1 MAT-13430 Laaja matematiikka 3 TTY 2010 Risto Silveoie 1. Fuktiot, lukujoot, raja-arvot, jatkuvuus Kertaamme ja täydeämme Lama 1: fuktioita käsittelevää osuutta. Puuttuvista todistuksista suuri osa käydää läpi lueoilla, lopuista viitataa kurssikirjoihi tai myöhempii matematiika kursseihi. Määritelmät ilmaistaa lihavoiilla. Varsiaiset tulokset o muotoiltu Lauseiksi. Relaatiot Asioide välisiä yhteyksiä kuvataa yleisellä tasolla muu muassa relaatioilla. Matemaattisessa mielessä relaatio o järjestettyje parie ( x, y ) joukko, siis karteesise tulo osajoukko: R A B, jolloi R o relaatio "A:sta B:he" tai "A: ja B: välillä". Jos A=B, R o relaatio " A:ssa". Relaatiota alkiotasolla merkitää xry ( x, y) R, ja saotaa: " x o relaatiossa y:hy". Esimerkiksi järjestys x y o relaatio :ssä. Relaatio A:ssa o refleksiivie, jos xrx kaikilla x A symmetrie, jos xry yrx kaikilla x,y A trasitiivie, jos xry yrz xrz kaikilla x,y,z A. Jos relaatiolla o kaikki em. kolme omiaisuutta, se o ekvivalessirelaatio.
2 Jos relaatio o refleksiivie, trasitiivie ja atisymmetrie (xry yrx x=y), ii se o järjestysrelaatio. Kuvaukset Tärkeimpii relaatiotyyppeihi R A B kuuluu kuvaus eli fuktio. Se oleellisi piirre o, että jokaisella relaatiossa olevalla parilla ( x, y) esimmäistä pari alkiota x vastaa täsmällee yksi jälkimmäie alkio y. Relaatiossa ei voi siis olla pareja (x,y 1 ), (x,y 2 ), joilla y 1 y 2. Kuvaukse määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja. Kuvaus eli fuktio f joukosta X joukkoo Y liittää jokaisee jouko X alkioo x tarkallee yhde jouko Y alkio y = f(x). Fuktiolle f käytetää merkitää f : X Y. (Luetaa: " f X:stä Y:hy") (Lama 1:ssä käytettii tästä merkitää f : X Y, joka o kuiteki harviaisempi kirjallisuudessa. Yleesä "kaalla varustettu" uoli o käytössä tapauksessa x f( x), joka ilmaisee, että alkio x kuva o f ( x ).) Fuktio f : X Y määrittelyjoukko (domai)= X y Y y= f( x), x X b. ja arvojoukko (rage) = f(x) = { } Joukko Y o kuvaukse f maalijoukko. Jouko A X Siis f ( A) Y, mutta ei välttämättä ole = Y. kuva kuvauksessa f o f(a) = { y Y x A: y f( x) } Vastaavasti saotaa, että y=f(x) o alkio x kuva. =.
3 Jouko S Y alkukuva kuvauksessa f o f 1 (S) = { x X f( x) S}. Maalijouko Y alkiolla y voi olla useitaki alkioita x alkukuvassa f -1 ({y}), tai se voi olla tyhjäki. Koska kuvaus f : X Y o määritelty koko X:ssä, f -1 (Y) = X eli maalijouko alkukuva o määrittelyjoukko. Esim.1. Kuvaus f : määritellää yhtälöllä f(x) = 2x+1. Silloi a) f( {1,2} ) = { 3,5} b) f( (0,2) ) = (1,5) c) f( R ) = R d) f( Z ) = Z f ([0, )) = [, ). e) 1 1 2 Tehtävä 1. Osoita, että kuva ja alkukuva ovat "mootoisia joukkofuktioita": Ku f : X Y, A B X, S T Y, ii a) A B f( A) f( B) b) 1 1 S T f ( S) f ( T ) S T Y. Tehtävä 2. Olkoot A X, i I. Osoita, että leikkaukselle ja yhdisteelle pätee : i i i, i I i I i i.b i I i I a) f ( A) f( A) b) f ( A) = f( A)
4 Tehtävä 3. Olkoot S Y, j J. Osoita: j a) b) 1 1 j j, j J j J 1 1 j j. j J j J f ( S ) = f ( S ) f ( S ) = f ( S ) Tehtävä 4. Olkoo A X ja S Y. Osoita : a) b) c) 1 f ( f ( S)) S, A f 1 ( f( A)) 1 1 f Y S X f S ( \ ) \ ( ). Kuvauksia voidaa yhdistää: Jos f : X Y ja g: Y Z, ii yhdistetty kuvaus g f : X Z o kuvaus, joka ataa x:lle arvo ( g f)( x) = g( f( x)). Kuvaus f : X Y o a) surjektio, jos f ( X) = Y, b) ijektio, jos x z f( x) f( z), ts. jos eri alkioilla o eri kuvat, c) bijektio, jos se o sekä surjektio että ijektio.
