PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1
AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa. 2. Fotonikaasun statistista mekaniikkaa: fotonikaasu laatikossa kuvattuna joukkona harmonisia oskillaattoreita. 3. (Ultra)relativistiset kaasut. 2
OSAAMISTAVOITTEET 1. Ymmärrät fotonikaasun termodynamiikan perusperiaatteet, ja osaat esim. johtaa Stefanin-Boltzmannin lain muodon. 2. Ymmärrät fotonikaasun statistisen mekaniikan perusteet, osaat selittää mitä on mustan kappaleen säteily ja osaat ratkaista siihen liittyviä yksinkertaisia ongelmia. 3. Osaat laskea ultrarelativistisen ideaalikaasun partitiofunktion, ja johtaa siitä kaasun termodynaamisia ominaisuuksia. 3
SÄHKÖMAGNEETTINEN SÄTEILY Tarkastellaan sähkömagneettisen säteilyn termodynamiikkaa. Koostuu fotoneista: massattomia bosoneita, jotka liikkuvat tyhjiössä valonnopeudella c = 1 p 0 µ 0. Lämpösäteilyä: Sähkömagneettisen kentän kvantteja, energia Ei säilymislakia, E = ~!. µ =0. Kaksi polarisaatiotilaa, g =2. "Hot metalwork" by fir0002 (Wikipedia). 4
FOTONIKAASUN TERMODYNAMIIKKAA Fotonit termisessä tasapainossa seinien kanssa lämpötilassa : muodostavat sähkömagneettisia seisovia aaltoja. Cavity : Energiatiheys Aiemmin on nähty, että ideaalikaasulle Asetetaan (vrt., ja ideaalikaasulle). Seisovia SM-aaltoja Kineettisestä teoriasta (B&B yhtälö 7.6) saadaan fotonivuo (fotoneita ) laatikon seinään: teho : 5
STEFANIN-BOLTZMANNIN LAKI Relaatio kappaleen lämpötilan (=teho/pinta-alayksikkö) välillä. ja siitä säteilevän energiavuon Vakiolle saadaan arvo vähän myöhemmin. 6
JOITAKIN LISÄHUOMIOITA Jos pinta on tasapainossa (lämpö)säteilyn kanssa, absorption ja emission energiatiheydet ovat samat. Pätee erikseen kullekin aallonpituudelle. Kullekin :lle voidaan määritellä absorptiivisuus (osuus pintaan osuvasta säteilystä). emissiokyky ( on emittoitu teho/pinta-alayksikkö säteilynä jonka on välillä ). Hyvät absorboijat ovat hyviä säteilijöitä/emittoijia. Täydellinen musta kappale absorboi kaiken siihen osuvan säteilyn: kaikilla :n arvoilla. Jos säteily osuu pintaan kohtisuorassa sunnassa (esim. lasersäde), saadaan (vrt. fotonikaasu, jolle ). 7 Kts. B&B 23.2, 23.3 & 23.4
FOTONIKAASUN TILATIHEYS Sähkömagnettinen säteily toteuttaa aaltoyhtälön. Tällä on seisovia aaltoja kuvaava ratkaisu laatikon reunoilla. Saadaan siis samat kvantitusehdot kuin hiukkanen laatikossa -ongelmassa! Lisämausteena SM-aalloilla on 2 riippumatonta polarisaatiotilaa, joten saadaan 2 tilaa/moodi: Dispersiorelaatio 8
FOTONIKAASUN SISÄENERGIA Kukin em. tiloista on itse asiassa harmoninen oskillaattori kulmataajuudella. Muistin virkistämiseksi yhden HO:n sisäenergia: Fotonikaasulle Jäljelle jää siis Tämä divergoi sovitaan energian nollatasoksi! 9
FOTONIKAASUN SISÄENERGIA Tekemällä muuttujanvaihto, ja käyttämällä taulukosta löytyvää integraalia [B&B yhtälö (C.24)] saadaan Stefanin-Boltzmannin vakiolle saadaan siis arvoksi 10
MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY Edellä fotonikaasun sisäenergia laskettiin integroimalla kulmataajuuden yli. Integraali voidaan kirjoittaa muodossa missä on Planckin säteilylaki (kirjassa black body distribution). Se voidaan ilmoittaa myös taajuuden tai aallonpituuden funktiona: 11
MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY Kuva: Blundell & Blundell 12
MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY Historiallinen anekdootti: Rayleigh n-jeansin laki. Jos yritetään laskea koko sisäenergiaa integroimalla, seuraa ultraviolettikatastrofi : Tämä seuraa tietysti siitä, että RJ-laki on oikein vain suuren :n rajalla. Edellä laskettu antaa oikean, äärellisen tuloksen: Kuva: Blundell & Blundell 13
MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY Toinen historiallinen anekdootti: Wienin siirtymälaki näkyvä valo :n maksimi osuu näkyvän valon alueelle tuhansien Kelvinien lämpötiloissa. Matalissa, muutaman Kelvinin lämpötiloissa maksimi osuu mikroaaltoalueelle. Kuva: Blundell & Blundell 14
KOSMINEN TAUSTASÄTEILY Mikroaaltosäteilyä joka suunnasta, vastaa suurella tarkkuudella mustan kappaleen säteilyä lämpötilassa. Yksi keskeisistä todisteista Big bang -teorian puolesta: ajatellaan olevan peräisin n. 380000 vuoden ikäisestä maailmankaikkeudesta. Tällöin maailmankaikkeudesta tuli läpinäkyvä, kun protonit ja elektronit alkoivat muodostaa neutraaleja atomeja. Kuva: NASA / WMAP Science Team (Wikipedia) 15
ABSORPTIO JA EMISSIO Jos atomeista koostuvaan kaasuun kohdistuu lämpösäteilyä, vasteena voi syntyä transitioita atomin energiatasolta toiselle. Atomit fotonikylvyssä (energiatiheys ), atomi=kaksitilasysteemi,. Kolme transitioprosessia: spontaani emissio: absorptio: Einsteinin kertoimet stimuloitu emissio: Kuva: Blundell & Blundell 16
ABSORPTIO JA EMISSIO Tasapainossa Kirjassa virheitä! Vertaamalla tulosta aiemmin laskettuun saadaan :n lausekkeeseen, ja Liittyy esim. laserin toimintaan ( Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation ), kts. B&B esimerkki 23.4. 17
RELATIVISTISET KAASUT Jos kaasu on relativistista, seuraa tiettyjä muutoksia klassisen ideaalikaasun tuloksiin. Relativistisella energialla on kaksi tärkeää rajaa: Ei-relativistinen raja: Ultrarelativistinen raja: Kuva: Blundell & Blundell 18
ULTRARELATIVISTINEN KAASU Saadaan siis samaa muotoa oleva tulos kuin aiemmin klassiselle ideaalikaasulle. Huomaa kuitenkin, että 19
ULTRARELATIVISTINEN KAASU Termodynamiikka saadaan partitiofunktiosta (identtisille hiukkasille) kuten aiemminkin: vrt. klassinen ideaalikaasu, jolle. Saadaan siis sama tilanyhtälö kuin klassiselle ideaalikaasulle. Huomaa kuitenkin vs! Yhtäläisyyksiä ja eroja verrattuna klassiseen ideaalikaasuun, kts. B&B taulukko 25.1. 20 Voidaanko soveltaa ekvipartitioteoreemaa?
UR-KAASUN ADIABAATTINEN LAAJENEMINEN Adiabaattinen laajeneminen: systeemi eristetty, entropia=vakio. tilanyhtälö: Huom: klassisesti saadaan. Esimerkki: maailmankaikkeuden laajeneminen. Ultrarel. kaasu jäähtyy skaalatekijän ( ) kasvaessa kuten. Vrt. klassinen kaasu, jolle. Kuumasta varhaisesta maailmankaikkeudesta peräisin oleva taustasäteily on jäähtynyt maailmankaikkeuden laajetessa. 21