Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa. Vierimisliike koostuu kaltevan tason suuntaisesta kappaleen massakeskipisteen etenevästä liikkeestä, joka on tasaisesti kiihtyvää, sekä kappaleen pyörimisestä massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri. Määrität vierivien kappaleiden etenemisliikkeen kiihtyvyydet mittaamalla kappaleiden vierintäaikoja matkan funktiona. Kappaleiden hitausmomentit saat selville punnitsemalla kappaleet ja mittaamalla niiden halkaisijat. Tutkimalla vieriviin kappaleisiin vaikuttavia voimia dynamiikan peruslain avulla saadaan yhtälöt, joista voit laskea teoreettisesti kappaleiden etenemisliikkeen kiihtyvyydet, kun tason kaltevuuskulma tunnetaan. Työn toisessa osassa tutkit suorakulmaisen särmiön liukumista pitkin kaltevaa tasoa. Tarkoituksenasi on määrittää pienin mahdollinen kaltevuuskulma eli rajakulma, jolla särmiö vielä liukuu pitkin tasoa. Tarkastelemalla liukuvaan kappaleeseen vaikuttavia voimia voidaan johtaa yhtälö, joka esittää liu unta-ajan ja tason kaltevuuskulman välistä riippuvuutta. Yhtälöstä nähdään, että mittaamalla liu unta-aikoja kaltevuuskulman funktiona ja esittämällä tulokset sopivassa koordinaatistossa, saat kuvaajan, josta voit määrittää rajakulman arvon. Rajakulman avulla saat selville myös kappaleen ja tason välisen kitkakertoimen.. Teoria.1 Vierimisliike kaltevalla tasolla.1.1 Tasaisesti kiihtyvä liike Tarkastellaan kuvan 1 mukaista tilannetta, jossa kappale vierii pitkin kaltevaa tasoa. Kappaleen vieriessä sen massakeskipiste on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, jolloin massakeskipisteen etenevän liikkeen kiihtyvyyden a, nopeuden v ja ajan t välillä on yhteys t v dv a = Þ adt = ò dv Þ v = v dt ò v + at, (1)
jossa on ajateltu, että liikkeen tarkastelu aloitetaan hetkellä t =. Tällöin massakeskipisteen kaltevan tason suuntaisen paikan x, nopeuden v ja ajan t välinen riippuvuus on muotoa v dx t x t = Þ = dx Þ x - x = dt ò vdt ò ò x ( v + at) dt Þ s = v t + 1 at, () jossa kaltevan tason suunnassa kuljettua matkaa on kuvan 1 mukaisesti merkitty symbolilla s. Jos kappale lähtee liikkeelle levosta eli jos sen alkunopeus v =, vierintämatkan s, vierintäajan t ja etenevän liikkeen kiihtyvyyden a välillä on yhteys s = 1 at. (3) y a x Kuva 1. Kaltevalla tasolla vierivä kappale.1. Kappaleiden hitausmomentit Kappaleen hitausmomentti, jota merkitään usein symbolilla I, on suure, joka riippuu pyörimisakselin paikasta kappaleessa ja kappaleen massan jakautumisesta pyörimisakselin suhteen. Jäykän kappaleen, jonka massa on jatkuvasti jakautunut, hitausmomentti voidaan laskea yhtälöstä I = ò r dm, (4) missä dm on massa-alkio, jonka kohtisuora etäisyys pyörimisakselista on r. Yhtälöä (4) käyttäen saadaan työssä käytettäville kuulalle, sylinterille ja sylinterirenkaalle Taulukon 1 mukaiset hitausmomentit massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Näitä hitausmomentteja merkitään usein symbolilla I. Taulukossa 1 on jatkoa varten laskettu myös suhde K = I ( MR ), missä M on kappaleen massa ja R on kappaleen säde. Esimerkkejä erilaisten kappaleiden hitausmomenttien laskemisesta löydät mm. kirjasta Young ja Freedman: University Physics.