5 Surjektiossa siis koko maalijoukko Y "peittyy" kuvilla f(x). Ijektiossa kahdella X: eri alkiolla o aia eri kuvat, ja Y: kullaki alkiolla siis korkeitaa yksi alkio alkukuvassaa. Esim.2. a) Kuvaus f :, f ( x) = 2x+ 1 o bijektio. b) Kuvaus f : + + f ( x) = 2x+ 1 o ijektio, mutta ei + = x x 0 = ei-egatiiviset reaaliluvut) surjektio. ( { } c) Kuvaus f : + ; 2 f ( x) = x o surjektio, mutta ei ijektio. 2 d) Kuvaus f :, f ( x) = x ei ole surjektio eikä ijektio. Lause 1. Ijektioista yhdistetty kuvaus o ijektio, surjektioista yhdistetty surjektio ja siis bijektioista yhdistetty o bijektio. Tehtävä 5. Osoita, että kuvaus f : X Y o a) surjektio f 1 ( { y} ) b) ijektio f 1 ( { y} ) b) bijektio f 1 ( { y} ) sisältää aiaki yhde alkio y Y, sisältää korkeitaa yhde alkio y Y, sisältää täsmällee yhde alkio y Y. Jos siis kuvaus f : X Y o bijektio, ii tehtävä 5 c)-kohta määrittelee f: kääteisfuktio f 1 : Y X.
6 Kääteisfuktiolle pätee: f 1 ( y) = x x= f( x), jote tällöi y f f y 1 = ( ( )), x = f 1 ( f( x)). Huomaa, että alkukuvalle ja kääteisfuktiolle käytetää yt samaa merkitää. Asiayhteydestä selviää, kumpaa tarkoitetaa. Bijektio f : X Y luetaa myös " f X:stä Y:lle ", eglaiksi " f from X oto Y". Sitä saotaa myös käätäe yksikäsitteiseksi kuvaukseksi, 1-1 eli oe-to-oe - fuktioksi. Lause 2. Jos f : X Y ja g : Y Z ovat molemmat bijektioita, ii yhdistety kuvaukse g f kääteiskuvaus o ( ) 1 1 1 : g f = f g Z X. Joukkoje mahtavuus Jouko S alkioide lukumäärä voidaa äärellise jouko tapauksessa ilmaista luetteloimalla alkiot x 1, x 2,, x ja toteamalla, että iitä o kpl. Tällöi voidaa ajatella, että muodostettii bijektio f: {1,2,3,,} S, f(k) = x k. Samaa ideaa soveltae määritellää, että joukot A ja B ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijektio f: A B. Joukoilla A ja B o silloi sama mahtavuus (cardiality), ja merkitää card(a)=card(b)
7 (Muita merkitöjä: A, #(A).) Eri joukkoje mahtavuudet ovat kardiaalilukuja. Äärellise -alkioise jouko mahtavuus o : card(a)=. Luoolliste lukuje jouko mahtavuutta merkitää symbolilla ℵ 0 (alef-olla). Jokaista joukkoa, joka o yhtä mahtava luoolliste lukuje kassa, saotaa umeroituvaksi. Ratioaalilukuje joukko o umeroituva, sillä kaikki murtoluvut voidaa luetella järjestyksessä 0, 1/1, -1/1, 1/2, 1/3, -1/2, 2/1, -2/1, 2/2, -1/3, 1/4, 1/5, -1/4, 2/3, -2/2, 3/1, joka sisältää kaikki ratioaaliluvut (useaaki kertaa, koska murtoluvut ovat siiä supistamattomassa muodossa). Numeroituvat joukot ovat mahtavuudeltaa pieimmät äärettömät joukot. Äärettömiä joukkoja karakterisoi omiaisuus, että iillä o aitoja osajoukkoja, jotka ovat yhtä mahtavia kui joukko itse. Esimerkiksi parilliste lukuje mahtavuus o sama ℵ 0. Reaalilukuje joukko ei ole umeroituva (vaa o yliumeroituva). Kotiuumihypoteesi saoo, ettei ℵ 0 : ja card( ): välissä ole mitää kardiaalilukua. Joot Joo o matematiika kaikkei perustavimpia käsitteitä ja se avulla kohdataa äärettömyys esimmäistä kertaa. Lukualueita muodostettaessa luoolliste lukuje joukko ={1, 2, 3,...} o lähtökohtaa, ja se alkioide lukumäärä o edellä todetu mukaisesti ääretö, umeroituva.
