05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun ja arvioinnin. Koska FEM-ohjelma tuottaa hyvin suuren määrän numeerista tulostietoa, tarvitaan tulosten tarkasteluun jälkikäsittelyohjelma, joka muuntaa tulokset havainnolliseen graafiseen asuun. Eri ohjelmista saatavat graafiset esitykset ovat varsin vakiintuneita, koska niissä on joka tapauksessa esitettävä samat lujuusopillisesti kiinnostavat seikat. Seuraavassa on esimerkkejä tavallisten rakennetyyppien ratkaisemiseen käytetyistä elementtiverkoista ja samalla on esitelty tuloksia, joita tyypillinen FEM-ohjelma antaa. VIIVARAKENTEET Kuvassa 1 on esitetty tasokehän geometria, kuormitus ja tuenta. Sen eräs mahdollinen FEM-laskentaan sopiva elementtiverkko on kuvassa 2. Tasokehän elementtimenetelmäratkaisussa päästäisiin taivutusteorian mukaiseen tarkkaan tulokseen sijoittamalla solmut vain nurkkiin ja tukipisteisiin, mutta tässä tapauksessa on käytetty enemmän solmuja, jotta ohjelmasta saatavasta taipumakuvasta tulisi havainnollisempi. Tasokehän palkkielementit ovat viivaelementtejä ja palkkeja kuvaavat viivat kulkevat tavallisesti poikkileikkauksen pintakeskiön kohdalla tai ovat ainakin yhdensuuntaisia pintakeskiöviivojen kanssa. 1,0 m 6 kn 1,2 kn/m 1,5 m 2 knm 8 kn 4 kn 4,2 m 2,0 m 2,5 m 2,8 m 4,2 m 4,2 m 3,5 m Kuva 1. Tasokehä. Ristikko ja palkkirakenteilla tärkeimmät laskennasta saatavat tulokset ovat solmujen siirtymät ja elementtien rasituskuvat. Jännityksiä ei yleensä ohjelmasta saada joitakin standardipoikkileikkauksia lukuun ottamatta, vaan ne on laskettava rasituksista manuaalisesti. Kuvassa 3 on kehän solmusiirtymien avulla piirretty sille taipumakuva ja kuvassa 4 on kehän taivutusmomenttikuva. Kuvissa ei ole näkyvissä suureiden numeroarvoja niiden maksimiarvoja lukuun ottamatta, jotka annettu kuvaselitteissä yksiköissä N ja mm. Kuvassa 5
05/2 on vielä erikseen esitetty vasemmanpuoleisen tasaisen kuormituksen alaisen vaakapalkin taipumakuva ja sen taivutusmomenttikuva numeroarvoineen. Kuva 2. Tasokehän elementtiverkko, 68 elementtiä ja 67 solmua. SCALE 1/ 90.74 EYE X-COORD =.0000 EYE Y-COORD =.0000 EYE Z-COORD = 1000. MAX. DEFLECTION = 1.048 AT NODE NUMBER = 172 Kuva 3. Taipumakuva. SCALE 1/ 86.22 EYE X-COORD =.0000 EYE Y-COORD =.0000 EYE Z-COORD = 1000. TYPE STRESS/FLUX Kuva 4. Taivutusmomenttikuva. DIAGRAM COMPONENT = 3 MAX GAUSS VALUE =.3768E+07 AT ELEMENT/GPT. = 94001 MIN GAUSS VALUE = -.2181E+07 AT ELEMENT/GPT. = 29011 DIAGRAM SCALE = 1/.1667
05/3 SCALE 1/ 29.60 EY E X-COORD =.0000 EY E Y -COORD =.0000 EY E Z-COORD = 1000. MAX. DEFLECTION =.8527 AT NODE NUMBER = 112 3.39276E+006 3.57538E+006 1.10034E+006-530585 -439277-1.50001E+006-1.45435E+006-1.80793E+006 1.2373E+006 Kuva 5. Vaakapalkin taipuma- ja taivutusmomenttikuva. PINTARAKENTEET Kuvassa 6. on esitetty vaakasuunnassa aksiaalisesti kuormitettu tasapaksu levyrakenne, jossa on reikäkenttä. Pystysuuntaisessa symmetrialeikkauksessa oleva vaakasuuntainen normaalijännitys olisi 200 MPa, mikäli se olisi tasan jakaantunut. Reikäkenttä aiheuttaa kuitenkin lovivaikutuksen, jolloin reiän reunalle tulee tasan jakaantunutta jännitystä suurempi normaalijännitys. FEM-laskennalla voidaan tutkia lujuusopin levyteoriaan perustuen edellä mainittua lovivaikutusta ja rakenteen käyttäytymistä yleisemminkin. 10 mm 100 MPa 10 mm 10 mm 10 mm Kuva 6. Levyrakenne. 25 mm 30 mm
