Mekaniikka Hannu Koskinen Syksy 2002
2 Kurssin tavoitteista Nämä luentomuistiinpanot kattavat 6 opintoviikon kurssin Mekaniikka, joka on pakollinen kurssi teoreettisessa fysiikan cum laude-tasolla ja varsin suositeltava myös yleisen linjan fysiikan opiskelijoille. Taustatiedoiksi oletetaan fysiikan peruskurssit ja matemaattiset apuneuvot I ja II. Kurssin päätavoitteena on tutustua klassisen mekaniikan rakenteisiin ja ongelmien ratkaisumenetelmiin syvällisemmin ja elegantimmassa formulaatiossa kuin peruskurssilla. Vaikka juuri kenestäkään kurssin suorittavasta opiskelijasta tuskin tulee suoranaisesti klassisen mekaniikan tutkijaa, niin tällä kurssilla opittavat menetelmät ovat olennaisia sekä nykyaikaisen fysiikan kokonaisuuden ymmärtämiseksi ja rakennettaessa muiden fysiikan perusteorioiden pohjaa. Tällä kurssilla opittavat Lagrangen ja Hamiltonin mekaniikan formuloinnit ovat olennainen osa kvanttimekaniikan ja statistisen fysiikan perusteita. Viimeisten parin vuosikymmenen aikana nopeasti kasvanut kiinnostus dynaamisiin systeemeihin ja kaoottisiin ilmiöihin on myös vahvistanut klassisen mekaniikan itsenäistä merkitystä ja tuonut aivan uusia asioita tutkimuksen piiriin. Vaikkakin kirjoitettu tietokoneella tämä luentomoniste ei ole täydellinen opintopaketti. Luennoilla tulee esiin esimerkkejä, joita monisteessa ei ole käyty läpi. Samoin laskuharjoitusten laskeminen on olennainen osa kurssin sisällön oppimisprosessia. Vasta sitten, kun opiskelija osaa itse ratkaista ongelmia, hän on oppinut jotain kurssin sisällöstä. Lisäksi opiskelijaa varoitetaan tässä monisteessa olevista painovirheistä. Moniste tuotetaan ensimmäistä kertaa tässä muodossa kurssin kuluessa, joten kaikkia virheitä ei ole vielä löydetty saatika korjattu. Oheislukemistoa Kurssi seuraa suurelta osin Raimo Keskisen oppikirjaa Analyyttinen mekaniikka (Limes ry., useita painoksia). Kurssiin sisältyy tosin jonkin verran materiaalia, jota tämä teos ei kata kuten kaaosteoria ja dynaamisten systeemien perusteita. Kurssin valmistelussa on käytetty materiaalia teoksesta Hand and Finch Analytical Mechanics (Gambridge University Press, 1998), joka löytyy kurssin ajan kirjaston käsikirjastosta. Klassinen johdatus klassiseen mekaniikkaan on H. Goldsteinin Classical Mechanics (Addison-Wesley, useita painoksia) ja erityisesti kovan linjan teoreetikkojen lempilukemista lienee Landaun ja Lifschitzin teos Mechanics (Pergamon Press, useita painoksia).
Luku 1 Johdanto Kurssin aluksi kerrataan joitakin klassisen mekaniikan peruskäsitteitä, jotka ovat periaatteessa tuttuja jo fysiikan peruskursseilta. Ensimmäisen luvun tärkein osuus on keskeisliike, sillä Keplerin aikanaan keksimien planeettojen liikkeen peruslakien selittäminen oli Newtonille ehkä kaikkein merkittävin yksittäinen syy mekaniikan kehittämiseksi. Tämänkin jälkeen planeettojen liikkeiden tarkka laskeminen tarjosi pitkään parhaan menetelmän painovoimalain ja sen seurausten testaamiseen. Siinä yhteydessä löytyi muutama uusi planeetta ja jopa olemattomia sellaisia metsästettiin innolla. 1.1 Avaruus- ja aikakoordinaatit Klassisessa mekaniikassa avaruudella ja ajalla oletetaan olevan seuraavat aksioomankaltaiset ominaisuudet. 1. Avaruus on kolmiulotteinen, euklidinen ja absoluuttinen. Euklidisuus merkitsee sitä, että voidaan valita koko avaruuden kattava karteesinen jäykkä koordinaatisto ja lisäksi avaruus oletetaan homogeeniseksi ja isotrooppiseksi. Absoluuttisuus puolestaan takaa sen, etteivät avaruuden ominaisuudet muutu siinä liikkuvien kappaleiden vuoksi. 2. Aika on homogeeninen ja absoluuttinen. Aika virtaa tasaisesti yhteen suuntaan. Ajan nollakohta voidaan valita vapaasti eivätkä materian tapahtumat vaikuta siihen. Kuten hyvin tiedämme viime vuosisadalla opittiin, että nämä aksioomat ovat erikoistapauksia yleisemmästä aika-avaruuden käsitteestä. Näille aksioomille rakentuva mekaniikka kuitenkin on ja pysyy erittäin hyödyllisenä fysiikan perustana tarkasteltaessa jokapäiväisiä ilmiöitä. Vasta mentäessä 3
