Yhden muuttujan reaalifunktiot Määritelmä Monisteessa määritellään, mitä tarkoittaa funktio eli kuvaus A B, missä A ja B ovat joitain reaalilukujoukkoja, siis joukon R osajoukkoja Itse asiassa aivan samalla tavalla määritellään leinenkin funktiokäsite, siis funktio f : A B, missä A ja B saavat olla mielivaltaisia joukkoja Tällä kurssilla funktiot ovat kuitenkin aina reaalifunktioita eli monisteen määritelmän mukaisia funktioita kahden reaalijoukon välillä a Eräs funktio on f : R R, f( = 3 + Tämän funktion määritteljoukko on R, samoin maalijoukko on R, ja määritelmässä mainittu sääntö on annettu lausekkeella 3 + b f : R R, = 3 + = f( f( = { kun 0, kun > 0 c Tässä on vielä esimerkkinä funktio, joka ei ole reaalifunktio vaan kahden äärellisen joukon välillä määritelt funktio Tässä esimerkissä sääntö on annettu luettelemalla Tällaisia ei meillä muita tule f( = α, f : {,, 3} {α, β, γ, δ}, f( = δ, f(3 = β Tämä on funktio, koskapa jokaiselle määritteljoukon alkiolle on määritelt ksikäsitteinen kuva f( maalijoukosta i f : R R, f( = ii Monisteen esimerkissä on annettu kolme sääntöä, jotka ensi silmäksellä = nättäisivät määrittelevän funktiot, mutta joista kstään, miksi ne eivät ole funktioita Tässä on selitkset Sääntö f : R Z, f ( = ei ole funktio, koska annetut kuva-alkiot eivät kaikki ole annetussa maalijoukossa Z Sääntö f : R R, f ( = sin ei ole funktio, koska f (0 ei ole määritelt; siis määritteljoukon alkiolla 0 ei ole kuvaa Kolmas sääntö f 3 ei ole funktio, koska alkiolle tulisi kaksi eri kuvaa
Käänteisfunktio Seuraavassa käänteisfunktion käsite on esitelt hiukan toisin kuin monisteessa Olkoon f : A B bijektio Silloin jokainen B on jonkin alkion A kuva (f:n surjektiivisuus ja ko on ksikäsitteinen (f:n injektiiviss Siis voidaan määritellä funktio f : B A (f:n käänteisfunktio säännöllä: Kun B niin f ( =, missä A on se alkio jolla f( = Sama lhemmin: Kun A ja B niin f ( = f( = Tarkastellaan funktiota f( = +3 + = + + Hahmotellaan sen kuvaajaa Jos sitä ei osaa piirtää suoraan, niin voi piirtää ensin apukuvioina funktioiden = ja = + kuvaajat (hperbelit = = + jolloin jo saadaankin: = + 3 +
Kuviosta nähdään, että tästä saadaan bijektiivinen funktio, kun määrittelja maalijoukot valitaan sopivasti: f : R \ { } R \ {}, f( = + 3 + Nimittäin kuvio mukaan nt f on, paitsi määritelmän mukainen funktio, mös sekä injektio että surjektio (Meille riittäköön nt kuviosta katsominen Koska f on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f Tiedetään f:n lauseke, mutta mikä on f :n lauseke? Ensinnäkin f on funktio R\{} R \ { } Kun R \ {} ja R \ { }, niin f ( = f( = Niinpä f ( saadaan lausekkeena selville ratkaisemalla seuraavasti: = f( = + + = + = + = + Näin ollen f ( = + Jos halutaan merkitä mös f :n argumenttia :llä, niin f ( = + = + 3 Koska = f( = f (, niin funktion f kuvaajasta saadaan käänteisfunktion f kuvaaja vaihtamalla - ja -akselien roolit Esimerkiksi jos funktio on f( = 3 : R R, niin käänteisfunktio on f ( = 3 : R R, ja kuvaajat ovat seuraavanlaiset 3 b a 3 a b = 3 = 3 3
