Taivaanmekaniikkaa Celestial mechanics Keplein liikelait kepleian obits satelliittien ja planeettojen ataliike satellite/planetay obits kolmen ja useamman kappaleen ongelma thee and many body poblem pakonopeus ja kaasukehien säilyminen escape velocity, atmosphees auinkokunnan stabiilisuus Sola system stability Kahden kappaleen liikeyhtälö Newton: Two-body equation of motion F Gm1m F m 2 3 2 2 m 2 2 Gm1m2 m m m 3 1 1 G 1 2 3 3 = G(m 1 + m 2 ) Oletus: ei muita kappaleita, kappaleet pistemäisiä, ei muita vaikuttavia voimia kuin vetovoima Assume: no extenal bodies, only gavity 1
Kahden kappaleen liikeyhtälö = G(m 1 + m 2 ) GM tai GM GM 3986005 10 8 m 3 s 2 GM = 4 Two-body equation of motion Yksiköiden valinta: tilanteen mukaan Use units wisely! 2 kun massan yksikkönä on Auingon massa pituuden yksikkönä AU ajan yksikkönä tooppinen vuosi When units ae: sola mass, Astonomical Unit and topical yea HUOM: Massaa ja vetovoimavakiota ei voi eottaa toisistaan; G:n numeoavo SI-yksiköissä tunnetaan huonosti; älä käytä jos ei ole pakko OBS: mass and gavity constant cannot be sepaated. Do not use SI units Kahden kappaleen liikeyhtälö Two-body equation of motion Toisen ketaluvun vektoiavoisen diffeentiaaliyhtälön atkaisemiseksi tavitaan kuusi integoimisvakiota. Nämä voidaan valita tilanteesta iippuen: ataelementit; kappaleen ataa kuvaavat (geometiset) suueet. Etuna havainnollisuus kappaleen paikka- ja nopeusvektoit ajanhetkellä t 0 ; etuna helppo käytettävyys numeeisessa laskennassa fysikaaliset suueet, impulssimomenttivektoi k ja eksentisyysvektoi e; etuna analyyttisen atkaisun kaavojen johto Eithe: obital elements; position and velocity vectos; o physical constants, angula momentum, eccenticity 2
apogeum peigeum satelliitti Maa = adiusvektoi f = todellinen (tai luonnollinen) anomalia tue anomaly e = eksentsyysvektoi eccenticity vecto Satelliitin ataelementit a = ataellipsin isoakselin puolikas. Semimajo axis e = eksentisyys, ellipsiadalle [0, 1). Eccenticity Obital elements = inklinaatio, atatason kaltevuus peustason suhteen. inclination Satelliiteille peustasona käytetään yleensä maapallon ekvaattoitasoa. on välillä [0º, 90º] jos satelliitti liikkuu Maan pyöimisen suuntaan, (90º, 180º), jos liike on vastakkaista l. etogadista. = nousevan solmun ektaskensio, ight ascension of ascending node kulma mitataan pitkin peustasoa sovitusta kiinteästä suunnasta, esimekiksi kevättasauspisteen suunnasta vastapäivään. Ilmoittaa missä satelliitti nousee ekvaattoin pohjoispuolelle. = peigeumin agumentti, agument of peigee kulma nousevan solmun suunnasta mitattuna peigeumin suuntaan. = peigeumaika, ajanhetki, jolloin satelliitti on lähinnä Maata. Time of peigee 3
Ratataso on vakio jos ei häiiöitä obital plane is constant impulssimomentti on vakio = sen aikadeivaatta on 0 angula momentum is constant = time deivative = 0 = 0 Keple I adat katioleikkauksia Maa k ṙ 1 2 k / e cos f satelliitin atataso peigeum apogeum isoakseli ê f Maa f e ê a a 2h 2h ellipsiata hypebeliata satelliitin ata h = ½v 2 / kokonaisenegia 4
Keple II ja Keple III 1 A f k 2 2 1 2 P 2 2 3 4 a G( m m ) 1 2 4 3 2 1 pintanopeus on vakio Keple: P 2 2 3 1 P2 a1 / / a 3 2 Mittakaava Scale Keplein lait antavat vain atojen suhteet Keple s laws give only atios tavitaan vähintäin yksi mitattu etäisyys, jotta päästään absoluuttisiin (metisiin) yksiköihin At least one distance is needed to be measued to obtain the absolute scale Masin, Eoksen etäisyys kolmiomittauksella ; Venuksen ylikulku;... Tutka, luotainyhteys, Mas, Eos, distance with tiangulation, Venus tansit Rada, space pobe link, 5
