektori, joka ilmaisee suunnan varatusta partikkelista siihen pisteeseen, jossa magneettikenttä lasketaan. -kirjaimella merkityn suureen täsmällinen nimi on magneettivuon tiheys. Jos käytämme samaa merkitsemistapaa kuin luentomonisteessa on käytetty, yhtälö tulee muotoon qv ( r r') ( r) 3 4 r r'
Tässä yhtälössä vektori r ilmaisee sen pisteen, missä magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Jos yhtälöä osaa lukea oikein, huomaa, että magneettikentän voimaviivat kulkevat oheisen kuvan mukaisesti. Kuvasta ei näe magneettikentän voimakkuutta eri kohdissa, ainoastaan suunnan. Näitä asioita käsitellään myöhemmin tarkemmin. + v Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Edellä kerrottiin, että magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Voiman suunta ei ole magneettikentän suuntainen vaan kohtisuoraan kenttäviivoja vastaan. Yhtälönä tämä magneettikentän aiheuttama voima, niin kutsuttu Lorentz-voima, on F qv Voiman suunnan saa (oikean käden) kolmisormisäännöstä. Positiiviselle varaukselle voiman suunta on oheisen kuvan mukainen, negatiiviselle vastakkaissuuntainen. v F Jos varattu partikkeli joutuu sähkö- ja magneettikenttään, siihen vaikuttaa näiden miolempien kenttien aiheuttama summavoima: F qe qv
Tasavirrat Tehdään tässä välissä pieni hyppäys tasavirtoihin. Sähkövirta on varausten liikettä. Virtatiheys määritellään yhtälöllä j Nev missä N on johde-elektronien tiheys (elektroneja tilavuusyksikössä), e alkeisvaraus ja v elektronikaasun nopeus. Miinusmerkki tulee tietysti siitä, että virran suunta on vastakkainen elektronien liikesuunnalle. Virtatiheys voidaan laskea myös käyttäen sähkökenttää ja johtavuutta σ, joka on kullekin aineelle ominainen suure: j E. Tätä kutsutaan Ohmin laiksi. Peruskurssista tutumpi Ohmin lain esitysmuoto on V =. Kyse on samasta asiasta, sillä virta voidaa laskea yhtälöllä j ds E ds A A Jännitteen ja virran suhde on resistanssi V l A poikkipinta-ala. Edelleen pätee myös peruskurssista tuttu yhtälö johtimen poikkipinta-alan läpi kulkenut varaus aikayksikössä., missä l on johtimen pituus ja A johtimen dq, joka kertoo, että virta on dt Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Koska magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, aiheuttaa se voiman myös virtajohtimeen. Virtahan on varausten liikettä. d l :n suuruiseen virtajohdinalkioon, jonka pituus on dl ja suunta virran suunta, aiheuttaa magneettikenttä voiman ja koko johtimeen voiman d F dl F dl. Suoraan virtajohtimeen magneettikenttä aiheuttaa voiman F l Vektori l on johdinvektori, jonka suunta on virran suunta ja pituus johtimen pituus.
Magneettimomentti Sähköstatiikassa esiteltiin sähköinen dipoli, jolla on suuri merkitys esimerkiksi eristeiden ymmärtämisessä. Vastaava ilmiö magnetismin puolella on virtasilmukka. Magneettiset materiaalit sisältävät pieniä virtasilmukoita samalla tavalla kuin eristeessä on pieniä dipoleja. Dipolimomenttia vastaa virtasilmukalla magneettimomentti. Se määritellää yhtälöllä m S missä on silmukassa kulkeva virta ja S pinta-alavektori, jonka suuruus on silmukan pinta-ala ja suunta riippuu virran suunnasta oheisen kuvan mukaisesti: S m Virtasilmukkaan vaikuttaa magneettikentässä voiman momentti (vääntömomentti) T m mistä aiheutuu potentiaalienergia U m iot-savartin laki Edellä esiteltiin liikkuvan varauksen aiheuttama magneettikenttä (tarkemmin sanottuna magneettivuon tiheys) yhtälöllä qv ( r r') ( r) 3 4 r r' missä vektori r ilmaisee sen pisteen, jossa magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Kuten on ollut jo puhetta, tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Aikaisemmin esitettiin kuva magneettikentän voimaviivoista liikkuvan varauksen lähellä.