Yhdistett funktio 8 Jos f : A B on bijektio ja sillä siis on käänteisfunktio f : B A, niin (f f ( = B, (f f( = A Jos mös f :n argumenttia merkitään :llä, niin ensimmäinen ehdoista kuuluu (f f ( = B Perustelu: Kun A ja B, niin f( = = f ( Siis, kun B on mielivaltainen ja merkitään = f (, niin (f f ( = f(f ( = f( = Kun A on mielivaltainen ja merkitään = f(, niin (f f( = f (f( = f ( = Kätämme tätä nt keinona tarkistaaksemme aikaisemmassa esimerkissä lasketun tuloksen Funktion käänteisfunkioksi saimme Kun, niin f : R \ { } R \ {}, f( = + 3 + f : R \ {} R \ { }, f ( = + 3 (f f ( = f(f ( = f ( + 3 f ( + = +3 + 3 +3 + = =, ( + 3 + 3( ( + 3 + ( 4
ja kun, niin Polnomifunktio Huomautus 9 (f f( = f (f( = f( + 3 f( = +3 + + 3 +3 + = = ( + 3 + 3( + ( + 3 ( + Monisteen sivulla 9 esitetään keino, jolla lödetään kokonaislukukertoimisen polnomin kokonaislukunollakohdat jos sillä on sellaisia Tässä se keino esitetään hiukan leisempänä Olkoon p( kokonaiskertoiminen polnomi, p( = a n n + a n n + + a + a 0 (a i Z, a 0, a n 0 Jos p(:llä on rationaalinen nollakohta r/q Q, missä r/q on supistettu muoto, niin r on a 0 :n tekijä ja q on a n :n tekijä Siis r, q Z, ja supistettu muoto tarkoittaa ettei r:llä ja q:lla ole muita hteisiä tekijöitä kuin ± Ehtoja r on a 0 :n tekijä ja q on a n :n tekijä merkitään r a 0 ja q a n ja luetaan mös r jakaa a 0 :n ja q jakaa a n :n Otetaan tästä ensin esimerkki ja sitten esitetään todistus Olkoon p( = 4 3 + 6 + + 3 Halutaan lötää p(:lle rationaalinen nollakohta, jos sillä on sellainen Jos r/q (supistettu muoto on nollakohta, niin r 3 ja q 4 Siis r q { ±, ±3, ± }, ±3, ± 4, ±3 4 Kokeilemalla ksi kerrallaan, mikä näistä kahdestatoista ehdokkaasta toteuttaa ehdon p( = 0, todetaan, että ainakin 3 4 on nollakohta Menetelmän todistus Oletetaan, että p( on kuten edellä ja että p(r/q = 0, missä r/q Q on supistetussa muodossa Toisin sanoen ( r n ( r n r a n + a n + + a q q q + a 0 = 0 5
Kertomalla q n :lla saadaan a n r n + a n r n q + + a rq n + a 0 q n = 0 Kirjoitetaan tämä kahteen muotoon: a n r n = q ( a n r n + + a 0 q n, a 0 q n = r ( a n r n + + a q n Ensimmäisestä muodosta seuraa, että q jakaa tulon a n r n, ja koska q:lla ja r:llä ei ole hteisiä tekijöitä (paitsi ±, niin q jakaa a n :n Toisesta muodosta saadaan samoin, että r jakaa a 0 :n Onko polnomilla p( = 5 + + + 3 rationaalisia nollakohtia? Jos sellainen nollakohta r/q on, niin tät olla r 3 ja q ; siis r/q {±, ±3} Kokeilemalla nähdään, ettei mikään näistä neljästä ole nollakohta Siispä polnomilla ei ole rationaalisia nollakohtia Juurifunktio Juurifunktio n määritellään potenssifunktion n käänteisfunktiona Koska käänteisfunktio määritellään vain bijektiiviselle