4 LUKU 1. JOHDANTO erittäin suuriin massoihin, energioihin, nopeuksiin tai avaruudellisiin skaaloihin tai toisaalta aineen atomitason sisärakenteeseen ylläolevat aksioomat osoittautuvat riittämättömiksi kuvailemaan luontoa. Klassisessa mekaniikassa kaikki koordinaatistot eivät ole samassa asemassa. Tärkeä erikoisryhmä ovat inertiaalikoordinaatistot, joissa vapaa hiukkanen liikkuu vakionopeudella. Jos koordinaatisto puolestaan kiinnitetään vaikkapa maapallon keskipisteeseen ja sen annetaan pyöriä Maan mukana, koordinaatisto on monissa käytännön asioissa melkein inertiaalinen, mutta suuressa skaalassa pyöriminen aiheuttaa näennäisvoimia, jotka ovat tärkeitä esim. ilmakehän kiertoliikkeessä. Maailmankaikkeuden mittakaavassa erittäin hyvä inertiaalikoordinaatisto voidaan määritellä 3 kelvinin taustasäteilyn avulla. Valitsemalla koordinaatisto siten, että säteilyn lämpötila on sama joka suunnalla systeemi, on suurella tarkkuudella inertiaalinen. Tämä EI tarkoita sitä, että aika ja avaruus olisivat absoluuttisia, kuten yleisen suhteellisuusteorian ja kosmologian kursseilla tullaan oppimaan. 1.2 Newtonin lait Klassinen mekaniikka perustuu kolmelle Newtonin muotoilemalle peruslaille: 1. Ellei kappaleeseen vaikuta mitään voimia, niin se säilyttää liiketilansa eli se liikkuu pitkin suoraa viivaa vakionopeudella. 2. Jos kappaleeseen vaikuttaa voimia, niin kappaleen liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin siihen vaikuttava kokonaisvoima. 3. Kun kaksi kappaletta vaikuttavat toisiinsa, niin voima, jolla ensimmäinen kappale vaikuttaa toiseen, on yhtä suuri mutta suunnaltaan vastakkainen kuin voima, jolla toinen kappale vaikuttaa ensimmäiseen. Sir Isaac Newton eli vuosina 1642 1727. Hän julkaisi nämä lait kirjassaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica vuonna 1687. Kirjoitetaan Newtonin lait formaalisti käyttäen jatkossakin käytettäviä merkintöjä: m on massa, r(t) on paikkavektori ajan funktiona, paikkavektorin derivaatta ajan suhteen v(t) on nopeus ja paikan ja ajan funktio F(r, t) on voima. Liikemäärä määritellään tulona p = mv. Newtonin lait voidaan nyt formuloida seuraavasti Jos F = 0, niin v = vakio. (1.1)
1.3. LIIKEMÄÄRÄ JA ENERGIA 5 dp dt = F (1.2) F (12) = F (21). (1.3) Ensimmäinen laki seuraa itse asiassa toisesta laista, mutta sillä on sikäli historiallista merkitystä, että se periytyy jo Galileo Galileilta (1564 1642). Toisessa laissa on mukana kaksi uutta suuretta, massa ja voima. Määrittelemällä kiihtyvyys a = dv/dt ja olettamalla massa vakioksi voidaan kirjoittaa tuttu kaava F = ma. (1.4) Kiihtyvyyden määrittäminen on käytännössä helppoa, kunhan on hyvä kello. Galileilla sellaista ei ollut, mutta eipä ollut kiihtyvyyden käsitettäkään ennestään valmiina. Toisaalta massan ja voiman toisistaan riippumaton määrittäminen on kaikkea muuta kuin triviaalia. Tähän liittyy klassinen ongelma, onko hidas massa, joka liittyy kaavaan (1.4), sama kuin painava massa, joka voidaan punnita annetussa gravitaatiokentässä. Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian yksi perusteista on oletus, että hidas ja painava massa ovat sama asia. 1.3 Liikemäärä ja energia 1.3.1 Liikemäärän säilyminen Newtonin toinen laki sanoo selvästikin, että mikäli massapisteeseen ei vaikuta mikään voima, sen liikemäärä on vakio. Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa meillä on N kpl massapisteitä (kutsutaan niitä hiukkasiksi) m i (i = 1,..., N) paikoissa r i. Oletetaan, että hiukkanen j vaikuttaa hiukkaseen i voimalla F ij. Lisäksi hiukkaseen i voi vaikuttaa jokin ulkoinen voima F ulk i. Newtonin toinen laki antaa liikemäärän muutokseksi ṗ i = F ulk N i + j=1 F ij, (1.5) missä aikaderivaattaa merkitään pisteellä derivoitavan päällä. Oletetaan, että hiukkasten massat ovat vakioita, jolloin ṗ i = m i d 2 r i /dt 2. Hiukkasjoukon kokonaismassa on N M = m i (1.6) i=1
6 LUKU 1. JOHDANTO ja hiukkasjoukon massakeskipiste on Tällöin d 2 dt 2 Ni=1 m i r i R =. (1.7) M N N m i r i = i=1 i=1 F ulk i Newtonin kolmannesta lain avulla tästä tulee M R = N i=1 + i,j F ij. (1.8) F ulk i. (1.9) Merkitsemällä systeemin kokonaisliikemäärää P = MṘ, saadaan tärkeä tulos N Ṗ = F ulk i F ulk tot. (1.10) i=1 Nyt nähdään, että jos systeemi on eristetty eli siihen ei vaikuta ulkoisia voimia, sen kokonaisliikemääärä on vakio. Tämä on kokonaisliikemäärän säilymislaki. Palataan sitten tarkastelemaan yhtä massapistettä olettaen, että sen massa on vakio ja että se liikkuu voimakentässä F. Integroidaan voimaa aikavälillä [t 0, t] t t 0 F dt = t t 0 m d2 r dt 2 dt = p(t) p(t 0 ) (1.11) eli voiman aikaintegraali annetulla välillä on sama kuin massapisteen liikemäärän muutos. (Huom. Tässä ja usein myöhemminkin merkitään integroinnin ylärajaa samalla symbolilla kuin integrointimuuttujaa, ellei ole vaaraa sekoittaa näitä keskenään. Matemaattisesti kauniimpi tapa olisi merkitä integraalimerkin alla olevaa aikaa vaikkapa t.) 1.3.2 Työ viivaintegraalina Kiihdyttäessään kappaletta voima tekee työtä. Merkitään työtä symbolilla W. Kun massapiste liikkuu voimakentässä F pisteestä r 0 pisteeseen r, voiman tekemä työ määritellään viivaintegraalina W = r r 0 F dr. (1.12)