8 Joo koostuu luvuista x 1, x 2,,x,..., jossa jokaista ideksiä vastaa yksi joo luku. Matemaattisesti ajatelle kyseessä o siis fuktio luoollisilta luvuilta reaalilukuje joukkoo: Reaalilukujoo o fuktio. Jos siis jokaista luoollista lukua kohti asetetaa vastaamaa reaaliluku x, sytyy lukujoo x 1, x 2,..., x,... eli lyhyesti (x ) (Merkitää usei myös hiuka harhaajohtavasti { x }.) Tässä mielessä joossa o siis aia ääretö määrä termejä x (jokaisella :llä yksi). Toisaalta joolla ei tarvitse olla ääretötä määrää arvoja x, esimerkiksi vakiojoolla x = c, =1,2, o vai yksi arvo, c. Siis joo (x ) ja se arvojoukko {x : } ovat eri asioita. Joo (sequece) o tässä yhteydessä siis aia päättymätö, ääretö joo. Samaa termiä käytetää suomekielessä myös äärellisestä joosta (esim. kahvila joo), eglaiksi queue, mutta asiayhteydestä yleesä ilmeee, kumpaa tarkoitetaa. Jooja käytetää usei iteroitimeetelmissä, joissa jotaki ogelmaa ratkaistaa toistuvasti ii, että tuloksea o yhä tarketuva approksimoivie ratkaisuje joo. Tällöi ihaetapauksessa joo arvot lähestyvät haettua ogelma ratkaisua, ku eli iteroitie lukumäärää kasvaa. Tämä ajattelu perustuu joo raja-arvo käsitteesee. Raja-arvo o arvo, jota yleesä ei tarkkaa saavuteta, vaa sitä lähestytää yhä lähemmäksi ja lähemmäksi : kasvaessa rajattoma suureksi. Tarvittava "läheisyyde" käsite voidaa muotoilla täsmällisee asuu seuraavasti: Olkoo x ja ε >0. Avoita väliä ( x - ε, x +ε) kutsutaa luvu x ympäristöksi tai ε- ympäristöksi, ja merkitää usei U(x;ε).
9 Lukujoo ( x ) suppeee ja se raja-arvo o = x, jos jokaista x: ympäristöä U(x;ε) vastaa luku ε site, että x U(x;ε), ku > ε. Lukujoo ( x ) siis suppeee, jos jokaista positiivilukua ε kohti o olemassa luku ε site, että x - x < ε, ku > ε. Tällöi merkitää lim x = x tai yksikertaisesti x x. Alla o kuvattu kaksi tapausta lukujoosta (a ), joka suppeee kohti rajaarvoa L. Vaaka-akseli o ideksiakseli, jossa ideksi kulkee 1, 2, 3,... ja pystyakselilla ovat vastaavat joo arvot a. Ku joo suppeee kohti raja-arvoa x, ii joo termit ovat halutu lähellä (ε-tolerassilla mitate) raja-arvoa, kuha ideksi o riittävä suuri (> ε ). Jos termit halutaa lähemmäksi (ε-lukua pieeetää), riittää meä joossa tarvittava mota termiä eteepäi eli kasvattaa ideksiä. Oheisessa kuvassa joo (a ) raja-arvo o L, ja termie arvot ovat y- akselilla. Korostetut pisteet ovat pisteitä (,a ).