funkiolle, käsittelemme parillisen ja parittoman n:n tapaukset erikseen Olkoon n Z, n Muistetaan, että R + tarkoittaa epänegatiivisia reaalilukuja Oletetaan, että n on parillinen Potenssifunktio f( = n : R + R + on bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio f : R + R +, jota merkitään f ( = n Siis parillisen n:n tapauksessa juurifunktio n on funktio n : R+ R + = n = n Oletetaan, että n on pariton Potenssifunktio f( = n : R R on bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio f : R R, jota merkitään f ( = n Siis parittoman n:n tapauksessa juurifunktio n on funktio n : R R 6
= n = n Monisteen huomautuksissa 3 ja 4 s 3 on juurifunktion ominaisuuksia Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion a tarkka määritelmä menee tämän kurssin ulkopuolelle, mutta seuraavassa siitä on limalkainen selits Olkoon a R, a 0 Halutaan määritellä a kun R Tapauksessa Z tämä on helppoa: Kun n Z, n 0, niin määritellään a n = a a (n tekijää, a n = a n (a 0 Mutta mitä esimerkiksi tarkoittaisi a? Yleinen potenssi a b, b R, voidaan määritellä kahdessa vaiheessa seuraavasti Olkoon ensin b Q Siis b = m n, missä m, n Z, n 0 Määritellään a b = a m/n = n a m Jotta määritelmä olisi järkevä, niin tässä kohden pitäisi todistaa, että jos m n = q r, niin am/n = a q/r Olkoon b R Voidaan osoittaa, että b saadaan jonkin rationaalilukujonon raja-arvona m i b = lim i n i (Raja-arvoista puhutaan möhemmin Kaikki luvut a m i/n i ovat nt jo määriteltjä, ja määritellään a b = lim i a m i/n i Nt pitäisi vielä osoittaa, että raja-arvo lim m i i n i on aina olemassa ja riippumaton siitä, miten ko rationaalilukujono on valittu Sitten pitäisi tämän määritelmän avulla todistaa kaikki eksponenttifunktion ominaisuudet, mm seuraavat (vrt s 34: a b a b = a b +b ; (a b b = a b b ; (a a b = a b a b, 7
missä luvut ovat reaalisia ja a, a, a 0 Kaikkiaan kseessä olisi suuri tö, ja tällä kurssilla otamme tämän kaiken tunnettuna Tästä saadaan kaksi tärkeää luokkaa funktioita Kun otetaan a muuttujaksi, merkitään a =, saadaan ns potenssifunktiot b : R + R +, missä b on mielivaltainen reaaliluku Meitä kiinnostaa nt toinen mahdollisuus: Ottamalla b muuttujaksi, b =, saadaan eksponenttifunktiot a : R R Monisteessa on näiden kuvaajat ja perusominaisuuksia (eksponentiaalinen kasvu Suureen f( sanotaan kasvavan eksponentiaalisesti (tai vähenevän, jos f( = ka missä k, a ovat vakioita Oletetaan, että tutkittava suure f( kasvaa eksponentiaalisesti ja että tiedetään arvot f(0 = 00 ja f( = 30 Suuriko on f(0? Siis f( = ka (k ja a toistaiseksi tuntemattomia vakioita, f(0 = 00, f( = 30 Jakamalla htälöt ka 0 = 00 ja ka = 30 keskenään saadaan a = 30 00 = 3 0, joten f(0 = ka 0 = ka 0 (a 5 = 00 = 37,93 ( 3 5 = 35 0 0 3 = 3793 000 Tässä ei siis tarvinnut ratkaista vakioita k ja a, mutta nekin olisi saatu Toinen tapa ajatella tehtävää olisi seuraava: Välillä [0, ] suure f( kasvaa,3-kertaiseksi Silloin f( kasvaa,3-kertaiseksi jokaisella :n pituisella välillä (eksponentiaalisen kasvun ominaisuus Siis välillä [0, 0] = [0, ] [, 4] [4, 6] [6, 8] [8, 0] suure f( kasvaa (, 3 5 - kertaiseksi, mistä saadaan f(0 = f(0 (,3 5 = f( 30 00 0 0 8