Jos johtimessa kulkee virta, voimme ajatella, että pieni johtimenpätkä dl sisältää liikkuvan pistevarauksen. Virta voidaan määritellä yhtälöllä dq dt Täten saamme qv dtv d x dt dt d x Täällä on pituusalkiovektoria muotoon d x tapana merkitä vektorilla d l. Nyt saamme edellä olevan yhtälön dl ( r r') ( r) 3 4 r r' Kun integroimme yli koko johtimen, saamme kaikkien johdinalkioiden dl aiheuttaman summamagneettikentän: ( r) dl' ( r r') 3 4 r r' Tämä on iot-savartin laki, jota käytetään virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskemisessa. Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin sähkökenttiä. Ampèren lain integraalimuoto on kaavana: C dl SS Vasemmalla puolella integroidaan magneettivuon tiheyden ja pituusalkiovektorin pistetuloa pitkin suljettua käyrää, niin kutsuttua Ampèren silmukkaa. Oikealla puolella on Ampèren silmukan läpi kulkevat virrat kerrottuna tyhjiön permeabiliteetilla. Differentiaalimuoto Ampèren laista on j Ampèren lain integraalimuodon oikea puoli kirjoitetaan usein j d S eli Ampèren silmukan sisään jäävä virta lasketaan virtatiheysvektorin j ja johtimen poikkipinta-alan S avulla. Jos virtatiheys on vakio, kyseinen integraali tulee muotoon js. S
Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Varmista ensin, että voit käyttää kyseisessä tapauksessa Ampèren lain integraalimuotoa. Katso tämän kappaleen viimeistä kohtaa Menetelmän valinta. Valitse ensin Ampèren suljettu käyrä. Se on yleensä näissä laskuissa joko ympyrä tai suorakaide. (Katso kohtaa Menetelmän valinta.) Pitkille, suorille johtimille ja sylinterinmuotoisille johtimille valitaan ympyrä. Laajoille johtaville tasoille ja solenoideille valitaan suorakaide. Piirrä seuraavaksi virtojen aiheuttamat (magneetti)kenttäviivat ja Ampèren silmukka samaan kuvaan. Etsi ne kohdat, missä Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo voidaan kirjoittaa muotoon dl. dl Etsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat kotisuorassa toisiaan vastaan (tai kenttäviivat ovat hyvin harvassa kuten solenoidin ulkopuolella). Siellä dl on nolla. Yleensä niissä silmukan kohdissa, joissa dl voitiin kirjoittaa muotoon dl, on -kenttä vakio, jolloin voidaan ottaa integraalimerkin eteen. Nyt dl on pelkkä käyrän pituus Ampèren silmukan niistä kohdista, joissa silmukka ja C kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkittäisiin dl. C Laske seuraavaksi Ampèren lain oikea puoli eli määritä suljetun käyrän sisään jäävät virrat SS. Joudut ehkä laskemaan virrat käyttäen virtatiheyttä j. Jos virtatiheys on vakio, virta on js eli virtatiheys kertaa johtimen poikkipinta-ala. Jos virtatiheys ei ole vakio johtimen poikkipinnalla, silloin integroit kylmän rauhallisesti käyttäen kaavaa S j d S Merkitse yhtä suuriksi se, minkä sait Ampèren lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Ampèren lain oikealta puolelta. atkaise yhtälöstä magneettikenttä. Vektoripotentiaali Magneettikenttä voidaan lausua niin kutsutun vektoripotentiaalin A roottorina: A Katso Nygrénin monisteesta, mitä siellä kerrotaan vektoripotentiaalin yksikäsitteisyydestä. Opettele, mitä Coulombin mitta tarkoittaa. (Coulombin mittaa kysytään usein tentissä.)
