MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi



Samankaltaiset tiedostot
Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi, viikko 6

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi viikko 3

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksianalyysi, viikko 7

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

Kompleksianalyysi, viikko 5

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

Mat Matematiikan pk KP3-i - kertaus

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Sisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

Kompleksianalyysi, viikko 4

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

14. Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali

Hyvä uusi opiskelija!

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

MAT Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

Aluksi Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Matematiikan peruskurssi 2

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

3.3 Funktion raja-arvo

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut Versio 1.01,

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

Derivaatta: Johdanto. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa).

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

1 Analyyttiset funktiot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento

cos x cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

Funktion määrittely (1/2)

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Matemaattinen Analyysi

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

H(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

30 + x ,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = ,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) =

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

3. kierros. 2. Lähipäivä

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 3: Analyyttisten funktioiden geometriaa: konformikuvaukset

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

Funktion derivoituvuus pisteessä

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

2 Funktion derivaatta

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo Ratkaisut ja pisteytysohjeet

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

Transkriptio:

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että 3 = 8j kun = x+jy. 3. Määrää kompleksiluvun ( j) (+j) 3 reaaliosa, imaginaariosa, itseisarvo ja argumentin pääarvo sekä esitä muodossa a + bj. 4. Määrää kompleksiluvun = 3 j itseisarvo ja argumentti sekä kirjoita napakoordinaattiesitys. 5. Olkoon = ( + j) ( j), missä =, = 3, Arg = π ja Arg = π. Laske :n itseisarvo ja argumentti. 4 6. Määrää Im ( j) +j. 7. Päättele w:n lausekkeesta mikä on kompleksiluvun w = reaaliosa. 8. Piirrä joukko Im. 9. Ratkaise yhtälö 4 = 8 j8 3. 0. Osoita, että N e πjrk/n = N k=0 {, r = 0 0, r =,...,N.. Laske allaolevan piirin jännite. I(t)=I cos(wt) o R L

. Esitä kompleksiluku a) = 0 j 3+j, b) = 5 j +3j eksponenttimuodossa = re jϕ. 3. Laske ja piirrä systeemin amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω) = argh(ω), kun impulssivaste on h(n) = {,,}. 4. Diskreetin LTI-systeemin impulssivaste on h(n) = u(n) missä u(n) on yksikköaskelfunktio { n! 0, n < 0 u(n) =, n 0. Laske systeemin siirtofunktio ja taajuusvastefunktio. Mieti, mikä mahtaisi olla taajuusvasteen logaritmin itseisarvo log H(ω). (Kompleksinen logaritmi määritellään myöhemmin) 5. Laske ja piirrä amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω) = argh(ω) suodattimelle, joka määritellään differenssiyhtälöllä y(n) = 4 x(n)+ 4 x(n )+ 4 x(n ), missä x(n) on heräte ja y(n) on vaste. Kirjoita taajuusvastefunktiolle H(ω) esitys H(ω) = R(ω)e jφ(ω), missä R(ω) ja φ(ω) ovat reaalisia. 6. Laske ja piirrä amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω) = argh(ω) suodattimelle, joka määritellään differenssiyhtälöllä y(n) = x(n)+ x(n ) x(n 3) x(n 4), missä x(n) on heräte ja y(n) on vaste. Kirjoita taajuusvastefunktiolle H(ω) esitys H(ω) = R(ω)e jφ(ω), missä R(ω) ja φ(ω) ovat reaalisia. 7. Miksi käyräksi kompleksifunktio f() = + cosh kuvaa imaginaariakselin x = 0? Piirrä ko. käyrän kuvaaja. 8. Miksi käyräksi kompleksifunktio f() = + kuvaa a) suoran y = x, b) yksikköympyrän =? 9. Miksi käyräksi kompleksifunktio f() = sin+ π kuvaa imaginaariakselin suuntaisen suoran x = π? 0. Ratkaise yhtälö e j = +j 3.. Ratkaise yhtälö e +4e +8 = 0.. Määrää kaikki arvot ja pääarvo luvuille a) log(+ 3j), b) ( j) j, c) j

3. Määrää yhtälön cos = j ratkaisut. 4. Pitääkö väite a) e = e, b) sin = sin, c) tan = tan, d) f() = f(), kun f() = e j, paikkansa? 5. Tutki miksi käyriksi cos kuvaa reaaliakselin suuntaiset suorat y = y 0 0 ja miksi käyriksi kuvautuvat imaginaariakselin suuntaiset suorat x = x 0 0. 6. Laske raja-arvot a) lim +j b) lim. 0 ++, j 7. Tutki jonojen a) (+j) n n, b) (+j) n n n suppenemista. 8. Tutki seuraavien funktioiden paikallista käyttäytymistä annetussa pisteessä (laske derivaatta f ( 0 ) ja määrää kiertokulma ja venytyskerroin). a) f() = 4 4, 0 = j, b) f() = ++3 +, 0 = +j. 9. Mitkä seuraavista funktioista ovat analyyttisiä kompleksitasossa? Laske derivaatta annetussa pisteessä, jos se on olemassa, ja esitä geometrinen tulkinta arvolle f ( 0 ). a) f() = f(x+jy) = x y +x+j(xy +y), 0 = j, b) f() =, 0 =, c) f() = x +y 4y +j(4x y) 30. Määrää kaikki analyyttiset funktiot f(), joiden reaaliosa onref() = x 3 3xy +x. 3. Tarkastele analyyttistä funktiota f() = = u + jv. Määrää u:n ja v:n tasaarvokäyrät u(x,y) = ja v(x,y) =. 3. Määrää käyräparven x 3 y xy 3 = c kohtisuorat leikkaajat. 33. Laske ( )n cos(nθ). n=0 34. Määrää seuraavien sarjojen suppenemissäteet ja suppenemisalueet: a) n=0 n n +4 b) Laske seuraavat käyräintegraalit 35. n= e jnπ n n. d, kun on ympyrän = kaari pisteestä = j pisteeseen = j a) vastapäivään, b) myötäpäivään.