10 Jos lukujoo ei suppee, se hajaatuu. Hajaatumie voi olla meoa kohti ääretötä (merkitää myös x tai x - ) tai sitte termit voivat "poukkoilla" kahde tai useamma arvo välillä tai käyttäytyä vielä epäsääöllisemmi. Esim. 3 Osoita, että vakiojoo ( x ) arvoilla, suppeee., missä x = c = vakio kaikilla Esim. 4 Osoita (määritelmä perusteella), että lim ( 1/) = 0. Esim. 5 Osoita (määritelmää ojautue), että lim 3 + 4 4 + 5 = 3. 4 Esim. 6 Joo a =r suppeee täsmällee silloi, ku -1<r 1.
11 Joo ( x ) o Cauchy joo, jos jokaista positiivilukua ε kohti o olemassa luku ε site, että > ε x+ p x < ε p. Cauchy joo termit siis "ahtautuvat" joossa pitemmälle metäessä. Lause 3. Jos joo ( x ) suppeee, ii se o Cauchy joo. Tod.: Jos x=lim x, ii kolmioepäyhtälö perusteella x +p -x x +p -x + x -x <ε/2+ε/2=ε, ku riittävä suuri ja p N. Toisaalta muulla tavalla käyttäytyviä suppeevia reaalilukujooja ei sitte olekaa, eli :ssä joo o suppeeva täsmällee silloi, ku se o Cauchy joo. (Tämä o syvällie Cauchy suppeemiskriteeri. O olemassa sellaisiaki avaruuksia, joissa Cauchy joot eivät välttämättä suppee. Esimerkkiä käy ratioaalilukuje joukko. Todistetaa kurssilla Matemaattie aalyysi.)
12 Lause 4. Mikää lukujoo ei voi supeta kahta tai useampaa raja-arvoa kohti, suppeeva lukujoo raja-arvo o yksikäsitteie. Tod.: Jos x ja y ovat joo (x ) raja-arvoja, ii x-y = x-x +x -y x-x + y-x 0, ku. Esim. 7 Joo 0,1,0,1,0,1,0,1, hajaatuu. Esim. 8 Joo 0,1,2,3,4,5,6,7, hajaatuu. Reaalilukujoo ( x ) o rajoitettu, jos o olemassa vakio M site, että x M. Lause 5. Suppeeva lukujoo o rajoitettu, mutta rajoitettu lukujoo ei välttämättä ole suppeeva. Tod.: Jos x=lim x, ii x x -x + x <1+ x =:K, ku > 1. Jos merkitää { 1 1 } M = max x,, x, K, o siis x M. Epäyhtälöt "säilyvät rajalla": Lause 6. Jos x M ja lim x = x, ii x M. Tod.: Olkoo ε>0. Silloi o olemassa sellaie ε, että x -x <ε, ku > ε. Siis
13 x = x-x +x x-x +x <ε+x ε+m. Koska tämä pätee mielivaltaiselle ε>0, o x M. Raja-arvoje laskeassa voidaa käyttää yhteelasku, kertolasku, vakiolla kertomise ja jakolasku säätöjä: Lause 7. Olkoot ( x ) ja ( y ) suppeevia reaalilukujooja, joide raja-arvot ovat vastaavasti x ja y. Silloi a) lim ( x+ y) = x + y = lim x +lim y b) lim ( x y ) = x y = lim x lim y c) lim ( cx ) = c x = c lim x c x d) lim y = x y = lim x lim y, edellyttäe että y 0 ja että y 0. Tod.: a) Olkoo ε>0. Silloi o olemassa 1 ja 2 site, että x -x <ε/2 ja y - y <ε/2, ku > 1 ja > 2. Siis (x +y )-(x+y) = (x -x)+(y -y) x -x + y -y < ε/2+ε/2=ε, ku >max{ 1, 2 }. Muut kohdat meevät vastaavasti. Erittäi hyödyllie raja-arvoje laskeassa o myös oheie "kuristusperiaate"
