Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa ei alita kuvaajaa. Esimerkiksi fuktiolla fx) = x 2 o tämä omiaisuus. Koveksit fuktiot toteuttavat Jesei epäyhtälö. Se o eräälaie yleisepäyhtälö, joka avulla voidaa todistaa lukuisa joukko muita epäyhtälöitä. Jesei epäyhtälö o tämä kirjoitukse pääasia, mutta siihe pääsemiseksi o esi käsiteltävä koveksie fuktioide omiaisuuksia. Aiva esimmäiseksi o yllä aettu koveksisuude geometrie määritelmä muuettava aalyyttiseksi. Kirjoituksee sisältyy muutama harjoitus, joide pohtimie syvetää asia ymmärtämistä. Niide ratkaisut julkaistaa myöhemmi Solmu ettisivulla. Koveksisuude määritelmä Olkoo f välillä I määritelty fuktio ja [u,v] I. Se kuvaaja pisteet u,fu)) ja v,fv)) yhdistävä jaa yhtälö o y = yλ) = λfu)+ λ)fv), missä 0 λ. Näillä λ: arvoilla myös x = λu+ λ)v [u,v]. u,fu)) x,y) x,fx)) v,fv)) x = λu+ λ)v ja y = λfu)+ λ)fv), missä 0 λ. Jos kuvaaja o alaspäi kupera, ii piste x,fx)) ei ylitä maiittua jaaa millää x [u,v]. Koveksisuude aalyyttie määritelmä saadaa kirjoittamalla tämä geometrie ehto epäyhtälöksi. Määritelmä. Olkoo I reaalilukuväli ja f siiä määritelty fuktio. Se o koveksi, jos epäyhtälö f λu+ λ)v ) λfu)+ λ)fv) ) toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,[. Se o aidosti koveksi, jos f λu+ λ)v ) < λfu)+ λ)fv) 2) kaikilla λ ]0,[ ja kaikilla keskeää erisuurilla u,v I. Huomautus. Parametri λ rajoitetaa määritelmässä avoimelle välille ]0,[, sillä tämä väli päätepisteissä epäyhtälö ) o joka tapauksessa voimassa. Joha Jese 859 925), taskalaie matemaatikko.
2 Solmu 3/200 Jos erisuuruus epäyhtälöissä ) tai 2) o vastakkaisee suutaa, ii fuktio f o kokaavi tai aidosti kokaavi välillä I. Selvästi fuktio f o aidosti) kokaavi, jos ja vai jos f o aidosti) koveksi, jote jatkossa voidaa rajoittua pelkästää koveksisuutee. Seuraavissa harjoituksissa ja esimerkissä sovelletaa koveksisuude määritelmää. Esim. Fuktio fx) = x o koveksi, sillä kolmioepäyhtälöstä seuraa λu+ λ)v λ u + λ) v kaikilla u,v R ja λ ]0,[.. Osoita, että fuktio fx) = x 2 o aidosti koveksi. 2. Osoita, että fuktio gx) = x, x > 0, o aidosti koveksi. 3. Keksi esimerkki koveksista fuktiosta f : [0,] R, joka o a) jatkuva, b) epäjatkuva. 4. Osoita, että jos f ja g ovat välillä I koveksejafuktioita ja jos a sekä b ovat ei-egatiivisia, ii lieaarikombiaatio af + bg o koveksi. Koveksisuude luoehditaa Fuktio koveksisuus o alkeellisia tapauksia lukuuottamatta varsi hakalaa todistaa suoraa määritelmä perusteella. Seuraavassa johdetaa eräitä yhtäpitäviä ja riittäviä ehtoja koveksisuudelle. Jos f o välillä I määritelty koveksi fuktio ja x ]u,v[ I, ii kuvioo u,fu)) x,fx)) v,fv)) piirrettyje sekattie kulmakertoimet toteuttavat kaksoisepäyhtälö fx) fu) fv) fu) fv) fx), 3) mikä johtaa tärkeää koveksisuude luoehditaa. Lause. Välillä I määritelty fuktio f o koveksi, jos javaijoskaikilleehdou < x < v toteuttavillevälii luvuille o voimassa mikä tahasa kaksoisepäyhtälöstä 3) saatava erotusosamääriä koskeva epäyhtälö. Todistus. Käsitellää tapaus fx) fu) fv) fx), ja muut jätetää harjoitustehtäviksi. Olkoot u,x,v I ja u < x < v. Tällöi o olemassa λ ]0,[ site, että x = λu+ λ)v. Koska > 0, > 0, > 0, ovat epäyhtälöt λ = ja λ =, fx) λfu)+ λ)fv) λfx)+ λ)fx) λfu)+ λ)fv) λ fx) fu) ) λ) fv) fx) ) ) ) fx) fu) fv) fx) fx) fu) fv) fx) keskeää yhtäpitäviä, jote lause o todistettu. Seuraus. Fuktio f : I R o aidosti koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo u < t < v toteuttaville väli I