S-6 FYSII IV (Sf vät 5 LHSf Ratkaisut LHSf- Olttaan ttä saunan kiukaan tulisää voidaan itää likimain mustana kaalna jonka lämötila on C (a Mitn tulisän lämösätilyn fotonin tihys riiuu fotonin taajuudsta (slitä mistä kahdsta tkijästä fotonitihys määräytyy ja slvitä minkälainn funktio taajuudsta fotonitihys on taajuudsta riiumattomat vakiotkijät voit jättää ois? (b Mitn lämösätilyn kokonaisnrgiatihys riiuu lämötilasta? ( iukaan tulisän luukku avataan (olttaan ttä avaaminn i häirits lämösätilyä tulisässä Mikä on aukosta ulos virtaavan lämösätilyn nrgiavuo (yksikköinnan lääisvä nrgia skunnissa? Ohj: fotonin nrgiatihydn voidaan ajatlla muodostavan vuon samaan taaan kuin molkyylivuo muodostuu kaasusäiliössä Fotonin nous on titnkin valon nous ja molkyylivuon lauskkssa siintyvä molkyylin lukumäärätihys korvautuu vastaavasti virtaavan suurn tihydllä (d Laitat kätsi avatun luukun tn Olttaan ttä kaikki mittoituva lämösätily absorboituu ihollsi yhdn kymmnysosamillimtrin aksuisn intakrroksn jonka tihys on kg/dm ja ominaislämö sama kuin vdn li ( intakrroksn lämötila on C? (a Fotonin lukumäärä nrgiavälillä [ + d] 86kJ/ kg Missä ajassa ihon on dn g( d missä 8V g( on fotonin tilatihysfunktio ja h fotonin tilojn mihitystodnnäköisyys Lausumalla fotonin nrgia taajuudn avulla hν ja sijoittamalla s fotonitihydn yhtälöön saadaan ( d hdν fotonin lukumääräksi taajuusvälillä ν ν + dν [ ] 8V 8V ν dn ( hν hdν dν hν hν h Fotonitihys on siis muotoa ν dn hν (b Lämösätilyn kokonaisnrgiatihydn riiuvuutta lämötilasta kutsutaan Stfan- Boltzman -laiksi at tot 5 8 k missä vakio a li kokonaisnrgiatihys on muotoa 5 h tot T ( Molkyylivuon yhtälö on dn Φ nv av dt
Sijoittaan tässä hiukkasmäärän N tilall nrgia hiukkastihydn n tilall nrgiatihys at ja kskimääräisn noudn v av tilall valonnous Tuloksksi saadaan nrgiavuo d Φ at dt (d Ihokrroksn aksuus l m tihys ρ kg m ja C 86 kj kg Lisäksi kiukaan lämötila T C ja ominaislämökaasittti ( Stfan-Boltzmanin vakio 6 a 756 J ( m Olttaan ttä kaikki mittoituva 8 m lämösätily absorboituu iholl iukaan mittoima lämönrgia on ( 9979 Q Φ t at t Ihon absorboima lämönrgia on Q mc T ρ lc T missä massa m ρ V ρl ja lämötilan muutos T ( 7 C 6 C sttamalla nämä lämönrgiat yhtä suuriksi ja ratkaismalla t saadaan ρ lc T ρlc T t s at at s LHSf- Fotoni jonka aallonituus on 5 m absorboituu kg mtallikaalsn ja irrottaa siitä fotolktronin lktroni mittoituu fotonin suuntaan nähdn vastakkaisn suuntaan Olta ttä irrotustyö on hyvin ini fotonin nrgiaan nähdn Lask (a lktronin nrgia ja (b mtallikaaln rkyylinrgia ( Voidaanko tämän tuloksn rustlla liikmäärän säilymislaki jättää huomiotta valosähköisssä ilmiössä? Fotonin nrgia ja liikmäärä ovat γ 9 γ hν h 9865 J 99V ja γ 666 kgm/s Osoittaan suraavaksi ttä skä lktronin ttä kaaln liikmäärät ovat rittäin aljon suurmmat kuin fotonin Olttaan ttä kaal (massa M saa kaikn fotonin nrgian aaln liikmääräksi saadaan ( k mv m M M P M vastaavasti lktronin liikmäärän yläraja on / / 6 m m m 6 Tästä suraa ttä liikmäärä voi säilyä vain sitn ttä kaaln ja lktronin liikmäärät ovat vastakkaissuuntaist ja itsisarvoltaan aljon suurmmat kuin fotonin liikmäärä Liikmäärän ja nrgian säilymislaista saadaan: / P P / ( / /
