2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki

Transkriptio

1 Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen vaatimuksia varten tarvitaan kuitenkin täsmällisempi voiman määritelmä kuin mikä muualla riittää. Ennen kuin voimaa voi määritellä on päätettävä tietyt periaatteet. Tähän asiaan on otettu kantaa jo ainakin parin vuosituhannen ajan. Aikanaan asia kuitenkin jämähti paikoilleen sadoiksi vuosiksi kun Katolinen kirkko kanonisoi Aristoteleen fysiikan. Vasta Isaac Newton ( ) mietti asiaa tarkemmin ja itsenäisemmin. Hän tiivisti asiaan liittyvät teesinsä vuonna 1687 ilmestyneessä teoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (eli Luonnonfilosofian matemaattiset perusteet). Aristoteleen fysiikan mukana oli muun muassa omaksuttu käsitys, jonka mukaan kappale pysähtyy, jos sen liikkeen aikaansaava voima lakkaa vaikuttamasta. Tätä käsitystä näyttäisi havaintokin tukevan, jos ei osaa ottaa kitkan vaikutusta huomioon. Newtonin oivallus, että kappaleen liiketilan muuttaminen myös kappaleen pysäyttäminen edellyttää voimaa, joka vaikuttaa kappaleeseen. Jos mikään voima ei vaikuta kappaleeseen, se jatkaa suoraan entiseen suuntaansa vakionopeudella tai jos se ei alun perinkään ollut liikkeessä pysyy paikallaan. Newtonin mekaniikan mukaan kappaleen liiketila ei muutu ilman kappaleeseen vaikuttavaa voimaa. Tämä on Newtonin I laki eli jatkuvuuden laki eli massan hitauden laki (law of inertia): jos kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien summa on nolla, kappale säilyttää liiketilansa. Massan hitautta sanotaan myös inertiaksi (inertia). Law if inertia Consider a body on which no net force acts. If the body is at rest, it will remain at rest. If the body is moving with constant velocity, it will continue to do so. Newtonin I laki Jos kappaleeseen vaikuttavien voimien summa on nolla, kappaleen liiketila säilyy. Toki Newtonin Principia sisältää paljon, paljon muutakin kuin vain mainitun jatkuvuuden lain idean. Esimerkiksi Wikipedia kertoo lisää! Mitä enemmän rautaa on tangossa sitä vahvempi mies tarvitaan nostamaan se pään yläpuolelle. 1(7)

2 Vastaavasti sitä voimakkaampi on auton oltava mitä nopeammin haluat sen kiihtyvän. Nämä kaksi asiaa, kappaleen suuri kiihtyvyys ja suuri massa, edellyttävät suurta voimaa jotta ne saadaan liikkeelle. Fysiikassa sanotaan, että sen voiman suuruus, joka tarvitaan antamaan m-massaiselle kappaleelle kiihtyvyys a on suoraan verrannollinen a:han ja m:ään. Sitä merkitään F a,m ja vielä tarkemmin yhtälön avulla F = ma. Koska kiihtyvyydellä on suunta, myös voimalla on suunta. Siksi voima on syytä määritellä niin, että tämä seikka näkyy: laitetaan suunta yhtälöön mukaan. Asetetaan seuraava määritelmä: jos voima F (force) antaa massalle (mass) m kiihtyvyyden a (acceleration), niin Voima F, massa m ja kiihtyvyys a F =m a Luonnollisesti kiihtyvyydellä, jonka voima aikaansaa, on sama suunta kuin voimalla, joka sen aiheuttaa. Yllä olevassa voiman määritelmän yhtälössä tämä näkyy niin, että kun kiihtyvyysvektori kerrotaan massalla, joka on skalaari, vektorin pituus muuttuu, mutta sen suunta ei. Skalaarillahan tarkoitetaan pelkkää lukua, joka on mahdollisesti varustettu yksiköllä. Määritelmän kaavaa soveltamalla saadaan myös voiman yksikkö. Koska [m] = kg ja [a] = niin SI järjestelmässä voiman yksikkö on m s 2, Voiman yksikkö kg m =Newton= N s 2 SI-järjestelmä määrittele massan tunnukseksi kirjaimen m. Lakia, jonka mukaan massa on kappaleen hitauden mitta, sanotaan Newtonin II laiksi ja myös dynamiikan peruslaiksi. Yllä oleva yhtälö F =m a on yksi sen mahdollinen formulointi. Jos kappaleeseen, jonka massa on m, vaikuttaa n kappaletta voimia eli voimat F i, missä i = 1,2,,n, niin voidaan kirjoittaa Newtonin II laki n i=1 F i =m a 2(7)