Logaritmifunktio Olkoon a > 0, a Eksponenttifunktion a kuvaajasta s 33 nähdään, että katsottuna funktioksi R (0,, siis f( = a : R (0,, se on bijektiivinen Siis sillä on käänteisfunktio, ns a-kantainen logaritmifunktio f ( = log a : (0, R Koska kse on käänteisfunktiosta, niin, kun (0,, log a = se jolla a = eli = log a = a Lisäksi (f f( = ja (f f ( = joten log a (a =, a log a ( = ; katso monisteen esimerkkiä 9 Edelleen, logaritmifunktion kuvaaja saadaan eksponenttifunktion kuvaajasta vaihtamalla - ja -akselien roolit, joten kuvaajat ovat seuraavanlaisia: Tapaus a > = a = a Tapaus 0 < a < = log a = log a Huomautus 30 Monisteen sivulla 35 olevat logaritmin perusominaisuudet seuraavat siitä, että kseessä on eksponenttifunktion käänteisfunktio, ja siitä, että eksponenttifunktiolla on mukavia ominaisuuksia a Ominaisuus log a r = r log a seuraa eksponenttifunktion ominaisuudesta (a = a Nimittäin kaavaa a varten pitäisi todistaa, että a r log a = r Kehittämällä vasemmasta puolesta tulee a r log a = (a log a r = r 9
b Ominaisuus log a ( = log a + log a seuraa htä helposti eksponenttifunktion ominaisuudesta a a = a + c Ominaisuus log a ( = log a log a seuraa ominaisuuksista a ja b d Ominaisuus seuraa helposti ominaisuudesta a log a = log b log b a Otetaan ksi esimerkki ominaisuuksien kätöstä On ratkaistava htälö log 3 + log 9 = 5 Huomaa, että pitää olla > 0, jotta htälön termit olisivat määriteltjä Koska htälössä on kahta eri logaritmin kantalukua, vaihdetaan toinen: Siis log 9 = log 3 log 3 9 = log 3 log 3 3 = log 3 log 3 + log 9 = 5 log 3 + log 3 = 5 log 3 + log 3 = 5 log 3 ( = 5 3 5 = = 5/ = (3 5 /5 = 3 = 9 Kulma radiaaneissa Monisteessa määritellään (s 36, mitä tarkoittaa kulman lausuminen radiaaneissa: α (rad = b r α r kun α on sijoitettu r-säteiseen mprään keskuskulmaksi ja b on kaaren pituus, otettuna miinusmerkkisenä jos kiertosuunta on negatiivinen (mötäpäivään Voi olla α > 360 tai α < 0 b 0
Seurauksena tästä nähdään, että jos r-säteisen mprän keskuskulma on suuruudeltaan α radiaaneissa ja α > 0, niin ko kaaren pituus on αr Monisteen sivulla 37 selitetään, miten tehdään muunnos radiaanien ja asteiden välillä Jos kulma α on annettu radiaaneissa, niin asteissa sama kulma on 360 80 α eli α Kääntäen, jos β on asteissa lausuttu kulma, niin radiaaneissa sama kulma on 80 β Esimerkiksi 45 = 80 45 (rad = 4 (rad Radiaania ei leensä merkitä näkviin vaan kirjoitetaan vain β = 4 laaduttomana suureena Tulemme aina sijoittamaan kulman α ksikkömprään oheisen kuvion mukaisesti Negatiivisille kul- mille kätetään negatiivista kiertosuuntaa, ts mprän kehää kierretään mötäpäivään Seuraavissa kuvioissa on merkittnä kolme esimerkkikulmaa: 4 = 45, 3 = 0 ja 6 = 30 α /4 /3 /4 /3 /6 /6 Seuraavassa kuviossa on esimerkkikulmia enemmän Huomaa :n jaksollisuus: Esimerkiksi α = 7 4 ja β = 4 ovat erisuuria kulmia, mutta niitä vastaavat pisteet ksikkömprän kehällä osuvat päällekkäin /3 3/4 /4 0,, 5/4 /6, /6 7/4, /4