14 Lause 8. Jos joot (a ) ja (c ) suppeevat kohti samaa raja-arvoa L ja o voimassa epäyhtälö a b c, ii myös joo (b ) suppee kohti raja-arvoa L. Esim. 9 lim ( 2/) = 2 lim (1/) = 2 0= 0. Esim. 10 lim 3 + 4 4 + 5 = 3+ 4/ lim 4 + 5/ = lim(3+ 4/ ) lim(4 + 5/ ) = 3 4. Esim. 11 lim 2 2 + 7+ 3 3 2 5 2 + 2 1 = lim 2 3 2/ + 7/ + 3/ 5 2/ + 2/ 1/ 2 3 = 0. Esim. 12 lim ( + 2 + 1) = 2 2 2 2 2 2 ( + 2 + 1)( + 2 + + 1) lim 2 2 + 2+ + 1
15 =lim 1 + 2+ + 1 = 0. 2 2 Käytäö lasketa tehdää aia lopulta ratioaaliluvuilla. Näi saadaa kuiteki mikä hyväsä reaaliluku esitettyä mielivaltaise tarkasti approksimoitua: Lause 9. Olkoo x. Silloi o olemassa ratioaalilukujoo, joka suppeee kohti pistettä x. Otetaa aia väliltä (x-1/, x+1/) joki ratioaaliluku x. Se o mahdollista, koska jokaisella avoimella välillä o aia (jopa ääretö määrä) ratioaaliluku(ja). Jos joosta poimitaa eteepäi metäessä vai osa termeistä, mutta kuiteki äärettömä mota, saadaa osajoo. Tällöi siis idekseistä poimitaa aidosti kasvavassa järjestyksessä osa, taaksepäi ei saa meä. Esim. 13 Joolla (0,1,0,1,0,1,0,1, ) o esimerkiksi osajoot (0,0,0,0,0, ) ja (1,1,1,1,1, ). Muodosta vielä joki kolmas osajoo. Esim. 14 Joo (1,2,4,3,5,6, ) ei ole joo (1,2,3,4,5,6, ) osajoo, koska alkioide järjestys ei ole sama.
16 Lause 10. Olkoo (x ) joo, joka suppeee kohti reaalilukua x. Silloi jokaie joo (x ) osajoo suppeee myös kohti lukua x. Ja käätäe, jos kaikki osajoot suppeevat kohti samaa raja-arvoa x, ii äi tekee koko jooki. Tod.: Olkoo ( x k ) osajoo ja ε>0. O siis olemassa 0 site, että x -x < ε, ku > 0. O olemassa k 0 site,että ku k>k 0, ii k > 0. Silloi x k x <ε, ku k>k 0. Esim. 15 Esimerkki 5: osajooilla (0,0,0,0,0, ) ja (1,1,1,1,1, ) o eri rajaarvot: 0 ja 1, jote joo (0,1,0,1,0,1,0,1, ) o hajaatuva. Reaalilukujoo ( x ) o kasvava ( vastaavasti, aidosti kasvava ), jos x x + 1 (vastaavasti x < x + 1). Reaalilukujoo ( x ) o väheevä ( vastaavasti, aidosti väheevä), jos x x + 1 (vastaavasti x > x + 1 ). Reaalilukujoo ( x ) o mootoie, jos se o kasvava tai väheevä. Jos kasvava joo o ylhäältä rajoitettu, se ei voi karata äärettömyytee, ja ylärajaa ee se arvot väkisi pakkautuvat yhtee, koska edestakaie oskilloiti estyy mootoisuude takia. Vastaava pätee alhaalta rajoitetulle väheevälle joolle. Lause 11. Rajoitettu mootoie reaalilukujoo suppeee. Käätäe, mootoie joo voi olla suppeeva vai, jos se o rajoitettu.