a sin E Satelliitin paikka position a b a E S ae a cos E f Q' Q X a(cos E e) bsin E = a(1 e cos E) M 2 t P Keplein yhtälö E e sin E = M eksentinen anomalia E ; keskianomalia M Planeetan/Satelliitin paikka position of a planet/satellite Maa f e atanopeus peigeum a na 2 cos E 1 e 2 1 e sin E sin E cos E 2 na 2 1 ( ecos E). v 2 1 a e 2 cos sin Esim. a = 1.56 AU, = 1.17 AU, = 4 2 v = 6.5 AU/a = 31 km/s f f 6
Siityminen Maahan sidottuun koodinaatistoon To Eath-fixed fame 1. Rataan sidotusta jäjestelmästä inetiaalikoodinaatistoon Fom obit to the intetial fame R R x y z R R ( ) R1( ) 3( 3 R cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos sin cos 0 f f ) Siityminen Maahan sidottuun koodinaatistoon 2.Inetiaalikoodinaatistosta Maahan kiinnitettyyn koodinaatistoon Fom inetial fame to Eath-fixed x y z CTS R M S N P R R R Pekessio, nutaatio, tähtiaika, napavaiaatio (= EOP) x y z CIS 7
Siityminen Maahan sidottuun koodinaatistoon 3. Geosentisestä toposentiseen koodinaatistoon Fom geocentic to topocentic x y z * * * x y z tan tan * * y x z * * * * sin y * Satelliitin nopeus havaitsijaan nähden = Maan pyöimisliikkeen keskimäääinen kulmanopeus Satellite velocity elative to the obseve 8
9
10
11
Satelliittien ataelementit obital elements STARLETTE 1 07646U 75010A 04287.30210028 -.00000366 00000-0 -17549-3 0 5029 2 07646 49.8264 31.3143 0206062 191.4636 168.1506 13.82261680499454 LAGEOS 1 1 08820U 76039A 04286.66665921.00000012 00000-0 10000-3 0 778 2 08820 109.8614 347.2139 0044262 198.2119 161.7157 6.38664788407934 http://celestak.com/norad/elements/ Two-line elements, 1 01 Line Numbe of Element Data 03-07 Satellite Numbe 08 Classification (U=Unclassified) 10-11 Intenational Designato (Last two digits of launch yea) 12-14 Intenational Designato (Launch numbe of the yea) 15-17 Intenational Designato (Piece of the launch) 19-20 Epoch Yea (Last two digits of yea) 21-32 Epoch (Day of the yea and factional potion of the day) 34-43 Fist Time Deivative of the Mean Motion 45-52 Second Time Deivative of Mean Motion 54-61 BSTAR dag tem (decimal point assumed) 63 Ephemeis type 65-68 Element numbe 69 Checksum (Modulo 10) 12
Two-line elements, 2 01 Line Numbe of Element Data 03-07 Satellite Numbe 09-16 Inclination [Degees] 18-25 Right Ascension of the Ascending Node [Degees] 27-33 Eccenticity (decimal point assumed) 35-42 Agument of Peigee [Degees] 44-51 Mean Anomaly [Degees] 53-63 Mean Motion [Revs pe day] 64-68 Revolution numbe at epoch [Revs] 69 Checksum (Modulo 10) Satelliittien adat obits LEO Low Eath Obit; 300-1500 km MEO Medium Eath Obit; 1500 36000 km Geostationaaiset satelliitit 35790 km Geosynkoniset satelliitit HEO High Elliptical Obit > 36000 km 13
LEO Low Eath Obit 14
Polaaiadat pola obits High elliptical obit, Molniya 15
Molniya Geosynkoninen ata 16
Maksimileveysaste, jossa satelliitti näkyy zeniitissä on sama kuin adan inklinaatio. Toistopeiodi iippuu kietoajasta; usein pienikin muutos adassa muuttaa toistopeiodia damaattisesti. 17
Todellisuus on toista (vai?) Ratahäiiöt Petubations Maailmankaikkeudessa ja auinkokunnassa on enemmän kuin kaksi kappaletta kappaleet eivät ole pistemäisiä liikkeeseen vaikuttaa muitakin voimia kuin vain vetovoima Mutta: Keplein liike hyvä 1. ketaluokan appoksimaatio Thee ae moe than two bodies in the Univese but the Kepleian motion is a good appoximation http://cfa-www.havad.edu/iau/animations/middle.gif 18