05/4 Kuvassa 7 on esitetty eräs mahdollinen tähän tarkoitukseen soveltuva elementtiverkko. Rakenteen kaksoissymmetriaa voisi tietysti hyödyntää mallinnuksessa, mutta sitä ei ole tehty, koska muut tutkitut kuormitustapaukset eivät olleet symmetrisiä. Kuva 7. Levyrakenteen elementtiverkko. Kuvan 7 elementtiverkossa on käytetty kvadraattisia tasojännitystilan nelisivuisia elementtejä ja siinä on 1312 elementtiä sekä 4274 solmua, joista 49 on tukisolmuja. Koska levyelementin solmuilla on kaksi vapausastetta, on tämän elementtiverkon tuntemattomien vapaiden solmusiirtymien lukumäärä 8450, joka on samalla ohjelman ratkaistavaksi tulevan yhtälöryhmän dimensio. Nelisivuisen levyelementin tarkkuuden kannalta edullisin muoto on neliö, mistä johtuen reikäkentän läheisyydessä on käytetty reiät kiertävää verkkoa, jolloin elementteihin ei synny kovin teräviä kulmia. Elementtien sivusuhde on pyritty pitämään riittävän lähellä ykköstä, suurimmillaan se on pienten jännitysgradienttien alueella levyn päissä, jossa sivusuhde on kaksi. Kuvissa 8-10 on esitetty joitakin tärkeimpiä tuloksia, joita elementtimenetelmäohjelma antaa levyrakenteista. Kuvassa 8 on rakenteen siirtymäkuva sekä vaakasuuntaisen normaalijännityksen ja von Mises vertailujännityksen (VVEH) tasa-arvokäyrästö. Kuvasta 8 nähdään, että kriittisin kohta on levyn keskikohdassa ylemmän reiän reunalla loven muotoluvun ollessa 429,6 / 200 = 2, 148. Kuvassa 9 on keskikohdan ylemmän reiän lähellä muutamassa elementissä vaikuttavia pääjännityksiä kuvaava vektorikaavio, jossa nuolen pituus ilmaisee pääjännityksen suuruuden, nuolen asento sen suunnan ja väri etumerkin. Kuvassa 10 on esitetty käyränä keskikohdan ylimmän levykannaksen vaakasuuntaisen normaalijännityksen vaihtelu yläreunasta mitatun etäisyyden funktiona. Käyrästä näkyy selvästi loven aiheuttama jännitysjakautuman huomattava poikkeaminen tasaisesta jakaumasta.
05/5 SCALE 1/ 1.120 EYE X-COORD =.0000 EYE Y-COORD =.0000 EYE Z-COORD = 1000. MAX. DEFLECTION =.1454 AT NODE NUMBER = 4436 STRESS CONTOURS OF SX 0 44.4596 88.9192 133.379 177.838 222.298 266.758 311.217 355.677 400.136 Max 429.6 At Node 4220 Min -14.96 At Node 5582 STRESS CONTOURS OF SE 0 41.4483 82.8966 124.345 165.793 207.241 248.69 290.138 331.586 373.035 Max 425.4 At Node 4380 Mi n 10.90 At Node 3801 Kuva 8. Siirtymäkuva ja jännitysten tasa-arvokäyrästöjä.
05/6 SCALE 1/.1197 EYE X-COORD =.0000 EYE Y-COORD =.0000 EYE Z-COORD = 1000. TYPE STRESS/FLUX MAX VECTOR VALUE = 251.6 AT ELEMENT/GPT. = 1810002 MIN VECTOR VALUE = -62.35 AT ELEMENT/GPT. = 1804002 VECTOR SCALE = 1/.6667E-01 Kuva 9. Pääjännitysvektorit. Kuva 10. Jännitysvaihtelu ylimmässä levykannaksessa.
