Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi kulkeva sähkökentän vuo on veannollinen tämän suljetun pinnan sisälle jäävän vaauksen määään. Näin on iippumatta pinnan muodosta ja vaausjakauman muodosta. Gaussin lakia ei kuitenkaan voi käyttää sähkökentän laskemiseen kuin tietyissä symmetisissä tapauksissa. Laskuvinkkejä: Mieti ensin, voiko kyseisessä tehtävässä käyttää Gaussin lakia vai pitääkö vaaus paloitella pieniksi vaausalkioiksi ja sen jälkeen integoida. (Katso jäljempänä oleva taulukko Menetelmän valinta sähkökenttiä laskettaessa.) Piiä vaauksista lähtevät kenttäviivat. Luentomonisteessa keotaan kenttäviivojen ominaisuuksista. Lisää tietoa saat sähkökentän suunnista, kun lasket sähkökenttiä paloittelumenetelmällä. Valitse sitten Gaussin suljettu pinta. Se on yleensä näissä laskuissa joko pallo tai sylintei. Pistevaauksille, palloille ja pallokuoille valitaan pallon muotoinen Gaussin pinta. Pitkille langoille, sylinteeille, sylinteikuoille valitaan sylintein muotoinen Gaussin pinta, joka asetetaan langan tai sylintein suuntaisesti. Tasoille ja tasomaisille ajapinnoille voidaan käyttää myös sylinteiä, mutta nyt sylintei asetetaan kohtisuoaan tasoa vastaan siten, että se kulkee tason läpi. Katso jäljempänä oleva kuva! Pallon muotoinen Gaussin pinta piietään siten, että pinta on siinä kohdassa, missä sähkökenttä halutaan laskea. Sylintein muotoinen Gaussin pinta piietään siten, että joko kansi tai vaippa (iippuu tapauksesta) on siinä kohdassa, missä sähkökenttä pitää laskea. tsi ne kohdat, missä Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo nolla. ds on tsi seuaavaksi ne kohdat, joissa Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat kotisuoassa toisiaan vastaan. Siellä ds voidaan kijoittaa ds. Jos Gaussin pinta on oikein valittu, yleensä edellisen kohdan pinnalla sähkökenttä on vakio, jolloin voidaan ottaa integaalimekin eteen. Nyt ds on pelkkä pinta-ala niille alueille, joilla Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat kohtisuoassa. S Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu pinta, jolle mekittäisiin ds S Laske seuaavaksi Gaussin lain oikea puoli eli määitä suljetun pinnan sisään jäävät vaaukset Q SIS. Jos vaausjakauma ei ole vakio, integoidaan.
Mekitse yhtä suuiksi se, minkä sait Gaussin lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Gaussin lain oikealta puolelta. atkaise yhtälöstä sähkökenttä. Seuaavassa on esitetty eilaisia tilanteita ja niihin sopivia Gaussin pintoja. Pallosymmetinen vaausjakauma: Gaussin pinta Sylinteisymmetinen vaausjakauma: Gaussin pinta L
Tasomainen vaausjakauma tai ajapinta: Gaussin pinta Täällä sähkökenttä voi olla ylöstai alaspäin tai nolla.