3 Samaan tapaan kuin vaikkapa metrin ja kilometrin tapauksessa, joskus myös voiman yksiköstä on kätevää käyttää seuraavanlaisia monikertoja: kilonewton = kn = 1000 newtonia millinewton = mn = N. Huomaa, että Newtonin I laki voidaan tulkita Newtonin II lain erikoistapauksena. Esimerkki 16 Mihin suuntaan kuvan kappale liikkuu? Voima F g vaikuttaa kohtisuoraan alaspäin ja F N kohtisuoraan ylöspäin. F N 150 N 390 N 240 N F g = 2452 N Koska mitään muuta ei sanota, voidaan olettaa, että kappaleen ja sen alustan välillä ei ole kitkaa. Suoraan alas ja suoraan ylös vaikuttavat voimat kumoutuvat yhtä suurina, joten ne eivät vaikuta kappaleen liikkeeseen. Koska 150 newtonin ja 240 newtonin voimat vaikuttavat vastakkaiseen suuntaan kuin 390 newtonin voima, mutta ovat yhteensä yhtä suuret, kappale ei liiku mihinkään. Vastaus: Kappale on paikallaan. Esimerkki 17 Kuinka suuri on kuvan tilanteen voiman F x oltava, jotta kappale ei liiku? Kulman α suuruus on 36 astetta. F x α F = 300 N 3(7)

4 Koska alustan kannatusvoima kumoaa F:n pystysuoran komponentin, niin voiman F x täytyy kumota F:n vaakasuora komponentti, jotta kappale pysyy paikoillaan. F:n vaakasuora komponentti löytyy trigonometrian avulla. Aloitan ratkaisun etsimisen piirtämällä kaavion. Otan siihen mukaan vain sen, mitä tarvitsen. Määrittelen tätä tilannetta varten koordinaatiston siten, että voimaa F esittävä vektori eli seuraavan kuvan nuoli alkaa origosta ja sen kärki on pisteessä (x;y). Sivumennen sanoen, koska F:n pituus on 300, niin x 2 + y 2 = 300, joten taas muistelin Pythagorasta tai ainakin hänen lausettaan. Trigonometriasta tiedetään, että cos = x 300, josta x = 243, koska α = 36. α x 300 y Koska F:n vaakasuora komponentti on 243 newtonia, F:n kumoamiseksi riittää 243 newtonin voima, joka vaikuttaa vaakasuoraan. Tarkista asia ratkaisemalla vielä y ja katsomalla, onko todella x 2 + y 2 = 300. Vastaus: F x = 243 N. Esimerkki 18 Avaruusmies on Maata kiertävällä radalla. Hän aikoo työntää 800 kiloisen satelliitin ulos aluksensa rahtitilasta, mikä edellyttää vähintään 0,3 m kiihtyvyyden antamista satelliitille. s 2 Kuinka suuri voima tähän tarvitaan? Koska ollaan Maata kiertävällä radalla, niin avaruusaluksen rataliike kumoaa Maan vetovoiman niin, että satelliittia ulos työntäessään avaruusmies työskentelee pelkästään massan hitautta vastaan. Siksi voidaan käyttää kaavaa F = ma sellaisenaan. Näin ollen 4(7)