1.3. LIIKEMÄÄRÄ JA ENERGIA 7 Nyt W = = r r 0 F dr = r r F dr r 0 dt dt r 0 m d2 r dt 2 dr dt dt = r r 0 d [ ( ) ] 1 dr 2 2 m dt = 1 2 m(v2 v 2 0) T T 0. (1.13) Suure T = 1 2 mv2 on tietenkin tuttu massapisteen liike-energia (kineettinen energia). Olemme siis saaneet tuloksen, että voiman tekemä työ on alku- ja lopputilojen kineettisten energioiden erotus. Tämä edellyttää kuitenkin, että liikkuvan kappaleen sisäinen tila ei matkan aikana muutu. 1.3.3 Konservatiivinen voimakenttä ja potentiaalifunktio Lähes kaikissa klassisen mekaniikan puhtaissa ongelmissa eteentulevat voimat ovat konservatiivisia. Tämä tarkoittaa sitä, että voimakenttä F(r) voidaan ilmaista ajasta riippumattoman skalaarikentän U(r) gradienttina F = U. (1.14) Tällöin tietenkin F = 0 ja lisäksi pitkin massapisteen rataa laskettu viivaintegraali r r 0 F dr = U(r) + U(r 0 ) U + U 0 (1.15) on tiestä riippumaton päätepisteiden funktio. Tämä on tietenkin sama kuin edellisessä jakeessa saatu tulos W = T T 0, joten olemme saaneet tuloksen T + U = T 0 + U 0 E. (1.16) Potentiaalifunktiota U kutsutaan potentiaalienergiaksi ja liike-energian ja potentiaalienergian suummaa E mekaaniseksi kokonaisenergiaksi. Lauseke (1.16) ilmaisee itse asiassa kokonaisenergian säilymislain. Klassisessa mekaniikassa ei-konservatiivisia voimia edustavat erilaiset kitkavoimat. Perusfysiikan tärkeimmät ei-konservatiiviset voimakentät tulevat vastaan elektrodynamiikassa, jossa magneettikentän roottori vastaa sähkövirtaa ja myös sähkökentällä voi olla ei-konservatiivinen, induktiivinen, osa magneettikentän muuttuessa ajan funktiona.
8 LUKU 1. JOHDANTO Esimerkki: Yksiulotteinen liike potentiaalissa U(x) Tarkastellaan esimerkkinä kokonaisenergian säilymislaista yksiulotteista tapausta, jossa massapiste (m) liikkuu potentiaalissa U(x) ja sen kokonaisenergia on E. Siis E = 1 ( ) dx 2 2 m + U(x) = vakio (1.17) dt dx dt =. (1.18) 2 [E U(x)] m Alkuehdolla x = x 0, kun t = t 0, tästä saadaan x ( ) 2 1 t t 0 = m [E U(x)] 2 dx. (1.19) x 0 Kun tunnetaan alkuarvo x 0, kokonaisenergia E ja potentiaalifunktio U, saadaan siis massapisteen rata yhdellä integroinnilla (mikä käytännössä on usein tehtävä numeerisesti). 1.3.4 Impulssimomentti ja sen säilyminen Energian ja liikemäärän ohella tärkeä perusmekaniikan suure on impulssimomentti. Se määritellään tulona l = r p, (1.20) missä r on massapisteen paikkavektori annetun origon suhteen. Impulssimomentti lasketaan siis aina jonkin avaruuden pisteen suhteen. Tarkastellaan jälleen N:n hiukkasen massapistejoukkoa {m i } ja lasketaan kaikkien massapisteiden impulssimomentit yhteen, jolloin saadaan systeemin kokonaisimpulssimomentti: l = N i=1 r i p i. Kun muistetaan, että kunkin yksittäisen massapisteen liikemäärän aikaderivaatta on ṗ i = F ulk i + j F ij. (1.21) Tämän avulla voidaan laskea kokonaisimpulssimomentin aikaderivaatta Nyt l = d r i (mṙ i ) = dt i i r i ṗ i = i r i F ulk i + i,j r i F ij = 1 r i F ij + 1 r j F ji 2 2 i,j i,j i,j = 1 (r i r j ) F ij. 2 i,j r i F ij. (1.22)
1.4. KESKEISVOIMAT 9 Koska (r i r j ) F ij on ylläoleva ristitulo nolla ja siten l = N i=1 r i F ulk i. (1.23) Lausekkeen oikeaa puolta kutsutaan hiukkasjoukkoon vaikuttavaksi ulkoiseksi vääntömomentiksi. Olemme siis saaneet aikaan kokonaisimpulissimomentin säilymislain: Mikäli mikään ulkoinen voima ei väännä systeemiä, sen impulssimomentti on vakio. 1.4 Keskeisvoimat Keskeisvoimat ja keskeisliike ovat aina olleet erittäin tärkeä osa klassista mekaniikkaa. Newton johti mekaniikkansa suurelta osin selittääkseen Keplerin lait, jotka kuvailevat taivaankappaleiden liikettä. Planeettakunta on kuitenkin erittäin monimutkainen mekaaninen järjestelmä ja taivaankappaleiden liikkeiden yksityiskohtainen laskeminen vaikutti huomattavasti mekaniikan kehittymiseen siihen muotoon, jossa se tällä kurssilla esitetään. Tänä päivänä keinotekoisten satelliittien ratojen tarkka laskeminen on tärkeä osa avaruustoimintaa. Toisaalta muotiin tulleet varoitukset tulevaisuudessa Maahan törmäävistä asteroideista ja ennustusten kumoaminen edellyttävät keskeisliikkeen hyvää osaamista. 1.4.1 Kahden kappaleen ongelma Ensimmäisenä approksimaationa keskeisliikkeestä voi pitää planeetan rataa Auringon ympäri. Tämä on kuitenkin kahden kappaleen onglema: (massa m 1, pisteessä r 1 ja massa m 2 pisteessä r 2. Merkitään massojen välistä etäisyysvektoria r = r 2 r 1 (Piirrä kuva!) Massakeskipiste on nyt R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2. (1.24) Nyt m 2 vaikuttaa m 1 :een voimalla F 12 ja m 1 puolestaan m 2 :een voimalla F 21 = F 12. Kappaleiden liikeyhtälöt ovat m 1 r 1 = F 12 (1.25) m 2 r 2 = F 21. (1.26) Näistä ja massakeskipisteen määritelmästä seuraa, että Ṙ = vakio (1.27)