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 3 Taulukko 1. Työssä käytettävien vierivien kappaleiden hitausmomentit massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen Kappale Massa Ulkosädsäde Sisä- Kuula M R - 5 MR 5 I K = I ( MR ) Sylinteri M R - 1 1 MR Sylinterirengas M R R 1 s ( R ) + ( M + ( ) 1 1 / R ) R s R s.1.3 Yhdistetty etenevä - ja pyörimisliike Kuvan tilanteessa R - säteinen, M - massainen kappale vierii liukumatta pitkin kaltevaa tasoa, jonka kaltevuuskulma on q. Ajatellaan, että kappaleeseen vaikuttavat seuraavat voimat: 1) Kappaleen paino G = Mg. Painon kaltevan tason eli x - akselin suuntaisen komponentin suuruus on kuvan perusteella G x = Mg sin q ja tasoa vastaan kohtisuoran eli y-komponentin suuruus on G y = Mg. ) Pinnan tukivoima N, joka on kohtisuorassa kaltevaa pintaa vastaan. 3) Kitkavoima F m, joka vaikuttaa kuvan mukaisesti kappaleen ja pinnan kosketuspisteeseen (A) ja aiheuttaa momentin, joka saa kappaleen pyörimään massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri. N y v R F m x A G q Kuva. Kaltevalla tasolla vierivään kappaleeseen vaikuttavat voimat. Kuvassa koordinaatisto on valittu siten, että z-akseli osoittaa sisälle kuvan tasoon. Soveltamalla dynamiikan peruslakia (å F = M a ) kaltevan pinnan suuntaisiin voimiin saadaan yhtälö F x = Mg sin q - F = Ma, (6) å m
4 jossa a on massakeskipisteen etenevän liikkeen kiihtyvyys. Toisaalta soveltamalla pyörimisliikkeeseen sopivaa dynamiikan peruslakia ( å t z = Ia z ) jäykkään, massakeskipisteensä kautta kulkevan akselin ympäri pyörivään kappaleeseen päädytään yhtälöön å t z = I a Þ z Fm R = I a z, (7) jossa I on kappaleen hitausmomentti sen massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen, R on etäisyys massakeskipisteestä kitkavoiman vaikutuspisteeseen eli kappaleen säde ja a z on pyörimisliikkeen kulmakiihtyvyys. Kulmanopeuden ω = wk ja nopeuden v = vi välillä on yhteys jossa v = ω R Þ vi = w k (-R j) = wri Þ v = wr, (8) i, j ja k ovat x -, y - ja z - akseleiden suuntaiset yksikkövektorit. Derivoimalla tulos (8) ajan suhteen saadaan kiihtyvyyden a ja kulmakiihtyvyyden a z väliseksi yhteydeksi dv dw dr dw = R + w = R Þ a = dt dt dt dt a z R. (9) Käyttämällä yhtälöitä (7) ja (9) yhdessä saadaan a I a MI a F m R = I Þ Fm = = = MKa, R R MR (1) jossa on käytetty tutkittaville kappaleille Taulukossa 1 annettua suhdetta K = I ( MR ). Sijoittamalla näin saatu kitkavoiman suuruus yhtälöön (6) saadaan kappaleiden massakeskipisteiden kiihtyvyydelle tulos g sin q Mg sin q - MKa = Ma Þ a =. (11) (1 + K ). Liukuminen kaltevalla tasolla Kuvassa 3 suorakulmainen särmiö liukuu pitkin kaltevaa tasoa. Soveltamalla dynamiikan peruslakia kaltevan pinnan eli x - akselin suuntaisiin voimiin ja pintaa vastaan kohtisuoriin eli y - akselin suuntaisiin voimiin saadaan yhtälöpari ìma = Gx - Fm = mg sin q - mn í, (1) î = N - Gy = N - mg