Menetelmän valinta sähkökentän laskemisessa Joskus on vaikea tietää, voiko Gaussin lain integaalimuotoa käyttää. Seuaavasta taulukosta voi olla apua: Vaausjakauman muoto Pistevaaus Umpinainen pallo Pallokuoi Sisäkkäiset pallot Pitkä umpinainen sylintei Pitkä ontto sylintei Koaksiaalikaapeli Pitkät sisäkkäiset sylinteit Pitkä suoa lanka Laaja taso Useita yhdensuuntaisia laajoja tasoja Kahden ei aineen tasomainen ajapinta Jatkuva vaausjakauma esimekiksi ilmassa tai avauudessa Lyhyt lanka Ympyälevy Ympyäengas pämäääisen muotoinen kappale Toimiva Gaussin pinta Pallo Pallo Pallo Pallo Sylintei Sylintei Sylintei Sylintei Sylintei Sylintei tai suoakulmainen sämiö Sylintei tai suoakulmainen sämiö Sylintei tai suoakulmainen sämiö Sylintei tai suoakulmainen sämiö i voi käyttää Gaussin lakia i voi käyttää Gaussin lakia i voi käyttää Gaussin lakia i voi käyttää Gaussin lakia
simekki 7: -säteisessä pallossa on tasaisesti jakautuneena positiivinen vaaus Q. Laske sähkökenttä pallon ulkopuolella. atkaisu: Valitaan Gaussin pinnaksi pallo, jonka säde on isompi kuin. Gaussin pinta (Positiivisesta pistevaauksesta ja) positiivisesti vaatusta pallosta lähtee säteettäin ulospäin sähkökentän kenttäviivoja, jotka ovat kohtisuoassa kyseisen vaatun pallon pintaa vastaan. Sähkökenttävektoi on siis kohtisuoassa myös Gaussin pallon (joka on ulompana) pintaa vastaan ja yhdensuuntainen pinta-alkiovektoin kanssa, josta syystä vektoeiden ja ds pistetulosta tulee tavallinen skalaaitulo ds. Lisäksi sähkökentän itseisavo on symmetian vuoksi vakio kyseisellä pinnalla, jolloin voidaan ottaa integaalimekin eteen. Näiden kahden ehdon peusteella saamme Gaussin lain vasemman puolen muotoon: S d S S ds S ds 4 Oikea puoli saadaan helposti, sillä Gaussin pinnan sisäpuolelle jäävä vaaus on Q sis = Q. Nyt saamme lopulta: 4 Q Q 4 li tasaisesti vaatun pallon kenttä on sama kuin pistevaauksen kenttä.
simekki 8: Ääettömän pitkässä suoassa langassa on vaaus pituusyksikköä kohden = λ. Laske sähkökenttä :n etäisyydellä langasta. (Langan poikkileikkaus on ympyä, jonka säde on.) atkaisu: Käytetään Gaussin lakia. Gaussin laki: d S S Q sis Nyt valitaan Gaussin pinnaksi sylintei, jonka pituus on L ja pohjan säde (> ). Lasketaan ensin yhtälön vasen puoli. d S on pinta-alkiovektoi. Sen itseisavo eli suuuus on pinta-alkion ds suuuinen ja sen suunta on kohtisuoaan pintaa vastaan. on sähkökenttä ja se on tällaisen ääettömän pitkän langan tapauksessa kohtisuoassa lankaa vastaan. Kuvasta nähdään, että Gaussin pintana toimivan sylintein vaipalla ja d S ovat yhdensuuntaisia. Sylintein päissä sen sijaan ja d S ovat kohtisuoassa. Miten käy pistetulon ds? Kun vektoit ovat kohtisuoassa toisiaan vastaan, niiden välinen pistetulo tulee nollaksi. Näin käy sylintein päissä. Kun vektoit ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen pistetulo tulee pelkäksi itseisavojen tuloksi eli tässä tapauksessa ds:ksi. Näin käy vaipalla. L (dellä on sovellettu kaavaa: A B A B cos, missä α on vektoeiden A ja B välinen kulma.) Paloitellaan Gaussin lain vasen puoli: ds ds ds ds ds ds S vaippa päät vaippa vaippa vaippa L
saatiin ottaa pois integaalimekin sisältä, sillä sähkökentän itseisavo on vakio vaipan alueella, koska vaippa on vakioetäisyydellä langasta. Tällöin integaali: ds vaippa kuvaa pelkkää vaipan alaa, joka on πl. Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: Q sis takoitti Gaussin pinnan sisään jäävää vaausta. Lasketaan siis sylintein sisään jäävä vaaus. Sylintein pituus on L. Langassa on vaaus pituusyksikköä kohden λ, joten sylintein sisään jää Q sis = Lλ. Nyt saadaan Gaussin laki muotoon: L L (Kuvan olen piitänyt sillä oletuksella, että langan vaaus on positiivinen.) simekki 9: Tasaisesti vaatussa -säteisessä pallossa on vaaustiheys ρ. Laske sähkökenttä pallon sisäpuolella. atkaisu: Gaussin pinnaksi valitaan taas pallo. Gaussin lain vasemmasta puolesta tulee samanlainen kuin simekissä 7 (ja samoin peustein), nyt vain on pienempi kuin. Oikealla puolella pitää laskea Q sis eli -säteisen pallon sisäpuolelle jäävä vaaus. Se on helppoa, koska vaaustiheys on vakio: Q sis = ρv sis = ρ(4/)π Nyt Gaussin laki on saatu muotoon: 4 4