10 LUKU 1. JOHDANTO eli massakespisteeseen voidaan kiinnittää inertiaalikoordinaatisto. Toisaalta m 2 r 2 m 1 r 1 = 2F 21. Kirjoittamalla saadaan tulos r 1 = R m 2r m 1 + m 2 r 2 = R + m 1r m 1 + m 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 r = F 21. (1.28) Suuretta m = m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ) kutsutaan redusoiduksi massaksi ja kahden kappaleen liikeyhtälö voidaan kirjoittaa ekvivalenttina yhden kappaleen liikeyhtälönä redusoidulle massalle Kyseinen voima on keskeisvoima: m r = F 21. (1.29) F 21 = f(r)e r. (1.30) missä e r on r:n suuntainen yksikkövektori. Keskeisvoimakenttä on sellainen kenttä, jossa voiman vaikutussuora kulkee kiinteän pisteen kautta. Tämä piste kannattaa yleensä valita origoksi. 1.4.2 Liike keskeisvoimakentässä Olkoon F nyt edellisen kaltainen keskeisvoimakenttä. Sille on helppo johtaa johtaa nk. pintalause. Lasketaan ristitulo r F eli r m r = f(r)r e r = 0 (1.31) d (r mṙ) = 0 (1.32) dt l r mṙ = vakio. (1.33) Koska impulssimomentti säilyy, tapahtuu liike (ja kiihtyvyys) tasossa, joka on kohtisuorassa impulssimomenttivektoria vastaan. Siis liike keskeisvoimakentässä on aina tasoliikettä. Ylläoleva voidaan kirjoittaa myös muodossa r ṙ = c. (1.34) missä c on vakiovektori. Tämä tulos voidaan tulkita siten, että nk. pintanopeus on vakio eli vektori r pyyhkäisee aina saman pinta-alan samassa
1.4. KESKEISVOIMAT 11 ajassa. (Piirrä kuva ja perustele asia!) Tämä on itse asiassa toinen Keplerin planeettaliikkeestä empiirisesti löytämä lainalaisuus. Huom. Ylläolevissa tuloksissa etäisyysriippuvuuden ei välttämättä tarvitse olla skalaari vaan ne pätevät myös muotoa f(r)e r oleville voimille. Jos voima kuitenkin on muotoa f(r)e r, niin se on selvästikin konservatiivinen (HT). Me olemme kiinnostuneita nimenomaan näistä. Tarkasteltaessa konservatiivisia keskeisvoimia pallokoordinaatisto (r, θ, ϕ) on järkevä koordinaatiston valinta. Koska liike tiedetään tasoliikkeeksi, kannattaa valita kordinaatisto siten, että l on suunnassa θ = 0, jolloin r = r e r on sitä vastaan kohtisuorassa tasossa (xy-taso). Nyt yksikkövektorit kirjoitettuna karteesisten komponenttien avulla ovat e r = (cos ϕ, sin ϕ, 0) e ϕ = ( sin ϕ, cos ϕ, 0). Yksikkövektorien aikaderivaatat ovat d dt e r = ϕ e ϕ d dt e ϕ = ϕ e r. Derivoidaan sitten paikkavektoria kaksi kertaa ṙ = ṙ e r + r ϕ e ϕ r = ( r r ϕ 2 ) e r + (2ṙ ϕ + r ϕ) e ϕ, jonka jälkeen saammekin keskeisliikkeen liikeyhtälöiksi m( r r ϕ 2 ) = f(r) (1.35) m(2ṙ ϕ + r ϕ) = 0. (1.36) Jälkimmäisestä yhtälöstä seuraa suoraan mr 2 ϕ = vakio. Tämä vakio on juuri impulssimomentin itseisarvo l (HT). Kirjoitetaan siis mr 2 ϕ = l ja sijoitetaan yhtälöön (1.35). Tällöin m r l2 = f(r). (1.37) mr3 1.4.3 Liikeradan integrointi energiayhtälön avulla Konservatiivisessa keskeisvoimakentässä kokonaisenergia säilyy ja on muotoa E = T + U = 1 2 mṙ2 + U(r) = 1 2 m( r2 + r 2 ϕ 2 ) + U(r) (1.38) = 1 2 m r2 + l2 + U(r) = vakio. 2mr2
12 LUKU 1. JOHDANTO Termiä l 2 /2mr 2 kutsutaan usein keskipakopotentiaaliksi, sillä sen negatiivinen derivaatta r:n suhteen antaa keskipakoisvoiman (HT: miksi lainausmerkit?). Energiayhtälö voidaan nyt integroida sijoittamalla kaavaan (1.19) kokonaispotentiaaliksi efektiivinen potentiaali U(r) + l 2 /2mr 2 eli: t t 0 = m 2 r r 0 dr E U(r) l2 2mr 2. (1.39) Tämä antaa siis ajan paikan funktiona. Eli rata on ainakin periaatteessa ratkaistu. Käytännössä integrointi on tehtävä numeerisesti. Radan muodon määräämiseksi etsitään koordinaattien r ja ϕ välinen riippuvuus. Derivoinnin ketjusääntö ja impulssimomentin säilymislaki antavat dr dt = dr dϕ dϕ dt = dr dϕ l mr 2. Sijoittamalla tämä energiayhtälöön saadaan (HT) ϕ ϕ 0 = m 2 r r 0 dr r 2 2m l 2 [E U(r)] 1 r 2 (1.40) Tuloksia tarkastelemalla nähdään, että liike on mahdollista vain, jos efektiivinen potentiaali on pienempi kuin kokonaisenergia E U(r) + l 2 /2mr 2. Toisaalta rata pysyy rajoitettuna (r < ), jos potentiaali U on attraktiivinen (du/dr > 0) ja efektiivisellä potentiaalilla on olemassa minimi. Esimerkki: Ympyräratojen stabiilisuus Luennolla johdetaan tulos, jonka mukaan ympyräradat ovat stabiileja voimakentille f(r) = cr n, jos n > 3. Muussa tapauksessa pienikin häiriö saattaa muuttaa radan geometriaa. Mielenkiintoinen erikoistapaus stabiilista radasta on n = 1, johon palataan seuraavan kappaleen lopussa.