Trigonometriset funktiot Määritellään trigonometriset funktiot sin, cos, tan ja cot Tapaus 0 < < 90 (s 56: Tuttuun tapaan terävillä kulmilla trigonometriset kulmat määritellään suorakulmaisesta kolmiosta c a b sin = b c cos = a c tan = b a cot = a b = sin cos = cos sin = tan On stä muistaa seuraavat kaksi muistikolmiota /4 /3 /4 /6 3 Niistä nähdään mm sin 4 = cos 4 = ja tan 3 = 3 jne Jatkoa varten on huomattava, että kun kulma sijoitetaan em tavalla ksikkömprään uv-tasossa, niin mprän kehälle sntvän pisteen koordinaatit ovat (cos, sin (Nt ensi alkuun näin on vain kun 0 < < /, mutta aivan kohta tämä leistetään Huomaa, että koska haluamme nt merkitä argumenttikulmaa :llä, niin kutsumme sin koordinaatteja tavallisuudesta poiketen uv-koordinaateiksi Yleinen tapaus R: Nt laajennamme sini- ja kosini-funktiot koskemaan kaikkia reaalilukuja seuraavasti Olkoon R mielivaltainen Silloin on kulma, jonka suuruus radiaaneissa on Sijoitamme kulman uv-tason ksikkömprään kuten edellä, siis kärki on origossa, oikea klki on positiivisella u-akselilla, v v (cos, sin cos v u P (u, v ja toinen klki lödetään kulkemalla mprän kehää tarvittava määrä, vastapäivään jos 0, ja mötäpäivään jos < 0 Kehälle snt piste P, jonka koordinaatit olkoot (u, v u u
Jos >, niin kehää kierretään tarpeeksi monta kierrosta (u, v P v v > 0 u < 0 u P (u, v Määritellään sin = u, cos = v Silloin olemme määritelleet sinin ja kosinin funktioina sin : R R ja cos : R R Viereinen kuvio on edelleen voimassa, ja nt (cos, sin se pätee kaikille kulmille R Määritellään mös tangentti ja kotangentti: tan = sin cos cot = cos sin kun cos 0, kun sin 0 Monisteessa s 38 on näiden funktioiden kuvaajat Sivulla 39 on merkkikaaviot, jotka seuraavat suoraan o määritelmästä cos v sin u Jos α = 6, niin suuriako ovat sin α jne? Merkkikaavioista nähdään, että sin < 0 ja cos > 0, joten muistikolmion perusteella sin α = /, cos α = 3/, ja siis tan α = / 3 ja cot α = 3 / /6 3/ Ratkaise htälö cos = / Muistikolmion mukaan eräs ratkaisu on = /4 Koska cos saadaan vaakaakselilta, niin = /4 on toinen ratkaisu Muistamalla :n jaksollisuus saadaan vastaukseksi = ±/4 + n, n Z /4 / 3