36. y d, kun on ympyrän = 3 kehän yksi kierros positiiviseen suuntaan. 37. Laske integraali d pitkin käyrää =, missä : (t) = t+j, 0 t : (s) = +sj, s 38. Laske käyräintegraali d kun on paraabelin osa (t) = t+jt, 0 t. 39. Laske integraalifunktion avulla cosh d, missä on origokeskisen ellipsin kaari pisteestä = j pisteeseen = j vastapäivään. Anna vastaus muodossa a+bj. 40. Laske f()d, kun f() = f(x+jy) = y +jx 3 ja on paraabelin (t) = t jt kaari pisteestä = 0 pisteeseen = 4j. 4. Laske =4 d +9 (yksi kierros positiiviseen suuntaan). 4. Laske (yksi kierros positiiviseen suuntaan) j +4sin 4 +3 d. Anna vastaus muodossa a+bj. = Laske seuraavat integraalit e 43. d, on positiivisesti suunnistettu yksikköneliön kehä (kärkipisteinä 3 44. 45. j, j,+j, +j). cosh d, on positiivisesti suunnistettu yksikköympyrän = kehä. 3 e sin π d, on positiivisesti suunnistettu ympyrän = kehä. 46. Määrää funktion e j ääriarvot ja ääriarvokohdat yksikkökiekossa.

Määrää seuraavien funktioiden Laurent in kehitelmät pisteen 0 = 0 suhteen. 47. (+) 48. +4 49. sinh 50. Määrää funktion f() = 3 5. Määrää funktion f() = ( )( +) Laurent in sarja alueessa { < < 3}. Laurent in sarja alueessa < <. 5. Määrää funktion f() = +j Laurent in kehitelmä pisteen a) 0 = j, b) 0 = 3 suhteen. 53. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H() =, > 3. 5 +6 Määrää systeemin impulssivaste h(k) Laurentin kehitelmän avulla. 54. Määrää funktion 55. 56. = = 57. Laske sin d =? ( +4) d =? 4 +4 ( +) ( +4) navat ja residyt niissä. d, missä on ympyrän = kaari pisteestä pisteeseen ja 4 +4 x-akseli pisteestä pisteeseen. 58. Laske residylaskun avulla x x 4 +4 dx. 59. Laske residylaskun avulla analogisen suodattimen H(f), jolle H(f) = 6 f 4 +7f +6, ekvivalentti kaistanleveys W eq = 6 f 4 +7f +6 df.

60. Laske residylaskun avulla P = x x 4 +6x +64 dx. P on sellaisen satunnaissignaalin keskimääräinen teho, jonka tehotiheysspektri on f S(f) =. f 4 +6f +64 cos 6. Laske d (yksi kierros positiiviseen suuntaan). sin =4 6. Osoita, että funktion + 5 5 +7 4 +3 3 + + + navat ovat alueessa <. 63. Määrää Möbiusmuunnos (bilineaarikuvaus), joka kuvaa alemman puolitason A = { Im 0} yksikkökiekoksi B = { }. 64. Määrää Möbius-muunnos, joka kuvaa puolitason A = { Im Re } kiekoksi B = { +j } eli ympyrän x +(y +) = kehäksi ja sisäalueeksi. 65. Lineaarista aikainvarianttia kausaalista nolla-alkutilaehtoista systeemiä kuvaa differenssiyhtälö y(n) = 5 4 y(n ) 3 8 y(n )+x(n )+x(n ). Määrää systeemin siirtofunktio ja tutki, onko systeemi stabiili. 66. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H() =. 6 6 Määrää impulssivaste h(k) kompleksisen käyräintegraalin avulla. 67. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on + H() = + 5 + 3, > 3 4. 4 8 Määrää systeemin impulssivaste h(k) kompleksisen käyräintegraalin avulla. Tutki ovatko seuraavat systeemit stabiileja. Ennen stabiilisuuden tutkimista tarkista että osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä. + 68. H() = + 3 + 4 8 + + 69. H() = 3 + + 5 + 4 4 5 + 70. H() = 0 4 +3 +8 +0 7. Tutki onko B() = 3 4 3 + Schurin polynomi ja jos on, laske vastaava aito Hurwitin polynomi käyttämällä bilineaarikuvausta = (s + )/(s ). 7. Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H() = 3 +3+ 6 3 + ++3. Tutki, onko systeemi stabiili.