Menetelmän valinta On tärkeää oppia valitsemaan oikea menetelmä magneettikentän määrittämiseen. Tässä materiaalissa on esitelty iot-savartin laki ja Ampèren lain integraali- ja differentiaalimuoto. On tapauksia, joissa Ampèren laki ei käy. Tästä on tietoa alla olevassa taulukossa. YHTEENVETO TOMVSTA AMPÈEN SLMUKOSTA Johtimen muoto Ampèren silmukka Pitkä suora johdin Ympyrä Koaksiaalikaapeli Ympyrä Sylinterin muotoinen johdin Ympyrä Toroidi Ympyrä Solenoidi Suorakulmio Laaja johtava taso Suorakulmio Ympyrä Ei voi käyttää Ampèren lakia Neliö Ei voi käyttää Ampèren lakia Kolmio Ei voi käyttää Ampèren lakia Mikä tahansa silmukka Ei voi käyttää Ampèren lakia Lyhyt suora johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Epämääräisen muotoinen johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia
Esimerkki 1: Suorassa johtimessa, jonka pituus on 5 cm ja joka on x-akselin suuntainen, kulkee.5 A:n sähkövirta positiivisen x-akselin suuntaan. Johdin on magneettikentässä (.3T ) ˆj (.1T ) kˆ Mikä on johtimeen vaikuttava voima? atkaisu: Virtajohtimeen vaikuttava voima on: F dl Nyt tässä suorassa johtimessa kaikkien johdinalkioiden suunta eli virran suunta. ntegraalista tulee silloin: d l suunta on sama positiivisen x-akselin F l Lasketaan ristitulo: l liˆ ˆj kˆ y z F iˆ l ˆj y kˆ z [ˆ( i ) ˆ( j l z ) kˆ( l y )] l iˆ l kˆ z y F (.5A.5m.3T ) ˆj (.5A.5m.1T ) kˆ (7.5ˆ i 5 ˆ) j 1 Yksikkötarkastelua: 4 N T Vs m VAsm AmT m J m N Muista: VAs = J!!!
Esimerkki : Neliön muotoisessa johdinsilmukassa (sivun pituus a) kulkee virta. Silmukka aseteaan magneettikenttään kuvan mukaisesti siten, että magneettikentän ja silmukan tason normaalin väliin jää kulma α. a) Mikä on virtasilmukan magneettimomentti? b) Mikä voiman momentti kohdistuu virtasilmukkaan? c) Mikä on virtasilmukan potentiaalienergia magneettikentässä? α Silmukka sivusta katsottuna atkaisu: a) Magneettimomentti on m S Snˆ Vektori nˆ tarkoittaa pinta-alkiovektorin suuntaista eli pinnan normaalin suuntaista yksikkövektoria. Nyt m S a nˆ koska pinta-ala S on neliön muotoiselle silmukalle a.