( oska P P γ P P P M m M m P ja M >> m voidaan kirjoittaa ( P γ m ( γ 5 P γ + mγ + mγ 9 kgm/s Vastaavasti yhtälöistä ( 9 5 kgm/s inttist nrgiat ovat lktronill 9865 J ja mtallikaalll P 5 89 J m M Johtoäätökst: Ylissti fotonilla on nrgiaansa nähdn aljon inmi liikmäärä kuin lomassallisilla kaalilla (lktroni mtallikaal Jotta liikmäärä ja nrgia voisivat säilyä lktronin ja mtallin on saatava lähs yhtä suurt vastakkaisuuuntaist liikmäärät Mtallikaaln fotosähköisssä ilmiössä saama rkyylinrgia on kuitnkin suursta massarosta johtun häviävän ini LHSf- Lask arvio maan intalämötilall olttamalla ttä aurinko ja maa ovat likimain mustia kaalita uringon intalämötila on 58 säd 7 km ja auringon ja maan välinn täisyys 5 km Maan intalämötila voidaan olttaa aikasta riiumattomaksi Maan ja auringon välillä on sätilytasaaino Maa mittoi mustan kaaln sätilynä saman määrän nrgiaa jonka s saa kskimäärin auringosta uringon mittoima tho intaalayksikköä kohdn auringon innalla on Stfan-Boltzmann -lain mukaan I σt missä T on auringon intalämötila Mrkitään R :lla auringon sädttä uringon mittoima kokonaistho ( P R I jakautuu tasaissti koko avaruuskulmaan jotn tho inta-alayksikköä kohdn inn kääntän vrrannollissti täisyydn nliöön auringosta Milivaltaislla täisyydllä r saamm auringon lämösätilyn thoksi inta-alayksikköä kohdn ( / ( I R I r Jos idämm maata täysin mustana kaalna maa absorboi tästä sätilystä thon joka osuu maan varjon alull li I ( R M kuin maan mittoima lämösätily Tasaainotilantssa tämä on kskimäärin yhtä suuri
( Sijoittamalla tähän I ( R I /( r ja T M M M I R R σt M I σt saamm maan lämötilaksi R T 8 7 C r Tulos on varsin lähllä todllista kskiarvolämötilaa (n 5 C -asttta / + missä M / m Mikä on raja-arvo kun LHSf- Hiukkann jonka massa on m ja kinttinn nrgia törmää lastissti alkuaan lvossa olvaan hiukkasn (massa M Osoita ttä hiukkasn suurin mahdollinn liiknrgian muutos on ( M >> m Hahmottl :n funktiona Olkoon hiukkasn liikmäärät nnn ja jälkn törmäyksn ja skä alkujaan aikallaan olln hiukkasn liikmäärä törmäyksn jälkn P 8 /(+ 6 6 8 Liikmäärän säilyminn + P ( Liik-nrgian säilyminn + P ; M / m ( Liikmäärän itsisarvon nliö saadaan isttulona ( - P ( - P ( + P P osθ + P + P P osθ missä θ on vktoridn ja P välinn kulma Yhtälöstä ( saadaan osθ + P P osθ P ( + Hiukkasn M saama liikmäärä on maksimissaan kun θ (äittäinn törmäys ja törmäävän hiukkasn liik-nrgian muutos on tällöin P kin kin M + (
Suhtllinn liik-nrgian muutos on siis kin kin ( + LHSf-5 (a Lask normitusvakio C harmonisn oskillaattorin rustilan aaltofunktioll ψ ( x Lask myös (b ψ m x / C ω Vinkkinä intgraalit: m ω x / (a ψ C x ja ( V ( x täll tilall Prustilan aaltofunktio on x I ja x I x (T&L normitus (funktion itsisarvon nliö intgroituna koko avaruudn yli : mω x / ψ ( x dx C dx C I C missä nyt mω / äytttiin siis vinkiksi annttua intgraalia oska funktio on x- akslilla symmtrinn origon suhtn voitiin intgraalia käyttää nollan molmmin uolin josta krroin nljännssä vaihssa Ratkaistaan C : ψ ( x dx C mω / mω josta ratkaistaan normitusvakio C (b Idana oia laskmaan jonkun suurn odotusarvo Lasktaan siis x-koordinaatin nliön odotusarvo: * mω mω x / x ψ x ψ dx x dx mω mω I mω m ω mω kx mω x ( Harmonisn värähtlijän otntiaalinrgia on V ( x Sn odotusarvo saadaan (b kohdan tuloksn avulla sillä V ( x kx mω x äyttään tähän kohdan (b tulosta koska V ( x mω x mω x jolloin saadaan V ( x mω x mω x mω ω mω