simekki 1: Pallossa, jonka säde on, on vaaustiheys (1 / Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä kun < ja kun >. atkaisu: )
simekki 11: Sylinteisymmetinen vaaustiheys alueessa < on muotoa (1 / ), missä ρ ja ovat vakioita ja on etäisyys symmetia-akselista. Tämän alueen ulkopuolella vaaustiheys on nolla. Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä, kun < ja kun >. atkaisu:
simekki 1: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetisesti xztasoon nähden. (Katso kuva!). Levyn ulkopuolella ei ole vaausta. Laske sähkökenttä y:n funktiona, kun levyn vaaustiheys on Cy. y atkaisu: x
1.. Gaussin lain diffeentiaalimuoto Gaussin lain integaalimuodosta voidaan johtaa Gaussin lauseen avulla diffeentiaalimuoto: Diffeentiaalimuoto on kätevä silloin, kun on laskettava sähkökenttä systeemissä, jossa vaaustiheys ei ole vakio, kuten esimekeissä 1-1. Näissä laskuissa tavitset divegenssiopeaattoeita ei koodinaatistoissa. Suoakulmaisessa koodinaatistossa: Sylinteikoodinaatistossa: Pallokoodinaatistossa: Kun systeemissä on pistevaaus tai kappale, jossa on vakiovaaustiheys, tällä menetelmällä laskeminen voi olla paljon monimutkaisempaa kuin käyttäen Gaussin lain integaalimuotoa. Lasketaanpa simekki 7 tällä menetelmällä: simekki 1: -säteisessä pallossa on tasaisesti jakautuneena positiivinen vaaus Q. Laske sähkökenttä pallon ulkopuolella. Käytä Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. atkaisu: Pallon ulkopuolella vaaustiheys on nolla. Käytetään pallokoodinaatistoa: 1 ( ) 1 ( sin ) 1 sin sin
Tiedämme, että sähkökentällä on ainoastaan adiaalinen komponentti eli komponentit θ ja φ ovat nollia. Yhtälö sievenee muotoon: ) ( 1 Keotaan yhtälön molemmat puolet :lla: ) ( Nyt saamme: C C (*) Joudumme laskemaan sähkökentän myös pallon sisäpuolella, jolloin saamme eunaehdosta atkaistua vakion C. Pallon sisällä on vaaustiheys 4 4 Q Q Sijoitetaan vaaustiheys Gaussin lain diffeentiaalimuotoon: 4 sin 1 ) sin ( sin 1 ) ( 1 Q Poistetaan yhtälöstä kulmaiippuvat komponentit: 4 ) ( 1 Q Keotaan yhtälön molemmat puolet :lla: 4 ) ( Q Integoidaan: d Q d 4 ) ( 4 4 Q Q (**) Sähkökentän täytyy olla jatkuva kohdassa =, jolloin (*):stä ja (**):stä saadaan: 4 4 Q C Q C li nyt vasta saimme sähkökentän pallon ulkopuolella: 4 Q C
Kokeillaan, miten esimekit 1 1 onnistuvat Gaussin lain diffeentiaalimuodolla. Huomataan, että menetelmä on veattain kätevä tällaisissa systeemeissä. simekki 14: Pallossa, jonka säde on, on vaaustiheys (1 / ) Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä kun < ja kun > käyttäen Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. atkaisu:
simekki 15: Sylinteisymmetinen vaaustiheys alueessa < on muotoa (1 / ), missä ρ ja ovat vakioita ja on etäisyys symmetia-akselista. Tämän alueen ulkopuolella vaaustiheys on nolla. Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä, kun < ja kun > käyttäen Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. atkaisu:
simekki 16: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetisesti xztasoon nähden. (Katso kuva!). Levyn ulkopuolella ei ole vaausta. Laske sähkökenttä y:n funktiona, kun levyn vaaustiheys on Cy käyttäen Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. y atkaisu: x