05/7 Tarkastellaan kolmantena esimerkkinä kuvassa 11 olevaa kuorirakenteen elementtiverkkoa. Sen tuenta ja kuormitus on esitetty kuvassa 12 rakenteen puolikkaan kuvissa solmuihin kohdistuvina nuolina. Tuentanuoli tarkoittaa vastaavan suuntaisen solmusiirtymän olevan estetty ja kuormitusnuoli esittää tavallista tai ekvivalenttista solmukuormitusta. Verkossa on käytetty kaksoiskaarevia ohuen kuoren elementtejä, jotka ovat kaikki nelisivuisia ja kahdeksansolmuisia pintaelementtejä. Elementtien lukumäärä on 896 ja solmujen 2921, joista tukisolmuja on 147. Elementin nurkkasolmuilla on pelkästään kolme translaatiovapausastetta, mutta sivusolmuilla on niiden lisäksi vielä kaksi ro- Kuva 11. Kuorirakenteen elementtiverkko. taatiovapausastetta. Elementtiverkon vapausasteiden lukumäärä on noin 11200. Pintarakenteiden FEM-analyysin tuloksena saadaan solmusiirtymät ja lisäksi voimasuureista esimerkiksi normaalivoima-, leikkausvoima-, vääntömomentti- ja taivutusmomenttitiheydet, joista ohjelma laskee jännityskomponentit kuoren keski- ja reunapinnoilla sekä näistä mm. pääjännitykset ja vertailujännityksen. Kuva 12. Tuenta ja kuormitus. Kuvassa 13 on annettu esimerkkinä graafisesta siirtymätulostuksesta koko rakenteen siirtymäkuva, jossa siirtymiä on havainnollisuuden vuoksi suuresti liioiteltu. Kuvaselitteessä on suurimmaksi siirtymäresultantiksi annettu 1,021 mm, mikä on hyvin pieni verrattuna
05/8 kuoren mittoihin. Kuvassa 14 esitetty malliksi graafisesta voimasuuretulostuksesta kuoren toisen reunapinnan von Mises vertailujännityksen (VVEH) tasa-arvokäyrästö, josta nähdään vallitsevat jännitystasot. Kyseinen reunapinta on laippaosissa kuvassa näkyvä yläpinta ja keskiosassa kohti katsojaa oleva sylinteripinnan ulkopuoli. SCALE 1/ 1.230 EYE X-COORD = 3.283 EYE Y-COORD = -16.17 EYE Z-COORD = -23.85 MAX. DEFLECTION = 1.021 AT NODE NUMBER = 2186 TYPE TOP STRESS/FLUX Kuva 13. Siirtymäkuva. Kuorielementtiverkko on melko raskas käsitellä suuresta vapausastemäärästä johtuen, mutta toisaalta se usein ainoa vaihtoehto rakenteen realistiseen mallintamiseen. Kuorielementit ovat eräs käytetyimmistä elementtityypeistä, koska monissa rakenteissa esiintyy kaarevia ohutseinäisiä osia. Esimerkissä käytetyn kaksoiskaarevan kuorielementin lisäksi ohjelmissa on tasomaisia kuorielementtejä, joita esimerkin rakenteessa olisi voitu käyttää laippaosissa tekemättä geometrista mallinnusvirhettä. Tasomaiset kuorielementit kuluttavat selvästi vähemmän laskentaresursseja kuin kaarevat elementit, joten alustavissa laskennoissa kannattaa suosia niitä. Lopullinen laskenta voidaan sitten tarvittaessa tehdä tarkemmilla kaarevilla elementeillä, kun mallin tiedetään toimivan muilta osin. TOP STRESS CONTOURS OF SE 0 28.2211 56.4423 84.6634 112.885 141.106 169.327 197.548 225.769 253.99 282.211 310.432 Max 339.2 At Node 806 Mi n.5454 At Node 3416 Kuva 14. Vertailujännityksen tasa-arvokäyrästö.