5 F =ma=800 kg 0,3 m kg m 2=240 =240 N. s s 2 Vastaus: Tarvittava voima on 240 newtonia. Esimerkki 19 a) Millä voimalla vetovoima vetää sellaista täysinäistä vesisäiliötä lattiaa vastaan, jonka tilavuus on 2m 3 ja oma massa on 850 kg? b) Millä voimalla Marsin vetovoima vetää a) -kohdan vesisäiliötä kuorineen, sisältöineen pintaansa vasten? a) Koska veden tiheys on 1 g cm 3, niin kahden kuution vesimäärä painaa 2000 kiloa. Tästä syystä koko tarkasteltavan kappaleen massa on 2850 kg. Koska voiman suuruus on kiihtyvyyden ja massan tulo, niin F =m a=2850 kg 9,80665 m s 2 = kN. b) Maassa vetovoiman kiihtyvyydellä on siis arvo g =9,80665 m, mutta koska Marsin massa on s 2 pienempi kuin Maan massa ja vaikka Marsin sädekin on pienempi kuin Maan säde, niin Marsin tapauksessa massaero voittaa ja vetovoima Marsin pinnalla on pienempi kuin Maan pinnalla. Muuten tilanne on siis sama kuin a) kohdassa, mutta Marsin vetovoimankiihtyvyyden arvo haetaan netistä. Se on 3,69 m s 2. Tämän arvon löysin suomenkielisestä Wikipediasta. Kysytty voima on F =2850 kg 3,69 m s 2 =11 kn. Vastaus: Marsin vetovoima vetää säiliötä 11 kilonewtonin voimalla. Marsin vetovoimankiihtyvyyden arvoa ei tarvitse muistaa! 5(7)

6 Huomaa, että tarkasteltavan kappaleen massan arvo on tuo sama 2850 kg kuin a) kohdassa! Massa on hitauden mitta, ei painon mitta, vaikka nuo kaksi menevät Maan päällä näköjään hyvin lähelle toisiaan. Marsissa, missä vetovoiman kiihtyvyydellä on eri arvo kuin Maassa, paino ja massa eroavat toisistaan myös lukuarvoiltaan. Samoin tietenkin myös Kuussa ja kaikkialla, missä vetovoiman kiihtyvyys on eri kuin Maassa. Kappaleen vetovoiman kiihtyvyys on laskettavissa kaavalla g =G m, missä G on Newtonin r 2 gravitaatiovakio ja m on kappaleen massa. Taulukkokirjasta löydät gravitaatiovakion arvon, joka on 6, Nm 2. Pistäpä laskin töihin! Maan massa on t ja sen säde on kg 2 metriä. Marsin massa on 6, kg ja sen säde 3402 km. Esimerkki 20 Kotivalo huomaa, että hänen on saatava 1000 kiloinen veneensä siirtymään vähän kauemmas laiturista. Hän asettuu veneen ja laiturin väliin älä itse toimi näin, laske ainoastaan! painaa selkänsä venettään vastaan, jalkansa laituria vastaan ja p o n n i s t a a. Jos oletetaan, että vesi ei vastusta veneen liikettä millään tavalla kyseeseen tulevat nopeudethan ovat kovin pienet ja että Kotivalo kykenee tuottamaan 500 newtonin voiman, niin kuinka suuren kiihtyvyyden hän saa veneelleen aikaan? Koska F = ma, niin a= F m = 500 N 1000 kg =0,5 m s 2. Vastaus: Hän saa aikaan kiihtyvyyden 0,5 m s 2. Esimerkki 21 Liukkaalla jäällä olevassa kelkassa on 150 kilon kuorma. Tätä massaa työntää 500 newtonin voima kahden minuutin ajan. Kuinka suuren nopeuden voima saa aikaan, kun kelkan massa on 20 kg ja tilanne alkaa siitä, kun kelkka on paikallaan? Koska tehtävän asettelussa sanotaan liukkaalla jäällä, niin kitka voidaan sivuuttaa. Koska F = ma, 6(7)

7 niin a= F m, niin v= F m t=353 m s. Enemmän kuin äänen nopeus! Huh. Hmmmm. Entä, jos voima vaikuttaa vain viisi sekuntia? Vastaus: Kelkka saavuttaa nopeuden, jonka suuruus on suunnilleen 353 metriä sekunnissa. 7(7)