b) Voiman momentti on vektorimuodossa: T S Snˆ a nˆ Skalaarimuodossa voiman momentiksi tulee: T a nˆ sin a sin c) Potentiaalienergia voidaan laskea kahdella tavalla. Joko yhtälöllä U P S Snˆ S nˆ cos a cos tai yhtälöllä U P m a nˆ a nˆ cos a cos Esimerkki 3: Oheisessa kuvassa esitettyyn suorakaiteen muotoiseen alueeseen tulee positiivisesti varattu hiukkanen +q P jonka varaus on q, massa m ja nopeus v. Alueeessa on paperin tason suuntainen homogeeninen sähkö- d kenttä E, jonka suunta näkyy kuvassa. a) Minkä E suuruinen ja suuntainen homogeeninen magneetti- S kenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen P. b) Sähkökenttä E kytketään pois. Minkä suuruinen ja suuntainen magneettikenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen S. atkaisu: Sähkö- ja magneettikentässä varaukseen q vaikuttaa Lorentz-voima: F qe qv a) Varaukseen vaikuttavan magneettikentän aiheuttaman voiman ja sähkökentän aiheuttaman voiman täytyy kumota toisensa, sillä varauksen rata on suora: qe qv Sähkökentän voima osoittaa alaspäin. Silloin magneettikentän voiman täytyy osoittaa ylöspäin. Käytetään kolmisormisääntöä magneettikentän suunnan määrittämiseksi:
v F Kuvan mukaan magneettikentän täytyy olla suoraan paperin tasosta sisäänpäin, jotta sen aiheuttama voima olisi ylöspäin, kun positiivisesti varattu kappale liikkuu vasemmalta oikealle. Koska nyt nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: v v Nyt saadaan magneettikentän suuruus. qe qv qe qv Magneettikentän suunta on siis kohtisuorassa paperin tasoa vastaan ja sisäänpäin. E v b) Sähkökenttää ei nyt ole. Varaus pitäisi saada kääntymään alaspäin. Kolmisormisäännön mukaan se vaatii magneettikentän, jonka suunta on suoraan paperin tasosta ulospäin. Varaus alkaa kulkea ympyrärataa pitkin. adan säteen r pitäisi olla sopivan suuruinen, jotta varaus osuisi pisteeseen S eli r = d. Ympyräradalla keskeisvoimana toimii magneettikentän aiheuttama voima. Voimme laskea skalaareilla ja otamme huomioon, että nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin magneettikentän aiheuttama voima on F = qv: Keskeisvoima = Lorentz-voima mv mv mv qv Suunta määritettiin edellä r qr qd
Esimerkki 4: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. atkaisu: iot-savartin laki: ( r) dl' ( r r') 3 4 r r' Jos sitä pistettä, jossa magneettikenttä lasketaan, merkitään P:llä, vektori r kuvaa P:n paikkaa ja vektori r ' kuvaa johdinalkion dl' paikkaa. Yleensä P sijoitetaan origoon, jolloin r =. l a α P Merkitään, että r = jolloin saadaan: dl' ( r r') dl' ( r') dl' ( r') r' dl' ( r) 3 3 3 4 r r' 4 r' 4 r' 4 r' 3 Tehdään tällä kertaa niin, että päätellään magneettikentän suunta ja sen jälkeen lasketaan skalaareilla. Tämä tapa ei ole kuitenkaan suositeltava. Jäljempänä on esimerkki siitä, miten pituutta l käytetään muuttujana. Kolmisormisäännön avulla saadaan, että vektorin r' dl' suunta on paperin tasosta sisäänpäin: P
Siirrytään nyt skalaareihin: ' ) '(cos ' 'sin 'sin ' ' ' dl r dl r dl r dl r cos ' a r d a dl a l cos 1 ' tan ' iot-savartin laista saamme nyt: d a a r dl r dl r r 3 cos cos 1 ) (cos 4 ') ( ' cos 4 ') ( ' 'cos 4 ) ( d a cos 4 Kun on kyseessä äärettömän pitkä johdin, kulma α vaihtelee välillä π/ π/. Tästä saamme integroimisrajat: a a a d a r 1)] ( [1 4 sin / 4 cos 4 ) ( Tämä on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta. Magneettikentän suunta on kohtisuoraan johdinta vastaan ja pisteessä P (katso kuva!) paperin tasosta sisäänpäin.