1.5. KEPLERIN LIIKE 13 1.5 Keplerin liike 1.5.1 Keplerin lait empiirisesti Perustuen Tyko Brahen (1546 1601) havaintoihin planeettojen liikkeestä Johannes Kepler (1571 1630) päätyi kolmeen empiiriseen lakiin, jotka hän julkaisi vuosina 1609 (kaksi ensimmäistä) ja 1619 (kolmas): 1. Planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko. 2. Auringosta planeettaan piirretty paikkavektori kiertää siten, että sen aikayksikössä pyyhkäisemä pinta-ala (nk. pintanopeus) on vakio. 3. Kiertoaikojen neliöt suhtautuvat kuten isoakselien kuutiot. Voidaan sanoa, että Newton kehitti mekaniikkansa paljolti selittämään juuri näitä lakeja. Koska planeettakunta on paljon monimutkaisempi systeemi kuin kahden kappaleen ongelma, pysyi planeettaliikkeen yksityiskohtien selittäminen vuosisatoja Newtonin mekaniikan oikeellisuuden tärkeimpänä testinä. Tähän liittyivät mm. Uranuksen, Neptunuksen ja Pluton löytäminen. Planeettaliikkeellä oli tärkeä rooli myös yleisen suhteellisuusteorian todentamisessa viime vuosisadan alussa. 1.5.2 Newtonin painovoimalaki Olemme itseasiassa jo todenneet, että Keplerin toinen laki on seuraus keskeisvoimasta. Newton päätyikin kuuluisaan vetovoimalakiinsa, jonka mukaan kahden kappaleen välinen vetovoima on verrannollinen niiden massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden väliseen etäisyyteen. Pallosymmetristen massojen M ja m välillä on siten voima F(r) = GMm r 2 e r, (1.41) missä verrannollisuuskerroin, gravitaatiovakio, G on SI-yksiköissä 6.6726 10 11 Nm 2 kg 2. Tätä jokaisen omassa vartalossaan tuntemaa luonnonvakiota ei tunneta tämän useamman numeron tarkkuudella. Se on kaikkein epätarkimmin tunnettu luonnonvakio. (HT mietipä miksi!) Tällainen voima saadaan tietenkin muotoa U = k/r olevasta potentiaalista, missä k = GMm.
14 LUKU 1. JOHDANTO Esimerkki: Homogeenisen pallon gravitaatioenergia Käsitellään luennolla. 1.5.3 Keplerin radan yleinen lauseke Keplerin radan muoto voidaan tietenkin johtaa edellä olevasta yleisen konservatiivisen keskeiskentän lausekkeesta (HT). Tehdään asia kuitenkin elegantimmin käyttäen nk. Runge-Lenz-vektoria, jonka nimestä huolimatta löysi aiemmin jo Hamilton. Ottamalla potentiaalin U(r) = k/r negatiivinen gradientti saadaan F(r) = U(r) = kr r 3. (1.42) Määritellään ratatasossa oleva Runge-Lenz-vektori seuraavasti R L = p l mkr r. (1.43) Nyt voidaan osoittaa, että painovoimakentässä R L on liikevakio. Derivoidaan vektoria ajan suhteen Ṙ L = ṗ l mkv r + mkrv r 2. (1.44) Nyt ṗ = F ja l = mr v. Suora lasku antaa tuloksen (HT) Lisäksi Runge-Lenz-vektori on selvästi ratatasossa. Ṙ L = 0. (1.45) Runge-Lenz-vektorin juju on siinä, että sen avulla voidaan muodostaa yhtälö ratakäyrälle. Lasketaan tulo r R L r R L = r p l mkr (1.46) rr L cos ϕ = l 2 mkr, (1.47) missä kulma ϕ on paikkavektorin ja R L :n suunnan välinen kulma. Ratkaistaan sitten 1/r kulman ϕ funktiona. 1 r = mk ( l 2 1 + R ) L mk cos ϕ. (1.48) Tämä on kartioleikkauksen yleinen yhtälö napakoordinaateissa eli muotoa r = p 1 + ε cos ϕ, (1.49)
1.5. KEPLERIN LIIKE 15 missä ε on käyrän eksentrisyys. Eksentrisyyden arvot määräävät eri kartioleikkaukset: ε = 0 ympyrä 0 < ε < 1 ellipsi ε = 1 paraabeli ε > 1 hyperbeli. Kartioleikkauksen yhtälössä p = l 2 /mk ja ε = R L /mk. Energian säilymislaista seuraa (HT) R 2 L = m 2 k 2 + 2mEl 2, (1.50) joten eksentrisyys voidaan ilmaista ε = 1 + 2El2 mk 2. (1.51) Tästä näkee suoraan, että kokonaisenergian E täytyy olla negatiivinen, jotta rata olisi suljettu (ympyrä tai ellipsi), mutta se ei saa olla liian negatiivnen verrattuna impulssimomenttiin l. 1.5.4 Keplerin lait ratayhtälön avulla Geometrisesti Runge-Lenz-vektori osoittaa suuntaan, jossa r on pienimmillään. (HT: Piirrä kuva!) Tätä pistettä kutsutaan perisenteriksi, aurinkokunnan tapauksessa periheliksi. Ellipsiradalla R L on siis ellipsin isoakselin suuntainen. Ensimmäinen tulos ylläolevasta on tietenkin, että suljettu