Ratkaise htälö sin = 3/ Muistikolmiosta nähdään, että sin(/3 = 3/ Koska sini saadaan pst-akselilta, niin vastaus on { = /3 + n tai = /3 + n, eli { = 5/3 + n tai /3 = 4/3 + n 4/3 3/ 5/3 Trigonometriset identiteetit Monisteessa todistetaan cos = ± tan +, josta voidaan laskea cos, jos tan tunnetaan, edellttäen, että jostain voidaan päätellä kumpi merkki on oikein Vastaava kaava sinille kuuluu tan sin = tan cos = ± tan + Jos esimerkiksi tiedetään, että tan = 3 ja että on II neljänneksessä, niin cos = = 3, sin = ( 3 + 0 0 Todistetaan hvin tärkeä kaava ( sin = cos Sivulla 39 on kaava cos(α β = cos α cos β + sin α sin β, joka on mös kaavakokoelmassa (Tämä kuuluu kaavoihin, joita ei tällä kurssilla todisteta mutta joita saa kättää Sen avulla saadaan ( ( ( cos = cos cos + sin sin = 0 cos + sin = sin Kaava on helppo muistaa siitä, että tapauksessa 0 < < se nähdään suorakulmaisesta kolmiosta 4
Edellisen esimerkin kaava sin = cos( näk funktioiden kuvaajista = sin ja = cos siten, että ne saadaan toisistaan peilaamalla suoran = 4 suhteen: = 4 = cos 3 = sin Toinen vastaava identiteetti on cos = sin( + Sekin näk kuvaajista Miten? On laskettava tarkasti sin 7 Hoksaamalla, että 7 = 3 + 4 = 4 + 3, missä kulmien 4 ja 3 trigonometriset funktiot saadaan muistikolmioista, tämä voidaan ratkaista: sin 7 ( = sin 4 + 3 = sin 4 cos 3 + cos 4 sin 3 = + 3 = + 3 Trigonometriset htälöt sin = ± Ratkaise htälö sin = 4 5/6 / /6 sin = 4 sin = ± = ± 6 + n 5/6 / /6 = ± + n Ratkaise htälö cos + sin = Trigonometrisissa htälöissä pitää leensä hoksata jokin keino, jolla htälö saadaan ratkaistavaan muotoon; rutiinikeinoja, jotka toimisivat aina, 5
ei ole Kun nt käsiteltävään htälöön sijoitetaan cos = sin, siihen jää vain siniä: cos + sin = ( sin + sin = sin sin = 0 sin ( sin = 0 sin = 0 tai sin = = n tai = 6 + n tai = 5 6 + n Ratkaise htälö cos + sin = 0 Tapa Todetaan ensin, ettei ole cos = 0: Jos olisi cos = 0, niin olisi sin = ±, eikä htälö toteutuisi Siis cos 0, joten sillä voidaan jakaa: 3/4 tan = sin = cos tan = = 3 4 + n Nimittäin muistikolmiosta nähdään, että tan 4 nähdään oikeat neljännekset Siis Tapa Kätetään sitä, että ( sin = sin( = cos ( =, ja merkkikaavioista ( = cos + cos + sin = 0 cos = sin ( cos = cos + Nt tarvitaan huomio α cos = cos α = ±α + n cos α Siis ( cos = cos + ( = ± + + n α = + + n tai = + n 0 = + n }{{} ei ratkaisua tai = + n = 4 + n 6
Tapa 3 Kätetään kaavaa cos α + cos β = cos α + β cos α β (monisteessa ja kaavakokoelmassa: cos + sin = cos + cos ( = cos + ( cos ( = cos ( 4 cos ( 4 = cos ( 4 ; siis cos = 0 / / cos + sin = 0 cos ( 4 = 0 4 = + n = 3 4 + n On mukava katsoa edellisen esimerkin htälön cos + sin = 0 ratkaisuja graafisesti Kuviossa on kärät = cos ja = sin 3 4 7 4 4 = sin = cos Trigonometriset epähtälöt Ratkaise epähtälö cos /4 3/4 5/4 7/4 / / cos cos cos Pisteet cos = ±/ saadaan kun = 4 +n Kuviosta nähdään vastaus 4 + n 3 4 + n tai 5 4 + n 7 4 + n Nämä voidaan hdistää muotoon 4 + n 3 4 + n 7