17 Edellä riittää kasvava joo tapauksessa selvittää joo ylhäältä rajoitetuksi, koska kasvava joo o automaattisesti alhaalta rajoitettu. Vastaava pätee väheevälle joolle. Teht. 6 Lukujoo (x ) määritellää rekursiivisesti site, että x 1 =1 ja x +1 = 6 + x, =1,2,. Osoita iduktiolla, että joo o kasvava ja ylhäältä rajoitettu. (Ylärajaehdokas löytyy kokeilemalla alusta.) Siis joo voidaa äi osoittaa suppeevaksi. Ku rekursioyhtälö molemmilla puolilla aetaa, ähdää myös, mikä raja-arvo o. Reaalifuktiot Reaalifuktio o fuktio f: A B, missä määrittelyjoukko Dom f =D f = A ja maalijoukko B. Reaalifuktiota merkitää usei y=f(x) tai x f(x) tai lyhyesti f(x) (vaikka tämä merkitä tarkkaa ottae tarkoittaaki fuktio f arvoa pisteessä x). Jos fuktio lauseke f(x) o aettu ja määrittelyjoukkoa ei ole se tarkemmi spesifioitu, ii määrittelyjoukoksi otetaa yleesä laaji
18 mahdollie : osajoukko, jossa lauseke f(x) voidaa laskea, s. f: luoollie määrittelyjoukko. Esim. 16. f(x)= x 2 4, luoollie määrittelyjoukko o (-,-2] [2, ). Arvojoukko (rage) o R = f( A) B. Usei laitetaa B =. Edellisessä esimerkissä = = [0, ). R f + f Reaalifuktiota esitetää tuttuu tapaa kuvaajalla, joka o pisteide (x,y) joukko x,y-tasossa, ja y =f(x). Määrittelyjoukko o silloi x-akseli osajoukko ja arvojoukko y-akseli. Fuktio perusomiaisuus (jokaisella määrittelyjouko x:llä o tasa yksi y=f(x)) äkyy kuvaajassa site, että x: kautta kulkeva pystysuora leikkaa kuvaaja täsmällee kerra. Kääteisfuktio g=f -1 : B A o myös reaalifuktio, silloi ku sellaie o olemassa eli ku f o bijektio. Tällöi y=f(x) x=f -1 (y)=g(y), Dom f = R g, R f = Dom g. Kuvaaja o sama pistejoukko tasossa, mutta muuttuja o yt y-akselilla ja arvot x-akselilla. Joskus vaihdetaa x ja y keskeää, jolloi kääteisfuktioki muuttuja o taas imeltää x ja arvot y. Silloi kuvaajat y=f(x) ja y=f -1 (x) ovat samassa tasossa, ja e saadaa peilaamalla toisistaa suora y=x suhtee (tätähä x: ja y: vaihtamie merkitsi geometrisesti).
19 Moesti fuktiolla f:a B ei ole kääteisfuktiota, mutta jollaki se rajoittumalla f C : C B o, missä C A o A: aito osajoukko. Rajoittuma määrittelyjoukko o siis suppeampi joukko C, jossa se saa samat arvot, kui alkuperäie fuktio f. Eli fuktio f ja rajoittuma f C aioa ero o määrittelyjoukossa. Tavallisesti molempia fuktioita, f:ää ja se rajoittumaa merkitää f(x):llä, ja ero määrittelyjoukoissa pidetää vai mielessä. + 2 Esim. 17. Fuktio f :, f( x) = x, ei ole bijektio, mutta f: rajoittuma eiegatiiviste reaalilukuje joukkoo + o. Siellä f:llä o kääteisfuktio 1 1/2 f :, f ( y) = y. + + Reaalifuktioista f: Dom f, g: Dom g yhdistetty fuktio h=g f: Dom h o myös reaalifuktio, joka määrittelyjoukko o Dom h = f -1 (Dom g ). Pistee x arvo o siis z = h(x) = (g f)(x) = g(f(x)), ja siksi fuktiota f saotaaki sisäfuktioksi ja fuktiota h ulkofuktioksi. Fuktioide yhdistämistä voi myös pitää sijoittamisea: fuktioo g(y) sijoitetaa y: paikalle y=f(x). Raja-arvo Reaalifuktio f raja-arvo pisteessä p o se arvo, jota fuktio arvot f(x) läheevät, ku x läheee p:tä. Fuktio o oltava silloi määritelty p: ympäristössä, pistettä p mahdollisesti lukuu ottamatta. Läheisyyttä mitataa kute lukujooje tapauksessaki luvulla ε > 0 fuktio arvoille, ja toisella
