. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu? Mikäli ne ovat oikein, kirjoita yhtälöt auki. Indeksit voidaan myös assosioida koordinaatteihin x, y, z seuraavasti: = x, = y ja = z. Alla olevissa lausekkeissa permutaatiotensoria on merkitty symbolilla ɛ ijk. A ik B ki + C ki D jk = E ij. Yhtälön vasemman puolen ensimmäinen termi on skalaari, sillä kummatkin indeksit i ja k ovat mykkiä indeksejä ja vasemman puolen toinen termi on toisen keltaluvun tensori - vapaat indeksit i ja j, mykkä- eli summausindeksi on k. Täten lauseke on väärin. A jk = δ jm δ kn δ jn δ km. Lauseke on väärin, sillä yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella on eri määrä vapaita indeksejä. Vasen puoli on toisen keltaluvun tensori ja oikea puoli on neljännen kertaluvun tensori. ε ij ɛ ikr ɛ jmn x k x m Summausindeksejä ovat i, j, k ja m. Vapaita indeksejä ovat r ja n. Lauseke esittää toisen kertaluvun tensoria. Mikäli merkitään saadaan komponenteittain ε ij R rn = ɛ ikr ɛ jmn, x k x m ε ij R = ɛ ik ɛ jm x k x m = ɛ ɛ ε x x + ɛ ɛ ε x x + ɛ ɛ ε x x + ɛ ɛ ε x x = ε x ε + ε, x x x jossa ɛ = ja ɛ =, muut permutatiotensorin alkiot ovat nollia. Tehdään malliksi myös R : ε ij R =ɛ ik ɛ jm x k x m ε ε ε ε =ɛ ɛ + ɛ ɛ + ɛ ɛ x x x x x + ɛ ɛ x x = ε ε x x x + ε + ε. x x x x Vastaavalla tavalla saadaan muut komponentit R = ε x R = ε x ε + ε, x x x ε + ε, x x x R = ε ε x x x + ε + ε, x x x x R = ε ε x x x + ε + ε. x x x x Saatiin siis muodonmuutosten yhteensopivuusehdot kun kirjoitetaan R ij = 0. MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä
J = (Uδ j σ ij u i, n j da. V Kaava on oikein. Molemmilla puolilla on skalaari. Se voidaan kirjoittaa auki käyttäen summalausetta = V J = V (U δ j n j j= i= j= σ ij u i, n j da (Un σ u, n σ u, n σ u, n σ u, n σ u, n σ u, n σ u, n σ u, n σ u, n da. Kyseessä on ns. J-integraali, joka on merkittävä suure murtumismekaniikassa. w j + ρνɛ ijk + ρb i = ρ dv i x i x k dt Yhtälö oikealla ja vasemmalla puolella yksi merkitsevä indeksi i, joten se on vektoriyhtälö. Indeksit j ja k ovat summausindeksejä eli mykkiä indeksejä. Auki kirjoitettuna yhtälöryhmä on eli ( + ρν x ( x + ρν x + ρν w w ɛ + ɛ x x w w ɛ + ɛ x x ( w w ɛ + ɛ x x ( w + ρν w x x x ( w x + ρν x + ρν w x x ( w w x x + ρb = ρ dv + ρb = ρ dv + ρb = ρ dv + ρb = ρ dv + ρb = ρ dv + ρb = ρ dv dt. Kyseessä on kokoonpuristumattoman virtauksen Navierin-Stokesin (N-S yhtälöt roottorimuodossa esitettynä. Varsinaiseen tehtäväpaperiin oli kirjoitettu w j :n tilalle v j. Nyt tässä olisi, jos yhtälöt viittaavat N-S yhtälöihin niin w = v. x i + (λ + µ x i ( vk x k + µ v i + ρb i = ρ dv i x k x k dt Yhtälö on vektorimuotoinen, kuten edellisessäkin kohdassa. Yhtälön kummallakin puolella merkitsevänä indeksinä on i. Yhtälön vasemmalla puolella summausindeksi k. Auki kirjoitettuna ne ovat. x + (λ + µ x x + (λ + µ x x + (λ + µ x ( v + v + v x x x ( v + v + v x x x ( v + v + v x x x ( v + µ + µ + µ x ( v x ( v x + v x + v x + v x + v x + ρb = ρ dv + v x + v x Yhtälö on kokoonpuristuvan nesteen Navierin-Stokesin yhtälö (yleistetty N-S. + ρb = ρ dv + ρb = ρ dv dt. MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä
Tehtävä Erään suuren moottrilohkon tuen tukireaktioksi on mitattu voimavektori F = (5F, F, 0F T. Kuva alla. Laakerituen mitat ovat a a h. Lisäksi tiedetään, että moottorilohkon x akselin suuntainen normaalijännitys on σ = 6σ 0, jossa on merkitty σ 0 = F/a.. Määritä näistä tiedoista mahdollisimman moni jännitysmatriisin alkio (x, x, x -koordinaatistossa. Mitä matriisialkioita ei edellisen tiedon perusteella voi määrittää?. Mikäli näille tuntemattomiksi jääville komponenteille oletetaan nolla-arvo, määritä pääjännitykset ja suurinta pääjännitystä vastaavan tason normaalin suunta. Mikä on suurin leikkausjännitys?. Määritä jännitysdeviaattorimatriisi s = σ tr(σi ja sen toinen invarantti J = tr(s (HUOM: tehtäväpaperissa painovirhe sekä von Misesin tehollinen jännitys σ e = J. 4. Mikäli nyt nolliksi oletetut jännityskomponentit voisivat vaihdella välillä ( σ 0, σ 0, missä rajoissa von Misesin tehollinen jännitys vaihtelee? h x x x x F a a Ratkaisu. Traktiovektori t on nyt t = a F = F a 5 0 = σ 0 5 0. Koska t = σ T n ja nyt n = (0, 0,, saadaan 5 t = σ 0 0 = σ zx σ zy σ zz tai käyttäen von Karmanin notaatiota τ zx = σ zx, τ zy = σ zy, σ z = σ zz jne., saadaan Jännitysmatriisista tunnetaan siten, τ zx = 5σ 0, τ zy = σ 0, σ z = 0σ 0. σ = σ 0 6 x 5 x x 5 0 jossa tuntematomiksi jääviä komponentteja on merkitty x:llä. Jos ne oletetaan nolliksi saadaan 6 0 5 σ = σ 0 0 0. 5 0, MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä
Pääjännitykset σ i = λσ 0 saadaan ominaisarvotehtävästä 6 + λ 0 5 σ 0 0 λ 5 0 + λ josta saadaan karakteristinen yhtälö (6 + λ λ 0 + λ + 5 0 λ 5 = 0, joka sievennettynä on n n n λ + 6λ + 84λ 6 = 0. = 0, ( Ratkaisu on λ =, 4, λ =, 7, λ = 0, 6 Täten suurin pääjännitys on σ I = 0, 6σ 0 keskimmäinen σ II =, 7σ 0 ja pienin σ III =, 4σ 0, sillä σ 0 > 0. Suurinta pääjännitystä vastaava suunta saadaan sijoitamalla ominaisarvo yhtälöön (, jolloin σ 0 6, 6 0 5 0 0, 6 5 0, 6 n n n = 0, josta saadaan valitsemalla n = arvot n = 5/6.6 = 0.8 ja n = /0, 6 = 6, Koska kysyttiin vain suuntaa vektoria n ei tarvitse normeerata. Suurin leikkausjännitys on τ max = (σ I σ III = 6, 8σ 0. Jännitysmatriisin jälki on trσ = 6σ 0, joten jännitysdeviaattori on s = σ trσ I = 6 + 6/ 0 5 0 6/ 5 0 + 6/ σ 0. Lasketaan nyt deviaattorin toinen invariantti J = trs (HUOM: tehtäväpaperissa oli virhe tuossa kertoimessa. Symmetrian nojalla J = s ijs ji = s ijs ij = [( 0, 667 +( 5 +5, + +( 5 + +( 4.667 ]σ 0 = 50, 8σ 0. Tästä saadaan teholliseksi jännitykseksi Jos nyt σ = σ 0 ja merkitään τ xy = ξσ 0 sekä σ y = ησ 0, eli σ e = J =, σ 0. σ = σ 0 6 τ xy /σ 0 5 τ xy /σ 0 σ y /σ 0 5 0 6 ξ 5 ξ η 5 0 Nyt trσ = (η 6σ 0 ja jännitysdeviaattori on s = σ trσ I = η ξ 5 ξ 5 + η σ 0. 5 4 η Lasketaan tehollinen jännitys σ e = J = [( η + (5 + η + ( 4 η + ξ + 5]. Nyt η, ξ. On helppo havaita, että tehollisen jännityksen ääriarvot saadaan ξ:n ja η:n raja-arvoilla ±.., MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä 4