V Maan vetovoimakentän potentiaali gavity potential GM n 2 n 1 m 1 n a 2 n a n J P (sin ) n n ( J cos m K sin m ) P (sin ) nm nm nm HUOM: kokeamman asteen temit katoavat nopeasti. Kaukana sama kuin pistemäisen kappaleen vetovoimakenttä Ratahäiiöt. f 3 (t,,, q i ) Petubations useissa tapauksissa muiden kappaleiden vaikutus voidaan ottaa mukaan häiiötemeinä, ts. vaikutus on paljon pienempi kuin Keple-liikkeen aiheuttavan temin. Pätee sekä planeetoille (eityisesti) että useimmille satelliiteille ja luotaimille 19
J2 ja J3 vaikutus Staletten adan eksentisyyteen, aika vuookausia 20
An example how highe ode tems of Eath potential field affect the obital elements (shot peiod, long peiod, secula) 21
Ratahäiiöt; esimekkinä GPS-satelliitti Häiiö kiihtyvyys vihe paikassa [m] [m s 2 ] vuookaudessa Maan litistyminen, J 2 -temi 5 10 5 10000 Maan litistyminen, muut muodosta johtuvat temit 3 10 7 200 Kuu 5 10 6 3000 Auinko 2 10 6 800 kiinteän maan vuoksi 1 10 9 0.3 valtameten vuoksi 5 10 8 0.04 Auingon säteilypaine 9 10 8 200 säteilypaine, ''y-bias'' 5 10 10 2 Maan albedo 4 10 10 0.03 suhteellisuusteo. efektit 3 10 10 0.01 Kaksi komponenttia: Säteilypaine adiation pessue Auingosta poispäin y-bias esim. ei-kohtisuoista auinkopaneeleista satelliitin joutuminen vajoon aiheuttaa epäjatkuvuuden ataintegointiin Two components: outwad fom the Sun and y-bias = pependicula Satellite passing in o out of shadow causes nea-singulaity in obit integation 22
Vaiation in Sola adiation duing two yeas Esimekki: J 2 aiheuttaa atatason kietymän (Regesses West) (Regesses East) 23
Radan pekessio obit pecession 24
Peigeumin kietymä on 0 kun adan inklinaatio on 63.4. 25
26
Auinkosynkoninen ata Sun-synchonous obit 27
Valtameten vuoovedet (eli ei se niin yksinketaista ole) tides Ilmakehän jautus ai dag pienentää eksentisyyttä; voima F veannollinen nopeuden v neliöön, tiheys, A satelliitin poikkipinta-ala, c veannollisuuskeoin F 1 2 c käytetään hyväksi mm. planeettaluotaimissa (Mas, Jupite, Venus) muuttamaan luotaimen ataa sen asettuessa kietoadalle; Maata kietäville satelliiteille yleensä haitta. Poikkeus CHAMP, GRACE, GOCE v 2 A 28
Ratamuutokset obit changes http://www.aa.washington.edu/couses/aa101/lectues/aa101_20. 29
Satelliitin atamuutos planeetan vetovoimakentässä obit change duing a planet fly-by nopeus säilyy, suunta muuttuu v 1 v 0 v 1 v 0 Kolmen (ja useamman) kappaleen ongelma thee (and moe) body poblem Ei analyyttistä atkaisua kuin eikoistapauksessa No analytic solution except in some special cases Rajoitettu kolmen kappaleen ongelma; kaksi massiivista kappaletta ympyäadalla, näiden atatasossa kietää kolmas (massaton) kappale Resticted thee-body poblem; two massive bodies, one massless Sundman, sajakehitelmä eikoistapauksia ja osittaisia atkaisuja jo aiemmin; mm. Lagange Sundman: seial expansion, special cases aleady ealie, e.g. Lagange yleinen tapaus: numeeisesti; nykyisin voidaan laskea jopa galaksin kokoisia jäjestelmiä... Geneal case can be solved numeically; even galaxies 30
Lagangen pisteet Lagange points Kolmen kappaleen ongelman eikoisatkaisu. L4 ja L5 stabiileita, muut labiileita www.maths.qmul.ac.uk/~cal/solasystem/lectue6. ppt asteoideja mm. Jupitein lagangen pisteissä L4 ja L5. Special case of a thee-body poblem; L4, L5 stable, othes unstable Asteoids e.g. In Jupite L4 L5 Toijalaiset asteoidit Tojan asteoids Joukko asteoideja on Jupitein asteoidit Lagangen pisteissä L4 ja L5 Maan toijalaiset www.asto.uwo.ca/ ~wieget/ 31
Lähes samaa ataa kietävät kappaleet Nealy same obits Valesatelliitti quasi satellite www.asto.uwo.ca/ ~wieget/ 32