Monisteen esimerkissä 4 nähdään menetelmä trigonometristen murtolauseke-epähtälöiden ratkaisemiseksi: Viedään kaikki samalle puolelle ja samalle murtoviivalle ja tehdään merkkitarkastelu Ratkaistaan epähtälö sin > tan Kirjoitetaan tan = sin cos ja noudatetaan sitten em ohjelmaa Huomaa, ettei cos :llä saa noin vain kertoa, koska sen merkkiä ei tunneta sin > tan sin > sin cos sin sin cos > 0 sin cos sin > 0 cos sin (cos > 0 cos Tutkitaan kolmen tekijän sin, cos ja cos merkit: + sin + cos + + cos + + /3 5/3 Yhdistetään: + / /3 + + + + + + + 0 + + + 3/ + Arkusfunktiot 5/3 Vastaus: n < < 3 + n tai + n < < + n tai 3 + n < < 5 3 + n Arkussini Sinifunktio sin : R R = sin 8
ei ole bijektiivinen, joten sillä ei ole käänteisfunktiota Jos siitä kuitenkin otetaan osa sin : [, ] [, ], niin tämä funktio on bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio, ns arkussini arcsin : [, ] [, ] = sin = arcsin Koska kseessä on käänteisfunktio, niin, kun [, ] ja [, ], = arcsin = sin, arcsin(sin( =, sin(arcsin( = Siis, kun on annettu b [, ], niin arcsin b:n lötämiseksi on lödettävä sellainen α [, ], että b = sin α; silloin α = arcsin b Tätä voi ajatella ksikkömprän avulla: sin α / α / b arcsin(b / / tai vaihtoehtoisesti sinin kuvaajasta menemällä päinvastaiseen suuntaan : sin α b α arcsin(b 9
45 b Kstään, mitä on arcsin(sin( 4 5 4 Jos olisi 5 [, ], niin olisi arcsin(sin( 4 5 = 4 5 (käänteisfunktiot, mutta näinhän ei nt ole Kuitenkin arcsin(sin( 4 5 on olemassa, ja sen lötämiseksi on lödettävä sellainen α [, ], että sin α = sin( 4 5 Yksikkömprän avulla nähdään, että α = 5 kelpaa Siis ( arcsin sin 4 = 5 5 Vaihtoehtoisesti voi katsoa kuvaajaa 4/5 sin(4/5 /5 / arcsin(4/5 / = sin 5 4 5 ja laskea arcsin(sin 4 5 = ( 4 5 = 4 5 = 5 Arkuskosini Kosinin käänteisfunktio arkuskosini käsitellään aivan samoin, paitsi että kosini katsotaan funktioksi cos : [0, ] [, ], sillä koska näin saadaan bijektiivinen funktio, niin voidaan määritellä käänteisfunktio arccos : [, ] [0, ] Siis, kun [0, ] ja [, ], niin = arccos = cos Monisteessa on arkuskosinin kuvaaja Muut vastaavat kuviot kuin edellä arkussinin htedessä ovat arkuskosinille seuraavanlaisia: α 0 cos α arccos(b 0 b 0
cos(α α b arccos(b 46 Kstään, paljonko on cos(arcsin(/ 5 Monisteessa tämä päätellään suorakulmaisesta kolmiosta Toinen tapa: Merkitään α = arcsin(/ 5 Silloin α [, ] ja sin α = / 5 Yleisesti cos α = ± sin α, mutta koska nt α [, ], niin cos α 0 Siis ( 5 cos α = sin α = = 5, toisin sanoen cos (arcsin 5 = 5 Hperbelifunktiot Neperin luku Neperin luku e =,78 voidaan määritellä eri tavoin, ja sivulla 6 tulee eräs: ( e = lim + Tässä kurssissa se otetaan tunnettuna Luku e on tärkeimpiä vakioita matematiikassa Eksponenttifunktioiden a joukossa e on tärkein, jopa niin, että termillä eksponenttifunktio usein tarkoitetaankin juuri funktiota e Luonnollinen logaritmi Eksponenttifunktion e : R (0, käänteisfunktiota sanotaan luonnolli- seksi logaritmiksi ln ; siis ln = log e : (0, R Käänteisfunktio-ominaisuuksista seuraa taas = ln = e e ln = ; ln(e =, kun, R, > 0 = e = ln Funktiot e ja ln ovat tärkeitä mm siksi, että ne toteuttavat ksinkertaiset De = e ja D ln = Silloin esimerkiksi d = ln + C Näistä johtuen e ja ln putkahtavat sovelluksissa esiin tuon tuostakin