Tehtävä. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten kuormien suuntaan määritetyssä koordinaatistossa σ 0 0 0 σ = 0 ασ 0 0, 0 0 0 jossa α on dimensioton parametri, joka kokeesta riippuen voi vaihdella välillä (,. Määritä parametrin α funktiona:. keskimääräinen jännitys σ m,. tehollinen jännitys σ e = J,. Loden kulma θ (katso määritelmä luentomonisteesta, 4. maksimileikkausjännitys τ max, 5. ja maksimileikkausjännitystason normaalin suunta. Millaista jännitystilaa kuvaa tapaus α =? Ratkaisu. Keskimääräinen jännitys on Jännitysdeviaattori on s = σ trσ I = = Tästä tehollinen jännitys σ e = J = σ e = J = σ m = trσ = ( + ασ 0. σ 0 ( + ασ 0 0 0 0 ασ 0 ( + ασ 0 0 0 0 ( + ασ 0 ( ασ 0 0 0 0 ( α σ 0 0 0 0 ( + ασ 0 trs on 9 [( α + (α + ( + α ] σ 0 = α α + σ 0 Loden kulma θ saadaan kaavasta ( θ = arccos J J /. Lasketaan J = det s J = 9 ( α(α ( + ασ 0. Maksimileikkausjännitys on τ max = (σ I σ III. Jos oletetaan että σ 0 on positiivinen, niin tällöin σ III :n on pienempi luvuista 0, ασ 0. Maksimileikkauksen esiintymistaso puolittaa pääjännitystasojen välisen kulman. Täten mikäli α > 0 esiintyy tasossa, joka muodostaa 45 asteen kulman (x, x ja (x, x -tasojen kanssa. Tällöin siis nolla on pienin pääjännitys ja τ max = σ 0. Täten mikäli α < 0 esiintyy tasossa, joka muodostaa 45 asteen kulman (x, x ja (x, x -tasojen kanssa. Tällöin siis ασ 0 on pienin pääjännitys ja τ max = ( ασ 0. Tapaus α = kuvaa puhdasta leikkausta.. MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä 5
Tehtävä 4. Mitoita oheisen kaksiaukkoisen palkin korkeus h siten, että palkin materiaalin tehollinen jännitys σ e = J on pienempi kuin 55 MPa (teräs S 55 kun palkin tulee kestää 00 kn pystykuorma mielivaltaisessa kohdassa. Palkin poikkileikkaukseksi voit otaksua I-proilin, jonka mittasuhteet ovat h = b, t f = t w ja t w = 50h. Palkin jänneväli on L = 6 m. Tukilaakerin pituus keskituella on b/ (reunatuilla puolet tästä ja leveys palkin leveys. Voit analysoida palkkia idealisoituna I-proilina, jossa taivutusmomentti M kannetaan laipoilla ja uuma ottaa kaiken leikkausrasituksen. Lisäksi taivutusjännitykset voi olettaa vakioiksi laipan paksuuden suhteen. Missä on vaarallisin kuorman paikka? F t f t w h L L b Ratkaisu. Olkoon pistekuorman etäisyys vasemmalta tuelta ξl (tai vastaavasti oikealta tuelta. Tällöin keskituen taivutusmomentin ja tukireaktion arvoiksi saadaan M = 4 F Lξ( ξ, T = 4 F ξ( + ξ. Kuorman vaarallisin paikka on todennäköisesti kohta, joka antaa keskituen taivutusmomentin itseisarvolle maksimiarvon. Tämä on kohdassa ξ = /. Tällöin keskituen taivutusmomentille ja tukireaktiolle saadaan arvot M = F L 6, T = 5 6 F. Olettamalla, että taivutusmomentti otetaan vastaan pelkästää laippojen normaalijännityksillä, saadaan M = σ x t f bh, josta σ x = M t f bh. Valitaan nyt yhteiseksi pituusmitaksi ratkaistava suure h, tällöin b = h, t w = 50 h, t f = t w = 00 h. Rakenteen vaarallisin kohta on keskituen kohdalla, jossa uuman alaosassa vaikuttaa suuret puristavat normaalivoimat σ x ja σ y sekä leikkausjännitys τ xy, joille pätee σ x 00 9 F L h = α F L h, σ x 5 6 Jännitysmatriisi on nyt τ xy 5 h σ = F 50 h h = 500 F h = α F h, F 50 h = 5 6 F h = α F h. σ x τ xy 0 τ xy σ y 0 0 0 0 Hydrostaattinen jännitys on σ m = trσ = (σ x + σ y, ja deviatorinen jännitysmatriisi on σ x σ y τ xy 0 s = τ xy σ y σ x 0. 0 0 (σ x + σ y. MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä 6
Tehollinen jännitys on σ e = J = [( σ x σ y + ( σ y σ x + ( σ x + σ y + τxy] = σx + σy σ x σ y + τ xy. Sijoitetaan nyt jännitysten lausekkeet tehollisen jännityksen lausekkeeseen, ja asettamalla se yhtäsuureksi materiaalin myötörajan R e kanssa, niin saadaan α (L/h + α α α + α F h = R e. Kerrotaan puolittain L :lla ja järjestellään, jolloin saadaan epälineaarinen yhtälö α (L/h + α α α + α (L/h R e L /F = 0. ( Tästä voidaan suhde L/h ratkaista. Nopea ratkaisu (alkuarvo saadaan kun otetaan vain huomioon taivutuksen aiheuttamat normaalijännitykset σ x, tällöin vaadittavaksi korkeudeksi saadaan ( 00F L / h 9, R e Sijoittamalla lukuarvot saadaan h 0, m. Yhtälön ( ratkaisu on L/h 5, 9 josta saadaan h = 0, m. Täten σ y :n ja τ xy :n vaikutus on minimaalinen (mikäli laskin oikein. Kuorma on aika pieni, mikäli F = 00 kn, on ero suurempi, 0, m vs. 0,5 m, ja jos F = 500 kn niin tällöin vastaavat lukemat ovat 0,8 m ja 0,4 m. MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä 7
Tehtävä 5. Alla olevan kuvan mukaisen päistään suljetun ympyräsylinterin muotoisen paineistettuun putkeen vaikuttaa myös sylinterin akselin suuntainen vääntömomentti M = αp 0 td, jossa D on sylinterin halkaisija, t seinämän paksuus ja p 0 on sylinterissä vaikuttava paine. Sylinterin seinämä on pieni suhteessa halkaisijaan, eli t/d. Piirrä sylinterin seinämän jännitystilan kuvaaja deviatorisella tasolla dimensiottoman parametrin α > 0 funktiona. Ratkaisu. Otaksutaan tasojännitystila, sillä sylinterin seinämän vahvuus suhteessa halkaisisijaan on pieni: t/d. Jännitystila on siten σ x = p 0D/t, σ y = 4 p 0D/t, τ xy = M x /W v = αp 0 td /( 4 πd t = (4α/πp 0. Jännitysmatriisi on siten σ = D/t 4α/π 0 4α/π 4 D/t 0 0 0 0 p 0 = β 0 β 4 0 0 0 0 p 0 D/t, jossa on merkitty β = 4αD/(πt. Lasketaan deviatorinen jännitysmatriisi, jota varten tarvitaan keskimääräinen jännitys σ m = trσ = (/4p 0D/t, joten s = 4 β 0 β 0 0 0 0 4 p 0 D/t. Jotta kyseinen jännitystila voidaan kuvata deviatorisella tasolla lasketaan invariantit J = s ijs ji ja J = det s: J = ( 6 + β p 0D /t = ( 6 + β p 0D /t, J = det s = 4 β (p 0 D/t. Deviatorinen säde on ρ = J = 8 + β p 0 D/t, ja Loden kulmalle saadaan lauseke cos θ = J J / = 8 β ( 6 + β /. Nyt jännityspisteen asema deviatorisella tasolla voidaan napakoordinaattien ρ ja θ avulla piirtää β:n funktiona, joka on suoraan verrannollinen parametriin α. MEI-060 Materiaalien mekaniikka -. kotitehtehtävä 8