planeettarata on ellipsi, jonka toisessa polttopisteessä on Aurinko, eli Keplerin ensimmäinen laki. Keplerin toinen laki eli planeetan pintanopeuden vakioisuus todettiin jo aiemmin, mutta todetaan se myös tästä tuloksesta. Pienellä aikavälillä dt kulma muuttuu dϕ verran, mutta r voidaan pitää vakiona. Pinta-alan muutos da = (1/2)r(rdϕ) eli pintanopeus on da dt = 1 dϕ r2 2 dt = l = vakio. (1.52) 2m Keplerin kolmannen lain johtamiseksi merkitään ellipsin isoakselin puolikasta a:lla ja pikkuakselin puolikasta b:llä. Nyt (HT: piirrä ellipsi ja totea tämä) b 2 a = L2 mk b = l a. mk
16 LUKU 1. JOHDANTO Merkitään planeetan kiertoaikaa T :llä. Yhdellä kierroksella paikkavektori pyyhkäisee koko ellipsin pinnan siis A = πab eli T A = dta = lt = πab (1.53) 0 2m T = 2m m πab = 2π l k a3/2 (1.54) ja meillä on siis tulos, jonka mukaan planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat kuten isoakselin puolikkaan kuutiot (T 2 a 3 ). 1.5.5 Perihelin kiertymä Runge-Lentz-vektorin suunta säilyy vain, jos voimakenttä on muotoa 1/r 2. Mikäli kenttä poikkeaa tästä, ellipsin isoakselin suunta alkaa kiertää eli periheli kiertyy (prekessoi). Todellisuudessa planeettaliike ei ole kahden kappaleen ongelma vaan muiden taivaankappaleiden liike tuo potentiaaliin korkeampaa kertalukua olevia häiriötermejä ja siten planeettojen perihelien kiertymät ovat muutamia tuhansia kaarisekunteja sadassa vuodessa. Tarkastellaan esimerkkinä keskeisvoimaa F(r) = f(r)e r, (1.55) missä f(r) = k r 2 + C r 3, (1.56) joten potentiaali on muotoa U(r) = k r + C 2r 2. (1.57) Keskeisliikettä tarkasteltaessa on usein näppärää tehdä muunnos r u = 1 r joten U(1/u) = ku + 1 2 Cu2. (1.58) Integroidaan ratakäyrän yhtälö ϕ ϕ 0 = u du ( u 0 2m E + ku 1 ) 2 Cu 2 u 2 l 2 u du = u 0 α, (1.59) + βu + γu 2
1.5. KEPLERIN LIIKE 17 missä α = 2mE/l 2 β = 2mk/l 2 γ = (1 + mc/l 2 ). Tämä integraali löytyy taulukoista (HT) ja tulos on γ l 2 γ (ϕ ϕ 0 ) = arccos mk u 1, (1.60) 1 + 2El2 γ mk 2 joten lopulta u = 1 r = mk γ l2 1 + 1 + 2El2 γ mk 2 Rata pysyy suljettuna vain jos mc/l 2 < 1. cos( Ellipsin isoakseli deformoituu muotoon (HT) a = γ (ϕ ϕ 0 )). (1.61) γ l 2 mk(1 ε 2 ). (1.62) Tarkastellaan sitten perihelin kiertymää, eli kulman ϕ liikettä 0 2π+δ, mikä siis vastaa muuttujan γ 1/2 ϕ liikettä 0 2π. Siis ( ) 1 δ = 2π γ 1/2 1 Olettaen korjaus pieneksi ( mc/l 2 1) saadaan (1.63) δ π mc l 2 (1.64) Jos häiriö on attraktiivinen (C < 0), on prekessio positiivinen. Merkuriuksen perihelin kiertymällä on ollut tärkeä rooli yleisen suhteellisuusteorian todentamisessa. Maasta mittauksia tekevä havaitsija näkee perihelin siirtyvän tähtitaivaalla noin 5600 sadassa vuodessa, eli melkein kaariminuutin vuodessa. Tästä suurin osa (noin 5026 ) johtuu siitä, ettei havaitsija ole inertiaalikoordinaatistossa vaan Maan pyörimisakseli prekessoi. Newtonin teoriasta laskettu muiden planeettojen vaikutus on noin 531 sadassa vuodessa, jonka jälkeen jäljellä on yhä 43 siirtymä sadassa vuodessa. Se ei tunnu paljolta, mutta se on kuitenkin ollut tiedossa jo pitkään. Tätä siirtymää on aikojen kuluessa yritetty selitettää niin Merkuriuksen radan sisäpuolella olevalla planeetalla ( Vulkanus ) kuin Auringon todellista suuremmalla litistyneisyydelläkin. Kiertymän voisi selittää ylläolevan laskun avulla itseasiassa hyvin pienellä poikkeamalla Newtonin gravitaatiolaista. Vakion C tarvitsisi olla vain ( C/ak 1.42 10 7 ), mutta vetovoimalaki