Esimerkki 5: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. atkaisu: Ampéren laki on kaavan muodossa: dl Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Lasketaan pitkän suoran virtajohtimen kenttä: sis dl a Valitaan Ampéren silmukaksi a-säteinen ympyrä. Virtajohtimen kenttä muodostaa virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä. Ampéren lain vasen puoli on siten: dl dl koska ja dl yhdensuuntaisia vektoreita.. dl dl koska on vakio koko valitsemamme silmukan alueella. dl a eli integraali dl on vain silmukan pituus. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja SS silmukan sisään jäävät virta, joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis: a a
Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta (tarkemmin johtimen keskipisteestä). Magneettikentän suunta saadaan oikean käden säännöllä: Puristetaan virtajohdinta oikealla kädellä niin, että peukalo on johtimen suuntaisesti ja osoittaa virran suuntaan. Muut sormet osoittavat kenttäviivojen suuntaan. Esimerkki 6: Kuutio, jonka sivun pituus on a, on sijoitettu xyz-koordinaatistoon kuvan mukaisesti siten, että yksi nurkka on origossa ja kolme särmää on koordinaattiakseleilla. Alueella on x-akselin suuntainen magneettivuon tiheys, jonka itseisarvo on. Kuution ympärille on kiedottu viiden nurkan kautta kulkeva johdinsilmukka, joka koostuu viidestä suorasta osasta kuvan mukaisesti. Johdinsilmukassa kulkee virta. Laske kuhunkin johtimen suoraan osaan vaikuttava voima. Anna tulokset vektorimuodossa. y 1 3 x 5 4 a z
atkaisu:
Esimerkki 7: Neliön (sivun pituus a) muotoisen johdinsilmukan yksi sivu on y-akselilla. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Alueessa on + z akselin suuntainen magneettikenttä, jonka suuruus riippuu y-akselista mitatusta etäisyydestä ja jonka yhtälö on a) Määritä silmukan magneettinen momentti? b) Määritä silmukkaan vaikuttava kokonaisvoima? c) Määritä magneettikentän silmukkaan aiheuttama voiman momentti (= vääntömomentti). Kxk ˆ, missä K on vakio. y a Kx a x atkaisu:
Esimerkki 8: Alla olevassa kuvassa on virtasilmukka, joka koostuu kolmesta suorasta osasta ja puoliympyrästä. Suorien osien pituudet ovat a, a ja a ja puoliympyrän kaarevuussäde a. Lyhyet sivut ovat kohtisuorassa pitkää sivua vastaan. Puoliympyrä ei ole kontaktissa pitkän sivun kanssa. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Laske -kenttä puoliympyrän kaarevuuskeskipisteessä P. a ei kontaktia a P atkaisu:
VAKAVA VAOTUS: Kun käytät iot-savartin lakia, älä ota johdinalkiota alueen reunasta, vaan jostakin epämääräisestä paikasta: dl Ei, ei ja ei! r P
Esimerkki 9: Pienen virtasilmukan säde on b ja siinä kulkee virta. Pisteessä P, joka on etäällä virtasilmukasta (katso kuva!), on virtasilmukan aiheuttama vektoripotentiaali pallokoordinaateissa lausuttuna: b A sin eˆ 4r Määritä -kenttä pisteessä P. Opastus: Saatat tarvita kaavakokoelmaa, joka jaetaan tentissä ja joka on myös tämän kurssin kotisivulla. z P θ r x φ y
atkaisu:
Esimerkki 1: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetrisesti xztasoon nähden. (Katso kuva!). Levyssä kulkee virta, jonka virtatiheys noudattaa yhtälöä j j uˆ z Laske -kenttä y:n funktiona levyn sisällä ja levyn ulkopuolella. y x