Hperbelifunktiot eli hperboliset funktiot Määritellään hperbelisini ja hperbelikosini sinh = (e e : R R, cosh = (e + e : R R Nämä kaavat ovat kaavakokoelmassakin Samassa kaavassa (0 esiintvät areafunktiot arsinh ja arcosh ovat niiden käänteisfunktiot; ne eivät kuulu tähän kurssiin Mös määritellään hperbelitangentti ja -kotangentti: tanh = sinh cosh : R R, coth = cosh sinh : R \ {0} R Ajattelemalla hperbelisiniä ja -kosinia kahden eksponenttifunktion erotuksena ja summana, siis sinh = e / e / ja cosh = e / + e /, niiden kuvaajat on helppo hahmotella: = cosh = e / = e / = sinh Monisteessa on listattuna muutama hperbolisten funktioiden identiteetti Ne ovat seuraavassa taulukossa melkein kaikki ja lisäksi on kaksi muuta, ja rinnalla on eräät trigonometristen funktioiden identiteetit: cosh sinh = cos + sin = sinh( + = sinh cosh + cosh sinh cosh( + = cosh cosh + sinh sinh sinh = sinh cosh cosh = cosh + sinh cosh = tanh( + = tanh tanh +tanh +tanh tanh sin( + = sin cos + cos sin cos( + = cos cos sin sin sin = sin cos cos = cos sin cos = ± +tan tan( + = tan +tan tan tan
Huomataan, että hperbolisilla ja trigonometrisilla funktioilla on vastaavanlaiset identiteetit; vain merkkieroja tulee joihinkin kohtiin Nämä hperbolisten funktioiden identiteetit on helppo todistaa suoraan laskemalla lausekkeista sinh = (e e ja cosh = (e + e, kuten monisteen sivulla 54 tehdään; tosin viimeiset kaksi johdetaan mukavammin lemmistä identiteeteistä Huomautus Voidaan ksä, että jos hperbelifunktioiden identiteettejä voidaan todistaa noinkin helposti laskemalla suoraan lausekkeista (ks s 54, niin eikö trigonometrisilla funktioilla onnistuisi saman tapainen, kun ne kerran nättävät jotenkin analogisilta Todellakin, sellainen keino on olemassa, joskin sitä varten pitäisi tuntea kompleksifunktioiden teoriaa ja varsinkin Eulerin kaava e i = cos + i sin, missä nt esiint kompleksinen eksponenttifunktio Kaavasta seuraa sin = i (ei e i ja cos = (ei + e i, ja näillä lausekkeilla voi laskea Nämä asiat eivät kuulu tähän kurssiin Johdetaan funktion sinh : R R käänteisfunktion arsinh lauseke Kuvaajasta nähdään, että sinh on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio Kun, R, niin = sinh = (e e e e = 0 (e e = 0 e = ± +, missä kätettiin toisen asteen htälön ratkaisukaavaa Koska e > 0, niin miinusmerkki voidaan jättää pois (nimittäin + < 0 sillä + > Näin ollen = sinh e = + + = ln( + + Siispä käänteisfunktion lausekkeeksi tulee arsinh = ln( + +, ja jos halutaan merkitä argumentiksi, niin arsinh = ln( + + Samaan tapaan johdetaan funktion cosh käänteisfunktiolle lauseke arcosh = ln( + Bijektiivisttä varten cosh katsotaan funktioksi [0, [, Laskussa miinusmerkin hlkäämisen perustelu on hiukan vaikeampi kuin edellä 3