luvuille o voimassa fx) fu) < fv) fx). Derivoituva fuktio koveksisuudelle saadaa helpohko kriteeri. Lause 2. Olkoo f : I R derivoituva. Jos ja vai jos derivaatta o aidosti) kasvava, ii f o aidosti) koveksi. Todistus. Olkoot x,t ja y ehdo x < t < y toteuttavia I: lukuja. Väliarvolausee mukaa o olemassa ξ ]x,t[ ja ξ 2 ]t,y[ site, että ft) fx) = f ξ ) ja fy) ft) = f ξ 2 ). Koska ξ < ξ 2 ja f o kasvava, o f ξ ) f ξ 2 ), jote ft) fx) = f ξ ) f ξ 2 ) = fy) ft), eli väite o tosi lausee perusteella. Jos f o aidosti kasvava, ii epäyhtälöstä ξ < ξ 2 seuraa f ξ ) < f ξ 2 ), jote ft) fx) = f ξ ) < f ξ 2 ) = fy) ft),
Solmu 3/200 3 eli väite o tosi lausee seuraukse perusteella. Seuraus. Jos f o kahdesti derivoituva ja jos f o ei-egatiivie, ii f o koveksi. Jos f o eiegatiivie ja sillä o eitää erillisiä ollakohtia, ii f o aidosti koveksi. Esim. Fuktiot fx) = e x ja gx) = lx ovat aidosti kovekseja, sillä f x) = e x > 0 kaikilla x R ja g x) = x 2 > 0 kaikilla x R +. Esim.Fuktiot f x) = x 2, Z +, ovat aidosti kovekseja. Fuktiot g x) = x 2+, Z +, ovat aidosti kovekseja välillä [0, [. 5. Osoita, että välillä I määritelty fuktio f o koveksi, jos ja vai jos fv) fu) fv) fx) kaikille ehdo u < x < v toteuttaville väli I luvuille. 6. Osoita, että välillä I määritelty fuktio f o koveksi, jos ja vai jos fx) fu) fv) fu) kaikille ehdo u < x < v toteuttaville väli I luvuille. 7. Todista, että avoimella välillä määritelty koveksi fuktio o jatkuva. Ohje: Jos I o avoi väli ja x 0 I, ii o olemassa luvut a,b,u,v I site, että a < u < x 0 < v < b. Valitse x ]u,x 0 [, ja osoita kaksoisepäyhtälöä 3) soveltae, että fx) fx 0 ), ku x x 0 vasemmalta. Osoita sitte samalla tavalla, että fx) fx 0 ), ku x x 0 oikealta. 8. Osoita, että fuktio f : R + R, fx) = xlx, o aidosti koveksi. Jesei epäyhtälö Koveksisuude määritelmä voidaa kirjoittaa seuraavasti: Fuktio f : I R o koveksi, jos fλ x +λ 2 x 2 ) λ fx )+λ 2 fx 2 ) kaikilla x,x 2 I ja kaikilla λ,λ 2 ]0,[, joille λ +λ 2 =. Jesei epäyhtälö yleistää määritelmä epäyhtälö useammalle λ: ja x: arvolle. Lause 3. Olkoo f : I R koveksi fuktio ja λ,λ 2,...,λ positiivisia lukuja, joide summa o. Tällöi kaikilla x,x 2,...,x I fλ x +...+λ x ) λ fx )+...+λ fx ). 4) Todistus. Väite o siis tosi, ku = 2. Jos se o tosi ):lle luvulle, ii, koska λ x +...+λ x +λ x λ = λ ) x +...+ λ ) x +λ x, λ λ o fλ x +...+λ x +λ x ) λ λ )f x +...+ λ ) x λ λ +λ fx ) λ λ ) fx )+...+ λ ) fx ) λ λ = λ fx )+...+λ fx )+λ fx ), +λ fx ) jote väite o iduktioperiaattee ojalla tosi kaikilla Z, 2. Valitsemalla kaikki λ:t yhtä suuriksi saadaa moessa yhteydessä käyttökelpoie seurauslause. Seuraus. Jos f : I R o koveksija x,x 2,...,x I, ii ) x +x 2 +...+x f fx )+fx 2 )+...+fx ). 5) Milloi epäyhtälöissä 4) ja 5) vallitsee yhtäsuuruus? Jos esimerkiksi f o esimmäise astee polyomifuktio se o koveksi), ii yhtäsuuruus o voimassa kaikilla x,...,x R. Kysymys yhtäsuuruude voimassaolosta o siis kiiostava vai, jos fuktio o aidosti koveksi. Lause 4. Olkoo f : I R aidosti koveksi, x,...,x I ja λ...,λ positiivisia lukuja, joide summa o. Tällöi fλ x +...+λ x ) = λ fx )+...+λ fx ) 6) jos ja vai jos x = x 2 =... = x. Todistus. Selvästi 6) o voimassa, jos x = x 2 =... = x. Oletetaa yt, että 6) o voimassa, ja tehdää vastaoletus, että luvut x,...,x eivät ole kaikki yhtä suuria. Voidaa rajoituksetta olettaa, että e ovat pieimmästä alkae suuruusjärjestyksessä. Tällöi x o iistä piei. Olkoo x k esimmäie siitä poikkeava luku. Siis x =... = x k < x k... x.