05/9 3D-RAKENTEET Mikäli tarkasteltavalla rakenteella tai sen osalla ei ole mitään eri ulottuvuuksiin liittyviä geometrisia erityispiirteitä, on elementtiverkossa käytettävä 3D-solidielementtejä näitä osia mallinnettaessa. Kuvassa 15 on esitetty esimerkkinä tämän tyyppisistä rakenteista elementtiverkko, jossa on pelkästään 3D-solidielementtejä. Laskennassa tutkittu symmetrinen tuenta- ja kuormitustilanne on nähtävissä kuvassa 16 olevasta rakenteen osakuvasta. Tässä elementtiverkossa käytetty elementtityyppi on kvadraattinen tiilikivielementti, joissa on 20 solmua ja kullakin solmulla on kolme translaatiovapausastetta. Elementtien lukumäärä on 4096 ja solmujen 21125, joista 1439 solmussa on tuettuja vapausasteita. Elementtiverkon vapausasteiden lukumäärä on noin 60000, joka on Kuva 15. Solidirakenteen elementtiverkko. melko suuri tutkittavan rakenteen verraten yksinkertaista geometriaa Kuva 16. Kuormitus ja tuenta. ajatellen. Suuri verkon vapausasteiden lukumäärä johtuu valitusta kvadraattisesta elementtityypistä, joka on varsinkin 3D-laskennassa raskaskäyttöinen. FEM-ohjelmistoissa on luonnollisesti käytettävissä myös vähemmän resursseja kuluttavia lineaarisia 3Dsolidielementtejä, joita laskennan alkuvaiheessa kannattaa suosia. On kuitenkin otettava huomioon, että lineaariset elementit antavat samalla verkon tiheydellä kvadraattisia elementtejä huomattavasti epätarkempia tuloksia ja niiden avulla kaarevien reunapintojen realistinen mallinnus vaatii melko tiheän elementtijaon.
05/10 Kuvissa 17-19 on esitetty muutamia graafisia tulosteita, joita elementtimenetelmäohjelmisto tyypillisesti antaa 3D-solidirakenteesta. Solmusiirtymien avulla voidaan laatia kuvan 17 mukainen rakenteen siirtymäkuva, jossa kuormituksen aiheuttamat geometriset muutokset näkyvät suuresti liioiteltuina. Kuvaselitteestä ilmenee suurimman siirtymäresultantin arvoksi 0,9145 mm, mikä on kappaleen mittoihin verrattuna hyvin pieni arvo. Voimasuureina 3Dsolidirakenteen elementtimenetelmässä ovat yleisen kolmiulotteisen jännitystilan kuusi jännityskomponenttia, jotka aluksi ratkaistaan globaalikoordinaatistossa ja voidaan sitten tarvittaessa muuntaa esimerkiksi elementin lokaalikoordinaatistoon. Jännityskomponenteista saadaan edelleen laskettua muun muassa pääjännitykset, pääsuunnat ja eri hypoteesien mukaiset vertailujännitykset. Kuvassa 18 on esimerkkinä graafisesta jännitystulostuksesta kappaleen ulkopinnan von Mises (VVEH) vertailujännityksen tasa-arvokäyrästö. SCALE 1/ 11.26 EYE X-COORD = 99.03 EYE Y-COORD = 941.6 EYE Z-COORD = 321.8 RESULTS FILE ID = 0 MAX. DEFLECTION =.9145 AT NODE NUMBER = 6266 Kuva 17. Siirtymäkuva. 3D-solidirakenteilla voi ulkopinnan jännityskomponenttien lisäksi saada jännitystulosteita myös kappaleeseen tehdyistä leikkauksista kuvan 19 mukaisesti, joista nähdään havainnollisesti myös kappaleen sisäosassa vallitsevat jännitykset.
05/11 STR ESS CONTOURS OF SE 0 8.54686 17.0937 25.6406 34.1874 42.7343 51.2811 59.828 68.3748 76.9217 85.4686 94.0154 Ma x 1 02.6 At No de 6679 M in.7375e-03 At Node 16963 Kuva 18. Vertailujännityksen tasa-arvokäyrästö. STRESS CONTOURS OF SE 0 9.54559 19. 0912 28. 6368 38. 1823 47. 7279 57. 2735 66. 8191 Max 1.443 At Slice Node 1272 Min 22.31 At Slice Node 435 Kuva 19. Kappaleen leikkausten vertailujännityksen tasa-arvokäyrästöt.