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 5 jossa kitkavoima F m on kirjoitettu kitkakertoimen m ja pinnan tukivoiman suuruuden N tulona. Sijoittamalla alemmasta yhtälöstä ratkaistu pinnan tukivoiman itseisarvo ylempään yhtälöön saadaan ma = mgsinq - mmg Þ a = g(sinq - m ). (13) N x y F m q G Kuva 3. Kaltevalla tasolla liukuvaan kappaleeseen vaikuttavat voimat Kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, jos sen kiihtyvyys a on suurempi kuin nolla. Yhtälön (13) perusteella saadaan ehto sinq a > Þ g(sinq - m ) > Þ m < = tanq. (14) Rajatapauksena on tilanne, jossa kappale vielä lähtee juuri ja juuri liikkeelle, mutta sen kiihtyvyys on nolla. Tässä tilanteessa tason kaltevuuskulma on ns. rajakulma q, jolle pätee yhtälön (14) perusteella sin q = tanq. (15) m = Edellisessä kohdassa.1. tutkittiin tasaisesti kiihtyvää liikettä. Kappaleen kiihtyvyydeksi a saadaan yhtälön (3) avulla Käyttämällä nyt yhtälöitä (13), (14) ja (16) yhdessä saadaan s sin q 1 g = g(sin q - ) Þ = t t s 1 g Þ = sin t s s a =. (16) t 1 t ( q - q ) Þ» kq - kq ( sin q - sin q ), (17)
6 missä mittauksissa vakiona pysyvää kerrointa g s ) on merkitty symbolilla k. ( Yllä yhtälössä (17) tehty approksimaatio sin( q - q )» q -q pätee, jos kulma q -q on pieni. 3. Mittauslaitteisto Kaaviokuva laitteistosta on esitetty kuvassa 4 ja valokuva työssä käytettävästä kaltevasta tasosta ja tutkittavista kappaleista on kuvassa 5. Kaltevan tason yläosassa on magneettinen piiri, jonka avulla tutkittava kappale voidaan pitää paikallaan painamalla kuvassa 5 b) näkyvää kellolaitteen kotelon START -nappia. Kun nappi vapautetaan, kappale irtoaa ja piiri käynnistää kellon. Tason alaosassa on valolähdeilmaisinpari, jossa käytetään infrapunasädettä. Kappaleen ohittaessa parin säteilyn kulku lähteeltä ilmaisimelle katkeaa, jolloin kello pysähtyy. Kuula Magneetti Infrapunasäde Valolähde-ilmaisinpari Kello Kuva 4. Kalteva taso ja ajanottolaitteet Magneettinen piiri on kiinni varressa, jota voidaan liikuttaa pitkin kaltevaa tasoa. Tason toisessa reunassa on kuvan 5 b) mukainen mitta-asteikko, josta voidaan havaita varren ja siten kappaleen paikka alussa. Näin voidaan säädellä ja mitata kappaleiden kaltevalla tasolla kulkemia matkoja. Tason alapuolelle on kiinnitetty myös kuvan mukaisesti kulma-asteikko. Vapauttamalla kuvassa näkyvä kahva voidaan tason kaltevuuskulmaa säädellä.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 7 a) Magneetti Varsi Kahva Kello Valolähde Ilmaisin b) Mitta-asteikko Start-nappi Kulma-asteikko Kuva 5. Työssä käytettävä kalteva taso. Kuvassa a) on tutkittavia kappaleita ja kuvassa b) näkyvät asteikot ja kello. 4. Tehtävät 4.1 Ennakkotehtävät Ennen työvuorolle saapumista tee seuraavat tehtävät: 1. Laske sylinterirenkaan hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. (Vihje: Käytä massa-alkiona ohutta sylinterirengasta, jonka korkeus on L, säde r ja paksuus dr.). Kuten työn mittauspöytäkirjasta ja ohjeen luvusta 4. käy ilmi, tutkit kappaleiden vierimistä kaltevalla tasolla mittaamalla vierintäaikoja matkan funktiona. Pohdi, miten saat mittaustulostesi perusteella selville kappaleiden kiihtyvyydet. Esitä työn ohjaajalle suunnitelma siitä, miten aiot analysoida tuloksesi.