4 Solmu 3/200 Merkitää vielä µ = λ +...+λ k, jolloi λ k +...+ λ = µ. Koska f o aidosti koveksi ja o f ) λ x +...+λ x = f µx + µ) x < λ k µ x k +...+ λ µ x, < µfx )+ µ)f λk µ x k +...+ λ )) µ x λk µ x k +...+ λ ) µ x λ +...+λ k )fx )+λ k fx k )+...+λ fx ) = λ fx )+λ 2 fx 2 )+...+λ fx ), mikä o ristiriidassa oletukse 6) kassa. Siis ei ole esimmäistäkää lukua x k, joka poikkeaisi pieimmästä luvusta x, jote kaikki x:t ovat samoja. Muodostamalla sopivia aidosti kovekseja fuktiota voit Jesei epäyhtälö avulla keksiä aiva uusia, eeäkemättömiä epäyhtälöitä! Seuraava lieee kuiteki yleisesti tuettu. Lause 5. Olkoot u,...,u positiivisia lukuja ja A iide aritmeettie keskiarvo. Tällöi A A u u uu2 2...uu, missä yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u =... = u. Todistus. Positiivisille luvuille määritelty fuktio fx) = xlxoaidostikoveksi,jotejeseiepäyhtälö 5) mukaa ) ) u +...+u u +...+u l mistä väite seuraa. u lu +...+ u lu, 9. Osoita, että jos positiiviste lukuje u,...,u aritmeettie keskiarvo o, ii u u 2...u u u uu2 2...uu, ja että yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos u k = kaikilla k {,...,}. 0. Osoita a) edellise tehtävä erikoistapauksea, b) pelkästää lukio oppimäärää tukeutue, että kaikilla x ]0,[. x) x +x) +x >. Osoita,ettäjosa,b,covatpositiivisiajaa+b+c =, ii a 2 +b 2 +c 2 3. Milloi yhtäsuuruus o voimassa? 2. Osoita, että jos luvut u k ovat positiivisia ja jos u +u 2 +...+u =, ii u 2 +u 2 ) 2 2 +...+u2 u 3 +u 3 2 +...+u3. Milloi yhtäsuuruus o voimassa? Keskiarvoepäyhtälöitä Kirjoitukse ykkösosassa Solmu 2/200) tutkittii keskiarvoje H, G, A ja C suuruusjärjestystä. Jesei epäyhtälö avulla voidaa todistaa sama järjestys myös vastaaville paiotetuille keskiarvoille. Ne määritellää yhtälöillä H λ = λ u +...+ λ u G λ = u λ...uλ A λ = λ u +...+λ u C λ = λ u 2 +...+λ u 2 λ u +...+λ u missä u- ja λ-luvut ovat positiivisia ja λ-lukuje summa o. Järjestys todistuu kolmessa vaiheessa. Vaihe. G λ A λ. Olkoot u,...,u positiivisia lukuja jaλ,...,λ positiivisialukuja,joide summao.o olemassa luvut x,...,x site, että u k = e x k kaikilla k {,2,...,}. Koska fuktio fx) = e x o aidosti koveksi, o Jesei epäyhtälö mukaa e λx+...+λx λ e x +...+λ e xx. Yhtälöide u k = e x k avulla tämä sieveee muotoo G λ = u λ uλ2 2...uλ λ u +λ 2 u 2 +...+λ u = A λ. Vaihe 2. H λ G λ. Olkoot u- ja λ-luvut kute yllä. Soveltamalla edellistä epäyhtälöä u-lukuje kääteislukuihi saadaa u λ... u λ mistä välittömästi seuraa λ u +...+ λ u, H λ = λ u λ u +...+ λ...uλ = G λ. u Vaihe 3. A λ C λ. Olkoot u- ja λ-luvut edellee kute yllä. Fuktio gx) = x 2 o aidosti koveksi, jote Jesei epäyhtälöä soveltae saadaa λ u +...+λ u ) 2 λ u 2 +...+λ u 2,
Solmu 3/200 5 mistä seuraa A λ = λ u +...+λ u λ u 2 +...+λ u 2 λ u +...+λ u = C λ. Siis H λ G λ A λ C λ. Koska fuktiot fx) = e x ja gx) = x 2 ovat aidosti kovekseja, vallitsee tässä ketjussa yhtäsuuruus, jos ja vai jos luvut u k ovat kaikki keskeää yhtäsuuria. Lähdeluettelo [] J.Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class, A Itroductio to the Art of Mathematical Iequatilies, Cambridge Uiversity Press, 2007. [2] The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-groups.dcs.st-ad.ac.uk/~history/ Diplomitehtävie oheislukemistoa Osoitteessa http://solmu.math.helsiki.fi/diplomi.html o diplomitehtäville oheislukemistoa, joka varmaa kiiostaa muitaki kui diplomie tekijöitä: Desimaaliluvut, mitä e oikeastaa ovat? Murtolukuje laskutoimituksia Hiuka osittelulaista Lausekkeet, kaavat ja yhtälöt Äärettömistä joukoista Erkki Luoma-aho: Matematiika peruskäsitteide historia Gaussi jalajäljissä K. Väisälä: Algebra