20 luvulla δ >0 muuttuja arvoille. Fuktio f raja-arvo o A, ku x läheee p:tä, lim f ( x ) = A x p täsmällee silloi, ku jokaisella ε > 0o olemassa sellaie δ >0,että f(x) -A < ε, ku 0< x-p <δ. Eli ε:lla määrätää se, kuika lähelle A:ta halutaa, δ kertoo sitte, kuika lähelle pistettä p o metävä. Raja-arvoa merkitää myös: f(x) A, ku x p. Fuktio ja lukujoo raja-arvokäsitteet kytkeytyvät toisiisa: Lause 12. lim f ( x ) = A täsmällee silloi, ku lim f ( x ) x p = A jokaisella sellaisella joolla ( x ), jolla lim x = p. Jos lähestytää vai toiselta puolelta, kyseessä o toispuoleie raja-arvo: lim f(x) x p lim f(x) x p+ vasemmapuoleie raja-arvo oikeapuoleie raja-arvo Raja-arvoje laskemisessa o usei hyötyä seuraavasta kuristusperiaatteesta: Lause 13. Jos fuktio f o kahde fuktio g ja h välissä: g(x) f(x) h(x) pistee p ympäristössä, ja g(x) A ja h(x) A, ii myös f(x) A.
21 Fuktioide raja-arvoille pätee samat perussääöt kui lukujooje tapauksessa oli esillä: Lause 14. Jos f(x) A ja g(x) B, ku x p, ii a) f(x)+g(x) A+B b) cf(x) ca c) f(x)g(x) AB d) f(x)/g(x) A/B (ku g(x) 0, B 0) Fuktiolla f o raja-arvo A äärettömyydessä, jos riittävä suurilla x: arvoilla f(x): arvo saadaa lähelle A:ta: lim f ( x) = A x Jokaisella ε >0 o olemassa M site, että f(x)-a < ε, ku x > M. Vastaavasti määritellää raja-arvo :ssä. Usei voidaa lukujoo suppeemistarkastelu muutaa vastaava reaalifuktio raja-arvo tutkimiseksi: Lause 15. Joo (a ) suppeee kohti raja-arvoa L, jos lim f ( x) = L, x missä f() = a.
22 Tämä mahdollistaa myöhemmi esitettävä fuktioide raja-arvoje L Hospitali sääö käytö myös lukujooje raja-arvoje laskeassa. Fuktiolla o raja-arvo ääretö, f(x), ku x p, mikäli f: arvot kasvavat rajattoma suuriksi pistettä p lähestyttäessä: lim f ( x ) = x p Jokaisella M > 0 o olemassa δ > 0 site, että f(x) > M, ku 0< x-p < δ. Vastaavasti määritellää tapaus f(x). Jatkuvuus Fuktio f: Dom f o jatkuva pisteessä p Dom f, jos f(x) f(p), ku x p. Jatkuvalla fuktiolla siis raja-arvo laskemie tapahtuu sijoittamalla arvo x=p fuktioo. (Sijoittamise käytäö oistumie edellyttää f: lausekkeelta sääöllisyyttä, esim. että murtolauseke o supistettu yhteisistä tekijöistä.) Jos fuktio ei ole jatkuva määrittelyjoukkosa pisteessä p, se o siiä epäjatkuva. Silloi joko fuktiolla ei ole p:ssä raja-arvoa tai raja-arvo o, mutta se arvo o f ( p ). Jos fuktiolla f o pisteessä p eri suuret toispuoleiset raja-arvot, piste p o fuktio hyppykohta. Tämä o "sääöllisi" epäjatkuvuuskohta. Fuktio o jatkuva fuktio, jos se jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkosa pisteessä. Fuktio o paloittai jatkuva, jos se jatkuva paitsi äärellise moessa hyppykohdassa.