Esimerkki 11: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on -säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j, missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j on vakio. Laske -kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren lain differentiaalimuotoa. atkaisu:
Magneettiset materiaalit ja magneettikentän energia Materiaalit jaetaan magneettisten ominaisuuksiensa mukaan kolmeen luokkaan: diamagneettiset, paramagneettiset ja ferromagneettiset aineet. Materia koostuu atomeista, joissa ydintä kiertää parvi elektroneja. Elektronin liike on sähkövirtaa. Elektronien liikkeestä ja sisäisestä spinistä johtuen atomilla voi olla magneettinen momentti. (Siis voi olla. Aina atomilla ei ole ulospäin havaittavaa magneettista momenttia, sillä elektronirakenne voi olla sellainen, että eri elektronien magneettiset momentit kumoavat toisensa.) Ne aineet, joilla ei ole pysyvää magneettista momenttia, ovat diamagneettisia. Kun tällainen aine asetetaan ulkoiseen magneettikenttään, indusoituu aineen atomeihin tai molekyyleihin magneettimomentti, joka on ulkoiselle magneettikentälle vastakkaissuuntainen. Nämä aineet heikentävät ulkoista kenttää. Paramagneettisten aineiden atomeilla ja molekyyleillä on pysyvä magneettinen momentti. Se asettuu ulkoisen kentän suuntaisesti, joten tällaisissa aineissa ulkoinen kenttä vahvistuu eli -kenttä on = + M = ulkoinen kenttä + magnetoitumasta aiheutunut kenttä. Ferromagneettisissa aineissa tämä ilmiö on erittäin voimakas. Ulkoisen kentän vaikutusta aineessa kuvataan käsitteellä magnetoituma: M N m missä N on atomien lukumäärä tilavuusyksikössä ja m atomin keskimääräinen momentti kentän suunnassa. ndusoitunut pintavirran tiheys (pituusyksikköä kohden) eli indusoitunut virtakate ulkoiseen magneettikenttään joutuneessa kappaleessa on J M M nˆ missä nˆ on pinnan suuntainen yksikkövektori. Joissakin lähteissä tätä suuretta merkitään symbolilla i S. Havainnollistetaan magnetoitumaa ja pintavirtoja oheisella kuvalla. Homogeenisessa magneettikentässä vierekkäisten atomien virrat kumoavat toisensa, jolloin kokonaisvirta materiaalin sisällä on nolla. Ainoastaan materiaalin pinnalle jää pintavirtaa samalla tavalla kuin eristeeseen, joka on sähkökentässä, tulee pinnalle pintavarausta. istitulo pinnan normaalin suuntaisen yksikkövektorin kanssa varmistaa sen, että kuvassa olevan sylinterin päihin ei tule yhtälön mukaan pintavirtaa. Siellähän atomien virrat kumoavat toisensa. Pintavirtaa tulee vain vaipalle.
n m M n Epähomogeeninen magneettikenttä aiheuttaa magnetoitumavirtatiheyden myös aineen sisälle: j M M Magneettinen suskeptiivisuus ei-ferromagneettisissa aineissa määritellään yhtälöllä: M Kun laskimme magneettikenttä (tarkemmin sanottuna magneettivuon tiheyksiä) eräissä symmetrisissä tapauksissa, käytimme Ampèren lakia C dl SS Jos käyttäisimme tätä samaa yhtälöä materiassa, meidän täytyisi ottaa huomioon myös indusoituneiden magneettisten momenttien virrat, mikä olisi hankalaa. Otamme siksi käyttöön uuden suureen, magneettikentän voimakkuus, jota merkitään kirjaimella H. H-kentän, -kentän ja magnetoituman välillä pätee yhtälö: H 1 M 1 -kentän ja H-kentän välillä on myös yhteys H, missä μ = (1 χ ) -1 on aineen suhteellinen permeabiliteetti. Nyt voidaan Ampèren laki kirjoittaa muotoon: C H dl F F tarkoittaa Ampèren silmukan sisään jääviä vapaita virtoja. Atomeihin ja molekyyleihin sidottujen elektronien virrat eivät ole vapaita virtoja.