18 LUKU 1. JOHDANTO on muotoa r 2 paljon tätä tarkemmin. Yleinen suhteellisuusteoria antaa kuitenkin oikean korjauksen periheliin ja koska Vulkanusta ei ole löytynyt eikä Aurinkokaan lopulta ole tarpeeksi litteä, tämä on yksi tärkeistä mittauksista, joilla Einsteinin gravitaatioteoria on voitu todentaa. Venuksella vastaava efekti on vain 8 ja Maalla vielä vähemmän. Tämä johtuu tietenkin siitä, että Auringon avaruutta kaareuttava vaikutus heikkenee etäisyyden myötä. Bertrandin teoreema Muotoa f(r) = cr 2 olevan keskeisvoimakentän lisäksi voimakenttä f(r) = cr antaa suljetun radan. Tällaista rataa kutsutaan Hooken avaruusoskillaattoriksi. HT: Selvitä millaisesta radasta on kyse. 1.6 Useamman kappaleen ongelmat Kahden kappaleen ongelma on monimutkaisin systeemi, jolle tunnetaan täydellinen ratkaisu. Liikeyhtälön kirjoittaminen kullekin kappaleelle N:n kappaleen systeemissä on tietenkin triviaalia. Kappaleen i liikeyhtälö on m i r i = j i Gm i m j (r i r j ) r i r j 3. (1.65) Siis kappaleeseen i vaikuttavat kaikkien muiden kappaleiden vetovoimat. Aurinkokunta edustaa tapausta, jossa yhden kappaleen vetovoima on paljon suurempi kuin muiden. Tällöin voidaan käsitellää kutakin planeettaa kahden kappaleen (planeetta-aurinko) tapauksena ja korjata näitä muiden planeettojen aiheuttamilla häiriöillä. Tätä varten kehitettiin runsaasti sarjakehitelmiä 1700- ja 1800-luvuilla. Varsinkin Pierre Simon Laplace (1749 1827) kunnostautui tässä tehtävässä. Juuri planeettojen radoista löydettyjen häiriöiden avulla ennustettiin Uranuksen, Neptunuksen ja Pluton olemassaolo ja laskettiinpa paikatkin, mistä niitä kannatti etsiä. 1800-luvulla pohdittiin paljon ongelmaa, onko Newtonin gravitaatioteoria ratkaistavissa täydellisesti. 1890-luvun alussa Jules Henri Poincaré (1854 1912) osoitti, että edes kolmen kappaleen systeemille ei ole olemassa yleistä analyyttista ratkaisua. Sinänsä Newtonin liikeyhtälöstä voi annetuista alkuehdoista lähtien laskea planeettojen paikat kuinka pitkälle hyvänsä. Poincaré totesi kuitenkin, että ratkaisu on erittäin riippuvainen alkuehdoista ja pienikin poikkeama alkuehdoista voi johtaa jossain vaiheessa suureen virheeseen olipa laskumenetelmä kuinka tarkka tahansa. Poincaré sai tutkimuksestaan Norjan kuninkaan Oscar II:n palkinnon. Hän tuli itse asiassa
1.7. ESIMERKKEJÄ LIIKKEESTÄ PAINOVOIMAKENTÄSSÄ 19 keksineeksi uuden mekaniikan sivuhaaran, kaoottisen dynamiikan. Keksintö jäi pitkäksi aikaa fysiikan tutkimusen sivuraiteille, kunnes vasta 1960- luvulla kaoottisiin ilmiöihin alettiin jälleen kiinnittää kasvavaa huomiota. Tutustumme kaaosteoriaan kurssin lopulla. Tärkeä erikoistapaus on rajoitettu kolmen kappaleen ongelma, jonka ratkaisemisessa suomalaisella Karl Frithiof Sundmanilla (1873 1949) oli tärkeä osa. Ongelmassa on kaksi massiivista kappaletta, jotka kiertävät toisiaan ympyräradoilla, ja kolmas pieni (massaton) kappale, joka liikkuu samassa tasossa. Pieni kappale ei lainkaan häiritse kahden suuremman kappaleen liikettä, joten niiden radat lasketaan kahden kappaleen ongelmana kuten edellä on esitetty. Pienen kappaleen radalle ei ole olemassa äärellistä lauseketta, mutta Sundman osoitti, että yksikäsitteinen matemaattinen ratkaisu on kuitenkin olemassa ja hän johti sille sarjakehitelmän. Sundman sai tutkimuksistaan Ranskan kuninkaallisen tiedeakatemian palkinnon pariinkin otteeseen. HT: Rajoitettuun kolmen kappaleen ongelmaan liittyvät nk. Lagrangen pisteet. Selvitä, mitä ne ovat ja missä ne sijaitsevat Aurinko-Maa-systeemissä. Kaikkein klassisin kolmen kappaleen systeemi lienee Aurinko-Maa-Kuujärjestelmä. Se ei ole yhtä yksinkertainen kuin rajoitettu kolmen kappaleen ongelma, sillä Kuu on niin lähellä Maata, että sen vetovoima vaikuttaa hieman Maan liikkeeseen. Planeettakunnan stabiilisuudesta Asiaa käsitellään luennolla. 1.7 Esimerkkejä liikkeestä painovoimakentässä 1.7.1 Pakonopeus Tarkastellaan ensimmäiseksi kysymystä, millä nopeudella kappaleen pitää liikkua, jotta se pakenee toisen kappaleen painovoimakentästä. Tämä tapahtuu tietenkin, jos kappaleen kineettinen energia on suurempi kuin potentiaalienergia. Rajanopeutta kutsutaan pakonopeudeksi ja se ratkeaa yhtälöstä 1 2 µv2 = GmM, (1.66) r missä µ = mm/(m + M) on redusoitu massa. Siten v e = 2G(m + M). (1.67) r