8 3. Kitkakertoimen määrittämiseksi mittaat kappaleen liu unta-aikoja kaltevuuskulman funktiona. Yhtälöstä (17) huomataan, että jos esität mittaustuloksesi ( q,1 t ) - koordinaatistossa, saat kuvaajan, jonka perusteella voit määrittää rajakulman q arvon. Millainen kuvaaja koordinaatistoon syntyy ja miten saat selville rajakulman? 4. Mittaustehtävät 4..1 Kappaleiden kiihtyvyydet ja hitausmomentit 1. Valmistelut: Valitse tutkittavat kappaleet, punnitse ne orsivaa alla ja mittaa kappaleiden halkaisijat työntömitalla. Säädä tason kaltevuuskulma sopivaksi (n. o ) ja kirjaa kulman arvo ylös. Aseta vierintämatkan pisimmäksi arvoksi n. 115-15 cm ja testaa sekä harjoittele magneetin ja kellolaitteen toimintaa antamalla kappaleiden vieriä muutaman kerran pitkin tasoa.. Vierintäaikojen mittaaminen: Mittaa jokaisella matkalla kunkin kappaleen vierintäaika kolme kertaa. Lyhennä mittausten välillä matkaa 1 cm:n välein. 4.. Kitkakertoimen määrittäminen 3. Liu unta-aikojen mittaaminen: Käytä tason kaltevuuskulman aloitusarvona edellä tehtyjen mittausten kulmalukemaa ja aseta liu untamatkaksi 5-8 cm. Kirjaa valitsemasi liu untamatkan arvo mittauspöytäkirjaan. Mittaa liu unta-aika kolme kertaa. Pienennä tämän jälkeen kulman arvoa asteen välein ja mittaa kullakin kulman arvolla liu unta-aika kolme kertaa. 5. Mittaustulosten käsittely 5.1 Kappaleiden kiihtyvyydet ja hitausmomentit Kokeelliset kiihtyvyydet: Piirrä mittaustulostesi perusteella ennakkotehtävän mukaiset sopivat kuvaajat, joiden avulla saat selville kappaleiden massakeskipisteen etenevän liikkeen kiihtyvyydet. Vertaa sylinterien kiihtyvyyksiä kuulan kiihtyvyyteen laskemalla kiihtyvyyksien suhteet a sylinteri a kuula ja a sylinterirengas akuula. Laskennalliset kiihtyvyydet: Laske kappaleiden kiihtyvyydet yhtälöstä (11) käyttäen hyväksi Taulukossa 1 annettuja tietoja. Huomaa, että mittaustuloksesi
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 9 ovat kappaleiden ulko- ja sisähalkaisijoita ( D ja D s ), eivätkä Taulukossa 1 esiintyviä säteitä R ja R s. Vertaa myös tässä sylinterien kiihtyvyyksiä kuulan kiihtyvyyteen laskemalla kiihtyvyyksien suhteet kuten edellä. Hitausmomentit: Laske kappaleiden hitausmomentit massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen käyttämällä mittaamiasi halkaisijoiden ja massojen arvoja sekä Taulukkoa 1. 5. Rajakulman ja kitkakertoimen määritys Kuvaaja ja rajakulma: Esitä mittaustuloksesi sopivassa koordinaatistossa ja piirrä kuvaaja ennakkotehtävän 3 mukaisesti. Määritä kuvaajan perusteella sovittua menetelmää käyttäen ja työn ohjaajan antamia neuvoja hyödyntäen rajakulman arvo. Kitkakertoimen määritys: Laske lopuksi kitkakerroin käyttäen kuvaajasta määrittämääsi rajakulman arvoa. 6. Lopputulokset Ilmoita vierintäliikkeen tutkimisen lopputuloksina kahdella eri menetelmällä määrittämäsi kappaleiden kiihtyvyydet sekä kuulan ja sylinterien kiihtyvyyksien suhteet. Ilmoita myös tutkittujen kappaleiden hitausmomentit. Liukumisen tapauksessa ilmoita lopputuloksina rajakulman arvo sekä sen avulla määrittämäsi kitkakerroin. Muista liittää selostukseesi myös ennakkotehtävän 1 ratkaisu.
OULUN YLIOPISTO Työn suorittaja: FYSIIKAN OPETUSLABORATORIO Mittauspäivä: / Fysiikan laboratoriotyöt Työn ohjaaja: MITTAUSPÖYTÄKIRJA 1. Kappaleiden hitausmomentit Massa m (kg) Ulkohalkaisija D (cm) Sisähalkaisija D s (cm) Kuula -------------------------- Sylinteri -------------------------- Sylinterirengas Tason kaltevuuskulma q = o. Vierimisliike Matka Kuula Sylinteri Sylinterirengas s(m) t 1 (s) t (s) t 3 (s) t 1 (s) t (s) t 3 (s) t 1 (s) t (s) t 3 (s) 3. Kitkakertoimen määrittäminen Kaltevuuskulma Liu unta-ajat q ( o ) t 1 (s) t (s) t 3 (s) Liu untamatka s = m Ohjaajan allekirjoitus