Asteoidien atojen kehitys 1Ma; simulaatio www.asto.uwo.ca/ ~wieget/ Kuiden aiheuttamat aukot ja juovat enkaissa Gaps and stipes in planetay ings 33
Renkaita paimentavat kuut shepading moons Mekuiuksen peihelikietymä Mecuy peihelion advance 34
Neptunuksen löytyminen Discovey of Neptune John Couch Adams; Ubain Le Veie Pakonopeus escape velocity R Pakonopeus saadaan ehdosta, että kokonaisenegia ja nopeus ovat nolla ääettömän kaukana h = ½v 2 / R = 0 2G( m1 m2) v e R Maa 11.2 km/s Kuu 2.4 km/s Auinko 618.0 km/s Jupite 59.5 km/s Eos (läpim. 7 km) 9 m/s 35
Ilmakehän säilyminen Stability of an atmosphee Ilmakehän säilyminen iippuu planeetan massasta ja lämpötilasta. Molekyylin keskimäääinen nopeus 3kTk v m T k = kineettinen lämpötila, m molekyylin massa Pakonopeus M-massaisen, R-säteisen planeetan pinnalta on 2GM v e R Kaasukehä säilyy auinkokunnan iän, jos v 0. 2v e Depends on the mass and tempeatue of a planet Komeettojen adat cometay obits www.asto.uu.se/~johwa/uaofiles/psfht04/comets.ppt 36
Kuipein vyöhykkeen kappaleet syntyneet samalla alueella, Ootin pilven kappaleet peäisin auinkokunnan sisäosista Ootin pilven ja Kuipein vyöhykkeen synty Auinkokunnan syntyaikana Duing the fomation of the sola system Sinkoutuneita planetesimaaleja (Ootin pilvi) J S U N Alkupeäinen planetesimaalien euna 18 AU 30 AU 48 AU Nykyisin Now Neptunuksen 2:1 esonanssi työntää planetesimaaleja ulospäin J S U N Neptunus alkupeäisellä ulkoajalla Gomes, Icaus 2003 and Levison & Mobidelli Natue 2003 3:2 Neptunuksen esonanssi (Pluto) 2:1 Neptunuksen esonanssi 37
Kaaos vai säännöllisyys chaos o egula obits N l Resonances m 2 p q N = mean motion of the satellite l = degee; p = ode Lambeck 235-38
Resonanssit ja pysyvät adat esonances and stable obits www.maths.qmul.ac.uk/~cal/solasystem/lectue11. ppt Resonanssien päällekkäisyys syynä että nykyisen asteoidivyöhykkeen ulko-osista ulospäin pikkukappaleet kadonneet. Auinkokunnan alkuaviheessa sinkoutuneet Ootin pilveksi nykyiset komeetat. Resonansseja käytetään hyväksi myös satelliittien adoissa, esim. pvkentän kokea-asteiset temit. Resonanssi muuttaa atoja esonances ae changing obits HUOM: eksentisyyden kasvu saattaa muuttaa vaaattomia asteoideja potentiaalisesti vaaallisiksi Changes in eccenticity may make hamless asteoids potentially dangeous www.maths.qmul.ac.uk/~cal/solasystem/lectue11.ppt 39
Resonanssit ja pyöiminen esonances and otation Mecuy 2:3 spin-obit esonance. Moon 1:1 esonance = always the same side towads the Eath. Jovian moons 1:1. Auinkokunnan stabiilisuus Sola System stability Klassisen teoian mukaan stabiili, joskin vaikea todistaa analyyttisesti; joudutaan tekemään useita yksinketaistavia oletuksia Assumed stable in classical teatment, although analytical poof difficult Todellisuudessa adat kaoottisia, ei analyyttistä atkaisua numeeiset simulaatiot In eality chaotic, no analytical solution, numeical simulations only ei selkeää vastausta; Mekuius mahdollisesti epästabiili, mutta aikaskaala pitempi kuin auinkokunnan elinaika No definite answe; Mecuy possibly unstable but time scale linge than the life time of the Sola System 40
Auinkokunnan stabiilisuus Sola System stability J. Laska, Lage scale chaos in the sola system, Aston. Astophys. 287, L9 (1994) Muut auinkokunnat othe sola systems Nähdään dopple-siitymänä Maa planeetta v 2 G P ob 1/3 ( M M s p sin i M p ) 2/3 1 1 e 2 i Maa M s M p Fom Lissaue and Depate, Planetay Sciences, 2001 41
Muut auinkokunnat othe sola systems 42