20 LUKU 1. JOHDANTO Koska pakeneva kappale on yleensä paljon kevyempi kuin emokappale (m M), voidaan pakenevan kappaleen massa jättää huomiotta. Huom. Vaikka edellä puhuttiinkin efektiivisestä potentiaalista, jossa on mukana impulssimomentti, gravitaatiokentä potentiaalienergia on GmM/r. Impulssimomentti liittyy kappaleen liikkeeseen ja siten sen kineettiseen energiaan. 1.7.2 Muuttuvien massojen liike Käsitellään luennolla esimerkkinä rakettia, joka nousee gravitaatiokentässä ja siitä suuntautuu ulospäin vakiosuuruinen massavirta. Nyt liikeyhtälöksi saadaan m r = ṁc + mg. (1.68) missä c on pakokaasun nopeus raketin suhteen. Merkitään raketin hyötykuorman (esim. satelliitin) massaa m 0 ja kantoraketin lähtömassaa M. Tehtävän ratkaisuksi tulee ( v = c ln 1 kmt ) gt. (1.69) m 0 + M missä km t kuvaa alaspäin suuntautuvien pakokaasujen määrää. Paikallaan oleva raketti lähtee nousuun, jos kcm > (m 0 + M)g. 1.7.3 Putoava vesipisara Käsitellään luennolla esimerkkinä vesisumussa putoavaa pallonmuotoista vesipisaraa. 1.7.4 Matemaattinen heiluri Matemaattinen heiluri on erittäin tärkeä malli lukemattomille erilaisille fysikaalisille systeemeille. Se tulee esiin monissa yhteyksissä tällä kurssilla, kaikkialla missä tapahtuu jaksollisia ilmiöitä mukaanlukien kvanttifysiikka. Ripustetaan heiluri (massa m, varren pituus l) vaakatasosta (y-akseli) ja valitaan x-akseli alaspäin (gravitaatiovoiman mg) suuntaan. Oletetaan, että muita ulkoisia voimia ei ole, joten liike on kaksiulotteista heilurin heilahdustasossa. Valitaan kulma θ heilahduskulmaksi heilahdustasossa. Heilurin liikettä rajoittaa heilurin varsi, mikä aiheuttaa varren suuntaisen jännityksen J. Nyt heilurin liikeyhtälö on m r = mg e x + J e r. (1.70)
1.7. ESIMERKKEJÄ LIIKKEESTÄ PAINOVOIMAKENTÄSSÄ 21 Koska r = re r saadaan (HT) r = ( r r θ 2 ) e r + (2ṙ θ + r θ) e θ ja lisäksi e x = e r cos θ e θ sin θ. Näin liikeyhtälön komponenteista saadaa yhtälöpari r r θ 2 = g cos θ J m (1.71) 2ṙ θ + r θ = g sin θ. (1.72) Oletetaan, että ripustus on jäykkä, eli r = l = vakio. Tällaista ehtoa kutsutaan sidosehdoksi ja se tuo systeemiin fiktiivisen sidosvoiman. Tutustumme sidosvoimiin perusteellisemmin seuraavassa luvussa. Sidosehdon ansiosta r:n derivaatat katoavat ja yhtälöpari yksinkertaistuu muotoon l θ 2 + g cos θ = J m (1.73) l θ + g sin θ = 0. (1.74) Heilurin kokonaisenergia (1/2)mṙ 2 mgl cos θ on vakio, josta saadaan ehto θ 2 = 2g l cos θ + C. (1.75) Vakio C määräytyy ehdosta, että θ = 0 maksimikulmalla θ 0, joten θ 2 = 2g l (cos θ cos θ 0). (1.76) Tämä on yhtälön (1.74) integraali. Sijoitetaan tulos yhtälöön (1.73), jolloin saadaan lasketuksi J J = mg(3 cos θ 2 cos θ 0 ) (1.77) Kirjoitetaan (1.76) muotoon dθ g dt = 2 l (sin2 2 θ 0 sin 2 1 2 θ)1/2 (1.78) dθ dt =. g 2 l (sin2 1 2 θ 0 sin 2 1 2 θ)1/2 (1.79) Integroidaan tätä nollakulmasta maksimikulmaan, jolloin aikaa kuluu heilahdusajan neljännes T/4. Merkitään maksimikulman siniä k = sin 1 2 θ 0 ja tehdään muuttujanvaihdos θ w lausekkeella sin 1 2θ = k sin w, jolloin uusi kulmamuuttuja w integroidaan 0 π/2. Tulos on l π/2 dw T = 4 g 1 k 2 sin 2 w. (1.80) 0
22 LUKU 1. JOHDANTO Tämä on elliptinen integraali. Hyvin pienillä kulmilla (k 0) integrointi on triviaali ja saadaan tuttu tulos l T = 2π g (1.81) eli heilurin jakso riippuu vain heilurin varren pituudesta. Suuremmilla kulmilla voidaan integrandi kehittää sarjaksi (1 k 2 sin 2 w) 1/2 = 1 + 1 2 k2 sin 2 w + 1 3 2 4 k4 sin 4 w +..., joten heilahdusjaksosta tulee maksimikulman (amplitudin) funktio missä siis k = sin(θ 0 /2). ( l T = 2π 1 + k2 g 4 + 9 ) k4 64 +..., (1.82) Huom. Tämän laskun voi toki tehdä suoraan karteesissa koordinaateissa, mutta silloin muuttujia on koko ajan kaksi (x, y). Seuraavassa luvussa tutustumme Lagrangen formalismiin, missä johdonmukaisesti pyritään sidosehtojen avulla etsimään mahdollisimman ekonomista muuttujajoukkoa. Heilurissa tarvitaan vain yhtä muuttujaa (vaihekulma), samoin kahden kappaleen keskeisliikkeessä, missä radan vaihekulma antaa etäisyyden.