Differentiaalimuodossa tämä yhtälö tulee muotoon H j f Erilaisten materiaalien rajapinnalla -kenttä ja H-kenttä käyttäytyvät seuraavasti: 1 ja H H 1 Eli -kentällä säilyy pintaa vastaan kohtisuorassa oleva komponentti muuttumattomana ja H-kentällä pinnan suuntainen komponentti. Magneettikenttään on sitoutunut energiaa samalla tavalla kuin sähkökenttäänkin. Analogisesti sähkökentän energiatiheyden kanssa saadaan magneettikentän energiatiheys: u 1 H Tilavuudessa V oleva magneettinen energia on U 1 V H d Esimerkki 1: Toroidin muotoisen rautasydämen keskimääräinen säde on 1 cm. autasydämessä on ilmarako, jonka leveys on 1, mm. autasydämen suhteellinen permeabiliteetti on 55. autasydämen ympärille on kiedottu käämi, jossa on kierrosta ja jossa kulee 5, A:n virta. Laske magneettikentän voimakkuus ja magneettivuon tiheys rautasydämessä ja ilmaraossa. atkaisu: Käytetään Ampèren lakia H-kentälle: H dl f Kun käytetään tätä muotoa Ampèren laista, ei lausekkeeseen tarvitse ottaa mukaan mahdollisia materiaalin sisäisiä virtoja. Virta f sisältää vain vapaat virrat, joita tässä tapauksessa on käämin virta. Piirretään Ampèren silmukka toroidin rautasydämen keskelle: käämi Ampèren silmukka r ilmarako
Olkoon Ampèren silmukan pituus rautasydämen kohdalla l ja ilmaraon kohdalla l, jolloin l + l = π r. H-kenttä on toroidin sisällä Ampèren silmukan suuntainen, jolloin saamme: l l l l l H l H dl H dl H dl H dl H dl H Tiedämme, että = μμ H ja että ilmassa μ = 1. Saamme Ampèren lain vasemman puolen muotoon: l l l H l H Monisteen on käsitelty - ja H-kenttien rajaehtoja, joiden mukaan rajapintaa vastaan kohtisuora komponentti säilyy -kentällä muuttumattomana: 1 Ampèren lain vasen puoli tulee muotoon: l l l l Ampèren silmukan sisäpuolelle jää N johdinsilmukkaa. Niissä jokaisessa kulkee virta eli f = N. Ampèren lain oikealle puolelle tulee siis vain N. ilmarako
Nyt voimme ratkaista -kentän, joka on sama sekä rautasydämessä että ilmaraossa: l l N N l l N (r l ) l 7 Vs 4 1 5A Am (.1m.1m).1m 55 Vs.5875 m.59t Laskemme vielä magneettikentän voimakkuuden: Vs.5875 H m 85 7 Vs 55 4 1 Am A m Vs.5875 m ka H 47 7 Vs m 4 1 Am Lopulliset vastaukset ovat: A Magneettikentän voimakkuus rautasydämessä: H 85 m ka Magneettikentän voimakkuus ilmaraossa: H 47 m Magneettivuon tiheys rautasydämessä:. 59T Magneettivuon tiheys ilmaraossa:. 59T
Esimerkki : Hyvin laaja tasomainen levy (paksuus d) on asetettu xy-tason suuntaiseksi. Alueella vaikuttaa ulkoinen vakiomagneettikenttä, jonka vuontiheys on k ˆ. Laske H -kenttä levyssä, jos a) se on materiaalia, jonka suhteellinen permeabiilisuus on μ, b) se on kestomagneetti, jonka magnetoituma on M i kˆ. atkaisu: Esimerkki 3: Kahdessa geometrialtaan identtisessä toroidin muotoisessa kelassa on N johdinkierrosta. Molemmissa keloissa kulkee virta. Toinen toroidi on ilmatäytteinen ja toisen sisällä on rautasydän, jonka suhteellinen permeabilitetti on μ ja joka täyttää koko toroidin. Magneettikentän energia ilmatäytteisen toroidin sisällä on U 1 ja toisen toroidin sisällä U. Laske energioiden on U 1 ja U suhde. atkaisu:
Esimerkki 4: Hyvin pitkässä solenoidissa (pituus L, poikkipinta-ala A) on N kierrosta. Solenoidiin on asetettu rautasydän, jonka suhteellinen permeabiliteetti on μ ja joka täyttää solenoidin sisäpuolisen tilan. Laske magneettivuon tiheys, magneettikentän voimakkuus ja magneettikentän energia raudassa. atkaisu: